高中数学 1.6微积分基本定理(1)课件 新人教A版选修2-2
选修2-2——微积分基本定理
1．6 微积分基本定理1．问题导航(1)微积分基本定理的内容是什么？ (2)定积分的取值符号有哪些？ 2．例题导读 通过P 53例1，学会利用微积分基本定理求简单定积分的步骤和方法，通过P 53例2的学习，理解定积分的几何意义和定积分的取值符号．1．微积分基本定理(1)内容：一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．(2)表示：为了方便，常常把F (b )－F (a )记成F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )． 2．定积分的符号由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(如图1)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(如图2)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．(3)当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时(如图3)，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋CD ．f (x )＝x 2－2x答案：C3.⎠⎛0πsin x d x ＝________．解析：⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝2.答案：21．应用微积分基本定理求定积分的注意事项(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F (x )在积分区间上的增量．(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )再计算F (b )－F (a )．(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分． 2．常见函数的定积分公式(1)⎠⎛ab C d x ＝Cx ⎪⎪⎪ba (C 为常数)． (2)⎠⎛ab x n d x ＝1n ＋1x n ＋1⎪⎪⎪ba (n ≠－1)．(3)⎠⎛a b sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪ba .(4)⎠⎛ab cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪ba . (5)⎠⎛ab 1xd x ＝ln x ⎪⎪⎪ba (b >a >0)． (6)⎠⎛a b e x d x ＝e x⎪⎪⎪ba. (7)⎠⎛ab a x d x ＝a x ln a ⎪⎪⎪ba(a >0且a ≠1)．利用微积分基本定理求定积分求下列定积分的值． (1)⎠⎛12(x ＋1)(x －2)d x ；(2)⎠⎛14x (1＋x )d x ；(3)∫π20sin 2x d x ；(4)⎠⎛24x 2－x ＋1x －1d x . [解] (1)⎠⎛12(x ＋1)(x －2)d x＝⎠⎛12(x 2－x －2)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2－2x ⎪⎪⎪21 ＝⎝⎛⎭⎫13×23－12×22－2×2－⎝⎛⎭⎫13×13－12×12－2×1 ＝－76.(2)⎠⎛14x (1＋x )d x＝⎠⎛14(x ＋x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 2⎪⎪⎪41＝⎝⎛⎭⎫23×432＋12×42－⎝⎛⎭⎫23×132＋12×12＝736. (3)∫π2sin 2x d x ＝∫π21－cos 2x2d x ＝12∫π20(1－cos 2x )d x ＝12⎝⎛⎭⎫x －12sin 2x ⎪⎪⎪π2＝π4. (4)⎠⎛24x 2－x ＋1x －1d x ＝⎠⎛24x （x －1）＋1x －1d x ＝⎠⎛24⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋ln （x －1）⎪⎪⎪42 ＝⎝⎛⎭⎫12×42＋ln 3－⎝⎛⎭⎫12×22＋ln 1＝6＋ln 3.(1)当被积函数为两个函数的乘积(分式)时，一般要先化简被积函数将其转化为和的形式，便于求得函数F (x )，再计算定积分，具体步骤如下：第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )．(2)利用微积分基本定理求定积分的关键是找出被积函数的原函数，若被积函数的原函扫一扫 进入91导学网()微积分基本定理1．(1)若⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝2，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝2. ∴k ＝2.(2)⎠⎛12x －1x2d x ＝________． 解析：⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫ln 2＋12－()ln 1＋1＝ln 2－12. 答案：ln 2－12求分段函数的定积分求下列定积分的值． (1)⎠⎛－12|x －1|d x ；(2)⎠⎛－12e |x |d x ；(3)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0cos x －1，x >0求∫π2－1f (x )d x .[解] (1)⎠⎛－12|x －1|d x＝⎠⎛－11|x －1|d x ＋⎠⎛12|x －1|d x＝⎠⎛－11(－x ＋1)d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2＋x ⎪⎪⎪1－1＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x ⎪⎪⎪21＝2＋12＝52.(2)⎠⎛－12e |x |d x ＝⎠⎛－10e |x |d x ＋⎠⎛02e |x |d x＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛02e x d x＝－e －x ⎪⎪⎪0－1＋e x ⎪⎪⎪2＝e －1＋e 2－1＝e 2＋e －2.(3)∫π2－1f (x )d x ＝⎠⎛－1f (x )d x ＋∫π20f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋∫π20(cos x －1)d x＝13x 3⎪⎪⎪－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪π2＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π2＝43－π2.求分段函数的定积分(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．2．(1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x <1，2－x ，1<x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23B.34C.45D.56 解析：选D.⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21 ＝13＋12＝56. (2)⎠⎛0π|cos x |d x ＝________．解析：⎠⎛0π|cos x |d x ＝∫π20|cos x |d x ＋∫ππ2|cos x |d x＝∫π20cos x d x ＋∫ππ2(－cos x )d x＝sin x ⎪⎪⎪π20－sin x ⎪⎪⎪⎪ππ2＝1＋1＝2.答案：2(3)计算⎠⎛02|x 2－x |d x .解：∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，0≤x ≤1，x 2－x ，1<x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－x |d x ＝⎠⎛01(－x 2＋x )d x ＋⎠⎛12(x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋12x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2⎪⎪⎪21 ＝16＋56＝1.微积分基本定理的综合应用(1)已知x ∈(0，1]，f (x )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．[解析] ⎠⎛01(1－2x ＋2t )d t ＝[(1－2x )t ＋t 2]⎪⎪⎪10 ＝2－2x ，即f (x )＝－2x ＋2，因为x ∈(0，1]，所以f (1)≤f (x )<f (0)，即0≤f (x )<2，所以函数f (x )的值域是[0，2)．[答案] [0，2)(2)已知⎠⎛01[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．[解] ⎠⎛01[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x＝⎠⎛01[3ax 2＋(3ab ＋1)x ＋b ]d x＝⎣⎡⎦⎤ax 3＋12（3ab ＋1）x 2＋bx ⎪⎪⎪10 ＝a ＋12(3ab ＋1)＋b ＝0，即3ab ＋2(a ＋b )＋1＝0.法一：由于(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab .所以⎝⎛⎭⎪⎫－3ab ＋122≥4ab ，即9(ab )2－10ab ＋1≥0，得(ab －1)(9ab －1)≥0，解得ab ≤19或ab ≥1.所以ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，19∪[1，＋∞)． 法二：设ab ＝t ，得a ＋b ＝－3t ＋12，故a ，b 为方程x 2＋3t ＋12x ＋t ＝0的两个实数根，所以Δ＝（3t ＋1）24－4t ≥0，整理得9t 2－10t ＋1≥0，即(t －1)(9t －1)≥0，解得t ≤19或t ≥1.所以ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，19∪[1，＋∞)． [互动探究] 本例(1)中原已知条件改为f (t )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d x ，则f (t )＝________.解析：f (t )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d x＝[(1＋2t )x －x 2]⎪⎪⎪1＝2t . 答案：2t含有参数的定积分问题的处理办法与注意点 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．3．(1)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0<1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10 ＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，又0≤x 0<1，∴x 0＝33. 答案：33(2)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解：∵⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪1＝23a －12a 2， ∴f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29.∴当a ＝23时，f (a )有最大值为29.数学思想 利用函数的奇偶性巧解定积分问题已知⎠⎛－11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6，且f (t )＝⎠⎛0为偶函数，求a ，b .[解] ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数， ∴⎠⎛－11(x 3＋ax )d x ＝0.∴⎠⎛－11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝⎠⎛－11(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛－11(3a －b )d x＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3.① 又f (t )＝⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋（3a －b ）x ⎪⎪⎪t0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0.②由①②，得a ＝－3，b ＝－9. [感悟提高](1)在求对称区间上的定积分时，应该首先考虑函数性质与积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．(2)奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分：①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aaf （x ）d x＝0. ②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aag （x ）d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x ，如本例为偶函数，可用该结论计算．1．下列各式中，正确的是( )A.⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a )B.⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F ′(a )－F ′(b )C.⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F (b )－F (a ) D.⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F (a )－F (b )答案：C2.⎠⎛12(e x －1)d x ＝________．解析：⎠⎛12(e x－1)d x ＝(e x－x )⎪⎪⎪21＝(e 2－2)－(e 1－1) ＝e 2－e －1.答案：e 2－e －13．求定积分∫π20cos 2xsin x ＋cos xd x 的值．解：∫π20cos 2xsin x ＋cos xd x＝∫π20cos2x －sin 2x cos x ＋sin xd x＝∫π20(cos x －sin x )d x＝()sin x ＋cos x ⎪⎪⎪π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2－()sin 0＋cos 0＝0.[A.基础达标]1.⎠⎛1e 1xd x 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．ln 2D ．e 2解析：选A.⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝ln e －ln 1＝1.2.⎠⎛1e x d x 的值为( )A ．eB ．e －1 C.1eD ．1解析：选B.⎠⎛01e x d x ＝e x ⎪⎪⎪10＝e 1－e 0＝e －1. 3．已知⎠⎛1m (2x －1)d x ＝2，则m 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选D.∵⎠⎛1m (2x －1)d x ＝(x 2－x )⎪⎪⎪m1＝m 2－m ＝2， ∴m 2－m －2＝0，∴m ＝－1(舍去)或m ＝2.4.⎠⎛23x x －1d x ＝( ) A ．5＋ln 2 B ．5－ln 2 C ．1＋ln 2 D ．1－ln 2解析：选C.⎠⎛23xx －1d x ＝⎠⎛23x －1＋1x －1d x＝⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1d x ＝[]x ＋ln （x －1）⎪⎪⎪32 ＝(3＋ln 2)－(2＋ln 1)＝1＋ln 2.5．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B.∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛01⎣⎡⎦⎤2⎠⎛01f （x ）d x d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎠⎛01f （x ）d x x ⎪⎪⎪10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13.故选B.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，（x ≤0）e x ，（x >0）则⎠⎛－12f (x )d x ＝________．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，（x ≤0）e x ，（x >0）.∴⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－10x d x ＋⎠⎛02e x d x＝12x 2⎪⎪⎪0－1＋e x ⎪⎪⎪2＝－12＋e 2－1＝e 2－32.答案：e 2－327．设f (x )＝kx ＋b ，若⎠⎛01f (x )d x ＝2，⎠⎛12f (x )d x ＝3.则f (x )的解析式为________．解析：由⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝2，得⎝⎛⎭⎫12kx 2＋bx ⎪⎪⎪1＝2， 即12k ＋b ＝2，① 由⎠⎛12(kx ＋b )d x ＝3，得⎝⎛⎭⎫12kx 2＋bx ⎪⎪⎪21＝3， 即(2k ＋2b )－⎝⎛⎭⎫12k ＋b ＝3.∴32k ＋b ＝3，② 由①②联立得，k ＝1，b ＝32，∴f (x )＝x ＋32.答案：f (x )＝x ＋328.⎠⎛03x 2－4x ＋4d x ＝________．解析：⎠⎛03x 2－4x ＋4d x ＝⎠⎛03（x －2）2d x＝⎠⎛03|x －2|d x＝⎠⎛02|x －2|d x ＋⎠⎛23|x －2|d x＝⎠⎛02(2－x )d x ＋⎠⎛23(x －2)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2＋2x ⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ⎪⎪⎪32＝2＋12＝52. 答案：529．计算⎠⎛02x1＋x 2d x .解：∵f (x )＝1＋x 2的导函数为f ′(x )＝x 1＋x 2. ∴⎠⎛02x 1＋x 2d x ＝1＋x 2⎪⎪⎪20＝5－1. 10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176.求⎠⎛12f （x ）xd x 的值． 解：设f (x )＝kx ＋b ，k ≠0，则⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ＝5.① ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01(kx 2＋bx )d x ＝⎝⎛⎭⎫kx 33＋bx 22⎪⎪⎪10＝k 3＋b 2＝176，② 联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4.b ＝3. ∴f (x )＝4x ＋3.则⎠⎛12f （x ）x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫4＋3x d x ＝(4x ＋3ln x )⎪⎪⎪21 ＝(8＋3ln 2)－(4＋3ln 1)＝4＋3ln 2.[B.能力提升]1．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：选B.S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝73， S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2， S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)>e>73， 所以S 2<S 1<S 3，故选B.2．若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数： ①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.对于①，⎠⎛－11sin 12x ·cos 12x d x＝⎠⎛－1112sin x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝12(－cos x )⎪⎪⎪1－1＝12(－cos 1＋cos 1)＝0. 故①为区间[－1，1]上的一组正交函数；对于②，⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛－11(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪1－1＝13－1－⎝⎛⎭⎫－13＋1 ＝23－2＝－43≠0， 故②不是区间[－1，1]上的一组正交函数；对于③，⎠⎛－11x ·x 2d x ＝⎠⎛－11x 3d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4⎪⎪⎪1－1＝0. 故③为区间[－1，1]上的一组正交函数，故选C.3．若⎠⎛0t cos θd θ＝32，且t ∈(0，2π)，则t 的值为________． 解析：∵⎠⎛0t cos θd θ＝sin θ⎪⎪⎪t 0 ＝sin t ＝32， ∵t ∈(0，2π)，∴t ＝π3或23π. 答案：π3或23π 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤11－ln x x 2，x >1，则⎠⎛0e f (x )d x ＝________． 解析：∵f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≤11－ln x x 2，x >1， ∴⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01(x －1)d x ＋⎠⎛1e 1－ln x x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x ⎪⎪⎪10＋ln x x ⎪⎪⎪e 1＝－12＋1e ＝2－e 2e. 答案：2－e 2e5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．解：由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2，①又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋c ＝－2，③ 联立①②③得a ＝6，c ＝－4.6．设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求证：⎠⎛01f 2(x )d x >1. 证明：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0，b ，k 为常数)．⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ， 即k 2＋b ＝1，k ＝2(1－b )． ⎠⎛01f 2(x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )2d x ＝⎠⎛01(k 2x 2＋2kbx ＋b 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13k 2x 3＋kbx 2＋b 2x ⎪⎪⎪10＝13k 2＋kb ＋b 2 ＝43(1－b )2＋2b (1－b )＋b 2＝13(b －1)2＋1>1. 即⎠⎛01f 2(x )d x >1得证．。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理 微积分初步理解素材 新人教A版选修22
微积分初等化的几个问题
经过多年的探讨研究，特别是近一年的准备，微积分的初等化即将进入教学实践。
这是高等数学教学一次大的改革。
数学教学活动是一个复杂的系统工程，每一个细节的处理都关乎成败。
教学实践中会遇到这样一些具体问题：
(1)首先，如何让下面这个导数定义显得自然直观？
本来的自然表述是：
也就是说，当h无限接近于0时有：
如何用数学语言表示“无限接近”，曾经是百年难题。
现在，我们用一个不等式，就轻松地实现了这个目标：
目前这样刻画“无限接近”还是充分而不必要的。
理解了这个不等式，很容易把它发展为充分必要的描述“无限接近”的不等式。
(2)如何从这个导数定义展开？
首先要证明唯一性。
再推出下面这个微分学最基本的定理：
于是立刻得到一个推论：
这就有了
(3)中值定理的代替之物：
（4）进一步得到柯西定理的代替物，也是泰劳公式的基础
（5）用“差商有界”代替连续性
（6）泰劳公式的引入和证明的关键
(7) 如何定义定积分？
直接用定义验证，得到强可导函数和积分体系的关系：
(8)微积分的基本定理
(9)定积分的应用
(10) 新旧系统，何时接轨？
(11)多元微分，如何处理？
素材，使微积分的教育数学研究更加深入。
人教版高中数学第一章1.6微积分基本定理
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定 积分的值．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 下列积分值为 2 的是( )
A.∫50(2x－4)dx C.∫311xdx
B.∫0π cos xdx D.∫0π sin xdx
解析：∫50(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝5，∫0π cos xdx＝sin
x|π0 ＝0，∫311xdx＝ln x|31＝ln 3，∫π0 sin xdx＝－cos x|0π ＝2.
x 的原函数为
F(x)
π
＝12x－12sin x，所以 sin2 x2dx＝12x－12sin x|20＝π4－12＝
π－2 4. π－2 答案： 4
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的 平面图形的面积为________．
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
＝sin 1－23. 答案：sin 1－23
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)
【26份】高中数学人教A版选修2-2教学课件 共838张PPT
第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1 数系的扩充和复数的概念 第20课时 数系的扩充和复数的概念 第21课时 复数的几何意义 3．2 复数代数形式的四则运算 第22课时 复数代数形式的加减运算及其几何意义 第23课时 复数代数形式的乘除运算 第三章 章末专题整合
目标导航 1．了解函数的平均变化率的概念，会根据具体函数求出函数的平均 变化率． 2．理解瞬时速度的含义，了解并感受当Δt→0，用平均速度来逼近t0 时刻的瞬时速度的思想． 3．理解导数的概念，能利用导数的定义求某些函数的导数．
2 新视点· 名师博客 1.要准确了解平均变化率的概念 (1)Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘． (2)x1，x2是定义域内不同的两点，因此Δx≠0，但Δx可正也可 负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应Δx＝x2－x1的改变量，Δy的值可正可负，也 可为零，因此，平均变化率可正可负，也可为零． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy ＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)． (4)在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的 平均变化率也不一定相同．
知识点二 平均速度 1.设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，在t0到t0＋Δt这段时间 ft0＋Δt－ft0 Δs 内，物体运动的平均速度是 v ＝ ＝ Δt . Δt Δs 2．在匀速直线运动中，比值 Δt 是恒定的．在非匀速直线运动 Δs 中，比值 Δt 不是恒定的．要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 Δs 体在每一时刻运动的快慢程度．注意结合物理学中的 Δt .
【练习1】 若函数f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近一点 Δy Q(2＋Δx,3＋Δy)，则 ＝( ) Δx A．4 B．4Δx C．4＋Δx D．Δx
人教版数学高二选修2-2讲义1.6微积分基本定理
1.6微积分基本定理1．了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点) 2．掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1微积分基本定理阅读教材P51～P53“例1”以上内容，完成下列问题．1．内容：如果f(x)是区间[a，b]上的__________函数，并且F′(x)＝f(x)，那么b f(x)d x＝__________.⎠⎛a这个结论叫做微积分基本定理，又叫做____________．2．表示：为了方便，常常把F(b)－F(a)记成__________，即b f(x)dx＝⎠⎛a______________＝______________.【答案】 1.连续F(b)－F(a)牛顿-莱布尼茨公式2．F(x)|b a F(x)|b a F(b)－F(a)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．()【答案】(1)√(2)√(3)√2．若a＝1(x－2)d x，则被积函数的原函数为()⎠⎛A．f(x)＝x－2 B．f(x)＝x－2＋CC．f(x)＝12x2－2x＋C D．f(x)＝x2－2x【答案】 C3．⎠⎜⎛π2cos x d x＝________.【解析】⎠⎜⎛π2cos x d x＝sin x⎪⎪⎪⎪π2＝sinπ2－sin 0＝1.【答案】 1教材整理2 定积分与曲边梯形面积的关系阅读教材P53“例2”以下部分～P54的内容，完成下列问题．设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图1-6-1①，则⎠⎛ab f(x)d x＝__________.(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图1-6-1②，则⎠⎛ab f(x)d x＝________.①②③图1-6-1(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图1-6-1③，则⎠⎛ab f(x)d x＝______________.特别地，若S上＝S下，则⎠⎛ab f(x)d x＝______.【答案】(1)S上(2)－S下(3)S上－S下1．如图1-6-2，阴影部分的面积为________．图1-6-2【解析】根据定积分的几何意义知S阴影＝－⎠⎜⎛π232πcos x d x＝－sin x⎪⎪⎪⎪32ππ2＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin32π－sinπ2＝2.【答案】 22．如图1-6-3，定积分⎠⎛ab f(x)d x的值用阴影面积S1，S2，S3表示为⎠⎛ab f(x)d x＝________.图1-6-3【解析】根据定积分的几何意义知⎠⎛ab f(x)d x＝S1－S2＋S3.【答案】S1－S2＋S3[小组合作型]利用微积分基本定理求定积分⎠⎛xA．e＋2 B．e＋1C．e D．e－1(2)求下列定积分．①⎠⎛12(x2＋2x＋3)d x；②⎠⎛π2sin2x2d x.【自主解答】(1)⎠⎛1(2x＋e x)d x＝(x2＋e x)⎪⎪⎪1＝(12＋e)－(02＋e0)＝1＋e－1＝e.【答案】 C(2)①⎠⎛12(x2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12x2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x ＝x 33⎪⎪⎪ 21＋x 2⎪⎪⎪ 21＋3x ⎪⎪⎪21＝253.②sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ＝sin 2x 2， ∴⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ⎪⎪⎪π20＝π4－12＝π－24.求简单的定积分关键注意两点1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．[再练一题]1．(1)若⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝2，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝________. 【导学号：62952051】【解析】 (1)⎠⎛1(kx ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝2，∴k ＝2. (2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12. 【答案】 (1)B (2)ln 2－12求分段函数的定积分计算下列定积分．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ； (2)⎠⎛02|x 2－1|d x . 【精彩点拨】 (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分． 【自主解答】(1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x +⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪π20＋x ⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪ 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2.1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．[再练一题]2．计算定积分：⎠⎛-33(|2x＋3|＋|3－2x|)d x.【解】设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3,3]，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，－3≤x<－32，6，－32≤x≤32，4x，32<x≤3.所以⎠⎛-33(|2x＋3|＋|3－2x|)d x＝⎠⎜⎛-3－32(－4x)d x＋⎠⎜⎛－3232 6 d x＋⎠⎜⎛3234x d x＝－2x2⎪⎪⎪－32-3＋6x⎪⎪⎪⎪32－32＋2x2⎪⎪⎪⎪332＝－2×⎝⎛⎭⎪⎫94－9＋6×⎝⎛⎭⎪⎫32＋32＋2×⎝⎛⎭⎪⎫9－94＝45.[探究共研型]利用定积分求参数探究⎠⎛【提示】令y＝⎠⎛1(x2＋cx＋c)2d x，则y＝⎠⎛1(x4＋2cx3＋c2x2＋2cx2＋2c2x＋c2)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫15x5＋c2x4＋c2＋2c3x3＋c2x2＋c2x⎪⎪⎪1＝15＋76c ＋73c 2＝73⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋142－73×116＋15.∵73>0，∴当c ＝－14时，⎠⎛01(x 2＋cx ＋c )2d x 最小．已知f (x )是一次函数，其图象过点(1,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．【精彩点拨】 设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解． 【自主解答】 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k ＋b ＝4.①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ，所以k 2＋b ＝1. ②由①②得k ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x －2.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．[再练一题]3．上例中，若把“已知f (x )是一次函数”改为“已知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)”，其余条件不变，求f (x )的解析式．【解】 ∵函数的图象过点(1,4)，∴a ＋b ＝4， ①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋b 2x 2⎪⎪⎪10＝a 3＋b 2，∴a 3＋b2＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x 2－2x .1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d x C.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 【解析】 选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22⎪⎪⎪10＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ⎪⎪⎪10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ⎪⎪⎪10＝12.【答案】 C2．⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值是( ) A ．0 B.π4 C ．2 D ．4【解析】 ⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝⎠⎜⎛-π2π2sin x d x ＋⎠⎜⎛-π2π2cos x d x ＝(－cos x )| π2－π2＋sin x⎪⎪⎪⎪π2-π2＝2.【答案】 C3．计算⎠⎛01x 2d x ＝________.【导学号：62952052】【解析】 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＝13.【答案】 134．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________.【解析】 ⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，25．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11 f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值范围．【解】 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11 f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0，所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.6 微积分基本定理
2
01dx＝x|0＝1；
1
1
1 1 1 11 0 dx＝ x 0＝ . 2 2 2
答案：C
自 测 自 评
2. x
41 2 dx
等于(
) B．2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2
栏 目 链 接
A．－2ln 2
解析： x 答案：D
41 2 dx＝ln
x|4 2＝ln 4－ln 2＝ln 2.
基 础 梳 理
(2) 当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图 2 ，则
S下 f(x)dx＝__________.
栏 目 链 接
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、 x 轴下方均存在时，
S上－S下 ， 如图 3， 则 b 若 S 上＝S 下， 则 baf(x)dx a f(x)dx＝__________ 0 ＝__________.
π 2 2 (3)因为 2sinx＋4＝ 2sin x· ＋cos x· ＝ 2 2
sin x＋cos x，又(－cos x＋sin x)′＝sin x＋cos x， 所以 ＝ ＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.
π 0
跟 踪 训 练
(4)
＝
栏 目 链 接
＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112.
题型2
求分段函数的定积分
3 x ，x∈[0，1]，
例2
若函数 f(x)＝ x，x∈1，2]， 2x，x∈2，3]，
解析：由积分的性质，知：
3 1 2 3
求 3 0f(x)dx 的值．
＝________________. F(b)－F(a)
栏 目 链 接
高中数学选修2-2微积分基本定理课件
3 dx
-1 1 + x2
= arctanx
3 -1
= arctan 3 - arctan -1
=
π 3
-
-
π 4
=
7 12
π
新知探究
例2. 计算
3 1
2x
-
1 x2
dx
解: 因为x2来自'=2x,
1 x
'
=
-
1 x2
,
由微积分基本定理得：
3
1
2x
-
1 x2
dx
=
3
2xdx -
课前导入
学习微积分，数学和思维水平都将进入一个新的阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地 说，不学或未学懂微积分，思维难以达到较高的水平，难以适应21世纪对高中学生素质的要求. 利用本节学习的微积分基本定理，我们就能轻松解决首页的问题.
课前导入
学习微积分的意义 微积分是研究各种科学的工具，在中学数学中是研究初等函数最有效的工具.恩格斯称之为“17 世纪自然科学的三大发明之一”. 微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对 以后许多数学的发展起决定性作用的思想.” 微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示 了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.
新知探究
变速直线运动
如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可知，它在任意时刻t的
速度
v t = y' t .设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s，你能分别用y(t),v(t)表示s吗？
人教A版高中数学选修2-2课件第四节 定积分与微积分基本定理
(2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方 向从 x＝a 移动到 x＝b 时，力 F(x)所做的功是 W＝bF(x)dx.
a
课下限时答案
B AD
9、(1) ln 2 5 6
AC 1 4
329
(2)1 e
1
1 e
4、解：如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积
(2)一物体在力 F(x)＝53，x＋0≤4，x≤x＞2，2 (单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到 x＝4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为 ________焦．
(2)由题意知，力 F(x)所做的功为
W＝4F(x)dx＝25dx＋4(3x＋4)dx
面积为92，则 k 等于( )
A．2
B．1
C．3
D．4
解：选 C 由yy＝ ＝xk2x， 消去 y 得 x2－kx＝0，所以 x＝0 或 x
＝k，则阴影部分的面积为0k(kx－x2)dx＝12kx2－13x3 －13k3＝92，解得 k＝3.
＝92.即12k3
2．由抛物线 y＝x2－1，直线 x＝0，x＝2 及 x 轴围成的图形面 积为________． 解：如图，由 x2－1＝0，得抛物线与 x 轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)
7、
10、解：∵f′(x) =3x2－2x＋1
设在点(1,2)处的切线的斜率为 k，则 k＝f′(1)＝2
∴在点(1,2)处的切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x
y＝2x 与函数 g(x)＝x2 围成的图形如图：
y 2x
由
y
x2
可得交点
A(2,4)
人教版数学高二第一章 1.6微积分基本定理
1.6 微积分基本定理数学选修2－21.6 微积分基本定理[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 51～P 54的内容，回答下列问题．(1)观察教材P 51图1.6－1，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y ＝y (t )，并且y (t )有连续的导数，设这个物体在时间段[a ，b ]内的位移为S .①由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v (t )与y (t )之间有什么关系？ 提示：v (t )＝y ′(t )．②如何利用y ＝y (t )表示物体在t ∈[a ，b ]上的位移S? 提示：S ＝y (b )－y (a )．③若v (t )表示物体在任意时刻t 的速度，如何用v (t )求物体在t ∈[a ，b ]上的位移S? 提示：S ＝⎠⎛a bv (t )d t .④由①②③能否得出结论S ＝⎠⎛a bv (t )d t ＝⎠⎛a by ′(t )d t ＝y (b )－y (a )成立？ 提示：能．(2)计算定积分⎠⎛0πS i n x d x ，∫2ππS i n x d x ，∫2π0S i n x d x ，由计算结论你能发现什么规律？ 提示：⎠⎛0πS i n x d x ＝2，∫2ππS i n x d x ＝－2，∫2π0 S i n x d x ＝0. 即定积分的值可正， 可负，还可能为0.(3)根据⎠⎛0πS i n x d x ，∫2ππS i n x d x 和∫2π0S i n x d x 值的特点以及曲边梯形的面积，你能得出定积分与曲边梯形的面积有什么关系吗？(参阅教材P 54图1.6－3，图1.6－4，图1.6－5)．提示：当曲边梯形在x 轴上方时，定积分的值取正值；当曲边梯形在x 轴下方时，定积分的值取负值；当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0.2．归纳总结，核心必记 (1)微积分基本定理 内容如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．符号⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a ). 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下．则 ①当曲边梯形在x 轴上方时，如图(1)，则⎠⎛a bf (x )d x ＝S 上． ②当曲边梯形在x 轴下方时，如图(2)，则⎠⎛a b f (x )d x ＝－S 下．③当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则⎠⎛a bf (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛a bf (x )d x ＝0.[问题思考](1)满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．(2)如果⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a bg (x )d x ，那么是否一定有f (x )＝g (x )？请举例说明．提示：不一定，例如：当f (x )＝2x ，g (x )＝3x 2时，⎠⎛012xdx ＝⎠⎛013x 2dx ，但f(x )≠g(x )．(3)如图，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf(x )dx 的值？提示：⎠⎛a bf(x )dx ＝S 1－S 2＋S 3.(4)你认为⎠⎛a bf(x )dx ，⎠⎛a b|f(x )|dx 和||⎠⎛a bf (x )d x 有什么不同？提示：①⎠⎛a b f(x )dx 表示的是由x 轴，函数f(x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b(a<b)所围图形面积的代数和(即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积)；②||f (x )是非负的，所以⎠⎛a b|f(x )|dx 表示在区间[a ，b]上所有以||f (x )的图象为曲边的曲边梯形的面积和；③||⎠⎛a bf (x )d x 则是⎠⎛a bf(x )dx 的绝对值．三者的值一般情况下是不同的，但对于f(x )≥0，x ∈[a ，b]，三者的值是相同的．[课前反思](1)微积分基本定理的内容是什么？ (2)定积分与曲边梯形的面积有什么关系？知识点1求简单函数的定积分[思考1] 如何利用微积分基本定理求函数f(x )在[a ，b]上的定积分⎠⎛a bf(x )dx ?名师指津：用微积分基本定理求定积分的步骤： (1)求f(x )的一个原函数F(x )； (2)计算F(b)－F(a)．[思考2] 我们知道，已知函数f(x )，则满足F ′(x )＝f(x )的函数y ＝F(x )不唯一，那么⎠⎛abf(x )dx 的值唯一吗？名师指津：由于⎠⎛a bf(x )dx ＝F(b)－F(a)，且f(x )的原函数间相差一个常数，在计算时，不影响F(b)－F(a)的值，故⎠⎛a b f(x )dx 是唯一的．讲一讲1．(链接教材P 53－例1)计算下列定积分． (1)⎠⎛01(x 3－2x )dx ； (2)∫π20(x ＋coS x )dx ；(3)∫π20Sin 2x 2dx ; (4)⎠⎛121x (x ＋1)dx .[尝试解答] (1)∵⎝⎛⎭⎫14x 4－x 2′＝x 3－2x ， ∴⎠⎛01(x 3－2x )dx ＝⎝⎛⎭⎫14x 4－x 2|10＝－34. (2)∵⎝⎛⎭⎫12x 2＋sin x ′＝x ＋coS x ， ∴∫π20(x ＋coS x )dx ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋sin x |π20＝π28＋1. (3)Sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12coS x ， ∴∫π20Sin 2x 2dx ＝∫π20⎝⎛⎭⎫12－12cos x dx ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π20＝π4－12＝π－24. (4)∵f(x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，且[ln x －ln(x ＋1)]′＝1x －1x ＋1，∴⎠⎛121x (x ＋1)dx ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1dx＝[ln x －ln(x ＋1)]21＝ln 43.类题·通法用微积分基本定理求定积分，实质上是导数的逆运算，即求导数等于被积函数的一个函数，求解时需要注意以下两点：(1)熟练掌握基本函数的导数及导数的运算法则，学会逆运算；(2)当被积函数较为复杂，不容易找到原函数时，可适当变形后再求解．特别地，需要弄清楚积分变量，精确定位积分区间，分清积分上限与积分下限．练一练1．计算下列定积分．(1)⎠⎛1－2(1－t 3)d t ；(2)⎠⎛0－π(coS x ＋e x )dx ；(3)⎠⎛49x(1＋x)dx ；(4)⎠⎛0e33x ＋2dx ；(5)∫π2－π2coS 2xdx .解：(1)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎠⎛1－2(1－t 3)d t ＝⎝⎛⎭⎫t －14t 41－2＝⎝⎛⎭⎫1－14－⎣⎡⎦⎤－2－14(－2)4＝274. (2)∵(Sin x ＋e x )′＝coS x ＋e x ， ∴⎠⎛0－π(coS x ＋e x )dx ＝(Sin x ＋e x )0－π＝(0＋1)－(0＋e －π)＝1－e －π. (3)原式＝⎠⎛49(x ＋x )dx＝⎠⎛49x 12dx ＋⎠⎛49xdx . ∵⎝⎛⎭⎫23x 32′＝x 12，⎝⎛⎭⎫12x 2′＝x ， ∴⎠⎛49x 12dx ＋⎠⎛49xdx＝23x 3294＋12x 294＝2716. (4)∵[ln(3x ＋2)]′＝33x ＋2，∴⎠⎛0e33x ＋2dx ＝ln(3x ＋2)e 0＝ln(3e ＋2)－ln(3×0＋2)＝ln 3e ＋22.(5)原式＝∫π2－π2coS 2xdx ＝∫π2－π21＋cos 2x2dx∵⎝⎛⎭⎫x 2＋sin 2x 4′＝1＋cos 2x 2，∴∫π2－π2coS 2xdx ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋14sin 2x |π2－π2 ＝π4＋14Sin π－⎝⎛⎭⎫－π4＋14sin (－π) ＝π2.知识点2求分段函数的定积分[思考] ⎠⎛ab f(x )dx 、⎠⎛ac f(x )dx 、⎠⎛cb f(x )dx (其中a<c<b)之间有什么关系？名师指津：⎠⎛a b f(x )dx ＝⎠⎛a c f(x )dx ＋⎠⎛cb f(x )dx (其中a<c<b)．讲一讲2．求函数f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈[1，2]，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的积分．[尝试解答] 由积分性质，得：⎠⎛03f(x )dx ＝⎠⎛01f(x )dx ＋⎠⎛12f(x )dx ＋⎠⎛23f(x )dx＝⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x dx ＋⎠⎛232x dx＝⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12x 12dx ＋⎠⎛232x dx ＝x 4410＋23x 3221＋2x ln 232＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.类题·通法分段函数定积分的求法求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段定积分和的形式，若函数解析式中含有绝对值，应根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值符号，化为分段函数后再求积分．练一练2．计算定积分⎠⎛0－4|x ＋3|dx . 解：因为f(x )＝|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x<－3，x ＋3，x ≥－3，所以⎠⎛－40|x ＋3|dx＝⎠⎜⎛－4－3(－x －3)dx ＋⎠⎛－30(x ＋3)dx＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－3x |－3－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋3x |0－3＝5.知识点3根据定积分求参数讲一讲3．设函数f(x )＝a x 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f(x )dx ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[思路点拨] 分别求出⎠⎛01f(x )dx 和f(x 0)的值，然后利用二者相等建立关于x 0的方程求解．[尝试解答] 因为f(x )＝a x 2＋c(a ≠0)，且⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx ′＝a x 2＋c ，所以⎠⎛01f(x )dx ＝∫10(a x 2＋c)dx ＝⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx |10＝a 3＋c ＝a x 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．即x 0的值为33.类题·通法利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．练一练3．设f(x )＝a x ＋b ，且⎠⎛1－1[f(x )]2dx ＝1，求f(a)的取值范围．解：由⎠⎛1－1[f(x )]2dx ＝1可得，⎠⎛1－1(a x ＋b)2dx ＝⎠⎛1－1(a 2x 2＋2ab x ＋b 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫a 23x 3＋abx 2＋b 2x |1－1＝1，即2a 2＋6b 2＝3，则b 2＝3－2a 26≤36＝12， 即－22≤b ≤22. 于是f(a)＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝⎛⎭⎫b －162＋1912， 所以－22≤f(a)≤1912.即f(a)的取值范围为⎣⎡⎦⎤－22，1912. [课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是利用微积分基本定理求定积分，难点是根据定积分求参数． 2．本节课要重点掌握的规律方法(1)利用微积分基本定理求定积分，见讲1和讲2； (2)根据定积分求参数的值(或取值范围)，见讲3.3．正确确定原函数是利用微积分基本定理求定积分的关键，也是本节课的易错点．课下能力提升(十)[学业水平达标练]题组1 求简单函数的定积分 1.⎠⎛02(x －1)d x 等于( )A ．－1B ．1C ．0D ．2解析：选C ⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x |20＝12×22－2＝0.2.⎠⎛01(e x ＋2x )dx 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C ⎠⎛01(e x ＋2x )dx ＝(e x ＋x 2)10＝(e 1＋1)－e 0＝e .3．∫π2－π2(1＋coS x )dx ＝( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2解析：选D ∵(x ＋Sin x )′＝1＋coS x ， ∴∫π2－π2(1＋coS x )dx ＝(x ＋Sin x )π2－π2＝π＋2.4．计算定积分∫1－1(x 2＋Sin x )dx ＝________.解析：∫1－1(x 2＋Sin x )dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33－cos x |1－1＝23. 答案：23题组2 求分段函数的定积分5．设f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，2－x ，1<x ≤2，则⎠⎛02f(x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在 解析：选C ⎠⎛02f(x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx ＝13x 310＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 221＝13＋4－2－2＋12＝56. 6．计算下列定积分： (1)⎠⎛25|x －3|dx ；(2)若f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x>0，求∫π2－1f(x )dx .解：(1)∵|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ∈[2，3)，x －3，x ∈[3，5]，∴⎠⎛25|x －3|dx ＝⎠⎛23|x －3|dx ＋⎠⎛35|x －3|dx＝⎠⎛23(3－x )dx ＋⎠⎛35(x －3)dx＝⎝⎛⎭⎫3x －12x 232＋⎝⎛⎭⎫12x 2－3x 53 ＝⎝⎛⎭⎫9－12×9－6＋2＋⎝⎛⎭⎫252－15－92＋9＝52.(2)由已知∫π2－1f(x )dx ＝⎠⎛0－1x 2dx ＋∫π20(coS x －1)dx ＝13x 30－1＋(Sin x －x )π20 ＝13＋⎝⎛⎭⎫1－π2＝43－π2. 题组3 根据定积分求参数7．若∫a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选D ∫a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝(a 2＋ln a)－(1＋ln 1)＝(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝3，a>1，a ＝2，∴a ＝2.8．设f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________. 解析：显然f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3a 0＝a 3，得a 3＝1，a ＝1. 答案：19．已知2≤⎠⎛12(k x ＋1)dx ≤4，则实数k 的取值范围为________． 解析：⎠⎛12(k x ＋1)dx ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝(2k ＋2)－12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2.答案：⎣⎡⎦⎤23，210．已知f(x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f(x )dx ＝0，求f(x )的解析式．解：设f(x )＝a x 2＋b x ＋c(a ≠0)，∴a ＋b ＋c ＝0.∵f ′(x )＝2a x ＋b ，①∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f(x )dx ＝⎠⎛01(a x 2＋b x ＋c)dx ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx |10＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f(x )＝－32x 2＋2x －12. [能力提升综合练] 1．已知⎠⎛02f(x )dx ＝3，则⎠⎛02[f(x )＋6]dx ＝( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．18解析：选C ⎠⎛02[f(x )＋6]dx ＝⎠⎛02f(x )dx ＋⎠⎛026dx ＝3＋6x 20＝3＋12＝15. 2．若函数f(x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x ＝( )A .56B .12C .23D .16 解析：选A ∵f(x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，∴f(x )＝x 2＋x ，∴⎠⎛12f(－x )dx ＝⎠⎛12(x 2－x )dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 221＝56.3．若y ＝⎠⎛0x (Sin t ＋coS t·Sin t)d t ，则y 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．0解析：选B y ＝⎠⎛0x (Sin t ＋coS t·Sin t)d t ＝⎠⎛0x Sin t d t ＋⎠⎛0x sin 2t 2d t ＝－coS t x 0－14coS 2t x 0＝－coS x ＋1－14(coS 2x －1)＝－14coS 2x －coSx ＋54＝－12coS 2x －coS x ＋32＝－12(coS x ＋1)2＋2≤2. 4．若f(x )＝x 2＋2⎠⎛01f(x )dx ，则⎠⎛01f(x )dx 等于( ) A ．－1 B ．－13 C .13D ．1解析：选B 因为⎠⎛01f(x )dx 是常数，所以f ′(x )＝2x ， 所以可设f(x )＝x 2＋c(c 为常数)，所以c ＝2⎠⎛01f(x )dx ＝2⎠⎛01(x 2＋c)dx ＝2⎝⎛⎭⎫13x 3＋cx |10， 解得c ＝－23，⎠⎛01f(x )dx ＝⎠⎛01(x 2＋c)dx ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x 2－23dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－23x 10＝－13. 5.⎠⎛02(4－2x )(4－3x 2)dx ＝________. 解析：⎠⎛02(4－2x )(4－3x 2)dx ＝⎠⎛02(16－12x 2－8x ＋6x 3)dx ＝⎝⎛⎭⎫16x －4x 3－4x 2＋32x 420＝8. 答案：86．若f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，sin x －1，x>0，则⎠⎛1－1f(x )dx ＝________. 解析：⎠⎛1－1f(x )dx ＝⎠⎛0－1x 2dx ＋⎠⎛01(Sin x －1)dx ＝13x 30－1＋(－coS x －x )10＝13－coS 1. 答案：13－coS 1 7．计算下列定积分．(1)⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx ；(2)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x dx . 解：(1)∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ，x ≤－32，6，－32＜x ＜32，4x ，x ≥32.∴⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx ＝∫－32－3(－4x )dx ＋∫32－326dx ＋⎠⎛3324xdx ＝－2x 2－32－3＋6x 32－32＋2x 2332＝(－2)×⎝⎛⎭⎫－322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝⎛⎭⎫－32＋2×32－2×⎝⎛⎭⎫322＝45.(2)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x dx ＝⎠⎛142x dx －⎠⎛141xdx ＝2x ln 241－2x 41＝⎝⎛⎭⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. 8．已知f(x )＝⎠⎛x －a (12t ＋4a)d t ，F(a)＝⎠⎛01[f(x )＋3a 2]dx ，求函数F(a)的最小值． 解：∵f(x )＝⎠⎛x －a (12t ＋4a)d t ＝(6t 2＋4at)x －a ＝6x 2＋4a x －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4a x －2a 2， ∴F(a)＝⎠⎛01[f(x )＋3a 2]dx ＝⎠⎛01(6x 2＋4a x ＋a 2)dx ＝(2x 3＋2a x 2＋a 2x )10＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1，∴当a ＝－1时，F(a)最小值＝1.。
2014年人教A版选修2-2课件 1.6 微积分基本定理
1 1 1 1 1 1 1 2 3 lim[ (1 ) (1 ) (1 )(2 ) 1] . n 4 n 2 n 2 n n 4
问题1. 试计算下列定积分, 看看计算中有什么 难点? 0 3 21 (1) (2) x dx ; 1 x dx . 1
例2. 计算下列定积分: 2 2 sin xdx , sin xdx , 0 0 sin xdx. 解: ∵ (cosx)sinx,
y
sin xdx 0
2
0 sin xdx ( cos x)| 0 1 (cos)(cos0) O 1 2;
本章内容
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 变化率与导数 导数的计算 导数在研究函数中的应用 生活中的优化问题举例 定积分的概念 微积分基本定理 定积分的简单应用 第一章 小结
1.6
微积分基本定理
习 题
1. 微积分基本定理是怎样的?
2. 怎样用微积分基本定理求定积分?
问题1. 试计算下列定积分, 看看计算中有什么 难点? 0 3 21 (1) (2) x dx ; 1 x dx . 1
b a f ( x)dx F (b) F (a).
为了方便, 常把 F(b)F(a) 记成 F ( x)|b a, 即
b b f ( x ) dx F ( x ) | a a F (b) F (a ).
微积分基本定理的几何意义: y yF(x) 函数 yF(x) 如图, Q B 取小区间 [xi1, xi], D h △ si (1) F ( xi 1 ) CD i , hi PC x P C A △x 得 hiF(xi1)△x. (2) F(xi)F(xi1) AB △si. 必然 hi si 的误差很小, 即