天津市红桥区2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
天津市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
天津一中 2017-2018-2 高二年级数学学科（文科）模块质量调查试卷本试卷一、选择题：1. 已知、、是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程，，至少有一个方程有两个相异实根，应假设成（）A. 三个方程都没有两个相异实根B. 一个方程没有两个相异实根C. 至多两个方程没有两个相异实根D. 三个方程不都没有两个相异实根【答案】A【解析】试题分析：“至少有一个”的反面是“一个都没有”，因此本题选C．考点：反证法．2. 已知复数，则对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：先计算出z,再代入计算得到对应点所在的象限.详解：由题得所以=，所以对应的点为，在第二象限.故答案为：B3. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出函数的导数后再求切线的斜率，从而求出切线方程，再求该切线的横截距和纵截距可得三角形的面积.详解：，所以，切线方程为：即.令，则；令，则，故面积为，故选A.点睛：本题考查曲线在某点处切线的求法，属于基础题.4. 下列函数中，在上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：考虑4个函数在上的导数的符号即可.详解：对于A中的函数，有，当时，的符号有正有负，故在上不是增函数；对于B，，当时，，故在上不是增函数；对于C，，当时，，故在上不是增函数；对于D，，当时，，故在上是增函数；故选D.点睛：如果在区间内，有，则在上为单调增函数；如果在区间内，有，则在上为单调减函数.反之，若在上为单调增函数，则；若在上为单调减函数，则.5. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：构建新函数，由得到为上的增函数，结合得到不等式的解集为 .详解：令，则，从而为上的单调增函数，有，而即为，从而其解集为，故选B.点睛：注意依据原函数与其导函数的关系构建合适的新函数，再利用导数讨论该函数的单调性，从而求出不等式的解集.6. 若函数图像存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据题意，曲线y=ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线，转化为=1有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．详解：令y=f（x）=ax2+3x﹣lnx，由题意，x+y﹣1=0斜率是﹣1，则与直线x+y﹣1=0垂直的切线的斜率是1，∴=1有解，∵函数的定义域为{x|x＞0}，∴=1有正根，∵f（x）=ax2+3x﹣lnx，∴=2ax+3﹣=1有正根∴2ax2+2x﹣1=0有正根∴2a=﹣=（﹣1）2﹣1∴2a≥﹣1，∴a≥﹣．故答案为：A点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义、考查零点问题等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及转化能力.(2)本题的关键是转化，首先是把曲线y=ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线转化为=1有正解，再转化为2ax2+2x﹣1=0有正根，最后分离参数转化为2a=﹣=（﹣1）2﹣1由正解.转化的思想是高中数学比较普遍的数学思想，遇到复杂的问题要会灵活运用.7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】分析：可设且到直线的距离最小，则曲线在该点处的切线必与已知直线平行，从而可求及点到已知直线的距离.详解：设且到直线的距离最小，又，令，则，故.此时到直线的距离为，故选B.点睛：曲线上的动点到定直线的最小距离可转化为曲线某点处的切线与已知直线平行的问题.8. 设函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出 ，根据在处取极大值得到有零点且在的左侧附近为，在的右侧附近.分三种情况讨论即可得到的取值范围.详解：，因为在处取极大值，故且在的左侧附近为正，在的右侧附近为负.当时，，此时，当时，， 当时，故在处取极大值. 当时，应为的较小的正根，故，故；当时，有一个正根和负根，因对应的二次函数开口向下，故正跟为即可，故时，总存在使得为的极大值点.综上，的取值范围为，故选A.点睛：对于上的可导函数， （1）若在处取极大值，则且在的左侧附近为正，在的右侧附近为负； （2）若在处取极小值，则且在的左侧附近为负，在的右侧附近为正.9. 函数的大致图象如图所示,则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数的图像可以得到函数的三个不同的零点及为函数的两个不同的极值点，前者可以得到函数的解析式，后者为函数的导数的零点，从而利用韦达定理求出的值.详解：由图像可知有三个实数解，分别为，故，所以.注意到为的极值点，故它们也是的两个根.又，故C.点睛：题设中的函数图像隐含了函数的零点及其函数的极值点，解题时注意扑捉这些有用的信息.另外，当我们知道函数的零点后，可以类比二次函数的双根式得到三次函数的解析式的形式.10. 已知, ,若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：详解：，所以，，故在内存在零点，也就是在内存在零点.令，故.当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数，故在上的值域为，故选B.点睛：本题为导数中的新定义题，其本质为含参数的函数在确定的范围上存在零点，可利用参变分离把零点问题转化为不含参数的函数的值域问题.二、填空题11. 已知，为虚数单位，为虚数单位，若为实数，则a的值为__________．【答案】【解析】为实数，则.【考点】复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数，当时，为虚数，当时，为实数，当时，为纯虚数.12. 已知函数，则的值为__________．【答案】【解析】分析：先根据导数的运算法则计算出和f(1),再计算出的值.详解：由题意f（1）=+2+2f（1），化简得f（1）=﹣﹣2，而=2x+2，所以=2+2，得=﹣2，故f（1）=0，所以f（x）=﹣2x2+2x，所以=﹣4x+2，所以=﹣6.点睛：(1)本题主要考查导数的运算等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题的关键是找到关于和f(1)的方程，解答出它们的值.13. 设，若函数有大于零的极值点，则的范围为__________．【答案】【解析】分析：若函数有大于零的极值点，则导函数有大于零的零点，从而可以求出实数的取值范围．详解：，令，则方程有正根，即．又的值域为，故即．填．点睛：若函数在内可导，且在取极值，则，反之，若，则未必是的极值点．14. 观察下面一组等式，，，......根据上面等式猜测，则_________．【答案】25【解析】分析：利用所给等式，对猜测S2n﹣1=（4n﹣3）（an+b），进行赋值，即可得到结论．详解：当n=1时，S1=（4ו1﹣3）（a+b）=a+b=1，①当n=2时，S3=（4×2﹣3）（2a+b）=5（2a+b）=25，②由①②解得a=4，b=﹣3，∴a2+b2=16+9=25，故答案为：25点睛：（1）本题主要考查归纳推理和演绎推理等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)解答本题的关键是通过演绎推理赋值求出a=4，b=﹣3.15. 已知函数在区间上不单调，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：由函数f（x）在[t，t+1]不单调，得出在[t，t+1]有解，从而x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，进而求出t的范围．详解：∵=﹣x+4﹣且函数f（x）在[t，t+1]不单调，∴在[t，t+1]有解，∴=0在[t，t+1]有解，∴x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，令g（x）=x2﹣4x+3，∴g（t）g（t+1）≤0或，∴0＜t＜1，或2＜t＜3.点睛：（1）本题主要考查导数，考查方程有解问题，考查二次函数的图像和性质,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析转化能力、数形结合能力. (2)本题有三个关键，其一是转化为在[t，t+1]有解，其二是转化为x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，其三是转化为g（t）g（t+1）≤0或，这里考虑要全面，不能漏掉.16. 设函数，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．【答案】详解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（）有最小值2e，∵g（x）=，∴=，当x＜1时，＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e，∵不等式恒成立且k＞0，∴，∴k≥1.故答案为：k≥1点睛：（1）本题主要考查基本不等式、导数和恒成立问题，意在考查学生对这些问题的掌握能力和分析推理能力转化能力.(2)本题的关键是把问题转化为，这一步完成了，后面就迎刃而解了.三、解答题17. 已知函数的极值点为2 ．（1）求实数的值；（2）求函数的极值；（3）求函数在区间上的最值．【答案】（1）；（2）极小值为；（3）【解析】分析: （1）直接根据求出a的值.(2)利用导数求函数的极值.(3)先求函数的单调性，再根据单调性求函数在区间上的最值．详解：（1）∵,∴又函数的极值点为2，∴，解得．经验证得符合题意，∴.（2）由（1）得.∴，当时，，单调递减，当时，，单调递增.∴当时，有极小值，且极小值为（3）由（2）得在当单调递减，在上单调递增，∴，∵，，∴．点睛：（1）本题意在考查利用导数求极值、最值等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合分析能力. (2)在当单调递减，在上单调递增，函数的最大值在端点取得，所以要比较和的大小，这个不能看距离极小值点的远近，因为它不是抛物线.18. 已知函数（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（Ⅰ）先求出函数的增区间为，应为其子集，故可求实数的范围.（Ⅱ）方程在上有两个实数根可以转化为直线与函数的图像有两个不同的交点，利用导数刻画的图像后可以得到实数的取值范围.详解：（Ⅰ），因为为正实数，由定义域知，所以函数的单调递增区间为.因为函数在上为增函数，所以，所以.（Ⅱ）因为方程在区间内恰有两个相异的实根，故方程在区间内恰有两个相异的实根即方程在区间内恰有两个相异的实根.令，则，当时，，在为减函数；当时，，在为增函数.的图像如图所示：要使函数的图象与函数的图象在区间内恰有两个交点，则要满足，所以的取值范围为.点睛：含参数的方程的解的个数的讨论，可以参变分离后转化为动直线与定曲线的交点的个数.定曲线的刻画需以导数为工具讨论函数的单调性、极值及区间端点处的函数值等.19. 已知函数，且（1）求的解析式；（2）若存在，使得成立，求的取值范围；（3）证明函数的图象在图象的下方.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】分析：（1）直接根据求出a的值即得的解析式.(2)分离参数得到恒成立,再利用导数求的最大值得解.(3)转化为恒成立，即，再转化为转化为最小值大于零.详解：（1）易知，所以，又∴.∴.（2）若对任意的，都有，即恒成立，即：恒成立.令，则，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减；∴时，有最大值，∴，即的取值范围为.（3）要证明函数的图象在图象的下方，即证：恒成立，即：.由（2）可得：，所以，要证明，只要证明，即证：令中，则，当时，，所以单调递增，∴即，所以，从而得到，所以函数的图象在图象的下方.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性、最值等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合的分析能力转化能力.(2)本题转化关键有二，其一是转化为恒成立，即，其二是转化为转化最小值大于零.转化是高中数学很普遍的数学思想，要理解掌握灵活运用.20. 已知函数．（1）若直线与函数的图象相切，求的值；；（2）设，对于,都有求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用导数的几何意义求a的值. (2)转化为，再转化为在上恒成立，再转化为的最小值大于等于a得到a的取值范围.详解：（1），设切点为得得到，所以所以.（2）∵∴时，，所以，在上为增函数.不妨设则，，所以，可化为,即，设，则在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，设，则∴∴所以在上为增函数，所以∴.点睛：（1）本题主要考查利用导数几何意义，考查导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生利用这些基础知识的掌握能力及分析转化能力数形结合能力. (2)本题的关键是转化，第一次关键转化是把已知转化为，第二次转化是转化为在上恒成立.转化是高中数学很普遍的数学思想，要理解掌握灵活运用.。
天津市河东区2017-2018年高二下学期期中数学试题(无答案)
17-18河东区高二下期中一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．设i 为虚数单位，则复数2i 1z =-在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．复数2ia b =+（,a b ∈R ，i 是虚数单位），则22a b -的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．23．用数学归纳法证明()1111,12321n n n N n +++++<∈>-L 时，第一步应验证不等式（ ） A ．1122+< B ．111223++<C ．111323++<D ．11113234+++<4．下面几种是合情推理的是（ ）①由“已知两条直线平行同旁内角互补”，推测“如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，那么180A B ∠+∠=︒”； ②由“平面三角形的性质”，推测“空间四面体的性质”； ③数列{}n a 中，由“21n a n =-”推出“1019a =”；④由“数列1，0，1，0，……”推测“这个数列的通项公式111(1)22nn n a +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭”．A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④5．已知32()(21)3af x x a x=+-+，若()18f '-=，则()1f -=（ ） A ．3-B ．2-C ．4D ．56．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ）A ．[]3,6-B ．()3,6-C ．(,3][6,)-∞-⋃+∞D ．(,3)(6,)-∞-⋃+∞7．若曲线32()f x x ax b =-+在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为34π，则a 等于（ ） A ．2- B ．1-C ．2D ．38．选做一题．（1）（A 类题）函数()f x 的图象如图所示，则不等式(3)()0x f x '+⋅<的解集为（ ）A ．(),3-∞-B ．()),31,1(-∞-⋃-C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞（2）（B 类题）函数()y f x =在定义域3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内可导，其图象如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≤的解集为（ ）A ．1,1[2,3]3⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．31,[1,2)22⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦D ．31144,,,323233⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．i 是虚数单位，若复数1(1)i z m m =++-为纯虚数，则实数m =________． 10．已知()tan f x x =，则3f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭________． 11．利用数学归纳法证明“1111()232n p n ++++=L ”，从n k =推导1n k =+时原等式的左边应增加的项数是________项．12．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为216l ”，可猜想关于长方体的相应命题为________．13．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为________． 14．选做一题．（1）（A 类题）函数4()cos 5f x x x =--在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为________． （2）（B 类题）已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x 都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共52分） 15．已知数列{}n a 满足()*21n n S n a n =-+∈N ．（1）计算1a ，2a ，3a ，4a ，并由此猜想通项公式n a ． （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．16．已知复数2(1i)3(1i)2iz -++=-．（1）求复数z 的实部和虚部．（2）若21i z az b ++=-，求实数a ，b 的值．17．已知函数0()e ,0x x f x x ->=≤⎪⎩，求1(0)2f f ⎛⎫''⋅ ⎪⎝⎭．18．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()y f x =的表达式．（2）求()y f x =的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．19．已知函数22()ln (0)a f x a x x a x=++>．若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直．（1）求实数a 的值．（2）求函数()f x 的单调区间． 20．选做一题．（1）已知函数2(2)()(0)1x a a xf x a x -+=≥+． ①当1a =时，求()f x 在点(3,(3))f 处的切线方程． ②求函数()f x 在[]0,2上的最小值． （2）已知函数()()e xf x x k =-．①求()f x 的单调区间．②求()f x 在区间[]0,1上的最小值．。
2018年天津市中考数学试题及参考答案附原卷(word版)
2018年天津市初中毕业生学业考试试卷数学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷(非选择题)两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算()23-的结果等于（）A．5 B．﹣5 C．9 D．﹣92．cos30°的值等于（）B C．1 DA．23．今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（）A．0.778×105B．7.78×104C．77.8×103D．778×1024．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间7．计算23211x xx x-+++的结果为（）A．1 B．3 C．31x+D．31xx++8．方程组10216x yx y=⎧⎨+=⎩+的解是（）A．64xy=⎧⎨=⎩B．56xy=⎧⎨=⎩C．36xy=⎧⎨=⎩D．28xy=⎧⎨=⎩9．若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数12yx=的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x2＜x110．如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（）A．AD=BD B．AE=AC C．ED+EB=DB D．AE+CB=AB11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DE C．BD D．AF12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），其对称轴在y轴的右侧．有下列结论：①抛物线经过点（1，0）；②方程ax2+bx+c =2有两个不相等的实数根；③﹣3＜a+b＜3．A．0 B．1 C．2 D．3第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．计算2x4·x3的结果等于．14．计算的结果等于．15．不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．16．将直线y=x向上平移2个单位长度，平移后的直线的解析式为．17．如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF 的中点，连接DG，则DG的长为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．（1）∠ACB的大小为（度）；（2）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′．当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解不等式组31, 413. xx x≥⎧⎨≤⎩++①②请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得；（2）解不等式②，得；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为．20．（8分）某养鸡场有2500只鸡准备对外出售．从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）图①中m的值为；（2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（3）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有多少只？21．（10分）已知AB是Oe的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°．（1）如图①，若D为»AB的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；（2）如图②，过点D作Oe的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．22．（10分）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60．23．（10分）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为正整数）．（1）根据题意，填写下表：（2）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？（3）当x＞20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．24．（10分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．①求证：△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．25．（10分）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．（1）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（2）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（3）无论m取何值，该抛物线都经过顶点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．。
天津市红桥区2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析
2017-2018学年天津市红桥区高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1. 直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0平行，则直线l的方程是（）A. 3x+2y﹣1=0B. 3x+2y+7=0C. 2x﹣3y+5=0D. 2x﹣3y+8=0【答案】D【解析】试题分析：设与直线2x﹣3y+4=0平行的直线方程为2x﹣3y+c=0，把点（﹣1，2）代入求得c的值，即可求得所求的直线的方程．解：设与直线2x﹣3y+4=0平行的直线方程为2x﹣3y+c=0，把点P（﹣1，2）代入可得﹣2﹣6+c=0，c=8，故所求的直线的方程为2x﹣3y+8=0，故选：D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．2. 圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】试题分析：由题两圆的圆心分别为，，圆心距为，两圆的半径分别为2,3，由于，所以两圆相交。
考点：圆与圆的位置关系。
3. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（）A. ﹣3B. ﹣C. ﹣6D.【答案】C【解析】由于直线与直线平行，故它们的斜率相等，故有，解得，故选C.4. 在空间，下列命题正确的是（）A. 如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β．B. 如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥βC. 如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥βD. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β【答案】A5. 若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则，又，故选A.【方法点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角，属于简单题. 求直线的倾斜角往往先求出直线的斜率，求直线斜率的常见方法有一以下三种，（1）已知直线上两点的坐标求斜率：利用；（2）已知直线方程求斜率：化成点斜式即可；（2）利用导数的几何意义求曲线切点处的切线斜率.6. 若圆心在x轴负半轴上，半径为的圆O，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（）A. （x﹣）2+y2=5B. （x+）2+y2=5C. （x﹣5）2+y2=5D. （x+5）2+y2=5【答案】D【解析】试题分析：设圆心为，因为直线与圆相切，所以圆的方程为（x＋5）2＋y2＝5考点：圆的方程7. 如图所示，在立体图形D﹣ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（）A. 平面ABC⊥平面ABDB. 平面ABD⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】C【解析】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.考点：面面垂直的判定与性质.8. 函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】试题分析：令，得，即；在直线，；则（当且仅当，即时，取等号）．考点：1．函数过定点；2．基本不等式．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）9. 圆C：x2+y2+2x+4y=0的圆心到直线3x+4y=4的距离d=_____．【答案】3【解析】圆化为，可得圆心坐标为，到直线距离为，故答案为.10. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN 所成角的度数是_____．【答案】【解析】取的中点，连接角于点，则，且四边形是平行四边形，就是异面直线与所成的角，而，，，故答案为.【方法点晴】本题主要考查正方体的性质以及异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.11. 空间直角坐标系中的点A（2，3，5）与B（3，1，4）之间的距离是_____．【答案】【解析】空间直角坐标系中的点和之间的距离：，故答案为.12. 已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，则的最大值为_____．【答案】【解析】由圆，得到圆心，半径为，令，即，直线与圆有公共点，的取值范围是，即的最大值为，则的最大值为，故答案为.13. 已知两条不同直线m、n，两个不同平面α、β，给出下面四个命题：①m⊥α，n⊥α⇒m∥n；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是_____．【答案】①④【解析】对于①，根据线面垂直的性质定理可得两条直线与同一平面垂直，则两条直线平行，故①是真命题；对于②，设正方体中，上底面所在平面是，下底面所在平面是，直线是且直线是，则满足，但直线是异面直线，得不出，故②不正确；对于③，若且，则或，不一定能得出，故③不正确；对于④，因为且，所以，结合，可得，故④真命题，故答案为①④.三、解答题（共4小题，满分48分）14. 已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）和.【解析】试题分析：（1）根据给出的圆的一般方程可化为标准方程，然后求出圆心、半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，可以求出的值；（2）本问考查直线与圆相交问题的弦长公式，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，设直线被圆截得的弦长为，再求出圆的半径，于是可以根据公式或列出方程，问题就可以得到解决.试题解析：圆化成标准方程为，则此圆的圆心为，半径为2.（1）若直线与圆相切，则有，解得.（2）过圆心作，则根据题意和圆的性质，得，解得或故所求直线方程为或.考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线距离；3.直线与圆相交弦长公式.15. 已知圆C的圆心在直线l：y=2x上，且经过点A（﹣3，﹣1），B（4，6）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）点P是直线l上横坐标为﹣4的点，过点P作圆C的切线，求切线方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）和.【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆心，由圆经过点，可得，由此求得的值，可得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；（Ⅱ）求出，分切线斜率不存在、切线斜率存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式求出切线斜率即可，即可求切线方程.试题解析：（Ⅰ）设圆的方程：，，解出：，，所以圆的方程为；（Ⅱ）因为①若斜率存在，设切线方程为，即，所以圆心到直线的距离为，解得，所以切线方程为：②若切线斜率不存在，则切线方程为（满足题意）；综上：和.16. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）CD⊥AE；（Ⅱ）PD⊥平面ABE．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明CD⊥平面PAC，然后证明CD⊥AE；证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，PA∩AC=A，故CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．（Ⅱ）由题意：AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD．又AB=BC，且∠ABC=60°，∴AC=AB，从而AC=PA．又E为PC之中点，∴AE⊥PC．由（Ⅰ）知：AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而AE⊥PD．又AB∩AE=A，故PD⊥平面ABE．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定．17. 如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是PC中点，F是AB中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；（Ⅱ）求直线PD与平面PFB所成角的正切值；（Ⅲ）求三棱锥P﹣DEF的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】试题解析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理及线面平行的判定定理即可证明取的中点为，连接，则可证四边形是平行四边形，得出，从而证明结论；（Ⅱ）先证⊥，⊥，利用线面垂直的性质定理可证明⊥平面可得∠为直线与平面所成角，利用直角三角形选择求求其正切值，即可得结果；（Ⅲ）利用等积变形和三棱锥的体积计算公式可得==.（Ⅰ）证明：取中点，连，;因为，分别为，中点，所以，∥;且是中点，，∥;且∥，则四边形为平行四边形所以∥，且平面; 平面；（Ⅱ）解：因为⊥底面，底面，所以⊥；又因为底面是菱形，=2，=1，∠=，则,+=，⊥，且, 所以⊥平面,则是在平面内的射影，∠为直线与平面所成角，==（Ⅲ）解：因为是中点，点到平面的距离等于点到平面的距离,==.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.。
【配套K12】2017_2018学年高二数学下学期期中试题理1
海南中学2017—2018学年第二学期期中考试高二理科数学试题（选修2-2、必修3算法统计）（考试时间：2018年4月；总分：150分；总时量：120分钟；考试班级：1-15班）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将所选答案填涂在答题卡相应位置．） 1. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足1zi i =-，则2z=( )A.2i -B.2iC.2-D.22. 福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表的第1行的第11列开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )A. 06B.26C.02D.233. 对于数133，规定第1次操作为33313355++=，第2次操作为3355250+=，如此反复操作，则第2018次操作后得到的数是( )A ．25B ．250C ．55D ．1334. 从编号为1，2，3……，300的300个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为7和32，则样本中最大的编号应该是( )A. 279B. 280C. 281D. 2825. 定义B A *，C B *，D C *，A D *的运算分别对应图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的)(A ，)(B所对应的运算结果可能是( )A. D B *，D A *B. D B *，C A *C. C B *，D A *D. D C *，C A *6. 如图是将二进制数 11 111(2)化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是( )A. 5≤iB. 4≤iC. 5>iD. 4>i7. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++ (t 的单位：s ，v 的单位：s m /)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A. 5ln 251+B. 311ln258+ C. 5ln 254+ D. 2ln 504+8. 已知,x y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为0.95 2.6y x =+，则表中的实数a 的值为（ ）A. 4.8B. 5.45C. 4.5D. 5.259. 若复数34(sin )(cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan()4πθ-的值为( ) A. 7- B.71 C. 7 D. 7-或7110. 某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是80分却误记为60分，学生乙实际得分是70分却误记为90分，更正后的平均分数和方差分别是（ ）A. 70和50B. 70和67C. 75和50D. 75和6711. 若22113s x dx =⎰，⎰=21212dx xs ，231x s e dx =⎰，则123,,s s s 的大小关系为( )A. 123s s s <<B. 213s s s <<C. 231s s s <<D. 321s s s <<12. 已知函数()|sin |f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令=A cos sin sin 3ααα+，=B 214αα+，则( )A. B A >B. B A <C. B A =D. A 与B 的大小关系不确定第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某市有大型超市100家、中型超市200家、小型超市700家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为90的样本，应抽取小型超市 家.14. 在平面几何里，有“若ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为1()2ABC S a b c r ∆=++”，拓展到空间几何，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球的半径为R ，则四面体的体积ABCD V 四面体为____________________________”.15. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，若输入n 的值为6，则输出S 的值为 .16. i 是虚数单位，已知虚数(2)(,)x yi x y R -+∈yx的取值范围为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本题满分10分）(1) 若0a >， 0b >，求证： ()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭； (2) 设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，若ab cd >>18.（本题满分12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1) 若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a ＝＋$$$；(2) 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：x b y ax n xy x n yx x x y yx x bni ini ii ni ini iiˆˆ,)())((ˆ1221121-=--=---=∑∑∑∑====）19.（本题满分12分）设函数)(x f y =对任意实数y x ,，都有xy y f x f y x f 2)()()(++=+. (1) 若1)1(=f ，求)4(),3(),2(f f f 的值.(2) 在(1)的条件下，猜想*))((N n n f 的表达式，并用数学归纳法加以证明.20．（本题满分12分）某电视台为宣传本省,随机对本省内15～65岁的人群抽取了n 人,回答问题“本省内著名旅游景点有哪些” ，统计结果如图表所示.(1) 分别求出y x b a n ,,,,的值.(2) 根据频率分布直方图估计这组数据的众数、中位数（保留小数点后两位）和平均数.21.（本题满分12分）根据下列程序语句，将输出的a 值依次记为1234,,,,,n a a a a a ．(1) 写出1234,,,a a a a ；(2) 证明：{1}n a -是等比数列，并求}{n a 的通项公式； (3) 求数列{}n na 的前n 项和n T ．22.（本题满分12分） 已知函数x x x f ln )(=. (1) 求函数)(x f 的极值；(2) 求常数m ，使得⎰-=edx m x m g 1|ln |)(取得最小值.(参考数据：718.2≈e ，62.021ln ≈+e )海南中学2017—2018学年第二学期期中考试高二理科数学试题（评分标准）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将所选答案填涂在答题卡相应位置．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 63; 14. R S S S S V ABCD )(314321+++=四面体 15. 147； 16. ]3,0()0,3[ - 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本题满分10分）(1) 若0a >， 0b >，求证： ()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭； (2) 设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，若ab cd >> 证明：(1) 0a >， 0b >，012112>≥+>≥+∴abb a ab b a4122)11)((=⋅≥++∴abab b a b a . …………5分 (2)>，只需证22)()(d c b a +>+，只需证cd d c ab b a 22++>++，由题设，有a b c d +=+， 故只需证cd ab >，只需证cd ab > ，又由题设，cd ab >显然成立，>得证． …………10分 18.（本题满分12分）解：(1) 由表中2月至5月份的数据，可得249616262925,11448121311==+++===+++=y x ，故有 …………2分14)3(120)(36)8()3(215210))((222241241=-+++=-=-⨯-+⨯+⨯+⨯=--∑∑==i ii iix x y y x x由参考公式可得7181436ˆ==b，7301171824ˆˆ-=⨯-=-=x b y a ， 所以y 关于x 的线性回归方程为730718ˆ-=x y. …………7分 或者：49881213111092168261229132511222241241=+++==⨯+⨯+⨯+⨯=∑∑==i ii ii xyx7301171824ˆˆ,7181436114498241141092ˆ2-=⨯-=-===⨯-⨯⨯-=∴x by a b所以y 关于x 的线性回归方程为730718ˆ-=x y. …………7分 (2) 由1月份的数据，当10=x 时，274|227150|,715073010718ˆ<=-=-⨯=y； 由6月份的数据，当6=x 时，276|12778|,7787306718ˆ<=-=-⨯=y. 所以，该小组所得线性回归方程是理想的． …………12分19.（本题满分12分）解：(1) 已知1)1(=f ，且xy y f x f y x f 2)()()(++=+故有224112)1()1()11()2(==⨯⨯++=+=f f f f239212)2()1()21()3(==⨯⨯++=+=f f f f2416222)2()2()22()4(==⨯⨯++=+=f f f f . …………6分(2) 猜想*)()(2N n n n f ∈=，下面用数学归纳法证明. ①当1=n 时，11)1(2==f ，猜想成立；②假设当*)(N k k n ∈=时猜想成立，即2)(k k f =，则当1+=k n 时，22)1(2112)1()()1(+=++=⨯⨯++=+k k k k f k f k f ， 即当1+=k n 时猜想也成立；根据①和②，可知猜想2)(n n f =对*N n ∈∀都成立. …………12分 20．（本题满分12分）解：(1) 由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为2536.09=,再结合频率分布直方图 可知10010025.025=⨯=n ，55.0)10010.0(100=⨯⨯⨯=a ， 279.0)10030.0(100=⨯⨯⨯=b ，9.02018)10020.0(10018==⨯⨯=x ， 2.0153)10015.0(1003==⨯⨯=y . …………5分(2) 在[35,45)中的数据最多,取这个区间的中点值作为众数的近似值,故估计这组数据的众数为40； …………6分 设中位数为x ，由频率分布直方图可知)45,35[∈x ，且有5.0030.0)35(10020.010010.0=⨯-+⨯+⨯x ，解得67.41≈x故估计这组数据的中位数为67.41； …………9分 估计这组数据的平均数为)10015.0(60)10025.0(50)10030.0(40)10020.0(30)10010.0(20⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=x5.4195.121262=++++=. …………12分21.（本题满分12分）解：(1) 9,5,3,24321====a a a a ； …………2分 证明：(2) 由程序可知，*)(121N n a a n n ∈-=+21)1(21112111=--=---=--∴+n n n n n n a a a a a a ，2为常数故{1}n a -是等比数列，公比为2，首项为111=-a1211-⨯=-∴n n a ，即}{n a 的通项公式121+=-n n a *)(N n ∈. …………7分解：(3) 由(2) 可知，n n n na n n n +⋅=+=--112)12()321(22)1(23222112310n n n T n n n +++++⋅+⨯-++⨯+⨯+⨯=∴-- ，设 1221022)1(232221--⋅+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ① 则n n n n n S 22)1(23222121321⋅+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ②①-②得12)1(221)21(12222211321-⋅-=⋅---⨯=⋅-+++++=--n nn nn n n n n S12)1(+⋅-=∴n n n S2)1(12)1(nn n T n n +++⋅-=∴ ． …………12分22.（本题满分12分）解：(1) )0(1ln )('>+=x x x f ，令0)('=x f ，解得x 1=，列表得 ee e e )(2)⎰-=edx m x m g 1|ln |)(中，1ln 01≤≤⇒≤≤x e x① 当0≤m 时，m x m x -=-ln |ln |，由(1)，1ln )'ln (+=x x x故e eex m x x dx m x dx m x m g 111|])1(ln [)]1()1[(ln |ln |)(+-=+-+=-=⎰⎰ 1)1(1]1)1(1ln 1[])1(ln [+-=++-=⋅+-⋅-⋅+-⋅=m e m me m e m e e 0,01≤<-m e ，∴当0=m 时，1)0()(min ==g m g .② 当1≥m 时，x m m x ln |ln |-=-，由(1)，1ln )'ln (+=x x x故e eex x x m dx x m dx m x m g 111|]ln )1[()]1(ln )1[(|ln |)(-+=+-+=-=⎰⎰ 1)1(1]1ln 11)1[(]ln )1[(--=--=⋅-⋅+-⋅-⋅+=m e m me m e e e m 1,01≥>-m e ，∴当1=m时，2)1()(min -==e g m g . ③ 当10<<m ，即e e m <<1时，由(1)，1ln )'ln (+=x x x故⎰⎰⎰+-+++-+=-=e e e e m m dx m x dx x m dx m x m g )]1()1[(ln )]1(ln )1[(|ln |)(11e e e m m x m x x x x x m |])1(ln [|]ln )1[(1+-+-+=])1(ln [])1(ln []1ln 11)1[(]ln )1[(m m m m m m e m e e e m e e m e e e m ⋅+-⋅-⋅+-⋅+⋅-⋅+-⋅-⋅+= 1)1(212)1()1()1()1(-+-⋅=⋅---⋅=⋅++⋅-⋅+-++-⋅-⋅+=m e e em m e e m m e e m e m m e e m m m mm m m 则10),1(2)('<<+-⋅=m e em g m ，令0)('=m g ，解得)1,0(1ln ∈+=e m ，列表得 ∴当21ln +=e m 时，)(m g 取得最小值，即 21ln )1(121ln )1(2)21(ln )(21ln min ++-=-++-⋅=+=+e e e e e e e g m g e . 易知)718.2(21≈->e e ，又03.023.2221ln )1(]21ln )1([)2(>=-≈-++=++---e e e e e e综上所述，当常数21ln +=e m 时，⎰-=edx m x m g 1|ln |)(取得最小值. …………12分。
天津市红桥区高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版
2013-2014学年天津市红桥区高二（下）期末试卷数学（理科）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥12．有二种产品，合格率分别为0.90，0.95，各取一件进行检验，恰有一件不合格的概率为（）A． 0.45 B． 0.14 C． 0.014 D． 0.0453．已知p：|x﹣3|＜1，q：x2+x﹣6＞0，则p是q的（）A．充要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件4．一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，不同的选法共有（）A． 9种B． 10种C．15种D．20种5．设服从二项分布X～B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是（）A． 50，B． 60，C．50，D． 60，6．（x+1）8的展开式中x2的系数是（）A． 28B． 56 C．D． 17．（+）5展开式的常数项为80，则a的值为（）A． 1 B． 2 C．D． 48．设集合，A={（x，y）|（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1}和集合B={（x，y）|（x﹣4）2+y2=1}，＜二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）9．写出命题，“若α=，则cosα=”的否命题是_________．10．在5道题中有3道历史类，两道诗词鉴赏类，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到历史题的条件下，第二次抽到历史类问题的概率为_________．11．在（1﹣2x）n的展开式中，各项系数的和是_________．12．在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有_________个．13．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为_________．14．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有_________个．（用数字作答）三、解答题（共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（8分）分别写出下列命题的逆命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）若q＜1，则方程x2+2x+q=0有实根；（2）若x2+y2=0，则x，y全为零．16．（8分）五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲、乙相邻；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻．17．（8分）已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．18．（10分）（甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球．现从甲，乙两袋中各任取2个球．（Ⅰ）若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；（Ⅱ）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n．19．（10分）甲乙两人进行掰手腕比赛，比赛规则规定三分钟为一局，三分钟内不分胜负为平局，当有一人3局就结束比赛，否则继续进行，根据以往经验，每乙甲胜的概率为，乙胜的概率为，且每局比赛胜负互不受影响．（Ⅰ）求比赛4局乙胜的概率；（Ⅱ）求在2局比赛中甲的胜局数为ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）若规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，比赛进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行，求甲得7分的概率．高二（理）数学（2014、7）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分9.若π3α≠，则1cos 2α≠； 10.12；11.1或1-；12.36； 13.38； 14.54.15．（本小题满分为8分）解：(Ⅰ)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1。
2017-2018学年天津市红桥区高二(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为（）A． B．C． D．∀x∈R，x2+1＜02．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标是（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（2，0） D．（﹣2，0）3．（4分）椭圆的长轴为4，短轴为2，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4．（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．（4分）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（）A．1 B．C．D．36．（4分）设命题p：大于90°的角为钝角，命题q：所有的有理数都是实数，则p与q的复合命题的真假是（）A．“p∨q”假B．“p∧q”真C．“￢p”假D．“p∨q”真7．（4分）已知a，b，c是实数，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A． B．C．D．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．（4分）抛物线y=x2的准线方程为．10．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=．11．（4分）若双曲线的离心率为2，则a=．12．（4分）抛物线y2=8x的焦点到直线x﹣y=0的距离是．13．（4分）若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为4．则点P的坐标为．三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，直线l：3x﹣y﹣6=0．（I）求圆C的圆心及半径；（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦AB的长度．15．（12分）已知的渐近线方程，与椭圆有相同的焦点．（I）求双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线的离心率．16．（12分）已知椭圆的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心等于，（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点Q是椭圆C上位于x轴下方一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为，求△QF1F2的面积．17．（12分）已知椭圆，F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右焦点，过点F2（1，0）作直线l于椭圆C交于A，B两点，△ABF1的周长为．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OA⊥OB．求直线l的方程．2017-2018学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为（）A． B．C． D．∀x∈R，x2+1＜0【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2+1≥0，则￢p为：．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标是（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（2，0） D．（﹣2，0）【分析】直接利用抛物线方程求解焦点坐标即可．【解答】解：抛物线y2=﹣4x的开口向左，p=2，焦点坐标是：（﹣1，0）．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．3．（4分）椭圆的长轴为4，短轴为2，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件转化求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆的长轴为4，短轴为2，可得a=2，b=1，则c==．可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．4．（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．5．（4分）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（）A．1 B．C．D．3【分析】根据双曲线的渐近线方程，可得a，b的关系，利用e=，转化求解即可．【解答】解：由题意，=1∴双曲线的离心率e===．故选：B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．（4分）设命题p：大于90°的角为钝角，命题q：所有的有理数都是实数，则p与q的复合命题的真假是（）A．“p∨q”假B．“p∧q”真C．“￢p”假D．“p∨q”真【分析】分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：大于90°的角为钝角，错误则命题p是假命题，所有的有理数都是实数，正确，则q是真命题，则“p∨q”真，其余为假，故选：D．【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，比较基础．7．（4分）已知a，b，c是实数，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a＞b，c=0时，ac2＞bc2不成立，即充分性不成立，当ac2＞bc2，则c≠0，则a＞b，即必要性成立，即“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．比较基础．8．（4分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A． B．C．D．【分析】由题设知|EF|=，|PF|=2，|PF′|=a，再由|PF|﹣|PF′|=2a，知2﹣a=2a，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=，∴|EF|=，∵，∴|PF|=2，|PF'|=a，∵|PF|﹣|PF′|=2a，∴2﹣a=2a，∴，故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．（4分）抛物线y=x2的准线方程为．【分析】直接利用抛物线方程求解准线方程即可．【解答】解：抛物线y=x2的开口向上，p=，所以抛物线的准线方程：．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．10．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=2．【分析】根据椭圆方程，得到椭圆的长轴为2a=6，再由椭圆的定义得椭圆上点P 满足：|PF1|+|PF2|=2a=6，结合题意|PF1|=4，则不难得到PF2的长度．【解答】解：∵椭圆方程为∴a2=9，b2=2，得椭圆的长轴长2a=6∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，得|PF2|=6﹣|PF1|=6﹣4=2故答案为：2【点评】本题给出椭圆上一点到左焦点的距离，求它到右焦点的距离，着重考查了椭圆的定义与标准方程等知识，属于基础题．11．（4分）若双曲线的离心率为2，则a=1．【分析】利用双曲线的离心率列出方程，求解即可．【解答】解：双曲线的离心率为2，可得：，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．12．（4分）抛物线y2=8x的焦点到直线x﹣y=0的距离是1．【分析】由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F （2，0）到直线x﹣y=0的距离．【解答】解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），∴点F（2，0）到直线x﹣y=0的距离d==1．故答案为：1．【点评】熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．13．（4分）若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为4．则点P的坐标为．【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|MF|=4，则M到准线的距离也为3，即点M的横坐标x+=4，将p的值代入，进而求出x．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=4=x+=x+1，∴x=3，代入抛物线方程可得y=±2．则点P的坐标为：．故答案为：．【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，直线l：3x﹣y﹣6=0．（I）求圆C的圆心及半径；（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦AB的长度．【分析】（1）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0整理得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，由此能出圆心和半径．（2）圆心（1，2）到直线l：3x﹣y﹣6=0的距离d=弦AB的长度，由此能出结果．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0整理得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，∴圆心（1，2），半径为．（2）圆心（1，2）到直线l：3x﹣y﹣6=0的距离==，弦AB的长度==．【点评】本题考查圆的圆心及半径的求法，考查弦长的求法，考查圆、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解，是基础题．15．（12分）已知的渐近线方程，与椭圆有相同的焦点．（I）求双曲线的方程；（Ⅱ）求双曲线的离心率．【分析】（I）利用双曲线的渐近线方程，求出a，b关系，转化求解双曲线的离心率，利用椭圆的焦点坐标，转化求解双曲线实半轴的长，虚半轴的长，然后求解双曲线方程．（Ⅱ）由（I）真假写出双曲线的离心率即可．【解答】解：（Ⅰ）因为的渐近线方程，，所以，解得离心率，则，与椭圆有相同的焦点（5，0），即c=5，a=4，双曲线c2=a2+b2，得b=3，双曲线方程．（Ⅱ）因为离心率，所以．【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．16．（12分）已知椭圆的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心等于，（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点Q是椭圆C上位于x轴下方一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为，求△QF1F2的面积．【分析】（I）利用已知条件列出a，b，c的方程，求出即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）求出直线方程，利用直线与椭圆方程联立，求出Q坐标，然后求解三角形的面积即可．【解答】（Ⅰ）解：因为b=1，，且a2=b2+c2，所以a=2，，则椭圆方程．（Ⅱ）解：因为，=，直线QF1：，可得，整理得：，解得：，则，所以==．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．17．（12分）已知椭圆，F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右焦点，过点F2（1，0）作直线l于椭圆C交于A，B两点，△ABF1的周长为．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OA⊥OB．求直线l的方程．【分析】（I）利用已知条件求出c，椭圆的定义求解a，得到b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）当AB垂直于x轴时，直线l的方程x=1，不符合题意；当AB不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，利用韦达定理以及向量的数量积转化以及即可．【解答】（Ⅰ）解：椭圆，F1（﹣1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右焦点，所以c=1，过点F2（1，0）作直线l于椭圆C交于A，B两点，△ABF1的周长为4．所以，，c=1且a2=b2+c2，得b=1，则椭圆方程：．（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）当AB垂直于x轴时，直线l的方程x=1，不符合题意；当AB不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，，=因为，所以，则，x1•x2+y1•y2=0，得，直线l的方程为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力．。
数学---天津市红桥区2016-2017学年高二下学期期中考试(文)
天津市红桥区2016-2017学年高二下学期期中考试（文）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、圆心为(1,3)O -，半径为2的圆的方程为A ．22(1)(3)2x y -++=B ．22(1)(3)4x y ++-=C ．22(1)(3)4x y -++=D ．22(1)(3)2x y ++-= 2、若抛物线22y mx =的准线方程为3x =-，则实数m 的值为 A ．-6 B ．16-C ．16D ．6 3、已知圆的一般方程为22240x y x y +-+=，则该圆的半径长为A B C ．3 D ．54、双曲线22163x y -= 的渐近线方程为A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =± D ．y = 5、已知z 轴上一点N 到点(1,0,3)A 与点(1,1,2)B --的距离相等，则点N 的坐标为 A ．1(0,0,)2- B ．2(0,0,)5- C ．1(0,0,)2 D ．2(0,0,)56、观察下列一组数据则10a 从左到右的第一个数是A ．91B ．89C ．55D ．457、已知抛物线2:2C y x =-的焦点为F ，点00(,)A x y 是C 上一点，若32AF =，则0x = A ．2 B ．1 C ．-1 D ．28、已知双曲线一焦点坐标为(5,0)，一渐近线方程为340x y -=，则双曲线的离心率为A B C ．53 D ．54第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..9、若圆221:()4(0)C x a y a -+=>与圆222:(9C x y +=相外切，在实数a 的值为10、椭圆中有如下结论：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上斜率为1的弦的中点在直线22220x y a b +=，类比上述结论：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 上斜率1的弦的中点在 直线上.11、以点(0,2)M 为圆心，并且与x 轴相切的圆的方程为 12、如图，棱长为1的正方体1111OABC D A B C -中，G 为侧面正方形11BCC B 的中点，以顶点为坐标原点建立如图所示，则点G 的坐标为13、已知双曲线22316x y b -=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与左支相交于A 、B 两点，如果222AF BF AB += ，则AB =三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 14、（本小题满分12分）（1）ABC ∆的三个顶点分别为(1,5),(2,2),(5,5)A B C ---，求其为结缘的方程；（2）求机经过点(5,2)-，焦点的双曲线方程.18、（本小题满分12分）已知两点(1,5),(3,7)A B -，圆C 以线段AB 为直径. （1）求圆C 的方程；（2）若直线:40l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，求弦MN 的长.16、（本小题满分12分） 已知抛物线2:4C y x =-.（1）写出抛物线C 的焦点坐标，准线方程，焦点到准线的距离；（2）直线l 过定点(1,2)P ，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线：只有一个公共点；两个公共点；没有公共点.17、（本小题满分12分）已知椭圆2212:1,,2x C y F F += 分别是椭圆C 的左右焦点. （1）求椭圆C 的长轴和短轴的长，离心率，左焦点1F ； （2）已知P 是椭圆上一点，且12PF PF ⊥，求12F PF ∆的面积.参考答案一、选择题（每小题4分，共32分）二、填空题（每小题4分，共20分）三、解答题（每小题12分，48分） 14（本小题满分12分）（Ⅰ）解法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.----------------------------------6分（解法二：由题意可求得线段AC 的中垂线方程为x ＝2，线段BC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0，∴圆心是两中垂线的交点(2，1)，半径r ＝（2＋1）2＋（1－5）2＝5.故所求圆的方程为()x －22＋()y －12＝25. ）（Ⅱ）∵焦点坐标为(6，0)，焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).----------------------------7分 ∵双曲线过点(－5，2)，∴25a 2－4b 2＝1，得a 2＝25b 2b 2＋4.---------------------8分 联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25b 2b 2＋4，a 2＋b 2＝c 2＝6，解得a 2＝5，b 2＝1，----------------11分（解对一个2分）故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.---------------------------------------12分 15（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得圆心C 的坐标为()16，，-----2分直径2r ==r 分所以，圆C 的方程为()221(6)5x y -+-=． ---------5分 （Ⅱ）设圆心C 到直线l ：40x y +-=的距离为d ，则有d ==．------------------8分（公式2分）由垂径定理和勾股定理，有222915222MN r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．---10分（关系1分）所以2MN =MN --------12分（注：其他解法相应给分）16（本小题满分12分）解：（Ⅰ）抛物线C 焦点(1,0)F -,准线方程1x =，焦点到准线距离为2---------3分（Ⅱ）由题意设直线l 的方程：2y kx k =-+由方程组224y kx k y x=-+⎧⎨=-⎩可得：24480(1)ky y k ++-=-------------5分（1） 当0k =时，由（1）得2y =带入24y x =-，1x =-，此时直线与抛物线只有一个公共点.---------------------------------------------------------6分（2） 当0k ≠时，（1）的判别式2164(48)16(21)k k k k ∆=--=-----------7分当0∆=时，1k =+1k =------8分当0∆>时， 11k <-----------10分 当0∆<时，12k >+或12k <-，此时直线与抛物线没有公共点.-----------12分17（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由椭圆22:12x C y +=知222,1a b ==，则1a b ==，故1c =---2分所以椭圆C 的长轴222a =，短轴22b =，离心率22c e a ===，左焦点1(1,0)F -.6分（Ⅱ）解:由（Ⅰ）可得a =1b =，1c =．由椭圆的定义知12||||222PF PF a +==①，-----------------------------8分在Rt △PF 1F 2中，由勾股定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4②，①2－②，得2|PF 1|·|PF 2|＝8-4＝4，--------------------------------------10分 ∴|PF 1|·|PF 2|＝2，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×2＝1．----------12分。
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题+Word版含答案
2019届 高二下学期半期考试试题 文科数学 考试时间共120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假 2.命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，3.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则该抛物线的方程为( )A ．x y 82-=B. x y 82=C. x y 42-= D. x y 42=4.已知双曲线方程为22193x y -=，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y =B ．y =C ．13y x =± D ．3y x =±5．已知椭圆221102x y m m +=--，若焦点在y 轴上且焦距为4，则m 等于（ ） A.4 B.5 C. 7 D.8 6.“双曲线离心率2=e ”是“双曲线是等轴双曲线”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要件7. 若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．48.已知椭圆C ：13422=+y x ，直线l ：0=-+m my x （R m ∈），l 与C 的公共点个数为（ ）A. 0个B. 1个C.2个D. 无法判断9.已知两点1F （-1，0）、2F （1，0），且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ）A ．191622=+y xB ．1121622=+y xC ．13422=+y xD ．14322=+y x10.已知点P 在椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)上，点F 为椭圆的右焦点，PF 的最大值与最小值的比为2, 则这个椭圆的离心率为（ ）A.21 B. 31 C. 41 D. 22 11.已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 点坐标（0，4），那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A.17B.52C. 5D. 912.设P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B. 4C. 2或3D. 4或53二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．若命题“任意实数x ，使210x ax ++≥”为真命题，则实数a 的取值范围为__________．14．已知椭圆12422=+y x 的两个焦点是1F ，2F 点P 在椭圆上，若1PF -2PF =2，则21F PF ∆的面积是________.15.已知点A （2，0），抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=________. 16.下列三个命题中①“k=1”是“函数y=cos 2kx-sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件; ②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;③“双曲线1222=-y x 上任意点M 到两条渐近线距离的积为定值”的逆否命题其中是真命题的为________三、解答题 本大题共6个小题，共70分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知054:2≤--x x p ，)0(3:><-a a x q .若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.18. (本小题满分12分)已知命题p ：0342>+-k k ，命题q ：方程x k k y )2(22-=表示焦点在轴正半轴上的抛物线.（1）若命题q 为真命题，求实数k 的取值范围； （2）若命题(p ⌝)Λq 为真命题，求实数k 的取值范围.19. (本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点1F （-22，0）、2F （22，0），且长轴长为6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标20. (本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，过点A (4,4)-且焦点在x 轴 （1）求抛物线方程（2）直线l 过定点B )0,1(-，与该抛物线相交所得弦长为8，求直线l 的方程21. (本小题满分12分)已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>的离心率为233，过点A (0，－b )和B (a ，0)的直线与原点的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx ＋m (k ≠0, m ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C ，D ，且C ，D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围．22.(本小题满分12分)已知椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的一个焦点为(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若动点P(x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.威远中学2019届高二下学期半期考试试题文科数学参考答案一、选择题1-5 BCBAD 6-10 ADCCB 11-12 AD12.【解析】∵分别为双曲线的左、右焦点∴，∵∴点在双曲线的右支，的内切圆半径为. 设，则.∵，即∴，即的外接圆半径为.∵的外接圆半径是其内切圆半径的倍∴，即.∴∴或二、填空题13. 14. 15. 16.①②③16.【解析】①“k=1”可以推出“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”,但是函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π,即y=cos2kx,T==π,k=±1.②“a=3”不能推出“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”,反之垂直推出a=;③设M点为，满足，点M到渐近线的距离分别为与，乘积得答案:①②③三、解答题17.试题解析：设，，因为是的充分不必要条件，从而有并 .故，解得 .............10分18解：（1）命题为真命题时，，解得或，则的取值范围是……………………6分（2）命题为真命题，则和均为真命题，易知为真命题时，的取值范围是，则，解得，所以的取值范围是. ……………………12分19解：由已知条件得椭圆焦点在x轴上，其中c=2，a=3，从而b=1其标准方程为……………………6分联立方程组，消去y得设A，B，则中点，=，所以所以线段AB中点坐标为……………………12分20解：（1）设抛物线方程为抛物线过点，得p=2则……………………6分（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x=-1与抛物线交于、，弦长为4，不合题意②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，直线为消y 得弦长=解得得所以直线l 方程为或……………………12分21.解：(1)3x2－y 2＝1.……………………6分(2)－y2＝1，x2消去y 得，(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0， 由已知，1－3k 2≠0且Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0⇒m 2＋1＞3k 2.① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点P (x 0，y 0)， 则x 0＝2x1＋x2＝1－3k23km ，y 0＝kx 0＋m ＝1－3k2m， 因为AP ⊥CD ，所以k AP ＝－03km ＝3km m ＋1－3k2＝－k 1， 整理得3k 2＝4m ＋1.② 联立①②得m 2－4m ＞0，所以m ＜0或m ＞4，又3k 2＝4m ＋1＞0， 所以m ＞－41，因此－41＜m ＜0或m ＞4.故m 的取值范围为∪(4，＋∞)．……………………12分22.(1)因为c=,离心率e=,所以a=3,b=2,椭圆C 的标准方程为+=1.……………………6分(2)方法一:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),代入+=1中,整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,切线与椭圆只有一个公共点,则Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0,进一步化简(-9)k2-2x0y0k+-4=0因为两条切线相互垂直,所以k1k2=-1,也就是=-1,则+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13, 所以点P的轨迹方程为+=13.……………………12分方法二:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1且+=1.两条切线方程分别为+=1和+=1,因为两条切线都过点P(x0,y0),所以+=1且+=1,因为两条切线相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1,也就是=-1,整理得+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13, 所以点P的轨迹方程为+=13.。
天津市红桥区2017-2018学年高三数学二模试卷(理科) Word版含解析
天津市红桥区2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣1≥0，x∈R}，B={x|0≤x＜3，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3，x∈R}B．{x|1≤x≤3，x∈R}C．{x|1≤x＜3，x∈R}D．{x|0＜x＜3，x∈R}2．若实数x，y满足，则目标函数z=4x+3y的最大值为（）A．0 B．C．12 D．203．某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内应填（）A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？4．下列结论中，正确的是（）A．“x＞2”是“x2﹣2x＞0”成立的必要条件B．已知向量，，则“∥”是“+=”的充要条件C．“p：∀x∈R，x2≥0”的否定形式为“￢p：∃x0∈R，x02≥0”D．“若x2=1，则x=1”的逆否为假5．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点F（c，0）为圆心，以a为半径的圆与C的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|=c，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．6．在钝角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=7，c=5，sinC=，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．7．若函数f（x）=e x﹣3﹣x+2a（a＞0）有且只有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．（0，1） C．[1，+∞）D．（0，+∞）8．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，记a=f（log0.52），b=f（log24），c=f（20.5），则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（2+i）（1﹣bi）=a+i，则a+b=．10．设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x=0运动到x=6，已知F（x）=x2+1且方向和x轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为J（x的单位：m；力的单位：N）．11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（l为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点．则线段AB的长为．12．如图，是一个几何体的三视图，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为边长为1的正方形，则该几何体外接球的表面积为．13．如图，已知圆内接四边形ABCD，边AD延长线交BC延长线于点P，连结AC，BD，若AB=AC=6，PD=9，则AD=．14．已知等腰△ABC，点D为腰AC上一点，满足+=2，且||=3，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（2016红桥区二模）已知f（x）=sin2x+cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间的最大值；（Ⅱ）若f（x0）=，，求sin2x0的值．16．（13分）（2016红桥区二模）甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会（每人抢答机会均等），答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求两队得分之和大于4的概率．17．（13分）（2016红桥区二模）已知数列{a n}是递增等差数列，a1=2，其前n项为S n（n ∈N*）．且a1，a4，S5+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n及前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=+1，计算{b n}的前n项和T n，并用数学归纳法证明：当n ≥5时，n∈N*，T n＞S n．18．（13分）（2016红桥区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，侧面PBC是边长为2的等边三角形，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求异面直线PD与AC所成角的余弦值；（Ⅱ）若点F在PC边上移动，是否存在点F使平面BFD与平面APC所成的角为90°？若存在，则求出点F坐标，否则说明理由．19．（14分）（2016红桥区二模）设椭圆C：=1（a＞b＞0），过点Q（，1），右焦点F（，0），（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=k（x﹣1）分别交x轴，y轴于C，D两点，且与椭圆C交于M，N两点，若，求k值；（Ⅲ）自椭圆C上异于其顶点的任意一点P，作圆O：x2+y2=2的两条切线切点分别为P1，P2，若直线P1P2在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：=1．20．（14分）（2016红桥区二模）已知函数f（x）=alnx++x，（a，b∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在x1=1，x2=2处取得极值，求a，b的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值；（Ⅱ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，存在x∈[1，e]，使得f（x）﹣x≤（a+2）（﹣x2+x）成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若h（x）+x=f（x）+（1﹣）x2，求h（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值．2016年天津市红桥区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣1≥0，x∈R}，B={x|0≤x＜3，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3，x∈R}B．{x|1≤x≤3，x∈R}C．{x|1≤x＜3，x∈R}D．{x|0＜x＜3，x∈R}【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥1，即A={x|x≤﹣1或x≥1，x∈R}，∵B={x|0≤x＜3，x∈R}，∴A∩B={x|1≤x＜3，x∈R}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若实数x，y满足，则目标函数z=4x+3y的最大值为（）A．0 B．C．12 D．20【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），平移直线z=4x+3y，由图象可知当直线z=4x+3y经过点C时，目标函数z=4x+3y取得最大值，由，解得，即C（，﹣），即z=4×﹣×3=，故z的最大值为．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．要求熟练掌握常见目标函数的几何意义．3．某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内应填（）A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，结合流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S的值，由条件框内的语句决定是否结束循环体并输出S，由此给出表格模拟执行程序即可得到本题答案．【解答】解：程序在运行过程中，各变量的值变化如下表：可得，当k=4时，S=26．此时应该结束循环体并输出S的值为26所以判断框应该填入的条件为：k＞3？故选：A【点评】本题给出程序框图，求判断框应该填入的条件，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，结合表格加以理解，从而使问题得以解决．4．下列结论中，正确的是（）A．“x＞2”是“x2﹣2x＞0”成立的必要条件B．已知向量，，则“∥”是“+=”的充要条件C．“p：∀x∈R，x2≥0”的否定形式为“￢p：∃x0∈R，x02≥0”D．“若x2=1，则x=1”的逆否为假【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断，B．根据向量共线的等价条件进行判断，C．根据全称的否定是特称进行判断，D．根据逆否的等价性进行判断．【解答】解：A．由x2﹣2x＞0得x＞2或x＜0，则“x＞2”是“x2﹣2x＞0”成立的充分不必要条件，故A错误，B．若∥，则=λ，则+=不一定成立，若+=，则=﹣，则∥成立，即“∥”是“+=”的必要不充分条件，故B错误，C．“p：∀x∈R，x2≥0”的否定形式为“￢p：∃x0∈R，x02＜0”，故C错误，D．∵由x2=1得x=1或x=﹣1，∴“若x2=1，则x=1”为假，则的逆否也为假，故D正确，故选：D【点评】本题主要考查的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．5．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点F（c，0）为圆心，以a为半径的圆与C的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|=c，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y=x，即bx﹣ay=0，∴焦点到渐近线的距离d=，∵|AF|=|BF|=a，∴|AD|==，则|AB|=2|AD|=2=c，平方得4（a2﹣b2）=c2，即a2﹣c2+a2=c2，则2a2=c2，则c2=a2，则c=a，即离心率e=，故选：B【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．6．在钝角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=7，c=5，sinC=，则△ABC的面积等于（）A ．B ．C ．D ．【分析】由条件和平方关系求出cosC ，由余弦定理列出方程求出b 的值，利用条件和余弦定理确定b 的值，利用三角形面积公式求出△ABC 的面积．【解答】解：在钝角△ABC 中，∵a=7，c=5，sinC=，∴A ＞C ，C 是锐角，且cosC==，由余弦定理得，c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，∴25=49+，则b 2﹣11b +24=0，解得b=3或8，∵△ABC 是钝角三角形，∴当b=8时，角B 是钝角，∵cosB===0，则b=8舍去，同理验证b=3符合条件，∴△ABC 的面积S===，故选：C ．【点评】本题考查余弦定理，以及利用余弦定理判断是否是钝角的综合应用，考查化简、计算能力，属于中档题．7．若函数f （x ）=e x ﹣3﹣x +2a （a ＞0）有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．[1，+∞）D ．（0，+∞）【分析】可求导数f ′（x ）=e x ﹣3﹣1，然后根据导数的符号便可求出函数f （x ）的最小值及函数f （x ）的单调性，根据函数只有两个零点便可得出关于a 的不等式，从而可求出实数a 的取值范围．【解答】解：f ′（x ）=e x ﹣3﹣1；∴x ＜3时，f ′（x ）＜0，x ＞3时，f ′（x ）＞0； ∴x=3时，f （x ）取最小值2a ﹣2；f （x ）在（﹣∞，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增； 又f （x ）有且只有两个零点； ∴2a ﹣2＜0；∴a＜1；∴0＜a＜1．故选B．【点评】考查基本初等函数和复合函数的导数的计算公式，根据导数符号判断函数的单调性及求函数最值的方法和过程，函数零点的定义．8．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，记a=f（log0.52），b=f（log24），c=f（20.5），则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】确定函数是周期为2的周期函数，f（x）在[0，1]上单调递增，并且a=f（log0.52）=f（log22）=f（1），b=f（log24）=f（2）=f（0），c=f（20.5），即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x+1）=，∴f（x+2）=f（x），∴函数是周期为2的周期函数；∵f（x）为偶函数，f（x）在[﹣1，0]上是减函数，∴f（x）在[0，1]上单调递增，并且a=f（log0.52）=f（log22）=f（1），b=f（log24）=f（2）=f（0），c=f（20.5）．∵0＜1＜20.5，∴b＜c＜a．故选：B．【点评】考查偶函数的定义，函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，1]上，根据单调性去比较函数值大小．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（2+i）（1﹣bi）=a+i，则a+b=2．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简（2+i）（1﹣bi），再由复数相等的条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由（2+i）（1﹣bi）=（2+b）+（1﹣2b）i=a+i，则，解得a=2，b=0．则a+b=2．故答案为：2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题．10．设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x=0运动到x=6，已知F（x）=x2+1且方向和x轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为78J（x的单位：m；力的单位：N）．【分析】由功的意义转化为定积分来求即可．【解答】解：=78；故答案为：78．【点评】本题考查了定积分在物理中的应用；关键是利用定积分表示．11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（l为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点．则线段AB的长为4．【分析】将直线参数方程代入抛物线方程，求出参数的两根之和与两根之积，根据参数的几何意义求出|AB|．【解答】解：将直线l的参数方程代入抛物线方程得1++=，即t2﹣6t+5=0，∴t1+t2=6，t1t2=5．∴|AB|=|t1﹣t2|===4．故答案为：4．【点评】本题考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题．12．如图，是一个几何体的三视图，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为边长为1的正方形，则该几何体外接球的表面积为3π．【分析】由已知得到几何体是平放的三棱柱，底面是等腰直角三角形，高为1，得到其外接球直径，计算表面积．【解答】解：由已知得到几何体是平放的三棱柱，底面是等腰直角三角形，高为1，所以其外接球的直径为，所以表面积为4π×=3π；故答案为：3π．【点评】本题考查了由三视图求具体的外接球的表面积；前提是正确还原几何体，得到其外接球的半径．13．如图，已知圆内接四边形ABCD，边AD延长线交BC延长线于点P，连结AC，BD，若AB=AC=6，PD=9，则AD=3．【分析】利用相似三角形的判定与性质得出△ADC∽△ACP，则可求AC2=AD×AP=AD×（AD+DP），进而得出答案．【解答】解：∵∠PDC+∠ADC=180°，∠PCA+∠ACB=180°，∠ACB=∠PDC=∠ABC，∴∠ADC=∠PCA，又∵∠CAD=∠PAC，∴△ADC∽△ACP，∴=，∴AC2=AD×AP=AD×（AD+DP），∵AB=AC=6，PD=9，∴36=AD×（AD+9），解得：AD=3或﹣12（舍）．故答案为：3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识，得出△ADC∽△ACP是解题关键，属于中档题．14．已知等腰△ABC，点D为腰AC上一点，满足+=2，且||=3，则△ABC面积的最大值为6．【分析】由已知可得C为AC中点，先在△ABD中利用余弦定理表示出cosA，进而求得sinA 的表达式，然后代入三角形面积公式转化为二次函数求解．【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AC上一点，满足+=2，故D为等腰三角形ABC腰AC上的中点，又由||=3，故cosA=，△ABC面积S=b2=，故答案为：6．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，主要考查了余弦定理和正弦定理的运用．解题过程中充分利用好等腰三角形这个条件，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（2016红桥区二模）已知f（x）=sin2x+cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间的最大值；（Ⅱ）若f（x0）=，，求sin2x0的值．【分析】（Ⅰ）借助二倍角公式和辅助角公式化简，得到最小正周期，由x的范围结合正弦函数图象得到f（x）的范围．（Ⅱ）由f （x 0）=，，可以得到cos （2x 0+）=﹣，【解答】解 （Ⅰ）∵f （x ）=sin2x +cos 2x ﹣=sin 2x +﹣=sin 2x +cos2x=sin （2x +），∴f （x ）=sin （2x +），∴函数f （x ）的最小正周期为π，∵x ∈，∴sin （2x +）∈[，1]，所以f （x ）在区间的最大值是1．（Ⅱ）∵f （x ）=sin （2x +），∴f （x 0）=，∴sin （2x 0+）=，又∵，∴2x 0+∈[，π]，∴cos （2x 0+）=﹣，∴sin2x 0=sin （2x 0+﹣）=sin （2x 0+）cos﹣cos （2x 0+）sin=×﹣（﹣）×=．【点评】本题考查三角函数解析式的化简，以及由x 的范围，得到解析式的范围，需结合图象得到．16．（13分）（2016红桥区二模）甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会（每人抢答机会均等），答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求两队得分之和大于4的概率．【分析】（Ⅰ）6个选手中抽取两名选手共有种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有种结果，由此能求出从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率．（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且～B（3，），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）用B表示事件：两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，用A1表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分．用A2表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分，由P（B）=P（A1）+P（A2），能求出两队得分之和大于4的概率．【解答】解：（Ⅰ）6个选手中抽取两名选手共有=15种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有：=6种结果，用A表示事件：“从两队的6个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队”P（A）==．故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为．（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且～B（3，），P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=（）3=．∴ξ的分布列为：ξ的数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=2．（Ⅲ）用B表示事件：两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，用A1表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分．P（A1）=（++）+=，用A2表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分，则P（A2）==，P（B）=P（A1）+P（A2）==．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、二项分布性质、互斥事件概率计算公式的合理运用．17．（13分）（2016红桥区二模）已知数列{a n}是递增等差数列，a1=2，其前n项为S n（n ∈N*）．且a1，a4，S5+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n及前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=+1，计算{b n}的前n项和T n，并用数学归纳法证明：当n ≥5时，n∈N*，T n＞S n．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d＞0，由a1，a4，S5+2成等比数列．可得=a1（S5+2），即（2+3d）2=2，解出d，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（Ⅱ）b n=+1=2n﹣1+1，可得{b n}的前n项和T n=2n+n﹣1．当n≥5时，n∈N*，T n＞S n．即证明：2n＞n2+1．利用数学归纳法证明即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d＞0，∵a1，a4，S5+2成等比数列．∴=a1（S5+2），即（2+3d）2=2，化为：9d2﹣8d﹣20=0，d＞0．解得d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n．S n==n2+n．（Ⅱ）b n=+1=2n﹣1+1，∴{b n}的前n项和T n=+n=2n+n﹣1．当n≥5时，n∈N*，T n＞S n．即证明：2n＞n2+1．下面利用数学归纳法证明：当n≥5时，n∈N*，T n＞S n．①当n=5时，25=32＞26=52+1，即n=1时成立．②假设当n=k∈N*（k≥5）时，2k＞k2+1成立，则n=k+1时，2k+1=2×2k＞2k2+2，∵2k2+2﹣[（k+1）2+1]=k2﹣2k=k（k﹣2）＞0，∴2k2+2＞（k+1）2+1，即2k+1＞（k+1）2+1，n=k+1时不等式成立．综上得当n≥5时，T n＞S n，n∈N*．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（13分）（2016红桥区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，侧面PBC是边长为2的等边三角形，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求异面直线PD与AC所成角的余弦值；（Ⅱ）若点F在PC边上移动，是否存在点F使平面BFD与平面APC所成的角为90°？若存在，则求出点F坐标，否则说明理由．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出直线对应的向量，利用向量法即可求异面直线PD与AC所成角的余弦值；（Ⅱ）求出平面的法向量，根据平面BFD与平面APC所成的角为90°，建立方程关系进行求解判断即可．【解答】解：（Ⅰ）因为平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，故AB=BC=AC=PC=PB=2，取BC中点O，则AO⊥BC，PO⊥BC，PO⊥AO以O为坐标原点，OP为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系，O（0，0，0），A（0，0，），B（0，﹣1，0），C（0，1，0），P（，0，0），D（0，2，），E（，，0），则=（﹣，2，），=（0，1，），则||=，||=2，则=2﹣3=﹣1，设异面直线PD与AC所成角为θ，则cosθ==||=，所以异面直线PD与AC所成角的余弦值为．（Ⅱ）设存在点F，使平面BFD与平面APC所成的角为90°，设F（a，b，0），因为P，C，F三点共线，=（a﹣，b，0），=（﹣，1，0），设=λ，则（a﹣，b，0）=λ（﹣，1，0），所以a=（1﹣λ），b=λ，则F（（1﹣λ），λ，0），设平面BFD的一个法向量为=（x，y，z），则得令y=，则=（，，﹣3），||=，设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则则，令x=1，则=（1，，1），||=，又=（1，，1）（，，﹣3）=，若平面BFD与平面APC所成的角为90°，则cos90°===0，故=0，即λ=﹣1，此时E（2，﹣1，0），点F在CP延长线上，所以，在PC边上不存在点F使平面BFD与平面APC所成的角为90°【点评】本题主要考查异面直线所成的角以及二面角的计算，建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．19．（14分）（2016红桥区二模）设椭圆C：=1（a＞b＞0），过点Q（，1），右焦点F（，0），（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=k（x﹣1）分别交x轴，y轴于C，D两点，且与椭圆C交于M，N两点，若，求k值；（Ⅲ）自椭圆C上异于其顶点的任意一点P，作圆O：x2+y2=2的两条切线切点分别为P1，P2，若直线P1P2在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：=1．【分析】（Ⅰ）将Q的坐标代入椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）求出直线l与x，y轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k的值；（Ⅲ）由切线的性质，结合四点共圆判断可得P，P1，O，P2四点共圆，可得其圆心O'（，），求得圆方程，由两圆方程相减可得相交弦方程，由题意可得P1P2的方程为+=1，求得P的坐标，代入椭圆方程即可得证．【解答】解：（Ⅰ）椭圆过点Q（，1），可得+=1，由题意可得c=，即a2﹣b2=2，解得a=2，b=，即有椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣1）与x轴交点C（1，0），y轴交点D（0，﹣k），联立，消y得，（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，=（x2﹣1，y2），=（﹣x1，﹣k﹣y1），由，得：x1+x2==1，解得k=±；（Ⅲ）证明：因为P1，P2为切点，所以OP1⊥PP1，OP2⊥PP2，所以P，P1，O，P2四点共圆，其圆心O'（，），方程为（x﹣）2+（y﹣）2=，整理得x2+y2﹣xx P﹣yy P=0，P1，P2是圆O与圆O'的交点，联立得xx P+yy P=2，直线P1P2在x轴，y轴上的截距分别为m，n，可得直线P1P2的方程为+=1，得x P =，y P =，因为P （x P ，y P ）在椭圆x 2+2y 2=4上，则（）2+2（）2=4，整理得=1．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量相等的条件，同时考查圆方程的求法，以及两圆相交弦的问题，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）（2016红桥区二模）已知函数f （x ）=alnx ++x ，（a ，b ∈R ） （Ⅰ）若函数f （x ）在x 1=1，x 2=2处取得极值，求a ，b 的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值；（Ⅱ）若函数f （x ）在（1，f （1））处的切线的斜率为1，存在x ∈[1，e ]，使得f （x ）﹣x ≤（a +2）（﹣x 2+x ）成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ） 若h （x ）+x=f （x ）+（1﹣）x 2，求h （x ）在[1，e ]上的最小值及相应的x 值．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，计算f ′（1），f ′（2）的值，求出a ，b ，列出表格，求出函数的单调区间，求出极值点；（Ⅱ）求出a=﹣b ，问题转化为a ≥（x ∈[1，e ]），根据函数的单调性求出a 的范围即可；（Ⅲ）求出h （x ）=alnx +x 2，通过讨论a 的范围，求出函数的最小值，从而得到对应的x 的值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f ′（x ）=+bx +1，f ′（1）=a +b +1=0①，f ′（2）=a +2b +1=0②．由①②解得：a=﹣，b=﹣．此时f （x ）=﹣lnx ﹣x 2+x ，f ′（x ）=，所以，在x=1取得极小值，在x=2取得极大值；（Ⅱ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，则f′（1）=a+b+1=1，则a=﹣b，故f（x）=alnx﹣x2+x，若f（x）﹣x=alnx﹣x2≤（a+2）（﹣x2+x）成立，则a（x﹣lnx）≥x2﹣2x成立，∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0．因而a≥（x∈[1，e]）．令g（x）=（x∈[1，e]），又g′（x）=，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数．故g（x）的最大值为g（e）=，所以实数a的取值范围是[，+∞）．（Ⅲ）h（x）+x=f（x）+（1﹣）x2⇒h（x）=alnx+x2，h′（x）=（x＞0），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]，若a≥﹣2，h′（x）在[，1e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，h′（x）=0），故函数h（x）在[1，e]上是增函数，此时[h（x）]min=f（1）=1，若﹣2e2＜a＜﹣2，当x=时，h′（x）=0；当1≤x＜时，h′（x）＜0，此时h（x）是减函数；当＜x≤e时，h′（x）＞0，此时h（x）是增函数．故[h（x）]min=f（）=ln（﹣）﹣，若a≤﹣2e2，h′（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f′（x）=0），故函数h（x）在[1，e]上是减函数，此时[h（x）]min=h（e）=a+e2，综上可知，当a≥﹣2时，h（x）的最小值为1，相应的x值为1；为；。
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天津市红桥区2017-2018学年高二下学期期中考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、计算复数2(iii是虚数单位） A．12i B．12i C．12i D．12i 2、函数21yx的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为 A．1 B．2 C．0 D．-1 3、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为 A．②①③ B．③①② C．①②③ D．②③① 4、设lnfxxx，若0(3)fx，则0x A．2e B．e C．ln22 D．ln2 5、20cosxdx等于 A．32 B．12 C．32 D．12 6、若sincosfxx，则f等于 A．sin B．cos C．sincos D．2sin 7、函数(3)xfxxe的单调区间是 A．(,2) B．(2,) C．1,4 D．0,3 8、设函数fx是函数fx的导函数，yfx的图象如图所示，则yfx的图象最有可能的是 9、函数3239(04)yxxxx有 A．极大值5，极小值-27 B．极大值5，极小值-11 C．极大值5，无极小值 D．极小值-27，无极大值 10、已知函数fx在R上满足122(2)xfxfxex，则1f A．2 B．3 C．-1 D．1
第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。. 11、核黄素sin2fxx，则函数的导函数为fx
12、复数12,ziz 13、在ABC中，不等式1119ABC成立，在四边形ABCD中，不等式1111162ABCD成立；在五边形ABCDE中，不等式11111253ABCDE成立， 猜想在n边形12nAAA中，有 不等式成立。
14、把复数z的共轭复数记作z，已知(1)1izi，则z 15、函数322yxxx图象在于y轴交点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为 三、解答题：本大题共5小题，满分50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分10分） 当实数m取何值时，在复平面内与复数22(4)(6)zmmmmi对应点满足下列条件？ （1）在第四象限； （2）在直线30xy上。
17、（本小题满分10分） 用数学归纳法证明21122221()nnnN
18、（本小题满分10分） 已知函数323911fxxxx （1）求函数fx的递减区间； （2）讨论函数fx的极大值或极小值，如有写出极值。 19、（本小题满分10分） 设函数322338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值。 （1）求,ab的值； （2）对于任意的0,3x，求fx的最值。
20、（本小题满分10分） 已知2x是函数2(23)xfxxaxae的一个极值点(2.718)e。 （1）求实数a的值； （2）求函数fx在3[,3]2x的最大值和最小值。
四、附加题（共3道题，共30分） 21、（本小题满分10分） 用数学归纳法证明11125123124nnn对任意正整数n成立。
22、（本小题满分10分） 已知二次函数fx满足：①在1x时有极值；②图象过点(0,3)，且在该点处的切线与直线20xy平行。 （1）求fx的解析式； （2）求函数2()gxfx的单调递增区间。 23、（本小题满分10分） 已知函数1ln(1),01xfxaxxx，其中0a。 （1）若fx在1x处取得极值，求a的值； （2）求fx的单调区间。
天津市红桥区2017-2018学年高二下学期期中考试 数学（理）试题答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A C A B C D D 二．填空题
11. 2cos2x 12.5 13. )2(,)2-(nn111221NnnAAAn且 14
.i
15.2 三．解答题 16解：复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点的坐标为Z(m2－4m，m2－m－6)．
(Ⅰ)点Z在第四象限，则
3240,060422mmmmmmm或
解得
∴-2 (Ⅱ)点Z在直线x－y＋3＝0上， 则(m2－4m)－(m2－m－6)＋3＝0， 即－3m＋9＝0，∴m＝3. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
17. ①当n=1时，左边=1，右边=121=1，等式成立。„„„„„„„„„„...2分 ②假设当n=k时，等式成立，即21122221kk„„„„„„„„„.4分 则当n=k+1时，2111222221221kkkkk„„„„„„„.8分 所以，当n=k+1时等式成立。 由此可知，对任何*nN，等式都成立。. „„„„„„„„„„„„10分
18. 解：令0)('xf，得11x，31x„„„„„„„„„„„„„„„2分 x变化时，)('xf的符号变化情况及()fx的增减性如下表所示：
x )1,( -1 )3,1( 3 ),3( )('xf + 0 - 0 +
)(xf 增 极大值)1(f 减 极小值)3(f 增
„„„„„„„„„„„..6分 （Ⅰ）由表可得函数的递减区间为)3,1( „„„„„„„„„„„..8分 （Ⅱ）由表可得，当1x时，函数有极大值16)1(f； 当3x时，函数有极小值16)3(f. „„„„„„„„..10分
19. 解：（Ⅰ）2()663fxxaxb，
因为函数()fx在1x及2x取得极值， 则有(1)0f，(2)0f．
即6630241230abab，． 解得3a，4b．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„.4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128fxxxxc， 2()618126(1)(2)fxxxxx．0)(xf解得,2,1xx„„„„.6分
x 1.0 1 )2,1( 2
3,2
)(xf 0 - 0
)(xf 增 极大值 减 极小值 增 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 最小值为cf8)0(,最大值为cf89)3(.„„„„„„„„„„„„„„„„10分 20解：（I）由2()(23)xfxxaxae可得 22()(2)(23)[(2)3]xxxfxxaexaxaexaxae„„„..4分
∵2x是函数()fx的一个极值点，∴(2)0f ∴2(5)0ae，解得5a „„„„„..6分 （II）由0)1)(2()(xexxxf，得)(xf在)1,(递增，在),2(递增， 由0)(xf，得)(xf在在)2,1(递减
∴2)2(ef是()fx在]3,23[x的最小值； „„„„„„„.8分
2347)23
(ef，3)3(ef
∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233ffeeeeeff ∴()fx在]3,23[x的最大值是3)3(ef．„„„„„„„„„„„„„10分
附加题 1证明:(1)当1n时,左=24252426413121,不等式成立„„„„„„„„„„.2分 （2）假设当nk时，不等式成立，即11125123124kkk．„„„„„4分
则当1nk时， 有111(1)1(1)23(1)1kkk
111111112313233341kkkkkkk
251122432343(1)kkk
．
因为2116(1)2323491883(1)kkkkkk， 所以2116(1)2323491883(1)kkkkkk， 所以112032343(1)kkk．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 所以当1nk时不等式也成立． 由（1）（2）知，对一切正整数n，都有11125123124nnn， „„„„10分