单调与奇偶
高中数学 函数的奇偶性与单调性复习
高中数学：函数的奇偶性与单调性复习一、函数奇偶性的复习函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它反映了函数在输入与输出之间的内在关系。
根据奇偶性的定义，我们可以将函数分为奇函数和偶函数。
奇函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)的函数；偶函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)的函数。
在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握奇偶性的定义，理解奇函数和偶函数的特性。
2、掌握奇偶性的判断方法，能够根据函数的图像和性质判断其奇偶性。
3、了解奇偶性在函数性质中的应用，如对称性、单调性等。
二、函数单调性的复习函数的单调性是函数变化的另一种重要性质，它描述了函数在输入增加或减少时输出的变化情况。
如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称函数在该区间上单调递增；如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称函数在该区间上单调递减。
在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握单调性的定义，理解单调递增和单调递减的含义。
2、掌握判断函数单调性的方法，能够根据函数的图像和性质判断其单调性。
3、了解单调性在函数性质中的应用，如最值、不等式等。
4、能够利用导数工具判断函数的单调性，并了解导数与单调性的关系。
三、总结函数的奇偶性和单调性是高中数学中重要的概念和性质，它们在函数的性质和应用中扮演着重要的角色。
通过复习，我们要能够深入理解奇偶性和单调性的定义和性质，掌握判断方法，并了解它们在解决实际问题中的应用。
我们还要能够利用导数工具判断函数的单调性，为后续的学习打下基础。
高中数学《函数的单调性》公开课一、教学背景分析函数的单调性是高中数学中非常重要的一部分，它不仅对于理解函数的概念有着关键性的作用，而且也是解决实际问题中常常需要用到的工具。
因此，通过对函数的单调性的学习，学生可以更好地理解函数的概念和性质，提高解决实际问题的能力。
函数的奇偶性和单调性-课件
性质
偶函数的图像关于y轴对称 。
例子
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，所以 $f(x)=x^2$是偶函数。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上单 调增。
举例
应用
在经济学、生物学等领域中，单调增 函数常用于描述随着自变量增加，因 变量也增加的情况。
$f(x) = x^2$在区间$(0, +infty)$上 单调增。
单调减函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$ 上，对于任意$x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在
通过已知的函数性质和函数关系，可以求 解未知的函数解析式。
利用奇偶性和单调性研究函数图 像
通过奇偶性和单调性，我们可以研究函数 的图像性质，如对称轴、单调区间等。
奇偶性与单调性的实际应用举例
经济领域应用
在经济学中，奇偶性和单调 性可以用于研究经济数据的 趋势和周期性变化，如GDP 、就业率等。
自然科学应用
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意$x$，都有$f(x)=-f(x)$，则称$f(x)$为 奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对 称。
例子
$f(x)=x^3$，$f(-x)=x^3=-f(x)$，所以 $f(x)=x^3$是奇函数。
偶函数
定义
第3讲函数的奇偶性与单调性
第3讲函数的奇偶性与单调性考点梳理一．奇、偶函数的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．二．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．(3)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(4)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.但f(0)＝0不能说f(x)为奇函数。
(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．考点自测1．(2012·海安中学)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x ＋b(b为常数)，则f(－1)的值是________．解析由f(0)＝0，得b＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.答案－32．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．解析由f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，即ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.又f(x)的定义域应关于原点对称，即(a－1)＋2a＝0，∴a＝13，故a＋b＝1 3.答案1 33．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．解析 f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上递增， ∴f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔|2x －1|＜13⇔13＜x ＜23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23三．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若f (x 1)＜f (x 2)，则f (x )在区间D 上是增函数； ②若f (x 1)＞f (x 2)，则f (x )在区间D 上是减函数． (2)单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．四. 函数单调性的四种判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：（复合函数中）同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．（高二内容） (4)图象法：利用图象研究函数的单调性．考点自测1．(2013·南京鼓楼模拟)函数f (x )＝1＋x －1－x 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm ＝________.解析 由⎩⎨⎧1＋x ≥0，1－x ≥0得－1≤x ≤1.因为f (x )在[－1,1]上是单调增函数，所以M＝f (1)＝2，m ＝f (－1)＝－2，所以Mm ＝－1. 答案 －12．(2012·连云港模拟)已知函数f (x )＝x －kx (k >0，x >0)，则f (x 2＋1)与f (x )的大小关系是________．解析 因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且x 2＋1≥2x >x (x >0)，所以f (x 2＋1)>f (x )． 答案 f (x 2＋1)>f (x )3．(2013·济南外国语学校检测)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析 f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0＜a ≤1. 答案 (0,1]考向一 函数单调性的判断【例1】 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 审题视点 可利用定义或导数法讨论函数的单调性． 解 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递增．[方法总结] 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．【训练1】 已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)证明 任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )， ∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.考向二 函数单调性的应用【例2】 (2013·鞍山模拟)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b >0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x ＜－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立． 下面来求m 的取值范围． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0， ∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.[方法总结] 函数单调性的应用，主要有两个方面，即应用单调性求字母取值范围，二是应用单调性比较数值大小或解函数不等式．【训练2】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，x ≥0，2x －x 2，x <0，若f (1－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝2－axa －1(a ≠1)是区间(0,1]上的减函数，则实数a 的取值范围为________．解析 (1)画图象或求导，可知函数f (x )是R 上的增函数，于是由f (1－a 2)>f (a )，得1－a 2>a ，即a 2＋a －1<0，解得－1－52<a <－1＋52. (2)由题意，当x ＝1时，2－ax ＝2－a ≥0，所以a ≤2且a ≠1，a ≠0. 若a <0，则2－ax 是增函数，要使f (x )是区间(0,1]上的减函数，必有a －1<0，即a <1.所以a <0.若a >0，则2－ax 是减函数，要使f (x )是区间(0,1]上的减函数，必有a －1>0，即a >1.所以1<a ≤2.综上，得a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,2]． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－52，－1＋52 (2)(－∞，0)∪(1,2]高考经典题组训练1．(2012·陕西卷改编)下列函数：①y ＝x ＋1；②y ＝－x 3；③y ＝1x ；④y ＝x |x |，其中既是奇函数又是增函数的序号是________．解析 y ＝－x 3；y ＝1x ，y ＝x |x |是奇函数，仅y ＝x |x |是增函数． 答案 ④3．(2012·上海卷)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析 因为y ＝e x 是增函数，所以由题意，y ＝|x －a |在区间[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1. 答案 (－∞，1]4．(2010·天津卷改编)设f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x－1)＋4f (m )恒成立，求实数m 的取值范围．解 由题意，得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．因为y ＝－3x 2－2x ＋1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，所以当x ＝32时，y min ＝－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2013·南京金陵中学检测)下列函数中：①f (x )＝1x ；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x ；满足“对任意x 1x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的函数序号是________．解析 由题意，即判断哪些函数是(0，＋∞)内的减函数．仅f (x )＝1x 符合题意． 答案 ①2．下列函数中：①y ＝－x ＋1；②y ＝x ；③y ＝x 2－4x ＋5；④y ＝2x ，在区间(0,2)上为增函数的是________(填所有正确的编号)．解析 y ＝－x ＋1在R 上递减；y ＝x 在R ＋上递增；y ＝x 2－4x ＋5在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，y ＝2x 在R ＋上递减． 答案 ②3．(2012·镇江调研)若函数f (x )＝x 2＋(a 2－4a ＋1)x ＋2在区间(－∞，1]上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析 因为f (x )是二次函数且开口向上， 所以要使f (x )在(－∞，1]上是单调递减函数，则必有－a 2－4a ＋12≥1，即a 2－4a ＋3≤0，解得1≤a ≤3.答案 [1,3]4．(2011·新课标全国卷)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝ 2－|x |.既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________．解析 y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2－|x |在(0，＋∞)上是减函数． 答案 ②5．已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，则不等式f (1－x )＋f (1－x 2)＜0的解集为________． 解析 由f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， 及f (1－x )＋f (1－x 2)＜0， 得f (1－x )＜－f (1－x 2)， 所以f (1－x )＜f (x 2－1)．又因为f (x )在(－1,1)上是减函数， 所以⎩⎨⎧－1＜1－x ＜1，－1＜1－x 2＜1，解得0＜x ＜1.1－x ＞x 2－1.故原不等式的解集为(0,1)． 答案 (0,1)6．(2012·南师附中检测)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，y ＝f (x )是减函数，若|x 1|＜|x 2|，则结论：①f (x 1)－f (x 2)＜0；②f (x 1)－f (x 2)＞0；③f (x 1)＋f (x 2)＜0；④f (x 1)＋f (x 2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)． 解析 由题意，得f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x 1)＝f (|x 1|)，f (x 2)＝f (|x 2|)，从而由0≤|x 1|＜|x 2|，得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x 1)－f (x 2)＜0，只能①是正确的． 答案 ①二、解答题(每小题15分，共30分) 7．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．(1)证明 法一 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x 2)>f (x 1)，因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 法二 因为f (x )＝1a －1x ， 所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x ′＝1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)解 因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，故a ＝25.8．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数．(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明法一因为函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又由x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．法二设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又由x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在R上为减函数．(2)解因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.所以f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.。
函数的单调性和奇偶性 例题和练习 高中数学 高考
函数的单调性和奇偶性经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1＞0则∵x1＞0，x2＞0，∴∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0∴上递减.总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比较两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1∵0＜x1x2＜1故，即f(x1)-f(x2)＞0∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x＞0则-x＜0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x＜0，则-x＞0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x＞0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9. 设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a 的取值范围.解：∵f(a-1)＜f(a) ∴f(|a-1|)＜f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a＜-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1·x2＞0(1)当时0＜x1·x2＜1，∴x1·x2-1＜0∴f(x1)-f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2-1的符号的确定，如何分段.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x＜a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.学习成果测评基础达标一、选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数.7．下列函数中，在区间上是增函数的是( )A．B．C．D．8．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(-3)-f(2)＜0C. f(-2)+f(-5)＜0D. f(4)-f(-1)＞0二、填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．函数的值域是____________.3．已知，则函数的值域是____________.4．若函数是偶函数，则的递减区间是____________.5．函数在R上为奇函数，且，则当，____________.三、解答题1．判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性.2．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.3．利用函数的单调性求函数的值域；4．已知函数.①当时，求函数的最大值和最小值；②求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.能力提升一、选择题1．下列判断正确的是( )A．函数是奇函数B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数2．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( )A．B．C．D．3．函数的值域为( )A．B．C．D．4．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．5．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3)的递增区间为；(4) 和表示相等函数.其中正确命题的个数是( )A．B．C．D．6．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( )A．B．C．D．二、填空题1．函数的单调递减区间是____________________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________.4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.三、解答题1．判断下列函数的奇偶性(1)(2)2．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.3．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式.4．设为实数，函数，.(1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值.综合探究1．已知函数，，则的奇偶性依次为( )A．偶函数，奇函数B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数D．奇函数，奇函数2．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．3．已知，那么＝_____.4．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.5．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式.6．当时，求函数的最小值.7．已知在区间内有一最大值，求的值.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值.答案与解析基础达标一、选择题1.C.2.B.3.B. 奇次项系数为4.D.5.A. 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性6.A.7.A. 在上递减，在上递减，在上递减8.D.二、填空题1.. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象2.. 是的增函数，当时，3.. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大4..5..三、解答题1．解：当，在是增函数，当，在是减函数；当，在是减函数，当，在是增函数；当，在是减函数，在是增函数，当，在是增函数，在是减函数.2．解：，则，3．解：，显然是的增函数，，4．解：对称轴∴(2)对称轴当或时，在上单调∴或.能力提升一、选择题1.C. 选项A中的而有意义，非关于原点对称，选项B中的而有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；2.C. 对称轴，则，或，得，或3.B. ，是的减函数，当4.A. 对称轴5.A. (1)反例；(2)不一定，开口向下也可；(3)画出图象可知，递增区间有和；(4)对应法则不同6.A.二、填空题1．. 画出图象2. . 设，则，，∵∴，3. .∵∴即4. . 在区间上也为递增函数，即5. . .三、解答题1．解：(1)定义域为，则，∵∴为奇函数.(2)∵且∴既是奇函数又是偶函数.2．证明：(1)设，则，而∴∴函数是上的减函数;(2)由得即，而∴，即函数是奇函数.3．解：∵是偶函数，是奇函数，∴，且而，得，即，∴，.4．解：(1)当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；(2)当时，当时，，当时，不存在；当时，当时，，当时，.综合探究1.D. ，画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，，则当时，，则2.C. ，3.. ，4.. 设则，而，则5.解：(1)令，则(2)，则.6.解：对称轴当，即时，是的递增区间，；当，即时，是的递减区间，；当，即时，.7．解：对称轴，当即时，是的递减区间，则，得或，而，即；当即时，是的递增区间，则，得或，而，即不存在；当即时，则，即；∴或. 8．解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且即，而，即∴.。
函数的单调性与奇偶性
函数的单调性考点解析及例题讲解1．课件展示下列函数图象2增函数：在给定的区间上自变量增大(减少)时，函数值也随着增大(减少)． 减函数：在给定的区间上自变量增大(减少)时，函数值也随着减少(增大)．3．例1给出函数 y ＝f (x )的图象，如图所示，根据图象指出这个函数在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？解 函数 y ＝f (x )在区间[－1，0]，[2，3]上是减函数；在区间[0，1]，[3，4]上是增函数．4．练习1(1) 观察教材P64 例1的函数图象，说出函数在(－∞，＋∞)上是增函数还是减函数；(2) 观察教材P65 例2的函数图象，分别说出函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数还是减函数．5．设 y ＝f (x )，在给定的区间上，它的图象如图．x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，记∆x ＝x 2－x 1，∆y ＝y 2－y 1．6．例2 证明函数 f (x )＝3 x ＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 证明 设x 1，x 2是任意两个不相等的实数，则∆ x ＝x 2－x 1∆ y ＝f (x 2)－f (x 1)＝(3 x 2＋2)－(3 x 1＋2)＝3(x 2－x 1)，∆y ∆x ＝3(x 2－x 1)x 2－x 1＞0． 因此，函数 f (x )＝3 x ＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数．7．总结由函数的解析式判定函数单调性的步骤：S1 计算 ∆x 和 ∆y ；S2 计算 k ＝∆y ∆x． 当 k ＞0时，函数在这个区间上是增函数；当 k ＜0时，函数在这个区间上是减函数．8．例3 证明函数 f (x )＝1x 在区间(0，＋∞)上是减函数．证明：设x 1，x 2是任意两个不相等的正实数．因为 ∆x ＝x 2－x 1，∆y ＝f (x 2)－f (x 1)＝1x 2 －1x 1＝2121x x x x - ＝－2112x x x x -＝－21x x x ∆． 又因为 x 1 x 2＞0，所以 ∆y ∆x ＝－211x x ＜0． 因此，函数 f (x )＝x 1在区间(0，＋∞)上是减函数．基础训练1.下列函数是偶函数的是（ ）(A)[]1,0,2∈=x x y (B)x y =(C)322-=x y (D)21-=x y2.已知函数()24x xx f -=则它（ ）(A)既是奇函数又是偶函数 (B)是奇函数(C)是非奇非偶函数 (D)是偶函数3.函数()6,,48a x x x y ∈+=是偶函数，则a 的取值范围是（ ）(A) a=0 (B) a<-6 (C) a>-6 (D) a=-64. 已知函数y= f(x)是定义在[m-1，2m]上的奇函数，则m=5.f(a)为奇函数，且f(-3)=2，则f(3)=6.f(x)为R 上的偶函数，且f(a)=25， 则f(-a)H7.若函数f(x)=ax'+bx,且f(a)=25，则f(-a)=8.若函数f(x)=ax 3+bx-7,且f(13)=25,则f(-13)=9.用定义证明函数f(x)=3x+1在区间(-∞，+∞) 上是增函数.10.用定义证明函数f(x)=x2号在区间(0, +∞)上是减函数.函数的奇偶性考点解析及例题讲解一、奇函数1. 定义．如果对于函数 y ＝f (x )的定义域A 内的任意一个x 都有f (－x )＝－f (x )，则这个函数叫做奇函数．2. 图象特征．课件展示函数f (x )＝2 x 和 g (x )＝14 x 3的图象，动画展示对称性．奇函数的图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．一个函数是奇函数的充要条件是，它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．例1 判断下列函数是不是奇函数：(1) f (x )＝1x ； (2) f (x )＝－x 3；(3) f (x )＝x ＋1；(4) f (x )＝x ＋x 3＋x 5＋x 7．解 (1) 函数 f (x )＝1x 的定义域A ＝{x | x ≠ 0}，所以当 x ∈ A 时，－x ∈ A ．因为 f (－x )＝1－x＝－1x ＝－f (x )，所以函数 f (x )＝1x 是奇函数． (2) 函数 f (x )＝－x 3 的定义域为 R ，所以当 x ∈ R 时，－x ∈ R ．因为 f (－x )＝－(－x )3＝x 3＝－f (x )， 所以函数 f (x )＝－x 3 是奇函数．(3) 函数 f (x )＝x ＋1的定义域为R ，所以当x ∈ R 时，－x ∈ R ．因为 f (－x )＝－x ＋1－f (x )＝－(x ＋1)＝－x －1，所以 f (－x )≠－f (x )．所以函数 f (x )＝x ＋1不是奇函数．(x )) (-x ，f(4) 函数 f (x )＝x ＋x 3＋x 5＋x 7的定义域为R ，所以当x ∈ R 时，－x ∈ R ． 因为 f (－x )＝－x －x 3－x 5－x 7＝－(x ＋x 3＋x 5＋x 7) ＝－f (x )．所以函数f (x )＝x ＋x 3＋x 5＋x 7是奇函数．练习1 教材 P 73，练习A 组 第1题．二、偶函数1. 定义．如果对于函数 y ＝f (x )的定义域A 内的任意一个x 都有f (－x )＝f (x )，则这个函数叫做偶函数．2. 图象特征．偶函数的图象都是以y 轴为对称轴的轴对称图形．一个函数是偶函数的充要条件是，它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形． 例2 判断下列函数是不是偶函数：(1) f (x )＝x 2＋x 4；(2) f (x )＝x 2＋1；(3) f (x )＝x 2＋x 3；(4) f (x )＝x 2＋1，x ∈[－1，3].解(2) 函数 f (x )＝x 2＋1的定义域为R ，所以当 x ∈ R 时，－x ∈ R ． 因为 f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，所以函数 f (x )＝x 2＋1是偶函数．(4) 因为2∈[－1，3]，－2∉[－1，3]，所以函数 f (x )＝x 2＋1，x ∈[－1，3]不是偶函数．3. 对定义域的要求一个函数为奇函数或者偶函数的前提条件是这个函数的定义域关于原点对称．综合训练1.下列命题中，正确的是（ ）(A)偶函数的图象一定与y 轴相交(B)奇函数的图象一定经过原点(C)偶函数的图象关于y 轴对称 (x )) (-x。
数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用
数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用数学复习：函数的奇偶性与单调性的判定与应用一、引言在数学中，函数是一种重要的概念，用于描述数值之间的关系。
函数的奇偶性与单调性是研究函数特性的重要方面。
本文将对函数的奇偶性与单调性的判定方法和应用进行复习和总结。
二、函数的奇偶性的判定与应用1. 奇函数与偶函数的定义奇函数指满足f(-x)=-f(x)的函数，即关于原点对称；偶函数指满足f(-x)=f(x)的函数，即关于y轴对称。
2. 函数奇偶性的判定方法（1）对于已知函数 f(x)，可根据奇函数和偶函数的定义，通过验证f(-x)与f(x)的关系，来判定函数的奇偶性。
（2）特殊情况下，例如幂函数、正弦函数等具有明显的对称特点的函数，可以直接判断其奇偶性。
3. 奇偶函数的性质（1）奇函数与奇函数相加、相减仍为奇函数。
（2）偶函数与偶函数相加、相减仍为偶函数。
（3）奇函数与偶函数相乘为奇函数。
4. 奇偶函数的应用（1）对称轴：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
根据奇偶函数的性质，可以确定图像的对称轴位置。
（2）函数的简化：奇函数与偶函数的特殊性质，可用于简化复杂的函数表达式。
（3）函数的积分：在某些情况下，奇函数在对称区间上的积分为0，而偶函数在关于y轴对称的区间上的积分具有简化求解的特点。
三、函数的单调性的判定与应用1. 单调递增与单调递减的定义（1）单调递增指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)<=f(x2)，当x1<x2时。
（2）单调递减指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)>=f(x2)，当x1<x2时。
2. 函数单调性的判定方法（1）求导：对于已知函数 f(x)，求其导函数 f'(x)。
若在定义域上f'(x)>=0，则函数在该区间上单调递增；若 f'(x)<=0，则函数在该区间上单调递减。
（2）二阶导数：当一阶导数无法确定函数的单调性时，可求二阶导数，通过二阶导数的正负来判定函数的单调性。
奇偶性与单调性 基础知识讲解
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.
●难点磁场
(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.
命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属
★★★★题目.
知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.
错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.
●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.●歼灭难点训练一、选择1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )
3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是
_________.4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2), 且在［x2,+∞）上单调递增，则b的取值范围是_________.三、解答题
参考答案。
奇偶性与单调性及典型例题
奇偶性与单调性及典型例题函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考察内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场(★★★★)设a>0(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数.案例探究［例1］函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)(y)(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：此题对思维能力要求较高，如果"赋值"不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.证明：(1)由f(x)(y)(),令0,得f(0)=0,令－x,得f(x)(－x)()(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,那么f(x2)－f(x1)(x2)－f(－x1)()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a21)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数()的单调递减区间.★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：此题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过此题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x1<x2,那么－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)(x2)(－x1)(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.由f(2a21)<f(3a2－2a+1)得：2a21>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a－)2－.∴函数()的单调减区间是［，+∞］结合0<a<3,得函数()的单调递减区间为［，3).锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性假设为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.假设为抽象函数，在依托定义的根底上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的"磁场"及"训练"认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握根本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决根本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)以下函数中的奇函数是( )(x)=(x－1) (x)=(x)= (x)=2.(★★★★★)函数f(x)=的图象( )二、填空题3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，那么(1|)的一个单调递减区间是.4.(★★★★★)假设函数f(x)32满足f(0)(x1)(x2)=0 (0<x1<x2),且在［x2∞上单调递增，那么b的取值范围是.三、解答题5.(★★★★)函数f(x) (a>1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=；()存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.(★★★★★)函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f()(m)(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)(－x),即.整理，得(a －)(－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴1(2)证法一：设0＜x1＜x2,那么f(x1)－f(x2)=由x1>02>02>x1,∴>0,1－e＜0,∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)∴f(x)在(0∞)上是增函数证法二：由f(x)－x，得f′(x)－e－－x·(e2x－1).当x ∈(0∞)时，e－x>02x－1>0.此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.歼灭难点训练一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C2.解析：f(－x)=－f(x)(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C二、3.解析：令1|,那么t在(－∞,－1上递减，又(x)在R 上单调递增，∴(1|)在(－∞,－1上递减.答案：(－∞,－14.解析：∵f(0)(x1)(x2)=0,∴f(0)0(x)(x－x1)(x－x2)3－a(x12)x21x2x，∴－a(x12),又f(x)在［x2∞单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x12>0,∴－a(x12)＜0.答案：(－∞,0〕三、5.证明：(1〕设－1＜x1＜x2＜+∞,那么x2－x1>0, >1且>0,∴>0,又x1+1>02+1>0∴>0,于是f(x2)－f(x1) >0∴f(x)在(－1，+∞〕上为递增函数.(2〕证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,那么且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,假设－1＜x0＜0,那么＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，假设x0＜－1,那么>0, >0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.证明：∵x≠0,∴f(x)=,设1＜x1＜x2＜+∞,那么.∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞〕上是减函数.(此题也可用求导方法解决〕7.证明：(1〕不妨令1－x2,那么f(－x)(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2〕要证f(4a)(x),可先计算f()(2a).∵f()［x－(－a)］=.∴f(4a)［(2a)+2a］(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.(1〕证明：设x1＜x2,那么x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)［(x2－x1)1］－f(x1)(x2－x1)(x1)－1－f(x1)(x2－x1)－1(x2－x1)(－)－1［(x2－x1)－］>0, ∴f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=21.验证过程略.难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握根本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［2(x2+54)］≥0.●案例探究［例1］奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)(x2－3)<0,设不等式解集为A，∪{1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：此题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的"f"号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去"f"号，转化为不等式，利用数形结合进展集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0<x<,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即{2<x<},∴∪{1≤x≤}={1≤x<},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)(1)=－4.［例2］奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(2θ－3)(4m－2θ)>f(0)对所有θ∈［0,］都成立？假设存在，求出符合条件的所有实数m的范围，假设不存在，说明理由.命题意图：此题属于探索性问题，主要考察考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(2θ－3)>f(2θ－4m),即2θ－3>2θ－4m,即2θ－θ+2m－2>0.设θ,那么问题等价地转化为函数g(t)2－2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>04－2<m<4+2,∴4－2<m≤2.当>1,即m>2时，g(1)－1>0m>1.∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为根本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(－∞∞)上的奇函数，f(2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x),那么f(7.5)等于( )A.0.52.(★★★★)定义域为(－1，1)的奇函数(x)又是减函数，且f(a－3)(9－a2)<0,那么a的取值范围是( )A.(2，3)B.(3，)C.(2，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)假设f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,那么(x)<0的解集为.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(2)=－f(x),试比拟f()()(1)的大小关系.三、解答题5.(★★★★★)f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈,解不等式f－1(x)>.7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－)≤f(－2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)函数(x)= (∈>0>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，假设存在，求出点的坐标；假设不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［2(x2+54)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0〕上为减函数且f(－2)(2)=0∴不等式可化为2(x2+54)≥2①或2(x2+54)≤－2②由①得x2+54≥4∴x≤－5或x≥0③由②得0＜x2+54≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}歼灭难点训练一、 1.解析：f(7.5)(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)(3.5)(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1〕上的奇函数又是减函数，且f(a－3)(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0〕∪(0，3〕4.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f()=－f(－)()=－f(－)(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－>－>－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1)三、5.解：函数f(x)在(－∞,0〕上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)(x1)(－x2)(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1〕1.(2)f(x)= (x∈R)f－-1(x)2 (－1＜x＜1.(3)由2>22(1－x)＜2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{1－k＜x＜1;当k≥2时，不等式解集为{－1＜x＜1.7.解：，对x∈R恒成立,∴m∈［,3］∪{}.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即∴0,∵a>0>0>0,∴f(x)=≥2，当且仅当时等号成立，于是2=2,∴2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－52＜0,解得＜b＜2，又b ∈N,∴1,∴1,∴f(x).(2)设存在一点(x00)在(x)的图象上，并且关于(1，0〕的对称点(2－x0,－y0)也在(x)图象上，那么消去y0得x02－2x0－1=00=1±.∴(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称.函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握根本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［2(x2+54)］≥0.●案例探究［例1］奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)(x2－3)<0,设不等式解集为A，∪{1≤x≤ },求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：此题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f〞号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f〞号，转化为不等式，利用数形结合进展集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0<x< ,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x< ,即{2<x< },∴∪{1≤x≤ }={1≤x< },又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－ )2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)(1)=－4.［例2］奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(2θ－3)(4m－2θ)>f(0)对所有θ∈［0, ］都成立？假设存在，求出符合条件的所有实数m的范围，假设不存在，说明理由.命题意图：此题属于探索性问题，主要考察考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(2θ－3)>f(2θ－4m),即2θ－3>2θ－4m,即2θ－θ+2m－2>0.设θ,那么问题等价地转化为函数g(t)2－2m－2=(t－ )2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当 <0,即m<0时，g(0)=2m－2>0 m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－ +2m－2>04－2 <m<4+2 ,∴4－2 <m≤2.当 >1,即m>2时，g(1)－1>0 m>1.∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2 .●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为根本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(－∞∞)上的奇函数，f(2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x),那么f(7.5)等于( )A.0.5B.－0.52.(★★★★)定义域为(－1，1)的奇函数(x)又是减函数，且f(a－3)(9－a2)<0,那么a的取值范围是( )A.(2 ，3)B.(3， )C.(2 ，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)假设f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,那么(x)<0的解集为.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(2)=－f(x),试比拟f( )( )(1)的大小关系.三、解答题5.(★★★★★)f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈,解不等式f－1(x)> .7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－)≤f( － 2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)函数(x)= (∈>0>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)< .(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，假设存在，求出点的坐标；假设不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［2(x2+54)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0〕上为减函数且f(－2)(2)=0∴不等式可化为2(x2+54)≥2①或2(x2+54)≤－2 ②由①得x2+54≥4∴x≤－5或x≥0③由②得0＜x2+54≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}歼灭难点训练一、 1.解析：f(7.5)(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)(3.5)(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1〕上的奇函数又是减函数，且f(a－3)(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2 ,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0〕∪(0，3〕4.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f( )=－f(－ )( )=－f(－ )(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－ >－ >－1.∴f(－ )>f(－ )>f(－1),∴f( )＜f( )＜f(1).答案：f( )＜f( )＜f(1)三、5.解：函数f(x)在(－∞,0〕上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)(x1)(－x2)(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1〕1.(2)f(x)= (x∈R) f－-1(x)2 (－1＜x＜1 .(3)由2 >2 2(1－x)＜2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{1－k＜x＜1 ;当k≥2时，不等式解集为{－1＜x＜1 .7.解：，对x∈R恒成立,∴m∈［ ,3］∪{ }.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即∴0,∵a>0>0>0,∴f(x)= ≥2 ，当且仅当时等号成立，于是2 =2,∴2,由f(1)＜得＜即＜ ,∴2b2－52＜0,解得＜b＜2，又b ∈N,∴1,∴1,∴f(x) .(2)设存在一点(x00)在(x)的图象上，并且关于(1，0〕的对称点(2－x0,－y0)也在(x)图象上，那么消去y0得x02－2x0－1=00=1± .∴(x)图象上存在两点(1+ ,2 ),(1－ ,－2 )关于(1，0)对称.。
函数的奇偶性和单调性-课件
本课件将介绍函数的性质、特点以及例子。包括奇函数和偶函数，单调递增 和单调递减函数。帮助你更好的理解函数的特性和应用。
函数的性质
定义
函数是一种映射方式，将自变 量映射到因变量。函数图像为 曲线或线段。
奇偶性
奇函数满足f(-x)=-f(x)，图像关 于坐标原点对称，如y=x^3。 偶函数满足f(-x)=f(x)，图像关 于y轴对称，如y=x^2。
单调性
单调递增函数满足f(x1)<f(x2)， 若x1 < x2，图像从左往右逐渐 升高；单调递减函数满足 f(x1)>f(x2)，若x1 < x2，图像 从左往右逐渐降低。
奇函数和偶函数
奇函数特点
1. 奇函数关于原点对称；2. 若f(x)存在，则 f(0)=0。
奇函数例子
y=x^3, sin(x), tan(x)
1.导数小于0；2.f'(x)单调递减；3.图
单调递减函数例子
4
像从左往右逐渐降低。
y=-x, 1/x, e^(-x)
总结
通过理解函数的奇偶性和单调性，可以更好地推导和证明一些数学公式的性质。同时，这也是理解和应 用微积分、线性代数等高级数学知识的基础。
举例说明
例一：cos函数
cos函数是一种偶函数，其图 像在[0,π]区间上单调递减，在 [π,2π]区间上单调递增。
函数的最大值和最小值计算可以应用在寻 找最优解的问题中，如代价函数的最小值。
3 质点运动规律4 信源自处理函数可以描述质点的运动规律，如位移、 速度、加速度等。
函数可用于处理信号，如声音、图像、视 频等的编码、解码和压缩等。
例二：指数函数
例三：sin函数
函数奇偶性与单调性的关系(老黄学高数第39讲)
第39讲 函数的奇偶性 与单调性的关系
设f为[-a,a]上的奇(偶)函数，证明：
(1)若f在[0,a]上增，则在[-a,0]上增(减)；
(2)若f在[0,a]上减，则在[-a,0]上减(增).
证：设x1,x2∈[0,a]，且x1<x2. 则 -x1,-x2∈[-a,0]，且-x1>-x2. (1)∵f在[0,a]上增，∴f(x1)≤f(x2)；∴-f(x1)≥-f(x2). 当f为[-a,a]上的奇函数时，f(-x1)=-f(x1)，f(-x2)=-f(x2)， ∴f(-x1)≥f(-x2)；∴f在[-a,0]上增； 当f为[-a,a]上的偶函数时，f(-x1)=f(x1)，f(-x2)=f(x2)， ∴f(-x1)≤f(-x2)；∴f在[-a,0]上减.
如图：
y
O
x
因为奇函数的图象关于原点对称， 所以奇函数在定义域可能具有单调性.
如图：
yБайду номын сангаас
O
x
因为偶函数的图象关于y轴对称， 所以偶函数在定义域内不具有单调性. 但是左右两边可能具有相反的单调性.
设f为[-a,a]上的奇(偶)函数，证明：
(1)若f在[0,a]上增，则在[-a,0]上增(减)；
(2)若f在[0,a]上减，则在[-a,0]上减(增).
证：设x1,x2∈[0,a]，且x1<x2. 则 -x1,-x2∈[-a,0]，且-x1>-x2. (2)∵f在[0,a]上减，∴f(x1)≥f(x2)；∴-f(x1)≤-f(x2). 当f为[-a,a]上的奇函数时，f(-x1)=-f(x1)，f(-x2)=-f(x2)， ∴f(-x1)≤f(-x2)；∴f在[-a,0]上减； 当f为[-a,a]上的偶函数时，f(-x1)=f(x1)，f(-x2)=f(x2)， ∴f(-x1)≥f(-x2)；∴f在[-a,0]上增.
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1、下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是( )
()Bln(2)yx ()B1yx ()C
()xy
()D
yxx
2、下列函数为偶函数的是( )
()Asinyx ()B3yx ()Cxye ()D
lnyx
3.则下列结论恒成立的是上的偶函数和奇函数，分别是和设函数Rxgxf)()(
A． 是偶函数)()(xgxf B． 是奇函数)()(xgxf
C． 是偶函数)()(xgxf D． 是奇函数)()(xgxf
4.若函数()33xxfx与()33xxgx的定义域均为R，则
A．()fx与()gx均为偶函数 B. ()fx为偶函数，()gx为奇函数
C．()fx与()gx均为奇函数 D. ()fx为奇函数，()gx为偶函数
5. 函数21log1xyx的图像 （ ）
A． 关于原点对称 B. 关于主线yx对称
C. 关于y轴对称 D. 关于直线yx对称
6. 下列函数中，既是偶函数又在0,上单调递增的是（ ）
A. 3yx B. cosyx C.xytan D. lnyx
7、设函数,0(),(),0xxfxgxx若f（x）为奇函数，则g（－4）的值是
A、－2 B、－12 C、－14 D、2
8.已知函数1xxf(x)ee(e是自然对数的底数)，若2f(a)，则f(a)的值为
A．3 B．2 C．1 D．0
9．下列函数，其中既是偶函数又在区间0,1（）上单调递减的函数为( )
A．xy1 B．xylg C．xycos D．2xy
10．已知()fx是定义在(0,)上的单调递增函数，且满足(32)(1)fxf，则实数x的
取值范围是
A. (,1) B. 2,13 C.2,3 D. (1,)
答案:A D A D A D A D C B