专题三 导数及其应用第八讲导数的综合应用答案
专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用
答案部分 2019年
1.解析 当1x =时，()112210f a a =-+=>恒成立； 当1x <时，()2
2
22021
x f x x ax a
a
x =-+?-恒成立，令()()()()2
2
22
1112111111x x x x x g x x x x x
-----+==-=-=-=----
()()1
1221201x x x
??--+
---= ? ?-??
， 所以()max 20a
g x =，即0a >．
当1x >时，(
)ln 0ln x
f x x a x
a
x
=-?恒成立，令()ln x h x x =，则()()21
ln ln x x x h x x -?
'==当e x >时，()0h x '>，()h x 递增，当1e x <<时，()0h x '<，()h x 递减， 所以当e x =时，()h x 取得最小值()e e h =. 所以()min e a
h x =.
综上，a 的取值范围是[]0,e ．
2.解析（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3
a
x =. 若a >0，则当(,0)
,3a x ??∈-∞+∞ ???时，()0f x '>；当0,3a x ??
∈ ???
时，()0f x '<．
故()f x 在(,0),,3a ??-∞+∞
???单调递增，在0,3a ??
???
单调递减；
若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若a <0，则当,
(0,)3a x ?
?∈-∞+∞ ???时，()0f x '>；当,03a x ??
∈ ???
时，()0f x '<．故()
f x 在,
,(0,)3a ?
?-∞+∞ ???单调递增，在,03a ?? ???
单调递减. （2）满足题设条件的a ，b 存在.
（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，
1b =-．
（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为
(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，
b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．
（iii ）当0 =- + ??? ，最大值为b 或2a b -+． 若3 127 a b -+=-，b =1，则a =，与0 若3 127 a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-或a =0，与0 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为–1，最大值为1． 3.解析：（Ⅰ）当34a =- 时，3 ()ln 04 f x x x =->． 3() 4f 'x x =- = 所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）． （Ⅱ）由1 (1)2f a ≤ ，得04a <≤． 当04a <≤时，()2f x a ≤等价于22ln 0x a a - -≥． 令1 t a = ，则t ≥． 设()22ln ,g t t x t =≥，则 ()2ln g t g x ≥=． （i ）当1,7x ??∈+∞???? ≤ ()2ln g t g x ≥=． 记1 ()ln ,7 p x x x =≥ ，则 1() p'x x = -= 故 所以，()(1)0p x p ≥= ． 因此，()2()0g t g p x ≥=≥． （ii ）当 211,e 7x ?? ∈?? ??时，1()1g t g x ?+= ?． 令 211()(1),,e 7q x x x x ?? =++∈? ??? ，则()10q'x =+>， 故()q x 在211,e 7??? ???上单调递增，所以1()7q x q ?? ??? ． 由（i ）得11(1)077q p p ????=<= ? ????? ． 所以，()<0q x ． 因此1()10 g t g x ?+=> ?． 由（i ）（ii ）得对任意21,e x ?? ∈+∞?? ?? ，),()0t g t ∈+∞， 即对任意21,e x ?? ∈+∞?? ?? ，均有()2x f x a ． 综上所述，所求a 的取值范围是 ? ?? 4.解析：（1）设()()g x f 'x =，则1 ()cos 1g x x x =- +，21sin ())(1x 'x g x =-++. 当1, 2x π? ?∈- ???时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><， 可得()g'x 在1, 2π?? - ?? ? 有唯一零点，设为α. 则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当, 2x α?π? ∈ ?? ? 时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ?? ???单调递减，故()g x 在1,2π? ?- ???存在唯一极 大值点，即()f 'x 在1,2π? ?- ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是 ()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x ?π?∈ ???时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ?? ???单调递减， 而(0)=0f '，02f 'π??< ???，所以存在,2βαπ?? ∈ ???，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时， ()0f 'x >；当,2x βπ??∈ ???时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ?? ??? 单调 递减. 又(0)=0f ，1ln 1022f ππ????=-+> ? ?????，所以当0,2x ?π? ∈ ???时，()0f x >. 从而()f x 在0,2?? ??? π没有零点. （iii ）当,2x π??∈π ???时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π?? π ???单调递减.而 02f π?? > ??? ，()0f π<，所以()f x 在,2π?? π ??? 有唯一零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点. 5.解析：（1）f （x ）的定义域为(0,1)(1,)+∞. 因为211()0(1) f x x x '= +>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，222 22e 1e 3(e )20e 1e 1 f +-=-=>--， 所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0． 又1 101x < <，1 111111 ()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-， 故f （x ）在（0，1）有唯一零点 1 1 x ． 综上，f （x ）有且仅有两个零点． （2）因为0 ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，0 1x ）在曲线y =e x 上． 由题设知0()0f x =，即0001 ln 1 x x x += -， 故直线AB 的斜率000000000 0111ln 111ln 1 x x x x x k x x x x x x +---===+-----． 曲线y =e x 在点001(ln , )B x x -处切线的斜率是0 1 x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是 1 x ， 所以曲线ln y x =在点 00(,ln ) A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线． 6.解析（1）因为a b c ==，所以3 ()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3 (4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =， 所以2 3 2 2 ()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +??=-- ???．令()0f 'x =，得x b =或23 a b x +=． 因为2,, 3a b a b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33 a b a b +===-． 此时2 ()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下： 所以()f x 的极小值为2 (1)(13)(13)32f =-+=-． （3）因为0,1a c ==，所以3 2 ()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++， 2()32(1)f 'x x b x b =-++． 因为01b <≤，所以2 2 4(1)12(21)30b b b ?=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <． 由()0f 'x =，得12x x ==． 列表如下： 所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()3 21111(1)M f x x b x bx ==-++ ()2 2 11 11211(1)[32(1)]3 999b b x b b b x b x b x -+++??=-++--+ ? ?? ()23 21(1)(1)227927 b b b b b --+++=++ 2 3(1)2(1)(1)2 272727 b b b b +-+=-+ (1)24272727b b +≤ +≤ ．因此4 27 M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈． 当(0,1)x ∈时，2 ()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2 ()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ? ?=-- ??? ． 令()0g'x =，得1 x = ．列表如下： 所以当13x = 时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ??== ??? ． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427 M ≤． 7.解析：（I ）由321()4f x x x x =-+，得23 '()214f x x x =-+． 令'()1f x =，即232114x x -+=，解得0x =或8 3x =. 又88 (0)0,(),327 f f == 所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88 273 y x -=-， 即y x =与64 27 y x =-. （II ）令()()g x f x x =-，[]2,4x ∈-. 由321()4g x x x = -得23 '()24 g x x x =-. 令'()0g x =得0x =或8 3 x =. '(),()g x g x 随x 的变化情况如表所示 所以()g x 的最小值为-6，最大值为0，所以6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （III ）由（II ）知， 当3a ≤-时，()()()003M a F g a a ≥=-=->； 当3a >-时，()()()2263M a F g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-. 8.解析 （Ⅰ）由已知，有 '()e (cos sin )x f x x x =-.因此，当 52,244x k k ππ? ?∈π+π+ ?? ?()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减； 当32,244x k k ππ?? ∈π-π+ ??? ()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增. 所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ? ? π- π+∈???? Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ? ?π+π+∈??? ?Z . （Ⅱ）记()()()2h x f x g x x π??=+- ??? .依题意及（Ⅰ） ，有()e (cos sin )x g x x x =-，从而'()2e sin x g x x =-. 当ππ,42x ?? ∈ ??? 时，()'0g x <， 故'()'()'()()(1)'()022h x f x g x x g x g x x ππ???? =+-+-=-< ? ????? . 因此，()h x 在区间,42ππ?? ????上单调递减，进而()022h x h f ππ?? ?? == ? ?????. 所以，当,42x ππ?? ∈????时，()()02f x g x x π ??+- ??? . （Ⅲ）依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =. 记2n n y x n =-π，则,42n y ππ??∈ ??? ， 且()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n n f y y x n -π -π==-π=∈N . 由()()20e 1n n f y f y -π==及（Ⅰ），得0n y y . 由（Ⅱ）知，当,42x ππ??∈ ???时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ?? ???? 上为减函数，因此()()004n g y g y g π?? <= ??? . 又由（Ⅱ）知，()()02n n n f y g y y π?? +- ??? ， 故()()() ()()022******* 2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π -π-π-π π--=-=< --. 所以，200 22sin c s e o n n n x x x -π ππ+-<-. 2010-2018年 1．A 【解析】∵2 1 ()[(2)1]x f x x a x a e -'=+++-，∵(2)0f '-=，∴1a =-， 所以2 1 ()(1)x f x x x e -=--，2 1 ()(2)x f x x x e -'=+-， 令()0f x '=，解得2x =-或1x =，所以当(,2)x ∈-∞-，()0f x '>，()f x 单调递增；当(2,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为11 (1)(111)1f e -=--=-，选A ． 2．D 【解析】由导函数的图象可知，()y f x =的单调性是减→增→减→增，排除 A 、C ； 由导函数的图象可知，() y f x =的极值点一负两正，所以D 符合，选D ． 3．D 【解析】当0x 时，令函数2()2x f x x e =-，则()4x f x x e '=-，易知()f x '在[0， ln 4） 上单调递增，在[ln 4，2]上单调递减，又(0)10f '=-<，1()202 f '=->，(1)40f e '=->，2(2)80f e '=->， 所以存在01 (0,)2 x ∈是函数()f x 的极小值点，即函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,2)x 上单调递增，且该函数为偶函数，符合 条件的图像为D ． 4．B 【解析】（解法一）2m ≠时，抛物线的对称轴为8 2 n x m -=- -．据题意，当2m >时，8 22 n m -- ≥-即212m n +≤．2262 m n m n +?≤ ≤18mn ∴≤．由2m n =且 212m n +=得3,6m n ==．当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤． 2292m n m n +?≤ ≤81 2 mn ∴≤．由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>．所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18．选B ． （解法二）由已知得()(2)8f x m x n '=-+-，对任意的1 [,2]2 x ∈，()0f x '≤，所 以1 ()0 2()0f f x ?'???'?≤≤，即0,021822m n m n m n ??+??+? ≥≥≤≤．画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 令mn t =，则当0n 时，0t ，当0n ≠时，t m n = ，由线性规划的相关知识，只有当直线212m n +=与曲线t m n 相切时，t 取得最大值，由212 192 t n t n n ?-=-????-=??，解得6n ， 18t ，所以max ()18mn =，选B ． 5．A 【解析】令() () f x h x x ，因为()f x 为奇函数，所以()h x 为偶函数，由于 2 ()() ()xf x f x h x x '-'= ，当0x 时，'()()xf x f x - 0<，所以()h x 在(0,)+∞ 上单调递减，根据对称性()h x 在(,0)-∞上单调递增，又(1)0f -=，(1)0f ， 数形结合可知，使得() 0f x 成立的x 的取值范围是() (),10,1-∞-． 6．D 【解析】由题意可知存在唯一的整数0x ，使得000(21)-<-x e x ax a ，设 ()(21)=-x g x e x ，()=-h x ax a ，由()(21)x g x e x '=+，可知()g x 在1 (,)2 -∞- 上单调递减，在1 (,)2 -+∞上单调递增，作出()g x 与()h x 的大致图象如图所示， -a 故(0)(0)(1)(1)>??--?h g h g ≤，即1 3 2 a a e ≤，所以312a e ≤． 7．D 【解析】∵()ln f x kx x =-，∴1 ()f x k x '=- ，∵()f x 在(1,)+∞单调递增， 所以当1x > 时，1()0f x k x '=-≥恒成立，即1 k x ≥在(1,)+∞上恒成立， ∵1x >，∴1 01x <<，所以k ≥1，故选D ． 8．A 【解析】法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0， 0)处的切线方程为y x =-，在(2，0)处的切线方程为36y x =-，以此对选项进行检验．A 选项，321122y x x x = --，显然过两个定点，又23 12 y x x '=--， 则02|1,|3x x y y ==''=-=，故条件都满足，由选择题的特点知应选A ． 法二 设该三次函数为32()f x ax bx cx d =+++，则2 ()32f x ax bx c '=++ 由题设有(0)0(2)0 (0)1 (2)3 f f f f =??=? ?'=-??'=?，解得11,,1,022a b c d ==-=-=． 故该函数的解析式为32 1122 y x x x =--，选A ． 9．C 【解析】由正弦型函数的图象可知：()f x 的极值点0x 满足0()f x =， 则 22x k m ππ π= +()k Z ∈，从而得01 ()()2 x k m k Z =+∈．所以不等式 ()2 2200[]x f x m +<，即为2221()32k m m ++<，变形得21[1()]32 m k -+>， 其中k Z ∈．由题意，存在整数k 使得不等式2 1[1()]32 m k -+>成立． 当1k ≠-且0k ≠时，必有2 1()12 k +>，此时不等式显然不能成立， 故1k =-或0k =，此时，不等式即为 2 334 m >，解得2m <-或2m >． 10．A 【解析】设所求函数解析式为()y f x =，由题意知(5)2,52f f =--=（）， 且(5)0f '±=，代入验证易得313 1255y x x = -符合题意，故选A ． 11．C 【解析】当(0,1]x ∈时，得321113()4()a x x x --+≥，令1 t x =，则[1,)t ∈+∞， 3234a t t t --+≥，令()g t =3234t t t --+，[1,)t ∈+∞， 则()2 981(1)(91)g x t t t t '=--+=-+-，显然在[1,)+∞上，()0g t '<， ()g t 单调递减，所以max ()(1)6g t g ==-，因此6a -≥； 同理，当[2,0)x ∈-时，得2a -≤．由以上两种情况得62a --≤≤． 显然当0x =时也成立，故实数a 的取值范围为[6,2]--． 12．C 【解析】设()ln x f x e x =-，则1 ()x f x e x '=- ，故()f x 在(0,1)上有一个极值点，即()f x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断1()f x 与2()f x 的大小，故A 、B 错；构造 函数()x e g x x =，2(1) ()x e x g x x -'=，故()g x 在(0,1)上单调递减，所以()()12g x g x >，选C ． 13．【解析】B 当0a =，可得图象D ；记2 ()2 a f x ax x =-+ ，232 ()2g x a x ax =-+ ()x a a R +∈，取12a =，211()(1)24f x x =--，令()0g x '=，得2 ,23x =，易知 ()g x 的极小值为1(2)2g =，又1 (2)4 f =，所以(2)(2) g f >，所以图象A 有可能； 同理取2a =，可得图象C 有可能；利用排除法可知选B ． 14．C 【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由3 2 ()f x x ax bx c =+++得 32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为（0,0）， 所以3 2 ()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0(,)x -∞单调 递减是错误的，D 正确．选C ． 15．A 【解析】法一：由题意可得，00sin y x =[1,1]∈-， 而由()f x =0[0,1]y ∈， 当0a =时，()f x ∴0[0,1]y ∈时，0()[1f x ∈． ∴0(())1f f y >． ∴ 不存在0[0,1]y ∈使00))((y y f f =成立，故B ，D 错； 当1a e =+时，()f x 当0[0,1]y ∈时，只有01y =时()f x 才有意义，而(1)0f =， ∴ ((1))(0)f f f =，显然无意义，故C 错．故选A ． 法二：显然，函数()f x 是增函数，()0f x ≥，从而以题意知0[0,1]y ∈． 于是，只能有00()f y y =．不然的话，若00()f y y >，得000(())()f f y f y y >>， 与条件矛盾；若00()f y y <，得000(())()f f y f y y <<，与条件矛盾． 于是，问题转化为()f t t =在[0,1]上有解． 由t =2t t e t a =+-，分离变量，得2 ()t a g t e t t ==-+，[0,1]t ∈ 因为()210t g t e t '=-+>，[0,1]t ∈， 所以，函数()g t 在[0,1]上是增函数，于是有1(0)()(1)g g t g e ==≤≤， 即[1,]a e ∈，应选A ． 16．D 【解析】A ．0,()()x R f x f x ?∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是 最大值点；B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点；C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相 当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系；D ． 0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对称，再关于x 轴的对称图像．故D 正确． 17．B 【解析】∵21ln 2y x x = -,∴1 y x x '=-,由0y '，解得11x -，又0x >， ∴01x <故选B ． 18．D 【解析】()x f x xe =，()(1)x f x e x '=+，0>x e 恒成立，令()0f x '=，则1-=x 当1- 19．D 【解析】2 ()1222f x x ax b '=--，由(1)0f '=，即12220a b --=， 得6a b +=．由0a >，0b >，所以2 ()92 a b ab +=≤， 当且仅当3a b ==时取等号．选D ． 20．D 【解析】若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则易知a c =，∵选项A ，B 的函数 为2 ()(1)f x a x =+，∴[()][()()](1)(3)x x x f x e f x f x e a x x e '=+=++， ∴1x =-为函数()x f x e 的一个极值点满足条件；选项C 中，对称轴02b x a =->， 且开口向下，∵0,0a b <>，∴(1)20f a b -=-<，也满足条件； 选项D 中，对称轴02b x a =- <，且开口向上，∴0,2a b a >>， ∴(1)20f a b -=-<，与题图矛盾，故选D ． 21．D 【解析】由题2 ||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2 ()ln h x x x =-， 则1 '()2h x x x =- ，令'()0h x =解得2x =，因2x ∈时，'()0h x <， 当)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当x =时，||MN 达到最小． 即2 t = ． 22．①③④⑤ 【解析】 令3 2 (),()3f x x ax b f x x a '=++=+，当0a ≥时，()0f x '≥， 则()f x 在R 上单调递增函数，此时3 0x ax b ++=仅有一个实根，所以(4)(5)对； 当3a =-时，由2 ()330f x x '=-<得11x -<<，所以1x = 是()f x 的极小值点． 由(1)0f >，得3 1310b -?+>,即2b >，(3)对．1x =- 是()f x 的极大值点， 由(1)0f -<，得3 (1)3(1)0b --?-+<，即2b <-，(1)对． 23．①④【解析】（1）设12x >x ，函数2x 单调递增，所有122>2x x ，120x x ， 则m =1212()()f x f x x x --=12 12 22x x x x >0，所以正确； （2）设1x >2x ，则120x x ->，则1212 ()() g x g x n x x 22121212 () x x a x x x x 12121212 ()() x x x x a x x a x x ，可令1x =1，2x =2，4a =-， 则10n =-<，所以错误； （3）因为m n ，由（2）得： 2 121) ()(x x x f x f --12x x a =++，分母乘到右边， 右边即为12()()g x g x -，所以原等式即为12()()f x f x -=12()()g x g x -， 即为12()()f x g x -=12()()f x g x ，令()()()h x f x g x =-， 则原题意转化为对于任意的a ，函数()()()h x f x g x =-存在不相等的实数1x ， 2x 使得函数值相等，2()2x h x x ax =--，则()2ln 22x h x x a '=--， 则()2(ln 2)2x h x ''=-，令0()0h x ''=，且012x <<，可得0()h x '为极小值． 若10000a =-，则0()0h x '>，即0()0h x '>，()h x 单调递增，不满足题意， 所以错误． （4）由(3) 得12()()f x f x -=12()()g x g x -，则1122()()()()f x g x g x f x +=+， 设()()()h x f x g x =+，有1x ，2x 使其函数值相等，则()h x 不恒为单调． 2()2x h x x ax =++，()2ln 22x h x x a '=++，()2 ()2ln 220x h x ''=+>恒成立， ()h x '单调递增且()0h '-∞<，()0h '+∞>．所以()h x 先减后增，满足题意，所以正 确． 24．4【解析】当0 1x ≤时，()ln f x x ，()0g x ，此时方程|()()|1f x g x 即为ln 1x 或ln 1x ，故x e 或1 x e ，此时1 x e 符合题意，方程有一个实根． 当12x 时，()ln f x x ，22()422g x x x ，方程|()()|1f x g x 即为2 ln 21x x 或2ln 21x x ，即2ln 10x x 或2ln 30x x ， 令2ln 1y x x ，则1 20y x x ，函数2ln 1y x x 在(1,2)x 上单调递减，且1x 时0y ，所以当12x 时，方程2 ln 10x x 无解；令2ln 3y x x ， 则120y x x ， 函数2 ln 3y x x 在(1,2)x 上单调递减，且1x 时20y ， 2x 时ln 210y ，所以当12x 时，方程2 ln 30x x 有一个实根． 当2x ≥时，()ln f x x ，2() 6g x x ，方程|()()|1f x g x 即为2ln 61 x x 或2 ln 6 1x x ，即2ln 70x x 或2ln 50x x ，令2y ln 7x x ， 则1 20y x x ，函数2y ln 7x x 在[2,)x 上单调递增，且2x 时 ln 230y ，3x 时ln320y ，所以当2x ≥时方程2ln 70x x 有1个实根；同理2 ln 50x x 在[2,)x 有1个实根． 故方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4个． 25．2【解析】由题意2 ()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或2x =． 因0x <或2x >时，()0f x '>，02x <<时，()0f x '<． ∴2x =时()f x 取得极小值． 26．【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，222 11 ()1a x ax f x x x x -+'=--+=-． （i ）若2≤a ，则()0'≤f x ，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减． （ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =． 当2()a a x +∈+∞时，()0f x '<； 当x ∈时，()0f x '>．所以()f x 在 ，)+∞ 单调递减，在单调递增． (2)由(1)知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >． 由于()f x 的两个极值点1x ，2x 满足2 10x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <， 则21x >．由于 121212212121212 22 ()()ln ln ln ln 2ln 1 1221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以 1212()()2f x f x a x x -<--等价于222 1 2ln 0x x x -+<． 设函数1 ()2ln g x x x x = -+，由(1)知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <． 所以 2221 2ln 0x x x -+<，即1212 ()()2f x f x a x x -<--． 27．【解析】(1)当1=a 时，()1≥f x 等价于2 (1)e 10-+-≤x x ． 设函数2 ()(1)1-=+-x g x x e ，则22()(21)(1)--=--+=--x x g'x x x e x e ． 当1≠x 时，()0 h x ax ． ()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点． （i ）当0≤a 时，()0>h x ，()h x 没有零点； （ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-． 当(0,2)∈x 时，()0 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1e =- a h 是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0>h ，即2 e 4 ②若(2)0=h ，即2 e 4 =a ，()h x 在(0,)+∞只有一个零点； ③若(2)0 e 4 >a ，由于(0)1=h ，所以()h x 在(0,2)有一个零点， 由(1)知，当0>x 时，2 e >x x ， 所以3334224 1616161 (4)11110e (e )(2)=-=->-=->a a a a a h a a a ． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点． 综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2 e 4 =a ． 28．【解析】(1)当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1x f x x x '=+- +． 设函数()()ln(1)1x g x f x x x '==+- +，则2 ()(1)x g x x '=+． 当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>． 故当1x >-时，()(0)0g x g =≥，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=． 所以()f x 在(1,)-+∞单调递增． 又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >． (2)（i ）若0a ≥，由(1)知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ++->=≥，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾． （ii ）若0a <，设函数22 ()2()ln(1)22f x x h x x x ax x ax = =+-++++． 由于当||min{x <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点． 22222222 12(2)2(12)(461) ()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++． 如果610a +>，则当6104a x a +<<- ，且||min{x <时，()0h x '>， 故0x =不是()h x 的极大值点． 如果610a +<，则22 4610a x ax a +++=存在根10x <， 故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点． 如果610a +=，则322 (24) ()(1)(612) x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>； 当(0,1)x ∈时，()0h x '<．所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点 综上，16 a =- ． 29．【解析】(1)因为2 ()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++， 所以2 ()[2(41)][(41)43]x x f x ax a e ax a x a e '=-++-+++（x ∈R ） =2 [(21)2]x ax a x e -++． (1)(1)f a e '=-． 由题设知(1)0f '=，即(1)0a e -=，解得1a =． 此时(1)30f e =≠． 所以a 的值为1． (2)由(1)得2()[(21)2](1)(2)x x f x ax a x e ax x e '=-++=--． 高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十） 一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点 （2，f （2））处的切线斜率为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ．y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2 :23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范 围为0,4π?? ???? ，则点P 的横坐标的取值范围为（ ） A ． []0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--???? D ．1,12?? ???? 5. 已知2 3 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（ ）． A ． n B ．1n - C ． (1)2 n n - D ． 1 (1)2 n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9. 已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线1 2 y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ） A. 12m ≤- B. 1 2 m >- C. 2m ≤ D. 2m > 10. 函数y=f （x ）的图象如图所示，则导函数 y=f'（x ）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 11..设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2 '()() 0xf x f x x -<恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．(－2,0)∪(2,+∞) B ． (－∞,－2)∪(0,2) C. (－∞,－2)∪(2,+∞) D． (－2,0)∪(0,2) 12.设f （x ）=cosx ﹣sinx ，把f （x ）的图象按向量=（m ，0）（m ＞0）平移后，图象恰好为函数y=﹣f′（x ）的图象，则m 的值可以为（ ） 【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件． 3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ． 导数练习题带答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 导数及其应用 一、选择题 1.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 2.已知点P(1,2)是曲线y=2x 2上一点，则P 处的瞬时变化率为 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ． 2 13.设函数()f x ＝x 3 ﹣x 2 ，则)1(f '的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．5 4.已知函数???>+<+=) 0()0(1)(x a x x a x f x ，若)(lim 0 x f x →存在，则= -)2(' f A.2ln 4 B. 45 C.2- D.2ln 4 15.设球的半径为时间t 的函数()R t 。若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速 度与球半径 A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 6.已知函数1)(2 3--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．),3[]3,(+∞--∞Y B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞Y D ．) 3,3(-7.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为43215 243 s t t t =-+，那么速度为零的时 刻是 （ ） A ．1秒末 B ．0秒 C ．4秒末 D ．0,1,4秒末 8.下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ． dx x ?+1 0)1( C ．dx ?1 01 D ．dx ?1021 9.1 1lim 10 0-+→x x x 的值是 A.不存在 B.0 C.2 D.10 高中数学第三章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版 选修1_1 学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用． 知识点一函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x) 知识点二 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值． 知识点三函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法 1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． 2．将函数y＝f(x)的________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值． 类型一数形结合思想的应用 例1 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是________． 反思与感悟解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪 个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的． (2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点． 跟踪训练1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是________．类型二构造函数求解 命题角度1 比较函数值的大小 例2 已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋<0，若a＝f()，b＝－f(－)，c＝(ln )f(ln )，则a，b，c的大小关系是________． 反思与感悟本例中根据条件构造函数g(x)＝xf(x)，通过g′(x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数． 跟踪训练2 设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．命题角度2 求解不等式 例 3 定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x) §3.4 导数的综合应用 基础知识 自主学习 要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求导数 )(' x f ； (2)在函数)(x f 的定义域内解不等式)('x f >0或)(' x f <0； (3)根据(2)的结果确定函数)(x f 的单调区间 2．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；(2)求导数 )('x f ；(3)解方程)(' x f ＝0，求 出函数定义域内的所有根；(4)列表检验)('x f 在)(' x f ＝0的根x 0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在x 0 处取极大值，如果左负右正，那么)(x f 在x 0 处取极小值． 3．求函数f (x)在闭区间[a ，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 )(x f 在闭区间[a ，b]内连续、可导； (2)求函数)(x f 在开区间(a ，b)内的极值； (3)求函数)(x f 在[a,b]端点处的函数值f (a)，f (b); (4)比较函数 )(x f 的各极值与f (a)，f (b)的大小，其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值. 4．利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问 题的数学模型，写出相应的函数关系式y ＝)(x f ； (2)求导数 )(' x f ，解方程)(' x f ＝0； (3)判断使)(' x f ＝0的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中 作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定 义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 基础自测 1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________． 2．若 )(x f ＝x 3 ＋3ax 2 ＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 __________________________． 3．若函数 )(x f ＝x ＋asin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为 4.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 旗开得胜 选修1-1第三章导数及其应用A 卷 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题（共12小题；共60分） 1 若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A 0()f x ' B 02()f x ' C 02()f x '- D 0 2 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 3 函数3 y x x 的递增区间是（ ） A ),0(+∞ B )1,(-∞ C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 4 32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于（ ） A 319 B 316 C 313 D 3 10 5 函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 6 函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A 72 B 36 C 12 D 0 7. 已知 a 函数 ()312f x x x =-的极小值点，则 ()a = A. B. C. D. 8. 函数 3223125y x x x =--+在 []0,3上的最大值，最小值分别是 ( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 函数 ()()3e x f x x =-的单调递增区间是 A. B. C. D . 10. 与直线 240x y -+=平行的抛物线 2y x =的切线方程是 ． A. 230x y -+= B. 230x y --= C. 210x y -+= D. 210x y --= 2019届高三一轮复习理科数学专题卷 专题五 导数及其应用 考点13：导数的概念及运算（1,2题） 考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是最符合题目要求的。） 1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 函数()2sin f x x =的导数是（ ） A.2sin x B.22sin x C.2cos x D.sin 2x 2．【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 已知()21cos 4 f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ） 3.【2017课标II ，理11】 考点14 易 若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 4．【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考 考点14 中难 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2e a b + +的取值范围是（ ） A.2,2e e ??++∞ ??? B.[),e +∞ C.[)2,+∞ D.[)2,e 5．【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中 考点14 难 已知函数2x y =的图象在点),(2 00x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象 相切，则0x 必满足（ ） 导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的 第三章导数及其应用单元测试 一、选择题 1. 函数()323922yxxxx=---<<有（） A. 极大值5，极小值27? B. 极大值5，极小值11? C. 极大值5，无极小值 D. 极小值27?，无极大值 2. 若'0()3fx??，则000()(3)lim h fxhfxhh?????（） A. 3? B. 6? C. 9? D. 12? 3. 曲线3()2fxxx=+-在0p处的切线平行于直线41yx=-，则0p点的坐标为（） A. (1,0) B. (2,8) C. (1,0)和(1,4)?? D. (2,8)和(1,4)?? 4. ()fx与()gx是定义在R上的两个可导函数，若()fx,()gx满足''()()fxgx?, 则 ()fx与()gx满足（） A. ()fx?()gx B. ()fx?()gx为常数函数 C. ()fx?()0gx? D. ()fx?()gx为常数函数 5. 函数xxy142??单调递增区间是（） A. ),0(?? B. )1,(?? C. ),21(?? D. ),1(?? 6. 函数xxyln?的最大值为（） A. 1?e B. e C. 2e D. 310 二、填空题 1. 函数2cosyxx??在区间[0,]2?上的最大值是. 2. 函数3()45fxxx???的图像在1x?处的切线在x轴上的截距为________________. 3. 函数32xxy??的单调增区间为，单调减区间为 ___________________. 4. 若32()(0)fxaxbxcxda?????在R增函数，则,,abc的关系式为是 . 5. 函数322(),fxxaxbxa????在1?x时有极值10，那么ba,的值分别为________. 三、解答题 1．已知曲线12??xy与31xy??在0xx?处的切线互相垂直，求0x的值. 2. 如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去 四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？ 3. 已知cbxaxxf???24)(的图象经过点(0,1)，且在1x?处的切线方程是2yx??（1）求)(xfy?的解析式；（2）求)(xfy?的单调递增区间. 4. 平面向量13(3,1),(,)22ab???，若存在不同时为0的实数k和t，使 2(3),,xat bykatb??????且xy?，试确定函数()kft?的单调区间. 导数练习题（B ） 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2 3若函数]2)('[31)(23m x f x x x g ++=在区间 （1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2 ()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ， 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围. 第1讲 导数的综合应用 [最新考纲] 1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 2．会利用导数解决某些简单的实际问题. 知 识 梳 理 1．生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 3．导数在研究方程(不等式)中的应用 研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究． 辨 析 感 悟 1．函数最值与不等式(方程)的关系 (1)(教材习题改编)对任意x >0，ax 2＋(3a －1)x ＋a ≥0恒成立的充要条件是a ∈???? ?? 15，＋∞.(√) (2)(2011·辽宁卷改编)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是(－∞，2ln 2－2]．(√) 2．关于实际应用问题 (3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定．(√) (4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(×) (5)(2014·鹰潭模拟改编)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单 位：万件)的函数关系式为y＝－1 3x 3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润 的年产量为9万件．(√) [感悟·提升] 1．两个转化 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，如(2)． 2．两点注意 一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如(3)． 二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值，如(4)；若在开区间内有极值，则一定有最优解. 考点一导数与生活中的优化问题 【例1】(2013·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元． 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝1 5r(300－4r 2)， 从而V(r)＝πr2h＝π 5(300r－4r 3)． 第三章 导数及其应用 考点1 导数的概念及计算 1．(2014·陕西，10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( ) A ．y ＝12x 3－1 2x 2－x B ．y ＝12x 3＋1 2x 2－3x C ．y ＝1 4 x 3－x D ．y ＝14x 3＋1 2 x 2－2x 1.解析 法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2，0)处的切线方程为y ＝3x －6，以此对选项进行检验．A 选项， y ＝12x 3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝3 2x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A. 法二 设该三次函数为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题设有?????f （0）＝0?d ＝0， f （2）＝0?8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′（0）＝－1?c ＝－1， f ′（2）＝3?12a ＋4b ＋c ＝3，解得a ＝12，b ＝－1 2，c ＝－1，d ＝0. 故该函数的解析式为y ＝12x 3－1 2x 2－x ，选A. 答案 A 2.(2016·新课标全国Ⅲ，16)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝-x-1 e －x ，则曲线y ＝f (x ) 在 点(1，2)处的切线方程是________. 2.解析设x>0，则－x<0，f(－x)＝e x－1＋x， 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝e x－1＋x，f′(x)＝e x－1＋1，f′(1)＝2， y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 答案y＝2x 3．(2015·新课标全国Ⅰ，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 3.解析f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2. 点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)． 将(2，7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)， 解得a＝1. 答案1 4.(2015·新课标全国Ⅱ，16)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________. 4.解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1 x，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切 线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 答案8 5.(2015·天津，11)已知函数f(x)＝a ax ln，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________． 5.解析f′(x)＝x a ln＋ax·1x＝a(ln x＋1)，由f′(1)＝3得，a(ln 1＋1)＝3，解得a＝3. 第4讲 导数的综合应用 高考定位 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 真 题 感 悟 1.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点? ???? 12，f ? ????12处的切线与y 轴垂直. (1)求b ； (2)若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，证明：f (x )所有零点的绝对值都不大于1. (1)解 f ′(x )＝3x 2＋b . 依题意得f ′? ?? ?? 12＝0，即34＋b ＝0，故b ＝－34. (2)证明 由(1)知f (x )＝x 3－34x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－34.令f ′(x )＝0，解得x ＝－12或x ＝1 2. f ′(x )与f (x )的情况为： 因为f (1)＝f ? ???? －12＝c ＋14， 所以当c <－1 4时，f (x )只有大于1的零点. 因为f (－1)＝f ? ???? 12＝c －14， 所以当c >1 4时，f (x )只有小于－1的零点. 由题设可知－14≤c ≤1 4. 当c ＝－14时，f (x )只有两个零点－1 2和1. 当c ＝14时，f (x )只有两个零点－1和12. 当－14 第三章 导数及其应用 第一节导数的概念及运算、定积分 1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ? 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ?曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线. (3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． (4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式 第3讲导数的综合应用 1.(2018·全国Ⅱ卷,理21)已知函数f(x)=e x-ax 2. (1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1; (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a. (1)证明:当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0. 设函数g(x)=(x2+1)e-x-1, 则g'(x)=-(x2-2x+1)·e-x=-(x-1)2e-x. 当x≠1时,g'(x)<0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递减. 而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0, 即f(x)≥1. (2)解:设函数h(x)=1-ax2e-x. f(x)在(0,+∞)上只有一个零点等价于h(x)在(0,+∞)上只有一个零点. (ⅰ)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点; (ⅱ)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x. 当x∈(0,2)时,h'(x)<0; 当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0. 所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. 故h(2)=1-是h(x)在(0,+∞)上的最小值. ①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)上没有零点. ②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)上只有一个零点. ③若h(2)<0,即a>, 因为h(0)=1, 所以h(x)在(0,2)上有一个零点; 由(1)知,当x>0时,e x>x2, 所以h(4a)=1-=1->1- =1->0, 故h(x)在(2,4a)上有一个零点. 因此h(x)在(0,+∞)上有两个零点. 综上,当f(x)在(0,+∞)上只有一个零点时,a=. 2.(2017·全国Ⅲ卷,理21)已知函数f(x)=x-1-aln x. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,1+1+…1+ 导数应用练习题答案 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 2 1(2)()[2,2]1f x x = -+； (3)()[0,3]f x =； 2 (4)()1 [1,1]x f x e =-- 解：2 (1)()23 [1,1.5]f x x x =--- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-， 使()410f ξξ'=-=，解出14 ξ=。 解：2 1(2)()[2,2]1f x x = -+ 该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1 (2)5 f = ，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-， 使22 2()0(1)f ξ ξξ-'= =+，解出0ξ=。 解：(3)()[0,3]f x = 该函数在给定闭区间上连续，其导数为() f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =， (3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈， 使()0 f ξ'==，解出2ξ=。 解：2 (4)()e 1 [1,1]x f x =-- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为2 ()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2 ()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。 2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 3 (1)()[0,](0)f x x a a =>； (2)()ln [1,2] f x x =； 32(3)()52 [1,0] f x x x x =-+-- 解：3 (1)()[0,](0)f x x a a =>导数及导数应用专题练习题
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