2019-2020学年人教A版高中数学必修一练习：活页作业26函数模型的应用实例 Word版含解析.doc
2019-2020学年人教A版数学必修一课件：第3章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例
合作探究 提素养
第十四页，编辑于星期六：二十二点 五十九分。
利用已知函数模型解决实际问题
【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描
述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta
＝(T0－Ta)×
1 2
t h
，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用
C．600只
D．700只
A [将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)， 解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]
第九页，编辑于星期六：二十二点 五十九分。
3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆 次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次 0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的 函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
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D [由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入y＝ 0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)．]
第三十页，编辑于星期六：二十二点 五十九分。
(3)2019年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年 产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为 多少？
思路点拨： 描点 ―依―散―点―图→ 选模 ―待―定―系数―法→ 求模 ―误―差→ 验模 → 用模
2019-2020学年高中数学人教A版必修一课件：3.2.2 函数模型的应用实例
【解析】 (1)当 x＝1 时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当 x＝2 时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋ 1.2%)2； 当 x＝3 时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1 ＋1.2%)3；…… 故 y 关于 x 的函数解析式为 y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)． (2)当 x＝10 时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故 10 年后该县约有 112.7 万人．
当乙的用水量超过 4 吨时，即 3x>4，显然甲的用水量也超过 4 吨，y＝24x－9.6.
14.4x， 所以 y＝20.4x－4.8， 24x－9.6，
0≤x≤45， 45<x≤43，
4 x>3.
第十九页，编辑于星期日：点 十四分。
(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均为单调递增， 当 x∈0，54时，y≤f45<26.4； 当 x∈45，43时，y≤f43<26.4； 当 x∈43，＋∞时，令 24x－9.6＝26.4，解得 x＝1.5. 所 以 甲 户 用 水 量 为 5x ＝ 7.5 ， 付 费 S1 ＝ 4×1.8 ＋ 3.5×3 ＝ 17.70(元)； 乙户用水量为 3x＝4.5 吨，付费 S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)． 答：甲户用水量 7.5 吨，付费 17.70 元；乙户用水量 4.5 吨，付 费 8.70 元． 构建分段函数时，注意变量取值不同，分成对应几段．
第一页，编辑于星期日：点 十四分。
知识点 几类常见函数模型
名称
解析式
条件
2019_2020学年高中数学第三章 3.2.2函数模型的应用实例课后篇巩固提升(含解析)新人教A版必修1
3.2.2函数模型的应用实例课后篇巩固提升基础巩固1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点,∴甲先到达终点.2.下列函数中,随着x的增长,函数值增长最快的是()A.y=50B.y=1 000xln xC.y=0.4×2x-1D.y=11 000(图略),观察可知指数函数模型的函数值增长最快.3.用长度为24 m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3 mB.4 mC.5 mD.6 m=(12-2x)m.所以矩形面积为S=x(12-2x)=-2x2+12x=-x m,则矩形场地长为24-4x22(x-3)2+18,即当x=3 m时,矩形面积最大.4.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是() A.升高7.84% B.降低7.84%C.降低9.5%D.不增不减a,四年后的价格为a(1+0.2)2·(1-0.2)2=0.921 6a.∴(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a,即比原来降低7.84%.5.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.0025v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少.0.002 5v 2-0.175v+4.27=0.002 5(v 2-70v )+4.27 =0.002 5[(v-35)2-352]+4.27 =0.002 5(v-35)2+1.207 5.故v=35 km/h 时,耗油量最少.6.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过 小时才能开车(结果精确到1小时,参考数据lg 2≈0.30,lg 3≈0.48).n 小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-25%)n. 根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,则有n lg 34=n (lg 3-2lg 2)≤lg 23=lg 2-lg 3, 将已知数据代入,得n (0.48-0.60)≤0.30-0.48,∴n ≥32,故至少要经过2小时才能开车.7.一个水池有2个进水口,1个出水口.2个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出水口的排水速度如图丙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下3个论断:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到6时不进水不出水.其中,一定正确的论断序号是 .0时到3时,2个进水口的进水量为9,故①正确;由排水速度知②正确;4时到6时可以是不进水,不出水,也可以是开1个进水口(速度快的)、1个排水口,故③不正确.8.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比.(1)写出函数解析式;(2)假设气体在半径为3 cm 的管道中的流量速率为400 cm 3/s,求该气体通过半径为r cm 的管道时,其流量速率R 的解析式;(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量速率.由题意,得R=kr 4(k 是大于0的常数).(2)由r=3 cm,R=400 cm 3/s,得k ·34=400, 解得k=40081,所以函数解析式为R=40081r 4. (3)因为R=40081r 4,所以当r=5 cm 时,R=40081×54≈3 086(cm 3/s), 即该气体的流量速率约为3 086 cm 3/s .9.如图所示,已知边长为8 m 的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4 m,CD=6 m .为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ,使点P 在边DE 上.(1)设MP=x m,PN=y m,将y 表示成x 的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形BNPM 面积的最大值.如图所示,延长NP 交AF 于点Q ,则PQ=8-y ,EQ=x-4. 在△EDF 中,xxxx =xxxx ,∴x -48-x =42.∴y=-12x+10,定义域为[4,8].(2)设矩形BNPM 的面积为S , 则S=xy=x (10-x 2)=-12(x-10)2+50.又x ∈[4,8],所以当x=8时,S 取最大值48.所以当MP=8 m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48 m2.10.为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间t(小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=(18)x-x(a为常数),如图所示.(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y(毫克)是关于时间t(小时)的一个分段函数:当0≤t≤0.1时,函数的图象是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数), 又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.当t>0.1时,函数解析式为y=(18)x-x,而A(0.1,1)在这段函数图象上,代入得:1=(18)0.1-x,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t>0.1时,y=(18)x-0.1.综上,血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式为y={10x,0≤x≤0.1, (18)x-0.1,x>0.1.(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y≤0.125=18.当t>0.1时,由(18)x-0.1≤18,得t-0.1≥1,解得t≥1.1.所以至少需要经过1.1小时后病人才能清醒.能力提升1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=a log2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到()A.300只B.400只C.600只D.700只x=1,y=100代入y=a log 2(x+1)得,100=a log 2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100log 2(7+1)=300.2.某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元,而卖出x 吨的价格为每吨Q 元,已知P=1000+5x+110x 2,Q=a+xx ,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有( ) A.a=45,b=-30 B.a=30,b=-45 C.a=-30,b=45D.a=-45,b=-30x 吨产品全部卖出所获利润为y 元,则y=xQ-P=x (x +x x )−(1 000+5x +110x 2) =(1x -110)x 2+(a-5)x-1 000,其中x ∈(0,+∞).由题意知当x=150时,y 取最大值,此时Q=40.∴{-x -52(1x -110)=150,x +150x=40,整理得{x =35-300x ,x =40-150x , 解得{x =45,x =-30.3.如图,点P 在边长为1的正方形边上运动,设M 是CD 的中点,则当P 沿A-B-C-M 运动时,点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数y=f (x )的图象大致是( ),当0<x ≤1时,S △APM =12×1×x=12x ;当1<x ≤2时,S △APM =S 梯形ABCM -S △ABP -S △PCM=12×(1+12)×1-12×1×(x-1)-12×12×(2-x )=-14x+34;当2<x ≤52时,S △APM =S 梯形ABCM -S 梯形ABCP=12×(1+12)×1-12×(1+x-2)×1 =34−12x+12=-12x+54.∴y=f (x )={ 12x (0<x ≤1),-14x +34(1<x ≤2),-12x +54(2<x ≤52).再结合题图知应选A.4.有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从 年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)y 万吨,n 表示从2015年开始增加的年份的数量,由题意可得y=400×(1+50%)n=400×32n,当y=4 000时,有32n=10,两边取对数可得n (lg 3-lg 2)=1,∴n (0.477 1-0.301 0)=1,0.176 1n=1,解得n ≈6,∴从2015+6=2021年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.5.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:注:地震强度是指地震时释放的能量.地震强度(x )和震级(y )的模拟函数关系可以选用y=a lg x+b (其中a ,b 为常数).利用散点图可知a 的值等于 .(取lg 2≈0.3进行计算)x=1.6×1019时,y=5.0,x=3.2×1019时,y=5.2.所以{5.0=x lg(1.6×1019)+x ,5.2=x lg(3.2×1019)+x , ①②②-①,得0.2=a lg3.2×10191.6×1019,0.2=a lg 2.所以a=0.2lg2=0.20.3=23.6.有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q 1万元和Q 2万元,它们与投入的资金x 万元的关系是Q 1=15x ,Q 2=35√x .今年有3万元资金投入使用,则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润?x 万元,则对乙种商品投资(3-x )万元,总利润为y 万元,则Q 1=15x ,Q 2=35√3-x .所以y=15x+35√3-x (0≤x ≤3). 令t=√3-x (0≤t ≤√3),则x=3-t 2, 所以y=15(3-t 2)+35t=-15t-322+2120. 当t=32时,y max =2120=1.05(万元), 这时x=34=0.75(万元), 所以3-x=2.25(万元).由此可知,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总共获得利润为1.05万元.7.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资A 类产品的收益与投资额成正比(f 1(x )=k 1x ),投资B 类产品的收益与投资额的算术平方根成正比(f 2(x )=k 2√x ).已知投资16万元时,A ,B 两类产品的收益分别为2万元和4万元.(1)分别写出A ,B 两类产品的收益与投资额的函数关系式.(2)该家庭有32万元资金,全部用于理财投资A ,B 两类产品,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益(f (x )=f 1(x )+f 2(x )),其最大收益是多少万元?由题意得,f 1(16)=16k 1=2,解得k 1=18,由f 2(16)=4k 2=4,解得k 2=1.∴f 1(x )=18x ,x ∈[0,+∞),f 2(x )=√x ,x ∈[0,+∞).(2)设投资B 类产品x 万元, 则投资A 类产品为(32-x )万元, 则f (x )=18(32-x )+√x =4-18x+√x .∵f (x )=-18(√x -4)2+6, ∴当x=16时,f (x )max =6.答:投资A ,B 两类产品各16万元时,能使资金获得最大收益,最大收益为6万元.8.某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m 2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m 2,凤眼莲覆盖面积y (单位:m 2)与月份x (单位:月)的关系有两个函数模型y=ka x(k>0,a>1)与y=p x 12+q (p>0)可供选择. (1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)先判断两个函数y=ka x(k>0,a>1),y=p x 12+q (p>0)在(0,+∞)上的单调性,说明函数模型y=ka x (k>0,a>1)适合要求,然后列出方程组,求解析式.(2)利用x=0时,y=323×32=323,即元旦放入凤眼莲的面积是323 m 2,列出不等式转化求解.两个函数y=ka x(k>0,a>1),y=p x 12+q (p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x 的增加,函数y=ka x (k>0,a>1)的值增加的越来越快,而函数y=p x 12+q (p>0)的值增加的越来越慢.由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快, 所以函数模型y=ka x(k>0,a>1)适合要求. 由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36, 所以{xx 2=24,xx 3=36,解得{x =323,x =32,所以该函数模型的解析式是y=323×32x(x ∈N *).(2)x=0时,y=323×32=323,所以元旦放入凤眼莲的面积是323m 2.由323×32x>10×323,得32x>10,所以x>lo g 3210=lg10lg 32=1lg3-lg2.因为1lg3-lg2≈10.477 1-0.301 0≈5.7,所以x≥6,所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.。
2019-2020学年人教A版数学必修一课件：3.2.2 函数模型的应用实例
利用二次函数模型解决问题的方法 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题 建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、 函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的 利润最大、用料最省等问题．
第十五页，编辑于星期六：二十二点 五十七分。
1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式 是月租 20 元，B 种方式是月租 0 元．一个月本 地网内打出的电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图所示，当打出电话时间为 150 分钟时，这两种方式话费相差________元．
第十六页，编辑于星期六：二十二点 五十七分。
解析：设 A 种方式对应的函数解析式为 s＝k1t＋20，B 种方式 对应的函数解析式为 s＝k2t. 当 t＝100 时，100k1＋20＝100k2， 所以 k2－k1＝15. 当 t＝150 时，150k2－150k1－20＝150×15－20＝10. 答案：10
B．4 m
C．5 m
D．6 m
解析：选 A.设隔墙的长为 xm，矩形面积为 S，则 S＝x·24－2 4x ＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，所以当 x＝3 时，S 有最大值 18.
第十页，编辑于星期六：二十二点 五十七分。
甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距 离与乙同学家到公园的距离都是 2 km.如图表示甲从家出发到 乙同学家经过的路程 y(km)与时间 x(min)的关系，其中甲在公 园休息的时间是 10 min，那么 y＝f(x)的解析式为____________．
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 五十七 分。
(变问法)若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 8 100 个 单位时，它的游速是多少？ (2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数． 解：(1)将 θ＝8 100 代入函数解析式， 得 v＝12log381＝12×4＝2 (m/s)，所以一条鲑鱼的耗氧量是 8 100 个单位时，它的游速是 2 m/s. (2)令 v＝0，得12log31θ00＝0，即1θ00＝1，则 θ＝100，所以一条 鲑鱼静止时的耗氧量为 100 个单位．
2020高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第三章 函数的应用 3.1习题课 Word版含解析
§3.1 习题课一、选择题1．已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是( ) A．(0,0.5)B．(0.5,1)C．(1,1.5)D．(1.5,2)2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是( )A．[0,1]B．[1,2]C．[2,3]D．[3,4]3．若x0是方程lg x＋x＝2的解，则x0属于区间( )A．(0,1) B．(1,1.25)C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，并且α，β(α<β)是函数y＝f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系是( )A．a<α<β<b B．α<a<b<βC．α<a<β<b D．a<α<b<β二、填空题6．用二分法求方程x2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.7．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为________．8．若关于x的二次方程x2－2x＋p＋1＝0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则实数p的取值范围为___________________．9．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1(a∈R)，若方程f(x)＝0至少有一正根，则a 的取值范围为________．三、解答题10．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：求方程x3＋x11．分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，(1)有两个负根；(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；(3)有两个实根，且都比1大．能力提升12．已知函数f(x)＝x|x－4|.(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？13．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．§3.1 习题课作业设计1．B2．B [因为f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以存在一个零点x∈[1,2]．]3．D [构造函数f(x)＝lg x＋x－2，由f(1.75)＝f(74)＝lg74－14<0，f(2)＝lg2>0，知x0属于区间(1.75,2)．]4．A [由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．]5．A [函数g(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点是a，b.由于y＝f(x)的图象可看作是由y＝g(x)的图象向上平移2个单位而得到的，所以a<α<β<b.]6．7解析区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为1 27＝1128<1100＝0.01.7．0解析不妨设它的两个正零点分别为x1，x2.由f(－x)＝f(x)可知它的两个负零点分别是－x1，－x2，于是x1＋x2－x1－x2＝0.8．(－1,0)解析设f(x)＝x2－2x＋p＋1，根据题意得f(0)＝p＋1>0，且f(1)＝p<0，f(2)＝p＋1>0，解得－1<p<0.9．a<0解析对ax2＋2x＋1＝0，当a＝0时，x＝－12，不符题意；当a≠0，Δ＝4－4a＝0时，得x＝－1(舍去)．当a≠0时，由Δ＝4－4a>0，得a<1，又当x＝0时，f(0)＝1，即f(x)的图象过(0,1)点，f(x)图象的对称轴方程为x＝－22a＝－1a，当－1a>0，即a<0时，方程f(x)＝0有一正根(结合f(x)的图象)；当－1a<0，即a>0时，由f(x)的图象知f(x)＝0有两负根，不符题意．故a<0.10．解∵f(1.375)·f(1.4375)<0，且|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，∴方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可取为区间(1.375，1.4375)中任意一个值，通常我们取区间端点值，比如1.4375.11．解(1)方法一(方程思想)设方程的两个根为x1，x2，则有两个负根的条件是⎩⎨⎧Δ＝4－4m ＋1≥0，x 1＋x 2＝－2<0，x 1x 2＝m ＋1>0，解得－1<m ≤0.方法二 (函数思想)设函数f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1，则原问题转化为函数f (x )与x 轴的两个交点均在y 轴左侧，结合函数的图象，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m ＋1≥0，－b2a ＝－1<0，f 0＝m ＋1>0，解得－1<m ≤0.(2)方法一 (方程思想)设方程的两个根为x 1，x 2，则令y 1＝x 1－2>0，y 2＝x 2－2<0，问题转化为求方程(y ＋2)2＋2(y ＋2)＋m ＋1＝0，即方程y 2＋6y ＋m ＋9＝0有两个异号实根的条件，故有y 1y 2＝m ＋9<0，解得m <－9. 方法二 (函数思想)设函数f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1，则原问题转化为函数f (x )与x 轴的两个交点分别在2的两侧，结合函数的图象， 有f (2)＝m ＋9<0，解得m <－9.(3)由题意知，⎩⎨⎧Δ＝4－4m ＋1≥0，x 1－1＋x 2－1>0，x 1－1x 2－1>0(方程思想)，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m ＋1≥0，－b2a ＝－1>1，f 1＝m ＋4>0(函数思想)，因为两方程组无解，故解集为空集．12．解 (1)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎨⎧x 2－4x ， x ≥4，－x 2＋4x ，x <4.图象如右图所示．(2)当x ∈[1,5]时，f (x )≥0且当x ＝4时f (x )＝0，故f (x )min ＝0； 又f (2)＝4，f (5)＝5，故f (x )max ＝5. (3)由图象可知，当0<a <4时， 方程f (x )＝a 有三个解．13．解 ①当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． ②当a >0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1， ∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，∴⎩⎨⎧f 0>0f 1<0f2>0，即⎩⎨⎧1>0a －2＋1<04a －4＋1>0，解得34<a <1.③当a <0时，设方程的两根为x 1，x 2， 则x 1x 2＝1a<0，x 1，x 2一正一负不符合题意．综上，a 的取值范围为34<a <1.。
高中数学人教A版必修1课件：3.2.2函数模型的应用实例
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式;
(2)求总利润 y 的最大值.
分析:(1)总利润=投资甲项目利润+投资乙项目利润=M+N;(2)
转化为求(1)中函数的最大值.
-12-
3.2.2
题型一
函数模型的应用实例
题型二
题型三
M 目标导航
-3-
3.2.2
函数模型的应用实例
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
名师点拨巧记函数建模过程:
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.
记鲑鱼的游速为 v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q,研究中发
现 v 与 log3
成正比, 且当Q=900 时,v=1.
100
(1)求出 v 关于 Q 的函数解析式;
米)的关系式为 p=1 000·
7
100
ℎ
3 000
, 则海拔6 000 米处的大气压强为
百帕.
解析:当 h=6 000 米时,p=1 000·
7
100
6 000
3 000
= 4.9(百帕).
答案:4.9
2019-2020学年人教A版高中数学必修一练习：1.3.1 第2课时 函数的最大(小)值 Word版含解析.doc
第一章 1.3 1.3.1 第2课时1.函数f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．f (－2)，0B ．0,2C ．f (－2)，2D ．f (2)，2解析：由函数最值的几何意义知，当x ＝－2时，有最小值f (－2)；当x ＝1时，有最大值2.答案：C2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：作出图象可知y ＝1x －1在[2,3]上是减函数，y min ＝13－1＝12. 答案：B3．函数y ＝ax ＋1(a ＜0)在区间[0,2]上的最大值与最小值分别为( ) A ．1,2a ＋1 B ．2a ＋1,1 C ．1＋a,1D ．1,1＋a 解析：因为a ＜0，所以一次函数在区间[0,2]上是减函数，当x ＝0时，函数取得最大值为1；当x ＝2时，函数取得最小值为2a ＋1.答案：A4．函数y ＝2x 2＋1，x ∈N *的最小值为________． 解析：∵x ∈N *，∴y ＝2x 2＋1≥3. 答案：35．若函数y ＝kx(k ＞0)在[2,4]上的最小值为5，则k 的值为________．解析：因为k ＞0，所以函数y ＝k x 在[2,4]上是减函数，所以当x ＝4时，y 最小＝k4，由题意知k4＝5，k ＝20.答案：206．如图为某市一天24小时内的气温变化图．(1)上午6时的气温是多少？这天的最高、最低气温分别是多少？(2)在什么时刻，气温为0℃？(3)在什么时间段内，气温在0℃以上？解：(1)上午6时的气温约是－1℃，全天的最高气温是9℃，最低气温是－2℃.(2)在上午7时和晚上23时气温是0℃.(3)从上午7时到晚上23时气温在0℃以上．。
2019-2020学年新一线同步人教A版数学必修一课件：4.5.3 函数模型的应用
探究一
探究二
探究三
随堂演练
课堂篇 探究学习
指数或对数函数模型的应用 例1 一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐 面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,
(1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 分析:可建立指数函数模型求解.
答案:D
一二
二、拟合函数模型 1.应用拟合函数模型解决问题的基本过程
课前篇 自主预习
一二
课前篇 自主预习
2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行? 提示:第一步:分析、联想、转化、抽象; 第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题; 第三步:解答数学问题,求得结果; 第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答. 而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建 立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
变式训练3某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别
为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型
y1=ax2+bx+c,乙选择了模型y2=p·qx+r,其中y1,y2为患病人数,x为月 份数,a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月、5月、6月份的患病人数分别为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即企业从第8年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过 200万元.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
对数函数模型
例2科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度
2019-2020年数学必修第一册课件课后作业指数函数与对数函数：第四章4-5-3函数模型的应用(人教A版)
4．5.3函数模型的应用1．能利用已知函数模型求解实际问题．2．了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．1．常见的函数模型建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型，还有常见的以下函数模型：指数函数模型：y＝b·a x＋c(a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型y＝mlog a x＋n(a>0且a≠1，m≠0)．2．常见的图象对应的数学模型(1)相邻两点之间的距离变化越来越大时，如图(1)，常选y＝ba x ＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型．(2)相邻两点之间的距离越来越近似相等，如图(2)，常选y＝blog a x ＋c(b≠0，a>0，a≠1)模型．(3)点的变化趋势先升后降(或先降后升)，如图(3)，常选二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型．(4)相邻两点之间等距，如图(4)，常选一次函数y＝kx＋b(k≠0)模型．1．关于函数模型，我们该如何选择哪种类型的函数来描述？[答案]指数函数模型增长越来越快，呈爆炸性增长，而对数函数模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．直线型的函数增长速度均匀不变2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数刻画的方法可以用图象法，也可以用解析式法．()(2)在对数函数模型中，底数的范围影响其单调性．()(3)函数y＝12·3x＋1属于幂函数模型．()(4)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为y＝2x＋1.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√题型一利用已知函数模型解决实际问题【典例1】我们知道，人们对声音有着不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L I表示，它们满足以下公式：L I＝10·lg II0(单位为分贝，L I≥0，其中I0＝1×10－12，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答以下问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下．试求声音强度I的范围．[解](1)由题意可知树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12 W/m2，则I1I0＝1，∴LI1＝10×lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I2＝1×10－10W/m2，则I2I0＝102；∴LI2＝10×lg102＝20，即耳语声的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I3＝1×10－8W/m2，则I3I0＝104，∴LI3＝10×lg104＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝．(2)由题意知0≤L I<50，即0≤10lg II0<50，∴1≤II0<105，即10－12≤I<10－7.故新建的安静小区的声音强度I大于或等于10－12W/m2，小于10－7 W/m2.利用已知函数模型解决实际问题的解题要点解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．[针对训练]1．灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e －kt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100℃，过1小时后又测得瓶内水温变为98℃.已知某种奶粉必须用不低于85℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20℃) [解]根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k，整理得e－60k＝3940.利用计算器，解得k ＝0.0004222. 故θ＝20＋80e －0.0004222t .从早上六点至中午十二点共过去6小时，即360分钟． 当t ＝360时，θ＝20＋80e －0.0004222×360＝20＋80e －0.152， 由计算器算得θ≈89℃>85℃，即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉. 题型二 自建函数模型解决实际问题【典例2】 目前某县有100万人，经过x 年后为y 万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．[思路导引] 已知条件中年平均增长率为1.2%，建立指数模型求解．[解] (1)当x ＝1时，y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当x ＝2时，y ＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x ＝3时，y ＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100·(1＋1.2%)3；…故y 关于x 的函数解析式为y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)． (2)当x ＝10时，y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故10年后该县约有112.7万人．(3)设x 年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x ＝120，解得x ＝log 1.012120100≈15.3.因为x 为年份，根据实际意义知，大约16年后该县的人口总数将达到120万．可以用指数函数模型来解决的几类问题在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来解决．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．[针对训练]2．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为a2.已知到今年为止，森林面积为2 2a.(1)求p%的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？[解](1)由题意得a(1－p%)10＝a2，即(1－p%)10＝题型三拟合数据构建函数模型解决实际问题【典例3】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.年序最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷)1 15.2 28.62 10.4 21.13 21.2 40.54 18.6 36.65 26.4 49.86 23.4 45.07 13.5 29.28 16.7 34.19 24.0 45.810 19.1 36.9(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象．(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？[思路导引]借助散点图，探求函数模型，根据拟合函数解决问题．[解](1)描点、作图，如图(甲)所示：(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y ＝a ＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧21.1＝a ＋10.4b ，45.8＝a ＋24.0b ，用计算器可得a ≈2.2，b ≈1.8.这样，得到一个函数模型：y ＝2.2＋1.8x ，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由(2)得到的函数模型为y ＝2.2＋1.8x.则由y ＝2.2＋1.8×25，求得y ＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地约为47.2公顷．[变式] 若本例(3)中估计若今年最大积雪深度改为30 cm ，问可以灌溉土地多少公顷？[解] 由(2)得到的函数模型为y ＝2.2＋1.8x ，则由y ＝2.2＋1.8×30，求得y ＝56.2，即当最大积雪深度为30 cm 时，可以灌溉土地约为56.2公顷．建立拟合函数的方法策略根据题中给出的数值，画出散点图，然后观察散点图，选择合适的函数模型，并求解新的问题．[针对训练]3．某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份 2016 2017 2018 产量8(万)18(万)30(万)四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，指数函数模型g(x)＝a·b x ＋c(a ≠0，b>0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？[解] 建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．①构造二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)， 将点坐标代入， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f(x)＝x 2＋7x ，故f(4)＝44，与计划误差为1.②构造指数函数模型g(x)＝a·b x ＋c(a ≠0，b>0，b ≠1)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42， 则g(x)＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫65x－42， 故g(4)＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4. 由①②可得，f(x)＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系．1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x[解析]当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.[答案] C2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()[解析]由题意可知函数模型为指数函数，故选D.[答案] D3．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的关系用图象表示为图中的()[答案] B4．一种产品原来的成本价为a元，计划每年降低p%，则成本y 随年数x变化的函数关系式是________．[解析]当x＝1时，y＝a(1－p%)；当x＝2时，y＝a(1－p%)2；当x＝3时，y＝a(1－p%)3；….故成本y随年数x变化的函数关系式是y＝a(1－p%)x.[答案]y＝a(1－p%)x5.如图所示，由桶1向桶2倒水，开始时，桶1中有a L水，桶2中无水，t分钟后，桶1中剩余水为y1 L，满足函数关系式y1＝ae－nt，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过________分钟，桶1中的水只有a8L.[解析]由题意，可得ae－5n＝a2，n＝15ln2，令ae－15tln2＝a8，得t＝15，从而再经过10分钟，桶1中的水只有a8L.[答案]10课后作业(三十六)复习巩固一、选择题1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是()A.m11 B.m12C.12m－1 D.11m－1[解析]设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝11m，即x＝11m－1.[答案] D2．有一组实验数据如下表所示：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.04 7.5 12 18.01则能体现这些数据关系的函数模型是( )A ．u ＝log 2tB ．u ＝2t －2C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2[解析]可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D ；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A ；当t ＝3时，2t －2＝23－2＝6，排除B ，故选C.[答案] C3．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y ＝alog 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只 [解析] 由题意，知100＝alog 2(1＋1)，得a ＝100，则当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝100×3＝300.[答案] A4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10C ．lg10.1D ．10－10.1[解析] 两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，令m 2＝－1.45，m 1＝－26.7，则lg E 1E 2＝25(m 2－m 1)＝25×(－1.45＋26.7)＝10.1，从而E 1E 2＝1010.1.故选A.[答案] A5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a.若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50[解析] 由已知，得49a ＝a·e －50k ，∴e －k ＝.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ， 则827a ＝a·e －kt 1，∴827＝(e －k )t 1＝，∴t 150＝32，t 1＝75.[答案] C二、填空题 6．某化工厂2018年的年产量是2010年年产量的n 倍，则该化工厂这几年的年平均增长率是________．[解析] 设2010年年产量是a ，则2018年年产量是na ，设年平均增长率为x ，则na ＝a(1＋x)8，解得x ＝8n －1.[答案] 8n －17．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧192＝e 0＋b ＝e b ，①48＝e 22k ＋b ，②②÷①，得e 22k ＝(e 11k )2＝14，故e 11k ＝12.故食品在33℃的保鲜时间是y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3×e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．[答案] 248．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a·(0.5)x ＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．[解析] ∵y ＝a·(0.5)x ＋b ，且当x ＝1时，y ＝1，当x ＝2时，y＝1.5，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝a ×0.5＋b ，1.5＝a ×0.25＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. ∴y ＝－2×(0.5)x ＋2.当x ＝3时，y ＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．[答案] 1.75三、解答题9．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解] (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log 2Q 10.解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s.10．我国某种南方植物生长时间(单位：年)与高度(单位：米)如下表所示：生长时间2 4 5 8 9 高度2.013.01 3.504.995.47 (1)函数关系式；(2)利用关系式估计该植物长成高50米的参天大树需要多少年．[解](1)设生长时间为x 年，高度为y 米，根据表格中的数据，在平面直角坐标系中进行描点，如图所示．从图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择一次函数建立数学模型．故所求的函数关系式可设为y ＝kx ＋b(其中k ≠0，x ∈N ＋)．把直线通过的两点(5,3.50)和(9,5.47)代入上式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 5k ＋b ＝3.50，9k ＋b ＝5.47，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.4925，b ＝1.0375. 因此所求的函数关系式为y ＝0.4925x ＋1.0375(x ∈N ＋)．分别将x ＝2，x ＝4，x ＝8代入上式，得y 的相应值分别为2.0225,3.0075,4.9775，与实际值相比，误差不超过0.02米，因此建立的函数模型能反映该植物生长时间与高度之间的函数关系．(2)令0.4925x ＋1.0375＝50，解得x ≈100，即该植物大约要经过100年才能长成高50米的参天大树．综合运用11.为了预防甲型H1N1等流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图所示．(1)从药物释放开始，写出y 与t 的函数关系式；(2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室．[解] (1)由图象可知，当0≤t ≤0.1时，即药物从开始释放到完毕，y ＝10t ；当t ＝0.1时，即药物释放完毕，由1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，得a ＝0.1， ∴当t>0.1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1. ∴y ＝⎩⎨⎧ 10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t>0.1.(2)由题意可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1<0.25，得t>0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，学生才能进教室．12．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋k x(k 为正常数)．日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示： x(天)10 20 25 30 Q(x)(件)110 120 125 120已知第10天的日销售收入为121百元．(1)求k 的值；(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax ＋b ，②Q(x)＝a|x －25|＋b ，③Q(x)＝a·b x ，④Q(x)＝a·log b x.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x ≤30，x ∈N ＋)(百元)的最小值．[解] (1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 10×110＝121，解得k ＝1. (2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x －25|＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x －25|(1≤x ≤30，x ∈N ＋)，经检验，其他数据也符合该解析式，故该函数的解析式为Q(x)＝125－|x －25|(1≤x ≤30，x ∈N ＋)．(3)由(2)知当1≤x<25时，y ＝x ＋100x 在[1,10]上是减函数，在[10,25)上是增函数，所以当x ＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min ＝121；当25≤x ≤30时，y ＝150x －x 为减函数，所以当x ＝30时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝124.综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121.从而，该服装的日销售收入的最小值为121百元．以下为“如何撰写一份出色的教案”教案是备课内容简要而有序的记录,是支持教师上课的范本,简单说,教案是教师备课的备忘录。
2020高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第三章 函数的应用 3.1.1 Word版含解析
第三章 函数的应用 §3.1 函数与方程 3．1.1 方程的根与函数的零点一、选择题1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c<0，则函数的零点个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定2．若函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f(a)f(b)>0，不存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0B ．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0C ．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝0D ．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b)使得f(c)＝03．若函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0，－12B ．0，12C ．0,2D ．2，－124．函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ，x>0零点的个数为( )A．0B．1C．2D．36．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则实数b的取值范围是( ) A．(－∞，0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2，＋∞)二、填空题7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．8．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．9．根据表格中的数据，可以判定方程e x－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________．三、解答题10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则方程f (x )＝x 的解的个数是( ) A ．1B ．2 C ．3D ．413．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．第三章 函数的应用 §3.1 函数与方程 3．1.1 方程的根与函数的零点知识梳理1．2 1 0 2 1 2.使f(x)＝0的实数x 3.有实数根 与x 轴有交点 有零点 4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0 作业设计1．C [方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，∵ac<0，∴a ≠0， ∴Δ＝b 2－4ac>0，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根，则对应函数的零点个数为2个．] 2．C[对于选项A，可能存在根；对于选项B，必存在但不一定唯一；选项D显然不成立．]3．A[∵a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0，ab＝－12.令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝ab＝－12.]4．C[∵f(x)＝e x＋x－2，f(0)＝e0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]5．C[x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.x>0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∵f(1)f(e3)<0∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．总之，f(x)在R上有2个零点．]6．A [设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2)⇒b＝－3a，又由x∈(0,1)时f(x)>0，可得a>0，∴b<0.]7．3 0解析∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.8．2解析 该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点． 9．1解析 设f (x )＝e 2－(x ＋2)，由题意知f (－1)<0，f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k ＝1.10．证明 设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线． 因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解． 11．解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14. 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m >0f 4<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0.12．C [由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ， 即x 2＋3x ＋2＝0， ∴x ＝－1或x ＝－2； 当x >0时，方程为x ＝2，∴方程f (x )＝x 有3个解．]13．解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。
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活页作业(二十六) 函数模型的应用实例 (时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分) 1．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( ) A．14 400亩 B．172 800亩 C．20 736亩 D．17 280亩 解析：设年份为x，造林亩数为y，则 y＝10 000×(1＋20%)x－1， ∴x＝4时，y＝17 280(亩)．故选D. 答案：D 2.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 解析：从题图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较少，即甲比乙的速度快，甲先到达终点． 答案：D 3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝
4x，1≤x<10，x∈N*，2x＋10，10≤x<100，x∈N*，1.5x，x≥100，x∈N*，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面
试人数为60，则该公司拟录用人数为( ) A．15 B．40 C．25 D．130 解析：令y＝60， 若4x＝60，则x＝15>10，不合题意； 若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意； 若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意； 故拟录用人数为25.故选C. 答案：C 4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( ) A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m 解析：设隔墙的长为x m，矩形面积为S，则
S＝x·24－4x2＝x(12－2x) ＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18(0所以当x＝3时，S有最大值18. 答案：A 5．今有一组实验数据如下表所示： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 则体现这些数据关系的最佳函数模型是( ) A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝t2－12 D．u＝2t－2 解析：由散点图可知，图象不是直线，排除D；
图象不符合对数函数和一次函数的图象特征，排除A、D； 当t＝3时，2t－2＝23－2＝6， t2－12＝32－12＝4，
而由表格知当t＝3时，u＝4.04，故模型u＝t2－12能较好地体现这些数据关系．故选C. 答案：C 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．从盛满20 L纯酒精的容器里倒出1 L，然后用水加满，再倒出1 L混合溶液，再用水加满，这样继续下去，则所倒次数x和酒精残留量y之间的函数关系为____________________． 解析：第一次倒完后，y＝19；
第二次倒完后，y＝19×1920＝192201；
第三次倒完后，y＝19×1920×1920＝193202； … 第x次倒完后，y＝19x20x－1＝20×1920x.
答案：y＝20×1920x 7．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为________元． 解析：设销售单价应涨x元， 则实际销售单价为(10＋x)元， 此时日销售量为(100－10x)个， 每个商品的利润为(10＋x)－8＝2＋x(元)， ∴总利润y＝(2＋x)(100－10x) ＝－10x2＋80x＋200 ＝－10(x－4)2＋360(0＜x＜10，且x∈N*)． ∴当x＝4时y有最大值，此时单价为14元． 答案：14 8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________． 解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，则25t2
＋25t－66≥0，解得t≥65或者t≤－115(舍去)，故1＋x%≥65，解得x≥20. 答案：20 三、解答题(每小题10分，共20分) 9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝12·log3Q100，单位是m/s，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．
解：(1)由题意得v＝12log32 700100＝32(m/s)．
当一条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是32 m/s. (2)当一条鲑鱼静止时，即v＝0(m/s)． 则0＝12log3Q100， 解得Q＝100. 所以当一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数是100. 10．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面的统计规律：每生产产品x百台，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R(x)(单位：万元)满足R(x)＝
－0.4x2＋4.2x－0.8，0≤x≤5，10.2，x＞5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律，解决下列
问题： (1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？并求此时每台产品的售价为多少． 解：依题意，G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，
则f(x)＝ －0.4x2＋3.2x－2.80≤x≤5，8.2－xx＞5. (1)要使工厂有盈利，则有f(x)＞0. 当0≤x≤5时，有－0.4x2＋3.2x－2.8＞0. 解得1＜x＜7， ∴1＜x≤5. 当x＞5时，由8.2－x＞0， 解得x＜8.2，∴5＜x＜8.2. 综上，要使工厂盈利，应满足1＜x＜8.2，即产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内． (2)当0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，故当x＝4时，f(x)有最大值3.6，当x＞5时，f(x)＜8.2－5＝3.2. 故当工厂生产400台产品时，盈利最大，此时，每台产品的售价为R4×104400＝240(元)． 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额
(元)f(n)＝k(n)(n－500)(n为年销售额)，而k(n)＝ 0.3500≤n≤1 0000.41 000＜n＜2 0000.5n≥2 000，若一员工获得400元的奖励，那么该员工一年的销售额为( ) A．800 B．1 000 C．1 200 D．1 500 解析：根据题意，奖励金额f(n)可以看成年销售额n的函数，那么该问题就是已知函数值为400时，求自变量n的值的问题．据题中所给的函数关系式可算得n＝1 500，故选D. 答案：D 2.如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是( )
解析：依题意，当0当1S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM
＝12×1＋12×1－12×1×(x－1)－12×12×(2－x)＝－14x＋34； 当2S△APM＝S梯形ABCM－S梯形ABCP
＝12×1＋12×1－12×(1＋x－2)×1 ＝34－12x＋12 ＝－12x＋54. ∴y＝f(x)＝ 12x0再结合图象知应选A. 答案：A 二、填空题(每小题5分，共10分) 3．某个病毒经30 min繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数)，则k＝______，经过5 h,1个病毒能繁殖为________个． 解析：当t＝0.5时，y＝2，
∴2＝e12k.∴k＝2ln 2. ∴y＝e2tln 2. 当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024. 答案：2ln 2 1 024 4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为__________m.
解析：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F，易知DEBC＝x40＝ADAB＝AFAH，又AH＝BC＝40 m，则DE＝AF＝x，FH＝40－x.则S＝x(40－x)＝－(x－20)2＋400.当x＝20 m时，S取得最大值400 m2.故填20.
答案：20 三、解答题(每小题10分，共20分) 5．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm，现在将它剪成一