矩阵论_04矩阵的对角化
矩阵的相似对角化
a c a1 ,
b c
d b2 c1 ,
,
d d2 .
由于P可逆，c、d不能同时为0，不妨
设c≠0，则有λ1=1，再由第一式有c=0，这 导致矛盾.此矛盾说明不可能存在可逆阵P
使P-1AP成对角形.即A在数域P上不能对角
化。
那么，什么样的矩阵是可以对角化
的呢? 如果A可相似对角化，则存在可逆阵
由于P可逆，α1，…，αn是线性无关 的. 此式说明，要使A可对角化，A必须有n 个线性无关的特征向量，而与A相似的对
角形矩阵中的λi(i=1, …,n)则是A的特征值.
以上分析说明，矩阵A是否可对角化， 与A的特征值、特征向量的状况有密切关系.
定理5.2.3 n阶矩阵A可相似对角化 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征
故得
Ak
1 1
21
1 0
k1 11
11 2
1 1
21
1 0
k1
2 1
11
1 1
2kk1 12
11
k 1 k
kk1
相似矩阵还有下列重要性质.
定理5.2.1 设A∽B，则有 (1) R(A)= R(B)，此处R(A)，R(B)分
别是A、B的秩;
(2) A B ; (3) A可逆时B也可逆，反之亦然.当A 可逆时还有A－1∽B－1. 证 (1)和(2)是显然的，只证(3).
,
B 10 11
E A E B 12 ，但A与B不是相似
的，因为A是单位阵，对任意可逆阵P，
P-1AP= P-1P=E=A，从而与单位阵相似的
矩阵只能是其本身.
由定理5.2.2可知，相似的矩阵有相同
特征值.如果能找到与A相似的较简单的矩 阵，则可简化许多问题的处理.在n阶矩阵
矩阵相似与对角化问题
矩阵相似与对角化问题引言矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
在研究矩阵的性质和应用时，矩阵相似与对角化问题是常见且重要的问题之一。
本文将对矩阵相似和对角化的概念、性质和关系加以讨论。
矩阵相似定义给定两个 n × n 矩阵 A 和 B，如果存在一个可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = B，则称A 和 B 相似。
记作A ∼ B。
性质矩阵相似具有以下性质：1.若A ∼ B，则B ∼ A。
2.若A ∼ B，B ∼ C，则A ∼ C。
（相似关系是传递的）3.若A ∼ B，那么 A 的特征多项式和 B 的特征多项式相同。
4.若 A 和 B 相似，则 A 和 B 具有相同的特征值和特征向量。
相似对角化对于相似矩阵 A 和 B，我们可以进行相似对角化，即将 A 变换为一个对角矩阵B。
具体步骤如下：1.设 A 是一个 n × n 矩阵，A 有 n 个线性无关的特征向量。
2.将这 n 个特征向量按列组成矩阵 P。
3.计算P⁻¹AP，得到对角矩阵 B。
对角化的好处是简化了矩阵的计算和处理，形式更加规整，便于求解特定的问题。
对角化问题定义给定矩阵 A，如果存在一个可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = D，其中 D 是一个对角矩阵，则称 A 可对角化。
充分条件一个矩阵 A 可对角化的充分条件是存在 n 个线性无关的特征向量。
如果 A 的 n 个特征向量线性无关，则 A 必定可对角化。
对角化步骤求解矩阵对角化的步骤如下：1.解特征方程 |A - λI| = 0，得到矩阵 A 的特征值λ1, λ2, …, λn。
2.对于每个特征值λi，解特征方程 (A - λiI)xi = 0，得到特征向量 xi。
3.如果通过步骤 2 得到的 n 个特征向量线性无关，则 A 可对角化。
将这些特征向量按列组成矩阵 P，并将对应的特征值按对角线排列得到对角矩阵D。
可对角化的性质可对角化的矩阵具有以下性质：1.可对角化的矩阵 A 的迹等于其特征值之和。
矩阵对角化方法范文
矩阵对角化方法范文首先，我们先来了解一下矩阵的对角化概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P和一个对角阵D，使得A=PDP^(-1)，则称A可对角化，P为可逆矩阵，D为对角阵。
接下来，我们将讨论矩阵对角化的具体步骤和方法。
设A为n阶方阵，我们要对其进行对角化分解。
具体步骤如下：1.求A的特征值和特征向量：求解方程，A-λI，=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
解该方程可得到A的特征值λ1,λ2,...,λn。
然后，将每个特征值代入(A-λI)X=0，其中X为特征向量，解该方程可得到A对应于每个特征值的特征向量X1,X2,...,Xn。
2.构造特征矩阵P：将特征向量组成的矩阵P=[X1,X2,...,Xn]。
3.求P的逆矩阵P^(-1)：由于P是由特征向量构成的，因此P一般是可逆的。
4.构造对角阵D：对角阵D为以特征值λ1,λ2,...,λn为对角线元素所构成的阵。
5.验证：计算A=PDP^(-1)，验证是否满足等式。
通过以上步骤，我们可以得到矩阵A的对角化结果。
为了更好地理解矩阵对角化方法，接下来我们通过一个实例进行阐述。
假设有一个3阶方阵A=[1,0,-1;1,2,0;4,1,3]。
首先，我们求解特征多项式，A-λI，=0，得到特征值的解为λ1=-1，λ2=2，λ3=4然后，我们将每个特征值代入(A-λI)X=0，求解特征向量。
以λ1=-1为例，代入(A+I)X=0，解该方程可得特征向量X1=[1,1,-1]。
以此类推，我们可以得到所有特征向量。
接下来，我们构造特征矩阵P，将特征向量组成的矩阵P=[X1,X2,X3]。
然后，求解P的逆矩阵P^(-1)。
最后，构造对角阵D，以特征值为对角线元素，得到D=[-1,0,0;0,2,0;0,0,4]。
最后一步，我们验证计算A=PDP^(-1)是否成立。
经过计算，我们得到矩阵A=PDP^(-1)。
通过上述实例，我们可以看出，矩阵对角化的方法主要分为求解特征值和特征向量、构造特征矩阵P、求解P的逆矩阵P^(-1)和构造对角阵D。
线性代数第5章矩阵的对角化
齐次线性方程
x1 (1 / 2) x3 0, x2 (1 / 2) x3 0.
4 2 1 A 2 0 1 . 1 1 0
23
1 ( 1,1, 2)T .
A的属于特征值0的所有特征向量
k11 , k1 0.
2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 E A 2 2 1 2 2 1 0 0 5 1 1 2 0 0 0 0 0 0 r 2. 齐次方程组 4 2 1 x1 x2 2 x3 0, A 2 0 1 . 1 1 0 5 x 0. 3
分别令 ( x2 , x3 ) (1,0),( x2 , x3 ) (0,1) 得基础解系 T T 2 ( 1,1, 0) , 2 (1, 0,1) . 属于特征值2的全部特征向量是k22 k33 ,
x1 x2 x3 0,
k2 , k3 不全为零.
此例中的二重特征值, 对应齐次方程基础 解系恰好含两个向量.
19
2 2 (二重)时相应齐次线性方程组的系数矩阵
对应齐次线性方程组
1 1 1 1 1 1 E A 2 2 2 0 0 0 3 0 0 0 3 3
1 1 1 A 2 4 2 . 3 3 5
( 2) 1 2 4 1 1 1 2 ( 2)( 2 2 )
解
( 2)2 0, 1 0, 2 2.
22
对于 1 0,
4 2 1 1 1 1 E A 2 0 1 0 2 1 1 0 0 2 0 1 0 1/ 2 1 1 0 1 1 / 2 0 1 1 / 2 0 0 0 0 0 0 x3 2, x1 1, x2 1. 基础解系 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 0 1
矩阵可对角化的条件
矩阵可对角化的条件学生：翟亚丽 指导老师：王全虎一 引言矩阵可对角化的问题是高等代数和矩阵论最基本的问题之一，也是人们一直研究的问题之一。
从矩阵对角化的判别法则到矩阵对角化的方法，从矩阵对角化的方法再到矩阵可对角化的条件，再延伸到矩阵的广义对角化，本文从矩阵可对角化的各种例子和矩阵可对角化的各种定理归纳总结出矩阵可对角化的条件。
二 矩阵可对角化的概念定义【2】 设A 是数域F 上一个n 阶矩阵，如果存在F 上一个n 阶可逆矩阵T 使得T -1AT具有对角形式100n a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 那么就称矩阵A 可对角化。
三 矩阵可对角化的相关定理定理1【1】 n 阶矩阵A 相似对角矩阵的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
定理2【3】 设i λ是线性变换A 的特征值，它的代数重数为i n ，几何重数为i m ，且1i im n ≤≤则A 可对角化的充分必要条件是：每个特征值的几何重数都等于代数重数。
定理 3【3】 A 可对角化⇔A 的最小多项式没有重根。
四 由矩阵可对角化的定理所引出的矩阵可对角化的条件及其相互之间的关系。
（一）设【12】()n M F A∈，K 重根按k 个计算，则A 可对角化⇒A 有n 个特征根，自然会问：A 有n 个特征根是否也是A 可对角化的充分条件？看例子11()01n M F ⎛⎫A =∈ ⎪⎝⎭则2()(1)A x x λ=-于是A 有2个特征值为1，但A 却不能对角化，故此例告诉我们A 有n 个特征根只是A 可对角化的必要条件，而非充要条件。
而且一般形如1,0k k F k ⎛⎫A =∈ ⎪⎝⎭的矩阵都不能对角化。
在给出A 可对角化的充要条件时需对特征根的特征向量要进一步讨论，若矩阵A 有n 个线性无关的特征向量则该矩阵可对角化，又有定理（二）设()n M F A∈，若在F 中，A 有n 个不同的特征根，则A 可对角化。
因为，不同特征根对应的特征向量必线性无关，则特征向量线性无关时可得出矩阵可对角化。
矩阵对角化问题 数学毕业论文
矩阵对角化问题高等代数中，在讲到线性空间和线性变换时，一个主要内容是讨论矩阵对角化,即在什么条件下矩阵与对角矩阵相似.而矩阵对角化的原始问题是：设V 是有限维复线性空间,A 是V 上的线性变换，能否在V 中找到一个基,使得A 在这个基下的矩阵比较简单.作为纯粹的几何问题就是V 能否分解成一些不变子空间的直和.讨论这个几何问题的证明对于了解线性空间有很大好处.本文将对V 分解成所谓根子空间的直和给出一种较为初等的证明，并由根子空间分解定理推出线性变换(或n 阶方阵)可对角化的充要条件.把这些充要条件与其他线性变换（或n 阶方阵）可对角化的充要条件进行汇总比较，从而得到线性变换的矩阵对角化的方法的优劣，便于学习和研究根据具体情况选用.1．预备知识1.1有关定义定义 1.1.1[]1 线性空间V 一个变换A 称为线性变换，如果对于V 中任意的元素αβ和数域P 中任意数K 都有A (α+β)=A （α）+A （β）A (k α）=k A(α) 定义1.1.2[]1 设A 是数域P 上的线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果W 中的向量在A 下像仍在W 中，换句话说，对于W 中任一向量ξ，有A ξ∈W ,我们就称W 是的A 不变子空间，简称A -空间.定义 1.1.3[]1设1V ,2V 线性空间V 的子空间，如果和1V +2V 中每个向α=1α+2α,1122,V V αα∈∈是唯一的,这个和就称为直和.定义1.1.4[]1如果数域P 上的n 阶矩阵A 相似于对角阵，则A 可对角化定义1.1.5[]1设A 是数域P 上的n 阶矩阵，如果数域P 上的多项式()f x 使得()f A = 0,则称()f A 以A 为根.在以A 为根的多项式中次数最低且首相系数为1的多项式称为A 的最小多项式.定义1.1.6 设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，如果存在非零向量V ξ∈,数λ∈P ,m ∈N,使得()0m A λεξ-=，那么称ξ为属于λ的根向量.线性变换A 的属于特征根λ的根向量的全体，再添上零向量所组成的V 的子集是V 的一个子空间，称V 的这个子空间为A 的属于特征值λ的根子空间.Sylvester 不等式 设,A B 均为n 阶矩阵，秩（A ）+秩(B )≤n +秩（AB ）1.2 线性空间根子空分解定理引理 设A 是n 维复线性空间V 的线性变换, 12,...s λλλ是A 的所有不同的特征值,且12...s V V V V λλλ=++其中12,,...,s V V V λλλ是V 的全部根子空间,则i A λε-在i V λ上为幂零线性变换,而在1211......i i s V V V V V λλλλλ-+++++++上为可逆线性变换.证明 不失一般性,只证明1A λε-在1V λ上为幂零线性变换,而在23...s V V V λλλ++上为可逆线性变换.在1V λ中取一个基 12,...t γγγ, 则有正整数12,...t p p p ,使1()0i p i A λεγ-= , i = 1，2，…, t ,取p = max {}12,...t p p p , 有()10pi A λεγ-=, i = 1 ,2…t ,于是对任意γ∈1V λ，令1ti i i k γγ==∑,则1()pA λεγ- =1()pA λε-(1ti ii k γ=∑ )=11()0tPii i k A λεγ=-=∑ ,即在1V λ上,1()p A λε- =ϑ (ϑ为零变换) ,所以1A λε-在1V λ上为幂零线性变换.令W =2...s V V λλ++,若1()A W λε-不可逆,则1()A W λε-一定有一个特征根是0 ,因而1A λε-在W 上有属于特征根0 的特征向量0ξ (0ξ∈W) ,即有10()A W λεξ-=1()A λε-0ξ=0, 亦即010()A ξλξ=(0ξ≠0). 又因0ξ∈W = 2...sV V λλ++ ,所以有0ξ=23...s ξξξ++,其中ii V λξ∈ ( i = 2 ,…,s ) 于是有正整数i m ,使()0im i i A λεξ-= , i = 2 ,…,s ,令()()22...s m m s A A τλελε=--,则τ(i ξ) = ()()22...s m ms A A λελε--i ξ= 0 , i = 2 ,…, s ,从而τ(0ξ) = τ(2ξ) + … + τ(ξs) = 0 , 另一方面, 因为()010A ξλξ=，又τ(0ξ)=21()...()s m m s A A λελε--0ξ=()()2121...0s m ms λλλλ--≠这就导致了矛盾.所以1A λε-在2...s V V λλ++ 上为可逆线性变换.定理1.2.1 (根子空间分解定理) 设A 是n 维复线性空间V 的线性变换, 12,...s λλλ是A 的所有不同的特征值,i V λ是属于i λ 的根子空间, i = 1 ,2 ,…, s ,则12...S V V V V λλλ=⊕⊕⊕.证明 设A 的特征多项式为1212()()()...()s s f x x x x γγγλλλ=--- 令()()()ii i f x g x x γλ=- i = 1 ,2 ,…, s , 则12(),(),...,()s g x g x g x 互素, 于是有多项式12(),(),...,()s u x u x u x , 使1()()1si i i g x u x ==∑, 将A 代入上式, 得 1()()si i i g A u A ε==∑,(ε为单位变换), 任给ξ ∈ V ,有ξ =ε(ξ) =()()1s i i i g A u A =⎛⎫⎪⎝⎭∑ξ=1(()())siii g A u A ξ=∑, 记()()i i i g A u A ξξ=, i = 1 ,2 ,…, s ,于是12...s ξξξξ=+++. 下面证明i i V ξ∈ , i = 1 ,2 ,…,s因为()()()i i i f x x g x γλ=-,由哈密尔顿- 凯莱定理()()()i i i A g A f A γλεϑ-== (ϑ为零变换),于是有()i i i A γλεξ-=()()()i i i i A g A u A γλεξϑ-=（ϑ为零变换）即i i V λξ∈, i = 1 ,2,… , s ,所以12...S V V V V λλλ⊂+++,又显然12...S V V V V λλλ⊃+++ ,故12...S V V V V λλλ=+++.再证明上面的和是直和,设12...0,i s i V λαααα++=∈, i = 1 ,2 ,…,s 由引理知i A λε-在i V λ上为幂零变换，所以存在正整数i n ,使得在i V λ上()i n i A λεϑ-=(ϑ为零变换),又由引理 ，i A λε-在111.......i i s V V V V λλλλ-++++++上为可逆变换,所以()i n i A λε- 在111.......i i s V V V V λλλλ-++++++上也是可逆变换,于是0 =()(0)i n i A λε-=()i n i A λε-（12...s ααα++）= ()i n i A λε-i α+()i n i A λε-（1211...i i s ααααα-++++++）=()i n i A λε-（1211...i i s ααααα-++++++）从而1211...i i s ααααα-++++++=0 ,于是()1211......0i i i s αααααα-+=-+++++= , i = 1 ,2 ,… s,由零向量的表法唯一知12...S V V V V λλλ=⊕⊕⊕ 根子空间分解定理全部证完.运用根子空间分解定理可以推出一些矩阵对角化的充要条件.对角矩阵可以认你为是矩阵中最简单的一种，一些复杂的矩阵可以通过适当的方法化为对角阵.通过相应对角阵的研究学习,可以推知这些复杂矩阵的性质,促进对复杂矩阵的了解,简化很多复杂工作,给学习和研究带来很大方便.下面就矩阵对角化的充要条件作一详细论述.2. 矩阵可对角化的一些充要条件及矩阵对角化方法2.1 特征向量法定理2.1.1 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换, A 的矩阵可以在某一组基下为对角阵充要条件是, A 有n 个线性无关的特征向量.证明 设A 在基12,...n εεε下具有对角阵1...n λλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.即i i i A ελε= i=1,2…n 因此, 12,,...,n εεε就是A 的n 个线性无关的特征向量.反过来,如果A 有n 个线性无关的特征向量,那么就取12,,...,n εεε为基.显然, A 在这组基下的矩阵是对角阵. 证 毕.例1. 设线性变换A 在基12,,...,n εεε下的矩阵是(1)122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, (2)310410482A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭,问A 是否可以对角化? 解 (1)因为特征多项式为122212221E A λλλλ----=------=()()215λλ+-所以A 的特征值是-1(二重)和5把特征值-1代入齐次方程组得()()()123123123122021202210x x x x x x x x x λλλ---=⎧⎪-+--=⎨⎪--+-=⎩ (1)解得基础解系是101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦和011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因此属于-1的两个线性无关的特征向量是112223,ξεεξεε=-=-把特征值5代入(1)得基础解系111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,所以属于5的全部特征向量为3123ξεεε=++ 则A 在基123,,ξξξ下的矩阵为B=100010005-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(2) E A λ-=310410482λλ--+-=()()212λλ-+，所特征值为1(二重)和-2. 对应特征值1的特征向量为11233620ξεεε=-+ 对应特征值-2的特征向量为23ξε=由此知A 有两个线性无关的特征向量，由定理1知A 不能对角化.运用此定理判定一个线性变换的矩阵是否可以对角化的方法简单易懂,但是过程比较繁琐.先计算一个行列式求出A 的特征值,再利用方程组和特征向量的有关理论及求法计算出A 是否有n 个线性无关的特征向量.计算过程容易出错.下面利用最小多项式给出一个线性变换的矩阵可角化的充要条件.此定理比定理2.1.1简洁实用2.2 最小多项式法引理 设A 是一个对角阵A=12A A ⎛⎫⎪⎝⎭，并设1A ,2A 的最小多项式为12(),()g x g x ，那么A 的最小多项式为12(),()g x g x 的最小公倍数[]12(),()g x g x .证明 ()g x =[]12(),()g x g x ，首先12()()()g A g A g A ⎛⎫= ⎪⎝⎭=0.因此()g x 能被A 的最小多项式整除.其次()0h A =.那么12()()()h A h A h A ⎛⎫= ⎪⎝⎭=0, 1()h A =0,2()h A =0,因而11()()g x h x ，22()()g x h x .并由此得()()g x h x .这样就证明了()g x 是A 的最小多项式. 这个结论可以推广到A 为若干矩阵组成的准对角阵的情形.即如果A=1 (00)S A A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，i A 的最小多项式为()i g x ，i=1,2,…,s.那么A 的最小多项式为[]12(),(),...,()s g x g x g x .定理2.2.1 数域P 上n 级矩阵A 与对角阵相似的充要条件为A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积.证明 根据引理的推广形式，条件的必要性是显然的. 下面证明充分性.根据矩阵和线性变换之间的关系，我们可以定义任意线性变换A 的最小多项式，它等于其对应矩阵A 的最小多项式.所以只需证明,若数域P 上某线性空间V 的线性变换A 的最小多项式()g x 是P 上互素的一次因式的乘积1()()li i g x x a ==-∏，则A 有一组特征向量做成V的基.实际上，由于()0g A V =.由定理 1.2.1同样的步骤可证12...l V V V V =⊕⊕⊕，其中{}()0,i i V A a V ξεξξ=-=∈,把12,...l V V V 各自的基合起来就是V 的基，而每个基向量都属于某个i V ，因而是A 的特征向量. 证毕.推论 复数矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的最小多项式无重根. 不利用定理2.2.1,该推论也可证明.下面给出令一种证明.证明 必要性设A 相似diag 12(,...)n λλλ，所以存在可逆矩阵T 使1T AT -=∧,(∧为对角阵),从而1i i T A T -=∧,不妨12,...k λλλ是A 的互不相同的特征根()k n ≤ 记()()()11211()......k k k k k g a a a λλλλλλλλλλ--=---=+++ 因而()11111(...)k k k k T g A T T A a A a A a E T----=+++=1111111...k k k k T A T a T A T a T AT a T ET ------+++=11...k k k a a E -∧+∧++=()g ∧ 而()11...k k k g a a E -∧=∧+∧++=1111211121(,...)(,...)...(,...)k k k k k k n n k k k diag diag a a a diag a a a λλλλλλ---++= 11111.........k k k k k n n k a a a a λλλλ-⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭=diag ()()()12(),...n g g g λλλ=0所以()g A =0.于是()()A m g λλ，但是()g λ没有重根，因而()A m λ没有重根.充分性 设12,...n λλλ为最小多项式()A m λ的互不相同的根,则由()A m λ无重根()A m λ=()()()12...k λλλλλλ---，于是()A m A =()()()12...k A E A E A E λλλ---=0 令rank ()i A E λ-=i γ，则dim I V λ=n -i γ,所以A 共有()()()12...k n n n s γγγ---=个线性无关的特征向量并且显然s n ≤.另一方面()12...1k k n γγγ+++≤-.因而又有()()()12...k s n n n n γγγ=---≥，故s n =.这就说明了A 有n 个线性无关的特征向量由定理2.1.1知A 可对角化. 证毕.例2. 判下列矩阵是否可以对角化.（1）001010110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）3131131331311313--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪--⎝⎭解（1）可求的A 的特征多项式为()()2010101110E A λλλλλλ--=-=-+-由于A 的最小多项式为()()211λλ-+的因式，计算得0A E -≠,0A E +≠.而()A E -()A E +=0.因此A 的最小多项式为()()11λλ-+.显然A 的最小多项式是实数域上互素的一次因式的乘积，从而由定理2.2.1知A 可对角化.（2）可求得A 的最小多项式为E A λ-=3131131331311313λλλλ-----+---+=4λ由于的最小多项式为4λ的因式，计算得A 0≠, 2A =0.因此A 的最小多项式为2λ.从而由定理2.2.1知A 不可对角化.例3 k A =E,则A 与对角阵相似.(k=1，2…)证明 由k A E =知A 为多项式()1k f x λ=-的零点，即()f A =0.因A 的最小多项式()()A m f λλ，而()f λ无重根，所以()A m λ无重根，故由推论知A 与对角阵相似.对于单纯的判断一个线性变换的矩阵能否对角化运用定理 2.2.1及其推论是很简洁方便的，它部避免了运用定理2.1.1的繁琐过程.但是对于既要判定某个数域上的线性变换的矩阵是否可对角化，对于可对角化的矩阵又要求出相似变换矩阵及矩阵特征值的题目来说运用定理2.2.1及推论是达不到要求的.而运用定理2.1.1虽然能达到要求但方法却很繁琐.下面给出的方法仅需利用矩阵的乘法运算便可判定一个矩阵是否相似与对角阵，并且在判定的过程中简洁的构造出相似变换矩阵完全不需解性方程组.2.3 矩阵的乘法运算法定理 2.3.1 设12,,...,s λλλ为n 阶矩阵A 的全部相异特征值，其重数分别为12,,...,s n n n ，1sii nn ==∑,则A 与对角阵相似的充要条件是1()si i E A λ=-∏=0.(i=1,2,…,s)证明 必要性若A 相似于阵对角阵∧，则存在可逆矩阵P 使得A =P 1...s E E λλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1P -,其中i E 为in 阶单位矩阵（i=1,2,…,s ）于是()i E A λ-=()1i P E P λ--∧=()()111...i i s s E P P E λλλλ--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,于是1()s i i E A λ=-∏=()11s i i P E P λ-=-∧∏= P ()()1111...s i i si s s i E E λλλλ==⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭∏∏1P - 由于()i j j iE λλ-∏=0（j=1,2,…,s ）.所以1()si i E A λ=-∏=0.充分性 因为对于任何n 阶矩阵A 都存在可逆矩阵P ，使得A= P 12...S J J J ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1P -,其中jJ 为jordan 块(j=1,2,...,s).因此要证A 可对角化，只要证j J =j j E λ（j=1,2,…,s ）,由于()i E A λ-=()i P E J λ-1P -=P ()()()1122...i i i s s E J E J E j λλλ-⎛⎫ ⎪-⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭1P - ()()()()111221...i i i i i i s s i E J E J E A P P E J λλλλ-⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪-= ⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭∏∏∏∏所以若()0i iE A λ-=∏.则因P 可逆而有()0i j j iE J λ-=∏（j=1,2,…,s ）.又当i j ≠时()0ijλλ-≠，()i jj EJ λ-可逆，所以()i j j E J λ-0≠，即j j j J E λ=(j=1,2,…,s)定理2.3.2 设12,,...,s λλλ时n 阶矩阵的全部相异特征根，其重数分别为12,...s n n n ，则A 于对角阵相似的充要条件是()j i i jW E A λ≠=-∏的秩为()j j R W n =（j=1,2,…,s ）.证明 必要性()()()111...i i j j i i ji s S i E W E A P P E λλλλλ≠-≠⎛⎫- ⎪⎪=-=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭∏∏∏=()110...0ijji js P P Eλλ-≠⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∏ 其中0,j j E 分别是j n 阶的零矩阵和单位矩阵（j=1,2,…,s ）.由于P 满秩且i j λλ≠.所以()j R W =()i j j i j R E λλ≠⎛⎫- ⎪⎝⎭∏=()j j R E n =.充分性 用反证法假设()i j j i j R E λλ≠⎛⎫- ⎪⎝⎭∏不可对角化，则因几何重数≤代数重数[]5，必至少存在一整数k 使得()k R E A λ->()j R E []3，于是j k ≠时.由sylvester 不等式知j n =()k i j R E A λ≠⎛⎫- ⎪⎝⎭∏≥()()2i i jR E A s n λ≠---∑>()()2j i j n n s n ≠---∑=()()()12i j j i js n n s n n n n n ≠-=--=--=∑矛盾.所以A 可对角化.推论 1 设12,,...,s λλλ为n 阶矩阵A 的相异的特征根，其重数为12,,...,s n n n ，则矩阵j W =()k i jE A λ≠-∏的列向量中由对应于j λ的j n 个线性无关的特征向量.证明 因A 可对角化，由定理2.3.1得()i i jE A λ≠-∏=0，()jE A λ-()i i jE A λ≠-∏=()j jE A Wλ-=0.由此，j W 中每一列非零向量都是方程组()i E A λ-X=0解向量,即j λ的特征向量.又有定理2.3.2知()j j R W n =，所以j W 的列向量组中有恰好对应于j λ的j n 个线性无关的特征向量.上述的结论表明，要构造可对角化矩阵 A 的相似变换矩阵P ,完全可以不像传统的方法那样解方程组()k E A λ-X=0，而只需对每一特征值j λ（j=1,2,…,s ）从矩阵乘积()ki jE A λ≠-∏中直接找出jn个与j λ对应的线性无关的特征向量，这样所得的j n n =∑个特征向量为列作一n 阶矩阵即可.推论2 若n 阶可对角化矩阵A 只有两个相异特征值1λ（k 重）和2λ（n k -重），则矩阵()1E A λ-（或()2E A λ-的n k - (或k )个线性无关列向量就是对应2λ（或1λ）的特征向量的极大无关组.这一结论进一步表明，在可对角化矩阵A 只有2个相异特征值的情况下，不仅不需要解方程组，而且不需要计算矩阵的乘积就可以把对应于不同特征值的特征向量立即求出.例4 求下列矩阵A 相似变换矩阵.(1)A =741471444-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ （2）A =1220212022100001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 （1）A 的特征值1λ=12，2λ=3（二重）21541451448W E A λ-⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭,124441W E A λ-⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭－４１－４－４１由于()()120E A E A λλ--=,所以A 可对角化，有推论2知1λ的一个特征向量()11,1,1α=-（取1W 的第3列）2λ的2个线性无关的特征向量()()234,5,4,1,1,8αα=-故相似变换矩阵P =()123,,ααα=141151148-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，1(12,3,3)PAP diag -=（2）A 的特征值1λ=-1(二重)，2λ=5，3λ=1，而()()123W E A E A λλ=--=8448*4400-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ()()1300*08E A E A λλ⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭２Ｗ＝,3Ｗ＝88*80⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭由推论2可得1λ的特征向量()()1284404αα''=--=-，，，，，8，-4，0. 23λλ，的特征向量分别为()()3400088880αα==，，，，，，，于是相似变换矩阵为P=()1234αααα，，，==84008440000-⎛⎫⎪⎪⎪--⎪⎝⎭8-488－8 P A 1P -=diag(-1,-1,5,-1).上文讨论了矩阵是否可对角化的判定及矩阵对角化方法问题，给出了简便易行的判定和求法.区别于传统的方法，定理2.3.1定理2.3.2及推论把矩阵对角化问题归结为矩阵的乘法运算，不需要解方程组就可以得到特征向量及相似变换矩阵,但是上述方法都没有达到特征值，特征向量，相似变换矩阵同步求解的效果.下面引入λ-矩阵，改进在一般情形下矩阵对角化的方法，使判定和求解一步到位并得到矩阵对角化十分简单的方法，主要依据下面两个定理.2.4 引入λ-矩阵推出数字矩阵可对角化的充要条件定理2.4.1 设A 是数域P 上的n 阶方阵，()()A E A λλ=-为其特征矩阵E 为n 阶单位阵.如果()A λ经过初等变换化为对角阵()D λ,则A 的特征值为()D λ的对角线上元素的乘积的多项式的根. （证明略）定理2.4.2 在定理2.4.1 的假设下，如果()()(),T A D λλ经初等变换化为()()(),D P λλ,且()D λ为对角阵，则（1） 对于A 的每个特征值i λ，()i P λ中与()i D λ的零行对应的行向量生成属于i λ的特征子空间.（2） 若A 的特征值都在P 内，设12,,...,s λλλ为A 的全部不同的特征值，其重数分别为12,,...,s γγγ，则A 可以对角化的充要条件是()i D λ中零行的数目=i λ的重数i γ（i=1,2,…,s ）证明 (1)因为()D λ与()T A λ的秩为n ，则总有可逆的λ-矩阵()P λ,()Q λ,使()()()()()()()12(,,...,)T n P A Q diag d d d D λλλλλλλ==.即对()T A λ施行()P λ对应的一些行初等变换和()Q λ对应的一些列初等变换可使()T A λ化为对角阵()D λ，有()()()(),T P A Q E λλλ→()()(),D P λλ (1) 这里相当于初等列变换的()Q λ右乘作用在()T A λ而不作用于E.因为()()()T P A Q λλλ=()D λ，所以()()()()T T T Q A P D λλλλ==()D λ.于是对A 的每个特征值i λ有()()()T T i i i Q A P λλλ=diag(()()()12,,...,i i n i d d d λλλ)设()i D λ中有i m 个零行，相应的i m 个为的对角元记为()()()12...0i i i i i im i d d d λλλ====()1i m n ≤≤，取()T i P λ中对应的列向量1,2,...,i i i im P P P ,则()()T i i Q E A λλ- ()1,2,...,i i i im P P P =0.因为()T i Q λ可逆，所以()i E A λ- ()1,2,...,i i i im P P P =0 （2）由于()T i P λ可逆，故()12,,...,i T T T i i im P P P 列满秩，从而由（2）知12,,...,i T T Ti i im P P P 正是A 属于iλ的i m 个线性无关的特征向量，再从（1）式，注意到()i D λ中n -i m 个非零行是行满秩的.由[]7中定理1知A 属于i λ的线性无关的特征向量就是()i P λ中与()i D λ的零行对应的行向量，他们生成i λ对应的特征子空间.(2) A 可对角化⇔秩()i E A λ-=i n γ-=i n m -,即i m =i γ（i=1,2,…,s ） 证毕. 基于以上讨论我们不难得到矩阵对角化的简单方法，其步骤如下： (1)对(),TiE A E λ-作初等变换化为()()(),D P λλ,其中()()()()12(,...,)n D diag d d d λλλλ=，，则A 的特征值恰是()()()12...n d d d λλλ=0的根. (2) 如果A 的特征向量全在P 内，且对每个i λ有()i D λ中零行数目=i λ的重数，则A 可以对角化，否则不可对角化.(3) 对于每个i λ，在()i P λ中取出与()i D λ中零行对应的行向量12,,...,i i i im P P P 得A 属于i λ线性无关的特征向量.(4) 若A 可以对角化，作可逆矩阵()1121,,...,,...,,...,si i im s sm T P P P P P =，则11122(,,...,)s s T AT diag E E E λλλ-=，i E 为i γ阶矩阵.例5 判定下列矩阵可否对角化，若可以求可逆矩阵T ，使1T AT -为对角阵.(1) A =011111011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ (2) A =321222361-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭解 ()()10100,111010011100T A E λλλλ-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭→2011002011111001λλλλλλλ⎛⎫-- ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭ →21110010111102011λλλλλ--⎛⎫⎪-+ ⎪ ⎪---⎝⎭→210000101111020011λλλ-⎛⎫ ⎪-+ ⎪ ⎪--⎝⎭→()22100001010111001231λλλλλλλ⎛⎫-⎪-+ ⎪ ⎪⎪---++-++⎝⎭故P 的特征值是120,1λλ==(二重),因()1D 中的零行数目2λ≠的重数,故P 不可对角化.(2)()()2323100121001,22601002240121210010242103T A E λλλλλλλλλλλ⎛⎫----+⎛⎫⎪ ⎪=-+-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+-+⎝⎭⎝⎭()()2100001100001022*******012024241030242103λλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+-+--+-+⎝⎭⎝⎭()()()1000010200120024121λλλλ⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--+--+⎝⎭故A 的特征值为12λ=（2重根）, 24λ=-.又()2D 中零行数=2=1λ的重数；()4D -的零行数=1=2λ的重数,故P 可对角化，且由()()()2,2D P =100001000012000123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭可得出()()αβ''＝０，１，２，＝１，－２，－３是A 属于2的线性无关特征向量由()()()4D -，Ｐ－４=100001060012000123⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭得()1,2,3γ'=-是A 属于-4的线性无关的特征向量.令T=011122233⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭,则1224T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭参考文献[1] 北京大学数学系.高等代数.北京：高等教育出版社，第88版，1988.[2] 许以超.代数学引论[]M.上海：社会科学技术出版社，1966[3] 钱吉林.矩阵及其广义矩阵[]M.武汉：华中师范大学出版社.[4] 王心介.高等代数与解析几何[]M.北京：科学出版社,2002.[5] 张远达.线性代数原理.上海：上海教育出版社，1980.[6] 彭海明.对“矩阵特征值与特征向量同步求解方法探讨”的改进意见[]J.数学通报，1993(2):45-47.[7] 刘国洪.王宝智.利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值和特征向量同步求解,数学通报,1996,2.。
矩阵的对角化与Jordan标准形
第三讲矩阵的对角化与Jordan标准形对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后面的内容中着重研究矩阵和向量。
对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程=时，将矩阵A对角化后很容易得到方程的解。
对角化的过程实Ax b际上是一个去耦的过程。
以前我们学习过相似变化对角化。
那么，一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？一、特征值与特征向量1. 定义：对m阶方阵A，若存在数λ，及非零向量（列向量）x，使=λ,则称λ为A的特征值，x为A的属于特征值λ的得Ax x特征向量。
∙特征向量不唯一∙特征向量非零∙(I A)x 0λ-=有非零解，则det(I A)0λ-=，称det(I A)λ-为A 的多项式。
[例1]122A 212221⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求其特征值和特征向量。
[解] 122det(I A)2120221λ---λ-=-λ--=--λ-2(1)(5)0λ+λ-= 121λ=λ=- 35λ=属于特征值1λ=-的特征向量 (I A)x 0--=1232222220222ξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥ξ=⎢⎥⎢⎥ξ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1230ξ+ξ+ξ=1122312ξ=ξ⎧⎪ξ=ξ⎨⎪ξ=-ξ-ξ⎩ 可取基础解系为 11x 01⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 20x 11⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦属于5λ=的特征向量 (5I A)x 0-=1234222420224--ξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--ξ=⎢⎥⎢⎥--ξ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 123ξ=ξ=ξ可取基础解系为 31x 11⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 矩阵的迹与行列式nii i 1trA a ==∑ 所有对角元素之和n i i 1det A ==λ∏ ni i 1trA ==λ∑3. 两个定理（1） 设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则 tr(AB)tr(BA)=（2）sylvster 定理：设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则m n m n det(I AB)det(I BA)-λ-=λλ-即：AB 与BA 的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。
关于矩阵可对角化的几个条件
关于矩阵可对角化的几个条件
矩阵可对角化是数学中一个重要的概念，矩阵可对角化可以帮助我们求解矩阵的运算。
本文将主要介绍关于矩阵可对角化的几个条件。
首先，矩阵可对角化所需要满足的条件之一就是矩阵必须是方阵。
方阵指的是具有相
同数量的行和列，就是每个方阵都是以其行数和列数都相等的正方形形状。
其次，矩阵可对角化的另一个条件是，该矩阵必须可逆。
逆矩阵的定义为可以对原来
的矩阵进行变换，以达到求矩阵的逆的目的。
可逆矩阵是求解可对角化的有用工具，这是
因为它具有复数的线性方程的解，这样就可以求出矩阵的逆。
此外，矩阵可对角化的另一个重要条件是矩阵的特征值必须具有可唯一确定的解。
特
征值是一个矩阵中最基本的泛函文，它对于求解矩阵可对角化问题具有重要意义。
特征值
可以使矩阵的特征增加或者减少，也就是说，如果矩阵满足特征值的某个条件并能唯一确定，那么该矩阵就有可能可以对角化。
最后，矩阵可对角化的最后一个条件是特征向量必须是归一化的。
归一化表示将一个
矩阵中每一行单位向量的大小都归一到一致。
由于特征向量在求解矩阵可对角化时也起到
重要作用，因此特征向量必须满足归一化，也就是所有的行具有相同的大小，这样才能有
助于矩阵可对角化。
综上所述，矩阵可对角化的几个条件就是：一是矩阵必须是方阵；二是该矩阵必须可逆；三是矩阵的特征值必须具有可唯一确定的解；四是特征向量必须是归一化的。
理解并
掌握这些条件可以有助于我们更好地求解矩阵的可对角化运算。
线性代数 矩阵的对角化
−1
则有
−1 1 1 −2 0 P −1 AP = 0 1 0 0
−2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
则有
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． ． 要相互对应
故
Ak = Pdiag(λ1k ,⋯ , λnk ) P −1
λ1k = P P −1 (6(6-11′) ⋱ k λn
λ2k
λ −4 λI − A = 3
3
−6 λ +5 6
0 0
= (λ − 1) (λ + 2)
2
λ −1
所以A的全部特征值为 λ1 = λ2 = 1, λ3 = −2.
− 2 ξ1 = 1 , 0
0 ξ2 = 0 . 1
将 λ3 = −2代入 (λI − A ) x = 0, 得方程组的基础 解系
例3 试将矩阵
解 特征多项式为
k (λ ) = 3− λ 2 2
3 − 1 − 2 对角化. A= 2 0 − 2 2 − 1 − 1
故特征方程 有根
λ (λ − 1) 2 = 0
λ1 = 0, λ 2 = λ3 = 1
为
对于λ1=0, (6(6-1′)
−1 −2 3− λ 1 2 −λ −2 = 2 2 λ −1 −1− λ 2 1 1+ λ
ρλ = mλ
（证略） 证略）
例５ 考察矩阵 A =
1 1 是否可对角化. 0 1
可求出对应于特征值λ=1的特征向量. 由于方程组的 系数矩阵之秩为1，故对应的特征子空间是1维的， 维的， 即
线性代数课件--6.2矩阵对角化
4l
解 3 3
0 l 1 l 2 0
2
0
1 l
所以l1 l2 1, l3 2.
齐次线性方程组为 A I x 0 当l1 l2 1时， 6 0 1 2 0 3 A I 3 6 0 0 0 0 得 x1 2 x2 3 6 0 0 0 0 0 2 1 , p 0 得基础解系 p1 2 1 0 齐次线性方程组为 A 2 I x 0 当l3 2时，
§6.2 矩阵对角化
相似矩阵和矩阵的对角化问题
定义 对n阶矩阵A,B,若存在n阶满秩矩阵P,使成立
B P AP
则称A与B相似或称A相似于B.
1
对 A 进行运算 P −1AP 称为对 A 进行相似变换; 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵．
注 矩阵相似是一种等价关系. 定理 若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式 相同，从而 A 和 B 的特征值也相同． 证明 根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ，故
| B −lI | = | P −1AP − P −1(lI) P |
= | P −1(A−lI ) P | = | P −1| |A−lI | |P | = |A−lI| ．
推论 设 n 阶矩阵 L = diag(l1, l2, …, ln )，则l1, l2, …, ln 就是 L 的 n 个特征值． 证明
L lI
l1 l l2 l
(l1 l )(l2 l ) (ln l )
ln l
故 l1, l2, …, ln 就是 L 的 n 个特征值．
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第四讲 矩阵的对角化 基 元素 坐标向量 加法 元素加法 坐标向量的加法 数乘 数与元素“乘” 数与坐标向量相乘
线性变换及其作用 对应关系 矩阵与坐标列向量的乘积
对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵相乘即可，因此，在后面的内容中着重研究矩阵和向量。
对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程Axb时，将矩阵A对角化后很容易得到方程的解。对角化的过程实际上是一个去耦的过程。以前我们学习过相似变化对角化。那么，一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？ 我们知道，一个矩阵A可以看成是一个线性变换在一个基下的矩阵。那么，问是否存在另一个基使得这个线性变换在这个新基下的矩阵是对角矩阵咧？换言之，矩阵A是否与一个对角矩阵相似（通过一个相似变换）。
一、 特征征值与特征向量 1. 定义：对m阶方阵A，若存在数，及非零向量（列向量）x，使得Axx,则称为A的特征值，x为A的属于特征值的特征向量。
特征向量不唯一
特征向量非零
(IA)x0有非零解，则det(IA)0，
称det(IA)为A的多项式。
[例1]122A212221，求其特征值和特征向量。 [解] 122det(IA)2120221 2(1)(5)0
121 35
属于特征值1的特征向量 (IA)x0 123
2222220222
1230
1122312
可取基础解系为 11x01 20x11 属于5的特征向量 (5IA)x 123
4222420224
123
可取基础解系为 31x11 2. 矩阵的迹与行列式 niii1trAa
所有对角元素之和 nii1detA nii1trA
3. 两个定理 （1） 设A、B分别为mn和nm阶矩阵，则 tr(AB)tr( （2）sylvster定理：设A、B分别为mn和nm阶矩阵，则 mnmndet(IAB)det(IBA)
即：AB与BA的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。
二、 矩阵对角化的充要条件 定理：n阶方阵A可通过相似变换对角化的充要条件是它具有n个线性无关的特征向量。 [证明] 充分性：已知A具有n个线性无关的特征向量
12nx,x,,xL，则
iiiAxx i1,2,,L
12n1122nnAxxxxxxLL 1212n
n
0xxx0
L
O
12nx,x,,xL线性无关，故12nPxxxL为
满秩矩阵，
令12n00O，则有 APP 1PAP
必要性：已知存在可逆方阵P，使
121n0PAP0
O
将P写成列向量12nPPPPL，nP为n维 列向量 12n1122nnAPAPAPPPPLL 可见，i为A的特征值，iP为A的特征向量， A具有n个线性无关的特征向量。
推论：n阶方阵有n个互异的特征值，则必可对角化。（充分条件）
三、 内积空间 1. Euclid空间 设V是实线性空间（kR），对于V中任何两个元素x、y均按某一规则
存在一个实数与之对应，记为x,y，若它满足 （1）交换律 x,yy,x （2）分配律 x,yzx,yx,z (3)齐次律 kx,ykx,y （4）非负性 x,x0，当且仅当x0时，x,x0则称x,y
为x与y的内积，定义了内
积的实线性空间称为Euclid空间。 对于一个给定的线性空间，可以定义多种内积，较典型的如三维向量空间的数量积就满足以上四条性质，构成内积。以n维向量空间为例： T12nxL，T12nyL
可定义内积niiii1x,yw，它满足内积的四条性质：
（1）nniiiiiii1i1x,ywwy,x （2）nnniiiiiiiiiii1i1i1x,yzw()wwx,yx,z （3）nniiiiiii1i1kx,yw(k)kwkx,y （4）n2iii1x,xw0 当且仅当ix0时，x,x0
该内积可写为：Tx,yxWy，其中12nw0wW0wO 更一般的，对实对称矩阵A，Tx,yxAy也满足内积的定义。 正定：（1）特征值全为正（2）各阶顺序主子式大于0 2. 酉空间： 设V是复线性空间（kC），对于V中任何两个元素x、y均按某一规则
存在一个复数与之对应，记为x,y，若它满足 （1）交换律 x,yy,x （2）分配律 x,yzx,yx,z （3）齐次律 kx,ykx,y or x,kykx,y
（4）非负性 x,x0，当且仅当x0时，x,x0则称x,y
为x与y的内积，定义了内
积的复线性空间称为酉空间。 以n维向量空间为例，A为厄米（HAA）正定（HxAx0）矩阵，
nnT
jiij
i1j1x,yxAya
较常见的比如12nAdiag[www]L，iw0 最简单：实 Tx,yxy 复 Tx,yxy 3. 正交性：若x,y0，则称x与y正交。 x与y的夹角：(x,y)cos|x||y|，称为
x与y的夹角。
4. Gram-Schmidt正交化手续 设12nx,x,,xL为一组线性无关的元素或向量，可以进行如下正交归一化操作（正交规范化或正交单位化）：
o1
1
1
1
xy|x|
o2
'22211xxky 选择合适的21k使'
2x
与
1
y
正交， '21212111(x,y)(x,y)k(y,y)0
2121k(x,y) '22'
2
xy|x|
o3
'
33311322xxkyky
选择31k、32k使
'3x
与1y和2y均正交 ''3132(x,y)(x,y)0
'313131(x,y)(x,y)k0
3131kx,y
'323232(x,y)(x,y)k0
3232kx,y
'33'
3
xy|x|
一般的，i1'iiijjj1xxky i1,2,,nL ijijkx,y
'ii'
i
xy|x|
12ny,y,,yL成为一组正交归一化向量：
iiij0ij(y,y)1ij
若12nx,x,,xL为一组基元素，则12y,y,,yL成为标准正交基。
作业：P106－107 1(1)(2),2,4,5,10,11