高一数学高分1：第3章指数函数的概念及其性质 Word版含答案
高一数学 指数函数及其性质
指数函数及其性质(一)学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域.知识点一指数函数思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y ＝x2有什么不同？答案y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来.梳理一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.特别提醒：(1)规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数.②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.③a x的系数必须为1.④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数.知识点二指数函数的图象和性质思考函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？答案函数性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般.梳理指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质：R类型一 求指数函数的解析式例1 已知指数函数f (x )的图象过点(3，π)，求函数f (x )的解析式. 解 设f (x )＝a x ，将点(3，π)代入，得到f (3)＝π， 即a 3＝π，解得a ＝13π，于是f (x )＝3πx .反思与感悟 根据指数函数的定义，a 是一个常数，a x 的系数为1，且a >0，a ≠1.指数位置是x ，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数.要求指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的解析式，只需要求出a 的值，要求a 的值，只需一个已知条件即可. 跟踪训练1 已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1,2)，求a ，b 的值.类型二 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域 命题角度1 f (a x )型例2 求下列函数的定义域、值域. (1)y ＝3x 1＋3x ；(2)y ＝4x －2x＋1. 解 (1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R,3x ≠－1). ∵y ＝(1＋3x )－11＋3x＝1－11＋3x ， 又∵3x >0,1＋3x >1， ∴0<11＋3x <1，∴－1<－11＋3x<0， ∴0<1－11＋3x <1，∴值域为(0,1).(2)函数的定义域为R ， y ＝(2x )2－2x ＋1＝(2x －12)2＋34，∵2x >0，∴2x ＝12，即x ＝－1时，y 取最小值34，同时y 可以取一切大于34的实数，∴值域为[34，＋∞).反思与感悟 解此类题的要点是设a x ＝t ，利用指数函数的性质求出t 的范围.从而把问题转化为y ＝f (t )的问题.跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域. (1)y ＝1－(12)x ；(2)y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1).命题角度2 a f (x )型 例3 求函数y ＝32x －1－19的定义域、值域.解 要使函数有意义， 则x 应满足32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2.∵y ＝3x 在R 上是增函数， ∴2x －1≥－2，解得x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 当x ∈⎣⎡⎭⎫－12，＋∞时，32x －1∈⎣⎡⎭⎫19，＋∞. ∴32x －1－19∈[0，＋∞).∴原函数的值域为[0，＋∞).反思与感悟 y ＝a f (x )的定义域即f (x )的定义域，求y ＝a f (x )的值域可先求f (x )的值域，再利用y ＝a t 的单调性结合t ＝f (x )的范围求y ＝a t 的范围.跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域：(1)y ＝110.3x -；(2)y ＝类型三 指数函数图象的应用 命题角度1 指数函数整体图象例4 在如图所示的图象中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )答案 A解析 根据图中二次函数图象可知c ＝0， ∴二次函数y ＝ax 2＋bx ，∵ba >0，∴二次函数的对称轴为x ＝－b2a<0， 排除B 、D.对于A ，C ，都有0<b a <1，∴－12<－b2a <0，C 不符合.故选A.反思与感悟 函数y ＝a x 的图象主要取决于0<a <1还是a >1.但前提是a >0且a ≠1. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝4＋a x ＋1的图象经过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(－1,5) B.(－1,4) C.(0,4) D.(4,0)命题角度2 指数函数局部图象例5 若直线y ＝2a 与局部函数y ＝|2x －1|的图象有两个公共点，求实数a 的取值范围.解 y ＝|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x <0，2x －1，x ≥0，图象如下：由图可知，要使直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点，需0<2a <1，即0<a <12.反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用.跟踪训练5 函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )1.下列各函数中，是指数函数的是( ) A.y ＝(－3)x B.y ＝－3x C.y ＝3x －1D.y ＝(13)x2.若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A.a >0，且a ≠1 B.a ≥0，且a ≠1 C.a >12，且a ≠1D.a ≥123.函数y ＝23x 的值域是( )A.(0，＋∞)B.(－∞，0]C.(0,1]D.[－1,0)4.函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0 5.函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A.(－3,0]B.(－3,1]C.(－∞，－3)∪(－3,0]D.(－∞，－3)∪(－3,1]1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)这一结构形式，即a x 的系数是1，指数是x 且系数为1.2.指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的性质分底数a ＞1,0＜a ＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.3.由于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的定义域为R ，即x ∈R ，所以函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同.4.求函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的值域的方法如下： (1)换元，令t ＝f (x )，并求出函数t ＝f (x )的定义域；(2)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(3)利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t 在t ∈M 上的值域.课时作业一、选择题1.若函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则( ) A.a ＝1或a ＝2 B.a ＝1 C.a ＝2D.a >0且a ≠12.函数y ＝a x －a (a >0且a ≠1)的大致图象可能是( )3.设指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则下列等式中不正确的是( ) A.f (x ＋y )＝f (x )f (y ) B.f (x －y )＝f (x )f (y )C.f (nx )＝[f (x )]n (n ∈Q )D.[f (xy )]n ＝[f (x )]n [f (y )]n (n ∈N *)4.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x ，x ≥0，则f (f (－1))等于( )A.1B.2C.4D.85.一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为( ) A.na (1－b %) B.a (1－nb %) C.a [1－(b %)n ]D.a (1－b %)n6.如图所示，面积为8的平行四边形OABC 的对角线AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a 等于( ) A. 2 B.3 C.2 D.3二、填空题7.函数y ＝32－2x 的定义域是________. 8.函数y ＝3x 与y ＝(13)x 的图象关于________对称.9.已知5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab 与0的大小关系是________.10.给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (x )的值域为________.三、解答题11.求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝31－x ；(2)y ＝5－x －1.12.已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，在区间[1,2]上的最大值为m ，最小值为n . (1)若m ＋n ＝6，求实数a 的值； (2)若m ＝2n ，求实数a 的值.13.已知x ∈[－3,2]，求f (x )＝14x －12x ＋1的最小值与最大值.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有( ) A.a >1，且b <1 B.0<a <1，且b <0 C.0<a <1，且b >0D.a >1，且b <015.已知函数f (x )＝a x －1 (x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )＋1(x ≥0)的值域.指数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法.知识点一 不同底指数函数图象的相对位置思考 y ＝2x 与y ＝3x 都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？ 答案 经描点观察，在y 轴右侧，2x ＜3x ，即y ＝3x 图象在y ＝2x 上方，经(0,1)点交叉，位置在y 轴左侧反转，y ＝2x 在y ＝3x 图象上方.梳理 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图. (2)指数函数y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x(a ＞0且a ≠1)的图象关于y 轴对称. 知识点二 比较幂的大小思考 若x 1＜x 2，则1xa 与2xa (a ＞0且a ≠1)的大小关系如何？ 答案 当a ＞1时，y ＝a x 在R 上为增函数，所以1xa ＜2xa ， 当0＜a ＜1时，y ＝a x 在R 上为减函数，所以1x a ＞2xa . 梳理 一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断. 知识点三 解指数方程、不等式思考 若1xa ＜2xa ，则x 1，x 2的大小关系如何？答案 当f (x )在区间[m ，n ]上单调递增(减)时，若x 1，x 2∈[m ，n ]，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2). 所以，当0＜a ＜1时，1xa ＜2xa ⇔x 1＞x 2， 当a ＞1时，1xa ＜2xa ⇔x 1＜x 2. 此原理可用于解指数方程、不等式. 梳理 简单指数不等式的解法：(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x 的单调性求解；(2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解； (3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x ，y ＝b x 的图象求解. 知识点四 与指数函数复合的函数单调性思考 y ＝112x⎛⎫⎪⎝⎭的定义域与y ＝1x 的定义域是什么关系？y ＝112x⎛⎫⎪⎝⎭的单调性与y ＝1x 的单调性有什么关系？ 答案 由于y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，故y ＝112x⎛⎫⎪⎝⎭的定义域与y ＝1x 的定义域相同，故研究y ＝112x⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，只需在y ＝1x 的定义域内研究.若设0＜x 1＜x 2，则1x 1＞1x 2，1112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜2112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，不等号方向的改变与y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝1x的单调性均有关. 梳理 一般地，有：形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)函数的性质 (1)函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有相同的定义域.(2)当a >1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性；当0<a <1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反.类型一 解指数方程 例1 解下列方程. (1)81×32x ＝⎝⎛⎭⎫19x ＋2； (2)22x ＋2＋3×2x －1＝0. 解 (1)∵81×32x ＝⎝⎛⎭⎫19x ＋2， ∴32x ＋4＝3－2(x ＋2)，∴2x ＋4＝－2(x ＋2)， ∴x ＝－2.(2)∵22x ＋2＋3×2x －1＝0， ∴4×(2x )2＋3×2x －1＝0.令t ＝2x (t ＞0)，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0， 解得t ＝14或t ＝－1(舍去).∴2x ＝14，解得x ＝－2.反思与感悟 (1)a f (x )＝b 型通常化为同底来解.(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围.转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍. 跟踪训练1 解下列方程. (1)33x －2＝81； (2)5x ＝325； (3)52x －6×5x ＋5＝0.类型二 指数函数单调性的应用 命题角度1 比较大小例2 比较下列各题中两个值的大小. (1)1.7－2.5，1.7－3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.解 (1)∵1.7＞1，∴y ＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数. ∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x 的图象位于y ＝1.5x 的图象的上方. 而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3. 方法二 ∵1.50.3＞0，且1.70.31.50.3＝⎝⎛⎭⎫1.71.50.3， 又1.71.5＞1,0.3＞0，∴⎝⎛⎭⎫1.71.50.3＞1，∴1.70.3＞1.50.3. (3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1， ∴1.70.3＞0.83.1.反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1. 跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小. (1)0.8－0.1，1.250.2；(2)⎝⎛⎭⎫1π－π，1.命题角度2 解指数不等式例3 解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1). 解 (1)当0<a <1时，∵a 2x ＋1≤a x －5， ∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6. (2)当a >1时，∵a 2x ＋1≤a x －5， ∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}；当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}.反思与感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.跟踪训练3 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是 .命题角度3 与指数函数复合的单调性问题例4 (1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17的单调区间；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －8·⎝⎛⎭⎫12x ＋17的单调区间. 解 (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17的定义域为R .在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减函数，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17在(－∞，3]上是增函数.在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增函数，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是减函数.∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－6x ＋17的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞).(2)设t ＝⎝⎛⎭⎫12x >0，又y ＝t 2－8t ＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增.令⎝⎛⎭⎫12x ≤4，得x ≥－2.∴当－2≤x 1<x 2时，4≥112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭>212x⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17.∴y ＝⎝⎛⎭⎫122x －8·⎝⎛⎭⎫12x ＋17的单调增区间是[－2，＋∞). 同理可得减区间是(－∞，－2].反思与感悟 复合函数单调性问题归根结底是由x 1<x 2到f (x 1)与f (x 2)的大小，再到g (f (x 1))与g (f (x 2))的大小关系问题.跟踪训练4 求下列函数的单调区间.(1)y ＝223x x a +-；(2)y ＝10.2x －1.1.若a ＝120.5，b ＝130.5，c ＝140.5，则a 、b 、c 的大小关系是( )A.a ＞b ＞cB.a ＜b ＜cC.a ＜c ＜bD.b ＜c ＜a 2.方程42x －1＝16的解是( )A.x ＝－32B.x ＝32C.x ＝1D.x ＝2 3.函数f (x )＝2112x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间为( )A.(－∞，0]B.[0，＋∞)C.(－1，＋∞)D.(－∞，－1)4.设0＜a ＜1，则关于x 的不等式2232x x a -+＞2223x x a +-的解集为 .5.若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝ .1.比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性.(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c 且c >b n ，则a m >b n .2.解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x >a y 的不等式，可借助y ＝a x 的单调性求解.如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况进行讨论.(2)形如a x >b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解.(3)形如a x >b x 的不等式，可借助图象求解.3.(1)研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1.当a >1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相同.当0<a <1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相反.(2)研究y ＝f (a x )型单调区间时，要注意a x 属于f (u )的增区间还是减区间.课时作业一、选择题1.设x <0，且1<b x <a x ，则( )A.0<b <a <1B.0<a <b <1C.1<b <aD.1<a <b2.函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A.6B.1C.3D.323.已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的关系为( ) A.m ＋n <0 B.m ＋n >0C.m >nD.m <n 4.若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]5.设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( ) A.y 3>y 1>y 2B.y 2>y 1>y 3C.y 1>y 2>y 3D.y 1>y 3>y 2 6.设f (x )＝|3x －1|，c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )，则下列关系式中一定成立的是( )A.3c <3bB.3c >3bC.3c ＋3a >2D.3c ＋3a <2 二、填空题7.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－4x －5的单调递减区间是 .8.已知0.2x ＜25，则x 的取值范围为 .10.若4x ＋2x ＋1＋m >1对一切实数x 成立，则实数m 的取值范围是 .三、解答题11.已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>0；(2)当a ＝12，x ∈[0,2]时，求f (x )的值域.12.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，求不等式f (x )<－12的解集.13.已知函数f (x )＝1－2x2x ＋1. (1)判断函数f (x )的奇偶性并证明；(2)当x ∈(1，＋∞)时，求函数f (x )的值域.四、探究与拓展14.设f (x )满足f (x )＝f (4－x )，且当x >2时，f (x )是增函数，则a ＝f (1.10.9)，b ＝f (0.91.1)，c ＝f (2)的大小关系是 .(按由大到小排列)15.已知函数f (x )＝3x ＋k ·3－x 为奇函数.(1)求实数k 的值；(2)若关于x 的不等式f (2219ax x --)＋f (1－3ax －2)<0只有一个整数解，求实数a 的取值范围.。
高一数学指数函数及其性质(新201907)
国正又问了爹几句家里的情况，叮嘱爹娘多照顾好自己的身体，便挂了电话。可挂完电话，他再也无心跑步，只好将自己交给路灯和夜月，任它们将自己孤单的影子拉短复再拉长。
不是国正记仇，只是十多年来围绕自己和这一大家子所发生的事儿让他无法释怀。
国正十九岁离家，扳指头算算，已经有二十来个年头了。对于家，他自觉是有亏欠的，但这个亏欠也仅限于父母。对于哥、弟，他不愿提起，觉得他们太过于狭隘和自私，那种狭隘和自私的程度立马烧了起来。百家补第三张牌规则牌
“他们拾闺女，自己直接打电话给我说就是了嘛，他是冇我微信还是冇我电话，让您给我捎的哪门子话？哦，他这会儿又想起我来了，不是年里头孩儿结婚才办我丢完人嘛，这转过脸儿就忘得一干 二净了？这怕不是他想起还有我这个兄弟了，而是想让我再给他随礼吧？我呀，吃一堑长一智，想让我再出钱，冇门儿！一大早就搁那儿发朋友圈，我看见了，就是冇理他！这事儿您就别管了，我等他 自己给我打电话，我倒要看看他好意思不！”
高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第1课时指数函数的概念图象和性质课件北师大版必修第一册
知识点2 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
图象和性质
图象
a>1
0<a<1
图象和
性质
a>1
0<a<1
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
性质
(4)当x<0时,0<y<1;
(4)当x<0时,y>1;
当x>0时,y>1
当x>0时,0<y<1
(5)在R上是增函数
f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定
点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
角度2画指数型函数的图象
【例3】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎
样的变换得到的.
变式探究
比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,
则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.
变式探究
本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4,其他条件不变,求点P的坐标.
解令 3x-2=0,得
2
x= ,此时
3
2
f( )=5×a0+4=9,故函数
高一数学必修教学课件第三章指数函数的图像和性质
对于形如$y = a^{bx}$的指数函数，可以通过伸缩基本指数函数的图像得到。具体地，当$b > 1$时，图像在纵 坐标方向上进行压缩，同时在横坐标方向上进行拉伸；当$0 < b < 1$时，图像在纵坐标方向上进行拉伸，同时 在横坐标方向上进行压缩。
图像特点总结与对比分析
指数函数图像特点
THANKS
感谢观看
阅读材料
推荐了一些与指数函数相 关的阅读材料，供学生课 后阅读，以拓宽视野。
下节课预习内容提示
下节课内容
简要介绍了下节课将要学 习的内容，包括指数函数 的运算性质和应用等。
预习要求
要求学生提前预习下节课 的内容，了解指数函数的 运算性质和应用场景，为 下节课的学习做好准备。
问题思考
提出了一些与下节课内容 相关的问题，引导学生进 行思考和预习。
解析
考察指数函数$y = 1.7^{x}$的单调性，由于底数大于1，函数在全体实数范围 内单调递增。因此，$1.7^{3} > 1.7^{2.5} > 1.7^{-1.5}$。
例题2
已知函数$f(x) = a^{x}(a > 0$且$a neq 1)$在区间$[-1,2]$上的最大值为4，最 小值为$m$，且函数$g(x) = (1 - 4m)sqrt{x}$在区间$[0, + infty)$上是单调函 数，求$a$和$m$的值。
明确任务要求
教师需要向学生明确任 务的要求，包括任务的 目标、完成时间、提交 方式等。
学生自主查阅资料及整理成果展示
1 2 3
学生自主查阅资料
学生可以利用图书馆、互联网等资源，自主查阅 与指数函数相关的资料，包括教材、参考书、学 术论文等。
高一数学指数函数及其性质(新201907)
其实，我很想在家里过除夕，总觉得那样才有团圆的味道。但我爱人在部队政治处当干事，这不，除夕一大早，他打来电话说，政委让他负责安排官兵文化活动，无法回家，让我带女儿去部队过年。 虽然语气柔软，却不容商量。
当然，我很幸运地生活在三班，与来自7省的同学结成了兄毕业三十年后在厦门聚首，开全队班聚会的先河。今年7月，三班和四班同学又在山西大同 聚会，谱写了同学加兄弟的新篇章！百家补第三张牌规则牌
待有时间了，我得好好写写三班的室友兄弟，把他们对一名老兵的尊重、帮助和支持跃然于纸，再现求学岁月的风景。是他们既帮助我，又陪伴我走过了两年幸福的求学时光！是永远值得记住的幸 福时光，是再也不能重复的快乐时光
当我和女儿来到营区招待所时，我爱人刚从炊事班打回一饭盒香喷喷的饭菜。他笑着对我说：“这几天，我们安排了篮球、围棋等文体活动。晚饭后，我跟值班首长到各单位看看情况，一会儿就回 来了。明天带你们去哨所和战士们一起包饺子，这才是有意义的春节。”唉，他这个人呀，满脑子都是工作！
高中数学(北师大版)必修1 名师课件：第三章 §3 第一课时 指数函数的概念、图像和性质
有意义，只需1－x≥0，
即x≤1，所以函数的定义域为(－∞，1]． 设y＝3u，u＝ 1－x，则u≥0， 由函数y＝3u在[0，＋∞)上是增函数，得y≥30＝1， 所以函数的值域为[1，＋∞)． (2)函数y＝5－x－1对任意的x∈R都成立， 所以函数的定义域为R.因为5－x＞0， 所以5－x－1＞－1，所以函数的值域为(－1，＋∞).
2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像与性质
a＞1 图像
0＜a＜1
性 质 函数值的 变化 单调性
定义域 值域 定点
R ____ (0，＋∞) _________
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 y＞1 ；x＜0 x＞0时，0＜y＜1； x＞0时，______ y＞1 时，0＜y＜1 x＜0时，____ 是R上的________ 是R上的______ 增函数 减函数
2．下列函数中是指数函数的是 A．y＝3x－2 B．y＝2· 5x C．y＝5x
＋2
(
)
D．y＝(a＋2)x(a＞－2，且a≠－1)
答案：D
3．函数y＝3x与y＝3－x的图像关于下列哪种图形对称( A．x轴 C．直线y＝x B．y轴 D．原点
)
答案：B
1 4．已知指数函数f(x)的图像过点4，16，则f(－3)＝______.
[点睛] 研究函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图像和性质时，一定要 注意 a 的取值范围．
[小试身手]
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)＝2x－1是指数函数． (2)指数函数y＝ax是单调函数． (3)当x＞0时，ax＞1；当x＜0时，ax＜1. (4)指数函数y＝ax既不是奇函数，也不是偶函数． ( × ) ( √ ) ( × ) (√ )
03-第三节 指数函数高中数学必修一北师大版
−2 + 1, < 0
如图1所示,则由图象易得 ∈ 0,1 .
（2）若曲线 = 2 − 1与直线 = 有两个公共点，则实数的取值范围
0, +∞
是________；
【解析】 作出曲线 = 2 − 1,如图2所示,则由图象易得 ∈ 0, +∞ .
（3）若曲线 = 2 + 1与直线 = 没有公共点，则实数的取值范围是
示,故 的图象不过第一象限. （【另解】也可由函数 = 2 − 3+1单调
递减且其图象过定点 0, −1 和 −1,1 知 的图象不过第一象限）故选A.
8.函数① = ；② = ；③ = ；④ =
的图象如图所示，，，，分别是下列四个
以函数 = − 的图象一定经过第二、三、四象限.故选D.
变式已知函数 = −3 + 1( > 0，且 ≠ 1)的图象恒过点 , ，
则函数 = − +1 的图象不经过( A )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】 在函数 = −3 + 1( > 0且 ≠ 1)中,当
5
数： ，
4
1 1
3， ， 中的一个，则，，，的值分
3 2
别是( C )
5
A. ，
4
1 1
3， ，
3 2
B.
5 1 1
3， ， ，
4 2 3
1 1
C. ， ，
2 3
5
3，
4
1 1 5
D. ， ， ，
3 2 4
3
【解析】 直线 = 1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为,,,,
高一数学指数函数及其性质(新201907)
一线天，顾名思义，通道狭窄，岩壁陡峭，抬头望天只有一线。实际上，大峡谷的一线天并不是一条直线，是一条弯弯曲曲的线，也不可能是一条直线，只是取名而已。步入其中，整个人被高崖包 围，高崖拔地而起，高耸入云天，通道狭窄，特别压抑，道路在一线天中拐弯，光线幽暗，周围怪石嶙峋，窄处侧身而过，有趣又奇特。
只要你留心，身边处处是风景，在大峡谷，在七星寨，双目所及之处都是风景，可能是一块奇石，一座独峰，也可能是一只响彻山谷，众人开心的学鸟叫声。每个人看过“横看成岭侧成峰，远近高 低各不同”的不一样后，风景只是变了一个模样，换了一种风采。
大峡谷到底有多高，我想告诉大家，快要与天齐，直插云霄了，如能攀登，定不负美景。山顶最高海拔1800米，地缝海拔1400米左右，落差大，极富观赏性。我们来是晴天，阳光普照，光线哪儿都 好。据说雨游大峡谷，又是另一番景象，雨天的大峡谷，云海翻腾，仿佛天上人间，如遇雨过天晴，还能看到彩虹，大片云海，在阳光照耀下，似大片雪原，薄雾缭绕，恍如仙境。
2024版高一数学指数函数及其性质PPT课件图文
学习方法建议
深入理解指数函数的概念
掌握指数函数的定义、图像和性质， 理解底数、指数和幂的含义。
多做练习题
通过大量的练习题，加深对指数函数 的理解和掌握，提高解题能力。
系统学习指数函数的运算
学习指数函数的四则运算，掌握运算 规则和技巧。
解题技巧分享
换元法
通过将指数函数中的变量 进行换元，简化问题，使 问题更容易解决。
指数函数在数学模 型中的应用举例
在经济学中，指数函数被用来描 述复利、折旧等问题；在物理学 中，指数函数被用来描述放射性 元素的衰变等问题；在工程学中， 指数函数被用来描述材料的疲劳 寿命等问题。
数学模型在解决实际问题中的价值
提高解决问题的效率
揭示问题的本质和规律
通过建立数学模型，可以将实际问题转化为 数学问题，利用数学方法和技术进行求解， 从而提高解决问题的效率。
05
指数函数与数学模型
数学模型简介
01
数学模型的定义
数学模型是描述客观事物或它的本质和本质的一系列数学形 式。它或能利用现有的数学形式如数学公式、数学方程、数 学图形等加以表述，或能抽象出数学的基本概念和基本结构。
02
数学模型的分类
根据研究目的，可以将数学模型分为描述性模型和预测性模 型。
03
数学模型的作用
指数方程求解
通过对方程两边取相同的底数的对数或者 利用换元法等方法求解指数方程。
指数函数性质应用
利用指数函数的单调性、奇偶性、周期性 等性质解决相关问题。
03
指数函数性质探究
单调性
01
指数函数的单调性取决于底数a的 大小
02
当a>1时，指数函数在整个定义 域上是增函数；
高一数学指数与指数函数试题答案及解析
高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.设函数则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，由，可得，即；当时，由，可得，即，综上.故选C【考点】函数的求值.2.若，则在，，，中最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由指数函数的性质，得，；由幂函数的性质得，因此最大的是.【考点】指数函数和幂函数的性质.3.若函数有两个零点，则实数a的取值范围为【答案】【解析】研究函数与函数图像交点个数.当时，由于直线在轴的截距大于，所以函数与函数图像在及时各有一个交点. 当时，由于单调减，直线单调增，所以函数与函数图像只3在时有一个交点.【考点】指数函数图像4.．【答案】【解析】原式=【考点】指数与对数5.设函数y＝x3与的图像的交点为(x0，y)，则x所在的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【答案】B【解析】由函数知识知函数y＝x3与的图像的交点为(x0，y)的横坐标x即为方程的解，也是函数函数=的零点，由零点存在性定理及验证法知＜0，故x0在区间（1,2）内.由题知x是函数=的零点，∵==-7＜0，故选B.【考点】函数零点与函数交点的关系，零点存在性定理6.函数在上的最大值比最小值大，则 .【答案】【解析】因为，根据指数函数的性质可知在单调递增，所以最大值为，最小值为，依题意有即，而，所以.【考点】指数函数的图像与性质.7.已知指数函数（且）的图像过点，则实数___________.【答案】【解析】因为指数函数（且）的图像过点，则，得.【考点】指数函数的定义.8.设，且，则= ( )A．100B．20C．10D．【答案】A【解析】由题设,得,则,同理有,又,得,即,所以.故正确答案为A.【考点】指数式、对数式的运算9.函数在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为．【答案】4【解析】因为在[0,1]上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以在 [0,1]单调递增，所以y的最大值为，最小值为，所以最大值和最小值之和为4.【考点】指数函数和对数函数的单调性及利用单调性求最值10. (1)计算：（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）此题主要考查学生对指数运算法则、对数运算性质的掌握情况，以及对指数式、对数式整体与局部的认识，属基础题；（2）经过审题，若从已知条件中求出难度较大，由指数运算法则知，，所以所求式子中的，. 试题解析：（1）原式＝ 6分（2）因为得得所以原式＝ 12分【考点】1.指数运算法则；2.对数运算性质.11.（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】(1)初中所学单项式与多项式的运算法则和乘法公式，当指数变成分数时仍然适用；（2）对数的运算一般要转化为同底数的对数才能运用对数的运算法则．试题解析：（1）；（2）原式＝．【考点】（1）指数的运算；（2）对数的运算．12.集合A是由适合以下性质的函数构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数，都有.（1）试判断=及是否在集合A中，并说明理由；（2）设ÎA且定义域为(0，+¥)，值域为(0，1)，，试写出一个满足以上条件的函数的解析式，并给予证明.【答案】（1），；（2）【解析】（1）根据题目给出的性质对函数与进行判断即可；（2）可以模仿（1）中的函数进行寻找，或者可以这么找，因为我们学了指数、对数、幂函数，而（1）中已经出现了对数函数与幂函数，所以是否可以考虑从指数函数中寻找．试题解析：（1），. 2分对于的证明. 任意且，即. ∴ 4分对于，举反例：当，时，，，不满足. ∴. 7分⑵函数，当时，值域为且. 9分任取且，则即. ∴. 14分【考点】1．函数性质；2．新定义型解答题；3．指数函数、对数函数、指数函数．13.三个数的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，故，选D.【考点】指数、对数函数性质.14.已知函数（1）若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式；（3）若，求的最大值.【答案】（1）（2）；②；③，，（3）【解析】（1）令，即成立 1分的最小值为0，当时取得 4分5分（2），令 6分① 7分② 8分③ⅰ 9分ⅱ 10分（3）令则12分13分，的最大值为 14分【考点】二次函数点评：主要是考查了二次函数的最值以及不等式的性质的运用，属于基础题。
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指数函数的概念及其性质
一、单选题(共11道，每道9分)
1.若函数满足，则的值为( )
A.B.
C.D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算
2.若函数是指数函数，则的值为( )
A.2 B.
C.D.-2
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算
3.函数的定义域是( )
A.(-∞，2] B.["0，2"]
C.(-∞，2) D.(0，2]
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的定义域
4.函数的值域是( )
A.B.
C.D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域
5.若，则函数的值域是( )
A.B.
C.D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域
6.若函数的图象恒过定点(1，2)，则b的值
为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质
7.不论a是何值，函数恒过一定点，这个定点坐标是( )
A.B.
C.D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质
8.若函数的图象在第一、三、四象限，则有
( )
A.，B.，
C.，D.，
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质
9.函数在上是( )
A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用
10.函数在上的最小值为( )
A.-1 B.0
C.2 D.10
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用
11.已知函数，，若有，则b的取值范围是
( )
A.B.
C.D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数综合题