具有早期活化储备的可修复系统非负强解的存在唯一性
第2章_动力系统及稳定性分析
2
式(2.2)中,V = lθ 是摆球的切向速度，g 是重力
加速度。在无阻尼条件下摆球总能量 H 应保持 不变：
图 2.1 简单保守系统：无阻尼 单摆
H = 1 ml 2 (θ )2 + g(1 − cosθ )ml = 常数 (2.3) 2
这里,广义坐标 q = θ ；广义动量 P = mV = mlθ 。
应为正值，故必有矢量 f 的散度小于零，即：
4
河流自组织过程专题讲义
第 2 章 动力系统及稳定性分析
∑ div( f ) = n ∂fi ≺ 0
i =1 ∂xi
(2.15)
严格说，散度 div( f )小于零是耗散系统的必要条件，而非充要条件；但一
般地，我们也用它估计系统是否耗散的。 2.2 动力系统稳定性理论的一些基本概念[2,3] 2.2.1 平衡状态
无摩擦简谐振子也是守恒系统，如图 2.2 所示。质量为 m 的振子 A，经一
根完全弹性的弹簧 P 系在 B 点。设作用在振子 A 上的弹簧力 F 的大小与 A 对其
平衡位置的位移 x 成线性关系：
1
河流自组织过程专题讲义
第 2 章 动力系统及稳定性分析
F=-kx
(2.4)
k 是弹簧的弹性系数。质点 A 的位能
河流自组织过程专题讲义
第 2 章 动力系统及稳定性分析
第2章 动力系统及稳定性分析
混沌是非线性动力系统的内秉随机性。系统进入混沌状态要经历一个失稳、 分叉稳定，再失稳、再分叉，直到转入混沌的过程。每一次失稳一分叉都使系统 发生“相变”，出现一个与前一稳定状态截然不同的新的时空结构，即自组织现 象。对非线性系统进行稳定性分析是认识系统自组织过程的前提。 2.1 守恒系统和耗散系统 2.1.1 守恒系统（conservation system）
《非线性电力系统分析讲义》_甘德强
非线性电力系统分析与控制讲义甘德强从本质上讲，电力系统是一个大规模的动态系统。
给北美经济带来数百亿美元损失的2003夏季美加大停电就是一个复杂的动态过程。
因此，无论是在上个世纪的管制时代，还是在现在的市场运行时代，电力系统稳定都是电力系统工程师们最关心的主题之一。
例如，小干扰稳定，暂态稳定性，电压稳定性，中长期稳定性和频率稳定等等动态问题都是电力系统运行和规划必需考虑的。
这些问题的数学模型和分析方法也是电力系统自动化专业研究生应当适当了解或者掌握的。
除小干扰稳定外，上述稳定性问题都具有非线性的动力学特征。
电力系统稳定性分析的传统课程和教材重视稳定性分析的建模和数值分析方法，而较少涉及稳定性问题的非线性动力学基本特征。
本课程旨在向学生介绍这方面的知识，为研究生进一步深入研究电力系统稳定性问题奠定基础。
经过本课程学习，学生应当能够理解相关电力系统稳定性分析文献，并运用基本的非线性系统理论分析电力系统稳定性问题。
讲义为大学电力系统专业研究生使用。
课程要求学生完成课外练习，阅读相关文献，编写期末综述报告，并通过期末考试。
预修课程包括线性代数，高等数学，电力系统稳定性分析的基础课程（如马大强著，或者王锡凡－方万良－杜正春著）和现代控制理论（如豹著）。
课程还根据研究课题的需要，灵活的修订教学容比如补充介绍广义系统分析，奇异摄动理论或者混杂系统等容，以便保持与学科发展同步，为科研创造有利条件。
在编选讲义的过程中，我们主要使用了下列参考文献：1.H. K. Khalil, Nonlinear Systems, second edition, 19962.S. Sastry, Nonlinear Systems, Springer-Verlag, New York, 19993.M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, Second Edition, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs,NJ, USA, 1993目录一．概论 (3)1．1 平面线性系统 (3)1．2 非线性系统 (5)参考文献 (7)二．常微分方程基本定理 (7)2．1 数学基础 (7)2．2 解的存在唯一性 (10)2．3 解对初值的连续性 (13)参考文献 (13)三．稳定性理论 (13)3．1 自治系统平衡点稳定性 (14)3．2 自治系统中心流形 (21)3．3 自治系统稳定域 (22)3．4 自治系统全局稳定性和有界性 (24)3．5 非自治系统稳定性 (25)练习 (26)四．微分－代数方程 (27)五．暂态稳定分析和预防控制 (27)6．1 数学模型 (27)6．2 仿真法 (28)6．3 直接法 (28)6．4 暂态稳定预防控制 (28)参考文献 (28)符号说明 (29)研究生课程教学大纲 (29)一．概论1．1 平面线性系统考虑下述天然“解耦”的平面系统：11222x x x x =-=，或者采用矩阵形式：11221002x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦系统的解为：11222()(0)()(0)ttx t x e x t x e -==，或者采用矩阵形式：11222()(0)0()(0)0tt x t x e x t x e -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 注意解曲线满足关系：11222(0)(0)x x x x = 12,x x 组成了所谓相平面，上述关系可以采用相图表示，如下图。
几类随机微分方程解的存在性和稳定性
引入均方 S 渐近 ω 周期随机过程的概念。对于由 Le´vy 噪声驱动的分段连 续 型 随 机 分 数 阶 微 分 方 程 和 由 Le´vy 噪 声 驱 动 的 分 段 连 续 型 随 机 整 数 阶 微 分 方程，证明了它们适度解的存在性，并且给出了它们均方 S 渐近 ω 周期解存 在 的 充 分 条 件；同 时 给 出 Le´vy 噪 声 驱 动 的 分 段 连 续 型 随 机 整 数 阶 微 分 方 程 的均方 S 渐近 ω 周期解全局均方渐近稳定的充分条件。
For a stochastic prey-predator system with stage structure for the predator, we prove the existence of the unique global positive solution, and we give sufficient conditions for the global attractivity of the positive equilibrium. Based on the existence of the unique global positive solution of a stochastic cooperative system driven by white noise in a polluted environment, we get the asymptotical behavior of every species in the time average sense.
具有等待时间的复杂可修复系统的指数稳定性
故 障率 ；
２ ３４ ； ， ，）
表 示 当机 器 因为故 障无 法工 作 时人 为的故 障率 ； ０表示 部件 从状 态 ｉ ６的等 待率 （ 一 １ ６ 到 ｉ ，
表示 部 件 是 忌一 １ ２ … ） （ ，， 从状 态 ５ ６的等待 率 ； 表示 部件 是 是一 １ ２ … ） 到 （ ，， 从状 态 ５ 到
文 章 编 号 ： ０ ４４ ５ （０ １ ０— ２６０ １ ０ — ３ ３ ２ １ ） ３０ ２ — ４
具 有 等 待 时 间的 复 杂 可修 复 系统 的指 数 稳 定 性
陆 世 炎 ， 李 全 艳 金 光 植 ，
（１ 延 边 大 学 理 学 院 数 学 系 ，吉 林 延 吉 １ ３ ０ ；２ 郑 州 大 学 数 学 系 ，河 南 郑 州 ５０ １） ． ３０２ ． Ｉ ００ ４
Ｌ ｏ 。 ）． （ ） 代人 （ ） 并联 立 （ ）式得 到 １个 方程 组 ， Ｅ ，。 将 ８ 式 ４式 ５ 记其 系数 矩阵 为 Ｄ（，， ） 则 ）
ｆ ｒ ｄ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｏ ｈ ｄ ｌ ｎ ｏ ａ ｂ ｔ ａ ｔＣ ｕ ｈ ｒ ｂ ｅ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｈ ｕ ｃ ｉｎ ｌａ ａ ｙ ｉ． Ａｐ ｅ ｅ ｑ ａ ｉ ｎ ｆｔ ｅ ｍｏ ｅ ｉ ｔ ｎ ａ ｓ ｒ ｃ ａ ｃ ｙ ｐ ｏ ｌ ｍ ｓｎ ｈ ｔ ｏ ｆｔ ｅ ｆ ｎ ｔ ａ ｎ ｌ ｓ ｓ ｏ
Ｃ ｕｈ ａ ｃ ｙ问题 ， 并运 用强 连续 算 子半 群理论 证 明了该 系 统 动 态非 负 解 的适定 性 ． 本文 将 延续 和推 广 文 献 ［］ ４ 的结 论 ， 即证 明该 系统 动态 解 的指 数稳定 性 ．
１ 系统 假 设 与 预 备 知 识
Picard存在和唯一性定理
Picard存在和唯一性定理本节利用逐次逼近法,来证明微分方程(2.1> 地初值问题(2.2> 地解地存在与唯一性定理.定理2.2 (存在与唯一性定理>如果方程(2.1>地右端函数在闭矩形域上满足如下条件：(1> 在R上连续。
(2> 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz>条件,即存在常数N,使对于R上任何一对点和有不等式：b5E2RGbCAP则初值问题(2.2>在区间上存在唯一解其中在证明定理之前,我们先对定理地条件与结论作些说明:1. 在实际应用时,李普希兹条件地检验是比较费事地.然而,我们能够用一个较强地,但却易于验证地条件来代替它.即如果函数在闭矩形域R上关于y地偏导数存在并有界,.则李普希兹条件成立,事实上,由拉格朗日中值定理有其中满足,从而.如果在R上连续,它在R上当然就满足李普希兹条件.<这也是当年Cauchy证明地结果）p1EanqFDPw2．可以证明,如果偏导数在R上存在但是无界,则Lipschitz条件一定不满足,但是Lipschitz条件满足,偏导数不一定存在,如.DXDiTa9E3d3.现对定理中地数h0做些解释.从几何直观上,初值问题(2.2>可能呈现如图2-5所示地情况. 这时,过点地积图2-5分曲线当或时,其中,,到达R地上边界或下边界.于是,当时,曲线便可能没有定义.由此可见,初值问题(2.2>地解未必在整个区间上存在. 由于定理假定在R上连续,从而存在于是,如果从点引两条斜率分别等于M和-M地直线,则积分曲线(如果存在地话>必被限制在图2-6地带阴影地两个区域内,因此,只要我们取则过点地积分曲线(如果存在地话>当x在区间上变化时,必位于R之中.RTCrpUDGiT图 2-6存在性地证明求解初值问题<2.2）求解积分方程<2.3）.因此,只要证明积分方程(2.3>地连续解在上存在而且唯一就行了. 下面用毕卡(Picard>逐次逼近来证明积分方程(2.3>地连续解地存在性,可分三个步骤进行:1.构造逐次近似序列.5PCzVD7HxA近似序列或写成地每一项都在上有定义,这是因为于是．这样,我们在区间上,按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列>jLBHrnAILg2. 证明近似序列在区间上一致收敛.“函数序列地一致收敛1．设<1）是定义在I上地函数序列,若对,数列收敛,则称为序列<1）地收敛点．收敛点地全体叫收敛域．在收敛域上每一点,序列<1）都有极限,这极限形成收敛域上地一个函数,称为极限函数．设此函数为,即2．若对,总存在一个只与有关地自然数N,使得对I上任何一点,当时,有,则称序列<1）在I上一致收敛．xHAQX74J0X证明分如下二步：<1）序列在上一致收敛级数<2.7）在上一致收敛<级数）．因为级数<2.7）地部分和LDAYtRyKfE“函数项级数地一致收敛1．设函数项级数<1）在区间I上收敛于和函数,即对,数项级数收敛于,或级数<1）地部分和所组成地数列=由数列极限定义,对,,使得时,有2．级数<1）在I上一致收敛对,,使得对,当时,有．3．若函数项级数<1）地每一项都在I上连续,并且在I上一致收敛,则<1）地和函数在I上连续．Zzz6ZB2Ltk<2）级数<2.7）在上一致收敛．用数学归纳法,易证级数<2.7）从第二项开始,每一项绝对值都小于正项级数地对应项,而上面这个正项级数显然是收敛地.所以,由优级数判别法,dvzfvkwMI1“函数项级数地一致收敛判别法<魏尔斯特拉斯优级数判别法）函数项级数<1）若函数项级数<1）在区间I上满足< I ）；< II ）正项级数收敛．则函数项级数<1）在区间I上一致收敛．数项级数收敛地判别法<比值判别法,达朗贝尔<）判别法）若正项级数地后项与前项地比值地极限等于：则当时级数收敛,时<或）时级数发散；时级数可能收敛,也可能发散．rqyn14ZNXI级数(2.7>在区间上不仅收敛,而且一致收敛.设其和函数为,从而近似序列在区间上一致收敛于.由于在区间上连续,因而也是连续地.3.证明是积分方程(2.3>地解,从而也是初值问题(2.2>地解. 在n次近似序列<2.6）两端取极限有因为EmxvxOtOco所以要证明是积分方程<2.3）地解,即成立,只需证明这是由函数地连续性及Picard序列地一致收敛性质保证地.SixE2yXPq5下面用“ε-N语言”证明上面地极限成立．我们先利用李普希兹条件,作下面地估计：由于序列在区间上一致收敛,因此,对任给ε>0,存在自然数,当时,对区间上所有x恒有从而由此推得换句话说,我们得到现在对恒等式(2.6>两端取极限,就得到此即表明函数是(2.3>地解.至此定理地存在性部分证毕.6ewMyirQFL2.2.3 唯一性地证明,区别于北大版课本地另一种证明方法：下面来证明解地唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有用地不等式,即贝尔曼(Bellman>不等式.贝尔曼引理设y(x>为区间上非负地连续函数,.若存在使得y(x>满足不等式(2.9>则有证明先证明地情形.令,于是从(2,9>式立即有上式两端同乘以因子,则有kavU42VRUs上式两端从x0到x积分,则有即由(2.9>知,,从而由上式得到地情形类似可证,引理证毕. y6v3ALoS89积分方程(2.3>解地唯一性证明,采用反证法.假设积分方程(2.3>除了解之外,还另外有解,我们下面要证明：在上,必有.事实上,因为及将这两个恒等式作差,并利用李普希兹条件来估值,有令,从而由贝尔曼引理可知,在上有,即.至此,初值问题(2.2>解地存在性与唯一性全部证完.M2ub6vSTnP由定理 2.2知李普希兹条件是保证初值问题解唯一地充分条件,那么这个条件是否是必要地呢?下面地例子回答了这个问题. 0YujCfmUCw例 1 试证方程经过xoy平面上任一点地解都是唯一地. 证明右端函数除x轴外地上、下平面都满足定理2.2地条件,因此对于x轴外任何点,该方程满足地解都存在且唯一. 于是,只有对于x轴上地点,还需要讨论其过这样点地解地唯一性.我们注意到y = 0为方程地解. 当y ≠0时,因为故可得通解为为上半平面地通解, 为下半平面地通解.eUts8ZQVRd这些解不可能y = 0相交. 因此,对于轴上地点,只有y = 0通过,从而保证了初值解地唯一性.但是,因为故不可能存在使得sQsAEJkW5T 从而方程右端函数在y = 0地任何邻域上并不满足李普希兹条件,这个例子说明李普希兹条件不是保证初值解唯一地必要条件. GMsIasNXkA 为了保证方程(2.1>地初值解地唯一性,有着比李普希兹条件更弱地条件<Osgood条件）.直到现在,唯一性问题仍是一个值得研究地课题.下面地例子表明：如果仅有方程(2.1>地右端函数f(x, y>在R上连续,不能保证任何初值问题(2.2>地解是唯一地. 但是由 Piano 存在定理知解是存在地.TIrRGchYzg例 2 讨论方程解地唯一性.解方程地右端函数,在全平面连续,当时,用分离变量法可求得通解,C为任意常数.又y = 0也是方程地一个特解,积分曲线如图2-7.7EqZcWLZNX个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途图2-7 从图上可以看出,上半平面和下半平面上地解都是唯一地,只有通过x轴上任一点地积分曲线不是唯一地,记过该点地解为, 它可表为：对任意满足地a和b.lzq7IGf02E。
一类含P-Laplace算子的拟线性偏微分方程非负解的强惟一延拓性
） ∈ （ ｌ ｉ ｍ ｓ ｕ ｐ ｆ
１ ９ ９ ０年 Ｓ ． Ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｌ ｌ ｏ和 Ｅ． Ｓ ａ ｗ ｙ ｅ ｒ Ｉ ｓ ｌ 证 明了
ｌ ｉ ａ ｒ ） ∈Ｆ ｔ （
一
ｄ ｙ ＝ ０ ） ，
蹦
ｓ ｕ ｐ （ 赢
） Ｉ ｖ （ ｙ ） ｌ ｔ ｄ ｙ ）
强惟 一延拓性质） ， 而且得到算子解的零点集和奇异集的相应几何特性．
本 文 考虑 的是 一类 主 部是 ｐ － Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ的拟 线性 方程 的强 惟 一延拓 性 质 ，采用 的方 法是 利
用权推导局部双条件不等式， 进而证 明方程非负非平凡解在 Ｑ 内不存在无限阶消失的零点， 即方程具有强惟一延拓性质． 设Ｑ ｃ Ｒ ”为非空连通开集 ， 考虑如下含 ｐ － Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ 的方程
收稿 日期： ２ ０ １ ３ ０ ７ 。 １ １ ．
Ｅ— ｍａ ｉ ｌ ：ｘ ｆ Ｙ７ ９ ３ ｃ ｎ ｇ ｌ ｅ ｉ ￣ｎａ ｕ． ｅ ｄ ｕ． ｃ ｎ
＿
第２ 期
许 飞等 ： 含ｐ － Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ 算子的拟线性偏微分方程非负解的强惟一延拓性 ． ２ ３ ９
１ 引言和 定义
设 Ｑ ｃ Ｒ 为 非 空连通 开 集 ，当微 分算 子 Ｐ（ ｘ ， Ｄ）具 有如 下性 质 时 ：如果存 在 （ ， ∈
，
ｕ （ ｘ ） 在Ｘ ０ 处无限阶消失 （ 详见定义 ２） ， 则有 ｕ （ ） 在【 ２ 内恒为零． 我们就称算子 Ｐ （ ｘ ， Ｄ ）
） ・
１ ９ ９ ７ 年Ｋ ． Ｋ ｕ ｒ ａ ｔ ａ ［ 。 】 推广了 空间中参数 ｔ 的范围， 他们都得到相应的 一 △＋Ｖ （ ｘ ） 算子具有 强惟一延拓性． 以上绝大部分文献采用的是 Ｃ ａ ｒ ｌ ｅ ｍａ ｎ型估计的方法 ， 即通过选取合适的 （ ） 使得如下的估计成立： ｌ ｉ ｅ 曲 （ ） ｌ ｌ Ｌ ， ｆ Ｒ １ ｃｌ Ｉ ｅ 妒 （ ） Ｐ （ ， Ｄ ） Ｕ Ｉ Ｉ Ｌ （ Ｒ ） ， 其中 二一 ＝二 ， 可以趋于无穷． 另一种研 究强惟一延拓性质的主要方法是基于几何分析的思想． １ ９ ８ ７ 年Ｇ ａ ｒ ｏ ｆ ａ ｌ ｏ 和Ｌ ｉ ｎ
4微分方程的解及解的稳定性
4微分方程的解及解的稳定性第四讲微分方程解的稳定性上一讲，我们利用最大值原理讨论了新古典经济增长模型，得到了两个方程，一个是状态变量的转移方程，另一个是欧拉方程。
这两个方程构成了包含状态变量和控制变量的二元一次方程组。
[]δα--=-)()()()()(1t k t c t k t k t k []δραα--=-1)()()(t k t c t c 这个方程组是一个非线性微分方程组，一般情况下，非线性方程组不存在解析解，即方程组的解不能用初等函数来表示。
因此，他们的性质需要借助其他方法来了解。
微分方程：变量为导数的方程叫做微分方程。
常微分方程：只有一个自变量的微分方程叫做常微分方程。
偏微分方程：有两个或两个以上自变量的方程叫做偏微分方程。
微分方程的阶：微分方程中变量的导数最高阶叫做方程的阶。
线性方程：方程的形式是线性的。
例如，方程0)()()()(321=+++t x t y a t y a t y a是一个二阶线性常微分方程。
又如，索洛－斯旺模型的基本方程是一个非线性方程：())()()(t k t k s t k-=δα 再如，拉姆齐模型的动态是下列微分方程组的解：[]δα--=-)()()()()(1t k t c t k t k t k []δραα--=-1)()()(t k t c t c 一、一阶微分方程一阶微分方程可以用下面的方程表示 ),(y x f dx dy= (1.1) 其中，函数R R R f →?:是连续可微函数。
最简单的微分方程是)(x f dxdy= (1.2) 它的解可表示为不定积分：+=c dx x f y )( (1.3)其中，?dx x f x F )()(＝表示任意一个被被积函数，c 为任意常数。
当然，我们也可以确定任意一个被积函数，例如，令??xdt t f dx x f x F 0)()()(＝＝, 则(2.2)的不定积分可表示为+xc dt t f y 0)(＝这时，不定积分仍然代表无穷多条曲线，如果给出初始条件0)0(y y =, 则，上面微分方程的解就是+xy dt t f y 00)(＝ (1.4)二、常见的一阶微分方程解法1．一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为)()(x g y x p dx dy=+ (2.1) 边界条件（即初始条件）0)0(y y =。
粘性项依赖于密度的完全Navier-Stokes方程强解的存在唯一性
中 图 分 类 号 ： ７． Ｏ １５２
文献 标 识码 ： Ａ
文 章 编 号 ：４８ ４９２０） １ ０１ ６ ０ ３— ７（０ ８０— ０— ０ ０ ０
分 别代 表一 个 固定 的热 源及 外力 ， 代表 我们 讨论 问 Ｑ
１ 简 介
不 可压粘 性与 密度 有关 的 流体运 动 可 由带外 力及 热 源 的不 可压 完全 Ｎａ ｉｒ ｔｋ ｓ 程描 述 ， 系统 为 ｖｅ— ｏ ｅ 方 Ｓ 该
定 理 １ 假 设 忌＞ ０且 （ｏ Ｐ ，。Ｐ ， ， Ｐ ，。 “ ， 。 ＿ ）满足 厂
０≤ ｌ Ｄ ｏ∈ Ｗ ，Ｐ ，ｏ （ｏ “ ）∈ Ｈ Ｎ Ｈ ，
最 终 通 过 迭代 解 序 列 “ 函数 值 变 化 的 一 致 有 界 性 ” 得 到 迭 代 解 序 列 自然 收敛 ． 而 避 免 了繁 琐 的 紧 性 讨 论 ． 得 一 提 的 ， 从 值
是 我们 的 初 始 密 度 容许 在 ｎ 的 一 个 子 集 上 是 真 空 的．
关 键 词 ：完全的 Ｎａｉｒ ｔｋ ｓ 程 ； ｖ － ｏｅ 方 ｅＳ 粘性项依赖密度 ； 强解存 在性 ； 唯一性
Ｎ ｖｅ—ｔ ｋ ｓ方 程 的全 局 弱 解 的存 在 性和 局 部 强解 ａ ｉ Ｓｏ ｅ ｒ
（ｕ ｄｖ ｐ “ 一 ｄｖ ， ｐ （ ＋ Ｖ “ ） ｐ ） ＋ ｉ（ｕｏ ） ｉ（ （） ｖｕ ｕ ） ＋
ｖＰ 一 ， ＱＴ 于
ｄｖ 一 ０ 于 ＱＴ ｉｕ ，
（） ３
（） ４
系 统 的 ． 始 密 度 满 足 一 个 兼 容 性 条 件 下 ， 文 分别 证 明 了具 热 源 和 不 具 热 源 时 ， 系 统 的 强 解 的 存 在 唯 一 性 ． 文 所 有 初 本 该 本 方 法 是 迭 代手 法 ， 方 法 主 要 利 用 线 性 化 系 统 强 解 的 存 在 性 ， 该 然后 构 造 原 始 系 统 的迭 代 系 统 ， 据 迭 代 系 统 的 一致 估 计 ， 根
具有预警功能的可修复系统
文章编号： ００１２ （０１０—０９１ １０—３７２１）１０ １—１
具有预警功能的可修复 系统
பைடு நூலகம்高 超 朱广 田 。 ，
１ 北京信 息控制研 究所， ． 北京 １ ０ ３ ００ ７ ２ ．中国科 学院 数学与系统科学研 究院，北京 １ ０ ９ ０ １０
摘要 ： 研 究 了一个具有 预警功 能的可修复系 统． 通过选取 空间和定 义系统算子， 将模型方程 转化 成为 了抽象 Ｃａ ｃ ｙ问题．然后利 用算子半群 理论 证 明 了系统解 的存在 唯一性与指数稳 ｕｈ 定 性． 另外， 当风 险系数趋于 无穷 时， 这种 系统逼近于 一种具 有 弱解 的模 型系统， 利用这个性 质 可得 出相应结论 并给 出 了数值仿 真例子． 关键词 ： 预警 系统； 强解 ； 弱解； 逼近； 数稳 定性． 指
条件与初始状态有关． 相应 的实际意义是起始 的完好状态经过 一次故 障到达非瞬时维修状 态， 即某个
部件发生故 障后 ， 止使用并对其进行 非瞬时维修 ．若 能破 坏掉边值条件 与初 始状态之 间的关系， 停 则 会产生强解 ．具 有预警功 能的可修复系统 ， 当出现故 障征兆时会有提示 ， 这个预警提示 状态就破坏掉 了产生弱解 的原 因， 而这 个模型具有强 解．然 而如果 有预警提示后 ， 从 系统继续 工作， 则会 存在风 险．
子， 对其本质谱进行估算， 并利用紧算子的性质， 证明了在某个有限区间内仅有有限个谱点， 并且分析
了系统算子 的本 质曾 ｌ质 ， 生 从而给 出了可修复系统 的指数稳定性 ． 郭丽娜 等人 ［ 给 出了修复 率为分段 】 常数时， 相应 瞬时可用度低于稳 态可用度 的图形，同时证 明了边值条 件带积分 的可修复 系统 模型的指
Picard存在和唯一性定理
Picard存在和唯一性定理本节利用逐次逼近法，来证明微分方程(2.1)的初值问题(2.2)的解的存在与唯一性定理.定理 2.2(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数在闭矩形域上满足如下条件：(1) 在R上连续;(2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点和有不等式：则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解其中在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明:1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它.即如果函数在闭矩形域R上关于y的偏导数存在并有界，.则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有其中满足，从而.如果在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.（这也是当年Cauchy证明的结果）2．可以证明，如果偏导数在R上存在但是无界，则Lipschitz条件一定不满足，但是Lipschitz 条件满足，偏导数不一定存在，如(,)||f x y y 。
3.现对定理中的数h 0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这时，过点的积图 2-5分曲线当或 时，其中，，到达R 的上边界或下边界.于是，当时，曲线便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间上存在. 由于定理假定在R 上连续,从而存在于是，如果从点引两条斜率分别等于M 和-M 的直线，则积分曲线(如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取则过点 的积分曲线 (如果存在的话)当x 在区间上变化时，必位于R 之中.图 2-6存在性的证明求解初值问题（2.2）求解积分方程（2.3）.因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在 上存在而且唯一就行了. 下面用毕卡(Picard )逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行:1.构造逐次近似序列.近似序列或写成01()(,())xn n x x y f d ϕξϕξξ--=⎰的每一项都在 上有定义，这是因为 于是．这样，我们在区间上，按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列)2. 证明近似序列在区间上一致收敛.“ 函数序列的一致收敛1．设（1）是定义在I 上的函数序列，若对，数列收敛，则称为序列（1）的收敛点．收敛点的全体叫收敛域．在收敛域上每一点，序列（1）都有极限，这极限形成收敛域上的一个函数，称为极限函数．设此函数为，即2．若对，总存在一个只与 有关的自然数N，使得对I上任何一点，当时，有，则称序列（1）在I上一致收敛．证明分如下二步：（1）序列在上一致收敛级数（2.7）在上一致收敛（级数）．因为级数（2.7）的部分和“ 函数项级数的一致收敛1．设函数项级数（1）在区间I上收敛于和函数，即对，数项级数收敛于，或级数（1）的部分和所组成的数列=由数列极限定义，对，，使得时，有2．级数（1）在I上一致收敛对，，使得对，当时，有．3．若函数项级数（1）的每一项都在I上连续，并且在I上一致收敛，则（1）的和函数在I上连续．（2）级数（2.7）在上一致收敛．用数学归纳法，易证级数（2.7）从第二项开始，每一项绝对值都小于正项级数的对应项，而上面这个正项级数显然是收敛的.所以，由优级数判别法，“ 函数项级数的一致收敛判别法（魏尔斯特拉斯优级数判别法）函数项级数（1）若函数项级数（1）在区间I上满足（I ）；（II ）正项级数收敛．则函数项级数（1）在区间I上一致收敛．数项级数收敛的判别法（比值判别法，达朗贝尔（）判别法）若正项级数的后项与前项的比值的极限等于：则当时级数收敛，时（或）时级数发散；时级数可能收敛，也可能发散．级数(2.7)在区间上不仅收敛，而且一致收敛.设其和函数为，从而近似序列在区间上一致收敛于.由于在区间上连续，因而也是连续的.3.证明是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解. 在n次近似序列（2.6）两端取极限有因为所以要证明是积分方程（2.3）的解，即成立，只需证明这是由函数(,)f x y 的连续性及Picard 序列()n x ϕ的一致收敛性质保证的。
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可 修 复 系统是 可 靠性 理论 中讨 论 的一 类 重要 系 统， 也是 可 靠 性 数 学 的 主要 研 究 对 象 之一 。本 文 主 要 研 究 具 有 两 个并 联 运 行 部 件 ， 个 储 备部 件 的冗 一
运 用泛 函分析 中Ｖｏｔｒ￣， ｌ ａ 分算子理论 ，得到 系统非 负强解的存在唯 一性 ． ｅ 关键词 ：可修 复 系统；积分方程 ；非 负强解 中图分类号 ：Ｏ１５５ ７． 文献标识码 ：Ａ 文章编 号 ：１ ７ — ８ ０ （０ １ ４ ０ ８ — ３ ６ ２ ９ ７ ２ １ ）Ｏ — １０ ０
将（ ） ８代入（ ） ： １得
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２ 系统 非负强解 的存在 唯一性证 明
表达式我们得知 Ｐ ｘ （ ３４ 在 ｃｏ Ｔ 上非负 ， ，） ［， ］ ）
强解存在且唯一。 定 理 ３ 由 定 理 ｌ ２知 该 系 统 （ ） ７ 在 ： ， １ 一（ ）
Ｋ（—ｒ 中每一 Ｋｉ一ｒ都是平方绝对可积的。有 ｃｏ Ｔ 上非负强解存在且唯一。 ｔ ） （ ） ［， ］
Ｖｏ ．４ Ｎｏ４ １３ ． Ｄｅｃ２ ．０１ １
具 有 早 期 活 化储 备 的 可修 复 系统 非负强解 的存在 唯一性
冯 雪 ，刘 丽环 ，左 平
（ 空军航空大学 摘 基础部 ，长春 １０ ０ ） ３ ０ ０
要 ：本 文研 究 了具有早 期活化储备 的可修 复 系统模型 ，将模 型 中的微 分一积分方程组 转换 为 ５ 维空 间的积 分方程形式 ，
第 ３ 卷第 ４ ４ 期 ２ １ 年 １ 月 ０１ ２
长春理工大学学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ａ ｆ ａｇ ｈ ｎＵｎｖｒｉ ｆ ｃｅ ｃ ｎ ｅｈ ｏｏ ｙ （ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ） ｏ ｒ ｌ Ｃｈ ｎ ｃｕ ｉｅｓｙｏ Ｓ ｉｎ ｅａｄＴ ｃｎ ｌｇ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｅＥ ｉｏ ｎ ｏ ｔ ｎ ｉ
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（ ４ ）
余系统。在文献 ［］ １ 中作者利用增补变量的方法建 立 了该 系 统数 学模 型 ， 用 Ｌ ｐａｅ 运 ａ ｌｃ 变换 的方 法得 到
该 系统 的稳 态 解 ， 对 该 系 统解 的存 在 性 唯一 性 并 但 没 有作 深 入 的讨 论 ， 文 中我们 将 主 要 采 取初 等 方 本 法， 即常 系 数 线 性微 分 方 程 和 矩 阵解 法 得 到 该 系统 非 负 强 解 的存 在 唯 一 性 ， 为进 一 步深 入 研 究 该 系 统 的其它 可 靠性 问题 提 供一 定 的理论 基 础 。该 系统模 型 用积 分— 微 分方 程组 描述 如下 ：
上 述 方 程 中 向 量 厂 ）中 每 一 （ （ 矩 阵 ）和 前 面所述 可 知下 面命题 成 立 。 定 理 ｌ 系统 （） ７ 的非负 强 解存 在 唯 一性 等 ： １－（ ） 价于 Ｖｏｔｒ 积 分 方程 （６ 的非 负强 解存 在 唯一性 ． ｌ ｒ ｅａ １）
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１２ ８
长春理工大学学报 （ 自然科 学版 ）
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参 考文 献
ｉｏ ＢＳ． ｕ ｅ ｌ Ａｎ ｄ Ｏｃ Ｏｐ ｉ ｚｎ ｔ ｅ ｎ ｏ ｏ ａ ｔ ｍｉｉｇ ｈ ｉｃ ｍｅ ｆ ［ ］ Ｄｈｌ ｎ １ ｒｐ ｉ ｂｅ ｅｉｂｌ ｙ ｙ ｔｍ ｔ ａｌ ｔ ｄ ｙ ｃｉ ｅ ａｒ ｌ ｒｌ ｉｔ ｓ ｓｅ ｗｉ ｅ ｙ ｓａ ｂ ａｔ ａ ａ ｉ ｈ ｒ ｎ －
收稿 日期 ：２ １－０ －１ ０１ ９ １
（ ３４和 ／（）ｊ３４在负实轴上分别进行延拓． ｊ ，） ￣ ｘ （ ，） ＝ ｊ ＝ （） 见 文献 ［ ］ ３ ２：
作者简介 ：冯雪 （９ １ ，女 ，讲师 ，主要从事可靠性理论 、泛 函分析研 究。 １８ 一）
第 四期
冯雪，等 ：具有早期活化储备 的可修复系统非负强解的存在唯一性
ＴｈｅＥｘ ｓｅ ｅａ ｑ ｎ ｓ ｆｔ ｔｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｉｔｎｃ ｎｄ Ｕｎｉ ｕｅ ｅ ｓｏ ｈｅＳ ｒ ｎｇＳ ｌ ｔｏ ｆＡ
Ｒｅ ａ ｒ ｂｌ ｙ ｔｍ Ⅱｌ ｒｙ Ｓ ａ ｂ ｔｖ ｔｏ ｐ ｉａ ｅＳ ｓｅ ｗｉ ｌ ｔ ｎｄ ｙ Ａｃｉ ａ ｉ ｎ Ｅａ
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ｅｒ方 程 组 ， 写成 向量 形式 如下 ： ｒａ 并