空间平面方程的求法_论文

空间平面方程的求法

1、 用参数方程

题目的已知条件是给出平面所经过的一个定点以及平面的两个方位矢量，有的题型是要求把所给的方程形式化为参数方程或者把已知的参数方程化为一般方程。

①矢量式参数方程 →r =→ r 0 + t 1→r 1 +t 2→r 2 其中→r 1 ={X 1,Y 1,Z 1}, →r 2 ={X 2,Y 2,Z 2}

②坐标式参数方程⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=221102*********Z t Z t z z Y t Y t y y X t X t x x

例1、 写出下面的参数方程：通过点)1,3,2(A 并平行于)1,0,3(),3,1,2(21-=-=v v

解：所求的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧v

u z u y v u x -+=-=++=313322 例2、证明矢量},,{Z Y X v =

平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：0=++CZ BY AX

证明：不妨设0=+++D Cz By Ax 中的0≠A ，把这平面的方程化为参数式： ,,,v z u y v A C u A B A D x ==---

=所以平面的两方位矢量是}0,1,{A B -与}1,0,{A C -,从而知},,{Z Y X v = 与已知平面共面的充要条件为v 与}0,1,{A B -，}1,0,

{A C -共面，或 01

001=--A C A B Z Y X ,即0=++CZ BY AX . 如果在直角坐标系下，那么由于平面的法矢量为},,{C B A n = ,所以v 平行于平面的充要条

件为0=⋅v n

，即0=++CZ BY AX .

2、 用点位式方程

题目会给出平面的两个方位矢量的坐标以及平面上的一个已知点。 2

22111

000

Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0

3、用三点式方程

题目的条件是平面上的三个已知点。

1

3131312121

2111

z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------=0 例3、已知三角形顶点为),2,2,2(),1,1,2(),0,7,0(C B A --求平行于三角形ABC 所在的平面且与它相距为2个单位的平面方程.

解：由已知，得02

92162

7=+z y x

， 所以三角形ABC 所在的平面方程为014623=-+-z y x .

设与这个平面相距2个单位的平面方程为0=+++D Cz By Ax 由于，

71=λ所以.28,021-==D D 因此所求的平面方程为，0623=+-z y x 028623=-+-z y x

4、用一般式方程

0=+++D Cz By Ax （C B A ,,不全为零，D =-（Ax 0+By 0+Cz 0）

） 注:在笛卡尔坐标系下，每个平面是含有z y x ,,的三元一次方程。反之，该三元一次方程表示一个平面，且系数C B A ,,组成平面的法向量，即→n ={C B A ,,}

①平面过原点的充要条件是0=D

②平面过z 轴的充要条件是0,0==D C

平面过x 轴的充要条件是0,0==D A

平面过y 轴的充要条件是0,0==D B

③平面平行于z 轴的充要条件是0,0≠=D C .

平面平行于x 轴的充要条件是0,0≠=D A .

平面平行于y 轴的充要条件是0,0≠=D B

例4、求通过点（2，-1，1）与点（3，-2，1）且平行于z 轴的平面的方程。 解：设所求平面方程为 0=++D By Ax ,

由已知条件得⎩⎨⎧=+-=+-0

2302D B A D B A 由此)1(:1:1::-=D B A ,所以所求的平面方程为

01=-+y x .

例5、 求通过点（1，1，1）与点（1，0，2）且垂直于平面062=--+z y x 的 平面的方程。

解：设所求平面方程为0=+++D Cz By Ax ,

写出这个平面过已知两点且垂直于已知平面的条件

0=+++D C B A

02=++D C A

02=-+C B A

解之得，D C B A =-=-=,于是所求平面方程为

01=+--z y x

5、用截距式方程

如果在一般式中,,,,D C B A 都不为零，则可改写成

1=++c z b y a x （C

D c B D b A D a -=-=-=,,）由此可知该平面是过三点).,0,0(),0,,0(),0,0,c b a （ 平面在x 轴，y 轴，及z 轴上的截距为.,,c b a

例6、设平面在空间直角坐标系的第一挂限的部分与三个坐标平面所构成四面体的体积为1，并且在三个坐标轴上的截距之比是1:2:3::=c b a ,截距之和为6，求该平面的方程。

解：设所求平面方程为 1=++c

z b y a x ， 依题意，c b a ,,应满足 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==++=1:2:3::61)61c b a c b a abc （

,,2,3t c t b t a ===令代入上式，解得t=1，故所求平面的方程为

11

23=++z y x 例7、求三个平面与坐标平面重合，而与原点相对的顶点在平面01823=--+z y x 上的立方体的棱长.

解：所给的平面可化为截距式方程为09

186=-++z y x ，所以截距分别为9,18,6-， 因此，立方体在这个平面上的顶点可设为),0(),,,(>-a a a a 得3=a .

所以原点与点）

，，（333-连线所形成的立方体的体对角线长度为27， 因此所求的立方体的棱长为3.

例8、求通过点)2,3,4(A 且在各坐标轴上截取等长线段的平面的方程.

分析：所给的条件是在各坐标轴上截取的线段的长度相等，所以求解过程中应该注意截距有正负多种情况.

解：当平面在z y ,,x 轴上的截距都为正时

可设平面方程为

,123a 4=++a

a 得9=a 所以平面方程为 09=-++z y x

当平面在y x ,轴上的截距为正，在z 轴上的截距为负时， 可设平面方程为,123a 4=-+a

a 得5=a 所以平面方程为

05=--+z y x 当平面在z ,x 轴上的截距为正，在y 轴上的截距为负时， 可设平面方程为,123a 4=+-a

a 得3=a 所以平面方程为

03=-+-z y x 当平面在z y ,轴上的截距为正，在x 轴上的截距为负时， 可设平面方程为,123a 4=++-

a

a 得1=a 所以平面方程为 01=+--z y x

6、用法式方程

①坐标式法式方程

0cos cos cos =-++p z y x γβα， （p 为原点到该平面的距离）

例9、把平面π的方程014623=++-z y x 化为法式方程，求自原点指向平面π 的