一维波动方程的有限差分法
三类典型的数学物理方程
数学物理方程的建立过程
确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出
一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。
杆的纵振动方程 杆上x点在t时刻 F(x,t) 的弹性应力 x 研究对象：杆上各点的纵向位移 u(x,t)
得到
uxx u 2u u
utt a2[u 2u u ]
将上面两式代入原波动方程，得到
u 0
如何处理？
考虑采用积分的方法
先对 积分 u u d 0 f ( )
再对 积分
u f ( )d f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)（2）
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 , f2
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
另一端按已知规律 f (t) 变化。写出边界条件
物体边界面各点在时刻t所流过的热量已知：
u n
s
质温度已知，物体内部通过其边界S与 周围介质进行热量交换：
在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ 表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有
弦的端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个 沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为
ux (0,t) 1(t), ux (a,t) 2(t)
自由端点的情形：
1.2 初始条件与边界条件
第三类边界条件 给出所研究的物理量及其沿边界外法向导数 在边界上应满足的条件。
端点处为弹性支撑端的情形 根据Hooke 定律
波动方程与解法
波动方程与解法波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将介绍波动方程的基本概念和常见的解法。
一、波动方程的基本概念波动方程是一种偏微分方程，描述了波动过程中的空间和时间变化。
一维波动方程可表示为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u表示波函数，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是一种常见的解波动方程的方法。
它基于假设波函数u可以被表示为时间因子T(t)和空间因子X(x)的乘积形式：u(x, t) = X(x)T(t)将波动方程代入上式后，将方程两边的变量分离，得到两个常微分方程，分别是关于时间的方程和关于空间的方程。
通过求解这两个方程，可以得到波函数的具体形式。
2. 超级位置法超级位置法是另一种常用的解波动方程的方法。
它基于假设波函数u可以表示为两个函数之和的形式：u(x, t) = φ(x - vt) + ψ(x + vt)其中，φ和ψ是任意两个函数。
这种波函数形式常用于描述传播方向相反的两个波包或两个波的干涉。
3. 叠加原理叠加原理是波动方程解法中的重要原理。
根据叠加原理，可将多个波动方程的解叠加在一起，得到新的波函数。
利用叠加原理，可以描述出复杂的波动现象，如波的干涉和衍射。
三、波动方程的应用波动方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
以下是几个例子：1. 机械波方程机械波的传播可以通过波动方程进行描述。
例如，弦上传播的横波和纵波可以用波动方程解析求解，从而了解波的传播速度和波形。
2. 电磁波方程电磁波的传播和干涉也可以通过波动方程进行描述。
例如，光的传播可以使用电磁波方程进行解析求解，从而了解光的折射、反射和衍射等现象。
3. 地震波方程地震波在地球内部的传播可以通过波动方程进行建模。
利用波动方程可以分析地震波的传播路径、速度和震级等特征，对地震进行研究和预测具有重要意义。
有限差分法Matlab实现课件
CATALOGUE
有限差分法在解决实际问题中的应用
在求解微分方程中的应用
生物种群模型
传染病模型 化学反应动力学
在求解偏微分方程中的应用
热传导方程 波动方程 弹性力学问题
在图像处理中的应用
图像去噪
图像增强
图像重建
CATALOGUE
Matlab实现的代码示例及解析
一维有限差分法的代码示例及解析
隐式差分法
02
03
边界条件处理
基于一维偏微分方程的隐式差分 法，将连续的函数离散化，用差 分方程近似代替原方程。
对于一维有限差分法，需要特别 处理边界条件，以保证求解的精 度和稳定性。
二维有限差分法的Matlab实现
规则网格 不规则网格 边界条件处理
三维有限差分法的Matlab实现
三维规则网格 三维不规则网格 边界条件处理
Matlab语言简介
Matlab发展史
Matlab的特点
Matlab编程语法
变量与数据类型
01
控制结构
02
函数与脚本
03
Matlab的数据类型
数值型 单元数组
结构体
字符型 逻辑型
CATALOGUE
有限差分法的Matlab实现
一维有限差分法的Matlab实现
01
显式差分法
基于一维偏微分方程的显式差分 法，将连续的函数离散化，用差 分方程近似代替原方程。
有限差分法matlab 实现
contents
目录
• 有限差分法概述 • Matlab编程基础 • 有限差分法的Matlab实现 • 有限差分法在解决实际问题中的应用 • Matlab实现的代码示例及解析
CATALOGUE
一维波动方程的推导
一维波动方程的推导一维波动方程是描述一维介质中传播的波动现象的数学模型，它可以应用于声波、水波、电磁波等各种波动现象的研究。
其基本假设是介质中的波动是沿着介质传播的。
在推导一维波动方程时，我们需要先建立波动现象的数学模型。
假设介质中的波动是沿着x轴方向传播的，用u(x,t)表示波动处于x 点时的位移量。
我们需要考虑介质中的质点在时间t和t+Δt之间发生的位移量，即Δu(x,t)=u(x,t+Δt)-u(x,t)。
根据牛顿第二定律，质点在单位时间内所受到的合力等于质点的质量乘以加速度。
因此，介质中的质点在时间t和t+Δt之间的加速度可以表示为：a(x,t) = 1/ρ(x) * F(x,t)其中，ρ(x)是介质在x点处的密度，F(x,t)是介质在x点处的作用力。
根据胡克定律，介质中的质点在受到作用力时会发生弹性形变。
弹性形变的大小与作用力成正比，与介质的弹性系数成反比。
因此，介质在x点处的作用力可以表示为：F(x,t) = E(x) * u(x,t)/x其中，E(x)是介质在x点处的弹性系数，u(x,t)/x是介质在x点处的曲率。
将上述两个式子代入到a(x,t)的表达式中，得到：a(x,t) = 1/ρ(x) * E(x) * u(x,t)/x在介质中传播的波动是一种能量传输的过程。
波动在传播过程中，会带动介质中的质点振动，将能量从一个点传递到另一个点。
因此，介质中传播的波动在时间和空间上都是具有连续性的。
由此，我们可以得到波动方程的基本表达式：u(x,t)/t = c * u(x,t)/x其中，c=E/ρ，表示波动在介质中传播的速度的平方。
这就是一维波动方程的基本表达式。
在具体的应用中，我们需要根据不同的介质和波动特性，选择不同的初始条件和边界条件，来求解波动方程。
一维波动方程的推导
一维波动方程的推导考虑一根无限长的均匀弦，假设它在初始时刻位于平衡位置，即没有形成波形。
现在我们来考虑在弦的一端施加一个力，使得它开始振动。
假设这个力是沿着弦的方向作用的，那么根据牛顿第二定律，我们可以得到：$F=ma$其中，$F$表示施加在弦上的力，$m$表示弦的质量，$a$表示弦的加速度。
由于我们假设弦是均匀的，因此它的质量可以表示为： $m=rho L$其中，$rho$表示弦的线密度，$L$表示弦的长度。
因此，上面的方程可以表示为：$F=rho La$接下来，我们考虑弦上的一个微元。
假设长度为$Delta x$，质量为$Delta m=rho Delta x$。
由于弦是弹性的，因此它的两端都有一个弹性系数$k$。
我们可以得到以下方程：$F=k(y_{i+1}-y_i)-k(y_i-y_{i-1})$其中，$y_i$表示弦上第$i$个微元的位移。
由于我们正在考虑一个微元，因此可以认为它的质量是恒定的，因此可以将上面的方程表示为：$frac{F}{Delta x}=kfrac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{Deltax^2}$接下来，我们考虑时间的变化。
假设$t$表示时间，$y_i(t)$表示弦上第$i$个微元在$t$时刻的位移。
我们可以得到以下方程： $frac{partial^2y_i}{partialt^2}=frac{k}{rho}frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{Delta x^2}$ 上面的方程就是一维波动方程。
它表示了弦上任意一点在时间上的变化。
我们可以通过这个方程来描述弦的振动情况，并且可以通过数值模拟等方法来求解它的解析解。
时域有限差分法PPT课件
vg
d
dk
c
(1-10)
这种情况下，群速也是与频率无关。
.
8
1.2 数值色散关系(2)
上述过程也可用于一维标量波动方程差分近似的数值色散分析。
设在离散空间点 xi,tn,离散行波解为 u in u x i,tn e j n t k ~ i x ，
式中，k~ 为存在于有限差分网格中的数值正弦波的波数。一般情况 下，不同于连续物理波的波数。正是这种不同导致了数值相速和群 速偏离了精确解。进而导致了数值色散误差。
1.5 数值稳定性（1）
• FDTD计算中每一步都是有误差的，随着时间步进，误 差会不断积累。如果误差的积累不会造成总误差的增 加，就成FDTD法是稳定的，否则成为不稳定的。数值 不稳定性会造成计算结果随时间步进无限增加。
• FDTD法是有条件稳定的，即：时间步必须必须小于一 定值以避免数值不稳定性。
考虑(1.1)的正弦行波解 ux,tejtkx 代入(1-1)得
j2c2jk2 即
k c
上式便是一维标量波动方程的色散关系。
(1-8)
由上式得相速度
vp
k
c
（1-9）
可见，相速与频率无关，称为非色散。非色散意味着对于具有任意
调制的包络或脉冲形状的波传播任意距离后波形保持不变。进一步
由(1-8)可以得到群速关系
正弦函数
ui=sin(nt+)
高斯函数
ui=exp[-(n-n0)2/T2]
阶跃函数
ui= 0
n<n1
= ( n-n1)/(n2-n1) n1<n<n2
=1
n>n2
“硬源”设置简单，但当反射波回到“硬源”位置时， 会引起寄生反射，所以，要在这之前“关”掉源。
有限差分法解方程
有限差分法（Finite Difference Method）是一种数值方法，用于求解偏微分方程（PDEs）的近似解。
这种方法通过将连续的微分方程离散化，将其转化为一系列代数方程，从而在计算机上进行求解。
有限差分法特别适用于求解具有固定边界条件和初始条件的偏微分方程。
以下是有限差分法求解偏微分方程的基本步骤：1. 网格划分：首先，将问题的连续域划分为离散的网格点。
对于二维问题，这通常涉及到在空间和时间上进行网格划分，形成网格点的集合。
2. 离散化：使用差分公式将微分方程中的导数替换为差分。
例如，一阶导数可以用前向差分或后向差分近似，而二阶导数可以用中心差分近似。
3. 构建差分方程：在每个网格点上应用差分公式，将微分方程转化为代数方程。
对于边界条件，也需要进行相应的离散化处理。
4. 求解线性方程组：差分方程通常会导致一个线性方程组。
对于大型问题，这可能需要使用迭代方法或直接求解器来找到解。
5. 稳定性分析：在求解过程中，需要确保数值解的稳定性。
这涉及到对时间步长和空间步长的选择，以满足CFL（Courant-Friedrichs-Lewy）条件。
6. 迭代求解：对于时间依赖的问题，如热传导或波传播，可以通过时间步进方法（如显式或隐式方法）来迭代求解。
7. 结果分析：最后，分析数值解以验证其准确性，并与解析解（如果存在）进行比较。
有限差分法在处理规则区域和简单边界条件的问题时非常有效。
然而，对于具有复杂几何形状或边界条件的问题，可能需要更高级的数值方法，如有限元方法（FEM）或边界元方法（BEM）。
在实际应用中，有限差分法通常与计算机软件结合使用，如MATLAB、Python的SciPy库等，以便于高效地处理大规模问题。
有限差分法剖析
以上方程的一般形式： ci Pi1 ai Pi bi Pi1 di ，形成三对角矩阵。
二维有限差分
（2）隐式差分：在点（i，j，n+1）的差分方程（图示）
P n1 i1, j
2
P n1 i, j
P n1 i1, j
x 2
P n1 i, j1
2
Pi
n1 ,j
P n1 i, j1
y 2
P n1 i, j
Pn i, j
t
若取正方形网格：则： x y
P n1 i, j1
P n1 i1, j
对流扩散方程
Poisson方程
波动方程
偏微分方程
几种边界条件
Dirichlet边界 Neumann边界 Cauchy边界
有限差分法定义
有限差分方法：差分方法、网格法
差商逼近法
P
t
分类
按格式精度划分
一阶格式、二阶格式、高阶格式
按差分空间形式划分
中心格式、逆风格式
考虑时间因子的影响
2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x ) P(x) x P(x) (x / 2) 2 P(x) (x / 2)3 P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x) O( x )
2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级2013 专业班信计02班
学生姓名学号
开课时间2015 至2016 学年第 2 学期
数学与统计学院制
开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016年6月20日
10，0,1,
,200k t ，)112
22k k k j j j u u u τ++--=
略去误差项得到：
1,2,9,1,2,
,199k =，局部截断误差为对于初始条件(),0sin u x x π=，建立差分格式为：(0sin 10j u π= 对于初始条件
(),00u x t
∂
=∂，利用中心差商，建立差分格式为： 11
0,2,
102j j
u u τ
--= 建立差分格式为：
0,1,
,200 ）得到的式子再与（5）联立消去0
20112
j r u -+ ）得到三层显格式如下：（局部截断误差为1
,1,2,9,1,2,,199
2,101,2,90,1,,200k j u j k -=== 四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件
图1 数值解、精确解以及绝对误差函数图像
说明：上两图为函数的数值解与精确解，下两图为t=0.5,1.0,1.5,2.0时刻的数值解、绝对误差函数图像，符合理论解。
教师签名
THANKS
致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等
打造全网一站式需求
欢迎您的下载，资料仅供参考。