2016-2017年福建省福州市鼓楼区文博中学八年级上学期期中数学试卷和答案
历年福建省福州市中考数学试题(含答案)
2016 年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题 （全卷共4页，三大题，27小题；满分150分；考试时间120分钟）友情提示：请把所有答案填写（涂）在答题卡上，请不要错位、越界答题！ 毕业学校 姓名 考生号一、选择题（共12 小题，每题3分．满分36分；每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是A ．0.7B ．21 C ．π D ．－8 2．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是A ．B ．C ．D ．3．如图，直线a 、b 被直线C 所截，∠1和∠2的位置关系是A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．对顶角4．下列算式中，结果等于a 6 的是A ．a 4＋a 2B ．a 2＋a 2＋a 2C ．a 4·a 2D ．a 2·a 2·a 2 5．不等式组⎩⎨⎧>->+0301x x 的解集是 A ．x ＞－1 B ．x ＞3 C ．－1＜x ＜3 D ．x ＜36．下列说法中，正确的是A ．不可能事件发生的概率为0B ．随机事件发生的概率为21 C ．概率很小的事件不可能发生D ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次7．A ，B 是数轴上两点，线段AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是8．平面宜角坐标系中，已知□ABCD 的三个顶点坐标分别是A （m ，n ），B ( 2，－l )，C （－m ，－n ），则点D 的坐标是A ．（－2 ，l )B ．（－2，－l )C ．（－1，－2 )D ．（－1，2 )9．如图，以O 为圆心，半径为1 的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是⌒AB 上一点（不与A ，B 重合），连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是第2题A ．（sin α，sin α）B ．（ cos α，cos α）C ．（cos α，sin α）D ．（sin α，cos α）10．下表是某校合唱团成员的年龄分布 年龄/岁 13 14 15 16 频数 5 15 x 10－x对于不同的x ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是A ．平均数，中位数B ．众数，中位数C ．平均数，方差D ．中位数，方差11．已知点A （－l ，m ），B ( l ，m ），C ( 2，m ＋l ）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是A B C D12．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2－4x ＋c ＝0一定有实数根的是A ．a ＞0B ．a ＝0C ．c ＞0D ．c ＝0二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）13．分解因式：x 2－4＝ ．14．若二次根式1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．15．已知四个点的坐标分别是（－1，1），（2，2），（32，23），（－5，－51），从中随机选一个点，在反比例函数y ＝x1图象上的概率是 ． 16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r 下，则r 上 r 下．（填“＞“，”“＝”“＜”)17．若x ＋y ＝10，xy ＝1 ，则x 3y ＋xy 3＝ ．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O ）为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是 ．三、解答题（共9 小题，满分90 分）19．（7分）计算：|－1|－38＋(－2016)0 .20．（7分）化简：a －b －ba b a ++2)( 21．（8分）一个平分角的仪器如图所示，其中AB ＝AD ，BC ＝DC ，求证：∠BAC ＝∠DAC .x y O x yO x y O x y O22．（8分）列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24 元，乙种票每张18 元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？23．（10分）福州市2011～2015年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了 万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是 万人；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．24．（12分）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为⌒AD 中点，连接BM ，CM ．（1）求证：BM ＝CM ；（2）当⊙O 的半径为2 时，求⌒BM 的长．25．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝215 ，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD ． （1）通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系；（2）求∠ABD 的度数．26．（13分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM ．（1）当AN 平分∠MAB 时，求DM 的长；（2）连接BN ，当DM ＝1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF的最大值．27．（13分）已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c ( a≠0）经过原点，顶点为A ( h，k ) （h≠0）．（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y＝tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y＝x2－x上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．。
福建省福州市文博中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷Word版含解析
2016-2017学年福建省福州市文博中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A． B．C．D．2．下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则＞C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若ab＞0，a＞b，则＜3．已知不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是∅，则（）A．a＜0，△＞0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≤0 D．a＞0，△＞0 4．已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=515．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°6．若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（）A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形7．下列函数中，y的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=x+（x＞0）C．y=x+（x＞0）D．y=+8．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，S6=60，则S9=（）A．192 B．300 C．252 D．3609．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S△ABC=（b2+c2﹣a2），则角B等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．1011．设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．412．将等差数列1，4，7…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是（）A．571 B．574 C．577 D．580二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡作答）.13．不等式组表示的平面区域是一个三角形，则这三角形的面积为．14．在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=．15．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，记M n=2a1a2…a n，求M n的最大值=．16．如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=1、2、3、…）则在第n个图形中共有个顶点．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，（1）求a的值；（2）求不等式＞a+5的解集．18．已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，A＜且sin（A﹣）=．（1）求sinA的值；（2）若△ABC的面积s=24，b=10，求a的值．19．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n．+1（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，tan∠ABC=﹣2．（I）若∠ACD=，求AC的长；（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面积．21．某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n的信息如图．（1）求a n；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？22．若数列{a n}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前项的和T n．（3）是否存在自然数m，使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．四、附加题（共20分）（8班的同学或做完以上题的同学，可以接着做附加题部分）23．若二次函数f（x）≥0的解的区间是[﹣1，5]，则不等式（1﹣x）•f（x）≥0的解为．24．已知{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，b n是a n 和a n的等比中项．+1（1）设c n=b n+12﹣b n2，n∈N+，求证：数列{c n}是等差数列；（2）设a1=d，T n=（﹣1）k b k2，n∈N*，求证：＜．2016-2017学年福建省福州市文博中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由数列的前4项分别是，可知：第n 项的符号为（﹣1）n +1，其绝对值为．即可得出．【解答】解：由数列的前4项分别是，可知：第n 项的符号为（﹣1）n +1，其绝对值为．因此此数列的一个通项公式为a n =．故选：C ．2．下列命题中正确的是（ ）A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＞b ，c ＜d ，则＞C ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣dD ．若ab ＞0，a ＞b ，则＜ 【考点】不等式的基本性质．【分析】由不等式的性质逐个选项验证可得．【解答】解：选项A ，当a ＞b 时，取c=0，则ac 2＞bc 2不成立，故错误；选项B，取a=d=1，b=0，c=﹣1，可得=﹣1，=0，显然＞不成立，故错误；选项C，取a=2，b=1，c=2，d=1，显然有a﹣c=b﹣d，故错误；选项D，∵ab＞0，a＞b，∴由不等式的性质可得，即＜，故正确．故选：D3．已知不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是∅，则（）A．a＜0，△＞0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≤0 D．a＞0，△＞0【考点】一元二次不等式的应用．【分析】由不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是∅，可得对应的二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象开口向上且与x轴至多一个交点，由此可得结论．【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是∅，∴对应的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上且与x轴至多一个交点，∴a＞0，△≤0故选C．4．已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A．a1+a101＞0 B．a2+a100＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据特殊数列a n=0可直接得到a3+a99=0，进而看得到答案．【解答】解：取满足题意的特殊数列a n=0，即可得到a3+a99=0故选：C．5．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°【考点】正弦定理的应用．【分析】结合已知及正弦定理可求sinA，进而可根据特殊角的三角形函数值可求A【解答】解：∵b=2asinB，由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB∵sinB≠0∴sinA=∴A=30°或150°故选D6．若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（）A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用余弦定理可判断最大角，从而可得答案．【解答】解：∵三条线段的长为5、6、7，∴满足任意两边之和大于第三边，∴能构成三角形，可排除D；设此三角形最大角为A，∵52+62﹣72=25+36﹣49=12＞0，∴cosA＞0，∴能组成锐角三角形．故选B．7．下列函数中，y的最小值为2的是（）A．y=x+B．y=x+（x＞0）C．y=x+（x＞0）D．y=+【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式：一正，二定，三相等，分别对各个选项进行验证即可的答案．【解答】解：基本不等式的应用要把握三条：一正，二定，三相等，缺一不可．故选项A，x≠0不能满足一正；选项C，y=x+（x＞0）≥=4；选项D，当时取等号，此时x2=﹣1，矛盾；故只由选项B正确．故选B8．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，S6=60，则S9=（）A．192 B．300 C．252 D．360【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的前n项和公式的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，即可得出．【解答】解：由等比数列的前n项和公式的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，∴=S3•（S9﹣S6），∴（60﹣12）2=12×（S9﹣60），解得S9=252．故选：C．9．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S△ABC=（b2+c2﹣a2），则角B等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC 的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2R sinC•sinC∴sinC=1，C=90°．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选B．10．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．10【考点】解三角形的实际应用．【分析】先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，=∴BC==10∴x=10∴x=故塔高AB=11．设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．4【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数可得6a+8b=12，即．然后利用“1”的代换，结合基本不等式求得最值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（6，8），化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为，由图可知，当直线为过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6a+8b=12．∴．则+=（）（）=．当且仅当a=b=时上式等号成立．故选：A．12．将等差数列1，4，7…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是（）A．571 B．574 C．577 D．580【考点】归纳推理．【分析】设各行的首项组成数列{a n}，则a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，…，a n﹣a n﹣1=3（n ﹣1），叠加可得：a n=+1，由此可求数阵中第20行从左至右的第3个数．【解答】解：设各行的首项组成数列{a n}，则a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，…，a n﹣a n﹣1=3（n﹣1）叠加可得：a n﹣a1=3+6+…+3（n﹣1）=，∴a n=+1∴a20=+1=571∴数阵中第20行从左至右的第3个数是577．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡作答）.13．不等式组表示的平面区域是一个三角形，则这三角形的面积为2．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出三角形三个顶点的坐标，得到|AB|，再由三角形面积公式得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（4，﹣1），联立，解得C（2，1），又A（0，﹣1），∴|AB|=4，则．故答案为：2．14．在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=1．【考点】三角形中的几何计算；三角形的面积公式．【分析】直接利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，所以，则|AC|=1．故答案为：1．15．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，记M n=2a1a2…a n，求M n的最大值= 64．【考点】等比数列的性质．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•（）=2=2，当n=3或4时，M n的最大值=2=64．故答案是：64．16．如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n=1、2、3、…）则在第n个图形中共有（n+2）（n+3）个顶点．【考点】归纳推理．【分析】本题考查的知识点是归纳推理，由已知图形中，我们可以列出顶点个数与多边形边数n，然后分析其中的变化规律，然后用归纳推理可以推断出一个一般性的结论．【解答】解：由已知中的图形我们可以得到：当n=1时，顶点共有12=3×4（个），n=2时，顶点共有20=4×5（个），n=3时，顶点共有30=5×6（个），n=4时，顶点共有42=6×7（个），…由此我们可以推断：第n个图形共有顶点（n+2）（n+3）个，故答案为：（n+2）（n+3）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，（1）求a的值；（2）求不等式＞a+5的解集．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）由已知不等式的解集得到ax2+5x﹣2=0的两个实数根为和2，利用韦达定理即可求出a的值；（2）将求出的a的值代入不等式中，变形后，根据两数相乘积小于0，得到两因式异号转化为两个一元一次不等式组，即可求出不等式的解集．【解答】解：（1）依题意可得：ax2+5x﹣2=0的两个实数根为和2，由韦达定理得： +2=﹣，解得：a=﹣2；（2）将a=﹣2代入不等式得：＞3，即﹣3＞0，整理得：＞0，即（x+1）（x+2）＜0，可得或，解得：﹣2＜x＜﹣1，则不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}．18．已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，A＜且sin（A﹣）=．（1）求sinA的值；（2）若△ABC的面积s=24，b=10，求a的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得cos（A﹣），再利用两角和的正弦公式求得sinA=sin[（A﹣）+]的值．（2）根据s=bc•sinA=24，求得c的值，再利用余弦定理求得a=的值．【解答】解：（1）△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，A＜且sin（A﹣）=，∴A﹣为锐角，故cos（A﹣）==，∴sinA=sin[（A﹣）+]=sin（A﹣）cos+cos（A﹣）sin=+=．（2）若△ABC的面积s=24，b=10，∴s=bc•sinA=•=24，∴c=6，∵cosA==，∴a====8．19．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n﹣1=b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n ===6（n +1）•2n ，∴T n =6[2•2+3•22+…+（n +1）•2n ]①，∴2T n =6[2•22+3•23+…+n•2n +（n +1）•2n +1]②，①﹣②可得﹣T n =6[2•2+22+23+…+2n ﹣（n +1）•2n +1]=12+6×﹣6（n +1）•2n +1=（﹣6n ）•2n +1=﹣3n•2n +2， ∴T n =3n•2n +2．20．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=6，tan ∠ABC=﹣2．（I ）若∠ACD=，求AC 的长；（Ⅱ）若BD=9，求△BCD 的面积．【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）由同角的三角函数的关系求出sin ∠ABC=，由正弦定理即可求出AC ，（Ⅱ）分别利用正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式即可求出．【解答】解：（Ⅰ）：∵AB ∥CD ，∠ACD=，∴∠BAC=∠ACD=，∵tan ∠ABC=﹣2，∴sin ∠ABC=﹣2cos ∠ABC ，∵sin 2∠ABC +cos 2∠ABC=1，∴sin ∠ABC=，由正弦定理可得=，∴=，∴AC=8，（Ⅱ）∵AB ∥CD ， ∴∠BCD=π﹣∠ABC ，∴sin ∠BCD=sin （π﹣∠ABC ）=sin ∠ABC=，∴cos ∠BCD=，由余弦定理可得BD 2=BC 2+CD 2﹣2BC•CD•cos ∠BCD ，即81=36+CD 2﹣2×6×CD ×，解得CD=2+∴S △BCD =CD•BCsin ∠BCD=×6×（2+）=6+3．21．某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用a n 的信息如图． （1）求a n ；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利； （3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？【考点】数列的求和；基本不等式；数列的函数特性．【分析】（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：a n=a1+2（n﹣1）=2n．（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=20n﹣n2﹣25，由此能求出引进这种设备后第2年该公司开始获利．（3）年平均收入为=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，由此能求出这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．【解答】解：（1）如图，a1=2，a2=4，∴每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，∴a n=a1+2（n﹣1）=2n．（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=21n﹣[2n+×2]﹣25=20n﹣n2﹣25，由f（n）＞0得n2﹣20n+25＜0，解得10﹣5＜n＜10+5，因为n∈N，所以n=2，3，4，…18．即从第2年该公司开始获利．（3）年平均收入为=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，当且仅当n=5时，年平均收益最大．所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．22．若数列{a n}是的递增等差数列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前项的和T n．（3）是否存在自然数m，使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比中项的定义即可得到首项和公差，即可得到通项公式；（2）b n==（﹣），利用“裂项求和”即可得出数列{b n}的前n项和为T n；（3）先确定≤T n＜，再根据使得＜T n＜对一切n∈N*恒成立，建立不等式，即可求得m的值．【解答】解：（1）在等差数列中，设公差为d≠0，由题意，∴，解得．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）由（1）知，a n=2n﹣1．则b n===（﹣），所以T n=（1﹣+﹣+﹣+﹣）=（1﹣）=；（3）T n+1﹣T n=﹣=＞0，∴{T n}单调递增，∴T n≥T1=．∵T n=＜，∴≤T n＜＜T n＜对一切n∈N*恒成立，则≤﹣＜∴≤m ＜∵m 是自然数，∴m=2．四、附加题（共20分）（8班的同学或做完以上题的同学，可以接着做附加题部分）23．若二次函数f （x ）≥0的解的区间是[﹣1，5]，则不等式（1﹣x ）•f （x ）≥0的解为 [﹣1，1]∪[5，+∞） ．【考点】二次函数的性质；其他不等式的解法．【分析】由已知可得：不等式（1﹣x ）•f （x ）≥0⇔（x ﹣1）（x +1）（x ﹣5）≥0，解出即可．【解答】解：∵二次函数f （x ）≥0的解的区间是[﹣1，5]，∴f （x ）=0的根分别是﹣1，5，且二次项的系数＜0．∴不等式（1﹣x ）•f （x ）≥0⇔（x ﹣1）（x +1）（x ﹣5）≥0，如图所示：上述不等式解集为[﹣1，1]∪[5，+∞）．故答案为[﹣1，1]∪[5，+∞）．24．已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N +，b n 是a n 和a n +1的等比中项．（1）设c n =b n +12﹣b n 2，n ∈N +，求证：数列{c n }是等差数列；（2）设a 1=d ，T n =（﹣1）k b k 2，n ∈N *，求证：＜．【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定．【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列{c n}的通项公式，结合等差数列的定义进行证明即可．（2）求出T n=（﹣1）k b k2的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可．【解答】证明：（1）∵{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n ∈N+，b n是a n和a n的等比中项．+1∴c n=b﹣b=a n+1a n+2﹣a n a n+1=2da n+1，﹣c n=2d（a n+2﹣a n+1）=2d2为定值；∴c n+1∴数列{c n}是等差数列；（2）T n=（﹣1）k b k2=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=2d（a2+a4+…+a2n）=2d=2d2n（n+1），∴==（1﹣…+﹣）=（1﹣）．即不等式成立．2017年1月18日。
福建省福州文博中学1314学年上学期八年级期中考试数学(附答案)
第3题图2013—2014学年上学期福州文博中学期中考试卷八年级数学（时间：120分钟 总分：100分）一、 细心选一选（本题有10个小题, 每小题3分, 满分30分 ,下面每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的）1、下面有4个汽车标致图案，其中不是轴对称图形的是 （ ）2、以下列各组线段为边，能组成三角形的是 （ ） A ．6cm ，8cm ，10cm B ．2cm ，3cm ，5cmC ．1cm ，1cm ，3cmD ．3cm ，9cm ，4cm 3、如图，图中两个三角形全等，则∠ 度数是 （ ）A ．50°B ． 58°C ．60°D ． 72° 4、如图，小强一不小心把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么 最省事的方法是 （ ）A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①和②去 5、如果等腰三角形两边长分别是6cm 和3cm ，那么它的周长是 （ ）A ．9cmB ．15cmC ．12cm 或15cmD ．12cm6、点P(-3，2)关于y 轴对称的点是 （ ）．A ．(-3，-2)B ．(-2，3)C ．(3，-2)D ．(3，2) 7、一个多边形的内角和等于它的外角的和，这个多边形的边数是 （ ）第4题A ．B ．C ．D ．B第9题A ．3B ．4C ．5D ．6 8、下列各组条件中，能判定ABC ∆≌DEF ∆ 的是 （ ）A ． AB=DE ，BC=EF ，ABC ∆的周长=DEF ∆的周长B ．AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠D C.∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠FD.∠A=∠D ，∠C=∠F ，AC=EF9、如图，在ABC ∆中，AB=AC ，BC=BD=DA ，则∠A 的度数为 （ ） A ．30° B ．36° C ．45° D ．60°10、如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点， A 、B 是两格点，如果C 也是图中（ ）的格点，且使得ABC ∆为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9二、耐心填一填（本题有5个小题，每小题2分, 满分10分） 11、如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件使ABC ∆≌BAD ∆你的添加条件是 （填一个即可）．12、如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是________.13、 已知ABC ∆≌DEF ∆，∠A=52°，∠B=67°，BC=15cm ，则∠F= °，EF= cm.14、如图，ABC ∆中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，若6=AD ，则=CD ．15、如图，小亮从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10 米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米．DCBA第14题图第11题第15题30°30°30°22、解：⑴①∵△ABC 为等边三角形， ∴AB =AC ，∠BAC =60° ∵△ADE 为等边三角形∴AD =AE ，∠DAE =60°-------1分 ∵∠BAD =∠BAC -∠DAC =60°- ∠DAC ∠CAE =∠DAE -∠DAC =60°- ∠DAC ∴∠BAD =∠CAE-------------2分 在△ABD 和△A CE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AC AB CAE BAD AE AD ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）BD=CE --------------3分 ∴BC =DC+BD= DC ＋CE -------4分 ⑵BC = CE －DC ----------5分 ⑶ ①BC=DC －CE ---------6分 ②△ADC 是直角三角形--------7分 理由：∵BC=DC －CE BC=DC －BD ∴CE =BD ∵CE =BC ∴BC =BD ∵△ABC 为等边三角形∴AB =BC ∴AB =BD ∴∠BAD =∠BDA又∵∠BAD +∠BDA=∠ABC=60°∴∠BAD=30° ∴∠C AD=∠BAC+∠BAD=90° ∴△ADC 是直角三角形 --------9分。
【数学】福建省福州市文博中学2016-2017学年高二(下)期中试卷(文)(解析版)
福建省福州市文博中学2016-2017学年高二（下）期中试卷（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b32．（5分）不等式﹣x2+4x﹣4＜0的解集为（）A．R B． C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．{2} 3．（5分）“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．45．（5分）原命题为“若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真、假、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=7．（5分）关于x的不等式2ax2+ax﹣＜0对一切实数x都成立，则a的取值范围是（）A．（﹣3，0）B．（0，3）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0] 8．（5分）曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等9．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线﹣y2=1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．1 D．11．（5分）已知函数y=|x﹣4|﹣|x﹣6|，则当其取最小值时，自变量x的取值范围是（）A．[4，6] B．[6，+∞）C．（﹣∞，4] D．（4，6）12．（5分）若x，y∈R+，且x+y=5，则的最大值是（）A．B．C．9 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）命题“空集是任何集合的真子集”的否定是．14．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=+的最小值为．15．（5分）若x，y满足，则z=（x﹣2）2+（y﹣3）2的取值范围是．16．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上存在一点P，使得∠F1PF2=120°，其中F1，F2是椭圆的两焦点，则椭圆离心率e的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．18．（12分）已知命题p：关于x的不等式sin x≥a恒成立，命题q：y=﹣（5﹣2a）x为减函数，若命题p，q中至少有一个是真命题，求实数a的取值范围．19．（12分）求适合下列条件的双曲线的标准方程（Ⅰ）过点（3，﹣1），且离心率；（Ⅱ）一条渐近线为，顶点间距离为6．20．（12分）已知直线l：y=kx+1与椭圆+y2=1交于M、N两点，且|MN|=．求直线l的方程．21．（12分）中心在原点，一焦点为的椭圆截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程．22．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A的动直线与椭圆E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．参考答案一、选择题1．D【解析】A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．2．C【解析】不等式﹣x2+4x﹣4＜0可化为x2﹣4x+4＞0，即（x﹣2）2＞0，所以不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）．故选：C．3．B【解析】若方程+=1表示椭圆，则，所以，即﹣3＜m＜5且m≠1．所以“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．4．A【解析】椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选A．5．B【解析】“若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行”的逆命题是”两条直线平行、两条直线的斜率相等“是假命题，直线斜率可能不存在，”若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行”的否命题是“若两条直线的斜率不相等，则这两条直线不平行”是假命题、直线斜率可能不存在，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行”是真命题，故其逆否命题是真命题，故选：B．6．D【解析】由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．7．D【解析】当a=0时，不等式化为﹣＜0，对一切实数x都成立；当a≠0时，由题意得，，即，解得﹣3＜a＜0；综上，a的取值范围是（﹣3，0]．故选：D．8．D【解析】曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选D．9．D【解析】|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c,∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．10．C【解析】双曲线﹣y2=1的a=，b=1，c==2，可设P在右支上，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2，又|PF1|+|PF2|=2，两式平方相加可得，|PF1|2+|PF2|2=16，而|F1F2|2=4c2=16，则有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即有△PF1F2为直角三角形，即有△PF1F2的面积为|PF1|•|PF2|=（）×（）=1．故选C．11．C【解析】作出函数的图象，如图所示当其取最小值时，自变量x的取值范围是（﹣∞，4]，故选C．12．A【解析】方法一：x，y∈R+，则满足，根据柯西不等式可得≤•=•=3，当且仅当=，即x=，y=时等号成立．∴则的最大值3，故选A．方法二：x，y∈R+，且x+y=5，故y=5﹣x，y+3=8﹣x，则Z==+，∵（）2+（）2=x+1+8﹣x=9，∴设=3sinα，=3cosα，（0≤α≤），则Z==+=3sinα+3cosα=3sin（α+），故当α+=，即α=时，Z取最大值3，则的最大值3，故选A．二、填空题13．存在某一个集合使得空集不是它的真子集【解析】命题“空集是任何集合的真子集”的否定是：存在某一个集合使得空集不是它的真子集．故答案为：存在某一个集合使得空集不是它的真子集．14．【解析】∵a+b=2，∴=1∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）则的最小值是,故答案为：．15．[]【解析】由约束条件作出可行域如图，z=（x﹣2）2+（y﹣3）2的几何意义为可行域内的动点与定点P（2，3）距离的平方．由图可知，最小值为P到直线x+3y﹣3=0的距离的平方，等于；最大值为．∴z=（x﹣2）2+（y﹣3）2的取值范围是[]．故答案为：[]．16．[，1）【解析】设，P（x1，y1），F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°===﹣，解得：=．∵x12∈（0，a2]，∴0＜≤a2，整理得：4c2﹣3a2≥0，∴e=≥，0＜e＜1∴故椭圆离心率的取范围是[，1），故答案为：[，1）．三、解答题17．解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣=﹣1，故a=218．解：若关于x的不等式sin x≥a恒成立，则a≤﹣1，即命题p：a≤﹣1，若y=﹣（5﹣2a）x为减函数，则5﹣2a＞1，解得：a＜2，即命题q：a＜2，若命题p，q中至少有一个是真命题，则a＜2．19．解：（I）∵离心率，∴此双曲线为等轴双曲线，过点（3，﹣1），因此焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为：x2﹣y2=a2（a＞0），∴a2=9﹣1=8，∴双曲线方程为x2﹣y2=8．（II）①当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为：﹣=1（a，b＞0）．由题意可得：=，2a=6，解得a=3，b=．∴标准方程为：﹣=1．②当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为：﹣=1（a，b＞0）．由题意可得：=，2a=6，解得a=3，b=2．∴标准方程为：=1．20．解：设直线l与椭圆的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），由消去y得（1+2k2）x2+4kx=0，所以x1+x2=﹣=0，由|MN|=，得（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=，∵y1=kx1+1，y2=kx2+1，∴y1﹣y2=k（x1+x2），所以（1+k2）（x1﹣x2）2=，即（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=，所以，化简得k4+k2﹣2=0，解得k2=1，所以k=±1，所以所求直线l的方程是y=x+1或y=﹣x+1．21．解：由题意可知：焦点为，可知焦点在y轴上，设（a＞b＞0），则c=5，直线y=3x﹣2与椭圆相交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（a2+9b2）x2﹣12b2x+b2（4﹣a2）=0，由韦达定理可知：x1+x2=，由中点坐标公式可得，=，即=，整理得：a2=15b2，∴，解得：，∴椭圆的标准方程为：．22．解：（1）设F（c，0），，解得，又，∴a=2，b=1，∴椭圆E：；（2）当l⊥x轴时，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．由△=16（4k2﹣3）＞0，得，即或k．，从而=，又点O到直线PQ的距离，∴△OPQ的面积，设，则t＞0，∴，当且仅当t=2，即时，等号成立，且△＞0．此时．。
2017福建中考数学+答案解析
7. D 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【解答】解：将这五个答题数排序为：10，13，15，15，20，由此可得中位数是 15，众数是 15，故
选 D.21． 【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列，最中间的那个数
（或最中间的两个数的平均数）叫做这组数的中位数.众数是一组数据中出现的次数最多的数．
【点评】本题主要考查分式的运算，解题的关键是熟悉运用分式的运算法则，属于基础题型．
18.
【分析】证明 BC EF ，然后根据 SSS 即可证明 VABC VDEF ，然后根据全等三角形的对应边相等
即可证得． 【解答】证明： Q BE DF
BC EF ，
在 VABC 和 VDEF 中，
B. 正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 线段是轴对称图形，但不是中心对称图形
D. 菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
6. 不等式组
的解集是
A.
B.
C.
D.
7. 某校举行“汉字听写比赛”， 个班级代表队的正确答题数如图．这 个正确答题数所组成的一组 数据的中位数和众数分别是
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点表示的数． 【解答】解：∵AB=2，BC=2AB ，
∴BC=4， 3+4=7， 故点 C 表示的数是 7. 【点评】本题主要考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理 数．
15. 【分析】根据多边形的内角和，可得到正五边形每个内角都是 108°，再根据等腰三角形的内角和可以
．
14. 已知 ， ， 是数轴上的三个点，且 在 的右侧．点 ， 表示的数分别是 ， ，如图
【数学】2016-2017年福建省福州市鼓楼区文博中学七年级上学期数学期中试卷和解析答案PDF
每股涨跌/元
+0.4
+0.45
﹣0.2
+0.25
﹣0.4
26． （10 分）北京与上海两家工厂同时生产某种专用计算机，北京厂可调往外地 10 台，上海厂可调往外地 4 台，现决定从北京和上海两地共运往重庆 8 台，武 汉 6 台．已知从北京运往武汉、重庆的运费分别是 4 元/台、8 元/台，从上海运 往武汉、重庆的运费分别是 3 元/台、5 元/台． （1）设上海厂运往武汉 2 台，请求出这样调运的总费用； （2）设上海厂运往武汉 x 台，用 x 表示调运总运费 W； （3）从上海运出的总费用和从北京运出的总费用可以相同吗？若可以，请直接 写出调运方案，若不能，请说明理由． 27． （10 分） （1）阅读下面材料：点 A、B 在数轴上分别表示实数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为|AB|．当 A、B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原 点，如图 1，|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|，当 A、B 两点都不在原点时， ①如图 2， 点 A、 B 都在原点的右边， |AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|； ②如图 3， 点 A、 B 都在原点的左边， |AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|= （﹣b） ﹣ （﹣ a）=a﹣b=|a﹣b|； ③如图 4， 点 A、 B 在原点的两边， |AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|= （﹣b） +a=a﹣b=|a ﹣b|； 综上，数轴上 A、B 两点之间的距离|AB|=|a﹣b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示 1005 和﹣1011 的两点之间的距离是 ②数轴上分别表示 x、﹣5 的两点 A、B 之间的距离是 么x为 ； ； ． ； ，如果|AB|=2，那
2016-2017学年福建省福州文博中学八年级上学期期中考试物理试卷(含答案解析)
6．D
【详解】
A．由图可知，甲乙同时同地出发，当运动8s后，甲的路程为1.6m，乙的路程0.8m，所以甲在乙的前面0.8m，故A错误；
B．当乙的路程为0.8m时，运动的时间为8s，所以乙的速度为
故B错误；
C．没有说明运动时间，所以无法确定两车的路程大小，故C错误；
20．一束平行光与镜面成30°角入射，发生反射，则反射角是____度，如果这束光垂直射到镜面，这时反射角是____度．
21．请将如图中的读数填入各图下方对应的横线上．
(1)如图中秒表的示数是________s．
(2)如图中铅笔长度的是___________cm．
三、作图题
22．在图中作出物体AB在平面镜MN中所成的像A′B′。
（5）如果实验中怎样移动蜡烛B都无法重合A的像，原因是__________________________________．
参考答案
1．C
【详解】
地球同步卫星是指和地球自转同步的卫星，即和地球保持相对静止．故选C．
点睛：同步卫星和地球自转同步，即运行周期和地球自转周期一样，所以和地球保持相对静止．
2．D
14．看起来清澈见底不过齐腰深的池水，不会游泳的小明跳下去就出现了危险，幸好有同学及时相救．小明在岸上看池水比实际浅的原因是（ ）
A．从空气射入水中的光在水面处发生折射
B．从空气射入水中的光在水面处发生反射
C．从池底射出的光在水面处发生折射
D．从池底射出的光在水面处发生反射
二、填空题
15．请将下列数据补上合适的单位或数字并完成单位换算：
28．在“探究光的反射规律”的实验中，如图所示，平面镜M放在水平桌面上，E、F是两块粘接起来的硬纸板，垂直于镜面且可绕ON转动．
[精品]2016-2017年福建省福州八中高一(上)数学期中试卷与答案
2016-2017学年福建省福州八中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．（5分）设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）下面各组函数中为相同函数的是（）A．f（x）=，g（x）=x﹣1 B．f（x）=，g（x）=•C．f（x）=ln e x与g（x）=e lnx D．f（x）=（x﹣1）0与g（x）=3．（5分）函数f（x）=log2（1﹣2x）+的定义域为（）A．（0，）B．（﹣∞，） C．（﹣1，0）∪（0，）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，）4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=lnx B．y=cosx C．y=﹣x2D．5．（5分）函数f（x）=2x+x3的零点所在区间为（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（1，2） D．（﹣2，﹣l）6．（5分）已知函数g（x）=f（x）﹣x是偶函数，且f（3）=4，则f（﹣3）=（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．47．（5分）函数则的值为（）A．B．C．D．188．（5分）函数y=的递减区间为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，1）D．[，+∞）9．（5分）若a=20.5，b=log43，c=log0.35，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a10．（5分）已知函数y=log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0]B．[﹣2，﹣1]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．（5分）已知二次函数f（x）=mx2+（m+2）mx+2为偶函数，求实数m的值=．12．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则=．13．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．14．（5分）若不等式a≤x2﹣4x对任意x∈（0，3]恒成立，则a的取值范围是．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）已知全集为U=R，A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|x＜﹣1或x≥4}．求（1）A∩B；（2）A∪B；（3）（∁U A）∩（∁U B）．16．（10分）已知函数f（x）=x+，且f（1）=2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅲ）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．17．（10分）已知函数f（x）=x2+a|x﹣1|+1（a∈R），其中a≥0，求f（x）的最小值．一、选择题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．（5分）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x=0时，h=13．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完．则函数h=f（x）的图象为（）A．B．C．D．19．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（）A．1 B．0 C．2 D．﹣220．（5分）已知函数有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞0 C．a≥1 D．0＜a＜1二、填空题：（本大题有2小题，每小题5分，共10分．请将正确的答案填在横线上）21．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1）且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：①f（1）=0；②f（x）在[﹣2，2]上有3个零点；③点（2014，0）是函数y=f（x）的一个对称中心；④直线x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．则正确的是．22．（5分）已知正数a，b，对任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2恒成立，则实数x的取值范围是．三、解答题：（本大题有2个小题，共25分．请书写完整的解答过程）23．（11分）已知函数f（log2x）=x2+2x（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程f（x）=a•2x﹣4在区间（0，2）内有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围．24．（14分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；（Ⅲ）若对任意的t∈（﹣1，4），不等式f（2t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年福建省福州八中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．（5分）设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：∵M={﹣2，﹣1，0，1}，N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={﹣1，0，1}，故选：B．2．（5分）下面各组函数中为相同函数的是（）A．f（x）=，g（x）=x﹣1 B．f（x）=，g（x）=•C．f（x）=ln e x与g（x）=e lnx D．f（x）=（x﹣1）0与g（x）=【解答】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；对于B：f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域是{x}x≥1}，定义域不同，不是相同函数；对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是{x|x≠1}，是相同函数；故选：D．3．（5分）函数f（x）=log2（1﹣2x）+的定义域为（）A．（0，）B．（﹣∞，） C．（﹣1，0）∪（0，）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，）【解答】解：由题意得：，解得：x＜且x≠﹣1，故函数的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，），故选：D．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=lnx B．y=cosx C．y=﹣x2D．【解答】解：A．y=lnx的图象不关于y轴对称，不是偶函数，∴该选项错误；B．y=cosx在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；C．y=﹣x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，∴该选项正确；D.的图象不关于y轴对称，不是偶函数，∴该选项错误．故选：C．5．（5分）函数f（x）=2x+x3的零点所在区间为（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（1，2） D．（﹣2，﹣l）【解答】解：∵连续函数f（x）=2x+x3，f（﹣1）=﹣1=﹣，f（0）=1+0=1，∴f（﹣1）•f（0）=﹣×1＜0，根据函数零点的判定定理，f（x）=2x+x3的零点所在区间为（﹣1，0），故选：B．6．（5分）已知函数g（x）=f（x）﹣x是偶函数，且f（3）=4，则f（﹣3）=（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣x是偶函数，可知g（3）=g（﹣3），可得f（3）﹣3=f（﹣3）+3，即4﹣3=f（﹣3）+3，f（﹣3）=﹣2．故选：B．7．（5分）函数则的值为（）A．B．C．D．18【解答】解：∵，∴f（3）=32﹣3﹣3=3，∴=f（）=1﹣（）2=，故选：C．8．（5分）函数y=的递减区间为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，1）D．[，+∞）【解答】解：令t=2x2﹣3x+1，则y=，∵y=为减函数，故函数y=的递减区间，即t=2x2﹣3x+1的递增区间，即[，+∞），故选：D．9．（5分）若a=20.5，b=log43，c=log0.35，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵a=20.5＞1，b=log43∈（0，1），c=log0.35＜0，∴a＞b＞c．故选：A．10．（5分）已知函数y=log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0]B．[﹣2，﹣1]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：若函数y=log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，则a＜0且ax﹣1≥0在（﹣2，﹣1）恒成立，即a≤在（﹣2，﹣1）恒成立，故a≤﹣1，故选：C．二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．（5分）已知二次函数f（x）=mx2+（m+2）mx+2为偶函数，求实数m的值=﹣2．【解答】解：二次函数f（x）=mx2+（m+2）mx+2为偶函数，可得m≠0，并且m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．12．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则=2．【解答】解：∵y=f（x）为幂函数，∴设f（x）=xα，又∵y=f（x）的图象经过点（4，），∴，即22α=2﹣1，∴2α=﹣1，解得，∴f（x）=，∴f（）===2，∴f（）=2．故答案为：2．13．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）14．（5分）若不等式a≤x2﹣4x对任意x∈（0，3]恒成立，则a的取值范围是a≤﹣4．【解答】解：由题意可知：不等式a≤x2﹣4x对任意x∈（0，3]恒成立，只需要求函数y=x2﹣4x在区间（0，3]上的最小值，∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，由y的对称轴x=2，得y在（0，2）递减，在（2，3]递增，∴y min=f（2）=0﹣4=﹣4．∴a的取值范围是：a≤﹣4．故答案为：a≤﹣4．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）已知全集为U=R，A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|x＜﹣1或x≥4}．求（1）A∩B；（2）A∪B；（3）（∁U A）∩（∁U B）．【解答】解：（1）A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|x＜﹣1或x≥4}；A∩B={x|﹣2＜x＜1}，（2）A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|x＜﹣1或x≥4}；A∪B={x|x＜2或x≥4}，（3）（∁U A）∩（∁U B）=∁U（A∪B），由（2）可得，A∪B={x|x＜2或x≥4}，（C U A）∩（C U B）={x|2≤x＜4}．16．（10分）已知函数f（x）=x+，且f（1）=2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅲ）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x+，且f（1）=1+a=2，∴a=1．（Ⅱ）∵函数f（x）=x+的定义域{x|x≠0}，关于原点对称，且f（﹣x）=﹣x+=﹣（x+）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数．（Ⅲ）函数f（x）=x+在（1，+∞）上单调递增，理由如下：设1＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）﹣（﹣）=（x1﹣x2）•，由题设可得，x1﹣x2＜0，＞0，f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）在（1，+∞）上单调递增．17．（10分）已知函数f（x）=x2+a|x﹣1|+1（a∈R），其中a≥0，求f（x）的最小值．【解答】解：f（x）=f（x）=x2+a|x﹣1|+1=①当a=0时，f（x）=x2+1，f（x）min=1…（3分）②当a＞0时，结合图象（i）当，即a≥2时，f（x）min=分（1）=2；…（6分）（ii）当，即0＜a＜2时，f（x）min=f（）=﹣；…（9分）综上：f（x）min=．…（10分）一、选择题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．（5分）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x=0时，h=13．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完．则函数h=f（x）的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，每分钟滴下πcm3药液，当4≤h≤13时，xπ=π•42•（13﹣h），即h=13﹣，此时0≤x≤144；当1≤h＜4时，xπ=π•42•9+π•22•（4﹣h），即，此时144＜x≤156．∴函数单调递减，且144＜x≤156时，递减速度变快．故选：A．19．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（2，4）时，f（x）=|x﹣3|，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（）A．1 B．0 C．2 D．﹣2【解答】解：结合题意画出函数f（x）的图象，如图示：，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，故选：B．20．（5分）已知函数有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞0 C．a≥1 D．0＜a＜1【解答】解：函数f（x）有3个零点，须满足，即，即0＜a＜1，故选：D．二、填空题：（本大题有2小题，每小题5分，共10分．请将正确的答案填在横线上）21．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1）且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：①f（1）=0；②f（x）在[﹣2，2]上有3个零点；③点（2014，0）是函数y=f（x）的一个对称中心；④直线x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．则正确的是①③．【解答】解：∵对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）成立，∴对∀x∈R都有f（x+2）=f（x）成立，即函数y=f（x）是周期为2的周期函数，∴f（1）=f（﹣1）．∵当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，∴在区间（0，1]上函数为减函数．又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（1）=﹣f（﹣1）．∴f（1）=0，即①正确；满足条件的函数y=f（x）的草图如下所示：由图可知：f（x）在[﹣2，2]上有：﹣2，﹣1，0，1，2，共5个零点，即②错误；所有（k，0）（k∈Z）点均为函数的对称中心，故（3）（2014，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，③正确；函数y=f（x）图象无对称轴，故④错误；则正确命题个数是①③，故答案为：①③．22．（5分）已知正数a，b，对任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2恒成立，则实数x的取值范围是x≤﹣1或x≥2．【解答】解法一：化简ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2，得（a﹣b）x2﹣（a﹣b）x﹣（a2﹣b2）＞0，∵a＞b，∴x2﹣x﹣（a+b）＞0，又a，b∈（0，1），∴x2﹣x≥2，解得x≤﹣1或x≥2．故答案为：x≤﹣1或x≥2．法二：ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2可化为a（x2﹣x）﹣a2＞b（x2﹣x）﹣b2，令h（t）=﹣t2+（x2﹣x）t，∵对任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2恒成立，∴h（t）=﹣t2+（x2﹣x）t在（0，1）单调递增，∴对称轴t=，解得x≤﹣1或x≥2，故答案为：x≤﹣1或x≥2．三、解答题：（本大题有2个小题，共25分．请书写完整的解答过程）23．（11分）已知函数f（log2x）=x2+2x（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程f（x）=a•2x﹣4在区间（0，2）内有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）设t=log2x，t∈R，则x=2t．∵函数．∴f（t）=22t+2•2t∴把t换成x可得：f（x）=22x+2•2x（2）方程f（x）=a•2x﹣4在（0，2）有两个不相等的实根⇔22x+（2﹣a）•2x+4=0，在（0，2）有两个不等实根，令2x=m，h（m）=m2+（2﹣a）m+4，∵x∈（0，2），∴m∈（1，4）．∴函数h（m）在（1，4）上有两个不等实数根，必有，解得6＜a＜7．∴实数a的取值范围是（6，7）．24．（14分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；（Ⅲ）若对任意的t∈（﹣1，4），不等式f（2t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）=a x（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a3=8，解得a=2，∴g（x）=2x．∴，∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴=0，∴n=1，∴．又f（﹣1）=﹣f（1），∴，解得m=2，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，从而h（﹣1）h（1）＜0，即，∴（a+）（a﹣）＜0，∴﹣＜a＜，∴a的取值范围为（﹣，）．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，易知f（x）在R上为减函数，又f（x）是奇函数，∴f（2t﹣3）+f（t﹣k）＜0，∴f（2t﹣3）＜﹣f（t﹣k）=f （k﹣t），∵f（x）在R上为减函数，由上式得2t﹣3＞k﹣t2，即对一切t∈（1，4），有t2+2t﹣3＞k恒成立，令m（t）=t2+2t﹣3，t∈（1，4），易知m（t）＞﹣4，∴k≤﹣4，即实数k的取值范围是（﹣∞，﹣4]．。
2017年福建省中考数学试卷(后附答案解析)
2017年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣ C．D．32．（4分）如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（）A．B． C．D．3．（4分）用科学记数法表示136 000，其结果是（）A．0.136×106B．1.36×105C．136×103D．136×1064．（4分）化简（2x）2的结果是（）A．x4B．2x2C．4x2D．4x5．（4分）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形6．（4分）不等式组：的解集是（）A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x＜2 C．x≥2 D．x＜﹣37．（4分）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，158．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD9．（4分）若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0＜k＜2，则n的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（4分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（）A．1区 B．2区 C．3区 D．4区二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算|﹣2|﹣30=．12．（4分）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE=3，则线段BC的长等于．13．（4分）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是．14．（4分）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是．15．（4分）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．16．（4分）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）•，其中a=﹣1．18．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．19．（8分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）20．（8分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．（Ⅰ）若AB=4，求的长；（Ⅱ）若=，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．22．（10分）小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1．据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．23．（10分）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：使用次数012345（含5次以上）累计车费00.50.9a b 1.5同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：使用次数012345人数51510302515（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．24．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；（Ⅱ）若AP=，求CF的长．25．（14分）已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．2017年福建省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）（2017•长春）3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣ C．D．3【分析】根据相反数的定义即可求出3的相反数．【解答】解：3的相反数是﹣3故选A．【点评】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．2．（4分）（2017•福建）如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（）A．B． C．D．【分析】直接利用三视图的画法，从左边观察，即可得出选项．【解答】解：图形的左视图为：，故选B．【点评】此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键．3．（4分）（2017•福建）用科学记数法表示136 000，其结果是（）A．0.136×106B．1.36×105C．136×103D．136×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：用科学记数法表示136 000，其结果是1.36×105，【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）（2017•福建）化简（2x）2的结果是（）A．x4B．2x2C．4x2D．4x【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．【解答】解：（2x）2=4x2，故选：C．【点评】此题主要考查了积的乘方，关键是掌握计算法则．5．（4分）（2017•福建）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；B、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；C、线段是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；D、菱形是中心对称图形，是轴对称图形，故D符合题意；故选：A．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．（4分）（2017•福建）不等式组：的解集是（）A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x＜2 C．x≥2 D．x＜﹣3【分析】求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，【解答】解：解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．7．（4分）（2017•福建）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20，最中间的数是15，则这组数据的中位数是15；15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15．故选：D．【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．8．（4分）（2017•福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD【分析】由圆周角定理得出∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，得出∠ACD+∠BAD=90°，即可得出答案．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∵∠BCD=∠BAD，∴∠ACD+∠BAD=90°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理；熟记圆周角定理是解决问题的关键．9．（4分）（2017•福建）若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0＜k＜2，则n的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据题意列方程组得到k=n﹣4，由于0＜k＜2，于是得到0＜n﹣4＜2，即可得到结论．【解答】解：依题意得：，∴k=n﹣4，∵0＜k＜2，∴0＜n﹣4＜2，∴4＜n＜6，故选C．【点评】考查了一次函数的图象与系数的关系，注重考察学生思维的严谨性，易错题，难度中等．10．（4分）（2017•福建）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（）A．1区 B．2区 C．3区 D．4区【分析】根据旋转的性质连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，从而得出线段AB和点P是绕着同一个该点逆时针旋转90°，据此可得答案．【解答】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，由图可知，线段AB和点P绕着同一个该点逆时针旋转90°，∴点P逆时针旋转90°后所得对应点P′落在4区，故选：D．【点评】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质得出图形的旋转中心及旋转方向是解题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）（2017•福建）计算|﹣2|﹣30=1．【分析】首先利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=2﹣1=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12．（4分）（2017•福建）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE=3，则线段BC的长等于6．【分析】直接根据三角形的中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∵DE=3，∴BC=2DE=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．13．（4分）（2017•福建）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是红球．【分析】根据已知条件即可得到结论．【解答】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，∴这三种颜色的球的个数相等，∴添加的球是红球，故答案为：红球．【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．14．（4分）（2017•福建）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是7．【分析】先利用点A、B表示的数计算出AB，再计算出BC，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数．【解答】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，∴AB=3﹣1=2，∵BC=2AB=4，∴OC=OA+AB+BC=1+2+4=7，∴点C表示的数是7．故答案为7．【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）15．（4分）（2017•福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于108度．【分析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如图，由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，∠5=∠6=180°﹣108°=72°，∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，故答案为：108．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．16．（4分）（2017•福建）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上，且点A 的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为．【分析】先根据点A在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，可得A（2，），再根据B（，2），D（﹣，﹣2），运用两点间距离公式求得AB和AD的长，即可得到矩形ABCD的面积．【解答】解：如图所示，根据点A在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，可得A（2，），根据矩形和双曲线的对称性可得，B（，2），D（﹣，﹣2），由两点间距离公式可得，AB==，AD==，∴矩形ABCD的面积=AB×AD=×=，故答案为：．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是画出图形，依据两点间距离公式求得矩形的边长．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2017•福建）先化简，再求值：（1﹣）•，其中a=﹣1．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：当a=﹣1时原式=•==【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．18．（8分）（2017•福建）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．【分析】证明BC=EF，然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的对应角相等即可证得．【解答】证明：如图，∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．∴∠A=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等常用的方法是证明所在的三角形全等．19．（8分）（2017•福建）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】根据角平分线的性质作出BQ即可．先根据垂直的定义得出∠ADB=90°，故∠BPD+∠PBD=90°．再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，据此可得出结论．【解答】解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°．∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°．∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP．∵∠BPD=∠APQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．20．（8分）（2017•福建）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，可分别得出方程，联立求解即可得出答案．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚，结合上有三十五头，下有九十四足可得：，解得：．答：鸡有23只，兔有12只．【点评】此题考查了二元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般．21．（8分）（2017•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．（Ⅰ）若AB=4，求的长；（Ⅱ）若=，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．【分析】（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；（Ⅱ）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP=CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=AB=2，∴的长=×π×2=π；（Ⅱ）∵=，∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，∴∠AOD=45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，∴∠ODA=67.5°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD，∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP=CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，∴PD是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（10分）（2017•福建）小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1．据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．【分析】（1）将α=30°代入，根据三角函数值计算可得；（2）设∠A=α，则∠B=90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．【解答】解1：（1）当α=30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）=sin230°+sin260°=（）2+（）2=+=1；（2）小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）=（）2+（）2===1．【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．23．（10分）（2017•福建）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：使用次数012345（含5次以上）累计车费00.50.9a b 1.5同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：使用次数012345人数51510302515（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．【分析】（Ⅰ）根据收费调整情况列出算式计算即可求解；（Ⅱ）先根据平均数的计算公式求出抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费，再根据用样本估计总体求出5000名师生一天使用共享单车的费用，再与5800比较大小即可求解．【解答】解：（Ⅰ）a=0.9+0.3=1.2，b=1.2+0.2=1.4；（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为：×（0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15）=1.1（元），所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为：5000×1.1=5500（元），因为5500＜5800，故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利．【点评】考查了样本平均数，用样本估计总体，（Ⅱ）中求得抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费是解题的关键．24．（12分）（2017•福建）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；（Ⅱ）若AP=，求CF的长．【分析】（Ⅰ）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；（Ⅱ）方法1、先判断出OC=ED，OC=PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．方法2、先判断出∠CEF=∠FDC，得出点E，C，F，D四点共圆，再判断出点P也在此圆上，即可得出∠DAP=∠DCF，此后同方法1即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，∴AC==10，要使△PCD是等腰三角形，①当CP=CD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4，②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP=AC=5，③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，∵S△ADC=AD•DC=AC•DQ，∴DQ==，∴CQ==，∴PC=2CQ=，∴AP=AC﹣PC=10﹣=；所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或；（Ⅱ）方法1、如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，∵四边形ABCD和PEFD是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CDF，∵∠BCD=90°，OE=OD，∴OC=ED，在矩形PEFD中，PF=DE，∴OC=PF，∵OP=OF=PF，∴OC=OP=OF，∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，∴2∠OCP+2∠OCF=180°，∴∠PCF=90°，∴∠PCD+∠FCD=90°，在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD，∴△ADP∽△CDF，∴，∵AP=，∴CF=．方法2、如图，∵四边形ABCD和DPEF是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，∴∠ADP=∠CDF，∵∠DGF+∠CDF=90°，∴∠EGC+∠CDF=90°，∵∠CEF+∠CGE=90°，∴∠CDF=∠FEC，∴点E，C，F，D四点共圆，∵四边形DPEF是矩形，∴点P也在此圆上，∵PE=DF，∴，∴∠ACB=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAP，∴∠DAP=∠DCF，∵∠ADP=∠CDF，∴△ADP∽△CDF，∴，∵AP=，∴CF=．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解（Ⅰ）的关键是分三种情况讨论计算，解（Ⅱ）的关键是判断出△ADP ∽△CDF ，是一道中考常考题．25．（14分）（2017•福建）已知直线y=2x +m 与抛物线y=ax 2+ax +b 有一个公共点M （1，0），且a ＜b ．（Ⅰ）求抛物线顶点Q 的坐标（用含a 的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N ．（ⅰ）若﹣1≤a ≤﹣，求线段MN 长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN 面积的最小值．【分析】（Ⅰ）把M 点坐标代入抛物线解析式可得到b 与a 的关系，可用a 表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；（Ⅱ）由直线解析式可先求得m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去y ，可得到关于x 的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；（Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）的方程，可求得N 点坐标，利用勾股定理可求得MN 2，利用二次函数性质可求得MN 长度的取值范围；（ii ）设抛物线对称轴交直线与点E ，则可求得E 点坐标，利用S △QMN =S △QEN +S △QEM 可用a 表示出△QMN 的面积，再整理成关于a 的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y=ax2+ax+b过点M（1，0），∴a+a+b=0，即b=﹣2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a（x+）2﹣，∴抛物线顶点Q的坐标为（﹣，﹣）；（Ⅱ）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），∴0=2×1+m，解得m=﹣2，联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0（*）∴△=（a﹣2）2﹣4a（﹣2a+2）=9a2﹣12a+4，由（Ⅰ）知b=﹣2a，且a＜b，∴a＜0，b＞0，∴△＞0，∴方程（*）有两个不相等的实数根，∴直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0，即x2+（1﹣）x﹣2+=0，∴（x﹣1）[x﹣（﹣2）]=0，解得x=1或x=﹣2，∴N点坐标为（﹣2，﹣6），（i）由勾股定理可得MN2=[（﹣2）﹣1]2+（﹣6）2=﹣+45=20（﹣）2，∵﹣1≤a≤﹣，∴﹣2≤≤﹣1，∴MN2随的增大而减小，∴当=﹣2时，MN2有最大值245，则MN有最大值7，当=﹣1时，MN2有最小值125，则MN有最小值5，∴线段MN长度的取值范围为5≤MN≤7；（ii）如图，设抛物线对称轴交直线与点E，∵抛物线对称轴为x=﹣，∴E （﹣，﹣3），∵M （1，0），N （﹣2，﹣6），且a ＜0，设△QMN 的面积为S ，∴S=S △QEN +S △QEM =|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|=﹣﹣，∴27a 2+（8S ﹣54）a +24=0（*），∵关于a 的方程（*）有实数根，∴△=（8S ﹣54）2﹣4×27×24≥0，即（8S ﹣54）2≥（36）2， ∵a ＜0，∴S=﹣﹣＞， ∴8S ﹣54＞0，∴8S ﹣54≥36，即S ≥+， 当S=+时，由方程（*）可得a=﹣满足题意，∴当a=﹣，b=时，△QMN 面积的最小值为+． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识．在（1）中由M 的坐标得到b 与a 的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得N 点的坐标是解题的关键，在最后一小题中用a 表示出△QMN 的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。
初二级上学期期中考试数学试卷含答案(共3套,人教版)
福建省八年级（上册）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．如图所示的图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．2a•3a＝6aC．（a2）3＝a6D．（a+b）2＝a2+b23．下列等式能够成立的是（）A．（2x﹣y）2＝4x2﹣2xy+y2B．（x+y）2＝x2+y2C．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2D．（+x）2＝+x24．已知AB＝3，BC＝1，则AC的长度的取值范围是（）A．2≤AC≤4B．2＜AC＜4C．1≤AC≤3D．1＜AC＜35．如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（）A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠16．如图，△AOC≌△BOD，点A与点B是对应点，那么下列结论中错误的是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AO＝BO D．∠A＝∠B7．将四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和（）A．180°B．360°C．540°D．180°或360°或540°8．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°9．已知a﹣b＝3，则a2﹣ab﹣3b的值为（）A．7B．11C．9D．510．观察下列各式及其展开式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A．36B．45C．55D．66二．填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）11．在直角坐标平面内，点M（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是．12．计算：a8•a＝．（a3）2＝．13．（2x2﹣3x﹣1）（x+b）的计算结果不含x2项，则b的值为．14．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为．15．如图∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，若PD＝1，则PC等于．16．对于非零的两个实数a、b，规定a⊗b＝a a+b，则（﹣2）⊗2＝．三.解答题（共86分）17．（12分）计算：（1）8x4y2÷x3y•2x；（2）（2a+b）•（a﹣2b）18．（8分）化简求值（x+2）2﹣（x﹣1）（x+1），其中x＝﹣．19．（8分）按要求完成作图：（1）作出△ABC关于x轴对称的图形；（2）写出A、B、C的对应点A′、B′、C′的坐标；（3）直接写出△ABC的面积．20．（8分）如图，已知AB∥DC，AB＝DC，则AD∥BC吗？说明理由．21．（8分）已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE ⊥BE，垂足为E，且AC＝DF，BF＝CE．求证：GF＝GC．22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3cm，求BC的长．23．（10分）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，连接AE、CD交于点F，连接BF．求证：（1）AE＝CD；（2）BF平分∠AFD．24．（12分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？25．（12分）（1）如图，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得到如下两个结论：①DC＝BC；②AD+AB＝AC．请你证明结论②．（2）如图，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC+∠ADC＝180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC ＝∠ADC，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论，直接写出你的结论．2018-2019学年福建省八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．2．【分析】根据同底数幂的乘法、单项式乘以单项式、幂的乘方、完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、结果是a5，故本选项错误；B、结果是6a2，故本选项错误；C、结果是a6，故本选项正确；D、结果是a2+2ab+b2，故本选项错误；故选：D．【点评】本题同底数幂的乘法、单项式乘以单项式、幂的乘方、完全平方公式等知识点，能灵活运用知识点进行化简是解此题的关键．3．【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．【解答】解：A、（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，错误；B、（x+y）2＝x2+2xy+y2，错误；C、（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2，正确；D、（+x）2＝+2+x2，错误；故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确记忆完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题关键．4．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：若A，B，C三点共线，则AC＝2或＝4；若A，B，C三点不共线，则根据三角形的三边关系：第三边大于两边之差1，而小于两边之和7．即：2＜AC＜4．故线段AC的长度的取值范围是2≤AC≤4．故选：A．【点评】此题考查三角形三边关系，注意考虑三点共线和不共线的情况．5．【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角解答．【解答】解：∵∠1是三角形的一个外角，∴∠1＞∠A，又∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1，∴∠2＞∠1＞∠A．故选：B．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．比较角的大小时常用关系（3）．6．【分析】根据全等三角形的对应边、对应角相等，可得出正确的结论，可得出答案．【解答】解：∵△AOC≌△BOD，∴∠A＝∠B，AO＝BO，AC＝BD，∴B、C、D均正确，而AB、CD不是不是对应边，且CO≠AO，∴AB≠CD，故选：A．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边、角相等是解题的关键．7．【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果．【解答】解：∵一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，∴内角和可能减少180°，可能不变，可能增加180°，即新的多边形的内角和为180°或360°或540°．故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．8．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝25°，∵∠B＝60°，∠C＝25°，∴∠BAC＝95°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9．【分析】将式子进行分组因式分解，再适时代入a﹣b的值计算，即求出答案．【解答】解：∵a﹣b＝3，∴a2﹣ab﹣3b＝a（a﹣b）﹣3b＝3a﹣3b＝3（a﹣b）＝3×3＝9故选：C．【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握分组因式分解的方法是解本题的关键．10．【分析】归纳总结得到展开式中第三项系数即可．【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7＝a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第7个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第8个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第9个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选：B．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．二．填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）11．【分析】根据关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．【解答】解：点M（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3），故答案为：（2，3）．【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题关键．12．【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则分别化简求出答案．【解答】解：a8•a＝a9，（a3）2＝a6．故答案为：a9，a6．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．13．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝2x3+2bx2﹣3x2﹣3bx﹣x﹣b由于不含x2项，∴2b﹣3＝0，∴b＝，故答案为：．【点评】本题考查整式的运算，解的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．14．【分析】分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．【解答】解：有两种情况；（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB＝90°，已知∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣45°＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°；（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE＝90°，已知∠HFE＝45°，∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠G＝×（180°﹣135°）＝22.5°，故答案为：67.5°或22.5°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质．解题时注意分类讨论思想的运用．15．【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质得到PD＝PE＝1，根据平行线的性质求出∠PCB＝∠AOB＝30°，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：作PE⊥OB于E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE＝1，∵∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OA，∴∠PCB＝∠AOB＝30°，∴PC＝2PE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16．【分析】直接利用已知将原式变形计算得出答案．【解答】解：∵a⊗b＝a a+b，∴（﹣2）⊗2＝（﹣2）﹣2+2＝（﹣2）0＝1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确理解题意是解题关键．三.解答题（共86分）17．【分析】（1）直接利用整式的乘除法运算法则计算得出答案；（2）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）8x4y2÷x3y•2x＝8xy•2x＝16x2y；（2）（2a+b）•（a﹣2b）＝2a2﹣3ab﹣2b2．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．【分析】直接利用乘法公式化简计算，进而把已知代入得出答案．【解答】解：原式＝x2+4x+4﹣（x2﹣1）＝4x+5，把x＝﹣代入得：原式＝﹣5+5＝0．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确应用乘法公式是解题关键．19．【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于x轴对称的图形；（2）依据对应点A′、B′、C′的位置，即可得到其坐标；（3）依据割补法进行计算，即可得到△ABC的面积．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；（2）由图可得，A′（﹣4，﹣1）、B′（﹣3，﹣3）、C′（﹣1，﹣2）；（3）△ABC的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝6﹣1﹣1﹣1.5＝2.5，故答案为：2.5．【点评】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始．20．【分析】根据平行线的性质得到∠BAC＝∠DCA，利用SAS定理证明△ABC≌△CDA，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠DAC，根据平行线的判定定理证明．【解答】解：AD∥BC，理由如下：∵AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA，在△ABC和△ACD中，，∴△ABC≌△CDA（SAS）∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC．【点评】本题考查的是平行线的判定和性质、全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．【分析】由AB⊥BE和DE⊥BE可得∠B＝∠E＝90°，由此可得△ABC和△DEF是直角三角形；又由BF＝CE可得CB＝EF，再加条件AC＝DF，可以用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，由此可以得到∠ACB＝∠DFE，利用等角对等边可证出GF＝GC．【解答】证明：∵AB⊥BE∴∠B＝90°∵DE ⊥BE∴∠E ＝90°∵BF ＝CE∴BF +CF ＝CE +CF即：CB ＝EF在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）∴∠ACB ＝∠DFE∴GF ＝CG【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是证明直角三角形全等的HL 定理和等腰三角形的判定定理的综合运用．22．【分析】先在△ABC 中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理得出∠B ＝∠C ＝30°，由AD ⊥AC ，∠C ＝30°，得出CD ＝2AD ＝6，再证明∠BAD ＝∠B ＝30°，那么AD ＝DB ＝3，于是BC ＝CD +BD ＝9．【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．∵∠BAC ＝120°，∠BAC +∠B +∠C ＝180°，∴∠B ＝∠C ＝30°．∵AD ⊥AC ，∴∠DAC ＝90°．∴DC ＝2AD ，∠BAD ＝∠BAC ﹣∠DAC ＝30°．∴∠BAD ＝∠B ．∴BD ＝AD ＝3．∴BC ＝BD +DC ＝3BD ＝9．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．同时考查了等腰三角形的判定与性质．23．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得AB ＝BC ，BE ＝BD ，∠ABC ＝∠DBE ，由“SAS ”可证△ABE ≌△CBD ，可得AE ＝CD ；（2）由全等三角形的性质可得S △ABE ＝S △CBD ，可求BM ＝BN ，由角平分线的性质可证BF 平分∠AFD ．【解答】证明：（1）∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE∴∠ABE＝∠CBD，且AB＝BC，BE＝BD，∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD（2）如图，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N，∵△ABE≌△CBD∴S△ABE ＝S△CBD，∴AE×BM＝CD×BN∴BM＝BN，且BM⊥AE，BN⊥CD∴BF平分∠AFD【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．24．【分析】（1）试着把28、2012写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k＝4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．【解答】解：（1）设28和2012都是“神秘数”，设28是x和x﹣2两数的平方差得到，则x2﹣（x﹣2）2＝28，解得：x＝8，∴x﹣2＝6，即28＝82﹣62，设2012是y和y﹣2两数的平方差得到，则y2﹣（y﹣2）2＝2012，解得：y＝504，y﹣2＝502，即2012＝5042﹣5022，所以28，2012都是神秘数．（2）（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍．（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k＝4×2k，即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件．∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．【点评】此题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．25．【分析】（1）由已知易证得△ADC≌△ABC，可得AD＝AB，根据已知可得∠ACD＝30°可得AC＝2AD，即可得结论．（2）以上结论仍成立；作辅助线CE⊥AD，CF⊥AB，首先证得△ACF≌△ACB，可得CF＝CE，即可证得△CFB≌△CED，即可得（1）中结论．（3）同（2）理作辅助线可得DC＝BC成立，AB﹣AD＝AC．【解答】解：（1）∵AC平分∠MAN，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AC为公共边，∴△ADC≌△ABC（AAS），∴AD＝AB，DC＝BC①；∵∠DCA＝30°，∴AC＝2AD＝AD+AB②；（2）如图：作辅助线CF⊥AB，CE⊥AD，∵AC平分∠MAN，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，又∵CF⊥AB，CE⊥AD，且AC为公共边，∴△ACF≌△ACE（AAS），即CF＝CE①；∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠MAN＝120°，∴∠DCB＝180°﹣120°＝60°，∵在直角三角形AFC中∠ACF＝30°，∴∠DCA+∠FCB＝30°，∵在直角三角形AEC中∠DCA+∠DCE＝30°，∴∠FCB＝∠DCE②；由CE⊥AD，CF⊥AB，且已证得条件①②，∴△CED≌△CFB（ASA），∴DC＝BC；ED＝FB；∵在直角△ACF中，AC＝2AE，在直角△ACB中，AC＝2AB，即AC＝AE+AB，已证得ED＝FB，∴AC＝AD+AB；（5分）（3）①DC＝BC成立；（1分）②不成立，AB﹣AD＝AC．（1分）【点评】本题主要考查了三角形全等的判定，涉及到直角三角形、角平分线、三角形内角和定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．2018-2019学年度第一学期期中考试八年级数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.的平方根是（）A. B. C. D.2.长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是（）A. B. C. D.3.若一个三角形三边满足（a+b）2-c2=2ab，则这个三角形是（）A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 以上结论都不对4.估计的大小应在（）A. 之间B. 之间C. 之间D. 之间5.已知x，y为实数，且+3（y-2）2=0，则x-y的值为（）A. 3B.C. 1D.6.如果点P（m+3，m+1）在x轴上，则点P的坐标为（）A. B. C. D.7.点P的坐标为（2-a，3a+6），且到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为（）A. B. C. D. 或8.已知一次函数y=kx-k，若y随x的增大而减小，则该函数的图象经过（）A. 第一，二，三象限B. 第一，二，四象限C. 第二，三，四象限D. 第一，三，四象限9.下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（）A. B.C. D.10.点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y=-4x+3图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.的倒数是______．12.已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则斜边上的高为______cm．13.如果直线y=2x+m不经过第二象限，那么实数m的取值范围是______．14.如图，已知点A（1，1），B（3，2），且P为x轴上一动点，则△ABP周长的最小值为______．三、计算题（本大题共3小题，共28.0分）15.若|x-3|+（4+y）2=0，求3x+y+z的值．16.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，AD=13，求四边形ABCD的面积．17.在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B与点C都在x轴上，且点B在点C的左侧，满足BC=OA，若-3a m-1b2与a n b2n-2是同类项且OA=m，OB=n．（1）m=______；n=______．（2）点C的坐标是______．（3）若坐标平面内存在一点D，满足△BCD全等△ABO，试求点D的坐标．四、解答题（本大题共6小题，共62.0分）18.．19.如图，在平面直角坐标系中，已知A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．①在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；②写出点A1和C1的坐标．20.汽车油箱中的余油量Q（升）是它行驶的时间t（小时）的一次函数．某天该汽车外出时，油箱中余油量与行驶时间的变化关系如图：（1）根据图象，求油箱中的余油Q与行驶时间t的函数关系．（2）从开始算起，如果汽车每小时行驶40千米，当油箱中余油 20升时，该汽车行驶了多少千米？21.某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定公路相距25km的A，B两站之间E点修建一个土特产加工基地，如图，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要使C、D两村到E点的距离相等，那么基地E应建在离A站多少km的地方？22.阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2 善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a．b．m．n均为正整数），则有a+b=m2+n2+2nm∴a=m 2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a．b．m．n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m．n的式子分别表示a．b，得：a=______，b=______；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a．b．m．n填空：______+______=（______+______）2 （3）若a+4=（m+n）2，且a．m．n均为正整数，求a的值．23.我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费．该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元．（1）若0＜x≤6，请写出y与x的函数关系式．（2）若x＞6，请写出y与x的函数关系式．（3）在同一坐标系下，画出以上两个函数的图象．（4）如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵（±）2=，∴的平方根是±．故选：C．根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根．本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2.【答案】D【解析】解：∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，∴另一边长为=8cm，∴它的面积为8×6=48cm2．故选：D．利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．本题考查了矩形的性质，矩形的面积的求解，利用勾股定理列式求出另一边长是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵（a+b）2-c2=2ab，∴a2+b2+2ab-c2=2ab，∴a2+b2=c2，∴这个三角形为直角三角形．故选：A．化简等式，可得a2+b2=c2，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形．本题考查了勾股定理逆定理的运用，是基础知识比较简单．4.【答案】D【解析】解：∵＜＜，∴7＜＜8，即在7和8之间，故选：D．求出的范围，即可得出答案．本题考查了估算无理数大小的应用，关键是求出的范围．5.【答案】D【解析】解：∵≥0，（y-2）2≥0，且+3（y-2）2=0，∴=0，（y-2）2=0，∴x-1=0且y-2=0，故x=1，y=2，∴x-y=1-2=-1．故选：D．本题可根据非负数的性质“几个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．”来解题．本题考查了非负数的性质，两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．6.【答案】B【解析】解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上，∴y=0，∴m+1=0，解得：m=-1，∴m+3=-1+3=2，∴点P的坐标为（2，0）．故选：B．根据点P在x轴上，即y=0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中，点在x轴上时纵坐标为0，得出m的值是解题关键．7.【答案】D【解析】解：∵点P的坐标为（2-a，3a+6），且到两坐标轴的距离相等，∴|2-a|=|3a+6|，∴2-a=±（3a+6）解得a=-1或a=-4，即点P的坐标为（3，3）或（6，-6）．故选：D．根据点P到两坐标轴的距离相等，可得|2-a|=|3a+6|，即可求出a的值，则点P的坐标可求．本题考查了点到两坐标轴的距离相等的特点，即点的横纵坐标的绝对值相等．8.【答案】B【解析】解：若y随x的增大而减小，则k＜0，即-k＞0，故图象经过第一，二，四象限．故选：B．根据题意判断k的取值，再根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．本题考查的是一次函数的性质，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．9.【答案】A【解析】解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y=mx+n过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限；②当mn＜0时，m，n异号，则y=mx+n过1，3，4象限或2，4，1象限．故选：A．根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．10.【答案】A【解析】解：根据题意，k=-4＜0，y随x的增大而减小，因为x1＜x2，所以y1＞y2．故选：A．根据一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数），当k＜0时，y随x的增大而减小解答即可．本题考查了一次函数的增减性，比较简单．11.【答案】-2-【解析】解：的倒数是：==-2-．故答案为：-2-．先找到的倒数，然后将其分母有理化即可．本题主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．12.【答案】4.8【解析】解：设斜边上的高为hcm，由勾股定理得：=10cm，直角三角形的面积=×10×h=×6×8，解得：h=4.8．故答案为：4.8cm．设斜边上的高为hcm，由勾股定理求出斜边长，再由直角三角形面积的计算方法即可得出斜边上的高．本题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由直角三角形面积的计算方法得出结果是解决问题的关键．13.【答案】m≤0【解析】解：已知直线y=2x+m不经过第二象限，即函数在y轴上的截距为非正数，即m≤0．由已知条件知，该函数为一次递增函数，且函数不过第二象限，故该函数在y轴上的截距为非正数，即m≤0．此题是对一次函数截距的考查，要求学生熟练运用．14.【答案】【解析】解：做点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，当点P运动到AB′与x轴的交点时，△ABP周长的最小值．∵A（1，1），B（3，2），′∴AB==，又∵P为x轴上一动点，当求△ABP周长的最小值时，∴AB′==，∴△ABP周长的最小值为：AB+AB′=．故答案为：．本题需先根据已知条件求出AB的长，再根据P为x轴上一动点，确定出P点的位置，即可求出BP+AP的长，最后即可求出△ABP周长的最小值．本题主要考查了轴对称-最短路线问题，在解题要结合图形再与各个知识点相结合，找出点P所在的位置是本题的关键．15.【答案】解：∵|x-3|+（4+y）2=0，∴x-3=0，4+y=0，z+2=0，∴x=3，y=-4，z=-2，∴3x+y+z=3×3-4-2=3．【解析】根据绝对值，偶次方，二次根式的性质得出方程，求出每个方程的解，再代入求出即可；本题考查了绝对值，偶次方，二次根式的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，难度适中．16.【答案】解：连接AC，∵AB=3，BC=，∠ABC=90°，∴AC===5，∵DC=12，AD=13，∴△DCA为直角三角形，∴四边形ABCD的面积=S△DCA+S△ACB=AC•CD+AB•BC，=×5×12+3×，=30+，=．答：四边形ABCD的面积为．【解析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，再勾股定理的逆定理可证△DCA为直角三角形，然后将两个直角三角形的面积相加即为四边形ABCD的面积．此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，难度不大，此题的突破点是连接AC，求出两个三角形的面积，二者相加即可．17.【答案】3 2 （5，0）或（1，0）【解析】解：（1）∵-3a m-1b2与a n b2n-2是同类项，∴，解得．（2）∵OA=m，OB=n，∴B（2，0）或（-2，0），∵点B在点C的左侧，BC=OA，∴C（5，0）或（1，0）；（3）当C（5，0）时，∵△BCD全等△ABO，BC=OA=3，∴CD=2或BD=2，∴D的坐标为（5，2）或（5，-2）或（2，2）或（2，-2）；当C（1，0）时，∵△BCD全等△ABO，BC=OA=3，∴CD=2或BD=2，∴D的坐标为（1，2）或（1，-2）或（-2，2）或（-2，-2）．所以D点的坐标为（5，2）或（5，-2）或（2，2）或（2，-2），（1，2）或（1，-2）或（-2，2）或（-2，-2）．（1）根据同类项的概念即可求得；（2）根据已知条件即可求得B（2，0）或（-2，0），根据点B在点C的左侧，BC=OA，即可确定C的坐标；（3）根据三角形全等的性质即可确定D的坐标；此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．18.【答案】解：原式=2+1+1=4+1+1=6．【解析】首先利用多项式与单项式的除法法则计算，计算0次幂，然后计算加减运算即可求解．本题考查了二次根式的混合运算，正确确定运算顺序是关键．19.【答案】解：（1）所作图形如图所示：；（2）点A1的坐标为（1，5），点C1的坐标为（4，3）．【解析】（1）作A、B、C三点关于y轴的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1B1C1；（2）写出点A1和C1的坐标即可．本题考查了根据轴对称变换作图，基本作法为：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．20.【答案】解：（1）设一次函数的表达式为Q=kt+b（k≠0）由图象可知，函数图象过（0，60）和（4，40）两点，∴，解得，∴Q=-5t+60；（2）当Q=20时，-5t+60=20，解得t=8，40×8=320，答：汽车行驶了320千米．【解析】（1）设一次函数的表达式为Q=kt+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（2）把余油量代入函数解析式求出时间t，再根据路程=速度×时间列式计算即可得解．考查了一次函数的应用，已知函数值求自变量的方法，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键，也是本题的难点．21.【答案】解：设AE=x千米，则BE=（25-x）千米，在Rt△DAE中，DA2+AE2=DE2，在Rt△EBC中，BE2+BC2=CE2，∵CE=DE，∴DA2+AE2=BE2+BC2，∴152+x2=102+（25-x）2，解得，x=10千米．答：基地应建在离A站10千米的地方．【解析】设AE=x千米，则BE=（25-x）千米，再根据勾股定理得出DA2+AE2=BE2+BC2，进而可得出结论．本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．22.【答案】m2+3n22mn21 12 3 2【解析】解：（1）a+b=（m+n）2=m2+3n2+2mn，而a．b．m．n均为正整数，所以a=m2+3n2；b=2mn；（2）令m=3，n=2，则a=32+3×22=21，b=2×3×2=12，所以21+12=（3+2）2；故答案为m2+3n2；2mn；21，12，3，2；（3）a=m2+3n2；4=2mn；∴mn=2，而m、n为正整数，∴m=1，n=2或m=2，n=1，∴a=13或a=7．（1）利用完全平方公式展开，然后根据有理数的性质可用m、n表示a、b；（2）利用（1）中结论，设m=3，n=2，然后计算出对应的a、b的值；（3）利用（1）中结论a=m2+3n2；mn=2，再根据整除性确定m、n的值，然后计算出对应a的值．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。
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第1页（共22页） 2016-2017学年福建省福州市鼓楼区文博中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（每题3分，共36分） 1．（3分）如图所示的标志中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（3分）下列计算正确的是（ ） A．x5+x5=x10 B．a3•a2=a6 C．（﹣2x3）2=﹣4x6 D．3a2•4ab=12a3b 3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（ ） A．AC=A′C′ B．BC=B′C′ C．∠B=∠B′ D．∠C=∠C′ 5．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25° 6．（3分）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（ ）
A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9：16 第2页（共22页）
7．（3分）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 8．（3分）和三角形三个顶点的距离相等的点是（ ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 9．（3分）若（a+b）2=（a﹣b）2+A，则A为（ ） A．2ab B．﹣2ab C．4ab D．﹣4ab
10．（3分）不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ） A． B． C． D． 11．（3分）现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（ ） A．3 B．4或5 C．6或7 D．8 12．（3分）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．a=b B．a=3b C．a=b D．a=4b 二、填空题（每题2分，共16分） 13．（2分）分式，当x 时有意义． 14．（2分）点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是 ． 15．（2分）等腰三角形的两边的边长分别为20cm和9cm，则第三边的长 第3页（共22页）
是 ． 16．（2分）若ab=3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是 ． 17．（2分）若4x2+mx+16是完全平方式，则m的值等于 ． 18．（2分）图示，点B在AE上，∠CBE=∠DBE，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件是 （填上适当的一个条件即可）
19．（2分）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），作△BOC，使△BOC与△ABO全等，则点C坐标为 ．（点C不与点A重合） 20．（2分）如图三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β= ．
三．解答题 21．（6分）计算： （1）3x2y•（﹣2xy3） （2）（2x+y）2﹣（2x+3y）（2x﹣3y） 22．（6分）因式分解： （1）3x﹣12x3
（2）m（x﹣y）+n（y﹣x） 23．（5分）先化简，再求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a=1，b=﹣1． 24．（6分）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹） （1）求出格点△ABC（顶点均在格点上）的面积； 第4页（共22页）
（2）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1； （3）在DE上画出点Q，使△QAB的周长最小．
25．（5分）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=50°，求∠ACD的度数．
26．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE垂直平分AC，交BC于D，交AC于E，且DE=2cm，求BC的长．
27．（6分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F． （1）求证：AD=CE； （2）求∠DFC的度数． 第5页（共22页）
28．（8分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），点D在△ABC内，且BD=BC，∠DBC=60°． （1）如图1，连接AD，直接写出∠ABD的度数（用含α的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值． 第6页（共22页） 2016-2017学年福建省福州市鼓楼区文博中学八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共36分） 1．（3分）如图所示的标志中，是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：由定义得，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．第一个、第二个和第四个图形可以沿一条直线重合． 故选：C．
2．（3分）下列计算正确的是（ ） A．x5+x5=x10 B．a3•a2=a6 C．（﹣2x3）2=﹣4x6 D．3a2•4ab=12a3b 【解答】解：A、x5+x5=2x5，故本选项错误； B、a3•a2=a5，故本选项错误； C、（﹣2x3）2=4x6，故本选项错误； D、3a2•4ab=（3×4）a2+1b=12a3b，故本选项正确． 故选：D．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称点为（﹣2，﹣3）， （﹣2，﹣3）在第三象限． 故选：C．
4．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一 第7页（共22页）
个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（ ） A．AC=A′C′ B．BC=B′C′ C．∠B=∠B′ D．∠C=∠C′
【解答】解： A、∠A=∠A′，AB=A′B′AC=A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误； B、具备∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确； C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误； D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误． 故选：B．
5．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25° 【解答】解：∵∠B=80°，∠C=30°， ∴∠BAC=180°﹣80°﹣30°=70°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE=∠BAC=70°， ∴∠EAC=∠DAE﹣∠DAC， =70°﹣35°， =35°． 故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（ ） 第8页（共22页）
A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9：16 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线， ∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2， ∴h1=h2， ∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=8：6=4：3， 故选：B．
7．（3分）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m， 又∵乘积中不含x的一次项， ∴3+m=0， 解得m=﹣3． 故选：A．
8．（3分）和三角形三个顶点的距离相等的点是（ ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【解答】解：根据线段垂直平分线的性质可得：三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点． 故选：D．
9．（3分）若（a+b）2=（a﹣b）2+A，则A为（ ） A．2ab B．﹣2ab C．4ab D．﹣4ab 【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2， ∴A=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab． 故选：C． 第9页（共22页）
10．（3分）不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ） A． B． C． D．
【解答】解：分式的分子和分母乘以6，原式=．故选D．
11．（3分）现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（ ） A．3 B．4或5 C．6或7 D．8 【解答】解：由题意得：若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角时， ∴共有33÷3=11个三角形； 又三角形中，最多有一个直角或最多有一个钝角，显然11个三角形中，有5个直角三角形和3个钝角三角形； 故还有11﹣5﹣3=3个锐角三角形． 故选：A．
12．（3分）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．a=b B．a=3b C．a=b D．a=4b 【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为