广东省高考数学复习专题汇编 平面几何与圆锥曲线(-试题)
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 圆锥曲线
圆锥曲线225.（本小题满分12分）如图，设P 是圆珠笔2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为P D 上一点，且45MD PD =（Ⅰ）当P 的在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度。
∴线段AB 的长度为AB ==415== 注：求AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分。
6.椭圆的中心为原点O ，离心率2e =，一条准线的方程为x = （Ⅰ）求该椭圆的标准方程。
（Ⅱ）设动点P 满足2OP OM ON =+,其中M,N 是椭圆上的点。
直线OM 与ON 的斜率之积为12-。
问：是否存在两个定点12F F 、，使得12PF PF +为定值。
若存在，求12F F 、的坐标；若不存在，说明理由。
设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题意知，12121==-2OM ON y y k k x x ，因此12122=0x x y y +， 所以22220x y +=， 所以P 点是椭圆()()22221x y +=上的点，设该椭圆的左右焦点为12F F 、，则由椭圆的定义，12PF PF +为定值，又因c ==，因此两焦点的坐标分别为())12F F 、7. (本小题共l2分)椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC与直线BD 交于点Q ．(I) 当|CD | =l 的方程；(II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP OQ ∙为定值.8.已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= (Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ， 证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.（Ⅱ）法一：点P(,1)2--，P关于点O的对称点为Q，2Q∴，22121111111(22242AQ APyK Kx--====--，即90PAQ∠=，同理1PB BQK K=-即90PBQ∠=，∴180PAQ PBQ∠+∠= A、P、B、Q四点在同一圆上.法二：由已知有⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,22Q则PQ的中垂线为：xy22-=设A、B的中点为()33,yxD∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=+==+=2121212242211213213xxyyyxxx∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,42D 则AB 的中垂线为：4122+=x y9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB【解析】（1）因为(2,0)M -、N ,所以MN 的中点坐标为),又因为直线PA 平分线段所以k 的值为2-(2)因为k=2,所以直线AP 的方程为2y x =,由222142y xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得交点P(24,33)、A(24,33--),因为PC ⊥x 轴，所以C （2,03)，所以直线AC 的斜率为1，直线AB 的方程为23y x =-，所以点P 到直线AB 的距离242||--.。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选27
圆锥曲线2726.．（本小题满分为14分）一条双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为A 1,A 2，点11(,)P x y ，11(,)Q x y -是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程式；（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥ ,求h 的值。
故221(2)2y x =--，即2212x y +=。
（2）设1:l y kx h =+，则由12l l ⊥知，21:l y x h k=-+。
将1:l y kx h =+代入2212x y +=得 22()12x kx h ++=，即222(12)4220k x khx h +++-=， 由1l 与E 只有一个交点知，2222164(12)(22)0k h k h ∆=-+-=，即[中学]2212k h +=。
同理，由2l 与E 只有一个交点知，22112h k +⋅=，消去2h 得221k k=，即21k =，从而[中学]22123h k =+=，即3h =27.（本小题满分12分） 如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为ca=22，得2a c =，又22a c +=4(21)，所以可解得22a =2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选15
圆锥曲线151.直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x k k x x ……②2.如图，过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P （0,m ）(m>0)作直线与抛物线交于A ，B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.（I ）设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:)(QB QA QP λ-⊥；（II ）设直线AB 的方程是x -2y+12=0，过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB 的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42=得 .0442=--m kx x ①设A 、B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、122),,(x y x 则、x 2是方程①的两根.所以 .421m x x -=由点P （0，m ）分有向线段AB 所成的比为λ，得.,012121x x x x -==++λλλ即 又点Q 是点P 关于原点的对称点，故点Q 的坐标是（0，－m ），从而)2,0(m QP =.).)1(,(),(),(21212211m y y x x m y x m y x QB QA λλλλλ-+--=+-+=-])1([2)(21m y y m QB QA QP λλλ-+-=-⋅221212122212144)(2])1(44[2x mx x x x m n x x x x x x m +⋅+=++⋅+=.0444)(2221=+-⋅+=x mm x x m所以 ).(QB QA QP λ-⊥。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 圆锥曲线
圆锥曲线21解答题:1. （本小题满分14分）已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=2其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知m 0≠，将其代入22132x y +=，得 222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+-> 即2232k m +>…………（*）又212122263(2),,2323km m x x x x k k-+=-=++ 所以22222121222632||1()4123k m PQ k x x x x k k+-=++-=++ 因为点O 到直线l 的距离为21,d k =+所以1||2OPQ S PQ d ∆=⋅ 222212632121k m k k+-=++226||32m k m +-= 又6,2OPQ S ∆=整理得22322,k m +=且符合（*）式，此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++ 222222121212222(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+=综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立。
所以5||||2OM PQ ⋅≤，当且仅当221132,2m m m-=+=±即时，等号成立. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5.22.如图7，椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的离心率为23，x 轴被曲线b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长.()I 求1C ，2C 的方程；()II 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB分别与1C 相交于点D ，E . (ⅰ)证明： ME MD ⊥;(ⅱ)记MAB ∆,MDE ∆的面积分别为21,S S ，问：是否存在直线l ，使得321721=S S ？请说明理由.解：()I 由题意知23==a c e ，从而b a 2=，又a b =2，解得1,2==b a ，故1C ，2C 的方程分别为1422=+y x ，12-=x y ()II （ⅰ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y=由⎩⎨⎧-==12x y kx y 得012=--kx x 设()11,y x A，()22,y x B ，则21,x x 是上述方程的两个实根，于是,21k x x =+1,21-=x x又点()1,0-M，所以()()()21212122121221111111x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MBMA +++=++=+⋅+=⋅11122-=-++-k k故MB MA ⊥即ME MD ⊥因此⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1744641212121k k S S 由题意知，321717446412121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++k k ，解得421=k 或4121=k又由点B A ,的坐标可知，,11111112121k k k kk k k -=+-=所以23±=k 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为x y23=和x y 23-= 评析：本大题主要考查抛物线、椭圆的标准方程的求法以及直线与抛物线、椭圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.4.设圆C 与两圆222254,54x y x y +=-+=（+）（）中的一个内切，另一个外切. （1）求C 的圆心轨迹L 的方程.（2）已知点3545()555M F ，，（，0），且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.【解析】（1）解：设C 的圆心的坐标为(,)x y ，由题设条件知2222|(5)(5)|4,x y x y ++--+=化简得L 的方程为22 1.4x y -=（2）解：过M ，F 的直线l 方程为2(y x =--，将其代入L 的方程得215840.x -+=解得1212x x l L T T ==故与交点为 因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故11||||||2,MT FT MF -==22|||||| 2.MT FT MF -<=，若P 不在直线MF 上，在MFP ∆中有 |||||| 2.MP FP MF -<=故||||MP FP -只在T 1点取得最大值2。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 圆锥曲线
圆锥曲线3520. 已知椭圆的焦点坐标为1F （-1,0），2F （1,0），过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且|PQ |=3，（1） 求椭圆的方程；（2） 过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则△1F MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1） 设椭圆方程为2222x y a b +=1（a>b >0）,由焦点坐标可得c =1………1分由PQ |=3，可得22b a=3， (2)分解得a =2，b ，…………………………………………………３分故椭圆方程为2243x y +=1……………………………………………4分则12AMNS =V AB （12y y -）=12y y -分令则t≥1,则212121313AMNt S t t t===++V ,………………………10分令f （t ）=3t +1t，则f ′(t ) =3-21t， 当t ≥1时，f ′(t )≥0,f (t)在1,+∞)上单调递增，有f (t )≥f (1)=4, AMN S V ≤123=3, 即当t =1,m =0时，AMN S V ≤123=3, AMN S V =4R ，∴max R =34，这时所求内切圆面积的最大值为916π.故直线l :x =1，△AMN 内切圆面积的最大值为916π………………12分21.已知直线1:+=x y l ，23:22=+y x O 圆,直线l 被圆截得的弦长与椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的短轴长相等,椭圆的离心率23=e(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．(Ⅱ)解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--u u r u u r 及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--u u r u u rg2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ 当且仅当0=⋅TB TA 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件.当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--=8分设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-u u r u u r，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++u u r u u r g222216161632160.189k k k k ---++==+ 所以TA TB ⊥u u r u u r，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件.22.设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21F F 、，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足211F F BF =，且2AF AB ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）D 是过2F B A 、、三点的圆上的点，D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于N M 、两点，在x 轴上是否存在点)0,(m P 使得以PN PM ,为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由.（Ⅱ）由（1）知,21=a c 得a c 21=于是2F （21a ，0）, B )0,23(a -，△ABF 的外接圆圆心为（21-a ，0），半径r =21|FB |=a ,D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，所以a a =--2|321|，解得a =2，∴c =1，b =3， 所求椭圆方程为13422=+y x . ------------------8分由已知条件知0≠k 且R k ∈43143222+=+=∴k kk m 410<<∴m故存在满足题意的点P 且m的取值范围是410<<m ． ------------------12分23.已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：（Ⅰ）求12C C 、的标准方程；x32- 4 2 y23-4-22（Ⅱ）请问是否存在直线l 同时满足条件：(ⅰ)过2C 的焦点F ；(ⅱ)与1C 交于不同两点Q 、R ，且满足OQ OR ⊥u u u r u u u r？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）已知椭圆1C 的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 分别另交椭圆于M 、N 两点．当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由．（Ⅱ）容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线l 斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点(1,0)F ，设其方程为(1)y k x =-，与1C 的交点坐标为()11,Q x y ,()22,R x y所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为：22y x =-或22y x =-+…………………9分（Ⅲ）设直线AM 的斜率为k ()0k ≠，则AM ：(2)y k x =+，AN ：1(2)y x k=-+ 则22(2),1,4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得：2222(14)161640k x k x k +++-=． ∵此方程有一根为2-，∴222814M k x k -=+⇒2414M k y k=+ 同理可得22284N k x k -=+⇒244N ky k =-+………………………………………………11分 则222222244541428284(1)414MNk k kk k k k k k k k --++==-----++ 所以MN 的直线方程为22224528()144(1)14k k k y x k k k --=--+-+ 令0y =，则222216(1)2865(14)145k k k x k k k --=+=-++.所以直线MN 过x 轴上的一定点6(,0)5- ………………………………………………14分。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选14
圆锥曲线1419. 已知方向向量为)3,1(=v 的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足634=⋅cot ∠MON≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.（I ）解法一：直线333:-=x y l ， ①过原点垂直l 的直线方程为x y 33-=， ② 解①②得.23=x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32322=⨯=∴c a∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③（II ）解法一：设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k,13612,131222212221+-=⋅+-=+∴k k x x k k x x ,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=k k k k k k kx x x x kMN点O 到直线MN 的距离21|2|kk d +=,cot 634MON ON OM ∠=⋅Θ即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠⋅MONMONMON ON OM,634||.632,634sin ||||=⋅∴=∴=∠⋅∴∆d MN S MON ON OM OMN即).13(6341||6422+=+k k k整理得.33,312±=∴=k k当直线m 垂直x 轴时，也满足632=∆OMN S .故直线m 的方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM . 所以所求直线方程为,33233+=x y或,33233--=x y 或.2-=x 解法二：设M （11,y x ），N （22,y x ）. 当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k ,13122221+-=+∴k k x x∵E（－2，0）是椭圆C 的左焦点，∴|MN|=|ME|+|NE|=.13)1(6262)1312(622)()()(2222212212++=++-⋅=++=+++k k k k a x x a c x c a e x c a e 以下与解法一相同.∴222)3(2424++t t =632，整理得.324t t =解得,3±=t 或.0=t 故直线m 的方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线均满足.0≠⋅OM所以所求直线方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x20.如图，直线 l 1：y ＝kx （k >0）与直线l 2：y ＝－kx 之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2．（I ）分别用不等式组表示W 1和W 2；（II ）若区域W 中的动点P (x ，y )到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程； （III ）设不过原点O 的直线l 与（II ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4两点．求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为（32a ，0），即它们的重心重合， 当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =mx +n （n ≠0）．由22222(1)0k x y k d y mx n ⎧--+=⎨=+⎩，得2222222()20k m x mnx n k d d -----=由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2－m 2≠0且△=2222222(2)4()()mn k m n k d d +-⨯++>0设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)， 则12222mnx x k m +=-, 1212()2y y m x x n +=++,设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3)，(x 4, y 4)，由及y kx y kx y mx n y mx n ⎧==-⎧⎨⎨=+=+⎩⎩得34,n nx x k m k m -==-+从而3412222mnx x x x k m +==+-，所以y 3+y 4=m (x 3+x 4)+2n ＝m (x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2, 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合．21.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如图４所示）． （Ⅰ）求AOB ∆得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y （II）22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB 当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 圆锥曲线
圆锥曲线0858.已知两定点1(2,0),F -2(2,0),F 满足条件212PF PF -=u u u v u u u v的点P 的轨迹是曲线E ，直线ｙ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点。
（Ⅰ）求ｋ的取值范围；（Ⅱ）如果63,AB =u u u v 且曲线E 上存在点C ，使,OA OB mOC +=u u u v u u u v u u u v求m ABC ∆的值和的面积S 。
本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。
满分14分。
解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E 是以()()122,0,2,0F F -为焦点的双曲线的左支，且2,1c a ==，易知1b =故曲线E 的方程为()2210x y x -=<∵ 2121AB k x x =+-()2121214k x x x x =++-2222221411k k k k --⎛⎫=+-⨯ ⎪--⎝⎭()()()22221221k k k +-=-依题意得 ()()()2222122631k k k +--整理后得422855250k k -+= ∴257k =或254k = 但21k <<- ∴52k =-故直线AB 的方程为5102x y ++= 设()00,C x y ，由已知OA OB mOC +=u u u r u u u r u u u r，得()()()112200,,,x y x y mx my +=∴()121200,,x x y y mx my m m ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()0m ≠ 又1222451x x k +==--()21212222222811k y y k x x k k +=+-=-==-- ∴点458C m ⎫-⎪⎪⎝⎭59.如图，以椭圆()012222>>=+babyax的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习圆锥曲线试题精选27
圆锥曲线2726.．（本小题满分为14分）一条双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为A 1,A 2，点11(,)P x y ，11(,)Q x y -是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程式；（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥ ,求h 的值。
故221(2)2y x =--，即2212x y +=。
（2）设1:l y kx h =+，则由12l l ⊥知，21:l y x h k=-+。
将1:l y kx h =+代入2212x y +=得 22()12x kx h ++=，即222(12)4220k x khx h +++-=， 由1l 与E 只有一个交点知，2222164(12)(22)0k h k h ∆=-+-=，即[中学] 2212k h +=。
同理，由2l 与E 只有一个交点知，22112h k +⋅=，消去2h 得221k k =，即21k =，从而[中学]22123h k =+=，即h =27.（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为c a =2，得a =，又22a c +=1)，所以可解得a =2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 圆锥曲线
圆锥曲线16 选择题1.如图，F1,F2分别是双曲线C：22221x ya b-=（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是A. 233B。
62C.2D. 3【答案】B2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 83.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为2130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、22B 、23C 、4D 、25 【答案】B【解析】设抛物线方程为22y px =，则点(2,2)M p ±Q 焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，点M 到该抛物线焦点的距离为3，∴ 22492p P ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 解得2p =，所以44223OM =+⨯=.5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心学率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y +=6.已知双曲线C ：22x a -22y b =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又Q C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴=g ，即2a b =. 又222c a b =+，25,5a b ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1.7.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. 5B. 42C.3D.58.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（ ）()A 22 ()B 2 ()C 322()D 22【答案】C【解析】设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；则点A 到准线:1l x =-的距离为3，得：1323cos cos 3θθ=+⇔=又232cos()1cos 2m m m πθθ=+-⇔==+， AOB ∆的面积为1132232sin 1(3)22232S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习圆锥曲线试题精选23
圆锥曲线2310.（本小题共14分）已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ） 求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以.322--=b a c所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(- 离心率为.23==a c e设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418k m k x x k m k x x +-=+=+又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切 所以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242k m k k m k k +--++=2.3||342+=m m由于当3±=m 时，,3||=AB 所以),1[]1,(,3||34||2+∞--∞∈+= m m m AB . 因为,2||||343||34||2≤+=+=m m m m AB 且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.11.（本小题满分13分）已知直线l ：y=x+m ，m ∈R 。
（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；（II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：x 2=4y 是否相切？说明理由。
解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。
满分13分。
解法一：（I ）依题意，点P 的坐标为（0，m ）因为MP l ⊥，所以01120m -⨯=--， 解得m=2，即点P 的坐标为（0，2）从而圆的半径||r MP ===故所求圆的方程为22(2)8.x y -+=（II ）因为直线l 的方程为,y x m =+（I ）设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为22(2).x y r 2-+= 依题意，所求圆与直线:0l x y m -+=相切于点P （0，m ），则224,,m r r ⎧+=⎪=解得2,m r=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以所求圆的方程为22(2)8.x y -+=（II ）同解法一。
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平面几何与圆锥曲线 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 19分 19分 19分 19分 19分 19分 24分 19分 (2007年高考广东卷第11小题)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点
在原点O，且过点(24)P，，则该抛物线的方程是 28yx ． (2007年高考广东卷第19小题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为
22的圆C与直线yx相切于坐标原点O，椭圆22219xya与圆C的一个交点到椭圆两
焦点的距离之和为10． （1）求圆C的方程； （2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 19解:(1) 设圆C的圆心为 (m, n)（m<0,n>0）
依题意可得22122nmmn 解得22mn
所求的圆的方程为 22(2)(2)8xy (2) 由已知可得 210a 5a 椭圆的方程为 221259xy , 右焦点为 F( 4, 0)；
设00(,)Qxy，依题意22002200(2)(2)8(4)16xyxy 解得00412,55xy或000,0xy（舍去） 存在点412(,)55Q (2008年高考广东卷第6小题)经过圆2220xxy的圆心C，且与直线 0xy垂直的直线方程是（ C ）
A. x + y + 1 = 0 B. x + y － 1 = 0 C. x － y + 1 = 0 D. x － y － 1 = 0 (2008年高考广东卷第20小题)设b>0，椭圆方程为222212xybb，抛物线方程为28()xyb。如图所示，过点F（0，b + 2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限
的交点为G。已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1。 （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点， 试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？ 若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。 【解析】（1）由28()xyb得218yxb， 当2yb得4x，G点的坐标为(4,2)b，1'4yx，4'|1xy， 过点G的切线方程为(2)4ybx即2yxb， 令0y得2xb，1F点的坐标为(2,0)b，由椭圆方程得1F点的坐标为(,0)b，
2bb即1b，即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy和28(1)xy；
（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,以PAB为直角的RtABP只有一个， 同理 以PBA为直角的RtABP只有一个。
若以APB为直角，设P点坐标为21(,1)8xx，A、B两点的坐标分别为(2,0)和(2,0)，
222421152(1)108644PAPBxxxx。
关于2x的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以APB为直角的RtABP有两个， 因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。
(2009年高考广东卷第13小题)以点（2，1）为圆心且与直线6xy相切的圆的方程
是 . 【答案】2225(2)(1)2xy
【解析】将直线6xy化为60xy,圆的半径|216|5112r,所以圆的方程为2225(2)(1)2xy (2009年高考广东卷第19小题)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F和2F,椭圆G上一点到1F和2F的距离之和为12.圆kC:0214222ykxyx)(Rk的圆心为点kA.
(1)求椭圆G的方程 (2)求21FFAk的面积 (3)问是否存在圆kC包围椭圆G?请说明理由.
【解析】（1）设椭圆G的方程为：22221xyab （0ab）半焦距为c;
则21232aca , 解得633ac , 22236279bac 所求椭圆G的方程为：221369xy. (2 )点KA的坐标为,2K 12121126326322KAFFSFFV （3）若0k，由2260120215120kkf可知点（6，0）在圆kC外， 若0k，由22(6)0120215120kkf可知点（-6，0）在圆kC外； 不论K为何值圆kC都不能包围椭圆G. (2010年高考广东卷第6小题)若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线20xy相切，则圆O的方程是 D A．22(5)5xy B．22(5)5xy C．22(5)5xy D．22(5)5xy (2010年高考广东卷第7小题)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 B A． 45 B．35 C．25 D．15 (2011年高考广东卷第8小题)设圆22(3)10CxyyC与圆外切，与直线相切，则圆的圆心轨迹为 A
A．抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D. 圆 (2011年高考广东卷第21小题) 在平面直角坐标系xOy中，直线:2lxx交轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上的一点，且满足.MPOAOP
（1） 当点P在l上与动时，求点M的轨迹E的方程； （2） 已知(1,1),T设H是E上动点，求HOHT的最小值，并给出此时点H的坐标；
（3） 过点(1,1)T且不平行于y轴的直线1l与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线1l的斜率k的取值范围。 21．（本小题满分14分） 解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，
,,||||.MPQAOPMPlMOMP且
因此22|2|,xyx即24(1)(1).yxx ① 另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。
MQ为线段OP的垂直平分线， .MPQMOQ 又,.MPQAOPMOQAOP 因此M在x轴上，此时，记M的坐标为(,0).x 为分析(,0)Mxx中的变化范围，设(2,)Pa为l上任意点().aR 由||||MOMP （即22||(2)xxa）得， 2111.4xa 故(,0)Mx的轨迹方程为 0,1yx ②
综合①和②得，点M轨迹E的方程为 24(1),1,0,1.xxyx （2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：
21:4(1)(1)Eyxx； 2:0,1.Eyx
当1HE时，过Ｔ作垂直于l的直线，垂足为T，交E1于3,14D
。
再过H作垂直于l的直线，交.lH于因此，||||HOHH（抛物线的性质）。||||||||||3HOHTHHHTTT（该等号仅当HT与重合（或H与D重合）时取得）。 当2HE时，则||||||||153.HOHTBOBT
综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为3,1.4 （3）由图3知，直线1l的斜率k不可能为零。 设1:1(1)(0).lykxk 故11(1)1,xyEk代入的方程得：24480.yykk
因判别式221644482280.kkk所以1l与E中的E1有且仅有两个不同的交点。 又由E2和1l的方程可知，若1l与E2有交点， 则此交点的坐标为
12111,0,1.0,2kkklEkk
且即当时与有唯一交点1,0kk
，从而1l表
三个不同的交点。 因此，直线1lk斜率的取值范围是1(,](0,).2
(2012年高考广东卷第8小题) 在平面直角坐标系xOy中，直线3450xy与圆224xy相交
于A、B两点，则弦AB的长等于 (B) A． 33 B． 23 C． 3 D． 1 (2012年高考广东卷第20小题)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22122
:1(0)xyCabab的左焦点为1(1,0)F，且点(0,1)P在1C上．
（1） 求椭圆1C的方程；(2)设直线l与椭圆1C和抛物线22:4Cyx相切，求直线l的方程． 解：(1):依题意：c=1,则：122ba, 设椭圆方程为：112222bybx 将)1,0(P点坐标代入，解得：12b 所以 211122ba 故椭圆方程为：1222yx （2）设所求切线的方程为：mkxy1222yxmkxy 消除y )22)(12(4)4(2221mkkm
化简得： 2221mk① 同理：联立直线方程和抛物线的方程得：xymkxy42 消除y得： 0)42(222mxkmxk 04)42(2222mkkm
化简得：1km② 将②代入①解得：01224kk
解得：22,221(,2122kkkk或者舍去），故 21,21mkmk时，当时，当
故切线方程为：222222xyxy或者 (2013年高考广东卷第9小题)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为1,0F，离心率等于12，则C的方程是（ D ）
0)22(4)12(222mkmxxk