山东省自学考试强化复变函数与积分变换实践习题及答案
复变函数积分变换复习卷及答案
复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。
2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。
3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。
10125212131i i i i i +-=+-=-。
4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。
5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。
6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。
7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。
8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。
1224(4)2i i -==±。
9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。
11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。
1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。
二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。
（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。
复变函数与积分变换第五版习题解答
复变函数与积分变换第五版答案目录练 习 一...............................1 练 习 二...............................3 练 习 三...............................5 练 习 四...............................8 练 习 五..............................13 练 习 六..............................16 练 习 七..............................18 练 习 八..............................21 练 习 九 (24)练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i iii 524321----； 解：i i i i 524321---- =i 2582516+ zk k Argz z z z ∈+====π221arctan2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31-解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12解：i i+12)4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i2332++- 解：i i 2332++-2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
《复变函数与积分变换》习题册
《复变函数与积分变换》习题册合肥工业大学《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助2018年9月《复变函数与积分变换》第一章习题1.求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:（1）122345i i i i +---； （2）312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 将下列复数写成三角表达式和指数形式:（1）1； （2）21i i+.3. 利用复数的三角表示计算下列各式:（1； （2）103⎛⎫4. 解方程310z +=.5. 设12cos z zθ-+=（0,z θ≠是z 的辐角），求证：2cos n n z z n θ-+=.6.指出满足下列各式的点z 的轨迹或所在范围.（1）arg()4z i π-=；（2）0zz az az b +++=，其中a 为复数，b 为实常数. （选做）7.用复参数方程表示曲线：连接1i +与i 41--的直线段.8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？并标出区域边界的方向.(1) 11,Re 2z z <≤；(2) 0Re 1z <<；9.函数z w 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎么样的曲线？ （1）224x y +=； （2）x y =； （3）1=x .10.试证：0Re limz z z→不存在.《复变函数与积分变换》第二章习题1.用导数定义求z z f Re )(=的导数.2.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？（1）z z f 1)(=； （2））32233(3)(y y x i xy x z f -+-=；3.试讨论y ix xy z f 22)(+=的解析性，并由此回答：若复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=中的),(y x u 和),(y x v 均可微，那么iv u z f +=)(一定可导吗？4.设3232()(f z my nx y i x lxy =+++）为解析函数，试确定,,l m n 的值.5.设()f z 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的：（1）()f z =常数； （2）Re ()f z =常数； （3）()f z 解析.6.试解下列方程：（1）1ze =+； （2）0cos =z ； （3）0cos sin =+z z .7.求下列各式的值：（1）Ln(34)i -+； （2）i -33； （3）i e +2.8.等式33Ln 3Ln z z =是否正确？请给出理由.《复变函数与积分变换》第三章习题3.1复积分的概念与基本计算公式1. 计算积分dz ix y x C )(2⎰+-，其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2．计算积分dz z zC ⎰的值，其中C 为2=z3.当积分路径是自i -沿虚轴到i ，利用积分性质证明：2)(22≤+⎰-dz iy x i i3.2柯西古萨基本定理1.计算积分dz z C ⎰1,其中C 为2=z2. 计算积分dz z e z C z)sin (⎰⋅-,其中C 为a z =.3.3基本定理的推广1. 计算积分dz z e Cz⎰,其中C 为正向圆周2=z 与负向圆周1=z 所组成。
复变函数与积分变换试题及答案9
∂u ∂v =x= ∂x ∂y
∴ u = xy + g ( x )
∂v ∂u =y= ∂y ∂x
∴ u = xy + c （3 分）
∴ u = xy + g ′( x )
∵ f (0) = u (0,0) + iv (0,0) = c = 0 ∴ f ( z ) = (−
（2 分）
x2 1 2 i + y )i + xy = − z 2 2 2 2
v = 3x 2 y − y 3
∂u ∂u ∂u ∂u = 3x 2 − 3 y 2 = ， = −6 xy = − 且四个偏导连续 ∂x ∂y ∂y ∂x
∴f(z)在整个复平面上解析 ∴ f ′( z ) = 3x − 3 y + i 6 xy = 3 z
2 2
2
(4 分) （3 分）
2．解：∵ −
原式（4 分）= 2πi
∑ Re s ⎢ z ( z − i)
k =1
2
⎡ ⎣
1
3
⎤ , zk ⎥ ⎦
z1 = 0, z 2 = i
（3 分）= 2πi⎜ +
⎛1 ⎝i
1 2⎞ ⋅ ⎟ =0 2! i 3 ⎠
7
4．解：∵
1 1 1 = = z i + z −i z −i
1 1+ i z −i
=
1 ∞ 1 (−i) n ∑ z − i m=0 ( z − i) n
4．解： s 3 F ( s ) + 3s 2 F ( s ) + F ( s ) =
1 s
（4 分）
F (S ) =
1 1 1 1 = = ⋅ 2 3 s( s + 3s + 3s + 1) s ( s + 1) s ( s + 1) 3
复变函数与积分变换第五版习题解答
1复变函数与积分变换第五版答案目录练习一...............................1 练习二...............................3 练习三...............................5 练习四...............................8 练习五..............................13 练习六..............................16 练习七..............................18 练习八..............................21 练习九 (24)练习一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i i i i524321----；解：i ii i 524321----=i 2582516+zk k Argz z z z Î+====p221arctan 2558258Im 2516Re （2）3)231(i +解：3)231(i +zk k Argz z z z e i i Î+===-=-==+=p p ppp210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i31-解：i31-)35sin 35(cos2p p i +=（2）i i +12解：i i+12 )4sin 4(cos21ppi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i 2332++- 解：i i2332++- 2sin 2cos pp i i +==（2）422i +-解：422i+-41)]43sin 43(cos 22[p p i += 3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k p p p p p p4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题3
习题三1. 计算积分2()d Cx y ix z -+⎰,其中C 为从原点到点1+i 的直线段.解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤故()()12212310()11(1)(1)(1)333Cx y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+⋅=+=⎰⎰⎰2. 计算积分(1)d Cz z -⎰，其中积分路径C 为(1) 从点0到点1+i 的直线段;(2) 沿抛物线y =x 2，从点0到点1+i 的弧段.解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤()()111()Cz dz x ix d x ix i -=-++=⎰⎰(2)设2z x ix =+. 01x ≤≤()()1220211()3Ciz dz x ix d x ix -=-++=⎰⎰3. 计算积分d Cz z ⎰，其中积分路径C 为(1) 从点-i 到点i 的直线段;(2) 沿单位圆周|z |=1的左半圆周，从点-i 到点i ; (3) 沿单位圆周|z |=1的右半圆周，从点-i 到点i .解 (1)设z iy =. 11y -≤≤1111Cz dz ydiy i ydy i --===⎰⎰⎰(2)设i z e θ=.θ从32π到2π 22332212i i Cz dz de i de i ππθθππ===⎰⎰⎰(3) 设i z e θ=.θ从32π到2π 23212i Cz dz de i πθπ==⎰⎰6. 计算积分()sin zCz e z dz -⋅⎰,其中C为z a =>. 解()sin sin z zC C Cz e z dz z dz e zdz -⋅=-⋅⎰⎰⎰∵sin ze z ⋅在z a =所围的区域内解析∴sin 0z Ce zdz ⋅=⎰从而()20220sin 0z i CCi z e z dz z dz adae a i e d πθπθθ-⋅====⎰⎰⎰⎰故()sin 0zCz ez dz -⋅=⎰7. 计算积分21(1)Cdz z z +⎰,其中积分路径C 为（1）11:2C z =（2）23:2C z =（3）31:2C z i +=（4）43:2C z i -=解：（1）在12z=所围的区域内，21(1)z z +只有一个奇点0z =.12111111()2002(1)22CC dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰（2）在2C 所围的区域内包含三个奇点0,z z i ==±.故22111111()20(1)22CC dz dz i i i z z z z i z i πππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰（3）在2C 所围的区域内包含一个奇点z i =-,故32111111()00(1)22CC dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=-+-+⎰⎰（4）在4C 所围的区域内包含两个奇点0,z z i ==,故42111111()2(1)22CC dz dz i i i z z z z i z i πππ=-⋅-⋅=-=+-+⎰⎰10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1)20cos 2izdz π+⎰(2)ziedz π--⎰ (3)21(2)iiz dz +⎰(4)1ln(1)1iz dz z ++⎰ (5)1sin z zdz ⋅⎰(6)211tan cos iz dz z +⎰解 (1)2201cos sin21222iiz z dz ch ππ++==⎰(2)2zziiedz e ππ----=-=-⎰(3)22311111111(2)(2)(2)(2)333ii ii iz dz iz d iz iz i i +=++=⋅+=-+⎰⎰ (4) 222111ln(1)11ln(1)ln(1)ln (1)(3ln 2)1284ii iz dz z d z z z π+=++=+=-++⎰⎰ (5)111100sin cos cos cos sin1cos1z zdz zd z z z zdz ⋅=-=-+=-⎰⎰⎰(6) 222112111221tan 1sec sec tan tan cos 2111tan1tan 1t 122ii i i i z dz zdz z zdz tanz z z ith h +=+=+⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰11. 计算积分21zCe dz z +⎰,其中C 为 (1) 1z i -= (2) 1z i += (3) 2z = 解 (1)221()()zz ziz iCC e e e dz dz i e z z i z i z iππ===⋅=++-+⎰⎰(2) 221()()zz zi z iCC e e e dz dz i e z z i z i z iππ-=-==⋅=-++--⎰⎰(3)122222sin1111zz zi i CC C e e e dz dz dz e e i z z z πππ-=+=-=+++⎰⎰⎰16. 求下列积分的值,其中积分路径C 均为|z |=1.(1) 5zC e dz z ⎰ (2) 3cos C z dz z⎰ (3) 020tan12,()2C zdz z z z <-⎰ 解 (1) (4)52()4!12z z z C e i i dz e z ππ===⎰(2)(2)3cos 2(cos )2!z C z i dz z i z ππ===-⎰(3) 0'22tan22(tan )sec ()2z z C zz dz i z i z z ππ===-⎰17. 计算积分331(1)(1)C dz z z -+⎰,其中积分路径C 为(1)中心位于点1z =,半径为2R <的正向圆周 (2) 中心位于点1z =-,半径为2R <的正向圆周解：(1) C内包含了奇点1z =∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i idz z z z ππ===-++⎰ (2)C内包含了奇点1z =-,∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i i dz z z z ππ=-==--+-⎰19. 验证下列函数为调和函数.3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x xx x y xy y y i y ωω=--+=+++解(1) 设w u i υ=+,3223632u x x y xy y=--+0υ=∴223123ux xy y x∂=--∂ 22666u x xy y y ∂=--+∂ 22612ux y x ∂=-∂ 22612u x y y ∂=-+∂从而有22220u ux y∂∂+=∂∂,w 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数. (2) 设w u i υ=+,cos 1xu e y =⋅+sin 1x e y υ=⋅+∴cos x ue y x∂=⋅∂ sin x u e y y ∂=-⋅∂ 22cos xu e y x∂=⋅∂ 22cos x u e y y ∂=-⋅∂ 从而有22220u ux y∂∂+=∂∂,u 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数. sin x e y xυ∂=⋅∂ cos x e y y υ∂=⋅∂ 22sin xe y xυ∂=⋅∂ 22sin x y e y υ∂=-⋅∂ 22220x yυυ∂∂+=∂∂,υ满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数22u x y =-,22xx y υ=+都是调和函数,但()f z u i υ=+不是解析函数证明:2ux x ∂=∂ 2u y y ∂=-∂ 222u x ∂=∂ 222u y ∂=-∂ ∴22220u ux y ∂∂+=∂∂,从而u 是调和函数. 22222()y x x x y υ∂-=∂+ 2222()xy y x y υ∂-=∂+ 223222362()xy x x x y υ∂-+=∂+ 223222362()xy x y x y υ∂-=∂+ ∴22220x yυυ∂∂+=∂∂,从而υ是调和函数. 但∵u x y υ∂∂≠∂∂ u yx υ∂∂≠-∂∂∴不满足C-R 方程,从而()f z u i υ=+不是解析函数.22.由下列各已知调和函数,求解析函数()f z u i υ=+ (1)22u x y xy =-+ (2)22,(1)0yu f x y ==+ 解 (1)因为 2u x y x y υ∂∂=+=∂∂ 2u y x y xυ∂∂=-+=-∂∂ 所以22(,)(,)(2)(2)(2)00(0,0)(0,0)222u u x y x y y x dx dy C y x dx x y dy C xdx x y dy C y xx y xy Cυ∂∂=-++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰∂∂=-+++2222()i(2)22x y f z x y xy xy C =-++-+++令y=0,上式变为22()i()2x f x x C =-+从而22()i i 2z f z z C =-⋅+(2)2222()u xyx x y ∂=-∂+ 22222()u x y y x y ∂-=∂+ 用线积分法，取（x 0,y 0）为(1,0)，有2(,)4222(1,0)122222()0()1110x y x u u x y ydx dy C dx x dy Cy x x x y x x yC x x y x y υ∂∂=-++=-+⎰∂∂+=-+=-+++⎰⎰ 2222()i(1)y xf z C x y x y=+-+++ 由(1)0.f =，得C=0()11f i z z ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭23.设12()()()()n p z z a z a z a =---,其中(1,2,,)i a i n =各不相同，闭路C 不通过12,,,n a a a ,证明积分1()d 2π()Cp z z ip z '⎰等于位于C 内的p(z )的零点的个数.证明: 不妨设闭路C 内()P z 的零点的个数为k, 其零点分别为12,,...k a a a1112312121()()()...()...()1()12πi ()2πi()()...()111111...2πi2πi2πi111111...1...2πi2πi n nkkn k k C Cn C C C n CC k n k z a z a z a z a z aP z dz dzP z z a z a z a dz dz dzz a z a z a dz d z a z a -==+-+--+--'=---=+++---=++++++--∏∏⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰个zk=24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设f (z )在闭路C 及其外部区域D 内解析，且lim ()z f z A →∞=≠∞，则(),,1()d ,.2πC f z A z D f A z G i z ξξξ-+∈⎧=⎨∈-⎩⎰ 其中G 为C 所围内部区域.证明：在D 内任取一点Z ，并取充分大的R ，作圆C R : R z =，将C 与Z 包含在内则f(z)在以C 及RC 为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有R 1()()()[-]2πi C C f f f z d d z zζζζζζζ=--⎰⎰ 因为()f z zζζ-- 在R ζ>上解析，且()1lim lim ()lim ()11f f f z z ζζζζζζζζζ→∞→∞→∞=⋅==--所以，当Z 在C 外部时，有1()()2πi C f f z A d z ζζζ=--⎰即1()()2πiC f d f z A z ζζζ=-+-⎰设Z 在C 内，则f(z)=0，即R 1()()0[]2πi C C f f d d zz ζζζζζζ=---⎰⎰故有：1()2πiC f d A z ζζζ=-⎰。
复变函数与积分变换第五章习题解答
c-1r-•
1 (1 2 7) Res[f(z),O] =Iim!!:_[z = ti ,k =土1,土2, ] = o, Res[f(z),k叶= ,�, dz k冗 (zsin z)'L,, zsinz 8) Res[f位）， (k+½
叶
(ch z)' :�(k+ ）汀i
一
shz
=
I k为整数。
证 由题知： J(z)=(z-z。)飞(z), <p亿）*o, 则有
一 Ill
-{,, 0
0
k=O k=,;O
l 2 (sinz )"1 z O =2, 知 z=O 是 ． 2 的二级极点， smz
=
故z。是 J'(z) 的 m-1 级零点。
冗l
f'(z)=m(z-z。)m 凇(z)+(z-z。) 份'(z)=(z-z0 Y,一'[m<p(z)+(z-z。炒'(z)]
六
f'(z) ＝ (fJ(z) + (z- Zo )(fJ'(z) g'(z) lf/(z) + (z-Zo)lf/'(z)
亡,
6. 若叫z) 与 lf/(z) 分别以 z=a 为 m 级与 n 级极点（或零点），那么下列三个函数在 z=a 处各有什 (f)(Z)lf/(Z); (2) (f)(z)llf/(Z);
汗
I
2
5) cos— = L 巨 -11>0 , 知 Res [f(z), l ] = c一 . 2 "' I- z n=O (2n) !(z-1)
1 00
I
(-1) "
复变函数与积分变换 高宗升 滕岩梅 习题4部分课后题答案
复变函数与积分变换 高宗升 滕岩梅 习题4 部分课后题答案9题：（1）因为0z 是函数)(z f 的m 级零点，则有0)(0)1(=-z f m ，而0)(0)(≠z f m 。
因为0z 是)(z g 的n 级零点，则0)(0)1(=-z g n 而0)(0)(≠z g n 。
令l=min(m,n)，故有0)()())()((0)1(0)1()1(0=+=+--=-z g z f z g z f l l z z l 而0)()())()((0)(0)()(0≠+=+=z g z f z g z f l l z z l 故0z 是)()(z g z f +的min(m,n)级零点。
（2）因为0z 是函数)(z f 的m 级零点，是)(z g 的n 级零点。
故有0z 是)(1z f 的m 级极点，是)(1z g 的n 级极点。
故有m z z z z f )()()(10-=ϕ，n z z z z g )()()(10-=φ故有nm z z z z z g z f +-=)()()()()(10φϕ故0z 是)()(z g z f 的m+n 级零点。
（3）如上所述n m z z z z z f z g --=)()()()()(0ϕφ故当m>n 时0z 是)()(z g z f 的m-n 级零点。
12题。
反证法。
假设有无穷多个根。
令A z f z g -=)()(，则其有无穷多个零点。
故可以找到这样的数列{}n Z 是闭曲线内的点，且其在曲线内部有聚点，0)(=n z g ，由定理4.13知，在此曲线内部有0)(≡z g ，故A z f ≡)(，与题中)(z f 不为常数相矛盾。
故假设不成立。
13题 由于函数)(z f 在复平面上处处解析，故可以在00=z 处展成泰勒级数，则∑∞==0)(k k k za z f ，故∑∑∞=∞=≤==00)(k n k k k k k z M z a z a z f 故k n k z M a -≤，故当∞→z ，n k >时，有k a =0，故a k =0所以∑==nk k k z a z f 0)(是次数不高于n 的多项式或一个常数。
复变函数与积分变换(包革军版习题7-2 7-3答案)
(4)求 z ln(1 x 2 y 2 ) 在 (1,2) 处的全微分． 解：因 z x
2x 2y , zy ，且 z x 2 2 1 x y 1 x2 y 2
x 1 y2
1 , zy 3
x 1 y 2
2 1 2 ，故 dz dx dy ． 3 3 3
2
y
y
2
2 y ey ．
2z 2 z (2)对函数 z x ln( x y ) ，求 2 和 ． x xy
解：由
2 z 1 x z x 2 z 1 ( x y) x x 2y ln( x y ) ，得 2 ， ． 2 2 x x y x x y ( x y) ( x y) xy x y ( x y )2
cos x 2 y cos x 2 y 2 cot x 2 y ． cot x 2 y , z y 2 sin x 2 y sin x 2 y
x 1 y 0
(4) z ln( x y ) ，求
z z | x1 ， | x 1 ． 解： z x x y 0 y y 1
y 2
(3)
( x , y ) (0,0)
lim
xy 1 1 = lim ( x , y ) (0,0) xy xy
xy
xy 1+1
( x , y ) (0,0)
lim
1 1 ． xy 1+1 2
4．求下列函数的间断点． (1) z
1 x2 y2
x y ． x y
x 1 y 3
y
3，
f x (1, 2) x y ln x x 1 0 ，故 (1.007) 2.98 1 3 0.007 0 ( 0.02) 1.021 ．
复变函数与积分变换复习提纲以及5套题
标准实用复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()11221111212122222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(c o s s i n )nnn in z z n in z e θθθ=+=。
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山东大学高等教育自学考试 强化实践能力培养考核《复变函数与积分变换》教学考试大纲 一、课程性质及课程设置的目的和要求 (一）课程的性质、地位与任务 本课程是全国高等自学考试工科类各专业的一门重要的基础理论课，它包含复变函数与积分变换两部分内容。复变函数是研究复自变量复值函数的分析课程，在某些方面它是微积分学的推广，独立成为一门课程则是因为它有其自身的研究対象及独特的处理方法。解析函数是复变函数研究的中心内容，留数的计算及其应用以及保角映射是复变函数特有的问题。积分变换有时也称为运算微积，是通过积分运算把一个函数转变为另一个更为简单的且易于处理的函数。本课程介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换，可以应用它们求解某些积分方程，微分方程以及计算积分。通过本课程的学习，为以后学习工程力学、电工学、电磁学、振动力学及无线电技术等课程奠定必要的基础。要学好本课程必须具备高等数学的基础。 (二)课程的基本要求 通过对本课程的学习，要求考生系统地获得复变函数和积分变换的基本知识(对积分变换未作要求的专业考生可不学积分变换部分),切实掌握有关内容的基本概念、基本理论和基本方法，并具有比较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力，同时注意培养抽象思维能力与一定的逻辑推理能力，从而为学习后继课 程奠定良好的基础。 （三）本课程与有关课程的联系 本课程与高等数学有密切的联系，如导数、积分、级数和微分方程等,要学好本课程，必须把高等数学中的有关知识掌握好，进行必要的复习。本课程是一门重要的基础课，它与工程力学、电工技术、电子技术和自动控制等课程的联系十分密切，因此在学习时。要切实掌握本课程的主要内容，这对以后的学习将会带来很大的帮助。 二、课程内容和考核要求 第一篇复变函数 第一章复数 (一）学习目的与要求 本章的学习目的与要求是:深刻理解复数的概念;熟悉复数的多种表示法，复数的四则运算及开方运算；理解复数运算的几何意义；理解区域、单连域、多连域和简单曲线等概念；掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。 本章的知识点中，重点是:复数的运算以及用复变数方程表示曲线，用不等式表示区域。难点是：复数的运算，复数方程表示曲线，不等式表示区域。 (二）课程内容 1.复数及其表示法 1.1复数的概念 1.2复数的表示法 2.复数的运算及几何意义 2.1复数的加法和减法 2.2复数的乘法和除法 2.3复数的方根 2.4共轭复数及其运算性质 3.平面点集和区域 3.1点集概念 3.2区域 3.3简单曲线 3.4单连通区域与多连通区域 (三）考核知识点与考核要求 1.复数的概念及其表示法，要求达到“领会”层次。 (1)熟知并掌握复数的概念。 (2)掌握复数的各种表示法。 2.复数的运算及几何意义，要求达到“简单应用”层次。 (1)熟悉与掌握复数的四则运算及开方运算。 (2)掌握上述各种运算的几何意义。 (3)会进行一些简单的运算。 3.点集、区域和简单曲线，要求达到“领会”层次。 (1)正确理解区域、简单曲线等概念。 (2)掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。 （四）强化实践能力培养考核考试大纲 1．熟悉复数的多种表示法，复数的四则运算及开方运算；理解复数运算的几何意义。 2．理解区域、单连域、多连域和简单曲线等概念；掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。 （五）作业题
1.已知1313222zi，求||z，Argz。 2.已知112iz，23zi，求12zz及12zz。 3.设1z、2z是两个复数。求证：222121212|||||2Re()zzzz|z-z。 4.证明：函数22(0)()0(0)xyzxyfzz在原点不连续。 5.证明：z平面上的直线方程可以写成azazc（a是非零复常数，c是常数）
第二章解析函数 (一）学习目的与要求 解析函数是复变函数的研究对象。本章总的要求是：深刻理解复变函数以及映射的概念，了解一个复变函数等价于一对实二元函数；理解函数解析的概念与柯西-黎曼条件;掌握判别函数解析性的方法；了解解析函数与调和函数的关系，并且掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数从而得到解析函数的方法;记住复自变量的初等函数的定义以及它们的一些重要性质。 本章的知识点中，重点是：函数解析性的判别，掌握和运用柯西—黎曼条件，能从已知调和函数求其共轭调和函数。难点是：函数解析性的判断，已知调和函数求其共轭调和函数。 (二）课程内容 1.复变函数 1.1复变函数的概念 1.2复变函数的极限和连续性 2.解析函数的概念 2.1复变函数的导数 2.2解析函数的概念 3.柯西—黎曼条件 4.解析函数与调和函数的关系 5.初等函数 5.1指数函数 5.2对数函数 5.3幂函数 5.4三角函数 5.5反三角函数 (三）考核知识点与考核要求 1.复变函数的概念，要求达到“领会”层次。 (1)正确理解复变函数以及映射的概念。 (2)理解一个复变函数与一对二元实函数的关系。 2.复变函数的极限和连续性，要求达到“识记”层次。 3.复变函数的导数，要求达到“领会”层次。 (1)理解复变函数的导数的定义。 (2)掌握可导与连续的关系及求导方法。 4.解析函数的概念，要求达到“领会”层次。 (1)正确理解解析函数的概念。 (2)掌握解析函数的判别法。 5.柯西—黎曼条件，要求达到“简单应用”层次。 (1)正确理解和掌握柯西—黎曼条件。 (2)熟练运用柯西—黎曼条件。 6.解析函数与调和函数的关系，要求达到“简单应用”层次。 (1)理解调和函数的定义。 (2)了解调和函数与解析函数的关系。 (3)掌握共轭调和函数的求法。 7.初等函数，要求达到“识记”层次。 (1)记住指数函数、三角函数、对数函数、幂函数与反三角函数的定义。 (2)了解它们的主要性质。 （四）强化实践能力培养考核考试大纲 1．深刻理解复变函数以及映射的概念，了解一个复变函数等价于一对实二元函数。 2. 理解函数解析的概念与柯西-黎曼条件，掌握判别函数解析性 的方法。 3. 掌握解析函数与调和函数的关系，并且掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数从而得到解析函数的方法，记住复自变量的初等函数的定义以及它们的一些重要性质。 （五）作业题 1.试判断函数3223()3(3)fzxxyixyy的可微性和解析性。 2.解方程13zei 3.求cos(1)i 4.设3wz确定在从原点z=0起沿负实轴割破了的z平面上，并且3(2)2w
（这是边界上岸点对应的函数值），试求()wz的值。
5.设iyxyxzf22332)(，问)(zf在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。
第三章复变函数的积分 (一）学习目的与要求 复变函数的积分在实用和理论两个方面都是十分重要的。利用复变函数的积分可以求一些定积分的值，也可以证明解析函数的一些重要性质。 本章总的要求是:正确理解复变函数积分的概念并掌握它的基本性质；掌握复变函数积分的一般计算方法；掌握柯西定理以及当函数𝑓(z)在闭区域上具有连续导数时的证明，并且知道推广到多连域的情形；熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分；了解莫累拉定理。 本章知识点中，重点是:柯西定理；柯西积分公式及高阶导数公式的用法。难点是:复变函数积分的计算。 (二）课程内容 1.复变函数的积分 1.1复变函数积分的概念 1.2积分的存在性及其计算公式 1.3积分的基本性质 2.柯西定理 2.1柯西定理 2.2原函数与不定积分 2.3柯西定理的推广 3.柯西积分公式 4.解析函数的高阶导数 4.1解析函数的高阶导数 4.2柯西不等式 4.3解析函数的等价概念 (三）考核知识点与考核要求 1.复变函数积分的概念，要求达到“领会”层次。 (1)知道复变函数积分的定义。 (2)了解复变函数积分可转化为两个实二元函数的线积分。 2.积分的存在性及其计算公式，要求达到“领会”层次。 (1)知道复积分的存在性。 (2)掌握复积分的计算公式。 3.积分的基本性质，要求达到“领会”层次。 4.柯西定理，要求达到“简单应用”层次。 5.原函数与不定积分，要求达到“领会”层次。 (1)掌握用原函数求解析函数的积分值。 (2)了解变上限函数的有关概念。 6.柯西定理的推广，要求达到“简单应用”层次。 (1)正确理解复合闭路定理。 (2)会应用路线变形原理计算某些积分。 7.柯西积分公式，要求达到“简单应用”层次。 (1)正确理解柯西积分公式。 (2)熟练应用柯西积分公式计算某些积分。 8.解析函数的高阶导数公式，要求达到“简单应用”层次。 (1)正确理解高阶导数公式。 (2)应用高阶导数公式计算某些积分。 9.解析函数的等价概念，要求达到“识记”层次。 （1)知道柯西定理的逆定理—莫累拉定理。 （2）知道解析函数的一个等价概念 （四）强化实践能力培养考核考试大纲 1.正确理解复变函数积分的概念并掌握它的基本性质，掌握复变函数积分的一般计算方法。 2.掌握柯西定理，并且知道推广到多连域的情形，熟练掌握用柯