浅谈一题多解与一题多变——从一道课本例题说起
浅谈化学复习中多题一解和一题多变
浅谈化学复习中多题一解和一题多变 江苏省江阴市成化高级中学 李敏利用“一题多解、一题多变、多题一解”等手段加以分析解答问题，既能加强学生对知识的理解、方法的掌握，又能激发学生学习积极性，培养、提高学生思维能力。
一题多解我们在平时比较侧重，所以本人认为高三复习时更应侧重多题一解和一题多变。
多题一解，训练思维的深刻性,它主要表现在对化学问题的深入思维。
要求学生有扎实的双基、透彻的概念去分析理解题意，灵活、准确地解决具体问题。
教师在这方面的工作主要是如何引导学生深入理解和思考，讲清化学原理或化学规律的内涵与外延，找出知识间的相互关系与区别。
多题一解的意义在于可使学生能深入到问题的本质中去，吸收新信息，以展现更多的联想，进而引导学生能从问题的解法中概括推广出同类问题的解法，掌握解题规律，达到触类旁通，使思维纵向发展，培养思维的深刻性。
一.多题一解例1. 将含有O 2、CH 4的混合气体置于盛有一定量Na 2O 2的密闭容器中，电火花点燃，反应结束后容器内的压强为零（150℃），将残留物溶于水中，无气体产生，下列叙述正确的是（ ）A. 原混合气体中O 2和CH 4的体积比为2：1B. 残留物只有Na 2CO 3C. 原混合气体中O 2和CH 4的体积比为1：2D. 残留物有Na 2CO 3、NaOH解析：在电火花引发下，O 2、CH 4在密闭容器发生连续循环反应：①②③依题意可知反应后无气体剩余，则反应前无CO2、H2O，反应后也无CO2、H2O，且Na2O2也完全反应，将以上三化学方程式叠加处理（①×2＋②＋③×2），消去CO2、H2O即可：故正确选项为C、D。
例2. 取18.4g NaHCO3和Na2O2固体混合物，在密闭容器中加热到250℃，若经充分反应后排出气体为一纯净物，计算原混合物中Na2O2的质量范围。
解析：在250℃条件下此题可能发生的反应为：①②③依题意反应后排出气体为纯净物，则一定是O2，同样可说明反应前无CO2、H2O，反应后也无CO2、H2O，同样也可将以上三化学方程式叠加处理（①×2＋②＋③），消去CO2、H2O 即可：168g 156g若和恰好反应，均无剩余，则由于反应后也无CO2、H2O，则NaHCO3一定无剩余，但Na2O2可能有剩余，故原混合物中Na2O2的质量范围为：上述二题的解题方法是一致的，推而广之，这种化学方程式的叠加法就成了一种解题策略，这能解决的不仅仅是一道题，而是一系列问题。
(完整版)一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
(完整版)一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用 数学，是一门自然学科。
对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。
大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。
但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。
“怎样才能学好数学”成了学子们问得最多的问题。
而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。
很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。
熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。
但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。
众所周知，数学题是做不完的。
我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。
要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。
在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。
这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。
另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。
对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。
下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人的几点看法。
一、在公式的推导中运用一题多解数学的公式在数学的解题中的作用是非常巨大的。
并且，要学好数学，就必须熟练的运用公式。
但很多学生对公式的记忆大多采取死记硬背的方法，对公式的推导往往不够重视。
其实，公式的推导过程就是一种解题的方法，或是一种解题技巧。
我们如果在公式的推导过程中运用一题多解的话，就会让学生在学习知识的产生过程中同时掌握解题的规律和方法，也便于公式的理解记忆。
浅谈一题多解与一题多变
周刊浅谈一题多解与一题多变许国能(浙江省天台平桥二中，浙江台州317203)摘要：数学是一门必修学科，它具有整体性、逻辑性和复杂性的特点，会使学生在学习过程中觉得有点吃力。
但是，高中 数学是高考中的一个重要组成部分，其分值也比较大，对学生的升学产生直接的影响。
所以，必须在高中数学教学中提升教学的有效性。
高中数学教师要根据学生的实际情况，及时地改变数学的教学方法，不断地探索新的、更加有效的教学模式，例如一题多解和一题多变的教学，这种教学方法不但可以巩固学生的基础知识，还能培养学生的思維和创新精神，提升学生的解题技能。
本篇文章主要从现阶段高中数学的教学情况开始分析，提出在高中数学学习中运用一题多解和一题多变的教学方法的建议和措施。
关键词：一题多解；一题多变；高中数学；教学方法一、 高中数学教学现状虽然新课改已经实行了许多年，但是高中数学教学受到传统教育理念和教学模式的影响还比较严重，使得学生在学习过程中依然要面对作业繁重的问题，需要承受高考所带来的压力。
究其原因，一方面由于受应试教育模式的影响，使 得学生必须参加高考，使得教师在高中数学的教学过程中为了提高学生的学习成绩，使其能在高考中取得高分，往往采用习题教学，让学生通过做大量的习题来巩固所学的知识，但是同样存在着巨大的弊端。
单调繁重的习题练习，会使得学生在这样的学习中造成思维的固化，还会对数学学习产生疲劳感，使得对数学的学习停留在表面，缺少深入的钻研。
另一方面，由于社会竞争的越来越激烈，使得教师和家长在无形中将这种压力传给孩子，使得学生在学习中往往更加在意分数的高低和排名的前后，而不是在每次的学习和考试中总结自己的学习情况：解题思路是否更加简答、快捷？知识的掌握是否全面和深入。
这些原因使得高中数学的教学更加机械化和表面化，为了追求分数，而忽略了对数学知识的整体把握，也忽视了对学生数学思维和学习能力的培养。
二、 高中数学学习中运用一题多解与一题多变的必要性(一） 激发学生的创新意识如果一题多解、一题多变在高中数学学习中能够得到灵活地运用，那么数学的教学就会更加地全面和深入。
一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用
一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用以《一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用》为标题，写一篇3000字的中文文章近年来，数学教学在中国初中教育中发挥着重要作用，也受到了社会的重视与认可。
随着教育理念的发展，数学教育便出现了“以题为本”的全新概念，由“题海”演变为“题山”，因此“一题多解”和“一题多变”在初中数学教学中有着不可替代的作用。
“一题多解”是指一道题可以用多种不同的方法来解决，甚至是完全不同的答案，这也就有利于学生提升综合运用与多种解题思路的能力。
在初中数学的教学中，可以用多种不同的方法来解答同一题目。
比如《上初三数学课本》中的第四十八题，是一道求混合比的问题，可以用法则公式或者解一元二次方程的方法来解答，不仅能够让学生拓宽视野，同时也能够让学生学会主动思考，激发学生的学习兴趣，提高学习效率。
而“一题多变”则是指针对同一道题目，改变条件及参数，重复解决同一问题。
这样可以最大程度拓展学生的知识面，丰富学生的思维水平，培养学生解决类似问题的能力。
比如，《初中数学》中的第八九题，是一道有关直线正比的问题，可以令学生用多种参数来解决，不仅可以练习学生的数学推理能力，同时也能让学生熟悉这一数学思想，增强学生的计算能力及总结能力。
此外，教师在课堂上利用“一题多解”和“一题多变”的方法，还可以帮助学生构建解决问题的思路与方法，培养学生的解题能力，建立正确的逻辑思维。
比如，教师可以找出容易解决的简单题，然后根据学生的反应，多给予一些提示和建议，教师可以把解题思维分步拆解，起到指导的作用，帮助学生进行解题构思。
“一题多解”和“一题多变”在初中数学教学中发挥着重要的作用，它不仅可以帮助学生学会独立思考，克服思维定式，同时也可以帮助学生增强解题能力，提高解决实际问题的能力。
针对”一题多解“和”一题多变”，教师应该重视不同学生在学习上的经验和特点，加大课堂上的实践性教学，激发学生的积极性，实现数学教学的质量提升。
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用科学技术的日新月异，新课程标准的颁布，推进素质教育的进程。
培养自己分析问题、解决问题的能力日益重要，而能力的提高必须有好的方式方法，笔者认为“一题多解与一题多变”有助于培养自己的解题能力。
一题多解是从不同的角度、不同的方位去审视分析问题，是一种发散思维，而一题多变则是创造性思维的体现，通过题设的变化、结论的变化、引申新问题加深对知识的理解，使之记忆更深刻，思维更敏捷。
一、关于高中学生学习数学的认识就所有的高中生来说，学好数学学科不是一件容易的事。
绝大多数同学对数学的感觉就是枯燥、乏味。
因为高考“指挥棒”的震慑力，虽然不感兴趣，也不得不学。
“如何才能学好数学”已经成为高中生最头疼的问题。
怎样回答这一问题便成了教师们的课题，很多人便单纯地以为要学好数学多做题就是了，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了。
铁杵磨成针，于是乎“题海战术”情不自禁走了出来，受到很多高中生的青睐。
熟话说：“熟能生巧”。
诚然，多做习题对高中生数学成绩的提高有着重要的影响，然而，长此以往，学习数学越来越枯燥无味，越来越厌烦，出现厌学、抄作业等现象也不足为奇了。
众所周知，数学题是做不完的，可以说无穷无尽。
笔者认为要学好数学，必须提高自身的数学思维、能力和学习数学的兴趣。
高考数学题“源于书本，又高于书本”，这是多年来高考试卷命题的原则，紧紧依靠书本上有限的例题和习题来提高自身的学习兴趣和能力。
在数学学习过程中，有效利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行解答，有助于培养自身思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性，这也是一条行之有效地途径。
同时，能力提高的过程，自身的成就感逐渐增强，在以后不断的变化和解决问题的不同经历中，学习兴趣油然而生。
以往的数学学习，学习过程不外乎为学习定义推导公式、例题演练、练习及习题的安排。
开展“一题多解”,探究“一题多变”——一道解析几何题的破解
２０２３年９月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀开展 一题多解 ,探究 一题多变一道解析几何题的破解◉江苏省海安高级中学㊀朱函颍㊀㊀摘要: 一题多解 ,可以开阔解题思路㊁发散学生思维; 一题多变 ,可以拓展数学知识㊁聚合学生思维．合理解题探究与变式拓展可以很好提升解题效益,避免题海战术．结合一道抛物线问题实例,通过 一题多解 与 一题多变 ,在研究中寻找通法,在探究中升华能力,促使学生形成良好的数学品质．关键词:抛物线;准线;直线;斜率;变式㊀㊀根据现代思维的科学研究,问题是展开思维与应用的起点, 疑 是根本, 解疑 是目标,最容易引起定向探究反射与问题的深入思考．而在数学教学与数学学习过程中,更要合理培养与形成探究意识,从问题的内涵㊁问题的解法㊁问题的深入与问题的探究等多方面入手,合理拓展思维的深度与广度,进行必要合理创新应用,从而形成良好的数学品质．１问题呈现问题㊀ 燕博园２０２３届高三年级综合能力测试(C A T)数学(新高考Ⅰ卷)试卷 已知抛物线y２＝a x 的焦点为F,准线l交x轴于点Q,过点F的直线交抛物线于M,N两点,则直线Q M与直线Q N的斜率之和为．该题以抛物线为问题场景,对直线与抛物线的位置关系加以合理创设．借助过焦点的动直线的变化,以 动 态创设场景,利用两直线的斜率之和为常数,以 静 态形式设问,巧妙融合解析几何与平面几何中的相关知识,难度中等．利用圆锥曲线这一主干知识,抓住直线与圆锥曲线位置关系这一热点问题,合理创设,巧妙 动 与 静 变化, 数 与 形 融合,构建一幅完美的画卷．实际破解问题时,抓住问题内涵与实质,从问题根本入手,可以借助解析几何思维㊁平面几何思维与特殊情况思维等来展开,从不同的技巧方法视角来切入,实现问题的巧妙转化与应用．２问题破解２．１通性通法方法１:解析几何思维法．解析:依题知,焦点F(a４,０),准线方程为x＝－a４,Q(－a４,０)．设过焦点F的直线方程为x＝m y＋a４,M(x１,y１),N(x２,y２)．联立x＝m y＋a４,y２＝a x,{消去参数x,整理可得y２－a m y－a２４＝０,则y１＋y２＝a m,y１y２＝－a２４．于是有㊀k Q M＋k Q N＝y１x１＋a４＋y２x２＋a４＝x１y２＋x２y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝(my１＋a４)y２＋(m y２＋a４)y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２my１y２＋a２(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２mˑ(－a２４)＋a２ˑa m(x１＋a４)(x２＋a４)＝０．所以直线Q M与直线Q N的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中,最基本的 通性通法 就是解析几何思维法．通过设置相关的点的坐标㊁直线的方程㊁圆锥曲线的方程等,联立直线与圆锥曲线方程,结合函数与方程思维来进一步分析与转化,进而实现问题的解决．解析几何思维法的缺点之一就是数学运算量大,它也是制约部７７Copyright©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀分学生深入分析与应用的一个重要因素．２．２数形结合法方法２:平面几何思维法．图１解析:不失一般性,如图１所示,过M ,N 两点分别作准线l 的垂线,垂足分别为A ,B ,由于M A ʊF Q ʊN B ,因此可得|M F ||N F |＝|A Q ||B Q |．根据抛物线的定义,可得|M A |＝|M F |,且|N B |＝|N F |,则|M A ||N B |＝|A Q ||B Q |,可得әM A Q ʐәN B Q ,于是øM Q A ＝øN Q B ,所以øM Q F ＝øN Q F ．所以直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补,即直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:回归曲线的本质,结合平面几何图形的基本性质与特征,数形结合,逻辑推理,这是解决解析几何综合应用问题比较常用的一种技巧与方法,也是平面几何思维法处理的关键．２．３巧技妙法方法３:特殊情况法．解析:当过点F 的直线垂直于x 轴时,根据抛物线y ２＝a x 关于x 轴对称,可知点M ,N 关于x 轴对称,则知直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补．所以直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:结合矛盾的普遍性寓于特殊性之中,通过填空题这一特殊形式的设置,借助 动 直线在运动变化过程中的某一特殊情况,以特殊代替一般,又从特殊回归到一般,实现解决问题的 巧技妙法 ．特殊思维法在解决解析几何 运动 问题中经常用到,借助点㊁直线㊁角或相关元素的运动变化情况,以特殊代替一般,实现问题的普遍性与特殊性的辩证转化．３变式拓展３．１类比拓展圆锥曲线中的不同曲线之间具有一定的相似性与可类比性,在以上抛物线背景下,改变圆锥曲线的类型以及对应曲线的场景,借助其焦点与相应准线的位置关系,也有类似的变式问题．变式１㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)变式２㊀已知双曲线C :x ２a ２－y ２b ２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)以上两个变式问题的解析过程,可以参照原问题的方法１㊁方法３来展开,这里不多加赘述．当然,也可以将问题转化为探求两直线倾斜角的关系问题(两直线的倾斜角互补)进行探究．３．２逆向拓展在解题研究中,逆向思维也是变式拓展的一种基本思维方式．借助问题题设条件与结论之间的关系,通过数学思维的逆向操作与应用,合理加以探究与拓展,经常会有不错的收获．变式３㊀已知抛物线y ２＝a x 的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式４㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式５㊀已知双曲线C :x ２a ２－y２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式３~５的答案为:(－a ４,０),(a ２c ,０),(a２c,０)．以上三个变式问题的解析过程也可以参照原问题的方法１．４教学启示在解决一些典型的数学综合应用问题时,要合理引导学生深入挖掘,适当探究拓展,充分掌握问题的本质与内涵,剖析对应的数学基础知识与数学基本能力,从而实现 一题多解 一题多研 一题多变 ,不断提升与拓展破解数学问题的基本技能与策略,提高数学思维品质的变通性,真正达成 一题多练 一题多得 ．同时,有效调动学生数学解题的积极主动性与参与性,合理辨析概念㊁公式等的异同,深刻反思并有效拓展,努力培养发现问题的能力与深入质疑问题的探究精神．Z８７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”高考是我国高中学生面临的一项重要考试。
在高考中，每年都会有一些试题引起广泛的争议，其中一些试题被认为有“一题多解”的特点，即同一个问题可以有多种不同的解答方式。
而另一些试题则被认为具有“一题多变”的特点，即同一个问题在不同的情境下可能有不同的解答。
关于“一题多解”，我们可以以一道数学题为例进行说明。
以下为一道2019年湖南高考数学试题：已知实数x、y满足等式：2sin(x+y) = -1，且\[ \sin(x-y) = \frac{3}{5} \]，则\[ \tan y \]的值等于多少？这道题目中给出了两个条件，要求求解tan y的值。
我们可以利用两个条件来进行联立方程，进而求解tan y的值。
由\[ \sin(x+y) \]的值得到\[ \cos(x+y) \]的值为-1/2，进而可以得到\[ \cos(x-y) \]的值为4/5。
然后，我们可以利用\[ \sin^2(x-y) +\cos^2(x-y) = 1 \]这个三角恒等式来得到\[ \sin(x-y) \]的平方根的值，进而得到\[ \cos(x-y) \]的值为3/5。
简单计算一下，我们可以得到\[ \tan y \]的值为 2/3。
以上两种解答方式都是正确的，并且都能得到\[ \tan y \]的正确值。
这就是“一题多解”的特点，即同一个问题可以有多种不同的解答方式。
《庐山谣》是中国文学史上的一部经典作品，而其中的一个问题引起了广泛的争议。
问题是：庐山谢客英文里的“I passed through若耶溪，登上庐山”一词用了偏正关系。
解释这句话中“庐山”与“若耶溪”之间的关系，并说说古诗中“若耶溪”“庐山”的意象特点。
这道题目中要求解释诗句中“庐山”与“若耶溪”的关系，并分析古诗中“若耶溪”和“庐山”的意象特点。
由于诗歌具有丰富的意境和想象空间，不同的考生可能会有不同的解读。
有些考生可能认为，“庐山”和“若耶溪”之间是一种地理上的联系。
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”
基于两道高考试题的“一题多解”与“一题多变”在学习和教育领域，我们经常听到“一题多解”和“一题多变”这两个概念。
它们代表了一种对知识和能力的全面理解和应用。
在高考中，两道具有代表性的试题可以帮助我们更好地理解和探讨这两个概念。
今天，我们将以这两道高考试题为例，来探讨“一题多解”与“一题多变”的内涵和意义。
第一道试题是语文科目的阅读理解题：“鸡是一种适应力很强的家禽，但是它的表现主要取决于其品种，差异很大。
但东来西去都能生存。
”请你用一篇短文介绍一下鸡的适应能力，并简要谈谈你对鸡的看法。
这道题目要求考生通过对鸡的适应能力的介绍，来展现自己对鸡的看法。
这样的设计正是“一题多解”的典型体现。
学生可以根据自己的知识和观点，从不同的角度来诠释鸡的适应能力。
有的学生可能会从科学角度出发，介绍鸡的生理构造和生存环境；有的学生可能会从经济角度出发，介绍鸡的养殖和利用价值；还有的学生可能会从个人情感角度出发，表达对鸡的喜爱或者厌恶之情。
这些不同的观点和角度都可以构成对这道题目的不同解答，展现了“一题多解”的特点。
这道题目也具有“一题多变”的特点。
虽然题目明确要求考生介绍鸡的适应能力并谈谈个人看法，但是考生自由发挥的空间是很大的。
他们可以选择不同的适应能力表现进行介绍，可以采用不同的文体和方式来表达个人看法。
这种设计使得这道题目具有了很大的灵活性和可塑性，也更符合“一题多变”的特点。
第二道试题是数学科目的选择题：“设函数f(x) = x^2 - 4x + 5, g(x) = mx + n，若f(x)与g(x)有且仅有一个公共零点，则m与n的关系是(A) m^2 - n^2 = -4 (B) mn = -2 (C) m + n = 2 (D) m^2 + n^2 = 4”这道题目要求考生通过对两个函数f(x)和g(x)的公共零点的分析，来确定m和n的关系。
这种设计也是“一题多解”和“一题多变”的体现。
考生可以通过不同的方法和思路来解答这道题目。
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考是在我们解决问题的过程中，充分探索问题本质的方法。
它可以帮助我们从多个角度理解问题，找到更好的解决方案。
一题多问可以帮助我们深入挖掘问题，了解各种因素和影响，从而更全面地理解问题和寻找解决方案。
例如，在解决一个企业的销售问题时，我们可以提出以下问题：销售情况如何？客户需要什么？竞争对手的情况如何？市场变化的影响是什么？等等。
一题多变可以帮助我们在不同情况下灵活应对问题，并根据不同情况调整解决方案。
例如，在解决一个销售问题时，如果是年底大促销，我们需要不同的解决方案，而如果是平时销售问题，则需要不同的解决方案。
一题多解可以帮助我们拓展思路，从不同方向考虑问题，找到更多的解决方案。
例如，在解决一个企业的成本问题时，我们可以提出以下解决方案：降低原材料成本、改变生产流程、优化运营成本等等。
总之，一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考可以帮助我们更全面地理解问题、更多角度考虑解决方案，从而找到更好的解决方案。
教材题目的一题多解与一题多变
一
一 ｛ ・ ， 得 解 ．
题 多变 ， 对一 道数 学 题或 联想 ， 或类 比 ， 或 推广 ，
可以得到一系列新的题 目， 甚至得到更一般的结论． 【 例２ 】 过抛 物线 Ｙ 。 ＝ ＝ ＝ ２ ｐ ｘ的
Ｏ
联 立 Ｊ Ｉ 一 得５ ｚ ｚ 一 ８ ＋ ８ — ０ ． ‘ ＋４ ｙ 一４
由弦长公式得 ｌ Ａ Ｂ｛ 一￣ ／ （ ｚ ＋ ） －４ ｘ ｚ 一詈．
解法 三 ： 由椭 圆 的 第 二 定
焦点 的一 条 直线 和 此 抛 物 线相 交 ， 两个 焦点 的纵 坐标 为 Ｙ 、 Ｙ ， 求证 ： 一－ －ｐ ． （ 人教材第二册 （ 上） Ｐ ｍ
该法是利用 几何关 系建立方 程 ， 此方法 也可灵 活解
决 以下 题 目 ：
１ ・ （ ２ ０ ０ ９ 年 全 国 卷Ⅱ ， １ １ ） 已 知 双 曲 线ｃ ： Ｘ － 一 蕾一 １
（ ｎ ＞０ ， ６ ＞０ ） 的右焦点为 Ｆ， 过 Ｆ且斜率为 的直线 交 Ｃ
于Ａ、 Ｂ两点， 若 一４ 商 ， 则 Ｃ的离心率为（
（ １ ） 一（ ２ ） 得 一 一４ 二丝 一一４（ ３ ）
．
一
题 多解 ， 即一道 数学 题 ， 因思 考 的角 度不 同可 得
到 多种 不 同 的 思 路 与 解 法 ．
Ｙｏ
Ｊ Ｃ １
２
【 例１ 】 斜率为 １的直 线经过抛 物线 Ｙ 一４ ｘ的焦
点， 与抛物 线相交 于两 点 Ａ、 Ｂ， 求 线段 Ａ Ｂ 的长． （ 人 教
数学 ・ 解题 方法 与技 巧
教 材 题 目的 一 题 多 解 与 一 题 多 变
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（ ” １ ２ ～ ， ∈ Ｎ ３ 一 ） （ ）
三 、 由 ａ 一ｐ ＋ ｆ ）・ 确 定 的 数 列 的 通 项 求 ａ （ ，
公 式
四 由 确 的 列 通 公 、 ｎｉ 定 数 的 项 式 求 一
对 于由分式递推关 系确定 的数 列 ， 对左 右两边 进行
求 由 ａ 一ｐ ＋，（ 确 定 的数 列 的 通项 公 ａ ）・ 式， 一般可以通过左 右 两边 同 除 ， 消除 不 和谐 的指数
一
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芝 一 一 １． Ｊ 一 ．Ｏ ＿ ．Ａ 。
，
倒数 ， 构造新数列 ， 最终把数列化 归为等 比或等差数列． 【 ７ （０８ 例 １ ２ ０ 年陕西 卷第 ２ ２题） 已知数 列 ｛ 的 ａ｝ 首项 ｎ 一ｉ ，ｎ卅 一 ３
式．
３ ｎ ａ
确定的数列的通项公式． 【 ６ （０ ０ 例 】 ２ １ 年重 庆理 数 ２ ） １ 在数 列 ｛ 中， ａ ｝ ｎ 一 ｃ ２ ＋１ （ ａ＋Ｃ ． ¨（ ｎ ） ∈Ｎ ） 其 中实 数 ｃ ０ 求 ， ≠ ．
Ｏ ． 课本 给出） Ｂ （
此 ａ 一 （ 一 １ ＋ ｆ ， ２ ） ≥ ．
所 以 ａ 一 ， ． １下 （ １）一 １ （ ３ ｎ ３ ｒ １， 以 ｎ一 ／ ）所 －
－
又 当 一１ 时上式成立． 因此 ａ ：（ 一１ ＋ｃ ｎ ） 一 ，
∈Ｎ ．
一
（ｎ １ ＋ （ ３ ＋ … ＋ ３ ２一 ） ２一 ） ＋
１（ １ （ｎ解 ｎ ． 一 一 ・ １得 ３ 去 ） 一 ｎ １，
， ∈Ｎ ・
故数列 ｛ ｝ 的通项公 式为 一
一ｎ 一 １ ＋ ，
５ ２ 中学 教学参考 （ 中旬 ）２ １． ２总第 １ ７ ０１１ ０ 期
一３ ５ ２ １ ±√ — — ±√５ ．
・
、 一
题 多解
０
／
’
一
题多解的教学 ， 不仅可 以通过少
量 的问题去沟通各部分知识 间的联系 ， 拓宽解题 的思路 ， 以少 胜 多” 而 且 有利 于培 养学 生 探 “ ，
求 的精神 和对数 学研 究 的兴趣 ， 培养 学生 的思 维 品质 ， 发展学生思维能力． 对 于教师 而言 挖掘 习题 中的“ 一题 多解 ” 教学 技 是 能 的必备 一环． 从解题 角度来看 ， 准确把握 解题 目标 ， 紧 扣解题 目标 ， 抓住要 害特 征 ， 促使 思维发 散 ， 通过变 化观 察 角度 ， 积极 寻找解题方 向， 形成 方 向性解 题分析 ， 进而 再 联系沟通各部分 知识 研究 出每一解 题 方 向下 的具体 解法， 达到挖掘“ 一题多解” 目标． 的 分析一 ： 抓住 Ｏ ＿） Ａｊ （ Ｂ这一解题 目标 ， 准确把 握“ 垂 直” 这一概念 在直 线方 程上 看 ， 特征 为 志ｋ 一 一１ 从 其 ， 而明确 足ｋ 一一１这一 解题方 向． 。 继而分 别从① 斜率公 式 ， 出交点 ， 求 然后求得 志 一一１ ②通过 韦达定 理整 志 ； 体求 出 ｚ ， 的值 ， 从而有 忌 ∞一～１③抓住过 足 ；
ＯＡ上０Ｂ．
一
，
原点直线的斜率 忌 一÷这一特征构造出 ， 是 为一个
方 程的两个 根 ， 由韦达定 理 求 出 愚 ∞一 一１这三 种具 是 体 途径得到证法 １证法 ２证法 ３三种解法． 、 、 证法 １ （ ：斜率公式 ） 将 —ｚ一２代人 一２ ｘ中 ， 得
（ ～２ ｘ化 简得 ｚ 一６ ＋４＝ ｚ ） 一２ ｘ ： ０解 得 ｚ ＝ 一３ － 则 － ＿ ４
１Ⅱ ，
，一１ ２ …． ｛ ｝ ， ， 求 的通 项公
｛ 的 通 项 公 式 ． ａ｝
解由 式 等 一 ＋２ １ ： 得 （＋） 原 ．
令 ６一 ａ ， ｂ＝ １ ｎ则 ｌ
，
解由 ， 吉 十 ． ：ａ一 得 一 ・ １２ １ 来自上 ＋ — ａｎ ｌ ＋
・
ｂ ＋ （ ｎ ） 因此 对 ≥ ２ ２ ＋１ ，
（ ＋ ）易得 ｚ ， 一一１ ．
有
ｂ 一 （… ｂ １ ＋ （ ｌ ｂ一 ） … ＋ （２ ６ ） ６ ６ － ） ６一 － ２ ＋ ６— ＋ １
一
则数列 ｛ １—１ 为等 比数列 ）
．
￣ － ｌｍ Ｉ
一
・
ｋ￣ － （
３ － －４ ５
Ｍ一 ３ ，／ ＋ ｇ×
一
一
一
３ －
‘
９ ５ －
． ．
“
Ｏ Ａ上 Ｏ ．（ 本 给 出） Ｂ 课
证法２（ ：韦达定理 ） 同证法 １ 得方程 ｚ －６ ＋４ ． 。 ｘ —０ 由一元二次方程根 与系数 的关系 ， 知 ３ ＋ 一６ ｚｚ 可 ／ ７ ， 。
中学 教 学 参 考
解 题 方法 与技 巧
浅 谈 一 题 多 解 与 一 题 多 变
— —
从 一 道 课 本 例 题 说 起
广 西南 宁市 第二 十 六 中学 （３０ ２ 杨燕 明 ５ ０２ ）
【 目】 题 如图所示 ， 直线 一ｚ 一２ 与
抛 物线 一２ ｘ相 交 于点 Ａ、Ｂ， 证 ： 求
解 题 方法 与技巧 Ｈ ＮＸＥ Ｊ ｏ Ｅ ＣＮ Ａ ＺＯＧＵ Ｉ ⅪＩ ＡＫ０ Ａ
证 法 ３（ ：构造法 ） 由
心就是“ 转化” 的思想 ， 中寻找规律 ， 从 实施解题 ， 这是解
１ 一 ＝』 ｚ （ ｙｘ ｙ 』 ｚ ＞２ 一 ｖ ） ＞ ＋ ｖ Ｊ ｘ ｚｚ ＝３ 一． ＝ 十 ２ －