2020届南京市金陵中学高三下5月联考数学试题(含答案)
南京市金陵中学2020届高三数学检测卷(7)
4．函数 y＝log2(6＋x－2x2)的单调减区间为___▲_____．(14，2) 5．从 0，1，2，3 这四个数字中一次性随机取两个，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则
所得两位数为偶数的概率为___▲ _____．59
2x＋a，x＞2，
6．设函数
f(x)＝
x＋a2，x≤2．
若
f(x)的值域为
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－m2－1≤0 ∴－m2＋2m－2≥－3
，解得 1－
－m2－1＞－m2＋2m－2
2≤m＜12．
13．已知数列{an}满足 a1＝12，an－1－an＝na(nn－＋1a1n)(n≥2)，则数列{an}的通项公式为___▲_____．an＝25nn＋＋23
解析：∵an－1－an＝na(nn－＋1a1n)(n≥2)，∴aan－n－1－1anan＝n(n1＋1)，∴a1n－an1－1＝1n－n＋1 1．
(2)求SS12的最小值．
解 (1)因为 C 在圆上，所以∠ACB＝90°，又∠ABC＝θ，则 AC＝2Rsinθ，BC＝2Rcosθ，
则 S2＝12AC•BC＝2R2sinθcosθ＝R2sin2θ．
(3 分)
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设 AB 的中点为 O，连结 MO，NO，则 MO⊥AC，NO⊥BC．
9．若 cos(4π－α)＝35，则 sin2α 的值为___▲_____．－275
→→
→
→
→ →→ →→
10．已知向量 AB 与AC 的夹角为 60°，且|AB|＝3，|AC|＝2，若 AP ＝λ AB ＋ AC，且 AP ⊥ BC ，则实
数 λ 的值为___▲_____．16 11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－1，0)，B(1，0)均在圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2 外，且圆
南京市金陵中学2020届高三数学检测试卷(2)无答案
金陵中学2020届高三数学检测卷（2）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知全集U ＝{－1，0，2，3}，集合A ＝{－1，2，3}，则∁U A ＝▲________．2．若复数z ＝(1＋3i)2，其中i 为虚数单位，则z 的模为▲________．3．执行如图所示的算法流程图，则输出的b 的值为▲________．4．如图，这是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图， 则平均成绩较小的那一位同学的平均成绩为▲________．5．将黑、白两个小球随机放入编号分别为1，2，3的三个盒子 中，则黑、白两个小球在同一个盒子里的概率为▲________．6．关于x 的不等式lg(2x －4)＜1的解集为▲________．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为▲________．8．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f (2φ)的值为▲________．9．在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1d 的值为▲________．10．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 满足→DC ＝2→BD ，则→AD ·→DC 的值为▲_____．11．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于▲________．12．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，则x ＋2xy 的最小值为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是▲________．14．已知函数f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝a x ．若对任意的x 1∈R ，存在 x 2＞x 1，使得f (x 1)＝g (x 2)，且x 2－x 1的最小值为ln22，则实数a 的值为▲________．(第4题) (第3题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，且AF ⊥CD ． (1)求证：平面ADF ⊥平面ABCD ； (2)求证：CD ∥EF ．16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆交于点A ，B ．已知点A ，B 的横坐标分别为－31010，－210．(1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值．17．(本小题满分14分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a －3x500)万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %． (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？18．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)的离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为－12，求k 的值；(3)记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝32，求M 的坐标．(第15题)l x yFABOMNx ＝4(第18题)19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)若数列{b n }满足：b 1＝1，b n ＋1＝b n 2＋1a n ＋1．①求证：数列{2n －1b n }为等差数列，并求出{b n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得i ＝1n∑b i ＝4－n 成立?若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x －a (x ＋1)，其中e 自然对数的底数，a ∈R ． (1)讨论函数f (x )的单调性，并写出相应的单调区间；(2)已知a ＞0，b ∈R ，若f (x )≥b 对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； (3)设g (x )＝(a ＋e )x ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．南京市金陵中学2020届高三数学检测试卷（2）无答案数学Ⅱ(附加题)21．本题包括A 、B 两小题，请在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (0，3)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x3y对应的变换作用下得到点Q (6，12)，求M －1．B ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．若点P 在椭圆C 上，求点P 到直线l ：x ＋y －8＝0的距离d 的最大值．[必做题]第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)某高校的综合评价面试中，考生都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录取．若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12． (1)求甲恰好通过两个项目测试的概率；(2)设甲、乙、丙三人中被录取的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．23．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，BC ＝2，BA ＝1，AD ＝3，PB ＝3．(1)求二面角P －CD －A 的平面角的余弦值； (2)若点E 在棱P A 上，且BE ⊥平面P AD ，求直线BE 和平面PCD 所成角的正弦值．(第23题)。
2020届江苏省南京市十校高三下学期5月调研数学试题(word无答案)
2020届江苏省南京市十校高三下学期5月调研数学试题一、填空题(★) 1 . 已知集合，则______________.(★) 2 . 已知复数的实部为0，其中为虚数单位，为实数，则_____________.(★) 3 . 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为 ________ ．(★) 4 . 运行如图所示的伪代码，则输出的的值为_____________.(★) 5 . 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为_____________.(★★) 6 . 设等比数列的前项和为，若，则_____________.(★★) 7 . 函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则_____________.(★★) 8 . 将函数图象向左平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为_____________.(★★) 9 . 双曲线的左，右焦点分别为，过且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为_____________.(★★) 10 . 如图，五边形由两部分组成，是以角为直角的直角三角形，四边形为正方形，现将该图形以为轴旋转一周，构成一个新的几何体.若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为_____________.(★★) 11 . 在平行四边形中，，，，.若，则_____________.(★★) 12 . 已知在锐角中，角的对边分别为.若，则的最小值为_____________.(★★★★★) 13 . 已知圆点，直线与圆交于两点，点在直线上且满足.若，则弦中点的横坐标的取值范围为_____________.二、解答题(★★) 14 . 在中，角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.(★★) 15 . 如图,在三棱柱中，侧面是矩形，平面平面，是棱上的一点.（1）求证：；（2）若是的中点，且平面，求证：是棱中点.(★★★★) 16 . 疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形与扇形组成，米，米，，经营者决定在点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点在弧上，点在线段上.设.（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积关于的函数关系式，并求出的取值范围；（2）求监控区域面积最大时，角的正切值.(★★★★)17 . 已知椭圆的左焦点为，点为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上一点，且直线的倾斜角为，，已知椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上异于的两点，若直线的斜率等于直线斜率的倍，求四边形面积的最大值.(★★★★★) 18 . 已知函数，.（1）若，，求函数在处的切线方程；（2）若，且是函数的一个极值点，确定的单调区间；（3）若，且对任意，恒成立，求实数的取值范围.(★★★★★) 19 . 设数列（任意项都不为零）的前项和为，首项为，对于任意，满足.（1）数列的通项公式；（2）是否存在使得成等比数列，且成等差数列？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列，，若由的前项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数的最大值.(★) 20 . 求椭圆在矩阵对应的变换作用下所得曲线的方程.(★)21 . 在极坐标系中,已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程.(★★) 22 . 已知正数满足，求的最小值.(★★) 23 . 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，分别是，，的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的平面角的正弦值.(★★★★) 24 . 已知数列满足，其中为常数，.（1）求的值（2）猜想数列的通项公式，并证明.。
江苏省百校联考2020届高三年级第五次数学试卷含答案
(1) 求直线 l 的倾斜角；
(2) 若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点, 求 AB 的长度.
23C.(本小题满分 10 分)
P
如图,在四棱锥 P－ ABCD 中, 底面 ABCD 为梯形,AB∥ CD.若棱 AB,
AD,AP
两两垂直,长度分别为
1,2,2,且向量P→C与B→D夹角的余弦值为
n
(2) 证明: f(α ) = Cnn+1(n3＋ n2)
a=1
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2020届江苏省南京市高三下学期阶段考试数学试题(解析版)
B x 2 x 0 , 2
A B 0, 2 故答案为：0, 2 .
【点睛】 本题主要考查了交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属 于基础题. 2．某中学有高一学生 400 人，高二学生 300 人，高三学生 500 人，现用分层抽样的方 法在这三个年级中抽取 120 人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为______.
再次执行循环体后，
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，满足退出循环的条件，
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故输出的 P 值为 64
故答案为： 64 .
【点睛】
本题主要考查了根据利用循环结构计算并输出结果，解题关键是掌握框图基础知识，考
查了分析能力和计算能力，属于基础题.
6．设
f
x
x2 2x 1, x 2x 6, x 0
2020 届江苏省南京市高三下学期阶段考试数学试题
一、填空题
1．集合 A x x2 3x 0 , B x y lg 2 x ，则 A B ______.（用区间表示）
【答案】0, 2
【解析】化简集合 A, B ，根据交集运算，即可求得答案.
【详解】
A x x2 3x 0 ,
【答案】 96 里.
【解析】根据题意可知此人行走的里程数为等比数列，设出第一天行走的里程，即可由
等比数列的前 n 项和公式，求得首项.即可求得第二天行走的路程里数.
【详解】
由题意可知此人行走的里程数为等比数列
设第一天行走的路程为 m ,且等比数列的公比为 q 1 2
则由等比数列的前
n
项和公式
Sn
1
【答案】
江苏省南京市金陵中学2020届高三数学检测卷(2)
金陵中学2020届高三数学检测卷（2）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知全集U ＝{－1，0，2，3}，集合A ＝{－1，2，3}，则∁U A ＝▲________．2．若复数z ＝(1＋3i)2，其中i 为虚数单位，则z 的模为▲________．3．执行如图所示的算法流程图，则输出的b 的值为▲________．4．如图，这是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图， 则平均成绩较小的那一位同学的平均成绩为▲________．5．将黑、白两个小球随机放入编号分别为1，2，3的三个盒子 中，则黑、白两个小球在同一个盒子里的概率为▲________．6．关于x 的不等式lg(2x －4)＜1的解集为▲________．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为▲________．8．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f (2φ)的值为▲________．9．在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则a1d 的值为▲________．10．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 满足→DC ＝2→BD ，则→AD ·→DC 的值为▲_____．11．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于▲________．12．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，则x ＋2xy 的最小值为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是▲________．14．已知函数f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝a x ．若对任意的x 1∈R ，存在x 2＞x 1，使得f (x 1)＝g (x 2)，且x 2－x 1的最小值为ln22，则实数a 的值为▲________．(第4题)(第3题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，且AF ⊥CD ． (1)求证：平面ADF ⊥平面ABCD ； (2)求证：CD ∥EF ．16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆交于点A ，B ．已知点A ，B 的横坐标分别为－31010，－210．(1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值．17．(本小题满分14分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a －3x500)万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %． (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？18．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)的离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为－12，求k 的值；(3)记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝32，求M 的坐标．(第15题)(第18题)19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)若数列{b n }满足：b 1＝1，b n ＋1＝b n 2＋1a n ＋1．①求证：数列{2n －1b n }为等差数列，并求出{b n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得i ＝1n ∑b i ＝4－n 成立?若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x －a (x ＋1)，其中e 自然对数的底数，a ∈R ． (1)讨论函数f (x )的单调性，并写出相应的单调区间；(2)已知a ＞0，b ∈R ，若f (x )≥b 对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； (3)设g (x )＝(a ＋e )x ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．数学Ⅱ(附加题)21．本题包括A 、B 两小题，请在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (0，3)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 3y 对应的变换作用下得到点Q (6，12)，求M －1．B ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．若点P 在椭圆C 上，求点P 到直线l ：x ＋y －8＝0的距离d 的最大值．[必做题]第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)某高校的综合评价面试中，考生都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录取．若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12． (1)求甲恰好通过两个项目测试的概率；(2)设甲、乙、丙三人中被录取的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．23．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，BC ＝2，BA ＝1，AD ＝3，PB ＝3．(1)求二面角P －CD －A 的平面角的余弦值； (2)若点E 在棱P A 上，且BE ⊥平面P AD ，求直线BE 和平面PCD 所成角的正弦值．阶段性检测数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．{0}(第23题)2．10 3．16 4．90 5．13 6．(2，7) 7．2 8．12 9．1 10．－4311．3π12．解析：因为x ＋y ＝1，所以x ＋2xy ＝x ＋2(x ＋y )xy ＝3x ＋2y xy ＝2x ＋3y ＝(2x ＋3y )(x ＋y )＝2y x ＋3xy＋5≥5＋26，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝3x y x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2y ＝3－6时取“＝”．13．解析：因为直线l ：kx －y ＋5k ＝0过定点P (－5，0)，且CM ⊥MP ，所以点M 在以CP为直径的圆上．设点M (x ，y )，则x 2＋y 2＝25．联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝25x 2＋y 2－10x ＝0，解得x ＝52．又因为点M 在圆C 内，所以点M 的横坐标的取值范围为(52，5]．14．解析：令f (x 1)＝g (x 2)＝t ，则e x 1＝a x 2＝t ，故x 1＝ln t ，x 2＝t 2a 2．令h (t )＝x 2－x 1＝t 2a2－ln t ，则h’(t )＝2t a 2－1t ．令h’(t )＝0得t ＝22a ．当t ＞22a 时，h’(t )＞0，h (t )单调递增；当0＜t ＜22a 时，h’(t )＜0，h (t )单调递减．因此，[h (t )]min ＝h (22a )＝12－ln(22a )＝ln22，解得a ＝e ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(1)因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ．············································· 2分又AF ⊥CD ，AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ⊂平面ADF ，所以CD ⊥平面ADF ， ············································································ 5分 又CD ⊂平面ABCD ，所以平面ADF ⊥平面ABCD ． ·································································· 7分 (2)因为四边形ABCD 为矩形，所以AB ∥CD ， ············································· 9分 又AB ⊂平面ABEF ，CD ⊄平面ABEF ，所以CD ∥平面ABEF ， ········································································ 11分 又CD ⊂平面DCEF ，平面DCEF ∩平面ABEF ＝EF ，∴CD ∥EF ． ······················································································· 14分16．(1)因为点A ，B 的横坐标分别为－31010，－210， 结合三角函数的定义得cos α＝－31010，cos β＝－210． ································· 2分因为α，β均为钝角， 所以sin α＝1－cos 2α＝1010，sin β＝1－cos 2β＝7102， ································ 4分 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－31010)×(－210)＋1010×7102＝55． ······ 6分(2)(方法一)sin2α＝2sin αcos α＝－35，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝45， ························· 8分因为α∈(π2，π)，2α∈(π，2π)，且sin2α＜0，cos2α＞0，所以2α∈(32π，2π)，又β∈(π2，π)，所以2α－β∈(π2，32π)． ··························· 10分又sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝(－35)×(－210)－45×7102＝－22， ··········· 12分所以2α－β＝54π． ················································································ 14分(方法二)因为α，β∈(π2，π)，cos α＝－31010＜cos β＝－210，所以π2＜β＜α＜π，所以0＜α－β＜π2．由(1)知sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝255， ················································· 8分所以sin(2α－β)＝sin[(α－β)＋α] ＝sin(α－β)cos α＋cos(α－β)sin α＝255×(－31010)＋55×1010＝－22． ············· 10分 因为0＜α－β＜π2，π2＜α＜π，所以2α－β∈(π2，32π)， ··································· 12分所以2α－β＝54π． ················································································ 14分17．(1)由题意得，10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000， ······································ 2分即x 2－500x ≤0，又x ＞0，故0＜x ≤500． ·················································· 4分 即最多调整500名员工从事第三产业． ······················································ 5分 (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a －3x500)x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000－x )(1＋1500x )万元， 则10(a －3x 500)x ≤10(1000－x )(1＋1500x )，····················································· 8分故ax －3x 2500≤1000＋2x －x －1500x 2，故ax ≤2x 2500＋1000＋x ，即a ≤2x 500＋1000x ＋1恒成立． ································································ 10分因2x 500＋1000x≥22x 500·1000x＝4， 当且仅当2x 500＝1000x ，即x ＝500时等号成立，故a ≤5， ······························· 12分又a ＞0，故0＜a ≤5．故a 的取值范围为(0，5]． ··························· 18．(1)设椭圆的焦距为2c (c ＞0)． 依题意，c a ＝12，且a2c ＝4，解得a ＝2，c ＝1．故b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． ···········(2)设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 124＋y 123＝1，x 224＋两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，14＋13·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y2x 1＋x 2＝0，所以14＋13·k ·(－12)＝0，得k ＝32． ······························································· 8分(3)由题意，S 1S 2＝32，即12·|AF |·|y 1| 12·|BF |·|y 2|＝32，整理可得|y 1||y 2|＝12， ····················· 10分所以→NF ＝2→FM ．代入坐标，可得⎩⎨⎧1－x 2＝2(x 1－1)－y 2＝2y 1，即⎩⎨⎧x 2＝3－2x 1y 2＝－2y 1． ····································· 12分又点M ，N 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 124＋y 123＝1 (3－2x 1)24＋(－2y 1)23＝1，解得⎩⎨⎧x 1＝74y ＝385．所以M 的坐标为(74，358) ． ································································· 16分19．(1)由S n ＋1－2S n ＝1，得S n －2S n －1＝1 (n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n＝2 (n ≥2)． ········································· 2分因为a 1＝1，由(a 1＋a 2)－2a 1＝1，得a 2＝2，所以a2a 1＝2，所以a n ＋1a n＝2对任意n ∈N *都成立，所以数列{a n }为等比数列，首项为1，公比为2． ········································ 4分 (2)① 由(1)知，a n ＝2n －1，由b n ＋1＝b n 2＋1a n ＋1，得b n ＋1＝b n 2＋12n ， ························································ 6分即2n b n ＋1＝2n －1b n ＋1，即2n b n ＋1－2n －1b n ＝1，因为b 1＝1，所以数列{2n －1b n }是首项为1，公差为1的等差数列． ················· 8分所以2n －1b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以b n ＝n2n －1． ·················································································· 10分② 设T n ＝i ＝1n∑b i ，则 T n ＝1×(12)0＋2×(12)1＋3×(12)2＋…＋n ×(12)n －1，所以12T n ＝ 1×(12)1＋2×(12)2＋…＋(n －1)×(12)n －1＋n ×(12)n ，两式相减，得12T n ＝(12)0＋(12)1＋(12)2＋…＋(12)n －1－n ×(12)n ＝1－(12)n1－12－n ×(12)n ＝2－(n ＋2)×(12)n ， 所以T n ＝4－(2n ＋4)×(12)n ． ································································· 12分由i ＝1n∑b i ＝4－n ，得4－(2n ＋4)×(12)n ＝4－n ，即n ＋2n ＝2n －1．显然当n ＝2时，上式成立，设f (n )＝n ＋2n－2n －1( n ∈N *)，即f (2)＝0．因为f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋3n ＋1－2n )－(n ＋2n －2n －1)＝[2n (n ＋1)＋2n －1]＜0，所以数列{f (n )}单调递减， 所以f (n )＝0只有唯一解n ＝2，所以存在唯一正整数n ＝2，使得i ＝1n∑b i ＝4－n 成立． ··································· 16分 20．(1)由f (x )＝e x －a (x ＋1)，知f’(x )＝e x－a ．若a ≤0，则f’(x )＞0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； ················· 2分 若a ＞0，令f’(x )＝0，得x ＝ln a ，当x ＜ln a 时，f’(x )＜0，当x ＞ln a 时，f’(x )＞0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减；在(ln a ，＋∞)上单调递增． ······················ 4分 (2)由(1)知，当a ＞0时，f min (x )＝f (ln a )＝－a ln a ．因为f (x )≥b 对任意x ∈R 都成立，所以b ≤－a ln a ，所以ab ≤－a 2ln a ． ············ 6分设t (a )＝－a 2ln a ，(a ＞0)，由t’(a )＝－(2a ln a ＋a 2·1a )＝－a (2ln a ＋1)，令t’(a )＝0，得a ＝e －12，当0＜a ＜e －12时，t’(a )＞0，所以t (a )在(0，e－12)上单调递增；当a ＞e－12时，t’(a )＜0，所以t (a )在(e－12，＋∞)上单调递减，所以t (a )在a ＝e－12处取最大值，且最大值为12e． 所以ab ≤－a 2ln a ≤12e ，当且仅当a ＝e －12，b ＝12e －12时，ab 取得最大值为12e． ···· 10分(3)设F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝e x －ex －2ax －a ， 题设等价于函数F (x )有零点时的a 的取值范围．① 当a ≥0时，由F (1)＝－3a ≤0，F (－1)＝e －1＋e ＋a ＞0，所以F (x )有零点． · 12分② 当－e2≤a ＜0时，若x ≤0，由e ＋2a ≥0，得F (x )＝e x －(e ＋2a )x －a ＞0；若x ＞0，由(1)知，F (x )＝－a (2x ＋1)＞0，所以F (x )无零点． ···················· 14分③ 当a ＜－e2时，F (0)＝1－a ＞0，又存在x 0＝1－ae ＋2a＜0，F (x 0)＜1－(e ＋2a )x 0－a ＝0，所以F (x )有零点．综上，a 的取值范围是a ＜－e2或a ≥0．···················································· 16分数学Ⅱ(附加题)21．A ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)依题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 3y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤612，解得⎩⎨⎧x ＝2y ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234， ·························· 5分 因为det(M )＝1×4－2×3＝－2≠0，所以M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2－2－2－3－21－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－21 32－12． ··········································· 10分 B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]设P (3cos θ，sin θ)， 则点P 到直线l 的距离d ＝|3cos θ＋sin θ－8|2 ·············································································· 5分＝|2cos(θ－π6)－8|2，所以当θ＝7π6时，d 取到最大值102＝52． ················································ 10分22．(1)设甲恰好通过两个项目测试的事件为A ． P (A )＝C 23(12)2(1－12)＝38．答：甲恰好通过两个项目测试的概率为38． ·················································· 2分(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3．因为每人可被录取的概率为C 23(12)2(1－12)＋(12)3＝12， ······································ 4分所以P (X ＝0)＝(1－12)3＝18，P (X ＝1)＝C 13(12)(1－12)2＝38，P (X ＝2)＝C 23(12)2(1－12)＝38，P (X ＝3)＝(12)3＝18．故X 的概率分布列为··································· 8分所以X 的数学期望为E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝32． ·························· 10分23．(1)以B 为原点，BA ，BC ，BP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ．因为A (1，0，0)，B (0，0，0)，C (0，2，0)，D (1，3，0)，P (0，0，3)， 所以→CD ＝(1，1，0)，→PC ＝(0，2，－3)．易知平面ACD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)． ············································ 1分 设平面PCD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·→CD ＝0m ·→PC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝02y ＝3z ．取z ＝2，则m ＝(－3，3，2)．设二面角P －CD －A 的平面角为α，可知α为锐角， ···································· 3分 则cos α＝|cos ＜n ，m ＞|＝|n ·m ||n |·|m |＝23＋3＋4＝105，即二面角P －CD －A 的平面角的余弦值为105． ··········································· 5分 (2)因为点E 在棱P A 上，所以设→AE ＝λ→AP ，λ∈[0，1]． 因为→AP ＝(－1，0，3)，所以→AE ＝(－λ，0，3λ)， 故→BE ＝→BA ＋→AE ＝(1－λ，0，3λ)．因为BE ⊥平面P AD ，AP ⊂平面P AD ，所以BE ⊥AP ． 因为→AP ＝(－1，0，3)，所以→BE ·→AP ＝0，即λ－1＋3λ＝0，解得λ＝14， ··········································· 7分所以→BE ＝(34，0，34)，所以BE ＝|→BE |＝32．设直线BE 和平面PCD 所成的角为β，可知β为锐角． 因为m 为平面PCD 的一个法向量， 则sin β＝|cos ＜→BE ，m ＞|＝343＋3＋4×32＝1020， 即直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值为1020． ········································ 10分。
南京市金陵中学2020届高三数学检测卷(18)
2
二､解答题(本大题共 6 小题，共计 90 分．)
15．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(b2＋c2－a2)tanA＝ 3bc．
(1)求角 A；
(2)若 a＝2，ΔABC 的面积 S＝
3
，求1＋1的值． bc
解 (1)由(b2＋c2－a2)tanA＝ 3bc，及余弦定理 b2＋c2－a2＝2bccosA，
则在 Rt△ BOF 中，OF＝cosθ，从而 BE＝MF＝12＋cosθ．
在 Rt△ BEC 中，∠BCD＝θ，从而 BC＝sBinEθ＝1＋2s2incoθsθ，
由对称性知 AD＝BC＝1＋2s2incoθsθ．
于是 f(θ)＝2000((AD＋BC)＋53×l)＝2000(1＋si2ncθosθ＋130θ)，0＜θ＜π2．
第 5结次束 75 70 （第 5 题）
则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 ▲ ．20 8．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 2x＋y＝0 为双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线，则该
双曲线的离心率为 ▲ ． 5 9．已知数列{an}是等差数列，若 a2＋2，a4＋4，a6＋6 构成等比数列，则数列{an}的公差 d
π 3
(π3，π2)
f'(θ)
－
0
＋
f'(θ)
↘
极小值
↗
当 θ＝3π时，f(θ)取得极小值亦最小值．
答：当
θ
取π时，建造总费用最低． 3
4分 6分 8分
14 分
4
18．已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为 A，右焦点为 F，右准线为 l，l 与 x 轴相交于点 T，且 F 是 AT 的中点． (1)求椭圆的离心率； (2)过点 T 的直线与椭圆相交于 M，N 两点，M，N 都在 x 轴上方，并且 M 在 N，T 之间，且 NF＝2MF． ①记△NFM，△NFA 的面积分别为 S1，S2，求 SS12；
2020届江苏省金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中高三下学期期初联考数学理科(解析Word版)
2020届江苏省金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中高三下学期期初联考数学理试题Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则A ∪B ＝ ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i （i 为虚数单位，a ∈R ），若z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．函数f (x )＝ln(x －1)的定义域为 ▲ ．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，x ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 的值为 ▲ ．5．已知抛物线y 2＝4x 上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为 ▲ ．6．已知命题p ：－1<x －a <1，命题q ：(x －4)(8－x )>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 1，2a 2，a 3成等差数列，a 1＝1，则S 7＝ ▲ ． 8．函数f (x )是在R 上的周期为3的奇函数，当0<x <2时，f (x )＝2x ，则f (－7)＝ ▲ ．9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝ ▲ ． 10．在等腰△ABC 中，已知底边BC ＝2，点D 为边AC 的中点，点E 为边AB 上一点且满足EB ＝2AE ，若BD →·AC →＝－12，则EC →·AB→＝ ▲ ． 11．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b （a ，b ∈R ）的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )>c －1的解集为(m－4，m )，则实数c 的值为 ▲ ．12．在锐角△ABC 中，已知sin C ＝4cos A cos B ，则tan A tan B 的最大值为 ▲ ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为 ▲ ．14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ．（1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C 的值；（2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．17．（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB 为直径），现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ． （1）写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； （2）试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，其离心率等于22． ABCFED（第15题） AD（第17题）（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，且MA 交椭圆E 于点P ． ①求证：OP OM ⋅为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，求证：直线MQ 经过定点．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝12ax 2＋ln x ，g (x )＝－bx ，设h (x )＝f (x )－g (x )．（1）若f (x )在x ＝22处取得极值，且f ′(1)＝g (－1)－2，求函数h (x )的单调区间；（2）若a ＝0时，函数h (x )有两个不同的零点x 1，x 2． ①求b 的取值范围； ②求证：x 1·x 2>e 2．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }前n 项和为S n ，数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足S 5＝2a 4＋a 5，a 9＝a 3＋a 4．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a m a m ＋1＝a m ＋2，求正整数m 的值； （3）是否存在正整数m ，使得122+m mS S 恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．2020届高三年级第二学期期初联考试卷数学试题命题单位：丹阳高级中学 审核单位：金陵中学 无锡一中Ⅱ试题21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t (t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B两点，求线段AB 的长．C ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E (X )．23．（本小题满分10分）已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n N ∈．记()021nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈，n T 都能被42n +整除．期初联考试卷 数学试题参考答案及评分标准Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{1，2，3，4} 2．－1 3．(1，＋∞) 4．8 5．(4，±4)6．[5，7] 7．127 8．－2 9．3：2 10．4311．－3 12．4 13．9 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）解：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ， 所以BD ∥EF ．………………3分因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．………………6分 （2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AE ⊥CD ．………………8分因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ，………………10分又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ．………………12分 又CD ⊂平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ．………………14分 16．（本小题满分14分） 解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分 解法2：因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin(3π4－2B )＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为扇形 AOC 的半径为 40 m ，∠AOC ＝x rad ，所以扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x ·OA 22＝800x ，0＜x ＜π．………………2分在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，所以S △COD ＝12·OC ·OD ·sin ∠COD ＝1600sin(π－x )＝1600sin x ．………………4分从而 S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π．………………6分 （2）由（1）知， S (x )＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π． S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600(cos x ＋12)．………………8分由 S ′(x )＝0，解得x ＝2π3．从而当0＜x ＜2π3时，S ′(x )＞0；当2π3＜x ＜π时，S ′(x )＜0 ．因此 S (x )在区间(0，2π3)上单调递增；在区间(2π3，π)上单调递减．………………11分所以 当x ＝2π3，S (x )取得最大值．答：当∠AOC 为2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大．………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）由题得223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y ．………………4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①直线MA 的方程为0042y y y x =+，代入椭圆得()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得()20120288y x y --=+，012088y y y =+，………………8分 所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭，，()22002200488488y y y y --=+=++．……………10分 ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：由题得()02020208822828PB y y k y y y +==----+，………………12分由MQ PB ⊥得02MQ y k =， 则MQ 的方程为00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，………………14分 所以直线MQ 过定点(0 0)O ，．………………16分 19．（本小题满分16分） 解：（1）因为1()f x ax x'=+，所以(1)1f a '=+， 由(1)(1)2f g '=--可得3-=b a ．又因为()f x在x =处取得极值，所以0f '=+=， 所以1,2=-=b a ．………………2分所以2()ln h x x x x =-++，其定义域为),0(+∞．2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=， 令()0h x '=得121,12x x =-=，当)1,0(∈x 时，()>0h x '，当),1(+∞∈x 时，()<0h x '，所以函数h (x )在区间)1,0(上单调增，在区间),1(+∞上单调减．………………4分 （2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为),0(+∞．①由()0h x =得ln -x b x =，记ln ()x x x ϕ=-，则2ln 1()x x x ϕ-'=， 所以ln ()xx xϕ=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增， 所以当x e =时，ln ()x x x ϕ=-取得最小值1e-．………………6分 又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时，()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ<， 所以b 的取值范围是)0,1(e-．………………10分注：此处需用零点存在定理证明，如考生未证明，此问最多不超过3分． ②由题意得1122ln 0,ln 0x bx x bx +=+=，所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x ++=-+-=，所以12122121ln ln ln x x x xx x x x +=--，………………12分不妨设x 1<x 2，要证212x x e >，只需要证12122121ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-， 即证2121212()ln ln x x x x x x -->+．………………14分设21(1)x t t x =>，则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++， 所以22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-=>++，函数()F t 在),1(+∞上单调增， 而(1)0F =，所以()0F t >，即2(1)ln 1t t t ->+， 所以212x x e >．………………16分 20．（本小题满分16分）解：（1）设12531,,,,-k a a a a 的公差为d ，k a a a a 2642,,, 的公比为q ，则d a d d a a q q a a 41,1,291324+=+=+=== 由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧++=+=⇒⎩⎨⎧+=+=322421134439545q d q d a d a S a a a a a a S ，………………2分 所以⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-为偶数为奇数n n n a n n ,32,12．………………4分 （2）若)(12*∈-=N k k m ，则1221321232)12(11-+=⋅⇒+=⋅⋅---k k k k k ， 因为132-⋅k 为正整数，所以122-k 为正整数， 即1112=⇒=-k k ，此时3320≠⋅，不成立，舍去．………………6分 若)(2*∈=N k k m ，则1312=⇒=+k k ，2=m ，成立， 综上，2=m ．………………8分 （3）若122-m m S S 为}{n a 中的一项，则122-m m S S为正整数， 因为)()(2242123112---+++++++=m m m a a a a a a S1313)13(22)121(211-+=--+-+=--m m m m m ，………………10分所以313)1(2321212212122≤-+--=+=----m m S a S S S m m m m m m ，故若122-m mS S 为}{n a 中的某一项，只能为321,,a a a ．………………12分 ①若φ∈⇒=-+---m m m m 113)1(23212， ②2013213)1(2321212=⇒=-+⇒=-+----m m m m m m ， ③11313)1(232212=⇒=⇒=-+---m m m m m ，………………15分 综上，1=m 或2=m ．………………16分Ⅱ试题21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：在直线l ：ax ＋y －7＝0取点A (0，7)，B (1，7－a )．因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ 0 7＝⎣⎡⎦⎤ 0 7b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ 1 7－a ＝⎣⎡⎦⎤3 b (7－a )－1，………………4分 所以A ，B 在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A′(0，7b )，B′(3，b (7－a )－1)． 由题意，知A′，B′在直线l ′：9x ＋y －91＝0上，所以⎩⎨⎧7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0．………………8分解得a ＝2，b ＝13．………………10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的参数方程化为普通方程得4x －3y ＝4，………………2分 将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ．………………4分联立方程组⎩⎨⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ，解得 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1．所以A (4，4)，B (14，－1)．………………8分所以AB ＝254．………………10分C ．选修4—5：不等式选讲证：因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|．………………5分由绝对值不等式性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1．即|x ＋5y |≤1．………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）记“恰有2人申请A 大学”为事件A ， P (A )＝C 42×2234＝2481＝827．答：恰有2人申请A 大学的概率为827．………………4分（2）X 的所有可能值为1，2，3． P (X ＝1)＝334＝127，P (X ＝2)＝C 43×A 32＋3×A 3234＝4281＝1427，P (X ＝3)＝C 42×A 3334＝3681＝49．所以X 的概率分布列为：所以X 的数学期望E (X )＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527．………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=．………………3分（2）∵()()()()()()()()()()121221!212!1C 121C 1!!!!n k n k n nn n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-∴()()()12121002121C21C nnnn k n kn n kn n k k k T k ak k -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212102121C21C21C nnnn kn kn kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()()122122n kn k n n n n++++()22122011221C21C 2212C 21221C nnnn n nk k n n n n n +===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑………………7分∴()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+．∵*21C n n N -∈，∴n T 能被42n +整除．………………10分金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中2020届高三年级第二学期期初联考试卷数学试题点评与参考答案Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝▲ ．【点评】集合并集的运算，简单题。
江苏省金陵中学等三校2020届高三年级第二学期期初联考试卷数学试题及参考答案、点评
二、解答题 （本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 A－ BCD 中， E， F 分别为棱 BC，CD 上的点，且 BD∥平面 AEF ．
（ 1）求证： EF ∥平面 ABD ；
（ 1）写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x)，并指出 x 的取值范围； （ 2）试问∠ AOC 多大时，改建后的绿化区域面积 S 取得最大值．
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C
A
O
B
D
18．（本小题满分 16 分）
在平面直角坐标系
2 等于 2 ．
xOy 中，已知椭圆
x2 y2 E： a2＋ b2＝ 1(a＞ b＞ 0)过点
2． 已知复数 z1＝－ 2＋ i， z2＝ a＋ 2i（ i 为虚数单位， a∈ R），若 z1z2 为纯虚数，则实数 a 的 值为 ▲ ．
3． 函数 f(x)＝ln( x－ 1)的定义域为 ▲ ．
4． 某人 5 次上班途中所已知这组数
13． 在△ ABC 中，角 A，B， C 所对的边分别为 a，b， c， ∠ ABC＝ 120°， ∠ ABC 的平分 线交 AC 于点 D，且 BD ＝ 1，则 4a＋ c 的最小值为 ▲ ．
14． 设函数 f(x)＝ax＋ sinx＋ cosx．若函数 f (x)的图象上存在不同的两点 A， B，使得曲线 y ＝ f( x)在点 A， B 处的切线互相垂直，则实数 a 的取值范围为 ▲ ．
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9． 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为 S2＝ ▲ ．
高三数学_金陵中学2020届高三数学检测卷(21)学生版
i ←1 S ←0 While i ＜8 i ←i ＋3 S ←2×i ＋S End While Print S |＜ ) |的最小值为 ．已知函数 ( ， ) f ( ) 金陵中学 2020 届高三数学检测卷（21）命题：徐海虎 校审：朱骏一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上． 1．设集合 M ＝{2，0，x }，集合 N ＝{0，1}．若 N ⊆ M ，则实数 x 的值为 ▲ ． 2．若复数 z a ＋i(其中 i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数 a 的值为 ▲ ．＝ i3．在一次射箭比赛中，某运动员 5 次射中的环数依次是 9，10，9，7，10，则该组数据的方差是 ▲ ．4．甲、乙两位同学下象棋，若甲获胜的概率为 0.2，甲、乙和棋的概率为 0.5，则乙获胜的概率为 ▲ ．5．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x 2－y 2＝a 2 (a ＞0)的右焦点与抛物线 y 2＝4x 的焦点重合，则实数 a 的值为 ▲ ．6．运行如图所示的伪代码表示的算法，其输出值为 ▲ ．⎧⎪2x －y ≤0，7．已知变量 x ，y 满足⎨x －2y ＋3≥0，则 2x ＋y 的最大值为 ▲ ．⎪⎩x ≥0，(第 6 题图)8．已知一个圆锥的底面半径为 1，侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥的体积为 ▲ ． 9．记等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ．已知 a 1＝2，且数列{ S n }也为等差数列，则 a 13 的值为 ▲ ．x ＋110．已知函数 f (x )＝ ，x ∈R ，则不等式 f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集是 ▲ ．∣x ∣＋1 11．若函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，|φ π 的图象关于点 A (n ，0)中心对称，也关于直线 l ： x ＝m 对称，且|m －n 2 π f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象过点 π1 ， 则 π 4 ＝ ▲ ．6 2 4 12．如图，在△ABC 中，AB ＝ 3，AC ＝ 2→ 2→ → 1→，AD ＝ 3 AB ， AE ＝ 3AC ，→ → → →DM ＝ME ， B N ＝NC ，若 MN ⊥BC ，则 cos A 的值为 ▲．13．已知函数 f (x )＝3x 2－x 3，g (x )＝e x －1－a －ln x ，若对于任意 x 1∈(0，3)，总是存在两个不同的 x 2，x 3∈(0，3)，使得 f (x 1)＝g (x 2)＝g (x 3)，则实数 a 的取值范围为 ▲ ．14．已知实数 x ，y ＞0 (2x ＋1)(y ＋1)▲ ．，则 的最大值为2x2＋5y2＋7二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．本试卷共1 页，此页是第1 页k3 15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知锐角 α 的始边为 x 轴的正半轴，终边与单位圆交于点 P (x 1，y 1)．将射线 OP 绕原点 O π逆时针方向旋转 2后，与单位圆交于点 Q (x 2，y 2)．记 f (α)＝y 1＋y (1)求函数 f (α)的值域；(2)记 ΔABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ． 若 f (C )＝ 2，且 a ＝ 2，c ＝1，求 b ．D 1116．如图，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，O ，E 分别为线段 B 1D AB 的中点． A 1(1)求证：OE ∥平面 BCC 1B 1；(2)求证：平面 B 1DC ⊥平面 B 1DE ．C17．如图，某生态农庄内有一直角梯形区域 ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝3 百米，CD ＝2 百米．该区域内原有道路 AC ，现新修一条直道 DP （宽度忽略不计），点 P 在道路 AC 上 π（异于 A ，C 两点），∠BAC ＝6，∠DP A ＝θ． (1)用θ表示直道 DP 的长度；DC(2)计划在△ADP 区域内种植观赏植物，在△CDP 区域 内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米P2 万元，种植经济作物的成本为每平方百米 1 万元，新建道路 DP 的成本为每百米 1 万元，求以上三项费用总和的最小值． ABx 2 y 218．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 2 ，两个顶点分别为 A (－a ，0)，B (a ，0)，点 M (－1，0)，且 → →M 斜率为 k (k ≠0)的直 3 AM ＝ MB ，过点 线交椭圆 E 于 C ，D 两点，其中点 C 在 x (1)求椭圆 E 的方程；(2)若 BC ⊥CD ，求 k 的值；(3)记直线 AD ，BC 的斜率分别为 k 1，k 2，k 1求证： 为定值． 219．已知函数 f (x )＝e x ＋x 2－ax (a ∈R)．(1) 当 x ＞1 时，函数 f (x )单调增，求实数 a 的取值范围；(2) 若 x ＝x 0 为函数 f (x )的极值点，且 f (x 0)＝－1，求正数 a 的值．20．已知 a ，b 是不相等的正数，在 a ，b 之间分别插入 m 个正数 a 1，a 2，…，a m 和正数 b 1，b 2，…，b m ，使 a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列． （1）若 m ＝5 a 3 5 b，b ＝4，求a 的值； （2）若 b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在 n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得 a n －5＝b n ，求 λ 的最小值及此时m 的值；（3）求证：a n＞b n(n∈N*，n≤m)．本试卷共1 页，此页是第1 页。