信号与系统课后习题答案

第1章 习题答案

1－1 题1－1图所示信号中,哪些是连续信号哪些是离散信号哪些是周期信号哪些是非周期信号哪些是有始信号

解： ① 连续信号：图a 、c 、d ； ② 离散信号：图b ； ③ 周期信号：图d ；

④ 非周期信号：图a 、b 、c ； ⑤有始信号：图a 、b 、c;

1－2 已知某系统的输入ft 与输出yt 的关系为yt=|ft|,试判定该系统是否为线性时不变系统; 解： 设T 为此系统的运算子,由已知条件可知： yt=Tft=|ft|,以下分别判定此系统的线性和时不变性; ① 线性 1可加性

不失一般性,设ft=f 1t+f 2t,则

y 1t=Tf 1t=|f 1t|,y 2t=Tf 2t=|f 2t|,yt=Tft=Tf 1t+f 2t=|f 1t+f 2t|,而

|f 1t|＋|f 2t|≠|f 1t+f 2t|

即在f 1t →y 1t 、f 2t →y 2t 前提下,不存在f 1t ＋f 2t →y 1t ＋y 2t,因此系统不具备可加性; 由此,即足以判定此系统为一非线性系统,而不需在判定系统是否具备齐次性特性; 2齐次性

由已知条件,yt=Tft=|ft|,则Taft=|aft|≠a|ft|=ayt 其中a 为任一常数

即在ft →yt 前提下,不存在aft →ayt,此系统不具备齐次性,由此亦可判定此系统为一非线性系统;

② 时不变特性

由已知条件yt=Tft=|ft|,则yt-t 0=Tft-t 0=|ft-t 0|,

即由ft →yt,可推出ft-t 0→yt-t 0,因此,此系统具备时不变特性; 依据上述①、②两点,可判定此系统为一非线性时不变系统; 1－3 判定下列方程所表示系统的性质： 解：a ① 线性 1可加性

由 ⎰+=t

dx x f dt

t df t y 0)()()(可得⎪⎩

⎪⎨

⎧

→+=→+=⎰⎰t

t t y t f dx

x f dt t df t y t y t f dx

x f dt t df t y 01122011111)

()()()()()

()()()()(即即

则

即在)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋前提下，有、→→→,因此系统具备可加性; 2齐次性

由)()(t y t f →即⎰+=

t

dx x f dt

t df t y 0)()()(,设a 为任一常数,可得 即)()(t ay t af →,因此,此系统亦具备齐次性; 由上述1、2两点,可判定此系统为一线性系统;

② 时不变性

)()(t y t f → 具体表现为：

⎰+=

t

dx x f dt

t df t y 0)()()( 将方程中得ft 换成ft-t 0、yt 换成yt-t 0t 0为大于0的常数,

即 ⎰-+-=-t

dx t x f dt

t t df t t y 0000)()()( 设τ=-0t x ,则τd dx =,因此⎰--+-=-0

)()()(00t t t d f dt t t df t t y ττ

也可写成⎰--+-=-0

)()()(00t t t dx x f dt

t t df t t y , 只有ft 在t=0时接入系统,才存在)()(00t t y t t f -→-,当ft 在t ≠0时接入系统, 不存在)()(00t t y t t f -→-,因此,此系统为一时变系统;

依据上述①、②,可判定此系统为一线性时变系统; b ① 线性 1可加性 在由

)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y 规定的)()(t y t f →对应关系

的前提下,可得 即由

)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋可推出

→−−→−⎭

⎬⎫→→,系统满足可加性;

2齐次性 由)()(t y t f →,即)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y ,两边同时乘以常数a,有 即)()(t ay t af

→,因此,系统具备齐次性;

由1、2可判定此系统为一线性系统;

② 时不变性

分别将)()(00t t f t t y --和t 0为大于0的常数代入方程

)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y 左右两边,则

左边＝)(3)

(2)(002

02t t y dt t t dy dt

t t y d -+-+- 而 ，)()()(000t t y dt d t t y t t d d -=-- )()]()([)(022

000t t y dt

d t t y t t d d t t d d -=---

所以,右边＝)(3)

(2)(002

02t t y dt t t dy dt

t t y d -+-+-＝左边,故系统具备时不变特性; 依据上述①、②,可判定此系统为一线性时不变系统; c ① 线性 1可加性

在由式)(3)(2)(2)('

''t f t y t ty t y =++规定的)()(t y t f →对应关系的前提下,可得

即在)()()()

(2211t y t f t y t f →→、的前提下,有式

)()()()(2121t y t y t f t f +→+存在,即系统满足可加性;

2齐次性 由

)()(t y t f →,即)(3)(2)(2)('''t f t y t ty t y =++,两边同时乘以常数a,有

)]([3)]([2)]([2)]([)(3)(2)(2)(''''''t af t ay t ay t t ay t af t ay t aty t ay =++⇒=++,

即有 )()(t ay t af

→,因此,系统具备齐次性;

依据上述1、2,此系统为一线性系统; ② 时不变性

分别将)()(00t t f t t y --和 t 0为大于0的常数代入方程)(3)(2)(2)('

'

't f t y t ty t y =++ 左右两边,则

因此,系统是时变的;

依据上述①、②,可判定此系统为一线性时变系统; d ① 线性 1可加性

在由式)()()]([2

'

t f t y t y =+规定的

)()(t y t f →对应关系的前提下,可得

而不是：)]()([)]()([})]'()({[21212

21t f t f t y t y t y t y +=+++ 即在)()()()

(2211t y t f t y t f →→、的前提下,并不存在

)()()()(2121t y t y t f t f +→+

因此系统不满足可加性,进而系统不具备线性特性;下面的齐次性判定过程可省略 2齐次性 由

)()(t y t f →,即)()()]([2't f t y t y =+,两边同时乘以常数a,有

)()()]([2't af t ay t y a =+,即式)]([)]([})]({[2't af t ay t ay =+不成立,不存在

)()(t ay t af →

因此,系统也不具备齐次性;

单独此结论,也可判定此系统为一非线性系统; ② 时不变性

分别将)()(00t t f t t y --和 t 0为大于0的常数代入方程)()()]([2

'

t f t y t y =+ 左右两边,则