2020年中考数学复习 第四章 几何初步与三角形 第五节 直角三角形要题随堂演练
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 第一节 几何初步及相交线与平行线
其中※处填的依据是 A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
( C)
8．(2021·烟台)一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个 三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中∠α 的度数为
( C) A．45° B．60° C．75° D．85°
11．(2020·江西)如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论中错
误的是
( C)
A．AB∥CD
B．∠B＝30°
C．∠C＋∠2＝∠EFC
D．CG＞FG
12．(易错题)若直线 a∥b∥c，a 与 b 之间的距离为 7 cm，b 与 c 之间的
距离为 3 cm，则 a 与 c 之间的距离为
＝50°，∠1＋∠2＋∠3＝240°，则∠4 等于( B )
A．80°
B．70°
C．60°
D．50°
20．(2020·麒麟区一模)如图，把一张上下两边平行的纸条沿 EF 折叠， 若∠2＝132°，则∠1＝8484°°.
21．(2020·湘潭)如图，点 P 是∠AOC 的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足 为点 D，且 PD＝3，点 M 是射线 OC 上一动点，则 PM 的最小值为__33__.
9．(2021·临沂)如图，在 AB∥CD 中，∠AEC＝40°，CB 平分∠DCE，则
∠ABC 的度数为
( B)
A．10° B．20° C．30° D．40°
10．(2021·齐齐哈尔)一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝47°，
则∠2 的度数为
( D)
A．43° B．47° C．133° D．137°
第四章 三角形 第一节 几何初步及相交
2020年中考数学复习：直角三角形、勾股定理 专项练习题汇编(含答案)
2020年中考数学复习：直角三角形、勾股定理 专项练习题汇编一、选择题1．(2019·广元)如图,△ABC 中,∠ABC ＝90°,BA ＝BC ＝2,将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到 △DEC,连接BD,则BD 2的值是________【答案】8+【解析】连接AD,过点D 作DM ⊥BC 于点M,DN ⊥AC 于点N,易得△ACD 是等边三角形,四边形BNDM 是正方形,设CM ＝x,则DM ＝MB ＝x+2,∵BC ＝2,∴CD ＝AC ＝,∴在Rt △MCD 中,由勾股定理可求得,x ＝1,DM ＝MB 1,∴在Rt △BDM 中,BD 2＝MD 2+MB 2＝8+2．（2019·绍兴 ）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ( ) A.524 B.532 C.173412 D.173420【答案】A【解析】如图所示：设DM ＝x ，则CM ＝8﹣x ，根据题意得：（8﹣x +8）×3×3＝3×3×5，解得：x ＝4，∴DM ＝6，∵∠D ＝90°，由勾股定理得：BM =＝5，过点B 作BH ⊥AH ，∵∠HBA+∠ABM ＝∠ABM+∠ABM ＝90°，∴∠HBA+＝∠ABM ，所以Rt △ABH ∽△MBD ， ∴BH BD AB BM =，即385BH =，解得BH ＝524，即水面高度为524． 3．（2019·益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM=MN=2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC 、BC ，则△ABC 一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】如图所示，∵AM=MN=2，NB ＝1，∴AB=AM=MN+NB ＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，∴25522==AB ，16422==AC ，9322==BC , ∴222AB BC AC =+，∴△ABC 是直角三角形.4．(2019·广元)如图,在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E.使得∠CDE ＝15°,连接BE 并延长BE 到F,使CF ＝CB,BF 与CD 相交于点H,若AB ＝1,有下列结论:①BE ＝DE;②CE+DE ＝EF;③S △DEC ＝1412-,④1DH HC=.则其中正确的结论有( ) A.①②③ B.①②③ ④ C.①②④ D.①③④【答案】A【解析】①利用正方形的性质,易得△BEC ≌△DEC,∴BE ＝DE,①正确;②在EF 上取一点G,使CG ＝CE,∵∠CEG ＝∠CBE+∠BCE ＝60°,∴△CEG 为等边三角形,易得△DEC ≌△FGC,CE+DE ＝EG+GF ＝EF,②正确;③过点D 作DM ⊥AC 于点M,S △DEC ＝S △DMC －S △DME ＝1412-,③正确;④tan ∠HBC ＝2,∴HC ＝2＝1－HC ＝1,∴DH HC=,④错误.故选A.5. (2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和。
2020年中考数学重难点专练05 几何综合题(解析版)
重难点05 几何综合题【命题趋势】几何综合题是中考数学中的重点题型，也是难点所在．几何综合题的难度都比较大，所占分值也比较重，题目数量一般有两题左右，其中一题一般为三角型、四边形综合；另一题通常为圆的综合；它们在试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置．只所以几何综合题难度大，学生一般都感觉难做，主要是因为这种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动点问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大．所以我们一定要重视平时多培养自己的综合运用知识的能力，从不同的角度，运用不同的知识去解决同一个问题．【满分技巧】一．熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题，首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识，尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆等相关知识．二．掌握分析问题的基本方法﹕分析法、综合法、“两头堵”法﹕1．分析法是我们最常用的解决问题的方法，也就是从问题出发，执果索因，去寻找解决问题所需要的条件，依次向前推，直至已知条件；例如，我们要证明某两个三角形全等，先看看要证明全等，需要哪些条件，哪些条件已知了，还缺少哪些条件，然后再思考要证缺少的条件，又需要哪些条件，依次向前推，直到所有的条件都已知为止即可．2．综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论，适合比较简单的问题；3．“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方，不知道如何向下分析时，可以从已知条件出发看看能得到什么结论，把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略．三．注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决，我们还要注意运用数学思想方法，这样会大大帮助我们解决问题，或者简化我们解决问题的过程，加快我们解决问题的速度，毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化、类比、归纳等等．【限时检测】（建议用时：60分钟）1. (2019 湖南省郴州市)如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE 翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把△BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE△△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且△DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．【解析】（1）证明：由折叠的性质可知：△DAE＝△DA1E＝90°，△EBH＝△EB1H＝90°，△AED＝△A1ED，△BEH ＝△B1EH，△△DEA1+△HEB1＝90°．又△△HEB1+△EHB1＝90°，△△DEA1＝△EHB1，△△A1DE△△B1EH；（2）结论：△DEF是等边三角形；理由如下：△直线MN是矩形ABCD的对称轴，△点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，在△A1DE和△A1DF中△△A1DE△△A1DF（SAS），△DE＝DF，△FDA1＝△EDA1，又△△ADE△△A1DE，△ADF＝90°．△△ADE＝△EDA1＝△FDA1＝30°，△△EDF＝60°，△△DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），△G'F＝GE，DG'＝DG，△GDG'＝60°，△△DGG'是等边三角形，△GG'＝DG，△DGG'＝60°，△△DGF＝150°，△△G'GF＝90°，△G'G2+GF2＝G'F2，△DG2+GF2＝GE2，2. (2019 江西省)在图1，2，3中，已知△ABCD，△ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE 为边向上作菱形AEFG，且△EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，△CEF＝°；（2）如图2，连接AF．△填空：△F AD△EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；△求证：点F在△ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．【解析】（1）△四边形AEFG是菱形，△△AEF＝180°﹣△EAG＝60°，△△CEF＝△AEC﹣△AEF＝60°，故答案为：60°；（2）△△四边形ABCD是平行四边形，△△DAB＝180°﹣△ABC＝60°，△四边形AEFG是菱形，△EAG＝120°，△△F AE＝60°，△△F AD＝△EAB，故答案为：＝；△作FM△BC于M，FN△BA交BA的延长线于N，则△FNB＝△FMB＝90°，△△NFM＝60°，又△AFE＝60°，△△AFN＝△EFM，△EF＝EA，△F AE＝60°，△△AEF为等边三角形，△F A＝FE，在△AFN和△EFM中，，△△AFN△△EFM（AAS）△FN＝FM，又FM△BC，FN△BA，△点F在△ABC的平分线上；（3）△四边形AEFG是菱形，△EAG＝120°，△△AGF＝60°，△△FGE＝△AGE＝30°，△四边形AEGH为平行四边形，△GE△AH，△△GAH＝△AGE＝30°，△H＝△FGE＝30°，△△GAN＝90°，又△AGE＝30°，△GN＝2AN，△△DAB＝60°，△H＝30°，△△ADH＝30°，△AD＝AH＝GE，△四边形ABCD为平行四边形，△BC＝AD，△BC＝GE，△四边形ABEH为平行四边形，△HAE＝△EAB＝30°，△平行四边形ABEN为菱形，△AB＝AN＝NE，△GE＝3AB，△＝3．3. (2019 浙江省宁波市)如图1，△O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF△EC交AE于点F．（1）求证：BD＝BE．（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．（3）设＝x，tan△DAE＝y．△求y关于x的函数表达式；△如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．【解析】证明：（1）△△ABC是等边三角形，△△BAC＝△C＝60°，△△DEB＝△BAC＝60°，△D＝△C＝60°，△△DEB＝△D，△BD＝BE；（2）如图1，过点A作AG△BC于点G，△△ABC是等边三角形，AC＝6，△BG＝，△在Rt△ABG中，AG＝BG＝3，△BF△EC，△BF△AG，△，△AF：EF＝3：2，△BE＝BG＝2，△EG＝BE+BG＝3+2＝5，在Rt△AEG中，AE＝；（3）△如图1，过点E作EH△AD于点H，△△EBD＝△ABC＝60°，△在Rt△BEH中，，△EH＝，BH＝，△，△BG＝xBE，△AB＝BC＝2BG＝2xBE，△AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝（2x+）BE，△在Rt△AHE中，tan△EAD＝，△y＝；△如图2，过点O作OM△BC于点M，设BE＝a，△，△CG＝BG＝xBE＝ax，△EC＝CG+BG+BE＝a+2ax，△EM＝EC＝a+ax，△BM＝EM﹣BE＝ax﹣a，△BF△AG，△△EBF△△EGA，△，△AG＝，△BF＝，△△OFB的面积＝，△△AEC 的面积＝，△△AEC 的面积是△OFB 的面积的10倍，△，△2x 2﹣7x +6＝0，解得：， △，探究问题4. (2019 辽宁省沈阳市)思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作//CD AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得200CD =米，那么A ，B 间的距离是 米．思维探索：（2）在ABC ∆和ADE ∆中，AC BC =，AE DE =，且AE AC <，90ACB AED ∠=∠=︒，将ADE ∆绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时ADE ∆的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．△如图2，当ADE ∆在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ； △如图3，当90α=︒时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论； △当150α=︒时，若3BC =，DE l =，请直接写出2PC 的值．【解析】（1）解：//CD AB Q ，C B ∴∠=∠， 在ABP ∆和DCP ∆中，BP CPAPB DPC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，()ABP DCP SAS ∴∆≅∆，DC AB ∴=． 200AB =Q 米． 200CD ∴=米，故答案为：200．（2）△PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC PE =，PC PE ⊥． 理由如下：如解图1，延长EP 交BC 于F ， 同（1）理，可知()FBP EDP SAS ∴∆≅∆，PF PE ∴=，BF DE =，又AC BC =Q ，AE DE =，FC EC ∴=，又90ACB ∠=︒Q ，EFC ∴∆是等腰直角三角形，EP FP =Q ，PC PE ∴=，PC PE ⊥．△PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC PE =，PC PE ⊥．理由如下：如解图2，作//BF DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ， 同△理，可知()FBP EDP SAS ∆≅∆， BF DE ∴=，12PE PF EF ==，DE AE =Q ， BF AE ∴=，Q 当90α=︒时，90EAC ∠=︒，//ED AC ∴，//EA BC //FB AC Q ，90FBC ∠=， CBF CAE ∴∠=∠，在FBC ∆和EAC ∆中，BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FBC EAC SAS ∴∆≅∆，CF CE ∴=，FCB ECA ∠=∠， 90ACB ∠=︒Q ， 90FCE ∴∠=︒，FCE ∴∆是等腰直角三角形， EP FP =Q ，CP EP ∴⊥，12CP EP EF ==．△如解图2，作//BF DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH AC ⊥交CA 延长线于H 点， 当150α=︒时，由旋转旋转可知，150CAE ∠=︒，DE 与BC 所成夹角的锐角为30︒，150FBC EAC α∴∠=∠==︒，同△可得()FBP EDP SAS ∆≅∆，同△FCE ∆是等腰直角三角形，CP EP ⊥，CP EP ==， 在Rt AHE ∆中，30EAH ∠=︒，1AE DE ==，12HE ∴=，AH =，又3AC AB ==Q ，3AH ∴=，22210EC AH HE ∴=+=+2212PC EC ∴==．动点问题5. (2019 湖南省衡阳市)如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以lcm /s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE△AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在△ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【解析】（1）△△ABC是等边三角形，△△B＝60°，△当BQ＝2BP时，△BPQ＝90°，△6+t＝2（6﹣t），△t＝3，△t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．△BF平分△ABC，BA＝BC，△BF△AC，AM＝CM＝3cm，△EF△BQ，△△EFM＝△FBC＝△ABC＝30°，△EF＝2EM，△t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK△BC交AC于K．△△ABC是等边三角形，△△B＝△A＝60°，△PK△BC，△△APK＝△B＝60°，△△A＝△APK＝△AKP＝60°，△△APK是等边三角形，△P A＝PK，△PE△AK，△AE＝EK，△AP＝CQ＝PK，△PKD＝△DCQ，△PDK＝△QDC，△△PKD△△QCD（AAS），△DK＝DC，△DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′△BM＝CM＝3，AB＝AC，△AM△BC，△AM＝＝3，△AB′≥AM﹣MB′，△AB′≥3﹣3，△AB′的最小值为3﹣3．6. (2019 江苏省扬州市)如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，△G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ△AB．设PQ与AB之间的距离为x．（1）若a＝12．△如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为；△在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．【解析】（1）解：△P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，解得：x＝3；故答案为：3；△当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，△0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH△AB于M，交CD于N，作GE△CD于E，交AB于F，如图2所示：则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，△△GDC是等腰直角三角形，△DE＝CE，GE＝CD＝10，△GF＝GE+EF＝20，△GH＝20﹣x，由题意得：PQ△CD，△△GPQ△△GDC，△＝，即＝，解得：PQ＝40﹣2x，△梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，△当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；（2）解：P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，△0≤x≤20，△10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，△10≤x≤20，二次函数图象开口向下，△当x＝20时，S最小，△﹣202+×20≥50，△a≥5；综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．7. (2019 山东省济宁市)如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且△DMN＝△DAM，设AM＝x，DN ＝y．△写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；△是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）如图1中，△四边形ABCD是矩形，△AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，△△B＝△BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，BF＝＝6，△CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，△x＝3，△EC＝3．（2）△如图2中，△AD△CG，△＝，△＝，△CG＝6，△BG＝BC+CG＝16，在Rt△ABG中，AG＝＝8，在Rt△DCG中，DG＝＝10，△AD＝DG＝10，△△DAG＝△AGD，△△DMG＝△DMN+△NMG＝△DAM+△ADM，△DMN＝△DAM，△△ADM＝△NMG，△△ADM△△GMN，△＝，△＝，△y＝x2﹣x+10．当x＝4时，y有最小值，最小值＝2．△存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，△△MDN＝△GMD，△DMN＝△DGM，△△DMN△△DGM，△＝，△MN＝DM，△DG＝GM＝10，△x＝AM＝8﹣10．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH△DG于H．△MN＝DN，△△MDN＝△DMN，△△DMN＝△DGM，△△MDG＝△MGD，△MD＝MG，△BH△DG，△DH＝GH＝5，由△GHM△△GBA，可得＝，△＝，△MG＝，△x＝AM＝8﹣＝．综上所述，满足条件的x的值为8﹣10或．8. (2019 山东省青岛市)已知：如图，在四边形ABCD中，AB△CD，△ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE△AB，交BC于点E，过点Q作QF△AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在△BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE△OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）在Rt△ABC中，△△ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，△AC＝＝6（cm），△OD垂直平分线段AC，△OC＝OA＝3（cm），△DOC＝90°，△CD△AB，△△BAC＝△DCO，△△DOC＝△ACB，△△DOC△△BCA，△＝＝，△＝＝，△CD＝5（cm），OD＝4（cm），△PB＝t，PE△AB，易知：PE＝t，BE＝t，当点E在△BAC的平分线上时，△EP△AB，EC△AC，△PE＝EC，△t＝8﹣t，△t＝4．△当t为4秒时，点E在△BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，PC．S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t）＝﹣t2+t+16（0＜t＜5）．（3）存在．△S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜5），△t＝时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．（4）存在．如图，连接OQ．△OE△OQ，△△EOC+△QOC＝90°，△△QOC+△QOG＝90°，△△EOC＝△QOG，△tan△EOC＝tan△QOG，△＝，△＝，整理得：5t2﹣66t+160＝0，解得t＝或10（舍弃）△当t＝秒时，OE△OQ．9. (2019 四川省绵阳市) 如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD=4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠CAB=45°，∴∠FDE=∠CAB，∠DFE=∠DAC，∴∠FDE=∠DFE=45°，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（2）设OE=t，连接OD，∴∠DOE=∠DAF=90°，∵∠OED=∠DFA，∴△DOE∽△DAF，∴OEAF=ODAD=22，∴AF=2t ，又∵∠AEF=∠ADG，∠EAF=∠DAG，∴△AEF∽△ADG，∴AEAD= AF AG，∴AG · AE=AD · AF=42t ，又∵AE=OA+OE=2 2 +t，∴AG=42t22+t，∴EG=AE-AG=t2+822+t，当点H恰好落在线段BC上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°+45°=90°，∴△ADF∽△BFH，∴FHFD=FBAD=4-2t4，∵AF∥CD，∴FGDF=2t4+2t，∴4-2t4=2t4+2t，解得：t1=10 - 2 ，t2=10 + 2 （舍去），∴EG=EH=t2+822+t =(10-2)2+822+10-2= 310 - 5 2 ；（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG=t2+822+t，∵DE=EF，∠DEF=90°，∴∠DEO=∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK=OE=t，∴S△EFG=12EG · FK =t3+8t42+2t．10. (2019 四川省资阳市)在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C 的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF△BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．（1）如图，当AB＝BC＝8时，△若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；△当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．【解析】（1）△如图1中，△四边形EFGH是正方形，AB＝BC，△BE＝BG，AE＝CG，△BHE＝△BGH＝90°，△△AEH＝△CGH＝90°，△EH＝HG，△△AEH△△CGH（SAS），△AH＝CH．△如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH，S＝t2．如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN，S＝S△ABC﹣S△AEN﹣S△CGM＝×8×8﹣2×（8﹣t）2＝﹣t2+32t﹣32．综上所述，S＝．（2）如图3﹣1中，延长AH交BC于M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．△EH△BM，△＝，△＝，△t＝．如图3﹣2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CK＝8，△EH△BK，△＝，△＝，△t＝．如图3﹣3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CN＝8．在Rt△ABC中，AC＝＝10，△EF△AB，△＝，△＝，△EF＝（16﹣t），△EH△CN，△＝，△＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为s或s或s．11. (2019 天津市)在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，△ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（△）如图△，求点E的坐标；（△）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．△如图△，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；△当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．【解析】（△）△点A（6，0），△OA＝6，△OD＝2，△AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，△四边形CODE是矩形，△DE△OC，△△AED＝△ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，△OD＝2，△点E的坐标为（2，4）；（△）△由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′△O′C′△OB，△△E′FM＝△ABO＝30°，△在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，△S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×t＝，△S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4＝8，△S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8﹣，△S＝﹣t2+8，其中t的取值范围是：0＜t＜2；△当S＝时，如图△所示：O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，△△AO'F＝90°，△AFO'＝△ABO＝30°，△O'F＝O'A＝（6﹣t）△S＝（6﹣t）×（6﹣t）＝，解得：t＝6﹣，或t＝6+（舍去），△t＝6﹣；当S＝5时，如图△所示：O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，△O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），△S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，解得：t＝，△当≤S≤5时，t的取值范围为≤t≤6﹣．12. (2019 四川省南充市)如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，以DE 为边作正方形DEFG ，DF 与BC 交于点M ，延长EM 交GF 于点H ，EF 与GB 交于点N ，连接CG.（1）求证：CD△CG ；（2）若tan△MEN=31，求EMMN 的值；（3）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在运动过程中，EM 的长能否为21？请说明理由.【解析】（1）证明：在正方形ABCD ，DEFG 中，DA=DC ，DE=DG ，△ADC=△EDG=△A=90°（1分）△△ADC -△EDC=△EDG -△EDC ，即△ADE=△CDG ，△△ADE△△CDG （SAS ）（2分）△△DCG=△A=90°，△CD△CG （3分）（2）解：△CD△CG ，DC△BC ，△G 、C 、M 三点共线△四边形DEFG 是正方形，△DG=DE ，△EDM=△GDM=45°，又△DM=DM△△EDM△△GDM ，△△DME=△DMG （4分）又△DMG=△NMF ，△△DME=△NMF ，又△△EDM=△NFM=45°△△DME△△FMN ，△DMFM ME MN =（5分） 又△DE△HF ，△DM FM ED HF =，又△ED=EF ，△EFHF ME MN =（6分） 在Rt△EFH 中，tan△HEF=31=EF HF ，△31=ME MN （7分） （3）设AE=x ，则BE=1-x ，CG=x ，设CM=y ，则BM=1-y ，EM=GM=x+y （8分）在Rt△BEM 中，222EM BM BE =+，△222)()1()1(y x y x +=-+-， 解得11+-=x x y （9分） △112++=+=x x y x EM ，若21=EM ，则21112=++x x ， 化简得：0122=+-x x ，△=-7＜0，△方程无解，故EM 长不可能为21. 13. (2019 浙江省台州市)如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是BA 延长线上的一点，连接PC 交AD 于点F ，AP ＝FD ．（1）求的值；（2）如图1，连接EC ，在线段EC 上取一点M ，使EM ＝EB ，连接MF ，求证：MF ＝PF ；（3）如图2，过点E 作EN △CD 于点N ，在线段EN 上取一点Q ，使AQ ＝AP ，连接BQ ，BN ．将△AQB 绕点A 旋转，使点Q 旋转后的对应点Q '落在边AD 上．请判断点B 旋转后的对应点B '是否落在线段BN 上，并说明理由．【解析】（1）设AP ＝FD ＝a ，△AF ＝2﹣a ，△四边形ABCD 是正方形，△AB △CD ，△△AFP △△DFC ，△，即，△AP＝FD＝﹣1，△AF＝AD﹣DF＝3﹣△＝（2）在CD上截取DH＝AF△AF＝DH，△P AF＝△D＝90°，AP＝FD，△△P AF△△HDF（SAS），△PF＝FH，△AD＝CD，AF＝DH，△FD＝CH＝AP＝﹣1，△点E是AB中点，△BE＝AE＝1＝EM，△PE＝P A+AE＝，△EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5，△EC＝，△EC＝PE，CM＝﹣1，△AP△CD，△△P＝△PCD，△△ECP＝△PCD，且CM＝CH＝﹣1，CF＝CF，△△FCM△△FCH（S AS），△FM＝FH，△FM＝PF.（3）若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，△EN△AB，AE＝BE△AQ＝BQ＝AP＝﹣1由旋转的性质可得AQ＝AQ'＝﹣1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB＝﹣1，△点B（0，﹣2），点N（2，﹣1）△直线BN解析式为：y＝x﹣2设点B'（x，x﹣2）△AB'＝＝2△x＝△点B'（，﹣）△点Q'（﹣1，0）△B'Q'＝≠﹣1△点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上．。
2020中考数学 几何专项突破：等腰三角形和直角三角形(含答案)
2020中考数学 几何专项突破 等腰三角形和直角三角形（含答案） 典例探究 例1 如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（ ） A．70° B．55° C．50° D．40°
例2 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．16 B．20或16 C．20 D．12 例3 已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE＝ ．
例4 如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上． (1)求证：BE＝CE； (2)若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图2，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变． 求证：△AEF≌△BCF．
A B C D E 图1 A
B C D E F 图2 巩固练习 1、若等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为 . 2．在△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，且BD＝BC＝AD．则∠A等于（ ） A．30° B．36° C．45° D．72°
3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD
4. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
5.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。 求证：△DEF是等腰三角形。
6.若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形的形状是 ． 7.在直角三角形中，若一锐角为30°，而斜边与30°角所对的边的和为15cm，则斜边的长为（ ） A、3cm B、 7.5cm C、10cm D、12cm 8. 如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF是等边三角形 （1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。 （2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程。 9.已知：如图，网格中的小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点在格点上。 求证：△ABC是等腰直角三角形。
2020年中考数学一轮复习：几何基础与三角形过关测试卷含解析
2020年中考数学一轮复习：几何基础与三角形过关测试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，每小题只有一个正确答案，共24分）1．（3分）如图，AB∥CD，∠DCE＝80°，则∠BEF＝（）A．120°B．110°C．100°D．80°2．（3分）若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（）A．1B．5C．7D．93．（3分）如图，直线EO⊥AB于O，CD平分∠EOB，则∠BOC的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．140°4．（3分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．则∠C等于（）A．40°B．65°C．75°D．115°5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 6．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5B．4.2C．5.8D．77．（3分）如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．12B．16C．20D．248．（3分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ABC的外角∠BCD＝度．10．（3分）如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为．11．（3分）如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝度．12．（3分）某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若BD＝5，BD：CD＝5：3，AB＝10，则△ABD的面积是．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为cm．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝5cm，则EF＝cm．16．（3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°．有以下四个结论：①AF丄BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE＝：4，其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE＝EC，CF∥AB．求证：AD＝CF．18．（6分）如图，AB∥CD．（1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连接AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）．19．（6分）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明：猜想：；证明：．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．21．（8分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．23．（9分）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．六、（本小题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P A+PB＝A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求P A+PC的最小值是；（3）如图4，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝5，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．25．（10分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，每小题只有一个正确答案，共24分）1．（3分）如图，AB∥CD，∠DCE＝80°，则∠BEF＝（）A．120°B．110°C．100°D．80°【分析】根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF＝180°，代入求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DCE+∠BEF＝180°，∵∠DCE＝80°，∴∠BEF＝180°﹣80°＝100°．故选：C．2．（3分）若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（）A．1B．5C．7D．9【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边＞两边之差，即4﹣3＝1，而＜两边之和，即4+3＝7，即1＜第三边＜7，∴只有5符合条件，故选：B．3．（3分）如图，直线EO⊥AB于O，CD平分∠EOB，则∠BOC的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．140°【分析】根据直线EO⊥AB，可知∠EOB＝90°，根据CD平分∠EOB，可知∠BOD＝45°，再根据邻补角的定义即可求出∠BOC的度数．【解答】解：∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，∵CD平分∠EOB，∴∠BOD＝45°，∴∠BOC＝180°﹣45°＝135°，故选：C．4．（3分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．则∠C等于（）A．40°B．65°C．75°D．115°【分析】由∠A＝40°，∠AOB＝75°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的值．【解答】解：∵∠A＝40°，∠AOB＝75°．∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣75°＝65°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠B＝65°．故选：B．5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 【分析】根据全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析即可．【解答】解：A、添加BD＝CD不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；B、添加AB＝AC可利用SAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；C、添加∠B＝∠C可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；D、添加∠BDA＝∠CDA可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；故选：A．6．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5B．4.2C．5.8D．7【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB＝6，可知AP最大不能大于6．此题可解．【解答】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，∴AP的长不能大于6．故选：D．7．（3分）如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．12B．16C．20D．24【分析】根据平移的性质易得AD＝BE＝2，那么四边形ABFD的周长即可求得．【解答】解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，∴AD＝BE＝2，各等边三角形的边长均为4．∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BE+FE+DF＝16．故选：B．8．（3分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形ABC的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．【解答】解：C点所有的情况如图所示：故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ABC的外角∠BCD＝110度．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠B，∠根据三角形的外角性质即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝70°，∴∠BCD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故答案为：110．10．（3分）如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为120°．【分析】先利用邻补角可计算出∠BDC＝30°，再利用平行线的性质得∠ABD＝∠BDC ＝30°，接着根据角平分线定义得∠CBD＝∠ABD＝30°，然后根据三角形内角和计算∠C的度数．【解答】解：∵∠CDE＝150°，∴∠BDC＝180°﹣150°＝30°，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，∴∠C＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝180°﹣30°﹣30°＝120°．故答案为120°．11．（3分）如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝95度．【分析】运用全等求出∠D＝∠C，再用三角形内角和即可求．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠OAD＝∠OBC；在△OBC中，∠O＝65°，∠C＝20°，∴∠OBC＝180°﹣（65°+20°）＝180°﹣85°＝95°；∴∠OAD＝∠OBC＝95°．故答案为：95．12．（3分）某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是6．【分析】先根据多边形的外角和为360°求出其内角和，再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数．【解答】解：∵多边形内角和与外角和共1080°，∴多边形内角和＝1080°﹣360°＝720°，设多边形的边数是n，∴（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6．故答案为：6．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若BD＝5，BD：CD＝5：3，AB＝10，则△ABD的面积是15．【分析】过D作DE⊥AB于E，由BD＝5，BD：CD＝5：3，即可求得CD的长，然后由角平分线的性质，求得DE的长，继而求得答案．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝DC，∵BD＝5，BD：CD＝5：3，∴CD＝3，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，∴DE＝CD＝3，∵AB＝10，∴△ABD的面积是：AB•DE＝×10×3＝15．故答案为：15．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为8cm．【分析】由于DE为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到CD＝BD，由此推出△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB，即可求得△ACD的周长．【解答】解：∵DE为BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB，而AC＝3cm，AB＝5cm，∴△ACD的周长为3+5＝8cm．故答案为：8．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝5cm，则EF＝5cm．【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB＝2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD＝AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB＝2CD＝2×5＝10cm，∴EF＝×10＝5cm．故答案为：516．（3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°．有以下四个结论：①AF丄BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE＝：4，其中正确结论的序号是①②③④．【分析】①根据已知得出∠CAF＝30°，∠GAF＝60°，进而得出∠AFB的度数；②利用ASA证明△ADG≌△ACF得出答案；③利用△AGO≌△AFO，得出AO＝CO＝AC，进而得出BO＝CO＝AO，即O为BC的中点；④利用假设DG＝x，∠DAG＝30°，得出AG＝x，GE＝3x，进而得出答案．【解答】解：∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°．∴∠CAF＝30°，∴∠GAF＝60°，∴∠AFB＝90°，∴AF丄BC故①正确；∵AD＝AC，∠DAG＝∠CAF，∠D＝∠C＝60°，∴△ADG≌△ACF故②正确；∵△ADG≌△ACF，∴AG＝AF，∵AO＝AO，∠AGO＝∠AFO＝90°，∴△AGO≌△AFO（HL），∴∠OAF＝30°，∴∠OAC＝60°，∴AO＝CO＝AC，BO＝CO＝AO，∴O为BC的中点故③正确；假设DG＝x，∵∠DAG＝30°，∴AG＝x，∴GE＝3x，④∵DE＝DG+GE＝4x∴AG：DE＝：4故④正确；故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE＝EC，CF∥AB．求证：AD＝CF．【分析】求证边相等，要先想到利用全等三角形的性质，这是一般思路．根据ASA证明△AED≌△CEF求解．【解答】证明：∵AB∥CF，∴∠A＝∠ECF．又∵∠AED＝∠CEF，AE＝CE，∴△AED≌△CEF．∴AD＝CF．18．（6分）如图，AB∥CD．（1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连接AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）．【分析】（1）本题首先作出图形．（2）要使△ACF≌△AEF，添加AF⊥CE或∠CAF＝∠EAF后可分别根据AAS判定△ACF ≌△AEF．【解答】解：（1）作图如右；（2）取点F和画AF正确（如图）；添加的条件可以是：添加AF⊥CE，可根据AAS判定△ACF≌△AEF；添加∠CAF＝∠EAF，可根据AAS判定△ACF≌△AEF等．（选一个即可）19．（6分）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明：猜想：BE∥DF，BE＝DF；证明：连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝CO，又∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE∥DF，BE＝DF．【分析】首先连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．由四边形ABCD是平行四边形，可得BO＝OD，AO＝CO，又由CE＝AF，可得OE＝OF，即可证得四边形BEDF是平行四边形，则可得BE∥DF，BE＝DF【解答】答：猜想：BE∥DF，BE＝DF．证明：证法一：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形．∴BC＝AD，∠1＝∠2，∵在△BCE和△DAF中，，∴△BCE≌△DAF（SAS），∴BE＝DF，∠3＝∠4，∴BE∥DF．证法二：如图2，连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝CO，又∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE∥DF，BE＝DF．故答案为：BE∥DF，BE＝DF；连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝CO，又∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE∥DF，BE＝DF．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【分析】（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE＝EC；∠A＝∠C；已知∠A＝36，即可求得；（2）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，可得∠B＝72°又∠BEC＝∠A+∠ECA＝72°，所以，得BC＝EC＝5；【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．答：（1）∠ECD的度数是36°；（2）BC长是5．21．（8分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．【分析】（1）因为这两个三角形是直角三角形，BC＝BD，因为AD∥BC，还能推出∠ADB ＝∠EBC，从而能证明：△ABD≌△ECB．（2）因为∠DBC＝50°，BC＝BD，可求出∠BDC的度数，进而求出∠DCE的度数．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC．∵CE⊥BD，∠A＝90°，∴∠A＝∠CEB，在△ABD和△ECB中，∵∠A＝∠CEB，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠BCE，又∵BC＝BD∴△ABD≌△ECB；（2）解：∵∠DBC＝50°，BC＝BD，∴∠EDC＝（180°﹣50°）＝65°，又∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝90°﹣65°＝25°．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．【分析】（1）由OB＝OC，即可求得∠OBC＝∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形；（2）首先连接AO并延长交BC于F，通过证△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF＝∠CAF，即点O在∠BAC的角平分线上．【解答】（1）证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，∵∠BEC+∠BCE+∠ABC＝∠CDB+∠DBC+∠ACB＝180°，∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．理由：连接AO并延长交BC于F，在△AOB和△AOC中，∴△AOB≌△AOC（SSS）．∴∠BAF＝∠CAF，∴点O在∠BAC的角平分线上．23．（9分）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC+CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC+AB＝CD．【解答】解：（1）猜想：AB＝AC+CD．证明：如图②，在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED＝∠C，ED＝CD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴EB＝ED，∴EB＝CD，∴AB＝AE+DE＝AC+CD．（2）猜想：AB+AC＝CD．证明：在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED．∵AD平分∠F AC，∴∠EAD＝∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD（SAS）．∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD．∴∠FED＝∠ACB，又∵∠ACB＝2∠B∴∠FED＝2∠B，∠FED＝∠B+∠EDB，∴∠EDB＝∠B，∴EB＝ED．∴EA+AB＝EB＝ED＝CD．∴AC+AB＝CD．六、（本小题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P A+PB＝A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求P A+PC的最小值是2；（3）如图4，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝5，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．【分析】（1）由题意易得PB+PE＝PD+PE＝DE，在△ADE中，根据勾股定理求得即可；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，求A′C的长，即是P A+PC 的最小值；（3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB的交点Q、R，这时三角形PEF的周长＝MN，只要求MN的长就行了．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB＝PD，由题意易得：PB+PE＝PD+PE＝DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE＝＝；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，P A+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC＝60°∴∠A′OC＝120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD＝60°∵OA′＝OA＝2∴A′D＝，∴A′C＝2，即P A+PC的最小值是2；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB 于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝5，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°，在Rt△MON中，MN＝＝＝5．即△PQR周长的最小值等于5．故答案为：；2．25．（10分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【分析】（1）因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以AP＝BQ．AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，因而运用边角边定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CQM 的度数．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t．分别就①当∠PQB＝90°时；②当∠BPQ ＝90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值．（3）首先利用边角边定理证得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性质定理得到∠BPC＝∠MQC．再运用三角形角间的关系求得∠CMQ的度数．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°。
中考数学每日一练：解直角三角形练习题及答案_2020年压轴题版
中考数学每日一练：解直角三角形练习题及答案_2020年压轴题版答案2020年中考数学：图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形练习题~~第1题~~(2020宁波.中考模拟) 如图1，直线l:与x 轴、y 轴分别交于点A,B,点C 在直线l 上，点P 的坐标为（0,2），以点P 为圆心，PC 长为半径画⊙P.（1） 求直线l 的解析式（2） 求∠BAO 的度数（3） 判断直线l 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论（4） 如图2，点M(m,0),N(n,0)是x 轴上的两个动点（点M 在点N 的左侧），且 ,直线CM,CN 与⊙P 分别交于D,E,直线DE 与x 轴交于点Q ，试探索∠DQM 的大小是否变化，请说明理由。
考点： 待定系数法求一次函数解析式;圆周角定理;切线的判定;解直角三角形;~~第2题~~(2019昆明.中考模拟) 在直角坐标系中，过原点O 及点A （8，0），C （0，6）作矩形OABC 、连结OB ，点D 为OB 的中点，点E 是线段AB 上的动点，连结DE ，作DF ⊥DE ，交OA 于点F ，连结EF.已知点E 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB 上移动，设移动时间为t 秒.（1） 如图1，当t=3时，求DF 的长.答案答案答案（2） 如图2，当点E 在线段AB 上移动的过程中，∠DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan ∠DEF 的值.（3） 连结AD ，当AD 将△DEF 分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t 的值.考点： 待定系数法求一次函数解析式;矩形的判定与性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形;~~第3题~~(2020虹口.中考模拟) 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝4，sin ∠ABC ＝，点D 为射线BC 上一点，联结AD ， 过点B 作BE ⊥AD 分别交射线AD 、AC 于点E 、F ， 联结DF ， 过点A 作AG ∥BD ， 交直线BE 于点G ．（1） 当点D 在BC 的延长线上时，如果CD ＝2，求tan ∠FBC ；（2） 当点D 在BC 的延长线上时，设AG ＝x ，S ＝y ，求y 关于x 的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3） 如果AG ＝8，求DE 的长．考点： 平行线分线段成比例;锐角三角函数的定义;解直角三角形;~~第4题~~(2020迁安.中考模拟) 已知△ABC 是等腰三角形，CA=CB ，0°<∠ACB≤90°，点M 在边AC上，点N 在边BC 上(点M 、N 不与所在线段端点重合)，BN=AM ，连接AN ，BM ，射线AG ∥BC ，延长BM 交射线AG 于点D ，点E 在直线AN 上，且AE=D E 。
专题04 几何初步与三角形中考1年模拟数学真题分项汇编
专题04几何初步与三角形5年中考真题一、单选题1．【2018年】下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．2．【2021年】如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（）A．a B．bC．c D．d3．【2020年】如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条4．【2022年】平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）A．1B．2C．7D．85．【2018年】如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（）A ．北偏东30°B ．北偏东80°C ．北偏西30°D ．北偏西50°6．【2020年】如图，从笔直的公路l 旁一点P 出发，向西走6km 到达l ；从P 出发向北走6km 也到达l ．下列说法错误．．的是（）A ．从点P 向北偏西45°走3km 到达lB ．公路l 的走向是南偏西45°C ．公路l 的走向是北偏东45°D ．从点P 向北走3km 后，再向西走3km 到达l7．【2022年】要得知作业纸上两相交直线AB ，CD 所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（）A ．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B ．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C ．Ⅰ、Ⅱ都可行D ．Ⅰ、Ⅱ都不可行8．【2021年】定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，ACD ∠是ABC 的外角．求证：ACD A B ∠=∠+∠．下列说法正确的是（）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B．证法1用严谨的推理证明了该定理C．证法2用特殊到一般法证明了该定理D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理9．【2019年】下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）∠B．@代表同位角A．◎代表FEC∠D．※代表ABC．▲代表EFC10．【2022年】题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：2d≥，乙答：d＝1.6，丙答：d=，则正确的是（）A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整11．【2018年】已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C12．【2020年】如图1，已知ABC∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在ABC∠内部交于点P；第三步：画射线BP．射线BP即为所求．下列正确的是（）A．a，b均无限制B．0a>，12b DE>的长C．a有最小限制，b无限制D．0a≥，12b DE<的长13．【2018年】尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ14．【2020年】如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大．．的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，415．【2022年】如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（）A．中线B．中位线C．高线D．角平分线16．【2022年】如图，直线l ，m 相交于点O ．P 为这两直线外一点，且 2.8OP =．若点P 关于直线l ，m 的对称点分别是点1P ，2P ，则1P ，2P 之间的距离可能．．是（）A ．0B ．5C ．6D ．717．【2021年】图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB =（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm二、填空题18．【2021年】下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B Ð，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．19．【2022年】如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A ，B 的连线与钉点C ，D 的连线交于点E ，则（1）AB 与CD 是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE ＝______．20．【2019年】勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：km ）．笔直铁路经过A ，B 两地．（1）A ，B 间的距离为______km ；（2）计划修一条从C 到铁路AB l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为______km ．三、解答题21．【2019年】已知：整式()()22212A n n -＝+，整式0B >．尝试:化简整式A ．发现:2A B =，求整式B ．联想:由上可知，222212B n n +＝（﹣）（），当n ＞1时2,1,2,n n B -为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B 的值：直角三角形三边21n ﹣2n B 勾股数组Ⅰ/8勾股数组Ⅱ35/22．【2020年】如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC ∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长；（3）设点P 移动的路程为x ，当03≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长．23．【2021年】在一平面内，线段20AB =，线段10BC CD DA ===，将这四条线段顺次首尾相接．把AB 固定，让AD 绕点A 从AB 开始逆时针旋转角()0αα>︒到某一位置时，BC ，CD 将会跟随出现到相应的位置．（1）论证如图1，当//AD BC 时，设AB 与CD 交于点O ，求证：10AO =；（2）发现当旋转角60α=︒时，ADC ∠的度数可能是多少？（3）尝试取线段CD 的中点M ，当点M 与点B 距离最大时，求点M 到AB 的距离；（4）拓展①如图2，设点D 与B 的距离为d ，若BCD ∠的平分线所在直线交AB 于点P ，直接．．写出BP 的长（用含d 的式子表示）；α的余弦值．②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接．．写出1年模拟新题一、单选题1．（2022·河北邯郸·二模）用“垂线段最短”来解释的现象是（）A．B．C．D．2．（2022·河北张家口·一模）如图，对于四条线段a，b，c，d，请借助直尺或圆规判断长度最大的为（）A．a B．b C．c D．d∠的一边OB经过的点是（）3．（2022·河北邯郸·一模）如图，AOBA ．P 点B ．Q 点C ．M 点D ．N 点4．（2022·河北石家庄·三模）如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，在平整的桌面上画一条直线l ，将三边都不相等的三角形纸片ABC 平放在桌面上，使AC 边与l 对齐，此时ABC 的内心是点P ；将纸片绕点C 顺时针旋转，使点B 落在l 上的点B '处，点A 落在点A '处，得到A B C ''V 的内心点P '．下列结论正确的是（）A ．PP '与l 平行，PC 与PB ''平行B ．PP '与l 平行，PC 与P B ''不平行C ．PP '与l 不平行，PC 与P B ''平行D ．PP '与l 不平行，PC 与P B ''不平行6．（2022·河北·模拟预测）如图，已知直线AE ∥BD ，且∠C ＝15°，∠1＝110°，则∠2的度数是（）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°7．（2022·河北唐山·三模）如图，点O 为ABC 的内心，60B ︒∠=，BC AB ≠，点M ，N 分别为AB ，BC 上的点，且OM ON =．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：120MON ∠=︒；乙：四边形OMBN 的面积为定值；丙：当MN BC ⊥时，MON △的周长有最小值．则下列说法正确的是（）A ．只有甲正确B ．只有乙错误C ．乙、丙都正确D ．只有丙错误8．（2022·河北邯郸·三模）下列尺规作图．能得到∠ADC ＝2∠B 的是（）A ．B ．C ．D ．9．（2022·河北保定·模拟预测）如图，在ABC 中，AB AC =，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交BC 于点D ，连接PB ，PC ．给出下列说法：①PB PC =；②AD 垂直平分BC ；③BC 平分ABP ∠；④PB AB =．其中正确的有（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④10．（2022·河北保定·三模）下列尺规作图，能确定AD 是ABC 的中线的是（）A．B．C．D．11．（2022·河北石家庄·三模）已知点A和直线MN，过点A用尺规作出直线MN的垂线，下列作法中错误的是（）A．B．C．D．二、填空题12．（2022·河北唐山·一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．（1）C、D两站的距离为_____；（2）若a＝3，C为AD的中点，b=______．13．（2022·河北邢台·一模）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB=80°，∠ECD=110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是_____，根据这个思路可得∠AEC=_____°．14．（2022·河北张家口·一模）如图，Rt ABC 和Rt DCE 是一副含有30°、45︒角相互重叠的三角板，且直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为63︒，则ACE ∠=__________︒，图中α∠的度数为__________︒；15．（2022·河北保定·一模）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若8cm AB =，则（1）AC =________；（2）阴影部分的面积是________2cm ．16．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，ABC 中，AB AC =，30B ∠=︒，底边上的高1AD =，E 是AB 中点．P 是DC 上一点，连接PE ，将PE 绕点E 逆时针旋转60︒交DA 的延长线于点F ．（1）若40AFE ∠=︒，则PED ∠=________︒；（2）若P 为DC 的中点，则AF =________．17．（2022·河北邯郸·二模）如图，在ABC 中，90,2,4ABC AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒得到EDC △，连接AE ．（1）CAE ∠=__________；（2）若F 点为AE 的中点，则BF =____________．18．（2022·河北承德·一模）一块直角三角板ABC 如图所示放置，90ACB ∠=︒，12cm BC =，8cm AC =，测得BC 边在平面的中心投影11B C 长为24cm ，则11A B 长为________cm ，111A B C △的面积是________2cm ．19．（2022·河北承德·一模）如图，如果边长为1的正六边形ABCDEF 绕着顶点A 顺时针旋转60︒后与正六边形AGHMNP 重合．（1）则BD 的长是________；（2）点E 在整个旋转过程中，所经过的路径长为________（结果保留π）．20．（2022·河北秦皇岛·一模）如图，在等边三角形ABC 中，点D 、点E 分别在BC ，AC 上，且∠ADE ＝60°，（1）写出和∠CDE 相等的角：______；（2）若AB ＝3，BD ＝1，则CE 长为______．21．（2022·河北·石家庄市第二十八中学一模）如图是数学兴趣小组研究某种在同一平面进行摆动的机械装置的示意图．支架ABC 是BC 在地面上的等边三角形，摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转．已知BC ＝5分米，AD ＝3分米，DM ＝1分米．（1）当A ，D ，M 三点在同一直线上时，AM 的长为________分米；（2）当AD ⊥AB 时，S △ACM 的最大值是________平方分米．三、解答题22．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =，DE AB =．(1)求证：ABC EDB ≌；(2)判断AC 和BD 的位置关系，并说明理由．23．（2022·河北保定·三模）如图，点D 在等边ABC 的外部，E 为BC 边上的一点，AD CD =，DE 交AC 于点F ，AB DE ∥．(1)判断CEF △的形状，并说明理由；(2)若10BC =，4CF =，求DE 的长．24．（2022·河北保定·模拟预测）将两个三角形纸板ABC 和DBE 按图所示的方式摆放，连接AD ，DC ，CE ．已知DBA CBE ∠=∠，BDE BAC ∠=∠，且6AC DE ==．(1)求证：ABC DBE ≌；(2)若6DA DC ==，且EDB CDB ∠=∠．①求BED ∠的度数；②若EC //AB ，直接写出DEC S 的值．25．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，点D 在BC 边上，以每秒2个单位的速度从点B 向点C 运动，ADE B ∠=∠，DE 交AC 于点E ．设运动时间为t ．(1)当DE AB ∥时，求证：DE EC =；(2)判断线段AD 和AE 的数量关系，并证明；(3)求AE 的最小值；(4)若DCE 为直角三角形，直接写出t 的值．26．（2022·河北唐山·二模）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90°得到AG ，连接GC ，HB ．(1)证明：△AHB ≌△AGC ；(2)如图2，连接GF ，HG ，HG 交AF 于点Q ．①证明：在点H 的运动过程中，总有∠HFG ＝90°；②若AG ＝QG ，AB ＝AC ＝4，求EH 的长度．27．（2022·河北保定·二模）如图，AOB 中，6OA OB ==，将AOB 绕点O 逆时针旋转得到COD △．OC 与AB 交于点G ，CD 分别交OB 、AB 于点E 、F ．(1)A ∠与D ∠的数量关系是：A ∠________D ∠；(2)求证：AOG DOE △≌△；(3)当A ，O ，D 三点共线时，恰好OB CD ⊥，求此时CD 的长．28．（2022·河北保定·二模）两个完全相同的直角三角板按如图1所示方式放置，30DFE ACB ∠=∠=︒，直角顶点A 和D 重合，4AB =，连接BE ，CF ．(1)论证：求证：~ABE ACF ．(2)探索：如图2，M 、N 为两个三角板斜边上的两动点，且NE BM =，120EAB ∠=︒，当MN 最小时，求AM 的长．(3)拓展：将两个三角板按图3所示方式放置，直角顶点D 在BC 上，两三角板的直角边分别交于P 、Q 两点，当DPQ V 与ABC 相似时，求CD 的长．29．（2022·河北邯郸·二模）如图，点E 是ABC 的边BC 上一点，DAB DEB CAE ∠∠∠==，AD AB =，AB DE 、相交于点F ．(1)求证：ADE ABC ≌；(2)若70C ∠= ．①当AE BE =时，求DAE ∠的度数；②当ABC 的外心在其内部时，直接写出B Ð的取值范围．30．（2022·河北·石家庄市第二十八中学二模）如图（1）和图（2），在同一平面内，线段10AB =+线段10BC CD DE EA ====，将这五条线段顺次首尾相接．把AB 固定，点D 在AB 上可以左右移动，让AE 绕点A 从AB 开始逆时针旋转角α到某一位置时，BC ，CD 将会跟随到AB 的上方或下方．(1)如图（2），当点C ，D ，E 在同一条直线上时，求证：AD BD =；(2)当α最大时，求cos α；(3)连接CE，则①CE长度的最小值为；α=︒时，求出CE长度的所有可能值．②当旋转角60。
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 第一节 几何初步及相交线与平行线
4．下列命题中是真命题的是①① ③.(选填序号) ①两点之间，线段最短； ③ ②相等的角是对顶角； ③同角(或等角)的余角相等； ④两个锐角的和是钝角； ⑤同旁内角相等，两直线平行．
5．(RJ 七上 P128 练习 T3 改编)如图，点 C 为线段 AB 上一点，点 D 是线
段 AC 的中点，点 E 是线段 CB 的中点．若 AC＝5 cm, BC＝4 cm，则 AD＝
补角为11202°0 ； (2)若EF°＝3，则点E到OC的距离为 3 ；
(3)线段EG，EF，EH，EO中长度最短的是EEFF ； (4)若点F是GH的中点，EG＝3，则EH＝3 3 .
3．如图，已知 a∥b，∠1＝∠2＝50°，∠4＝70°，则∠3＝7700°°，∠5
＝5500°°，∠6＝112200°，a 与 c 的位置关系是 aa∥∥cc. °
∥b, 则∠1的大小为 A．45°
（ C）
B．60°
C．75°
D．105°
7．★(2021·湘西州第17题4分)如图，将一条对边互相平行的纸带进行 两次折叠，折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是 4040°°.
命题点 3：命题与定理(2022 年考查 2 次，2021 年考查 4 次，2020 年
(B )
＝80°，则∠2的度数为
（ C）
A．20°
B．80°
C．100°
D．120°
5．(2022·郴州第7题3分)如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所
截，则下列条件中不能判定直线c∥d的是
（ C）
A．∠3＝∠4
B．∠1＋∠5＝180°
C．∠1＝∠2
D．∠1＝∠4
6．(2021·岳阳第5题3分)将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a
【2020】北京市中考数学复习三角形课时训练二十直角三角形与勾股定理
∴CF=OC-OF=4.
设CE=x,则DE=EF=8-x,
则在Rt△CEF中,x2+42=(8-x)2,解得x=3,
∴点E的坐标为(10,3).故填(10,3).
13.解:∵AB⊥BD,∴∠ABD=90°.
在Rt△ABD中,∠ABD=90°,∠ADB=45°,AB=,
∴∠DAB=45°,
图K20-10
13.[20xx·怀柔二模] 已知:如图K20-11,在四边形ABCD中,AB⊥BD,AD∥BC,∠ADB=45°,∠C=60°,AB=.求四边形ABCD的周长.
图K20-11
14.如图K20-12,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连接EF交CD于点M,连接AM.
图K20-4
A.0.5B.1.5C.D.1
6.如图K20-5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为斜边AB的中点,AB=10 cm,则CD的长为 cm.
图K20-5
7.在等腰三角形ABC中,AB=AC=10 cm,BC=12 cm,则BC边上的高是 cm.
8.如图K20-6,点E在正方形ABCD的边CD上,若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为 .
图K20-15
解:设每个直角三角形的面积为S,
S1-S2= (用含S的代数式表示)①,
S2-S3= (用含S的代数式表示)②.
由①,②得
S1+S3= .
因为S1+S2+S3=10,
所以2S2+S2=10.
所以S2=.
参考答案
1.A 2.B 3.C 4.C
5.D [解析] ∵∠B=60°,∴∠C=90°-60°=30°.
2020年中考数学培优练习题卷：直角三角形
2020年中考数学培优练习卷：直角三角形一．选择题1．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（）A．5 B．6 C．7 D．82．如图，∠ABC＝∠ADC＝Rt∠，E是AC的中点，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．∠1与∠2大小关系不能确定3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，则下列结论不正确的是（）A．∠CAD＝∠BAD B．BD＝CD C．AE＝ED D．DE＝DB4．如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，则下列结论错误的是（）A．BC＝ABB．CD＝ABC．AC2+BC2＝AB2D．点D在线段BC的垂直平分线上6．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝6，BC＝10，则△EFM的面积是（）A．6 B．8 C．12 D．307．如图，△ABC中，∠A＝67.5°，BC＝4，BE⊥CA于E，CF⊥AB于F，D是BC的中点．以F为原点，FD所在直线为x轴构造平面直角坐标系，则点E的横坐标是（）A．2﹣B．﹣1 C．2﹣D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E 作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为18cm，AC的长6cm，则AD的长为（）A．13cm B．12cm C．5cm D．8cm9．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于（）A．5 B．6 C．7 D．810．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝4，H是AF 的中点，那么CH的长是（）A．B．C．D．2二．填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AB中点，CD⊥AB于点D．若AD＝DE，则∠B的度数为．12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，BD．若∠EBD＝32°，则∠BCD的度数为度．13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，DE⊥AC，垂足为E．如果CD＝2.4cm，那么AB＝cm．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，△DEF的周长是10，AF⊥BC于F，BE⊥AC 于E，且点D是AB的中点，则AF的长是．15．如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD ＝2，CE＝5，则CD＝三．解答题17．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D为BC上一点且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE（1）求证：∠AEC＝∠C；（2）求证：BD＝2AC；（3）若AE＝8.5，AD＝8，求△ABE的周长．18．∠BAC为钝角，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，M是BC中点，求证：ME ＝MD．19．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE 于G，且CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）求证：∠B＝2∠ECB．20．如图1，已知∠ABC＝90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．（1）求证：BE＝BF；（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．参考答案一．选择题1．解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，∴AB＝2CD＝6，∵A B+AC+BC＝14，∴AC+BC＝8，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝36，∴（AC+BC）2﹣2AC•BC＝36，AC•BC＝14，∴S＝AC•BC＝7．故选：C．2．解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝BE，∴∠1＝∠2．故选：B．3．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD，A正确，不符合题意；BD＝CD，B正确，不符合题意；∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∵∠EAD＝∠BAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝ED，C正确，不符合题意；DE与DB的关系不确定，D错误，符合题意；故选：D．4．解：取AB的中点D，连接OD，CD，在△OCD中，OC＜OD+CD，只有当O，D，C三点在一条线上时，OC＝OD+CD，此时OC最大，如图所示，OC ⊥AB，∵△AOB为等腰直角三角形，AB＝a，∴OD＝AB＝a，在Rt△BCD中，BC＝a，BD＝a，根据勾股定理得：CD＝a，则OC＝OD+DC＝a+a．故选：B．5．解：A、∠A＝30°时，BC＝AB，无法确定∠A的度数，故本选项错误；B、根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，CD＝AB，故本选项正确；C、根据勾股定理，AC2+BC2＝AB2，故本选项正确；D、∵D是AB的中点，∴CD＝BD＝AB，∴点D在线段BC的垂直平分线上，故本选项正确．故选：A．6．解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM＝BC＝×10＝5，同理可得，ME＝BC＝×10＝5，∴△EFM是等腰三角形，过M作MN⊥EF，又∵EF＝6，∴EN＝EF＝3，∴MN＝＝4，∴△EFM的面积＝EF•MN＝×6×4＝12，故选：C．7．解：如图所示，连接DE，过E作EH⊥OD于H，∵BE⊥CA于E，CF⊥AB于F，D是BC的中点，∴DE＝DC＝BC＝DO＝DB＝2，∴∠DCE＝∠DEC，∠DBO＝∠DOB，∵∠A＝67.5°，∴∠ACB+∠ABC＝112.5°，∴∠CDE+∠BDO＝（180°﹣2∠DCE）+（180°﹣2∠DBO）＝360°﹣2（∠DCE+∠DBO）＝360°﹣2×112.5°＝135°，∴∠EDO＝45°，∴Rt△DEH中，DH＝cos45°×DE＝，∴OH＝OD﹣DH＝2﹣，点E的横坐标是2﹣，故选：A．8．解：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC．BC＝2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；∴DC＝EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2DC，∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，∵四边形DCFE的周长为18cm，AC的长6cm，∴BC＝18﹣AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，即AB2＝（18﹣AB）2+62，解得：AB＝10cm，∴AD＝5cm，故选：C．9．解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，∴∠ADC＝90°．∵E是AC的中点，DE＝5，∴AC＝2DE＝10．∵AD＝6，∴CD＝＝＝8．故选：D．10．解：连接AC、CF，在正方形ABCD和正方形CEFG中，∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，∵BC＝2，CE＝4，∴AC＝2，CF＝4，由勾股定理得，AF＝2，又H是AF的中点，∴CH＝AF＝，故选：A．二．填空题（共6小题）11．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AB中点，∴AE＝CE，∵CD⊥AB于点D．AD＝DE，∴AC＝CE，∴AC＝CE＝AE，∴∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30°．12．解：连接DE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC的中点，∴DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝EB＝EC＝EA，∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，∴∠BAD＝∠DEB，∵D E＝BE，∠EBD＝32°，∴∠EDB＝∠EBD＝32°，∴∠DEB＝180°﹣32°﹣32°＝116°，∴∠DAB＝58°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BCD+∠DAB＝180°，∴∠DCB＝180°﹣58°＝122°，故答案为：122．13．解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴2CD＝AB，∴AB＝4.8cm，故答案为：4.814．解：∵AB＝AC，AF⊥BC，∴AF是△ABC的中线，∵D是AB的中点，∴DF是△ABC的中位线，设AB＝BC＝2x，∴DF＝x，∵BE⊥AC，点D是AB的中点，点F是BC的中点，∴DE＝AB＝x，EF＝BC＝4，∵△DEF的周长为10，∴x+x+4＝10，∴x＝3，∴AC＝6，∴由勾股定理可知：AF＝2，故答案为：215．解：在Rt△BAC和Rt△BDC中，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，∴DO＝AO，∵AO＝3，∴DO＝3，故答案为3．16．解：∵∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，∴AB＝2CE＝10，∴BD＝AB﹣AD＝8，由射影定理得，CD＝＝4，故答案为：4．三．解答题（共4小题）17．（1）证明：∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形，又∵点E是BD的中点，∴AE＝BD＝BE，∴∠B＝∠BAE，∠AEC＝∠B+∠BAE＝2∠B，又∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C；（2）解：∵AD⊥AB，点E是BD的中点，∴AE＝BE＝ED＝DB，∴∠B＝∠BAE，∴∠AED＝2∠B，∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C，∴AC＝AE，∴BD＝2AC；（3）解：在Rt△ABD中，AD＝8，BD＝2AE＝2×8.5＝17，∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝15+8.5+8.5＝32．18．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BEC＝∠BDC＝90°，∵M是BC中点，∴ME＝MD＝BC．19．（1）证明：连接DE，∵AD⊥BC，点E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝EG．（2）证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠EDB＝∠DEC+∠DCE＝2∠DCE，∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB＝2∠DCE．20．（1）证明：∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC，∠DBC＝45°，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAF＝22.5°，∴∠BFE＝67.5°，∴∠BEF＝180°﹣∠EBF﹣∠EFB＝67.5°，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF；（2）∵∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD＝AD＝CD，∴△ABD、△CBD是等腰三角形，由已知得，△ABC是等腰三角形，由（1）得，△BEF是等腰三角形，∵AF是∠BAC的平分线，BD是∠ABC的平分线，∴点E是△ABC的内心，∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，∴△AEC是等腰三角形．。
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2019年
第五节 直角三角形
要题随堂演练
1．(2018·滨州中考)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(2018·扬州中考)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成
立的是( )
A．BC＝EC B．EC＝BE
C．BC＝BE D．AE＝EC
3．(2018·长沙中考)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，
有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条
边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该
沙田的面积为( )
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
4．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的
顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？( )
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
5．(2018·包头中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝
AE.若∠C＋∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为( )
A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
6．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD于A，AB＝86，AD＝83，BC＝7，CD＝25，则四边形ABCD的面积为____________
__．
2019年
7．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18 cm，BC＝12 cm，BF＝
10 cm，点M在棱AB上，且AM＝6 cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，
它需要爬行的最短路程为_____________．
8．将n＋1个腰长为1的等腰直角三角形按如图所示放在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为
S2，…，△Bn＋1DnCn的面积为Sn，则Sn＝________．
参考答案
1．A 2.C 3.A 4.D 5.D
6．84＋962 7.20 cm 8.n2n＋2