2012年北京西城高考二模数学(理)
2012怀柔高三(二模)数学(理)
2012年怀柔区高三年级调研考试数学（理科） 2012.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，B={0，2}，则=⋂B A C U )(A ．{0}B ．{2}C ．{0，l ，2}D ．φ2．已知i 为虚数单位，2=iz，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i 3．“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主 视图是腰长为1的等腰直角三角形，则 这个几何体的体积是 A ．21 B ．1 C ．23D ．2 5．函数2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为A ．33B ．36C ．22D ．24 7．将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体1111ABCD A BC D -, 不 同的标字母方式共有A ．24种B ．48种C ．72种D ．144种8．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为A ．5B ．7C ．8D ．10主视图俯视图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）． 10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件 是 ． 11．如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆 的割线，且PB PA 3=，则=BCPB． 12． 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为 ．13．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为,M 若直线13+-=k kx y 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是 ．14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝ ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．P如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形， 其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）当二面角E BD C --的大小为45︒ 时，试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．17．（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列； （Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰 有2件产品的重量超过505克的概率．已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈． （Ⅰ）讨论1=a 时，()f x 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+； （Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分14分）已知：椭圆12222=+by a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分 ）定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（Ⅰ）若29n a n n =-+(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（Ⅱ）设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（Ⅲ）设数列1n pc n=-(*n ∈N ，1p >)，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．9．10 10．2011≤i 11．2112．]2,1( 13．)0,31[- 14．936-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==又0A π<<，∴3A π=； ------5分 （Ⅱ）∵Aax b sin sin =，∴x x x a b sin 2sin 233sin 3sin=⋅=⋅=π同理)32sin(sin sin x C A a c -=⋅=π∴3)6sin(323)32sin(2sin 2++=+-+=ππx x x y∵320,3ππ<<∴=x A ∴)65,6(6πππ∈+x ， ∴62x ππ+=即3x π=时，max y =分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接OE ，由条件可得SA∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE .-----------------------------------------4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，AC BD ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2， 则(0, 0, 0)O ，(0, 0,S ，)0, 0A，()0, 0B ，() 0, 0C，()0, 0D -.所以() 0, 0AC =- ，()0, 0BD =-.设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=︒.设平面BDE法向量为(,,)x y z=n，则0,BDBE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn即0,()0.yx=⎧⎪⎨=⎪⎩令1z=，得(, 0, 1)2aa=-n.易知()0, 0BD=-是平面SAC的法向量.因为(, 0, 1)(0, 0)02aBDa⋅=⋅-=-n，所以BD⊥n，所以平面BDE⊥平面SAC.-------------------------------------9分（Ⅲ）解：设CE a=（02a<<），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量为(, 0, 1)2aa=-n.因为SO ABCD⊥底面，所以OS=是平面SAC的一个法向量.由已知二面角E BD C--的大小为45︒.所以cos,cos452OS〈〉=︒=n2=，解得1a=.所以点E是SC的中点.-----------------------------------------------------------------14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是12)501.0505.0(40=⨯+⨯⨯件------------2分（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,2 。
北京市西城区2012年高三二模试卷数学(文科)
北京市西城区2012年高三二模试卷数 学（文科） 2012.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =（ ） （A ）1i22+ （B ）1i 22- （C ）1i 22-+ （D ）1i 22--2．给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ）（A ）① ② （B ）③ ④ （C ）① ③ （D ）② ④3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①2x y =； ②2xy =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=-． 则输出函数的序号为（ ） （A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④4．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且,m n α⊂. 则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件5．已知双曲线221x ky -=的一个焦点是(5,0)，则其渐近线的方程为（ ）（A ）14y x =± （B ）4y x =± （C ）12y x =±（D ）2y x =±6．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ） （注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）（A ）12x x >，12s s > （B ）12x x <，12s s < （C ）12x x >，12s s < （D ）12x x <，12s s >7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ．则S 最小时，电梯所停的楼层是（ ） （A ）7层 （B ）8层（C ）9层（D ）10层8．已知集合1220{,,,}A a a a =，其中0(1,2,,20)k a k >=，集合{(,)|,B a b a A =∈,}b A a b A ∈-∈，则集合B 中的元素至多有（ ）（A ）210个 （B ）200个（C ）190个（D ）180个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在△ABC 中，3BC =，2AC =，π3A =，则B =_____．10．设变量x ，y 满足11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 则2x y +的最小值是_____．11．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}， 那么⊥a b 的概率是_____．12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____．14．已知曲线C 的方程是22||||()()8x y x y x y-+-=，给出下列三个结论： ① 曲线C 与两坐标轴有公共点；② 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③ 若点P ，Q 在曲线C 上，则||PQ 的最大值是62. 其中，所有正确结论的序号是_____．ADCBE三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数()sin()3cos()f x x x ωϕωϕ=+++的部分图象如图所示，其中0ω>，ππ(,)22ϕ∈-．（Ⅰ）求ω与ϕ的值； （Ⅱ）若554)4(=αf ，求αααα2sin sin 22sin sin 2+-的值．17．（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，AB ∥CD ，BC AB ⊥，CD AB 2=． （Ⅰ）求证：ED AB ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使DF // 平面BCE ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为36，且经过点31(,)22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最 大值．20．（本小题满分14分）若正整数*12(,1,2,,)n k N a a a a k n =+++∈=N ，则称12n a a a ⨯⨯⨯为N 的一个“分解积”．（Ⅰ）当N 分别等于6,7,8时，写出N 的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数(2)N N ≥的分解积最大时，证明：*()N k a k ∈中2的个数不超过2；（Ⅲ）对任意给定的正整数(2)N N ≥，求出(1,2,,)k a k n =，使得N 的分解积最大．北京市西城区2012年高三二模试卷数学（文科）参考答案及评分标准2012.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．π4； 10．2-； 11．16； 12．0，{|12}x x <<； 13．13，3π； 14．② ③．注：12、13题第一问2分，第二问3分;14题少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d ．依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． ………………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分所以数列{}n a 的通项公式为 23+-=n a n ． ………………6分 （Ⅱ）解：由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，得 1-=+n n n c b a ，即123-=++-n n c b n ，所以 123-+-=n n c n b ． ………………8分所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++21(31)(1)2n n n c c c --=+++++． ………………10分从而当1=c 时，2(31)322n n n n n S n -+=+=； ………………11分 当1≠c 时，(31)121n n n n c S c--=+-． ………………13分GF OADCB E16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：π()2sin()3f x x ωϕ=++． ………………2分设()f x 的最小正周期为T ． 由图可得πππ()2442T =--=，所以 πT =，2=ω． ………………4分 由 2)0(=f ，得 πsin()13ϕ+=，因为 ππ(,)22ϕ∈-，所以 π6ϕ=． ………………6分（Ⅱ）解：π()2sin(2)2cos 22f x x x =+=． ………………8分由 5542cos2)4(==ααf ，得 5522cos =α， ………………9分 所以 5312cos 2cos 2=-=αα． ………………11分 所以2sin sin 22sin (1cos )1cos 12sin sin 22sin (1cos )1cos 4αααααααααα---===+++． ………………13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为 EA EB =，所以 AB EO ⊥． ……………2分因为 AB ∥CD ，CD AB 2=， 所以 BO ∥CD ，CD BO =．又因为 BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为矩形，所以 DO AB ⊥． ………………4分 因为 O DO EO = ，所以 ⊥AB 平面EOD ． ………………5分所以 ED AB ⊥． ………………6分 （Ⅱ）解：点F 满足12EF EA =，即F 为EA 中点时，有DF // 平面BCE ．……………7分 证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分 因为F 为EA 中点，所以FG ∥AB ，AB FG 21=．因为AB ∥CD ，AB CD 21=，所以FG ∥CD ，CD FG =． 所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 DF ∥CG ． ………………11分 因为 ⊄DF 平面BCE ，⊂CG 平面BCE ， ………………12分所以 DF // 平面BCE ． ………………13分 18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1xf x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分 由 (0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………4分 （Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………6分① 当0a =时，22()1xf x x '=+．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………7分当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a =，()f x 与()f x '的情况如下：故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-．………10分 ③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞；单调减区间是1(,)a a--，(,)a -+∞． ………………13分x 1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x '- 0+ 0- ()f x↘1()f x↗2()f x↘x2(,)x -∞ 2x 21(,)x x 1x 1(,)x +∞()f x '+- 0+()f x↗ 2()f x↘1()f x↗综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1(,)a +∞单调递减；在1(,)a a-单调递增.0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1(,)a-∞，(,)a -+∞单调递增；在1(,)a a-单调递减．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解： 由 222222213a b b e a a -==-=， 得 13b a =． ① ………………2分 由椭圆C 经过点31(,)22，得2291144a b+=． ② ………………3分 联立① ②，解得 1b =，3a =． …………4分所以椭圆C 的方程是 2213x y +=． …………5分 （Ⅱ）解：易知直线AB 的斜率存在，设其方程为2+=kx y ．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得 0912)31(22=+++kx x k ． ………………7分令2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=-+，122913x x k=+． ……………9分 所以 1212122AOB POB POA S S S x x x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=-． ………………10分 因为 22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-=--=+++， 设 21(0)k t t -=>， 则 21223636363()16(34)4169242924t x x t t t t t-==≤=+++⨯+． ……………13分 当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时△AOB 面积取得最大值23．………………14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：633=+，分解积的最大值为339⨯=； ………………1分732234=++=+，分解积的最大值为3223412⨯⨯=⨯=； ………………2分 8332=++，分解积的最大值为33218⨯⨯=． ………………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，(1,2,,)k a k n =中可以有2个2． ………………4分当(1,2,,)k a k n =有3个或3个以上的2时，因为22233++=+，且22233⨯⨯<⨯， 所以，此时分解积不是最大的．因此，*()N k a k ∈中至多有2个2． ………………7分（Ⅲ）解：① 当(1,2,,)k a k n =中有1时，因为1(1)i i a a +=+，且11i i a a ⨯<+，所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ………………8分 ② 由（Ⅱ）可知，(1,2,,)k a k n =中至多有2个2．③ 当(1,2,,)k a k n =中有4时，若将4分解为13+，由 ① 可知分解积不会最大； 若将4分解为22+，则分解积相同；若有两个4，因为44332+=++，且44332⨯<⨯⨯，所以将44+改写为332++，使得分解积更大． 因此，(1,2,,)k a k n =中至多有1个4，而且可以写成22+． ………………10分 ④ 当(1,2,,)k a k n =中有大于4的数时，不妨设4i a >，因为2(2)i i a a <-，所以将i a 分解为2(2)i a +-会使得分解积更大． ………………11分 综上所述，(1,2,,)k a k n =中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．于是，当*3()N m m =∈N 时，333m N =+++个使得分解积最大； …………12分当*31()N m m =+∈N 时，(1)(1)333223334m m N --=+++++=++++个个使得分解积北京市西城区2012年高三二模试卷数学(文科)11 / 11 最大； ………………13分 当32()N m m =+∈N 时，3332m N =++++个使得分解积最大．………………14分。
2023年北京西城区高三二模数学试卷
2023年北京西城区高三二模数学试卷一、单选题1、复数的虚部为（）A.B.C.D.2、已知集合，，则（）A.B.C.D.3、已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（）A. B.C.D.4、在中，，则（）A. B.C. D.5、设，，，则（）A.B.C.D.6、将边长为的正方形沿对角线折起，折起后点记为．若，则四面体的体积为（）A.B.C. D.7、已知数轴上两点的坐标为，现两点在数轴上同时相向运动．点的运动规律为第一秒运动个单位长度，以后每秒比前一秒多运动个单位长度；点的运动规律为每秒运动个单位长度．则点相遇时在数轴上的坐标为（）A.B.C.D.8、已知函数．则“”是“为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9、某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（）A. B. C. D.10、在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题11、函数的定义域为.12、设等比数列的前项和为，，，则；使成立的的最小值为．13、在中，若，，，则．14、已知两点．点满足，则的面积是；的一个取值为．15、已知直线和曲线，给出下列四个结论：①存在实数和，使直线和曲线没有交点；②存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点；③存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点；④对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题16、如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点．(1)求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．17、已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．(1)求的值；(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．条件①：；条件②：是的一个零点；条件③：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18、体重指数（，简称）是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标．已知，其中表示体重（单位：），表示身高（单位：）．对成人，若，则身体处于肥胖状态．某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取人，测量他们的体重（单位：）和身高（单位：），得到如下散点图（图中曲线表示时体重和身高的关系），假设用频率估计概率．(1)该企业员工总数为人，试估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数；(2)从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，设其中体重在以上的人数为，估计的分布列和数学期望；(3)从样本中身高大于或等于的员工中随机抽取人，若其身体处于肥胖状态的概率小于，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）19、已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值．20、已知函数．(1)求在区间上的最大值和最小值；(2)若恒成立，求实数的值．21、给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数，且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为．(1)当时，设，，写出，并求；(2)当时，对给定的数阵，证明：是的倍数；(3)证明：对给定的数阵，总存在，使得．1、【答案】A;【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可判断其虚部.【详解】，所以复数的虚部为.故选：A2、【答案】D;【解析】【分析】根据指数函数的性质求出集合，再根据并集的定义求解即可.【详解】解：因为，所以.故选：D.3、【答案】D;【解析】抛物线的准线方程为，因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以两个抛物线的准线也关于轴对称，所以的准线方程是.因此正确答案为：D4、【答案】B;【解析】因为，所以，又因为，所以，因此正确答案为：B．5、【答案】A;【解析】【分析】根据对数函数的性质、对数的运算法则及基本不等式判断即可.【详解】因为，，又，，所以，且，所以，所以.故选：A6、【答案】A;【解析】【分析】先将正方形折起得到四面体，由，得平面，再求出，的长度，证明，最后把四面体看做两个同底的三棱锥和拼接而成，即可用三棱锥的体积公式求体积.【详解】如图1，连接与相交于点，则.如图2，将正方形沿对角线折起，折起后点记为．因为，，，平面，平面，所以平面，因为正方形边长为，所以,，又因为,所以,所以.所以四面体的体积为．故选：A7、【答案】B;【解析】【分析】根据题意结合等差数列分析可得第秒时，两点的坐标为，列式求解即可.【详解】设点第秒运动个单位长度，前秒运动总长度为，则，所以是以首项为2，公差为1的等差数列，则，可得；设点第秒运动个单位长度，前秒运动总长度为，则；故第秒时，两点的坐标为.由题意可得：，解得或（舍去），即，所以点相遇时在数轴上的坐标为.故选：B.8、【答案】C;【解析】【分析】根据充分，必要条件的定义，结合三角函数变换，即可判断选项.【详解】当，即则，化简为，即，，当时，，为偶函数，当时，，为偶函数，所以，能推出函数是偶函数反过来，若函数是偶函数，则有，所以“”是“为偶函数”的充分必要条件.故选：C9、【答案】C;【解析】【分析】根据二项式定理即可估算近似值.【详解】由题意可知故选：C10、【答案】B;【解析】【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.【详解】每次跳跃的路径对应的向量为，因为求跳跃次数的最小值，则只取，设对应的跳跃次数分别为，其中，可得则，两式相加可得，因为，则或，当时，则次数为；当，则次数为；综上所述：次数最小值为10.故选：B.11、【答案】;【解析】解：通过题意，要使函数有意义，则需满足，解得且.所以函数的定义域为：因此正确答案为：12、【答案】;;【解析】由，得：，所以，故，故得：，由于为整数，故的最小值为，故答案为：，13、【答案】/;【解析】由，得，则，则，所以（负值舍去），由，在三角形中易得，因为，所以.因此正确答案为：.14、【答案】/;（答案不唯一）;【解析】由点可知，，所以点在圆，且，则点在双曲线的右支上，其中，，，则双曲线方程为，联立，解得：或，则的面积；当时，，，，当时，，，，则其中的一个取值是.因此正确答案为：；（合理即可）15、【答案】①②③;【解析】【分析】根据图象的对称性，求导得切线斜率的最大值，由数形结合，结合选项即可判断.【详解】对于①,由于为偶函数，故图象关于轴对称，且，当或时，此时直线和曲线没有交点；（如下图）故正确①，对于②，，当时，，所以当，故当单调递减，当单调递增，故当时，此时取极大值也是最大值，故某一点处的切线的斜率最大值为，当时，此时直线和曲线恰有个交点；故②正确，对于③，当时，对任意的直线过原点，此时直线与只有一个零点，故③正确，对于④，当直线与曲线上某一点处的切线平行时（斜率小于），且在切点之上的位置时，此时直线与曲线有3个交点，故④错误.故答案为：①②③【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16、【答案】(1)证明见解析(2);【解析】（1）连接，因为，分别为，的中点，所以．在三棱柱中，，所以，四点共面．因为，，、分别为、的中点，所以，，所以四边形为平行四边形．所以，因为平面，平面，所以平面．（2）由题设平面，平面，所以，，因为，所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系，所以，则，，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，于是，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．17、【答案】(1)答案见解析(2);【解析】（1）选条件①：无意义，所以选条件①时不存在，故不能选①，选条件②．由题设，所以．因为，所以，所以．所以．选条件③，由题设．整理得．以下同选条件②．（2）由（1）因为，所以．于是，当且仅当，即时，取得最大值；当且仅当，即时，取得最小值．又，即时，．且当时，单调递增，所以曲线与直线恰有一个公共点，则或的取值范围是．18、【答案】(1)300(2)分布列见解析，1(3)或;【解析】【分析】（1）求出该企业身体处于肥胖状态的员工得概率，再乘以即可得解；（2）求出从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，其中体重在以上的概率，写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可；（3）求出中所有的其身体处于肥胖状态的概率，即可得出结论.【详解】（1）由散点图可知，抽取人中有人身体处于肥胖状态，故该企业身体处于肥胖状态的员工得概率为，则估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数为人；（2）因为抽取人中有人身体处于肥胖状态，其中人体重在以上，则从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，其中体重在以上的概率为，由题设，可取，，，，，所以的分布列为：；（3）有散点图可知，从样本中身高大于或等于的员工中随机抽取人，当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，概率为，当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，概率为，当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，概率为，当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，概率为，当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，概率为，当时，其身体处于肥胖状态的人数有人，总人数有人，概率为，综上所述，当或，符合题意.19、【答案】(1)，(2);【解析】（1）由题设解得所以椭圆的方程为．的离心率为．（2）设椭圆的另一个焦点为，则直线过点．由得．设，则，．由题设，点为线段的中点，所以点和点到直线的距离相等．所以四边形的面积为面积的倍．又，所以．所以．设，则．所以．当且仅当，即时，．所以四边形的面积最大时，．20、【答案】(1)最小值为，最大值为(2);【解析】【分析】（1）先求的导函数，再根据导函数在区间上的正负确定的单调性，从而可求其在给定区间的最大与最小值；（2）设，由已知得，当时，；当时，，从而可得，当时，；当时，，所以，得，再证明当时，恒成立即可．【详解】（1）因为，所以在区间上单调递增．所以的最小值为；的最大值为．（2）的定义域为．由（1）知，且在上单调递增，所以当时，；当时，．设．若恒成立，则当时，；当时，．所以，即，解得．下面证明：当时，恒成立．此时，，．当时，．所以在上单调递增，．当时，设．因为，所以在上单调递增．又，，所以存在唯一的，使得．且当，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，且，所以当时，恒成立．综上，．【点睛】关键点睛：本题第一小问考查函数在给定区间的最值，通过对单调性的讨论即可，属于基础题；第二小问主要考查不等式恒成立求参数问题，关键是通过的正负得到的正负，从而确定的值再证明，考查数学运算和逻辑推理等核心素养．21、【答案】(1)，；，(2)证明见解析(3)证明见解析;【解析】【分析】（1）由变换的由来，可得，由的定义即可求解，（2）由变换的定义以及的定义即可求解，（3）每行中的个数为，由反证法证明，进而由在中考虑等于的个数与的关系，即可分类讨论求解，【详解】（1）由题设，．所以，．（2）设数阵中第行和第列中的个数均为，的个数均为．经过变换，的第行和第列均有个变为，有个变为．所以．即是的倍数．（3）数阵经过变换得到数阵，设第行和第列中1的个数均为．由（2）可知，．设当时，取得最小值，其中．记每行中的个数为，则必有．否则，若存在使得，则令，有，与为最小值矛盾．在中，①若等于的个数不超过，则．②若等于的个数大于，则必存在满足，且．否则，不妨设，则共有个满足，且，所以中至多有个等于，矛盾．故存在满足，且．取，因为，所以．由变换为时，从变为，故数阵第行中的个数为．故，这与为最小值矛盾．综上，对给定的数阵，总存在，使得．【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型定义，首先要了解定义的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
2022北京西城高三二模数学试卷(含答案)
2022北京西城高三二模数学试卷2022．5本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}42A x x =−<<，{}29B x x =≤，则A B ⋃= （A ）(]4.3−（B ）[)3.2−（C ）()4,2−（D ）[]3,3−（2）已知双曲线的焦点分别为五12,F F ，124F F =，双曲线上一点P 满足122PF PF −=，则该双曲线的离心率为（A （B （C ）2（D ）3（3）已知{}n a 为等差数列，首项12a =，公差3d =，若228n n a a ++=，则n = （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（4）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（A ）1()2x y =（B ）1y nx = （C ）sin y x =（D ）y x x =（5）己知直线2y kx =+与圆22:2C x y +=交于,A B 两点，且2AB =，则k 的值为（A ） 3±（B ）（C （D ）2（6）已知e 是单位向量，向量a 满足112a e ≤⋅≤，则a 的取值范围是 （A ）()0,+∞ （B ）(]0,1（C ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦（7）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，2πϕ<，那么“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上是增函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知()1f x gx a =−，记关于x 的方程()1f x =的所有实数根的乘积为()g a ，则()g a （A ）有最大值，无最小值 （B ）有最小值，无最大值 （C ）既有最大值，也有最小值（D ）既无最大值，也无最小值（9）若函数223,0()(2),0x x f x x x a ⎧+=⎨−<⎩……的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是 （A ）(]0,1（B ）()0,1（C ）()1,4（D ）()2,4（10）如图为某商铺A 、B 两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知A 商品卖出一件盈利20元，B 商品卖出一件盈利10元．图中点1A 、2A 、3A 的纵坐标分别表示A 商品2022年前3个月的销售量，点1B 、2B 、3B 的纵坐标分别表示B 商品2022年前3个月的销售量．根据图中信息，下列四个结论中正确的是①2月A 、B 两种商品的总销售量最多； ②3月A 、B 两种商品的总销售量最多； ③1月A 、B 两种商品的总利润最多； ④2月A 、B 两种商品的总利润最多． （A ）①③ （B ）①④ （C ）②③（D ）②④第二部分 （非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）二项式()*N )1(nx n +∈的展开式中2x 的系数为21，则n =__________．（12）已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（-1，2），则5z为__________．（13）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，则焦点到准线的距离为__________；直线y 抛物线分别交于P 、Q 两点（点P 在x 轴上方），过点P 作直线PQ 的垂线交准线l 于点H ，则PFPH=__________．（14）已知数列{}n a 是首项为16，公比为12的等比数列，{}n b 是公差为2的等差数列．若集合{}*n n A n a b =∈>N 中恰有3个元素，则符合题意的1b 的一个取值为__________．（15）已知四棱锥P ABCD −的高为1，PAB △和PCD △论：①四棱锥P ABCD −可能为正四棱锥；②空间中一定存在到,,,,P A B C D 距离都相等的点； ③可能有平面PAD ⊥平面ABCD ；④四棱锥P ABCD −的体积的取值范围是12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题13分）在ABC △中，22sin cos 222B B B+= （I ）求B 的大小；（Ⅱ)2a c b +=，证明：a c =．（17）（本小题13分）2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布．义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分．其中过程性考核40分，现场考试30分．该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开．现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容．某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%．假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立．（I ）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；（Ⅱ）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；（Ⅲ）已知乒乓球考试满分8分．在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7．5分，其余男生得7分：样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分．记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为1μ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为2μ，试比较1μ与2μ的大小．（结论不需要证明）（18）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，四边形11AAC C 是边长为4的菱形， AB BC ==D 为棱AC 上动点（不与,A C 重合），平面1B BD 与棱11AC 交于点E ． （I ）求证：1//BB DE ；（Ⅱ）若34AD AC =，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB 与平面1B BDE 所成角的正弦值．条件①：平面ABC ⊥平面11AAC C ； 条件②：160A AC ∠=︒；条件③：1A B =注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题15分） 己知函数ln ()1x af x x +=+ （1）若1(1)4f '=，求a 的值； （Ⅱ）当2a >时，② 求证：()f x 有唯一的极值点1x ；②记()f x 的零点为0x ，是否存在a 使得立21e x x …?说明理由． （20）（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为()2,0A −，圆22:1O x y +=经过椭圆C 的上、下顶点．（I ）求椭圆C 的方程和焦距：（Ⅱ）已知,P Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（,P Q 不在坐标轴上），且直线PQ 与x 轴平行，线段AP 的垂直平分线与y 轴交于点M ，圆O 在点Q 处的切线与y 轴交于点N ．求线段MN 长度的最小值． （21）（本小题15分）已知数列122:,,,m A a a a L ，其中m 是给定的正整数，且2m ≥． 令{}212min ,i i i b a a −=，1,,i m =L ，{}12()max ,,,m X A b b b =L ，{}212max ,i i i c a a −=，1,,i m =L ，{}12()min ,,,m Y A c c c =L ．这里，{ max }表示括号中各数的最大值，min{ }表示括号中各数的最小值． （I ）若数列:2,0,2,1,4,2A −，求()X A ，()Y A 的值；（Ⅱ）若数列A 是首项为1，公比为q 的等比数列，且()()X A Y A =，求q 的值；（Ⅲ）若数列A 是公差1d =的等差数列，数列B 是数列A 中所有项的一个排列，求()()X B Y B −的所有可能值（用m 表示）．2022北京西城高三二模数学试卷参考答案及评分标准 2022.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）A （ 2 ）C （ 3 ）D （ 4 ）D （ 5 ）B（ 6 ）C（ 7 ）A（ 8 ）D（ 9 ）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）7 （12（13）2（14）1−（答案不唯一） （15）①②④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）在中，因为22sin cos 222B B B+所以1cos sin 2BB ++sin 0B B +=，所以tan B =， 因为(0,)B ∈π， 所以23B π=. ┄┄┄┄┄┄ 7分（Ⅱ）因为2π3B =，所以1cos 2B =−. ABC △由余弦定理得222cos 2a c b B ac+−=，所以222122a c b ac+−−=，即 222ac a c b −=+−. ①)2a c b +=，所以)b a c =+.②将②代入①，得22223(2)4ac a c a ac c −=+−++，整理得 2()0a c −=， 所以a c =.┄┄┄┄┄┄13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）样本中男生选考乒乓球人数为110010%110⨯=人，女生选考乒乓球人数10005%50⨯=人.设从该区所有九年级学生中随机抽取1人，该学生选考乒乓球为事件A ， 用频率估计概率，110508()11001000105P A +==+. ┄┄┄┄┄┄ 4分（Ⅱ）设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件B ， 设从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件C ， 由题意，()P B 的估计值为0.4，()P C 的估计值为0.5.设从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，恰有2人选考跳绳为事件D ， 则所求概率的估计值为12222()0.40.60.50.40.50.32P D C C =⨯⨯⨯+⨯⨯=.┄┄┄┄┄┄ 9分 （Ⅲ）12μμ>.┄┄┄┄┄┄13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C −中，11//AA BB ，又1BB ⊄平面11ACC A , 所以1//BB 平面11ACC A .又因为平面1B BDE I 平面11ACC A DE =， 所以1//BB DE . ┄┄┄┄┄┄ 4分（Ⅱ）选条件①②.连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO .在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒， 所以1A AC △为等边三角形.又因为O 为AC 中点，所以1AO AC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ， 平面ABC I 平面11ACC A AC =，1AO ⊂平面11ACC A ，且1AO AC ⊥， 所以1A O ⊥平面ABC ，所以1AO OB ⊥.又因为AB BC =，所以BO AC ⊥.以O 为原点，以OB 、OC 、1OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)O ，(0,2,0)A −，1A ，(3,0,0)B ，(0,1,0)D . 所以(3,1,0)BD =−uu u r，1=(0,2,DE AA =u u u ru u u r. 设平面1B BDE 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0.BD DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n所以111130,20.x y y −+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =，则13y =，11x =，故(1,3,=n .又因为(3,2,0)AB =uu u r，9sin cos ,13AB AB AB θ⋅=〈〉==uu u ruu u ruu u rn n n . 所以直线AB 与平面B 1BDE 所成角的正弦值为913. 选条件②③.连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO . 在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒， 所以1A AC △为等边三角形.又O 为AC 中点，故1AO AC ⊥，且1AO =又因为3OB =，1A B 所以22211AO OB A B +=， 所以1AO OB ⊥.又因为AC OB O =I ，所以1AO ⊥平面ABC . 以下同选①②. 选条件①③取AC 中点O ，连接BO ，1AO . 在ABC △中，因为BA BC =，所以BO AC ⊥，且2AO =，3OB =. 又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC I 平面11ACC A AC =， 所以BO ⊥平面11ACC A .因为1OA ⊂平面11ACC A ，所以1BO OA ⊥. 在1Rt BOA △中，1OA =. 又因为2OA =，14AA =，所以22211OA OA AA +=，所以1AO AO ⊥. 以下同选①②.┄┄┄┄┄┄14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）ln ()1x af x x +=+，0x >，所以211ln ()(1)x a x f x x +−−'=+， 因为21(1)44a f −'==， 所以1a =.┄┄┄┄┄┄ 5分（Ⅱ）①()f x 的定义域是(0,)+∞，211ln ()(1)x a x f x x +−−'=+，令()0f x '=，则11ln 0x a x+−−=. 设1()1ln g x x a x=+−−， 因为1y x=，ln y x =−在(0,)+∞上单调递减，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减.因为(e )1e 0a a g −=+>，(1)20g a =−<， 所以()g x 在(0,)+∞上有唯一的零点，所以()0f x '=有(0,)+∞有唯一解，不妨设为1x ，1(e ,1)a x −∈.()f x '与()f x 的情况如下：所以()f x 有唯一的极值点1x . ②由题意，0ln x a =−，则0e a x −=. 若存在a ，使210ex x ≤，则21e 1a x −<≤，所以21e e a a x −−<≤.因为()g x 在(0,)+∞单调递减，(e )1e 0a a g −=+>， 则需22(e )e 10a a g −−=−≤，即2a ≤，与已知矛盾. 所以，不存在2a >使得210ex x ≤. ┄┄┄┄┄┄15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题意，2a =，1b =，所求椭圆方程为 2214x y +=.因为c ==所以焦距2c =┄┄┄┄┄┄ 4分（Ⅱ）设00(,)P x y 00(0)x y ≠且220014x y +=.由题意，设10(,)Q x y 10(0)x y ≠且22101x y +=.因为(2,0)A −，所以线段AP 的中点为002(,)22x y −. 又直线AP 的斜率为002AP y k x =+， 所以线段AP 的中垂线的斜率为002x y +−. 故线段AP 的中垂线方程为 000022()22y x x y x y +−−=−−. 令0x =，得 220000000(2)(2)4222M y x x x y y y y +−+−=+=. 由220014x y +=，可得220044x y −=−， 代入上式，得 20003322M y y y y −==−，所以03(0,)2M y −.因为直线OQ 的斜率为01OQ y k x =， 所以圆O 在点Q 处的切线斜率为1x y −. 所以切线方程为 1010()x y y x x y −=−−. 令0x =得 22210100001N x y x y y y y y +=+==,所以01(0,)N y . 所以线段MN 长度00132N M MN y y y y =−=+0013|||2y y =+≥|. （当且仅当0013||||2y y =，即0y =时等号成立） 所以线段MN.┄┄┄┄┄┄15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）()1X A =，()2Y A =.┄┄┄┄┄┄ 4分（Ⅱ）若数列A 中任意两项互不相等，则当1,,i m =L 时,由212min{,}i i i b a a −=,212max{,}i i i c a a −=可知，i i b c ≠, 当{},1,2,,i j m ∈L 且i j ≠时, 212212{,}{,}i i j j a a a a −−=∅I ，又212212min{,}{,}i i i i i b a a a a −−=∈,212212max{,}{,}j j j j j c a a a a −−=∈, 所以 i j b c ≠.综上,1212{,,,}{,,,}m m b b b c c c =∅L I L , 所以()()X A Y A ≠，不合题意.所以存在i j ≠, ,{1,2,,2}i j m ∈L ，使i j a a =，即11i j q q −−=. 因为0q ≠，所以1i j q −=. 所以1q =±.若1q =−，则()1X A =−，()1Y A =，不舍题意，舍.若1q =，则数列A 为：1，1，L ，1，()()1X A Y A ==，符合题意. 综上，1q =.┄┄┄┄┄┄10分（Ⅲ）()()X B Y B −的所有可能值为1,1,2,,23m −−L .证明如下：因为10d =>，所以A 递增且A 中各项（即B 中各项）两两不等， 所以同（Ⅱ）可知()()X B Y B ≠.由定义，存在,{1,2,,2},,(),(),i j i j m i j X B a Y B a ∈≠==L()()i j X B Y B a a i j −=−=−，因为()X B 比{}n a 中1m −个项大,故()m X B a ≥，同理，1()m Y B a +≤， 所以1()()1m m X B Y B a a +−−=−≥.因为()X B 至少比{}n a 中的一项小，故21()m X B a −≤，同理，2()Y B a ≥. 所以212()()23m X B Y B a a m −−−=−≤. 综上，()(){1,1,2,,23}X B Y B m −∈−−L .令122:,,,m B x x x L ,下面证明1,1,2,,23m −−L 各值均可取得. ①212,,1,2,,i i i m i x a x a i m −+===L ，由{}n a 是递增数列，212min{,}min{,},i i i i m i i b x x a a a −+===212max{,}max{,},1,2,,.i i i i m i m i c x x a a a i m −++====L此时，1212()max{,,,}max{,,,}m m m X B b b b a a a a ===L L ,121221()min{,,,}min{,,,}m m m m m Y B c c c a a a a +++===L L ,此时1()()1m m X B Y B a a +−=−=−.②当1,2,,1k m =−L 时，令2122122,,,k k k m m m k m m x a x a x a x a −−+====， 则,k k k m b a c a ==，2,m m k m m b a c a +==.当{1,2,,},,i m i k m ∈≠L 时，令212,i i i m i x a x a −+==，则1i i m b a a −=≤，1i m i m c a a ++=≥，所以 12121()max{,,,}max{,,,,}m m m k m k X B b b b a a a a a −++===L L ,121112()min{,,,}min{,,,,,,}m m m k m m k m m Y B c c c a a a a a a ++−++===L L L ,此时()()m k m X B Y B a a k +−=−=,1,2,,1k m =−L . ③给定{1,2,,2}t m ∈−L ,令212,,1,2,,i i i t i x a x a i t −+===L ，且212122,,1,,i i i i x a x a i t m −−===+L , 则212min{,},1,,i i i i b x x a i t −===L ，21221min{,},1,,i i i i b x x a i t m −−===+L ，又{}n a 是递增数列,1221()max{,,,}m m X A b b b a −==L ，212max{,},1,,i i i t i c x x a i t −+===L ，2122max{,},1,,i i i i c x x a i t m −===+L ，又{}n a 是递增数列,121()min{,,,}m t Y A c c c a +==L ， 此时211()()22m t X B Y B a a m t −+−=−=−−,{1,2,,2}t m ∈−L . 所以 22,1,,23m t m m m −−=+−L ，综上，()()X B Y B k −=，1,1,2,,23k m =−−L 各值均可取得. ┄15分。
11.2012初三数学二模-西城
北京市西城区2012年初三二模试卷2012. 6一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．8-的倒数是A.8B.8-C.18D.18-2．在2012年4月25日至5月2日举办的2012（第十二届）北京国际汽车展览会上，约有800 000名观众到场参观，盛况空前．800 000用科学记数法表示应为 A.3810⨯ B.48010⨯ C.5810⨯ D.60.810⨯3．若⊙1O 与⊙2O 内切，它们的半径分别为3和8，则以下关于这两圆的圆心距12O O 的结论正确的是A.12O O =5B.12O O =11C.12O O ＞11D. 5＜12O O ＜11 4．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E 若35AD D B=，AE =6，则EC 的长为A . 8 B. 10 C. 12 D. 16 5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.9环，方差分别是20.61S =甲，20.52S =乙，20.53S =丙，20.42S =丁，则射击成绩波动最小的是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若OB 长为10， 3cos 5BO D ∠=， 则AB 的长是A . 20 B. 16 C. 12 D. 87．若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为 A . 4 B. 6 C. 8 D. 108．如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，BC=1. 现将矩形ABCD绕点C 顺时针旋转90°得到矩形A B C D '''，则AD 边扫过的 面积(阴影部分)为A . 21π B. 31π C.41π D. 51π二、填空题（本题共16分，每小题4分）9． 将代数式2610x x -+化为2()x m n -+的形式（其中m ，n 为常数），结果为 ． 10．若菱形ABCD 的周长为8，∠BAD =60°，则BD = ．11．如图，把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径等于 cm ．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，…都在y 轴上，对应的纵坐标分别为1，2，3，…．直线1l2l ，3l ，…分别经过点1A ，2A ，3A ，…，且都平行于x 轴．以点O 为圆心，半径为2的圆与直线1l 在第一象限 交于点1B ，以点O 为圆心，半径为3的圆与直线2l 在第 一象限交于点2B ，…，依此规律得到一系列点n B （n 为正整数），则点1B 的坐标为 ，点n B 的坐标为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：101()(π3)6cos 455---+︒-14．已知2240x x +-=，求代数式22(2)(6)3x x x x ----15．如图，点F ，G 分别在△ADE 的AD ，DE 边上，C ，B 依次为GF 延长线上两点，AB=AD ，∠BAF =∠CAE ，∠B=∠D . (1)求证：BC=DE ；(2)若∠B=35°，∠AFB =78°，直接写出∠DGB 的度数．16．已知关于x 的一元二次方程 (m +1)x 2 + 2mx + m - 3 = 0 有两个不相等的实数根. (1)求m 的取值范围；(2)当m 取满足条件的最小奇数时，求方程的根.17. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点.(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若∠A=60°，AB=2AD=4，求BD的长.18. 吸烟有害健康！你知道吗，即使被动吸烟也大大危害健康．为配合“禁烟”行动，某校组织同学们在某社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，征求市民的意见，并将调查结果整理后制成了如下两个统计图：（图中信息不完整）请根据以上信息回答下面问题：(1) 同学们一共随机调查了人；(2) 如果在该社区随机咨询一位市民，那么该市民支持“强制戒烟”方式的概率是；(3) 如果该社区有5 000人，估计该社区支持“警示戒烟”方式的市民约有人．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60︒方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30︒方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行2000米到达C处，此时测得M小区位于北偏西60︒方向．现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短．(1)问：MN与AC满足什么位置关系时，从N到M小区铺设的管道最短？(2)求∠AMC的度数和AN的长.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正 半轴上的点C 处.(1)求AB 的长和点C 的坐标； (2)求直线CD 的解析式．21．如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，取CD 的中点E ，AE 的延长线与BC 的延长线交于点P . (1)求证：AP 是⊙O 的切线；(2)若OC =CP ，AB =33，求CD 的长.22. 阅读下列材料小华在学习中发现如下结论：如图1，点A ，A 1，A 2在直线l 上，当直线l ∥BC 时，BCABC A ABC S S S 21∆∆∆==.请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：(1)如图2，已知△ABC ，画出一个．．等腰△DBC ，使其面积与△ABC 面积相等； (2)如图3，已知△ABC ，画出两个．．Rt △DBC ，使其面积与△ABC 面积相等(要求：所画的两个三角形不全等．．．)； (3)如图4，已知等腰△ABC 中，AB=AC ，画出一个．．四边形ABDE ，使其面积与△ABC 面积相等，且一组对边DE=AB ，另一组对边BD ≠AE ，对角∠E =∠B .图2 图3 图4五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为第一象限内的双曲线1k y x=（10k >）上一点，点A的横坐标为1，过点A 作平行于 y 轴的直线，与x 轴交于点B ，与双曲线2k y x=（20k <）交于点C . x 轴上一点(,0)D m 位于直线AC 右侧，AD (1)当m=4时，求△ACD 的面积（用含1k ，2k 的代数式表示）；(2)若点E 恰好在双曲线1k y x=（10k >）上，求m (3)设线段EB 的延长线与y 轴的负半轴交于点F ，当点D 的坐标为(2,0)D 时，若△BDF 的面积为1， 且CF ∥AD ，求1k 的值，并直接写出线段CF 的长.24．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=6，BC =8．动点P 从点A 开始沿折线AC －CB －BA 运动，点P 在AC ，CB ，BA 边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位．直线l 从与AC 重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB 方向平行移动，即移动过程中保持l ∥AC ，且分别与CB ，AB 边交于E ，F 两点，点P 与直线l 同时出发，设运动的 时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 和直线l 同时停止运动．(1)当t = 5秒时，点P 走过的路径长为 ；当t = 秒时，点P 与点E 重合； (2)当点P 在AC 边上运动时，将△PEF 绕点E 逆时针旋转，使得点P 的对应点M 落在EF 上，点F 的对应点记为点N ，当EN ⊥AB 时，求t 的值；(3)当点P 在折线AC －CB －BA 上运动时，作点P 关于直线EF 的对称点，记为点Q ．在点P 与直线l 运动的过程中，若形成的四边形PEQF 为菱形，请直接写出t 的值．25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x =+的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B .⑴直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；(3)已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值.。
2012丰台高三(二模)数学(理)
北京市丰台区2012年高三二模数学（理科） 2012.5第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数1i2i-+的虚部是 (A) i - (B) 3i 5- (C) –1 (D) 35-2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为(A)(B)(C) 2 (D) 43．由曲线1y x=与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316(C) 1ln 42+ (D) ln 41+4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填 (A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次 数恰为3次的概率是 (A)18125 (B) 36125 (C) 44125 (D) 811256．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅ =(A) 7- (B) 72-(C) 72(D) 7 7．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是(A) (B) (C) (D)8．已知平面上四个点1(0,0)A，2A，34,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表俯视图示的平面区域的面积为(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．10．已知椭圆22221(7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______．12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩ 的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()xg x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数()cos sin )f x x x x =-． （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．PBA17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D -AP -CPF 的长度． PFEDCAB18.（本小题共13分）已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列． （Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足2n n n b a n=-，证明：49n b ≤．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．20.（本小题共13分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-； （Ⅲ）若211ni i x ==∑，证明：21ln ln 2nni i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．北京市丰台区2012年高三二模数 学（理科）2012.5参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(1,)2π10 11 12．31.25 13． 96 14．1，1a >注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.解：因为()cos sin )f x x x x =-2sin cos x x x -1cos 21)sin 222x x +-12sin 22x x - ＝cos(2)6x π+（Ⅰ）()cos(2)3362f πππ=⨯+- =22--= ……………………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈， 所以2666x ππ7π≤+≤．当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--．当512x π=时，函数()y f x =有最小值是1-． ……………………13分 16．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=， 所以 806017a b +=．因为 0.050.71a b +++=， 所以0.25a b +=． 由 806017,0.25,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 可得0.1,0.15.a b =⎧⎨=⎩……………………7分（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况． 设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……………………13分 17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点，OB ACDEFPx所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º， 所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,C 所以 1(,0,1)2BE =- ，1(1,1,)2CP =-- ，所以cos ,||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅， 即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为15……………………9分 （Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -， 在平面APC 中，(0,22,)AP t t =- ，(1,2,0)AC =，所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=- ， 所以121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅解得23t =，或2t =（舍）．此时||3PF =． ……………………14分 18．解：（Ⅰ）因为14a =，131n n n a a p +=+⋅+，所以1213135a a p p =+⋅+=+；23231126a a p p =+⋅+=+．因为1a ，26a +，3a 成等差数列，所以2(26a +)=1a +3a ， 即610124126p p ++=++， 所以 2p =．依题意，1231nn n a a +=+⋅+，所以当n ≥2时，121231a a -=⋅+，232231a a -=⋅+，……212231n n n a a ----=⋅+， 11231n n n a a ---=⋅+．相加得12212(3333)1n n n a a n ---=+++++- ，所以 113(13)2(1)13n n a a n ---=+--， 所以 3n n a n =+．当n =1时，11314a =+=成立，所以 3n n a n =+． ……………………8分 （Ⅱ）证明：因为 3n n a n =+，所以 22(3)3n n nn n b n n ==+-．因为 2221+11(1)22+1=333n n n n n n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N ．若 22+210n n -+<，则n >，即 2n ≥时 1n n b b +<． 又因为 113b =，249b =， 所以49n b ≤． ……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)x py p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线2py =-的距离为5． 因为P (x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得12p=，2p =． 所以抛物线的标准方程为24x y =． ……………………4分即 214y x =，所以 1'2y x =，点P (±4，4)， 所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=．所以 点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=； 点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P 点处抛物线切线方程为240x y ++=，或240x y --=． ……………………7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x y y x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840x x m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x x m =-， 所以1242x x +=，1282y y m +=+， 即AB 的中点为(4,8)Q m +．所以 AB 的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--． 因为 四边形AMBN 为菱形，所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称， 所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上， 所以 644(6)m =⨯+，即10m =，所以直线l 的方程为 210y x =+． ……………………14分20．解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln 1xf x x x x'=--=-． 令()0f x '=，得12x =． 当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数， 当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数， 所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln 22f =． ……………………4分（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-． 所以当2ax =时，函数()f x 有最小值． ∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． ……………………8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立． ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221k x x x +++= ，则112222ln ln ln ln2k k k x x x x x x +++≥- ． 当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++= ．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++ ，由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++ =11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++- ．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2k k F x +≥--=-，命题成立． 所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立， 所以 若211ni i x ==∑，则21ln ln 2nni i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． ……………………13分 （证法二）若1221n x x x +++= ， 那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++- 1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++- 121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++--- ln 2n =-．……………………13分。
2024届北京西城区高三二模数学试卷及答案
2024北京西城高三二模数 学2024.5本试卷共 6 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是1)−，则⋅=z z （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（2）已知向量,a b 满足(4,3)=a ，2(10,5)−=−a b ，则（A ）0+=a b （B ）0=⋅a b （C ）||||>a b（D ）//a b（3）已知集合{}1,0,1=−A ，{|}>=x x c B ．若{}0,1=A B I ，则c 的最小值是（A ）1 （B ）0 （C ）1−（D ）2−（4）设443243210(21)−++++x a x a x a x a x a ，则1234+++=a a a a （A ）1− （B ）0 （C ）1（D ）2（5）已知,R R ∈∈a b ．则“1>ab ”是“222+>a b ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22:1+=C mx ny 的焦点在y 轴上，且C 的离心率为2，则 （A ）30−=m n （B ）30−=m n （C ）30+=m n（D ）30+=m n（7）将函数()tan =f x x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()=g x （A ）1tan −x （B ）1tan −−x （C ）tan (1)−−x（D ）tan (1)−+x（8）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF ，其中面ABCD 为正方形．若6cm =AB ，3cm =EF ，且EF 与面ABCD 的距离为2cm ，则该楔体形构件的体积为 （A ）318cm （B ）324cm （C ）330cm（D ）348cm（9）已知{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，1233,2==a S ．若对任意正整数n ，都有(1)0−−⋅>n n S A ，则A 的取值范围是（A ）(3,1)− （B ）[2,1)− （C ）3(3,)2−（D ）3[2,)2−（10）一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是 （A ）5 （B ）6 （C ）7（D ）8第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题525分。
2012昌平高三(二模)数学(理)
昌平区2011－2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习数学试卷（理科）2012. 4第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U = R ，集合}{042≤-=x x |x A ，}2{<=x |x B ，则B A = A. {0≥x |x } B. {20<≤x |x } C. {42≤<x |x } D. {40≤≤x |x } 2. 在复平面内，与复数i+11对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. “1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 已知直线l ：为参数）t t y t x (1⎩⎨⎧+==，圆C ：2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离是 A. 2 B.3 C.2 D. 15.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面 图形中，是直角三角形的有 A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3 个6. 某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有 A. 60种 B. 120种 C. 144种 D. 300种 7．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上 任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是 A. 点P 到平面QEF 的距离B. 直线PQ 与平面PEF 所成的角C. 三棱锥QEF P -的体积D.二面角Q EF P --的大小C 1A 1C主视图 左视图8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是A ．20122012S =，20127a a <B ．20122012S =，20127a a >C ．20122012S =-，20127a a <D ．20122012S =-，20127a a >第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在∆ABC 中，4,2,2π===A b a 那么角C =_________.10.已知双曲线的方程为1422=-y x ，则其渐近线的 方程为____________,若抛物线px y 22=的焦点与 双曲线的右焦点重合，则_______p =.11. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值， 输出相应的y 值,若要使输入的x 值与输出的y 值相等， 则这样的x 值有 ___________个.12. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点D ，CA 切⊙O 于点A ，CD 交AB 的延长线于点E .若3AC =，2ED =，则BE =_____;AO =_____.13. 若变量 x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤400x y y x 表示平面区域M ，则当-42≤≤a 时，动直线a y x =+所经过的平面区域M 的面积为____________. 14. 若对于定义在R 上的函数f (x ) ,其图象是连续不断的，且存在常数λ(∈λR )使得 f (x +λ) +λf (x ) = 0对任意实数x 都成立，则称f (x ) 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①f (x ) =0 是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；②f (x ) = x 不是“λ—伴随函数”；③f (x ) = x 2是一个“λ—伴随函数”； ④“21—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正．．确．的序号是________________（填上所有不．正确．．的结论序号）．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知向量a (cos ,sin ),θθ= b = (13-,), 22π≤θ≤π-. （Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值; （Ⅱ）求||b a +的取值范围.16．(本小题满分13分)某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在A 区射击3 次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次得3分，射不中得0分; 在B 区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别是41和)10(<<p p .(Ⅰ) 若选手甲在A 区射击，求选手甲至少得3分的概率； (Ⅱ) 我们把在A 、B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B 区射击，求p 的取值范围.17.（本小题满分14分）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中, 122AA AB ==,E 为AD 中点,F 为1CC 中点.（Ⅰ）求证:1AD D F ⊥； （Ⅱ）求证://CE 平面1AD F ；(Ⅲ) 求平面1AD F 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.18．（本小题满分13分） 已知函数∈+--=a x a xax x f ,ln )1()(R . （Ⅰ）当1>a 时，求)(x f 的单调区间;（Ⅱ）若)(x f 在]1[e ,上的最小值为2-，求a 的值. 19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆M :)0(12222>>=+b a b y a x ,离心率36=e ,椭圆与x 正半轴交于点A ，直线l 过椭圆中心O ，且与椭圆交于B 、C 两点，B (1,1).(Ⅰ) 求椭圆M 的方程；（Ⅱ）如果椭圆上有两点Q P 、,使PBQ ∠的角平分线垂直于AO ，问是否存在实数)0(≠λλ使得AC PQ λ=成立？20. (本小题满分13分)实数列 3210a ,a ,a ,a ，由下述等式定义123,0,1,2,3,.n n n a a n +=-=（Ⅰ）若0a 为常数，求123,,a a a 的值； （Ⅱ）求依赖于0a 和n 的n a 表达式；（Ⅲ）求0a 的值，使得对任何正整数n 总有1n n a a +>成立.昌平区2011－2012学年度第二学期高三年级第二次统一练习数学( 理科)试卷2012.4 参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9．127π 10. x y 21±= , 52 11. 3 12. 1 ， 2313． 7 14. ① ③三、解答题(本大题共6小题，共80分) 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） a ⊥b ∴b a ⋅0sin cos 3=-=θθ ……… 2分 得3tan =θ 又∵22π≤θ≤π-……… 4分 即：θ=3π………6分 （Ⅱ）||b a +=4)sin cos 3(21||2||22+-+=+⋅+θθb b a a )3sin(45π--=θ ……… 9分22π≤≤π-θ 6365π≤π-≤π-∴θ ……… 11分 21)3s i n (1≤π-≤-∴θ 4)3s i n (42≤π--≤-∴θ∴33≤+≤||b a ……… 13分16．（本小题满分13分)解：（Ⅰ）设“选手甲在A 区射击得0分”为事件M ,“选手甲在A 区射击至少得3分”为事件N ,则事件M 与事件N 为对立事件, 6427)411(41)(3003=-⋅⋅=)(C M P ………2分 6437642711=-=-=)M (P )N (P ………4分(Ⅱ) 设选手甲在A 区射击的得分为ξ,则ξ的可能取值为0，3，6,9.6427)41-(10)(3===ξP ;6427)411(41C 3)(213=-⋅⋅==ξP ; 649)411()41(6)(223=-==ξC P ; 641)41(9)(3===ξP所以ξ的分布列为49641964966427364270=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E 设选手甲在B 区射击的得分为η，则η的可能取值为0，2，4.2)-(10)(p P ==η；)1(2)1(C 2)(12p p p p P -=-⋅⋅==η;24)(p P ==η所以η的分布列为p p )p (p )p (E 441221022=⋅+-⋅+-⨯=η∴根据题意， 有 ξηE E > ∴1169494<<∴>p ,p ……… 13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABCD A BC D -中四边形ABCD 是正方形, AD CD ∴⊥1DD ABCD AD ABCD ⊥⊂ 平面，平面1AD DD ∴⊥ 1DD CD D = 11AD CDD C ∴⊥平面111D F CDDC ⊂ 平面 1A D D F∴⊥ ……… 4分 （Ⅱ）证明：在正四棱柱1111ABCD A BC D -中,连结1A D ,交1AD 于点M ,连结,ME MF . M ∴为1AD 中点.E 为AD 中点，F 为1CC 中点. 111//2ME DD ME DD ∴=且……… 6分 又1121DD CF DD //CF =且 ∴四边形CEMF 是平行四边形. MF //CE ∴ ……… 8分CE ⊄ 平面1AD F ,MF ⊂平面1AD F .//CE ∴平面1AD F .………9分(Ⅲ)解：以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图. 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C D F……… 10分∴平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =………11分设平面1AD F 的法向量为(,,)x y z =n .1(1,1,1),(1,0,2)AF AD =-=-，分则有10,0.AF AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 0,20.x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩ 取1z =，得(2,1,1)=n .111cos ,6DD DD DD ⋅〈〉==n n n . ………13分 平面F AD 1与平面所成二面角为锐角.所以平面1AD F 与底面ABCD 所成二面角的余弦值为618．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f (x )的定义域为｛x |0>x ｝……………1分.2222))(1()1(11)(x a x x x x a a x x a x a x f --=+-+=+-+='…………3分1>a 令0)(>'x f ，即a x x x a x x ><>--或得1,0))(1(2，∴)(x f 的增区间为（0，1），),(+∞a ……………4分 令0)(<'x f ，即a x xa x x <<<--1,0))(1(2得， ∴)(x f 的减区间为),1(a ……………5分 （Ⅱ）①当1≤a 时， 0)(≥'x f 在]1[e ,上恒成立， ∴)(x f 在]1[e ,恒为增函数. … 6分21)1()]([min -=-==∴a f x f ，得.(3舍去）=a ……… 7分②当e a <<1 时，令0)(='x f ，得1或a x =. 当a x <<1时，0)(<'x f ∴)(x f 在),1(a 上为减函数； 当e x a <<时，0)(>'x f ∴)(x f 在),(e a 上为增函数；2)ln()1(1)()]([min -=+--==∴a a a a f x f ，得（舍）……… 10分③当e a >时，0)(≤'x f 在],1[e 上恒成立，此时)(x f 在],1[e 恒为减函数.2)1()()]([min -=+--==∴a eae ef x f ，得 .e a = ………12分 综上可知 .e a = ……… 13分 19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意可知2)(136abe -==,得 223b a = ……… 2分 )11(,B 点 在椭圆上11122=+ba 解得：34422==b ,a ……… 4分 故椭圆M 的方程为：143422=+y x ……… 4分 （Ⅱ）由于PBQ ∠的平分线垂直于OA 即垂直于x 轴，故直线PB 的斜率存在设为k ，则QB 斜率为 - k ，因此PB 、QB 的直线方程分别为y = k (x -1)+1， y = -k (x -1) +1 ……… 6分由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 得01631631222=--+--+k k x )k (k x )k (①由0>∆ ，得31-≠k ……… 8分 点B 在椭圆上，x =1是方程①的一个根，设),(),,(Q Q p p y x Q y x P13163122+--=⋅∴k k k x P 即1316322+--=∴k k k x P ，同理1316322+-+=k k k x Q ………10分 ∴=PQk 311312213)13(22)(222=+--+-⋅=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P)1,1(),0,2(--C A 31=∴AC k 即：AC PQ k k =∴向量//，则总存在实数λ使λ=成立. ………13分20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）0131a a -=,0291a a +-=,03277a a -= ……… 2分（Ⅱ）由123,nn n a a +=-得1112(3)(3)(3)n n n n n n a a +++-=--- ……… 3分 令(3)n n n a b =-，所以112(3)nn n n b b ++-=-所以121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-23112342222(3)(3)(3)(3)n nb -=+++++---- 2111222()[()()()]3333n b -=+--+-++-1122()(1())133()31()3n b ----=+--- 1122(1()),153n b -=+-- ……… 6分所以1122(1())(3)3153n n n a a -=+---- ……… 7分 所以1112(3)[(3)32]15n n n n a a --=⋅-+-+⋅ 1102(13)(3)[(3)32]15n n n a --=--+-+⋅101[2(1)3](1)35n n n n n a -=+-⋅+-⋅⋅ ……… 8分 （Ⅲ）1111101[2(1)3](1)35n n n n n n n a a a +++++-=+-⋅+-⋅⋅101[2(1)3](1)35n n n n n a --+-⋅--⋅⋅ 0112(1)43()55n n n a =⋅+-⋅⋅- 所以101121()()(1)4()3535n nn n n a a a +-=+-⋅⋅- ……… 10分如果0105a ->，利用n 无限增大时，2()3n的值接近于零，对于非常大的奇数n ，有10n n a a +-<；如果0105a -<，对于非常大的偶数n ，10n n a a +-<，不满足题目要求.当015a =时，112,5n n n a a +-=⋅于是对于任何正整数n ，1n n a a +>，因此015a =即为所求. ……… 13分。
2012西城一摸数学理科带详细答案
北京市西城区2012年高三一模试卷数 学（理科） 2012.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合1{|1}A x x=≥，则U A =ð（ ） （A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(,0](1,)-∞+∞ （D ）(,0)[1,)-∞+∞2．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的 值为（ ） （A ）2 （B ）5 （C ）11 （D ）233．若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为（ ）（A ）9 （B ）3 （C ）0 （D ）3-4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3． 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） （A）2 （B）2 （C ）28cm（D ）24cm5．已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ ）（A ）2（B ）1（C ）12（D ）146．若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）b a c <<（B ）a b c <<（C ）c b a << （D ）b c a <<7．设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ．若对*n ∀∈N ，有23n n S S <，则q 的取值范围是（ ） （A ）(0,1] （B ）(0,2)（C ）[1,2)（D）8．已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠.则A 中所有元素之和等于（ ） （A ）3240（B ）3120（C ）2997（D ）2889第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),， [1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．10．6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答） 11. 如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC于点M．若OC =1OM =，则MN =_____．12. 在极坐标系中，极点到直线:l πsin()4ρθ+=_____．13. 已知函数12,0,(),20,x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 其中0c >．那么()f x 的零点是_____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则c 的取值范围是_____．14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，B分别在射线(0)y x x =≥和(0)y x =≥上运 动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为_____；△OAB 周长的最小值是 _____．ABCOMN三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若||7BC = ，20=⋅AC AB ，求||AB AC + ．16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.17．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ；（Ⅲ）求二面角B FC A --的余弦值．18.（本小题满分13分）已知函数()e (1)axa f x a x=⋅++，其中1-≥a .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）对于数列12:,,,(,1,2,,)n n i A a a a a i n ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列n A 变换成数列12:,,,n n B b b b ，其中1||(1,2,,1)i i i b a a i n +=-=- ，且1||n n b a a =-，这种“T 变换”记作()n n B T A =.继续对数列n B 进行“T 变换”，得到数列n C ，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问3:4,2,8A 和4:1,4,2,9A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求3123:,,A a a a 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件； （Ⅲ）证明：41234:,,,A a a a a 一定能经过有限次“T 变换”后结束．北京市西城区2012年高三一模试卷数学（理科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. A ；4.A ；5. B ；6. D ；7. A ；8. D .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.54； 10.160-； 11.1；12 13.1-和0，(0,4]； 14，2(1. 注：13题、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=． ………………3分因为(0,π)B ∈， 所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………5分 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………6分（Ⅱ）解：由余弦定理，得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅．………………8分因为 ||7BC = ，||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅=，所以 22||||89AB AC += ． ………………10分 因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=， ………………12分所以 ||AB AC +=………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21． ………………1分 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则334341111()C ()()2228P A -==． ………………4分 （Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .因为，乙以4比2获胜的概率为3353151115C ()()22232P -==， ………………6分乙以4比3获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==， ………………7分所以 125()16P B P P =+=． ………………8分 （Ⅲ）解：设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C ()28P X ===， ………………9分 334341111(5)2C ()()2224P X -===， ………………10分 335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=， ………………11分 336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=． ………………12分 比赛局数的分布列为：X 4 5 6 7 P18 14 516 516………………13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 且O 为AC 中点． ………………1分又 FC FA =，所以 AC FO ⊥． ………3分 因为 O BD FO = ，所以 ⊥AC 平面BDEF ． ………………4分 （Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD //BC ，DE //BF ，所以 平面FBC //平面EAD ． ………………7分 又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． ………………8分 （Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． ………………9分 设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1OB =，OA OF ==所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -．所以CF =，,0)CB =．设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ． ………………12分易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ． ………………13分由二面角B FC A --是锐角，得cos ,5⋅〈〉==n v n v n v． 所以二面角B FC A --的余弦值为515． ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)xf x x x '=⋅+-． ………………2分 由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． ………………4分 （Ⅱ）解：2(1)[(1)1]()eaxx a x f x a x ++-'=，0x ≠． ………………6分① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．……………8分当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． ………………10分 ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ………………11分 ④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+． ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由 222222519a b b e a a-===-， 得 23b a =. ………………2分 依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =. ………………4分所以椭圆C 的方程是22194x y +=. ………………5分（Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 22(49)16200m y my ++-=. ………………7分所以 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+. ………………8分 若PF 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0=+PB PA k k . ………………9分 设(,0)P a ，则有12120y yx a x a+=--. 将 112x my =+，222x my =+代入上式， 整理得1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. ………………12分 将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式， 整理得 (29)0a m -+⋅=. ………………13分 由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =. 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠. ………………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列3:4,2,8A 不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． ………………2分数列4:1,4,2,9A 能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0． ………………3分（Ⅱ）解：3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．………………4分若123a a a ==，则经过一次“T 变换”就得到数列0,0,0，从而结束． ……………5分 当数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列3()T A 为常数列，则3A 为常数列”．当123a a a ≥≥时，数列3122313():,,T A a a a a a a ---．由数列3()T A 为常数列得122313a a a a a a -=-=-，解得123a a a ==，从而数列3A 也 为常数列．其它情形同理，得证．在数列3A 经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列3A 也为常数列． ………………8分所以，数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列()n T A 的最大项一定不大于数列n A 的最大项，其中3n ≥”．证明：记数列n A 中最大项为max()n A ，则0max()i n a A ≤≤． 令()n n B T A =，i p q b a a =-，其中p q a a ≥． 因为0q a ≥， 所以max()i p n b a A ≤≤，故max()max()n n B A ≤，证毕． ………………9分 现将数列4A 分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，44max()max()1B A ≤-．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时44max()max()B A =． 下面证明第二类数列4A 经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列4A 的第一项为0，第二项a 最大(0a >)．（其它情形同理） ① 当数列4A 中只有一项为0时，若4:0,,,A a b c (,,0a b a c bc >>≠)，则4():,,||,T A a a b b c c --，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,(,0)A a a b a b b >≠，则4():,0,,T A a a b b -；4(()):,,|2|,T T A a a b a b a b --- 此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,A a b a (,0a b b >≠)，则4():,,,T A a a b a b b --，此数列各项均不为0，为第一 类数列；若4:0,,,A a a a ，则4():,0,0,T A a a ；4(()):,0,,0T T A a a ；4((())):,,,T T T A a a a a ， 此数列各项均不为0，为第一类数列．② 当数列4A 中有两项为0时，若4:0,,0,A a b (0a b ≥>)，则4():,,,T A a a b b ，此数列 各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,0A a b (0a b ≥>)，则():,,,0T A a a b b -，(()):,|2|,,T T A b a b b a -，此数列 各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③ 当数列4A 中有三项为0时，只能是4:0,,0,0A a ，则():,,0,0T A a a ，(()):0,,0,T T A a a ，((())):,,,T T T A a a a a ，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列4A 至多经过3次“T 变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T 变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T 变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束． ………………13分。
2012西城二模答案
北京市西城区2012年初三二模试卷数学答案及评分标准2012. 6三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=5162-+⨯-4分=4+…………………………………………………………………… 5分14．解：原式=22(44)(6)3x x x x x -+---=32324463x x x x x -+-+-=2243x x +-．………………………..….….….….….…………………… 3分∵ 2240x x +-=，∴ 224x x +=. ………………………………………………………………… 4分∴ 原式=22(2)35x x +-=. ….……………………………………………………5分15.(1)证明：如图1.∵ ∠BAF =∠CAE ，∴ BAF C AF C AE C AF ∠-∠=∠-∠.∴ BAC D AE ∠=∠. ………………… 1分 在△ABC 和△ADE 中,,,,B D AB AD BAC D AE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △ABC ≌△ADE. ……………………………………………………… 3分 ∴ BC=DE. ………………………………………………………………… 4分 (2)∠DGB 的度数为67︒．……………………………………………………………… 5分 16．解：(1)∵关于x 的一元二次方程(m +1)x 2 + 2mx + m - 3 = 0 有两个不相等的实数根，∴ 10m +≠且0∆>．∵ 2(2)4(1)(3)4(23)m m m m ∆=-+-=+，∴ 230m +>． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分图1解得 m >23-． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分∴ m 的取值范围是 m >23-且m ≠ -1． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 3分(2)在m >23-且m ≠ -1的范围内，最小奇数m 为1． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分此时，方程化为210x x +-=． ∵ 224141(1)5b ac ∆=-=-⨯⨯-=， ∴212x ==⨯．∴ 方程的根为12x =，22x =．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分17. (1)证明：如图2.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD 且AB=CD . ﹍﹍﹍﹍1分 ∵ 点E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴ CD DF AB AE 21,21==.∴ AE=DF . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2分 ∴ 四边形AEFD 是平行四边形. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 (2)解：过点D 作DG ⊥AB 于点G . ∵ AB =2AD =4，∴ AD =2. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 在Rt △AGD 中，∵90,60,AG D A ∠=︒∠=︒ AD =2， ∴ .360sin ,160cos =︒⋅==︒⋅=AD DG AD AG ∴ 3BG AB AG =-=.在Rt △DGB中，∵90,3,DGB DG BG ∠=︒==∴.329322=+=+=BGDGDB ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分18．解：(1)300； ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 (2)52；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分(3)1750 . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：(1)当MN ⊥AC 时，从N 到M 小区铺设的管道最短.（如图3）﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1分 (2) ∵ ∠MAC =60︒-30︒=30︒，∠ACM =30︒+30︒=60︒，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 ∴ ∠AMC =180︒-30︒-60︒=90︒. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 3分图2G FED CBA在Rt △AMC 中，∵∠AMC =90︒，∠MAC =30︒，AC =2000， ∴cos 20002A M A C M A C =⋅∠=⨯=米). ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分在Rt △AMN 中，∵ ∠ANM =90︒，cos30︒=AMAN ，∴ AN =AM ⋅cos30︒=10003⨯23=1500(米).………………………………………… 5分答：∠AMC 等于90︒，AN 的长为1500米. 20.解：(1)根据题意得(6,0)A ，(0,8)B .(如图4)在Rt △OAB 中，∠AOB =90︒，OA =6，OB =8， ∴ 10AB =.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1分∵ △DAB 沿直线AD 折叠后的对应三角形为△DAC ， ∴ AC=AB=10.∴ 16OC OA AC OA AB =+=+=. ∵ 点C 在x 轴的正半轴上，∴ 点C 的坐标为(16,0)C .﹍﹍﹍﹍﹍ 2分 (2)设点D 的坐标为(0,)D y .（y <0） 由题意可知CD=BD ，22CD BD =. 由勾股定理得22216(8)y y +=-. 解得12y =-.∴ 点D 的坐标为(0,12)D -.﹍﹍﹍﹍﹍3分 可设直线CD 的解析式为 12y kx =-.（k ≠ 0）∵ 点(16,0)C 在直线12y kx =-上，∴ 16120k -=. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 解得34k =.∴ 直线CD 的解析式为3124y x =-.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分21.(1)证明：连结AO ，AC .(如图5) ∵ BC 是⊙O 的直径，∴ 90BAC C AD ∠=∠=︒.﹍﹍﹍﹍﹍1分 ∵ E 是CD 的中点， ∴AEDE CE ==.∴ EAC ECA ∠=∠. ∵ OA =OC ，东l∴ OCA OAC ∠=∠. ∵ CD 是⊙O 的切线，∴ CD ⊥OC . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 ∴90EC A O C A ∠+∠=︒.∴90EAC O AC ∠+∠=︒.∴ OA ⊥AP .∵ A 是⊙O 上一点，∴ AP 是⊙O 的切线. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 (2) 解：由(1)知OA ⊥AP .在Rt △OAP 中，∵90O AP ∠=︒，OC=CP=OA ，即OP =2OA ，∴ sin P 21==OPOA .∴ 30P ∠=︒. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 ∴ 60AO P ∠=︒. ∵ OC=OA ， ∴ 60AC O ∠=︒.在Rt △BAC 中，∵90BAC ∠=︒，AB=33，60AC O ∠=︒，∴ 3tan tan 60A B A C A C O===∠︒.又∵ 在Rt △ACD 中，90C AD ∠=︒，9030AC D AC O ∠=︒-∠=︒， ∴ 3cos cos 30AC C D AC D===∠︒. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分22.解：(1) 如图所示，答案不唯一. 画出△D 1BC ，△D 2BC ，△D 3BC ，△D 4BC ，△D 5BC中的一个即可.（将BC 的平行线l 画在直线BC 下方对称位置所画出的三角形亦可)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2分(2) 如图所示，答案不唯一. （在直线D 1D 2上取其他符合要求的点，或将BC 的平行线画在直线BC 下方对称位置所画出的三角形亦可)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分N(3) 如图所示(答案不唯一).﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5分如上图所示的四边形ABDE 的画法说明：(1)在线段BC 上任取一点D （D 不为BC 的中点），连结AD ；(2)画出线段AD 的垂直平分线MN ；(3)画出点C 关于直线MN 的对称点E ，连结DE ，AE . 则四边形ABDE 即为所求.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：(1)由题意得A ，C 两点的坐标分别为1(1,)A k ，2(1,)C k ．（如图6）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分 ∵ 10k >，20k <，∴ 点A 在第一象限，点C 在第四象限，12AC k k =-． 当m=4时，1213()AC D S AC BD k k ∆=⋅=-．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分∵ EG ∥AB ，AD 的中点为E ， ∴ △DEG ∽△DAB ，12EG D G D EABD BD A===，G 为BD 的中点．∵ A ，B ，D 三点的坐标分别为1(1,)A k ，(1,0)B ，(,0)D m ， ∴ 122k AB EG ==，122BDm BG -==，12m O G O B BG +=+=．∴ 点E 的坐标为11(,)22k m E +． ∵ 点E 恰好在双曲线1ky x=上，∴11122k m k +⋅=．①﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 ∵ 10k >， ∴ 方程①可化为114m +=，解得3m =．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分(3)当点D 的坐标为(2,0)D 时，由(2)可知点E 的坐标为13(,)22k E ．（如图8） ∵ 1BDF S ∆=， ∴ 11122BD F S BD O F O F ∆=⋅==．∴ 2O F =． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5分 设直线BE 的解析式为y ax b =+（a ≠0）． ∵ 点B ，点E 的坐标分别为(1,0)B ，13(,)22k E ，∴ 10,3.22a b k a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得 1a k =，1b k =-．∴ 直线BE 的解析式为11y k x k =-．∵ 线段EB 的延长线与y 轴的负半轴交于点F ，10k >， ∴ 点F 的坐标为1(0,)F k -，1OF k =．∴ 12k =．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 6分 线段CF﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7分24．解:(1) 当t =5秒时，点P 走过的路径长为 19 ；当t = 3 秒时，点P 与点E 重合．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分(2) 如图9，由点P 的对应点M 落在EF 上，点F 的对应点为点N ，可知∠PEF =∠MEN ，都等于△PEF 绕点E 旋转的旋转角，记为α． 设AP =3t （0< t <2），则CP =63t -，4C E t =．∵ EF ∥AC ，∠C =90°，∴ ∠BEF =90°，∠CPE =∠PEF =α． ∵ EN ⊥AB ， ∴ ∠B=∠MEN=α．∴ C PE B ∠=∠．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 ∵ tan C E C PE C P∠=，3tan 4AC B BC==，A∴ 43C P C E =． ∴ 446333t t -=⨯．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分解得5443t =．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分(3) t 的值为65（秒）或307（秒）．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7分 25．解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分(2) d =AB =A B y y -=2124n n -+.∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+.﹍﹍3分∴ 当14n =时，d 取得最小值18. ﹍﹍ 4分当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB =PM . (如图﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5分(3) ∵ 对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +，∴ 对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤2124x +都成立. (0a ≠) ①当0x =时，①式化为 0≤c ≤14.∴ 整数c 的值为0. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 6分此时，对一切实数x ，x ≤2ax bx +≤2124x +都成立.(0a ≠)即 222,12.4x ax bx ax bx x ⎧≤+⎪⎨+≤+⎪⎩对一切实数x 均成立. 由②得 ()21ax b x +-≥0 (0a ≠) 对一切实数x 均成立.∴ ()210,10.a b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩ 由⑤得整数b 的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分此时由③式得，2ax x +≤2124x +对一切实数x 均成立. (0a ≠)即21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立. (0a ≠)④⑤② ③当a =2时，此不等式化为14x -+≥0，不满足对一切实数x 均成立.当a ≠2时，∵ 21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立，(0a ≠)∴ 2220,1(1)4(2)0.4a a ->⎧⎪⎨∆=--⨯-⨯≤⎪⎩∴ 由④，⑥，⑦得 0 <a ≤1.∴ 整数a 的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分∴ 整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =.⑥ ⑦。
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2012年北京西城高考二模数学（理）
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 已知集合，，若，则的取值范围是______
A. B. C. D.
2. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：则输出函数的序号为______
①；②；③；④．
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
3. 椭圆是参数的离心率是______
A. B. C. D.
4. 已知向量，，其中．则“”是“”成立的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
5. 下图是两组各名同学体重（单位：）数据的茎叶图．设两组数据的平均数依次为和，
标准差依次为和，那么______
，其中为的平均数）
A. ；
B. ；
C. ；
D.
6. 已知函数，其中实数随机选自区间．对，的概率是
______
A. B. C. D.
7. 某大楼共有层，有人在第层上了电梯，他们分别要去第至第层，每层人．因特
殊原因，电梯只允许停次，只可使人如愿到达，其余人都要步行到达所去的楼层．假设这位乘客的初始"不满意度"均为，乘客每向下步行层的"不满意度"增量为，每向上步行层的"不满意度"增量为，人的"不满意度"之和记为，则的最小值是______
A. B. C. D.
8. 对数列，如果及，，，，使
成立，其中，则称为阶递归数列．给出下列三个结论：
①若是等比数列，则为阶递归数列；
②若是等差数列，则为阶递归数列；
③若数列的通项公式为，则为阶递归数列．
其中，正确结论的个数是______
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；共30分）
9. 在中，，则 ______．
10. 已知复数满足，则 ______．
11. 如图，是的内接三角形，是的切线，交于点，交于点
．若，，，，则 ______； ______．
12. 已知函数是上的偶函数，则实数 ______，不等式的解
集为______．
13. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，
则该几何体的体积是______；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是______．
14. 曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出下列三
个结论：
①曲线关于轴对称；
②若点在曲线上，则；
③若点在曲线上，则．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题（共6小题；共78分）
15. 已知函数．
（1）求的值；
（2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围．
16. 如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．，，
，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使 平面 ?若存在，求出；若不存在，说明理由．17. 甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答
对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．
（1）求乙得分的分布列和数学期望；
（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．
（1）若，求直线的斜率；
（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值．
19. 已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．
20. 若（或，），则称为和的一个位排列．对于，
将排列记为；将排列记为；依此类推，直至．
对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做和的相关值，记作．例如，则，．若，则称为最佳排列．（1）写出所有的最佳排列；
（2）证明：不存在最佳排列；
（3）若某个（是正整数）为最佳排列，求排列中的个数．
答案
第一部分
1. D
2. D
3. B
4. A
5. C
6. C
7. C
8. D
第二部分
9.
10.
11. ；
12.
13. ；
14. ①②③
第三部分
15. （1）．
（2）因为，都有，即，
由已知得又因为，故，当时，即
时，有最大值为，所以的取值范围为．
16. （1）取中点，连接，，
，所以．
因为四边形为直角梯形，，，
所以四边形为正方形，所以．
又因为，
所以平面，平面，
所以．
（2）因为平面平面，且，平面平面，
所以平面，所以．
由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
为等腰直角三角形，所以，
设，所以，，，，，．
所以，平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
（3）存在点，且时，有 平面．
证明如下：
假设上存在点，使得 平面，
交于点，连接，
则，
所以，
由，得．
其他证明方法：
由，，
所以．
设平面的法向量为，则有<br>\（\[ \begin{cases}\overrightarrow v\cdot
\overrightarrow{BD}=0，\\ \overrightarrow v\cdot \overrightarrow{FB}=0. \end{cases}\]\）<br>所以
取，得．
因为，且平面，所以 平面．
即点满足时，有 平面．
17. （1）设乙答题所得分数为，则的可能取值为，且
乙得分的分布列如下表：故．（2）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲、乙入选的事件分别为，则由（1）知，，
又甲回答题可视为独立重复试验，故，
于是甲、乙至少有一人入选的概率．
18. （1）依题意，设直线方程为．将直线的方程与抛物线的方程联立，消
去得设，，所以因为，所以．
联立和，消去，，得．
所以直线的斜率是．
（2）由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距
离相等，
所以四边形的面积等于．
因为所以时，四边形的面积最小，最小值是．
19. （1）当时，，．
由，得曲线在原点处的切线方程是．
（2）．
①当时，．
所以在单调递增，在单调递减．
当，．
②当时，令，得，，与的情况如下：
故的单调减区间是，；单调增区间是．
③当时，与的情况如下：
所以的单调增区间是，；单调减区间是．
（3）由（2）得，时不符合题意．
当时，由（2）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．
设为的零点，易知，且．
从而时，；时，．
若在上存在最小值，必有，解得．
所以时，若在上存在最大值和最小值，则的取值范围是．
当时，由（2）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．
若在上存在最大值，必有，解得，或．
所以时，若在上存在最大值和最小值，则的取值范围是．
综上，的取值范围是．
20. （1）最佳排列为，，
（2）设，则，
因为，
所以，，，，之中有个，个．
按的顺序研究数码变化，由上述分析可知有次数码不发生改变，有次数码发生了改变．
但是经过奇数次数码改变不能回到自身，
所以不存在，使得，
从而不存在最佳排列．
（3）由或，得
因为，
所以与每个有个对应位置数码相同，有个对应位置数码不同，因此有
以上各式求和得，
．
另一方面，还可以这样求和：设，，，，中有个，个，则．
所以
解得或所以排列中的个数是或．。