(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题6.1 数列的概念与简单表示法(讲)

- 1 - 专题6.1 数列的概念与简单表示法 【考纲解读】

内 容 要 求 备注 A B C

数列

数列的概念 √ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分

别用A、B、C表示）. 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题. 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题. 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.

等差数列 √

等比数列 √ 【直击考点】 题组一 常识题 1． 数列1，－58，715，－924，„的一个通项公式是__________________．

2． 在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋1an－1(n≥2)，则a5＝________． 【解析】由题意可知，a1＝1，a2＝1＋1a1＝2，a3＝1＋1a2＝32，a4＝1＋1a3＝53，a5＝1＋1a4＝85. 3． 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋3，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)． 【解析】由数列{an}的通项公式，得an＋1－an＝[2(n＋1)＋3]－(2n＋3)＝2>0，所以{an}是递增数列． 题组二 常错题 4．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1n＋1，则该数列的第5项是________． 【解析】由数列{an}的通项公式为an＝n－1n＋1，得a5＝5－15＋1＝46＝23，即数列{an}的第5项是 - 2 -

23.

5．已知数列2，5，22，11，„，则25是该数列的第________项． 【解析】∵a1＝2，a2＝5，a3＝8，a4＝11，∴a5＝14，a6＝17，a7＝20＝25，即25是该数列的第7项． 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为______________． 【解析】当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5.

显然当n＝1时，不满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝2，n＝1，6n－5，n≥2.

7．设函数f(x)＝（3－a）x－3，x≤7，ax－6，x>7，数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，该实数a的取值范围是________．

【解析】∵数列{an}是递增数列，且an＝f(n)，n∈N*，∴

3－a>0，a>1，

f（8）>f（7）

⇒2

题组三 常考题 8． 若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________．

9． 数列{an}满足an＋1＝11－an，a8＝2，则a1＝________． 【解析】由题易知a8＝11－a7＝2，得a7＝12；a7＝11－a6＝12，得a6＝－1；a6＝11－a5＝－1，得a5＝2，于是可知数列{an}具有周期性，且周期为3，所以a1＝a7＝12. 10． 设数列{an}满足a1＝0，且an－an－1＝n(n≥2)，则数列{an}的通项公式为____________. 【解析】由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，„，an－an－1＝n(n≥2)，以上各式相加，得an

－a1＝2＋3＋„＋n＝（n－1）（n＋2）2＝n2＋n－22(n≥2)．因为a1＝0满足上式，所以an＝n2＋n－2

2.

【知识清单】 - 3 -

考点1数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式 1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}na. 对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的分类

3．数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N和正整数集N的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 4.数列的通项公式： 如果数列na的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即nafn,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.

分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限

按项与项间的大小关系分类

递增数列 1nnaa



其中n∈N＋ 递减数列 1nnaa



常数列 1nnaa



按其他标准分类

有界数列 存在正数M，使naM

摆动数列 na的符号正负相间，如1，－1,1，

－1，„ - 4 -

考点2由前n项和公式推导通项公式，即na与nS的关系求通项na 1. 数列的前n项和：12nnSaaa

2．数列na的前n项和nS和通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn 考点3由递推公式推导通项公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项na与它的前一项1na (2)n (或前几项)间的关系可用一个公式1()nnafa来表示，那么这个公式叫数列的递推公式． 考点4 数列的性质的应用 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 【考点深度剖析】 江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、不等式、平面解析几何知识结合考查. 【重点难点突破】 考点1数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式 【题组全面展示】 【1-1】数列2,5,11,20，x,47，„中的x等于________． 【答案】32

【1-2】已知函数()fx满足：(1)3,(2)6,(3)10,(4)15,ffff，则(12)f的值为_______． 【答案】91 【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值从第二次开始后一个式子的右端值等 - 5 -

于前一个式子的值与自变量的值加1的和，(2)(1)3,(3)(2)4,(4)(3)5,,(12)(11)13ffffffff，

1314121(2)(1)(3)(2)(12)(11)33413123413912ffffffff

．

【1-3】已知数列的前几项为112,123,134,145,„，则数列的一个通项公式为 . 【答案】111nnann. 【解析】这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式111nnann. 【1-4】已知数列的前几项为9,99,999,9 999，„，则数列的一个通项公式为 . 【答案】101nna 【解析】这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一个通项公式101nna. 【1-5】按数列的排列规律猜想数列23，45，67，89，„的第10项是_______． 【答案】－2021

综合点评：根据数列的前几项求数列的通项公式,做这一类题需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:分式中分子,分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征.并以此进行归纳,联想. 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含著“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证，对于正负符号变化，可用1n

或11n来调整． 【方法规律技巧】 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的 - 6 -

关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用1n或11n来调整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证. 3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 【新题变式探究】 【变式一】将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,为“梯形数”．根据图形的构

成，此数列的第2014项与5的差，即20145a_______． 【答案】10102013

【变式二】已知数列{an}中，*,naN对于任意*1,,nnnNaa若对于任意正整数k，在数列中恰有k个k出现，则2014a ． 【答案】63 【解析】由题意数列{}na就是如图数阵.确定2014a的值，就是确定数列{}na第2014个数在数阵中第几行.因为(1)63(631)62(621)12,2016,1953,222nnn所以2014a在数阵中第63行，所以201463.a

12,23,3,34,4,4,45,5,5,5,5

【综合点评】试题一是一个根据定义求数列的通项公式，做这一类题要注意观察每一项的特