二次函数、二次方程及二次不等式的关系
新教材2023年高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2
x≥5}．
题型三
解含有参数的一元二次不等式(对判别式的讨论)
典例3 解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0. [分析] 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能 确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
[解析] 对于方程 2x2＋ax＋2＝0，其判别式 Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－
[归纳提升] 注意已知条件的含义和根与系数关系的应用： (1)一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根． (2)由一元二次方程根与系数的关系列方程组求参数．
【 对 点 练 习 】 ❷ 若 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 的 解 集 为 {x|x≤ － 3 或
x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
有两个不相等的实 数根 x1，x2(x1<x2) {x|x>x2 或 x<x1}
{x|x1<x<x2}
有两个相等的实数 根 x1＝x2＝－2ba x|x≠－2ba
(3)令x2＋6x＋10＝0，则方程无解，又由y＝x2＋6x＋10图象的开口 方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0.
(4)令－3x2＋12x－12＝0，则x＝2，又由y＝－3x2＋12x－12图象的开 口方向朝下，故x＝2时，函数的值等于0，当x≠2时，函数值小于0.
核心素养 数学抽象 直观想象 数学抽象 数学运算 逻辑推理 数学运算
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
专题08 三个“二次”的关系 讲义-2022年暑假数学初升高衔接
2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料08 三个“二次”的关系◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 一元二次不等式形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．知识链接02 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根一元二次方程 ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集x <x 1或x >x 2x ≠x 1全体实数一元二次方程 ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集x 1< x <x 2 无 解 无 解知识链接03 一元二次不等式的解法（1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．（2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．知识链接04 含有字母系数的一元一次不等式一元一次不等式最终可以化为 (0)ax b a >≠的形式．（1）当0a >时，不等式的解为：bx a >； （2）当0a <时，不等式的解为：bx a<；（3）当0a =时，不等式化为：0x b ⋅>；① 若0b >，则不等式的解是全体实数； ② 若0b ≤，则不等式无解．◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇ 典例剖析01 解下列不等式：（1）2320x x -+< ； （2）2654x x +<；（3）2320x x +-≥； （4）2210x x -->；（5）24410x x -+>； （6）2530x x -+<．典例剖析02 解下列不等式：（1）22120(0)x ax a a --<< ；（2）()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭(01)a <<．典例剖析03 已知不等式210ax bx ++>的解为1123x -<<，求a 和b 的值， 并解不等式250bx x a --≤．典例剖析04 已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．典例剖析05 （1）解关于x 的不等式222m x mx m +>+．（2）已知关于x 的不等式22k kx x ->+的解为12x >-，求实数k 的值．典例剖析05 解下列关于x 的不等式：（1）x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0；（2）ax 2－2≥2x －ax ；（3）ax 2＋2x ＋1>0．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）已知不等式()21680k x x --+<的解是425x x <->或，则k =_____．（2）已知不等式20x px q ++<的解集是32x -<<，则p q +=________．（3）不等式20ax bx c ++>的解集为23x <<，则20ax bx c -+>的解是_____．（4）已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．（ⅰ）求a ，b 的值； （ⅱ）解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.小试牛刀02 解下列不等式：（1）2x 2－3x －2≥0； （1）－3x 2＋6x >2.小试牛刀03 解下列关于x 的不等式：（1）56x 2－ax －a 2<0.（2）21()10(0,)x a a a a-++<≠为实数（3）220()x x a a ++<为实数．小试牛刀04 已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．小试牛刀05 已知一元二次方程240x x k -+=，求下列各条件下，实数k 的取值范围．（1） 方程有两个正根；（2）方程有一正一负两个根；（3）有两个大于1的根．2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料08 三个“二次”的关系◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 一元二次不等式形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．知识链接02 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根一元二次方程 ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集x <x 1或x >x 2x ≠x 1全体实数一元二次方程 ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集x 1< x <x 2 无 解 无 解知识链接03 一元二次不等式的解法（1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．（2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．知识链接04 含有字母系数的一元一次不等式一元一次不等式最终可以化为 (0)ax b a >≠的形式．（1）当0a >时，不等式的解为：bx a >； （2）当0a <时，不等式的解为：bx a<；（3）当0a =时，不等式化为：0x b ⋅>；① 若0b >，则不等式的解是全体实数； ② 若0b ≤，则不等式无解．◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 解下列不等式：（1）2320x x -+< ； （2）2654x x +<； （3）2320x x +-≥； （4）2210x x -->； （5）24410x x -+>； （6）2530x x -+<．【解析】（1）不等式可化为(1)(2)0x x --<，∴ 不等式的解集是{|12}x x <<；（2）不等式可化为(21)(34)0x x -+<，∴ 不等式的解集是41{|}32x x -<<； （3）不等式可化为2230x x --≤，即(1)(3)0x x +-≤，∴ 不等式的解集是{|13}x x -<<；（4）不等式可化为(21)(1)0x x +-> ∴ 不等式的解是112{|}x x x <->或； （5）不等式可化为2(21)0x ->，∴ 不等式的解集是1{|}2x x ≠； （6）2530x x -+=的根为513x ±= 513513x -+<<．典例剖析02 解下列不等式：（1）22120(0)x ax a a --<< ； （2）()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭(01)a <<． 【解析】（1）{|43}x a x a <<-； （2）1{|}x a x a<<．典例剖析03 已知不等式210ax bx ++>的解为1123x -<<，求a 和b 的值， 并解不等式250bx x a --≤．【解析】 依题意，12-和13是方程210ax bx ++=的两根， 法1：由韦达定理，∴ 1123b a-+=-，11123a -⨯=，解得6a =-，=1b -．法2：直接代入方程得，2211()()102211()()1033a b a b ⎧⨯-+⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+=⎪⎩，解得6a =-，=1b -∴ 不等式250bx x a --≤为2560x x +-≥，解得1x >或6x <-．∴ 不等式250bx x a --≤的解集为{|16}x x x ><-或．典例剖析04 已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2>0，Δ＝42－4（a ＋2）（a －1）<0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧a >－2，（a －2）（a ＋3）>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >－2，a <－3或a >2，所以a >2．典例剖析05 （1）解关于x 的不等式222m x mx m +>+．（2）已知关于x 的不等式22k kx x ->+的解为12x >-，求实数k 的值．【解析】（1）分m 与0，2的大小关系讨论；（2）32k =-．典例剖析06 解下列关于x 的不等式：（1）x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0； （2）ax 2－2≥2x －ax ； （3）ax 2＋2x ＋1>0．【解析】（1）将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0.∴a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}． 当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∴R 且x ≠a }．（2）原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0∴(ax －2)(x ＋1)≥0.∴当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0∴x ≤－1.∴当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0∴x ≥2a 或x ≤－1. ∴当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； 当2a <－1，即a >－2，原不等式等价于2a≤x ≤－1． 综上所述，当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a ； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1； 当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∴⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞． （3）略．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）已知不等式()21680k x x --+<的解是425x x <->或，则k =_____．4- （2）已知不等式20x px q ++<的解集是32x -<<，则p q +=________．5- （3）不等式20ax bx c ++>的解集为23x <<，则20ax bx c -+>的解是________．32x -<<- （4）已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．（ⅰ）求a ，b 的值； （ⅱ）解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.【解析】（4）（ⅰ）因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b >1且a >0.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.（ⅱ）不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0无解.所以，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0无解.小试牛刀02 解下列不等式：（1）2x 2－3x －2≥0； （1）－3x 2＋6x >2.x ≤－12或x ≥2 1－33<x <1＋33小试牛刀03 解下列关于x 的不等式： （1）56x 2－ax －a 2<0. （2）21()10(0,)x a a a a-++<≠为实数 （3）220()x x a a ++<为实数．【解析】（1）56x 2－ax －a 2<0∴(7x －a )(8x ＋a )<0∴⎝⎛⎭⎫x －a 7⎝⎛⎭⎫x ＋a 8<0 当a >0时，a 7>－a 8.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－a 8<x <a 7； 当a ＝0时，a 7＝－a 8，原不等式可化为x 2<0. ∴原不等式无解； 当a <0时，a 7<－a 8.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |a 7<x <－a 8. （2）原不等式可变为：1()()0x a x a --<，（ⅰ）当1a >或10a -<<时，{}1x x a a<<； （ⅱ）当1a =±时，无解；（ⅲ）当01a <<或1a <-时，{}1x a x a<<． （3）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=，44a ∆=-，当1a ≥时，440a ∆=-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-±-，所以220x x a ++<的解为：1111a x a ---<<-+-综上所述，1a ≥时，原不等式无解；当1a <时，原不等式的解为：{|1111}x a x a ---<<-+-．小试牛刀04 已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．【解析】 222000111(2)4010k k k k k k k k >>>⎧⎧⎧⇒⇒⇒>⎨⎨⎨<->--<->⎩⎩⎩或． 小试牛刀05 已知一元二次方程240x x k -+=，求下列各条件下，实数k 的取值范围．（1）方程有两个正根；（2）方程有一正一负两个根；（3）有两个大于1的根．（1）04k << （2）0k < （3）34k <≤。
二次函数
第四节 二次函数考纲解读 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.命题趋势探究 对于二次函数，高考中主要考察二次函数的性质及其应用，尤其是二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用.重点考察数形结合与等价转化以及分类讨论三种数学思想.由于二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，在高中数学中应用十分广泛，并对考查学生的数学能力有重要意义，所以以二次函数为命题背景仍将是一个热点.知识点精讲一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程.（3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标.2．二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--. (1) 单调性与最值①当0a >时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2bx a=-时， 2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，；2max4()ac b f x -=.图2-9(2) 与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x，1212||||||M M x x a =-==. 二、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p qx +=： （1） 若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==； （2） 若02b p x a <-<，则(),()2bm f M f q a =-=；（3） 若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a =-=；（4） 若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==.三、一元二次方程与二次函数的转化1．实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c x x a=< 2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1） 开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表2-5所示. 表2-5四、二次不等式转化策略1. 二次不等式的解集与系数的关系若二次不等式2()0f x ax bx c =++≤的解集是0(,][,)a b a c a αβαβαβ⎧⎪<⎪⎪-∞+∞⇔+=-⎨⎪⎪⋅=⎪⎩二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与x 轴交点横坐标有关的.2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠.()0f x >恒成立0a >⎧⇔⎨∆<⎩；()0f x <恒成立0a <⎧⇔⎨∆<⎩. 注 若表述为“已知函数2()f x ax bx c =++”，并未限制为二次函数，则应有()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨>⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨<⎩. 五、二次函数有关问题的求解方法与技巧有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1） 要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问 题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2） 对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负. 题型归纳及思路提示题型20 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系思路提示 二次函数、二次方程、二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答，利用数形结合思想进行分析.例2.41 “0a <”是“方程2210ax x ++=至少有一个负数根”的（ ）Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件变式1 已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0A m f m =<，则（ ）. A. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +> B. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +< C. 0m A ∃∈，使得0(3)0f m += D. 0m A ∃∈，使得0(3)0f m +<变式2 已知函数2()24(03)f x ax ax a =++<<，若12x x <，121x x a +=-，则（ ）. A. 12()()f x f x < B. 12()()f x f x =C. 12()()f x f x >D. 1()f x 与2()f x 的大小不能确定例 2.42 已知函数2()(,)f x x ax ba b R =++∈的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为_____________. .评注 本题的关键在于将二次不等式转化为二次方程求解.即不等式2x ax b c ++<的解集为(,6)m m +与方程2x ax b c ++=的实根12,x x 之间的联系，即12||6x x -=.变式1 设a R ∈，若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥，则______a =.变式2 （2012北京理14）已知()(2)(3),()22xf x m x m x mg x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<，则m 的取值范围是________.题型21 二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件思路提示 结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.例2．43 已知,αβ是方程2(21)420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求实数m 的取值范围.评注 利用图像法研究二次方程根的分布问题，会起到事半功倍的效果.变式1 关于x 的方程22(1)210m x mx -+-=的两个根，一个小于0，一个大于1.求实数m 的取值范围.变式2 已知二次函数2()2(,)f x x bx c b c R =++∈满足(1)0f =,且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间(3,2)--和(0,1)内，求实数b 的取值范围.例 2.44 已知方程32230(,,)x ax bx c a b c R +++=∈的三个实根可分别作为一个椭圆、一）.A. )+∞B. )+∞C. )+∞D. )+∞变式1 设直线2y x m =-+与y 轴相交于点P ，与曲线22:33(1)C x y x -=≥相交于Q ，R ，且|PQ|<|PR |,求||||PR PQ 的取值范围.题型22 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题思路提示 根据二次函数图像，分析对称轴与区间的位置关系.例2.45 函数2()23f x x ax =--在区间[1,2]上是单调函数，则（ ）. A. (,1)a ∈-∞ B. (2,)a ∈+∞ C. [1,2) D. (,1][2,)a ∈-∞+∞评注 在处理“动轴定区间”问题时，首先应确定不定量，即区间一定，然后根据题目要求分类讨论对称轴与区间的相对位置关系，求解参数的范围.变式1 函数2()23f x x kx =-+在[1,)-+∞上是增函数，求实数k 的取值范围.例2.46 求函数2()21f x x ax =--在[0,2]上的值域. .评注 在求二次函数的最值时，要注意定义域是R 还是区间[,]m n ，若是区间[,]m n ，最大（小）值不一定在对称轴处取得，而应该看对称轴是在区间[,]m n 内还是在 区间的左边或右边.在区间的某一边时，应该利用函数的单调性求解，最值不在对称轴处取得，而在区间的端点处取得.变式1 已知函数22()4422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上有最小值3，求实数a 的值.例2.47 已知二次函数2()23f x x x =--，若()f x 在[,1]t t +上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式.变式1 已知二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)0,(1)1f f ==，若()f x 在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，求,m n 的值.变式2 已知函数2()1f x x =+的定义域为[,]()a b a b <，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(,)a b 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形面积为 A.8 B.6 C.4 D.2最有效训练7（限时45分钟）1.函数2263,[1,1]y x x x =-+∈-，则y 的最小值是（ ）.A. 32-B. 3C. 1-D.不存在 2.已知,,a b c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或13. 函数y =x 2+mx +1的图像关于直线x =1对称的充要条件是( ). A. m =-2 B. m =2 C. m =-1 D. m =14. 已知函数ƒ(x )=ax 2+bx +c ，且a >b >c ，a +b +c =0，则( ). A. ∀x ∈(0,1)，都有ƒ(x )>0 B. ∀x ∈(0,1)，都有ƒ(x )<0 C. ∃x 0∈(0,1)，都有ƒ(x 0)=0 D. ∃x 0∈(0,1)，都有ƒ(x 0)>05. 已知点A (0,2)，B (2,0)，若点C 在函数y =x 2的图像上，则使得∆ABC 的面积为2的点C 的个数为( ). A. 4 B. 3 C. 2 D. 16. 已知函数ƒ(x )=2x 2+(4-m )x +4-m ，g (x )=mx ，若对于任意实数x ，ƒ(x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( ).A. [-4,4]B. (-4,4)C. (-∞,4)D. (-∞,-4)7. 若函数ƒ(x )=x 2+(a +2)x +b (x ∈[a ,b ])的图像关于直线x =1对称，则ƒ(x )max =________.8. 关于x 的方程2x 2+ax -5-2a =0的两实根可分别作为一个椭圆与一个双曲线的离心率，则实数a 的取值范围是________.9. 当x ∈[0,2]时，函数ƒ(x )=ax 2+4(a -1)x -3在x =2时取得最大值，则a 的取值范围是________.10.已知二次函数ƒ(x )=ax 2-x +c (x ∈R)的值域为[0,+∞)，则c a a c+++22的最小值为________. 11.已知定义域为R 的函数ƒ(x )满足ƒ(ƒ(x )-x 2+x )=ƒ(x )-x 2+x. (1)若ƒ(2)=3，求ƒ(1)，又若ƒ(0)=a ，求ƒ(a )；(2)设有且仅有一个实数x 0，使得ƒ(x 0)=x 0，求函数ƒ(x )的解析式.12.已知二次函数ƒ(x )=x 2+mx +1(x ∈Z)，且关于x 的方程ƒ(x )=2在区间(-3,12)内有两个不同的实根.(1)求ƒ(x )的解析式；(2)若x ∈[1,t](t>1)时，总有ƒ(x -4)≤4x 成立，求t 的最大值.。
26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系(课件)九年级数学下册(华东师大版)
公共点，则实数a的值为______．
【分析】根据函数y＝ax2﹣(a+3)x﹣1的图象与x轴 只有一个公共点，分a≠0和a＝0两种情况进行讨论，
从而确定出a的值．
解：当a≠0时，
∵关于x的函数y＝ax2﹣(a+3)x﹣1的图象与x轴只有
一个公共点， ∴Δ＝[-(a+3)]2﹣4a(-1)＝a2+10a+9＝0， 解得：a＝-1或-9，
y
y ax2 bx c
O
k1
k2 x
y=0
二次函数的图象 与 x 轴的交点.
问题1 二次函数 y = ax2 + bx+ c 的图象与 x 轴 (直线 y = 0) 的交点的横坐标是一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 的根，那么二次函数 y = ax2 + bx + c 与直线 y = h 的 交点的横坐标是否也是某一个一元二次方程的根呢？
∵函数 y m 1 x2 3x 2 的图象与 x 轴有且只有一个交点，
∴m1 x2 3x 2 0 有 2 个相等的实数根，
∴ 9 8m1 0 ，
解得 m 1 ．
8
故答案为：
1
或
1 8
．
课堂练当习堂练习
1.抛物线 y＝x2＋x＋c 与 x 轴只有一个公共点，则 c 的 值为( B ) A．－1
解：如图，连结AE，BE， ∵当x＝0时，y1＝1， ∴A(0，1)．
∵B(3，1)，
∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等．
∵△ACE与△BDE的面积相等，∴CE＝DE，
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点 一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念 二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点 分式不等式的解法 分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;（3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;（4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点 高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】 （A ）{}52>-<x x x 或 （B ）{}25>-<x x x 或 （C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或 （D ）{}44>-<a a a 或分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m分析 本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.（1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;（2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）.分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax （0≠a ）得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评 不等式02>-x ax （0≠a ）可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值;（2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）.解:（1）由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;（2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . （1）若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;（2）若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;（2）当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .（1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;（2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;（2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;（2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【 】（A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2（b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .（1）求b a ,的值;（2）设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:（1）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;（2）由（1）可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;（2）∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .（1）若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:（1）∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; （2）∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论 一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:（1）若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;（2）若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x （当且仅当12=+y x 时,等号成立） ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.（1）解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-（∈a R ）;（2）若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . （2）由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.（1）已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;（2）已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:（1）∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;（2）证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M . （1）当M 为空集时,求m 的取值范围;（2）在（1）的条件下,求1522+++m m m 的最小值;（3）当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:（1）∵不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;（2）由（1）可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;（3）由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内 设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析 本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论 一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.（1）若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; （2）若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; （3）若21x k x <<,则有:()0<k f ;（4）若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k（5）若11k x <,且22k x >（21k k <）,则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; （6）()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; （2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. （1）求实数b a ,的值; （2）若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析 （1）一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;（2）注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:（1）∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; （2）由（1）可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。
二次函数与方程不等式的关系
二次函数与方程不等式的关系一、知识点梳理1、二次函数表达式的几种常见方法（1）三点式（或一般式）：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数且，表达式的右边是二次三项式的一般形式，当已知抛物线上不共线的三点坐标时，通常把三点坐标代入表达式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解.（2）顶点式：k h x a y +-=2)()0,,(≠a k h a 为常数且由抛物线的表达式右边可知，抛物线的顶点坐标为),(k h ，当已知抛物线的顶点和抛物线上另一点时，通常设函数表达式为顶点式，然后代入另一个点的坐标，解关于a 的一次方程来求。
当已知两点的坐标和对称轴时，亦可将其代入k h x a y +-=2)(中求解.2、二次函数 c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系抛物线：c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，恰为一元二次方程02=++c bx ax 的实根. 因为x 轴上的点的纵坐标都为0,所以求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，可利用函数表达式c bx ax y ++=2来求，只需令0=y ,得一元二次方程02=++c bx ax ,方程的解即为交点的横坐标.抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点有三种情况：（1）当042＞ac b -时，方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根21,x x ，拋物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x x ；（2）当042=-ac b 时，方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根2a -21b x x ==， 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点)0,2(ab -; （3）当042＜ac b -时，方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线与x 轴没有交点.3、二次函数的图像与一次函数图像的交点一次函数()0≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y ,n kx y 2的解的个数来确定： （1）方程组有两组不同的解-----L 与G 有两个交点；（2）方程组只有一组解-----L 与G 只有一个交点；（3）方程组无解-----L 与G 没有交点。
第22章《二次函数》讲义 第8讲 二次函数与方程(有答案)
第3讲 二次函数与方程、不等式1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3.两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．（1）、a+b+c 的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定:点在x 轴上方，则a+b+c 。
点在x 轴下方，则a+b+c 。
点在x 轴上，则a+b+c 。
（2）、a-b+c 的符号：由x=－1时抛物线上的点的位置确定:点在x 轴上方，则a －b+c 。
点在x 轴下方，则a －b+c 。
点在x 轴上，则a －b+c 。
（3）、2a±b 的符号： 由对称轴与X=1或X=-1的位置相比较的情况决定. （4）、b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0； 1个交点，b 2-4ac=0； 没有交点，b 2-4ac ＜0．1、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①、当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-. ②、当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③、当0∆<时，图象与x 轴没有交点.（1）当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；（2）当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2、抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3、二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母考点1、待定系数法求二次函数解析式例1、已知点A（2，3）在函数y=ax2-x+1的图象上，则a等于（）A．－1 B．1 C．2 D．－2例2、若一次函数y=x+m2与y=2x+4的图象交于x轴上同一点，则m的值为（）A．m=2 B．m=±2 C．m=D．m=±例3、已知抛物线顶点为（1，3），且与y轴交点的纵坐标为-1，则此抛物线解析式是．例4、已抛物线过点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，且BC=，则这条抛物线的解析式为．例5、二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（2，3），且顶点在直线y=3x-2上，则二次函数的关系式为：．例6、已知二次函数的图象经过点（0，－1）、（1，－3）、（－1，3），求这个二次函数的解析式．并用配方法求出图象的顶点坐标．例7、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x上，且这个顶点到原点的距离为又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于－1，求此抛物线的解析式．1、已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线的图象经过（3，0）点，则这条抛物线的解析式是（）A．y=-x2-4x-3 B．y=-x2-4x+3 C．y=x2-4x-3 D．y=-x2+4x-32、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的和为-4，积是-5，且抛物线经过点（0，-5），则此抛物线的解析式为（ C ）A．y=x2-4x-5 B．y=-x2+4x-5 C．y=x2+4x-5 D．y=-x2-4x-53、已知二次函数y=x2+bx+c的图象过A（c，0），对称轴为直线x=3，则此二次函数解析式为．4、抛物线y=ax2+bx+c中，已知a：b：c=l：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为．5、已知y与x2+2成正比例，且当x=1时，y=6．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，12）在函数图象上，求a的值．6、如图，抛物线y=2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式．考点2、函数与方程例1、如果抛物线y=x2+（k-1）x+4与x轴有且只有一个交点，那么正数k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6例2、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则以下关于m的结论正确的是（）A．m的最大值为2 B．m的最小值为－2C．m是负数D．m是非负数例3、设抛物线y=x2+kx+4与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），则下列结论中，一定成立的是（）A．x12+x22=17 B．x12+x22=8 C．x12+x22＜17 D．x12+x22＞8例4、已知抛物线y=x2-2ax+a+2的顶点在x轴上，则方程的实数根的积为．☆例5、已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若m为整数，且抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式；（3）若直线y=x+b与（2）中的抛物线没有交点，求b的取值范围．1、抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个2、如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE=BE，则下列关系式中不能成立的是（）A．b=0 B．S△ABE=c2 C．ac=-1 D．a+c=03、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（-1，0）和（5，0）两点，则该抛物线的对称轴是．4、已知抛物线y=x2+kx+4-k交x轴于整点A、B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为．5、已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．考点3、二次函数与不等式（组）例1、如图，是二次函数和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象，写出y1＞y2时x的取值范围是（）A．－2＜x＜1 B．x＜－2或x＞1 C．x＞－2 D．x＜1例2、若函数y=mx2+mx+m-2的值恒为负数，则m取值范围是（）例3、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（1，3）及部分图象（如图所示），其中图象与横轴的正半轴交点为（3，0），由图象可知：①当x 时，函数值随着x的增大而减小；②关于x的一元二次不等式ax2=bx+c＞0的解是．例4、如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于 A（-2，4）、B（8，2）两点，则能使关于x的不等式ax2+（b-k）x+c-m＞0成立的x的取值范围是．例5、如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0），B（5，3）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集（直接写出答案）；（3）若抛物线与y轴交于C，求△ABC的面积．1、抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）和直线y=mx+n（m≠0）相交于两点P（-1，2），Q（3，5），则不等式-ax2+mx+n＞bx+c的解集是（）A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞32、已知：二次函数y=x2-4x+a，下列说法中错误的个数是（）①当x＜1时，y随x的增大而减小②若图象与x轴有交点，则a≤4③当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，－2），则a=－3．A．1 B．2 C．3 D．43、直线y=-3x+2与抛物线y=x24、已知函数y=x2-2x-3的图象，根据图象回答下列问题．（1）当x取何值时y=0．（2）方程x2-2x-3=0的解是什么？（3）当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？（4）不等式x2-2x-3＜0的解集是什么？5、如图，二次函数的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，-3），一次函数y2=mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围．1、一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（－1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝－2（x－1）2＋3 B．y＝－（2x＋1）2＋3C．y＝－2（x＋1）2＋3 D．y＝－（2x－1）2＋32、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是1，-1，给出下列结论：①a+b+c=0；②b=0；③a=1．c=-1．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3、已知：二次函数y=x2-4x-a，下列说法中错误的个数是（）①若图象与x轴有交点，则a≤4②若该抛物线的顶点在直线y=2x上，则a的值为-8③当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-1⑤若抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为x1、x2，则当x取x1+x2时的函数值与x取0时的函数值相等．A．1 B．2 C．3 D．44、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为，5、如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1．若抛物线与x轴一个交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c≥0的解集是：．6、若关于x的方程3x2+5x+11m=0的一个根大于2，另一根小于2，则m的取值范围是．7、如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A（-2，4），B（8，2），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是．8、已知点（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴是．9、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（－4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线y=mx+n经过A（－4，0）、C（0，3）两点．（1）写出方程ax2+bx+c=0的解；（2）若ax2+bx+c＞mx+n，写出x的取值范围．10、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．11、如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）结合（1）（2）及图象，直接写出使一次函数的值大于二次函数的值的x的取值范围．1、若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜bC．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x22、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一点，如果∠ABC=∠ACB，求：（1）点C的坐标；（2）图象经过A、B、C三点的二次函数的解析式．3、在直角坐标平面内，二次函数图象的经过A（-1，0）、B（3，0），且过点C（0，3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）若P是该抛物线上一点，且△ABC与△ABP面积相同，求P的坐标．1、抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交点的情况是（）A．无交点B．一个交点C．两个交点D．无法确定2、已知函数y=ax2+bx+z的图象如图所示，那么函数解析式为（）A．y=-x2+2x+3 B．y=x2-2x-3 C．y=-x2-2x+3 D．y=-x2-2x-33、如图，已知直线y=kx+b（k＞0）与抛物线y=x2交于A、B两点（A、B两点分别位于第二和第一象限），且A、B两点的纵坐标分别是1和9，则不等式x2-kx-b＞0的解集为（）A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3C．1＜x＜9 D．x＜1或x＞9（2）（3）4、已知二次函数y=2x2-（4k+1）x+2k2-1的图象与x轴交于两个不同的点，则关于x的一元二次方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5、已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G6、已知抛物线y=（m-1）x2+x+1与x轴有交点，则m范围是．7、已知二次函数的图象关于直线x=3对称，最大值是0，在y轴上的截距是-1，这个二次函数解析式为．8、如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c=0④ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；⑤8a+c＞0．其中正确的命题是．9、如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；（2）观察图象，当x取何值时，y＜0？y=0？y＞0？10、已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：（1）求出函数的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程和顶点坐标？（3）当x取何值时y随x的增大而减小？（4）方程ax2+bx+c=0的解是什么？（5）不等式ax2+bx+c＞0的解集是什么？11、如图，抛物线y=-x2+3x-n经过点C（0，4），与x轴交于两点A、B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值．12、如图，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=点E．（1）求点E的坐标；（2）求过A、O、E三点的抛物线的解析式．参考答案第8讲二次函数与方程、不等式考点1、待定系数法求二次函数解析式例1、B例2、D例3、例4、例5、例6、例7、1、D2、C3、4、5、6、考点2、函数与方程例1、C例2、A例3、D例4、例5、解：（1）证明：分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x-2=0，∴x=2，方程有实数根；②当m≠0，则一元二次方程的根的判别式△=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1=（m+1）2∴不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根；综合①、②，可知m取任何实数，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根．（2）设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．令y=0，则mx2-（3m-1）x+2m-2=0∴抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．∵|x1-x2|=2，∴|2-x2|=2，当m=1时，y=x2-2x，把（2，0）代入，左边=右边，m=1符合题意，∴抛物线解析式为y=x2-2x答：抛物线解析式为y=x2-2x；1、D2、D3、4、5、考点3、二次函数与不等式（组）例1、B例2、C例3、例4、例5、1、C2、A3、4、5、1、C2、A3、B4、5、6、7、8、9、10、11、1、C2、3、1、C2、A3、B4、B5、C6、7、8、9、10、11、12、31。
二次函数与一元二次不等式的关系
二次函数与一元二次不等式的关系二次函数和一元二次不等式都是数学中重要的概念。
它们在实际问题的建模和解决中经常被使用，并且彼此之间有着密切的联系。
本文将探讨二次函数与一元二次不等式之间的关系，并探讨如何使用二次函数的性质来解决一元二次不等式。
1. 二次函数的定义和性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。
二次函数的图像为抛物线，开口的方向由a的正负确定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数还具有对称轴、顶点、零点等重要的性质。
2. 一元二次不等式的定义和解法一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或 < 0、≥ 0、≤ 0）的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。
解一元二次不等式的关键是确定不等式的解集，即使不等式成立的x的取值范围。
3. 二次函数与一元二次不等式的关系二次函数和一元二次不等式之间存在密切的联系。
当二次函数的值大于0时，即f(x) > 0时，对应的区间可以表示为一元二次不等式的解集。
同样地，当二次函数的值小于0时，即f(x) < 0时，对应的区间也可以表示为一元二次不等式的解集。
4. 利用二次函数的性质解一元二次不等式利用二次函数的性质可以更方便地解一元二次不等式。
首先，找到二次函数的顶点，顶点的纵坐标即为二次函数的最值。
当一元二次不等式是大于或小于的形式时，可以通过比较函数值与最值的关系来确定解集。
当一元二次不等式是大于等于或小于等于的形式时，需要考虑函数值等于最值的情况。
5. 实际问题的应用二次函数与一元二次不等式的关系在实际问题的建模和解决中应用广泛。
例如，求解一个区间内的一元二次不等式可以通过对应的二次函数图像的查看得到。
又如，在优化问题中，构建二次函数模型后可以通过一元二次不等式的解集来确定最优解的取值范围。
总结：二次函数与一元二次不等式之间存在紧密的关系，二次函数可以通过其性质帮助我们解决一元二次不等式。
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(全部)
【对点练习】❶ 若关于 x 的不等式 ax2＋(a－2)x－2≤0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
题型二 一元二次方程根的分布 例 2 已知方程 8x2－(m－1)x＋m－7＝0 有两实根，如果两实根都大于 1，求实数 m 的取值范围．
[归纳提升] 方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布情况如下，其中 x1，x2 为该方程两根：
【对点练习】❶ 不等式 6x2＋x－2≤0 的解集为
.
题型二 三个“二次”的关系 例 2 已知不等式 ax2－bx＋2<0 的解集为{x|1<x<2}，求 a，b 的值．
[归纳提升] 给出了一元二次不等式的解集，则可知 a 的符号和 ax2＋bx＋c＝0 的两实根，由根与系数的关系
可知 a，b，c 之间的关系．
)
1－4x
|－1≤x≤1
A． x 3 4
|－1≤x<1
B． x 3 4
|x>1或 x≤－1
C． x 4
3
|x≥1或 x≤－1
D． x 4
3
x－1 3．已知 0<a<1，关于 x 的不等式(x－a) a >0 的解集为( )
|x<a 或 x>1
A． x
a
B．{x|x>a}
|x<1或 x>a
C． x a
课堂检测 1．求下列不等式的解集：
(1)(x＋2)(x－3)>0；(2)3x2－7x≤10；(3)－x2＋4x－4<0；(4)x2－x＋1<0；(5)－2x2＋x≤－3；(6)x2－3x＋4>0. 4
2．当自变量 x 在什么范围取值时，下列函数的值等于 0？大于 0？小于 0?
三个二次在函数中的应用解读
三个“二次”在函数中的应用奉贤中学姚建新2009年【学习目标】1．掌握二次函数、二次方程、二次不等式三个“二次”之间内在的联系。
2．较熟练地运用三个“二次”解决相关的问题。
3．通过三个“二次”的学习，提高分析问题、解决问题和综合思考问题的能力。
4．培养积极地探索精神和树立事物间普遍联系的辩证唯物主义观点。
【学习重点与难点】三个“二次”之间的相互转化及综合应用【课前小练】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系。
填空：【课堂讲解】例题：已知不等式11)1(22-≤+-+≤-x m x 有唯一解，求实数m 的值变式1：关于x 的二次方程x 2+(m-1)x+1=0在区间[]2,0上有两解，求实数m 的取值范围变式2：关于x 的二次方程x 2+(m-1)x+1=0在区间[]2,0上有解，求实数m 的取值范围变式3：若抛物线y= x 2+(m-1)x+1与连接两点M(0,-1),N(2,3)的线段（包括M,N 两点）有两个不同的交点，求实数m 的取值范围变式4：关于x 的不等式x 2+(m-1)x+1>0在区间[]2,0恒成立，求实数m 的取值范围变式5：若抛物线y= x 2+(m-1)x+1恒在连接两点M(0,-1),N(2,3)的线段（包括M,N 两点）的上方，求实数m 的取值范围【课后反馈】1、 已知不等式61022≤++≤px x 有唯一解，求p 的值2、 已知当m ∈R 时，函数f(x)=m(x 2-1)+x-a 的图像和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围3、 已知二次函数f(x)=x 2-3x+p-1,若在区间[0,1]内至少存在一个实数，使f(c)>0，求实数p的取值范围4、 设f(x)=4x 2-4(a+1)x+3a+3(a )R ∈,若方程f(x)=0有两个均小于2的不同实数根，问关于x的不等式(a+1)x 2-ax+a-1<0是否对于一切实数x 都成立？5、 设函数54)(2--=x x x f 。
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二次函数、二次方程及二次不等式的关系 重难点归纳 1 二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法 y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n
(2)当a>0,f(x)在区间［p,q］上的最大值M，最小值m,令x0=21 (p+q)
若－ab2若p≤－ab2若x0≤－ab2若－ab2≥q,则f(p)=M,f(q)=m 2 二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件 (1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0;
(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r0)(,2,042rfarabacb
(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根;0)(,0)(,2,042pfaqfaqabpacb (4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立
(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p3 二次不等式转化策略 (1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是 (－∞,α])∪［β,+∞)a<0且f(α)=f(β)=0;
(2)当a>0时，f(α)当a<0时，f(α)|β+ab2|; (3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立
,0)(,2pfp
a
b
或;0)(;2,0)2(,2qfpababfqabp或
(4)f(x)>0恒成立 .00,0,00)(;0,0,0,0cbaaxfcbaa
或恒成立或
典型题例示范讲解 例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R) (1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B； (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围 命题意图 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力 知识依托 解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合 错解分析 由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数” 技巧与方法 利用方程思想巧妙转化
(1)证明由bxycbxaxy2消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+43)22cc2］ ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴43c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点
(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－ab2,x1x2=ac |A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 222
22
24444()4()bcbacacacaaaa
22134[()1]4[()]24cccaaa ∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 ∴a>－a－c>c,解得ac∈(－2,－21)
∵]1)[(4)(2acacacf的对称轴方程是21ac
ac∈(－2,－21)时，为减函数
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(32,3) 例2已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围 (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围 命题意图 本题重点考查方程的根的分布问题 知识依托 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义 错解分析用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点 技巧与方法 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制 解 (1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得
65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(mmRmmmfmffmf
∴2165m (2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组
21-1
o
yx
10,0,0)1(,0)0(mff
.01,2121,21,21mmmmm或 (这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过) 例3已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的
值都是非负的，求关于x的方程2ax=|a－1|+2的根的取值范围
解由条件知Δ≤0,即(－4a）2－4(2a+12)≤0,∴－23≤a≤2 (1)当－23≤a＜1时，原方程化为 x=－a2+a+6,∵－a2+a+6=－(a－21)2+425 ∴a=－23时，xmin=49,a=21时，xmax=425 ∴49≤x≤425 (2)当1≤a≤2时，x=a2+3a+2=(a+23)2－41 ∴当a=1时，xmin=6,当a=2时，xmax=12,∴6≤x≤12 综上所述,49≤x≤12 学生巩固练习 1 若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( ) A(－∞,2] B[－2,2] C(－2,2] D(－∞,－2) 2 设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为( ) A正数 B负数 C非负数 D正数、负数和零都有可能 3 已知二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是_________ 4 二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)
5 已知实数t满足关系式33loglogayataa (a>0且a≠1)
1oyx (1)令t=ax,求y=f(x)的表达式； (2)若x∈(0,2]时，y有最小值8，求a和x的值 6 如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围
7 二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足mrmqmp12=0,其中m>0,求证 (1)pf(1mm)<0; (2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解 8 一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元 (1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 参考答案 1 解析 当a－2=0即a=2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a=2,当a－2≠0
时，则a满足002a,解得－2＜a＜2,所以a的范围是－2＜a≤2 答案 C 2解析∵f(x)=x2－x+a的对称轴为x=21,且f(1)>0,则f(0)>0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1), ∴m－1＜0,∴f(m－1)>0 答案A
3 解析 只需f(1)=－2p2－3p+9>0或f(－1)=－2p2+p+1>0即－3＜p＜2
3
或－21＜p＜1∴p∈(－3, 23) 答案 (－3，23） 4 解析 由f(2+x)=f(2－x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， ∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|,∴－2＜x＜0 答案－2＜x＜0
5 解 (1）由loga33logayatt得logat－3=logty－3logta
由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=xxya3log, ∴logay=x2－3x+3，即y=a332xx (x≠0) (2)令u=x2－3x+3=(x－23)2+43 (x≠0),则y=au ①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8， 则u=(x－23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u在(0，2]上不存在最大值 ②若a>1,要使y=au有最小值8，则u=(x－23)2+43,x∈(0,2]应有最小值
∴当x=23时，umin=43,ymin=43a 由43a=8得a=16∴所求a=16,x=23 6 解 ∵f(0)=1>0 (1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意
(2）当m>0时，则030mm解得0＜m≤1 综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0} 7 证明 (1)])1()1([)1(2rmmqmmppmmpf
])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222mmmmmmpmpmpmpmmrmqmpmpm
)2()1(122mmpm,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，
pf(1mm)＜0 (2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r