高三数学总复习知能达标训练第七章_7
高考数学一轮知能训练 第七章 解析几何 第1讲 直线的方程(含解析)-人教版高三全册数学试题
第七章 解析几何第1讲 直线的方程1．(2016年)已知A (2,5)，B (4,1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．3 C ．7 D ．8 2．设复数3－i 2017在复平面内对应的点为A ，则过原点和点A 的直线的倾斜角为( )A.π6 B ．－π6C.23πD.56π 3．已知点A (1，－2)，B (5,6)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( ) A ．－2或1 B ．2或1 C ．－2或－1 D ．2或－14．(2018年某某某某期末)过点P (2,3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程是( ) A ．x ＋y －5＝0 B ．3x －3y ＝0C ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0D ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝05．(2018年某某某某余姚模拟)如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值X 围是( )A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π7．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 8．(多选)若直线过点A (1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝09．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．11．直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程； (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．12．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图X711所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．图X711第七章 解析几何第1讲 直线的方程1．C 解析：线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)，2≤x ≤4.即2x ＋y －9＝0,2≤x ≤4.∵P (x ，y )在线段AB 上，∴2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9.又2≤x ≤4，则－1≤4x －9≤7.故2x －y 的最大值为7.2．D 解析：设过原点和点A 的直线的倾斜角为α(0≤α<π)，∵3－i 2017＝3－(i)504×4·i＝3－i 在复平面内对应点为A (3，－1)，∴k AO ＝－33，即tan α＝－33，∴α＝56π.故选D.3．C4．C 解析：当直线经过原点时，直线的斜率为k ＝3－02－0＝32，直线的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线的方程为x a ＋y a＝1，代入点P (2,3)可得a ＝5，∴所求直线方程为x ＋y －5＝0. 综上，所求直线方程为x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0，故选C.5．D 解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，∵AB <0，BC <0，∴－A B >0，－C B>0.∴直线过第一、二、三象限，不过第四象限，故选D.6．B 解析：x sin α＋y ＋2＝0的斜率为－sin α，－sin α的取值X 围为[－1,1]，故斜率X 围为[－1,1]，∴倾斜角的X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.7．B 解析：易知直线ax ＋y ＋2＝0过定点P (0，－2)，k PA ＝－52，k PB ＝43，∵直线ax ＋y＋2＝0的斜率为－a ，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，根据图象(图略)可知－52＜－a ＜43，解得－43＜a ＜52，故选B.8．ABC9．x ＋4y －4＝0 解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，∴直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.10．解：由题意知，直线l 的斜率为32.故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b .直线l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，∴－23b －b ＝1.解得b ＝－35.∴直线l 的方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0.11．解：(1)如图D176，设直线l 的方程为图D176x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又∵直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2， ∴43a ＋2b＝1. 消去b ，得5a 2－32a ＋48＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝125，b 2＝92.∴直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. (2)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1.消去b ，得a 2－6a ＋8＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6.∴直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. 12．解：方法一，设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)， 则直线l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1.∵1＝3a ＋2b ≥26ab，整理得ab ≥24，∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时取等号．此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.方法二，依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 －9k ·4－k ＝12×(12＋12)＝12，当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立． ∴所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.。
(新课标)高考数学一轮复习第七章第3讲知能训练轻松闯关
（新课标）高考数学一轮复习第七章第3讲知能训练轻松闯关【优化方案】（新课标） 2016 高考数学一轮复习第七章第3讲知能训练轻松闯关1．已知直线l ∥平面α， P∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线()A．只有一条，不在平面α 内B．有无数条，不必定在平面α 内C．只有一条，且在平面α 内D．有无数条，必定在平面α 内分析：选 C．由直线l与点P可确立一个平面β，则平面α，β有公共点，所以它们有一条公共直线，设该公共直线为，由于l∥α，所以l∥ ，故过点P且平行于直线l的m m直线只有一条，且在平面α内．2．已知、、、D是空间四个点，甲：、、、四点不共面，乙：直线和直线A B C A B C D ABCD不订交，则甲是乙建立的()A．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件分析：选 A．由于A、B、C、D四点不共面，则直线AB和直线CD不订交，反之，直线AB和直线 CD不订交， A、 B、C、 D四点不必定不共面．故甲是乙建立的充足不用要条件．3．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ 与β 的交线必经过()A．点AB．点BC．点C但可是点MD．点C和点M分析：选 D．∵AB? γ，M∈AB，∴M∈γ．又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β．依据公义 3 可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点 C也在γ与β的交线上．4．以下图，ABCD-A1B1C1D1是正方体， O是 B1D1的中点，直线A1C交平面 AB1D1于点 M，则以下结论正确的选项是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面分析：选 A．连结A1C1，AC( 图略 ) ，则A1C1∥AC，∴A1， C1，A， C四点共面，∴ A1C?平面 ACC1A1．∵M∈ A1C，∴ M∈平面 ACC1A1．又 M∈平面 AB1D1，1∴ M在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上，同理 A， O在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上．∴ A， M， O三点共线．5．如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面相互垂直，且AC＝ BC＝2，∠ACB＝90°， F， G分别是线段AE， BC的中点，则AD与 GF所成的角的余弦值为()33A．6B．－633C．3D．－3分析：选 A．延伸 CD至 H．使 DH＝1，连结 HG、 HF，则 HF∥ AD．HF＝ DA＝22，GF＝6，HG＝10．∴cos∠HFG＝8＋6－10＝3． 2×6×2266．平面α，β 订交，在α ，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确立__________个平面．分析：假如这四点在同一平面内，那么确立一个平面；假如这四点不共面，则随意三点可确立一个平面，所以可确立四个．答案：1或47．以下图，在三棱锥A- BCD中， E， F， G，H分别是棱 AB，BC， CD， DA的中点，则当 AC， BD知足条件________时，四边形 EFGH为菱形，当 AC， BD知足条件________时，四边形 EFGH是正方形．分析：易知 EH∥ BD∥FG，且 EH＝1BD＝ FG，同理 EF∥ AC∥ HG，且 EF＝1AC＝HG，明显四22边形 EFGH为平行四边形．要使平行四边形 EFGH为菱形需知足 EF＝ EH，即 AC＝ BD；要使四边形 EFGH为正方形需知足 EF＝ EH且 EF⊥ EH，即 AC＝ BD且 AC⊥ BD．答案： AC＝ BDAC＝ BD且 AC⊥ BD8．以下图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．2分析：∵ A′ C′∥ AC，∴AO与 A′ C′所成的角就是∠ OAC．∵ OC⊥OB， AB⊥平面 BB′C′ C，∴OC⊥AB．又 AB∩ BO＝ B，∴OC⊥平面 ABO．又 OA?平面 ABO，∴ OC⊥OA．2在 Rt△AOC中，OC＝，AC＝2，2OC 1sin ∠OAC＝＝，AC2∴∠ OAC＝30°．即 AO与 A′ C′所成角的度数为30°．答案： 30°9．以下图，在三棱锥P- ABC中， PA⊥平面 ABC，∠ BAC＝60°， PA＝ AB＝AC＝2， E 是 PC的中点．(1)求证 AE与 PB是异面直线；(2)求异面直线 AE和 PB所成角的余弦值．解： (1) 证明：假定AE与 PB共面，设平面为α．∵A∈α， B∈α， E∈α，∴平面α 即为平面ABE，∴ P∈平面 ABE，这与 P?平面 ABE矛盾，所以 AE与 PB是异面直线．(2) 取BC的中点F，连结 EF、 AF，则 EF∥ PB，所以∠ AEF(或其补角)就是异面直线 AE和 PB所成的角．∵∠ BAC＝60°，PA＝ AB＝ AC＝2， PA⊥平面 ABC，∴ AF＝3，AE＝2，EF＝2，222AE＋ EF－ AFcos ∠AEF＝2·AE·EF2＋2－31＝2× 2×2＝4，所以异面直线和所成角的余弦值为1．AE PB4310．如图，平面ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF与四边形 ABCD都是直角梯形，∠BAD 11＝∠ FAB＝90°， BC綊2AD， BE綊2FA， G， H分别为 FA， FD的中点．(1)求证：四边形 BCHG是平行四边形；(2)C，D， F， E四点能否共面？为何？解： (1) 证明：由题设知，FG＝ GA， FH＝ HD，11所以 GH綊2AD．又 BC綊2AD，故 GH綊 BC．所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C，D， F， E四点共面．原因以下：1由 BE綊2FA， G是 FA的中点知， BE綊 GF，所以 EF綊 BG．由 (1) 知BG∥CH，所以 EF∥ CH，故 EC、 FH共面．又点 D在直线 FH上，所以 C， D， F，E 四点共面．4。
高三数学一轮复习 第七章第一节课时知能训练 理 (广东专用)
一、选择题1．(2012·惠州模拟)如图7－1－8，下列四个几何体中，它们各自的三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )图7－1－8A．①②B．①③C．②③D．①④【解析】圆柱的正视图和侧视图均为边长为2的正方形，而俯视图为圆；圆锥的正视图和侧视图为全等的三角形，俯视图为圆．所以②③符合题意．【答案】C图7－1－92．如图7－1－9所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形得到一个边长为1的正方形，则原来图形的形状是( )【解析】由直观图知，原图形在y轴上的对角线长应为2 2.【答案】A3．如图7－1－10所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图象是( )图7－1－10【解析】由三视图知该容器是一倒放的圆锥形容器，因其下部体积较小，匀速注水时，开始水面上升较快，后来水面上升较慢，图象B符合题意．【答案】B4．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图如图7－1－11所示，则这个几何体的直观图可以是( )图7－1－11【解析】 A 、C 中所给几何体的正视图、俯视图不符合要求，D 中所给几何体的侧视图不符合要求．【答案】 B5．如图7－1－12所示，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )图7－1－12【解析】 由题意可知当俯视图是A 时，即每个视图是边长为1的正方形，那么此几何体是正方体，显然体积是1，注意到题目中体积是12，知其是正方体的一半，可知C 正确．【答案】 C 二、填空题6．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个三角形，则这个几何体可能是________(写出三个)．【答案】 正方体、圆锥、三棱锥(答案不唯一)7．给出下列命题：①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中正确命题的个数是________．【解析】 球的三视图也完全相同，故①错；平放的圆柱的正视图和俯视图都是矩形，故②错；正四棱台的正视图和侧视图都是等腰梯形，故④错；由题意知③正确．【答案】 18．(2012·珠海质检)在图7－1－13中，如图①所示，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图②③所示，则其侧视图的面积为________．图7－1－13【解析】 其侧视图是底为32×2＝3，高为2的矩形， ∴侧视图的面积S ＝2×3＝2 3. 【答案】 2 3 三、解答题9．已知正三棱锥V —ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图7－1－14所示．图7－1－14(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积．【解】 (1)如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中，VA ＝42－23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.图7－1－1510．如图7－1－15是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．【解】 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． (2)该几何体的侧视图，如图．其中AB ＝AC ，AD⊥BC，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正棱锥的高，则AD ＝3a ，所以该平面图形(侧视图)的面积为 S ＝12×3a×3a ＝32a 2.图7－1－1611．如图7－1－16所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．【解】 (1)由题意矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r8＝1.2－2r ，∴塑料片面积S ＝πr 2＋2πr(1.2－2r)＝πr 2＋2.4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2.4πr＝－3π(r 2－0.8r)．∴当r ＝0.4米时，S 有最大值，约为1.51平方米． (2)若灯笼底面半径为0.3米，则高为1.2－2×0.3 ＝0.6(米)．制作灯笼的三视图如图所示．。
2018版高三数学复习能力大提升第七章不等式含答案
第七章不等式考点1 不等式的性质与解法1。
（2016·浙江，5)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（) A.（a－1）(b－1）＜0 B.(a－1）(a－b）＞0C。
（b－1）(b－a)＜0 D.（b－1)(b－a)＞01.解析由a,b＞0且a≠1，b≠1，及log a b＞1＝log a a可得：当a＞1时,b＞a＞1；当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1,代入验证只有D 满足题意。
答案D2.(2015·浙江，6)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y,z,且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位:元/m2)分别为a，b，c,且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.ax＋by＋czB.az＋by＋cxC。
ay＋bz＋cx D。
ay＋bx＋cz2。
解析作差比较,∵x＜y＜z，a＜b＜c，（az＋by＋cx)－（ax＋by＋cz)＝a（z－x)＋c（x－z)＝(a－c）（z－x)＜0，∴az＋by＋cx＜ax＋by＋cz;（az＋by＋cx）－(ay＋bz＋cx）＝a(z－y)＋b(y－z）＝(a－b)（z－y）＜0，∴az＋by＋cx＜ay＋bz ＋cx；（ay＋bz＋cx)－(ay＋bx＋cz）＝b(z－x)＋c(x－z)＝(b－c）（z －x）＜0,∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz，∴az＋by＋cx最小．故选B.答案B3.(2014·浙江，7)已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1）＝f（－2）＝f(－3)≤3，则（）A。
c≤3 B。
3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞93.解析由已知得错误!，解得错误!,又0＜f(－1）＝c－6≤3，所以6＜c≤9.答案C4。
（2014·四川，5)若a＞b＞0，c＜d＜0,则一定有（)A。
高三复习数学：第七章不等式
学必求其心得，业必贵于专精§7。
1 不等关系与不等式的性质1．两个实数比较大小的方法（1）作差法错误!（a，b∈R）；(2）作商法错误!(a∈R，b〉0）．2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a〉b⇔b<a⇔传递性a>b，b〉c⇒a〉c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性错误!⇒ac〉bc注意c的符号错误!⇒ac〈bc学必求其心得，业必贵于专精3(1）倒数的性质①a〉b，ab〉0⇒错误!<错误!.②a〈0〈b⇒错误!<错误!。
③a>b〉0,0<c<d⇒ac〉错误!。
④0〈a〈x<b或a<x〈b<0⇒错误!〈错误!<错误!。
(2）有关分数的性质若a〉b>0，m〉0，则①错误!〈错误!；错误!>错误!(b－m〉0）．②错误!〉错误!；错误!<错误!（b－m〉0）．【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）a>b⇔ac2〉bc2。
( )（2)1a>错误!⇔a<b（ab≠0）．( )(3)a〉b，c>d⇒ac〉bd。
( ）（4)若错误!〈错误!<0，则|a｜>|b｜.（)(5)若a3〉b3且ab<0,则错误!>错误!.（)答案：（1）×（2)×(3）×（4)×（5）√1．（教材改编)下列四个结论，正确的是( ）①a〉b，c〈d⇒a－c>b－d;②a>b>0,c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒错误!〉错误!；④a>b〉0⇒错误!〉错误!.A．①②B．②③C．①④D．①③答案：D2．若a<0，－1〈b<0，那么下列不等式中正确的是( )A．a<ab2<ab B．ab2〈a〈abC．a〈ab〈ab2D．ab2<ab〈a解析：选A.因为－1<b<0，所以b<0<b2<1，于是a<ab2<ab.3．若a>1>b,下列不等式中不一定成立的是（)A．a－b>1－b B．a－1〉b－1C．a－1〉1－b D．1－a〉b－a解析:选C.由a>1知a－b>1－b，故A正确;由a〉b知a－1>b－1，故B正确；由1>b知1－a〉b－a，故D正确，C项错误，如当a＝3，b＝－3时,不成立．4．x＋y<2m的一个充分不必要条件是( )A．x<m或y<m B．x<m且y〈mC．x<m且y〉m D．x〈m或y>m解析:选B。
高考数学总复习 第七章第6课时知能演练+轻松闯关 文 试题
【优化方案】2021年高考数学总复习 第七章第6课时知能演练+轻松闯关 文创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日1．(2021·调研)点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的间隔 是( )A.62B.32C. 3D ．2c ＝2，a ＝1，∴b ＝1，∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)． 将y ＝12代入可求P 的横坐标为x ＝－52.∴点P 到原点的间隔 为 －522＋122＝62. 2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1是左焦点，O 是坐标原点，假设双曲线上存在点P ，使|PO |＝|PF 1|，那么此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1，＋∞)C ．(1,3)D ．[2，＋∞)解析：选D.由|PO |＝|PF 1|得点P 的横坐标x 1＝－c2，因为P 在双曲线的左支上，所以－c2≤－a ，即e ＝c a≥2.应选D.3．(2021·高考卷)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有 (λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上， 所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或者λ＝－4.一、选择题1．(2021·高考卷)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，那么a 的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫±322，解得aa >0，∴a ＝2. 2．M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝3，那么动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．双曲线右边一支D ．一条射线解析：选C.∵|PM |－|PN |＝3＜4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支，又∵|PM |＞|PN |，∴点P 的轨迹为双曲线的右支． 3．(2021·质检)假设k ∈R ，那么方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( )A ．－3＜k ＜－2B ．k ＜－3C ．k ＜－3或者k ＞－2D ．k ＞－2⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3＞0，k ＋2＜0，解得－3＜k ＜－2.4．(2021·高考卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的间隔 为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，那么双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5A 1(－a,0)，渐近线为y ＝±bax ，抛物线y 2＝2px (p >0)焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为直线x ＝－p2.由题意知－p2＝－2，∴p ＝4，由题意知2＋a ＝4，∴a ＝2.∴双曲线渐近线y ＝±b 2x 中与准线x ＝－p 2交于(－2，－1)的渐近线为y ＝b 2x ，∴－1＝b2×(－2)，∴b ＝1.∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴c ＝5，∴2c ＝2 5.5．双曲线的焦点分别为F 1(－5,0)、F 2(5,0)，假设双曲线上存在一点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝8，那么此双曲线的HY 方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 264－y 236＝1 D.x 24－y 23＝1 x 轴上，由|PF 1|－|PF 2|＝8得a ＝4，又c ＝5，从而b 2＝c 2－a2x 216－y 29＝1.应选A. 二、填空题6．(2021·高考卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有一样的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，那么双曲线的方程为________．解析：椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有一样的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.答案：x 24－y 23＝17．过点P (－2,0)的双曲线C 与椭圆x 225＋y 29＝1有一样的焦点，那么双曲线C 的渐近线方程是________．解析：由题意，双曲线C 的焦点在x 轴上且为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，∴c ＝4. 又双曲线过点P (－2,0)，∴a ＝2. ∴b ＝c 2－a 2＝23，∴其渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 答案：3x ±y ＝08．双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，那么PA 1→·PF 2→的最小值为________．解析：设P (x 0，y 0)，由题意知x 0≥1，且A 1(－1,0)，F 2(2,0)，那么PA 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－x 0－2，由P 在双曲线x 2－y 23＝1上得x 20－y 203＝1，所以y 20＝3x 20－3，所以PA 1→·PF 2→＝4x 20－x 0－5＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－182－164－5(x 0≥1)，故当x 0＝1时，(PA 1→·PF 2→)min ＝－2.答案：－2 三、解答题9．椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有一样焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因此双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的间隔 为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10.如下图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|， 又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝23， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23，∴双曲线的方程为：3x 22－y22＝1.11．(探究选做)中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)假设直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，务实数m 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由得a ＝3，c ＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝12m 2＋1－3k 2＞0，可得m 2＞3k 2－1且k 2≠13.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)， 那么x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k2，由题意，AB ⊥MN ，∵k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k2＝－1k(k ≠0，m ≠0)，整理得3k 2＝4m ＋1，② 将②代入①，得m 2－4m ＞0， ∴m ＜0或者m ＞4， 又3k 2＝4m ＋1＞0(k ≠0)， 即m ＞－14.∴m 的取值范围是(－14，0)∪(4，＋∞)．。
高三数学一轮复习 第七章第5课时知能演练轻松闯关 新
2013年高三数学一轮复习 第七章第5课时知能演练轻松闯关 新人教版1．(2011·高考陕西卷)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)若BD ＝1，求三棱锥D －ABC 的表面积．解：(1)证明：∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB.又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC .∵AD ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA .∵DB ＝DA ＝DC ＝1，∴AB ＝BC ＝CA ＝2，从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12， S △ABC ＝12×2×2×sin 60°＝32， ∴三棱锥D －ABC 的表面积S ＝12×3＋32＝3＋32.2．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点G ，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .求证：(1)AE ⊥平面BCE ；(2)AE ∥平面BFD .证明：(1)∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC .又∵BF ⊥平面ACE ，则AE ⊥BF .又BF ∩BC ＝B ，∴AE ⊥平面BCE .(2)依题意可知，G 是AC 的中点．∵BF ⊥平面ACE ，∴CE ⊥BF .又BC ＝BE ，∴F 是EC 的中点．在△AEC 中，连接FG (图略)，则FG ∥AE .又AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴AE ∥平面BFD .一、选择题1．已知m 是平面α的一条斜线，点A ∉α，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是( )A ．l ∥m ，l ⊥αB ．l ⊥m ，l ⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α解析：选C.设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α. 2．(2012·开封质检)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：选B.若l⊥m，m⊂α，则l与α可能平行、相交或l⊂α；若l⊥α，l∥m，则m⊥α；若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行或异面；若l∥α，m∥α，则l与m可能平行、相交或异面，故只有B选项正确．3．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于( )A．A′C′ B．BDC．A′D′ D．AA′解析：选B.连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.4．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )A．①②B．①②③C．①D．②③解析：选 B.对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．5.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )A．PA＝PB>PCB．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC解析：选C.∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.二、填空题6．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC.与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，AC AB7．(2012·绵阳质检)在正三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE .其中正确论断的序号为________． 解析：如图，∵P －ABC 为正三棱锥，∴PB ⊥AC ；又∵DE ∥AC ，DE ⊂平面PDE ，AC ⊄平面PDE ，∴AC ∥平面PDE .故①②正确．答案：①②8．已知a 、b 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ∥b ；④若α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，则a ∥B.其中正确命题的序号有________．解析：垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α⊥β也成立，②错；a 、b 也可异面，③错；由面面平行性质知，a ∥b ，④正确．答案：①④三、解答题9．如图，在七面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，AB ⊥AC ，ED ⊥DG ，EF ∥DG ，且AC ＝EF ＝1，AB ＝AD ＝DE ＝DG ＝2.(1)求证：平面BEF ⊥平面DEFG ；(2)求证：BF ∥平面ACGD ；(3)求三棱锥A －BCF 的体积．解：(1)证明：∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ，∴AB ∥DE .∵AB ＝DE ，∴四边形ADEB 为平行四边形，∴BE ∥AD .∵AD ⊥平面DEFG ，∴BE ⊥平面DEFG ，∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面DEFG .(2)证明：取DG 的中点为M ，连接AM 、FM ，则有DM ＝12DG ＝1，又EF ＝1，EF ∥DG ， ∴四边形DEFM 是平行四边形，∴DE 綊FM ，又∵AB 綊DE ，∴AB 綊FM ，∴四边形ABFM 是平行四边形，即BF ∥AM ，又BF ⊄平面ACGD ，AM ⊂平面ACGD ，故BF ∥平面ACGD .(3)∵平面ABC ∥平面DEFG ，则F 到平面ABC 的距离为AD .V A BCF ＝V F ABC＝13·S △ABC ·AD ＝13×(12×1×2)×2＝23.10．如图，梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中AB ∥DC ，AD＝CD ＝12AB ，且O 为AB 中点．求证： (1)BC ∥平面POD ；(2)AC ⊥PD .证明：(1)因为O 为AB 的中点，所以BO ＝12AB ， 又AB ∥CD ，CD ＝12AB ， 所以有CD 綊BO ，所以四边形ODCB 为平行四边形，所以BC ∥OD ，又DO ⊂平面POD ，BC ⊄平面POD ，所以BC ∥平面POD .(2)连接OC .因为CD ＝BO ＝AO ，CD ∥AO ，所以四边形ADCO 为平行四边形， 又AD ＝CD ，所以ADCO 为菱形，所以AC ⊥DO ，因为△PAB 为正三角形，O 为AB 的中点，所以PO ⊥AB ，又因为平面ABCD ⊥平面PAB ，平面ABCD ∩平面PAB ＝AB ，所以PO ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AC ，又PO ∩DO ＝O ，所以AC ⊥平面POD .又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD .11．如图，A ，B ，C ，D 为空间四点，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝BC ＝2，等边三角形ADB 以AB 为轴转动．(1)当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；(2)当△ADB 转动时，是否总有AB ⊥CD ？证明你的结论．解：(1)取AB 的中点E ，连接DE ，CE .∵△ADB 是等边三角形，∴DE ⊥A B.当平面ADB ⊥平面ABC 时，∵平面ADB ∩平面ABC ＝AB ，∴DE ⊥平面ABC ，可知DE ⊥CE .由已知可得DE ＝3，EC ＝1.在Rt △DEC 中，CD ＝DE 2＋EC 2＝2.(2)当△ADB 以AB 为轴转动时，总有AB ⊥CD .证明如下：①当D 在平面ABC 内时，∵AC ＝BC ，AD ＝BD ，∴C ，D 都在线段AB 的垂直平分线上，即AB ⊥CD .②当D 不在平面ABC 内时，由(1)知AB ⊥DE .又∵AC ＝BC ，∴AB ⊥CE .又DE ，CE 为相交直线，∴AB ⊥平面CDE .由CD ⊂平面CDE ，得AB ⊥CD .综上所述，总有AB ⊥CD .。
高考数学一轮知能训练 第七章 解析几何 第8讲 轨迹与方程(含解析)-人教版高三全册数学试题
第8讲 轨迹与方程1．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝2y －1B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －12D ．x 2＝2y －22．已知椭圆的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一个动点，延长F 1P 到点Q ，使|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线3．(2019年某某某某检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线4．(2018年某某某某模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 5．已知点A ()3，0，若动直线x ＝t (t >0且t ≠3)与曲线x 4＝16y 2交于B ，C 两点，则△ABC 周长的最小值为( )A ．2B ．4C ．2 7－2D ．2 76．(多选)下列说法正确的是( ) A ．方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线B ．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝4C ．曲线x 225＋y 29＝xy 关于坐标原点对称D ．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ的渐近线方程为y ＝±bax7．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离之积等于8，记点P 的轨迹为曲线E ，则( )A ．曲线E 经过坐标原点B ．曲线E 关于x 轴对称C ．曲线E 关于y 轴对称D ．若点(x ，y )在曲线E 上，则－3≤x ≤38．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程为________________．9．已知A ，B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为2 3，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为____________．10．(2016年新课标Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．11．(2019年新课标Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．12．已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1 的左右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点．O 为坐标原点．(1)若直线l 过点F 1，且|AF 2|＋|BF 2|＝16 23，求直线l 的方程；(2)若以AB 为直径的圆过点O ，点P 是线段AB 上的点，满足OP ⊥AB ，求点P 的轨迹方程．第8讲 轨迹与方程1．A 解析：把抛物线方程y ＝14x 2化成标准形式x 2＝4y ，可得焦点F (0,1)，设P (x 0，y 0)，PF 的中点M (x ，y )．由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y 0＋12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －1，又∵P (x 0，y 0)在抛物线y ＝14x 2上，∴2y －1＝14(2x )2，即x 2＝2y －1，故选A.2．A3．B 解析：不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线QF 2于点S ，∵QP 是∠F 1QF 2的平分线，且QP ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|QS |－|QF 2|)＝12(|QF 1|－|QF 2|)＝a (定值)，∴点P 的轨迹为圆．4．D 解析：∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆，如图D190.图D190∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1，故选D.5．A 解析：曲线x 4＝16y 2由x 2＝4y 和x 2＝－4y 组成，设直线x ＝t (t >0且t ≠3)与x 轴交于点D ，与曲线x 4＝16y 2在第一象限交于B 点，F (0,1)，根据对称性，得△ABC 的周长为2(|AB |＋|BD |)＝2(|AB |＋|BF |－1)≥2(|AF |－1)＝2×(2－1)＝2.6．ACD7．BCD 解析：设P (x ，y )，由已知，|PF 1||PF 2|＝8，即x ＋12＋y 2×x －12＋y2＝8，化简得(x 2＋y 2＋1)2－4x 2＝64，原点(0,0)不满足方程，A 错误；用(x ，－y )换(x ，y )，方程不变，∴曲线E 关于x 轴对称，B 正确；同理用(－x ，y )换(x ，y )，方程不变，∴曲线E 关于y 轴对称，C 正确；令y ＝0，得(x ＋1)2(x －1)2＝64，即x 2－1＝8，所以x ＝±3，故－3≤x ≤3，D 正确．故选BCD.8．x 2＋y 24＝1 解析：设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9.又C (x ，y )，则由AC →＝2CB →，得(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )．即⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y .即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y .代入a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2＋y 24＝1.9.x 29＋y 2＝1 解析：设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.①∵A ，B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点， ∴y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2. 代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝2 3y ，y 1－y 2＝2 33x .②又|AB →|＝2 3，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12. ∴12y 2＋43x 2＝12.∴动点P 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1.10．(1)证明：由题设知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b .则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则直线l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2.∴AR ∥FQ .(2)解：设直线l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，∴x 1＝0(舍去)，x 1＝1.方法一，设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，∴y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合． 故所求轨迹方程为y 2＝x －1.方法二，利用点差法，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), AB 的中点为E (x ，y )，直线AB 过点D (1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1，y 22＝2x 2两式相减得y 21－y 22＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，当AB 与x 轴不垂直时，得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y ＝1y ＝k DE ＝y －0x －1(x ≠1)， 整理，得y 2＝x －1(x ≠1)， 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合． 故所求方程为y 2＝x －1.11．(1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则y 1＝12x 21.又∵y ＝12x 2，∴y ′＝x .则切线DA 斜率为x 1，故y 1＋12＝x 1(x 1－t )，整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理得2tx 2－2y 2＋1＝0.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足直线方程2tx －2y ＋1＝0.于是直线2tx －2y ＋1＝0过点A ，B ， 而两个不同的点确定一条直线，∴直线AB 方程为2tx －2y ＋1＝0， 即2tx ＋(－2y ＋1)＝0，当2x ＝0，－2y ＋1＝0时等式恒成立，∴直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)解：由(1)得直线AB 方程为2tx －2y ＋1＝0，和抛物线方程联立得： ⎩⎪⎨⎪⎧2tx －2y ＋1＝0，y ＝12x 2，化简，得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1. 设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行， ∴t ＋t (t 2－2)＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，EM →＝(0，－2)，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4；当t ＝±1时，EM →＝(1，－1)或EM →＝(－1，－1)， |EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.∴圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4或x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.12．解：(1)由椭圆定义，得|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝8 2，则|AB |＝8 23.∵直线l 过点F 1(－2,0)，∴m ＝2k 即直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 2＋2y 2－8＝0，整理，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－8＝0. ∴x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－81＋2k2.又由弦长公式，得 |AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝8 23，代入整理，得1＋k 21＋2k 2＝23，解得k ＝±1.∴直线l 的方程为y ＝±(x ＋2)， 即x －y ＋2＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)设直线l 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－8＝0，整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0. ∴x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1 , x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1.以AB 为直径的圆过原点O ，即OA →·OB →＝0. ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 将y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m 代入， 整理，得(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 将x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1代入，整理，得3m 2＝8k 2＋8.∵点P 是线段AB 上的点，满足OP ⊥AB ， 设点O 到直线AB 的距离为d ， ∴|OP |＝d ，于是|OP |2＝d 2＝m 2k 2＋1＝83(定值)， ∴点P 的轨迹是以原点为圆心，83为半径的圆，且去掉圆与x 轴的交点． 故点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝83(y ≠0)．。
高三数学总复习第7章 第4讲
在Rt△ADC中，AD＝CD＝2，∴AC＝ 2 ADC∩平面ABC＝AC，且BC⊂平面ABC，
工具
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AD2＋CD2 ＝2
2 ，易求得BC＝
2 ，∵AB＝4，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.∵平面ADC⊥平面ABC，平面
第七章 立体几何
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栏目导引
∴BC⊥平面ADC， ∴BC是三棱锥BADC的高，BC⊥AD， 又AD⊥DC，DC∩BC＝C， ∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD， ∴S△ADB＝2 3， 1 1 由VCh＝ S△ACD· BC， ABD＝VBACD，得 S△ABD· 3 3 1 1 2 6 即 ×2 3h＝ ×2×2 2，解得h＝ . 3 3 3 2 6 ∴点C到平面ABD的距离为 . 3
图形语言
符号语言 ∵a∥β，b∥β， a∩b＝P，a⊂α， b⊂α，∴α∥β ∵α∥β，α∩γ＝ a，β∩γ＝b，∴a ∥b
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判定 与另一个平面平行，则这两个 定理 平面平行(简记为“线面平行 ⇒面面平行”) 性质 定理 如果两个平行平面同时和第三
相交 ，那么它的_____ 交线 个平面_____
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第七章 立体几何
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[归纳升华] 线面平行的证明
1．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的
直线； 2．利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造 平行四边形、寻找比例式证明两直线平行； 3．注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可．
工具高三总复习· 数学 Nhomakorabea第七章 立体几何
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平行关系的综合应用
高三数学总复习知能达标训练空间向量及其运算
- 1 - 高三数学总复习知能达标训练第七章第六节 空间向量及其运算
(时间40分钟，满分80分) 一、选择题(6×5分＝30分) 1．若{a、b、c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是 A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－b C．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b 解析 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a、b、c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底． 答案 C 2．以下四个命题中正确的是 A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若{a、b、c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB→·AC→＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析 若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量， 则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c， λ、μ不可能同时为1，设μ≠1，
则a＝λ－11－μb＋λ＋μ1－μc，
则a、b、c为共面向量， 此与{a、b，c}为空间向量基底矛盾． 答案 B 3．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于 - 2 -
A.627 B.637 C.607 D.657 解析 由题意得c＝ta＋μb ＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴ 7＝2t－μ5＝－t＋4μλ＝3t－2μ，∴
t＝
33
7
μ＝177
λ＝657
.
答案 D 4．在空间四边形ABCD中，若△BCD是正三角形，且点E是其中心，则AB→＋12BC→－32DE→－AD→
等于 A．0 B．2BD→ C．2DE→ D．0 解析 选取基底，AB→＝b，AC→＝c，AD→＝d，
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高三数学总复习知能达标训练第七章
第一节 空间几何体的结构、
三视图和直观图
(时间40分钟，满分80分)
一、选择题(6×5分＝30分)
1．利用斜二测画法可以得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论正确的是
A．①② B．①
C．③④ D．①②③④
解析 因为斜二测画法规则依据的是平行投影的性质，则①②正确；对于③④，只有平行于x轴的
线段长度不变，所以不正确．
答案 A
2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：
①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．
其中正确的是
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案 B
3．(2011·江西)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为
解析 如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.
答案 D
4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
解析 A、B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.
答案 D
5．(2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：
①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；
②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；
③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．
其中真命题的个数是
A．3 B．2
C．1 D．0
解析 底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的主视图和俯
视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因
此②正确；当圆柱侧放时(即左视图为圆时)，它的主视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．
答案 A
6．如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，
其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的
是
A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台
解析 可以利用线面平行的判定定理和性质定理证明EH綊B1C1綊FG，则A、B、C正确，故选
D.
答案 D
二、填空题(3×4分＝12分)
7．正视图为一个三角形的几何体，那么它可以是________(写出三种)．
答案 直三棱柱 三棱锥 圆锥
8．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最
长的一条棱的长为________．
解析 由三视图可知多面体为如图所示的三棱锥，其中SA最长，SA＝AB2＋BC2＋SC2＝23.
答案 23
9．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC＝45°，
AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
解析 DC＝ABsin 45°＝22，
BC＝ABsin 45°＋AD＝22＋1，
S梯形ABCD＝12(AD＋BC)DC＝122＋2222
＝22＋14，
S＝42S梯形ABCD＝2＋22.
答案 2＋22
三、综合题(38分)
10．(12分)下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．
其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．
答案 ②④
11．(12分)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所
示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．
解析 设底面边长为x，则V＝34x2x＝23，
∴x＝2.
由题意知这个正三棱柱的左视图为长为2，宽为3的矩形，其面积为23.
答案 23
12．(14分)找出与下列几何体对应的三视图，在三视图的横线上填上对应的序号．
答案 (3) (4) (6) (1) (8) (5) (2) (7)