1..4 二次函数与一元二次方程的联系
课件 二次函数与一元二次方程的联系(2)—— 一元二次方程根与其对应函数与X轴交点个数的关系
例1.下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？若有，求出公共点的横坐标。 (1)y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1
解：（2） =(-6)2 4 9 =36-36
=0 图像与x轴有1个交点
令x2 6x 9 0 得x 3
公共点的横坐标是3.
y x2 x 1 y x2 x 2
解： a2 4(a 2) a2 4a 8 (a 2)2 4
无论a取何值，>0 抛物线y=x2 ax a 2与x轴有两个不同的交点.
归纳提升
掌握二次函数的有关性质及二次函数与一元二次方 程的关系是解题的关键。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点个数和一元二次方程的
初中数学重难点微课
二次函数与一元二次方程的联系（2）
—— 一元二次方程根与其对应函数与X轴交点个数的关系
课程出品：蒋鼎年工作室
课程设计： 伍妙冰 课程讲解： 彭健仪
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知识回顾 知识讲解 难点突破 归纳提升
知识回顾
回忆二次函数的图象与x轴交点的个数与所对应一元 二次方程的解的个数之间的关系。
y x2 6x 9
x2 6x 9 0
x3
由此，你能得出相应的一元二次方程吗？直接写出它的根。
例1.下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？若有，求出公共点的横坐标。 (1)y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1
解：（3） =(-1)2 4 =1-4
=-3<0 图像与x轴没有交点
△= b2 – 4ac< 0 方程ax2+bx+c=0没有实数根
《二次函数与一元二次方程》说课稿
《二次函数与一元二次方程（第1课时）》说课稿一、教材分析《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级上册第22章第二节的第1课时的内容。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
用函数的观点看方程，可以把方程看成函数值为某个定值时的情况，所以，研究函数与方程的关系是对函数的进一步深化。
学生在一次函数时已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次不等式组之间的联系，本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程之间的联系。
这样既深化学生对一元二次方程的认识，又可以运用二次函数解决一元二次方程的相关问题，体现了知识之间的联系。
二、学情分析学生已经学习了一元一次方程和一次函数，一元二次方程，二次函数的图像和性质等知识，对函数与方程的关系已有初步认识。
但是运用函数的思想解决问题的意识还不够，仍习惯于孤立地看待方程与不等式的问题。
本节学习可以帮助学生进一步建立函数与方程的联系，提升用函数思想解决问题的意识和能力。
三、教学目标1.了解一元二次方程的根的几何意义;理解抛物线与横轴的三种位置关系对应一元二次方程的根的三种情况.2.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程,结合图象,进一步体会函数与方程之间的联系。
3.运用函数思想解决问题，体会事物之间的转化，提升思维品质。
四、教学重难点重点：二次函数与一元二次方程的联系，利用函数解决方程的有关问题.难点：将方程问题转化为函数问题，运用函数的思想解决问题。
五、教学策略由一次函数与一元一次方程的关系说起，采用类比的方法研究二次函数与一元二次方程的关系。
以实际问题为情境从数与形两个角度理解函数与方程之间的联系。
初中数学《二次函数与一元二次方程》教案
教学设计如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x 轴交点情况判断下列函数的图象与x 只有一个交点的是( )A ．y ＝x 2＋2x －3B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：选项A 中b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B 中b 2－4ac ＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D 的函数图象与x 轴只有一个交点，故选D.【类型二】利用二次函数图象与x 轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x ＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用函数图象与x 轴交点情况确定字母取值范围若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－2解析：若m ≠0，二次函数与x 轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴也有一个交点．由(m ＋2)2－4m (12m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2，当m ＝0时原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点，所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当b 2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集是( )A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是( )A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x＞3.故选D.方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．。
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的
联系和区别
二次函数、一元二次不等式、一元二次方程都是关于二次方的数
学概念。
它们在形式和性质上各有不同，但都具有密切联系。
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。
其图像为一个开口向上或向下的抛物线，与x轴交点为其根。
一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。
其解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
这个方程的解
决了抛物线与x轴交点的问题。
一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数。
这个式子就是要解出抛物线的正负。
因此，从几何角度来看，二次函数和一元二次不等式都与抛物线
的开口方向和根相关。
一元二次方程和二次函数的解方程式中的x为
根有关。
而一元二次不等式则是解出某个范围内x的取值。
同时，这些概念还有着实际意义。
二次函数的图像在物理学中很
常见，比如抛物线运动。
而一元二次方程在物理学和工程学中也有广
泛的应用。
在学习过程中需要注意，这些概念虽然看似相似，但细节处的不同很重要。
需要分类讨论、注意符号、掌握解法等，才能真正理解这些概念并活用于实际问题中。
二次函数和一元二次方程的关系
二次函数和一元二次方程的关系教学设计一教学设计思绪经过小球飞行高度效果展现二次函数与一元二次方程的联络。
然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。
最后经过例题引见用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。
二教学目的1 知识与技艺(1).阅历探求函数与一元二次方程的关系的进程，体会方程与函数之间的联络。
总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.(2).会应用图象法求一元二次方程的近似解。
2 进程与方法阅历探求二次函数与一元二次方程的关系的进程，体会方程与函数之间的联络.三情感态度价值观经过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的状况培育先生自主探求看法，从中体会事物普遍联络的观念，进一步体会数形结合思想.四教学重点和难点重点：方程与函数之间的联络，会应用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
五教学方法讨论探求法六教学进程设计(一)效果的提出与处置效果如图，以20m/s的速度将小球沿与空中成30角的方向击出时，球的飞行路途将是一条抛物线。
假设不思索空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系h=20t5t2。
思索以下效果(1)球的飞行高度能否到达15m?如能，需求多少飞行时间?(2)球的飞行高度能否到达20m?如能，需求多少飞行时间?(3)球的飞行高度能否到达20.5m?为什么?(4)球从飞出到落地要用多少时间?剖析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t-5t2。
所以可以将效果中h的值代入函数解析式，失掉关于t的一元二次方程，假设方程有契合实践的解，那么说明球的飞行高度可以到达效果中h的值：否那么，说明球的飞行高度不能到达效果中h的值。
解：(1)解方程 15=20t5t2。
t24t+3=0。
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
二次函数与一元二次方程的关系
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学段: 初中学科: 数学教材版本: 华师大版年级/册: 九年级下 目录: 26.3 实践与探索 本次研修的重难点
题目(知识点): 二次函数与一元二次方程的关系
学习内容分析
学习目标描述： 1.总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关
系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
学习内容分析： 1.二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
2 .利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
教学重点： 1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2. 利用二次函数图像求一元二次方程的实数根。
教学难点： 1.一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思
想的运用。
2.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
学生学情分析
学生在学习了一元二次方程的知识，同时掌握了图像与机械坐标轴交点的求法，所以这一节
课是在已有的基础上进行习生，只要老师适当引导，可以加深学生对相关知识关联的理解与
应用。
教学策略设计
以学校“先学后教，当堂检测”的教学模式进行教学，注重学生自主学习的过程，充分发挥学
生的主体参与。
信息技术运用说明
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运用制作好的课件，作为教学的辅助手段，同时利用电子白板的批注功能，对学习知识中的
关键知识点，或者学生学习过程中出现的问题或者新奇的思想给出适当的批注，加深对学习
的理解与认识。
二次函数与一元二次方程之间的关系讲课文档
(1)求m的值；
返回
第十五页，共24页。
解：∵抛物线y＝－x2＋mx＋3过点B(3，0)， ∴0＝－9＋3m＋3，∴m＝2.
(2)抛物线上有一点P，满足S△ABP＝4S△ABD， 求点P的坐标．
第十六页，共24页。
y＝ － x 2＋ 2 x＋ 3，
由
y＝
－
3 2
x＋ 3，
得
x1＝0， y 1＝3，
线与x轴两交点距离的最值．
第二十三页，共24页。
存在最小值．由题意知x1，x2是方程x2－(m－3)x－m＝0
的两根，
∴x1＋x2＝m－3，x1•x2＝－m. 又∵AB＝|x2－x1|， ∴AB2＝|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝(m－3)2－4(－m)＝(m－1)2＋8. 当m＝1时，AB2有最小值8. ∴AB有最小值，此值为8＝22.
第二十页，共24页。
(3)当－2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围． 解：设z=（ m ＋ 1）2 ，
4
当m＝－1时，z有最小值为0； 当m＜－1时，z随m的增大而减小； 当m＞－1时，z随m的增大而增大， 当m＝－2时，z＝ 1 ；当m＝3时，z＝4. 则当－2≤m≤3时，该4 函数图象的顶点纵坐标的取值范围是返0回≤z≤4.
二次函数与一元二次方程之间的关系
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知识点 1 二次函数与一元二次方程之间的关系
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标 就是求一元二次方程_____a_x_2_＋__bx_＋__c_＝__0的两个根；
人教版《二次函数与一元二次方程》PPT课件初中数学ppt
0m
0s
4s
（4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
，4），（，）。
习题答案
1. （1）略. （2）1，3.
2. （1）x1 = 1，x2 = 2；（2）x1 = x2 = －3 ；
（3）没有实数根； （4）x1 = －1，x2 = 1 .
3. （1）略. （2）10m.
2
4. x = 1
例：利用函数图象求方 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方 向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考 虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要 多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要 多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
解：当 y = 0 时， x2 – x+ 1 = 0
因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0
o
x 所以与 x 轴没有交点。
二次函数与一元二次方程的关系（2）
确定二次函数图象与 x 轴的位置关系
解一元二次方程的根
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
二次函数与一元二次方程 说课
2
4
6
8
t
预习生疑
1.二次函数与x轴的交点与一元二次方程的根
合作辨疑
有什么关系？
探究释疑
2.二次函数与y=h的交点与一元二次方程的
实践解疑
根有什么关系？
反思升疑
3.还有哪些交点类型？在哪些地方考察？
预习生疑
x= -x²+4x-3
y= -x²+4x-3
合作辨疑
探究释疑
y=x
在函数y= -x²+4x-3上求满足y=x的点的横坐标
教法与学法分析
以学生为主体，以问题为主线，以质疑为特征
动手
操作
启发
发现
讨论
小组
合作
【合作辩疑】
预习生疑
1.二次函数与x轴的交点与一元二次方程的根
合作辨疑
有什么关系？
探究释疑
2.二次函数与y=h的交点与一元二次方程的
实践解疑
根有什么关系？
反思升疑
3.还有哪些交点类型？在哪些地方考察？
小组讨论要求
时间：5分钟；小组长组织本组组员进行合作交流；
证、说明推理，有效地突破了难点；及时小结，注重升华；
紧密链接中考，注意拓展延伸和上下链接。
教材分析 学情分析 教学目标 教法与学法分析 教学过程 特色说明
数学是思维的体操。怎样培养学生的核心素
养，我认为目标就是：即便学生将来忘记了所学
的知识，却会在将来感激数学课堂带来的思维灵
动。
这就是我们数学教师的使命与价值。
解方程得 =
+
,
−
=
∴ 两图像有两个交点
+
−