最优投资组合公式
投资组合公式
β 的概念定义
• β 是一个比值，是个股与市场的比较，这种比较 是全方位的。
• 第五题 • 第五题是收益率的比较。 • 第七题 • 第七题是风险溢价的比较。 • 第十六题 • 第十六题是协方差和方差的比较，两者概念及联
系。 • 第二十八题a • 第二十八题a 是收益率波动范围的比较。
α 阿尔法的概念定义
有效集、最优风险资产组合、最小方差点。
如何可求方差的最小值？
•
σp2= WD2 *σD2+ WE2*σE2+2*WD*WE*cov(rD,rE)
•
∵ WE=1- WD
• ∴σp2= WD2 *σD2+（1- WD ）2*σE2+2*WD*(1- WD） *cov(rD,rE)
= WD2 *σD2+（1- 2WD + WD2 ）* σE2+2*WD* （1- WD）*cov(rD,rE) =WD2 σD2+ σE2 -2 σE2 WD + σE2 WD2 +2WDcov(rD,rE)-2 WD2cov(rD,rE)
– 如果二级市场价格为1.17元，基金赎回价格为 1.21元，投资者就可以先在二级市场买入基金 份额,再到基金公司办理赎回业务完成套利过 程。
套利与均衡
•不同证券之间的套利机会 各种证券在不同环境下的收益率(%)
高通胀
低通胀
高利率 低利率 高利率 低利率
概率（P） 0.25
0.25
0.25
5
利用证券定价之间的不一致进行资金转移，从中 赚取无风险利润的行为称为套利
Arbitrage - arises if an investor can construct a zero investment portfolio with a sure profit. • 无投资需要,投资者可建立大的头寸来获取高利润
数理金融学作业1最优投资组合的计算（1）：不存在无风险资产情形
数理⾦融学作业1最优投资组合的计算（1）：不存在⽆风险资产情形最优投资组合的计算（1）：不存在⽆风险资产情形1.(1)什么是最⼩⽅差资产组合？（2）写出标准的最⼩⽅差资产组合的数学模型。
（即不存在⽆风险资产时期望收益率为p r 的模型）（3）求解该模型，即求权重表达式及最⼩⽅差表达式（4）已知市场上有两种证券，它们的收益率向量为12(,)T X X X =,假设X 服从联合正态分布，其期望收益率向量为()(1,2,0.5)T E X m ==,X 的协⽅差矩阵为230350001轾犏犏=犏犏臌，设某投资者的投资选择组合为12(,)T w w w =求由这两种证券组成的均值-⽅差最优资产组合（允许卖空）12(,)T w w w =与其对应的最⼩⽅差，并画出有效前沿图。
2.解：(1)最⼩⽅差资产组合是指对确定的期望收益率⽔平有最⼩的⽅差之资产组合。
(2)对⼀定期望收益率p r ，选择资产组合使其总风险最⼩的数学模型为：211min 22..()11TpT p p T w w s t E X w r ws m ==壮??（3）应⽤标准的拉格朗⽇乘数法求解：令其中1l 和2l 为待定参数，最优解应满⾜的⼀阶条件为：121210;0;110;TT p T Lw w Lr w Lw l m l m l l ?=-=-???=-???得最优解：*112(1)w l m l -=? ?。
令111,11,TTT a b m m m m ---===邋1211,T c ac b -=D =-?则12,.p p r c ba rb l l --==DD最⼩⽅差资产组合⽅差为：2**21()Tp p c b ww r c cs ==-+D ? 当p b r c =时，资产组合达到最优组合，最优组合*1 11w c-= ?，最优组合⽅差为：*21p cs =。
（4）由题意知，230350001轾犏犏=犏犏臌，所以，1530350001-轾-犏犏=-犏犏臌?，()(1,2,0.5)T E X m == 1151 1.25,10.5,42T T a b m m m --\======邋129112,4T c ac b -==D =-=?。
实验4：多种风险资产与无风险资产的最优投资组合决策
实验四：无风险资产与多种风险型资产最优投资组合的模型分析 一、实验目的通过上机实验，使学生充分理解Excel 软件系统管理和基本原理,掌握多资产投资组合优化的Excel 应用。
二、预备知识（一）相关的计算机知识： Windows 操作系统的常用操作；数据库的基础知识；Excel 软件的基本操作。
（二）实验理论预备知识现代资产组合理论发端于Markowitz(1952)提出的关于投资组合的理论。
该理论假设投资者只关心金融资产（组合）收益的均值（期望收益）和方差，在一定方差下追求尽可能高的期望收益，或者在一定的期望水平上尽可能降低投资收益的方差。
投资者的效用是关于投资组合的期望回报率和方差的函数，理性的投资者通过选择有效地投资组合以实现期望效用最大。
该理论第一次将统计学中期望与方差的概念引入投资组合的研究，提出用资产收益率的期望来衡量预期收益，用资产预期收益的标准差来度量风险的思想。
1、理论假设（Ⅰ）市场上存在n ≥2种风险资产，资产的收益率服从多元正态分布，允许卖空行为的存在。
{}12(,,,)T n ωωωωω=,代表投资到这n 种资产上的财富（投资资金）相对份额，它是n 维列向量，有11=∑=ni i ω，允许0<i ω，即卖空不受限制。
(Ⅱ) 用e 表示所有由n 种风险资产的期望收益率组成的列向量。
12(,,,)T n e R R R R == （1）p r 表示资产组合的收益率，)(p r E 和)(p r σ分别为资产组合p 的期望收益率和收益率标准差。
∑=⋅=⋅=ni ii Tp e r E 1)(μωω (2)(Ⅲ)假设n 种资产的收益是非共线性的(其经济意义为：没有任何一种资产的期望收益率可以通过其他资产的线性组合来得到，它们的期望收益是线性独立的。
)。
这样它们的方差-协方差矩阵可以表示为:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=nn n n n n Q σσσσσσσσσ212222111211 （3）由于总是假定非负的总体方差,它还必须是一个正定矩阵,即对于任何非0的n 维列向量a ,都有0T a Qa >。
第4章 最佳投资组合的选择
VAR( R) 1% 6% 32% 6% 6% 36% 13% 6% 32%
2 2 2
0.3136%
而其标准差为：
(R) VAR(R) 0.3136% 5.6%
8
也可以使用历史数据来估计方差（即样本 方差） 设单一证券的日、月或年实际收益率为 （t=1，2，· · · ，n），则计算方差的公式为：
（Capital Allocation Line）
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合 资本配置线的斜率等于资产组合每增加以单位标准差所 增加的期望收益，也即每单位额外风险的额外收益。因
此，我们有时候也将这一斜率称为报酬与波动性比率
二、两个风险资产构成的资产组合
rp rP wB rB wS rS
通过在无风险资产和风险资产之间合理分 配投资基金，有可能建立一个完整的资产 组合。
假设分配给风险资产P的比例为w 分配给无风险资产 F的比例是(1-w）
6-25
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合
期望收益
投资比例 方差 标准差 0
无风险资 产 风险资产
1-w
rf
0
w
E(r)
2 r
r
2 p 2 B 2 B 2 S 2 S
7-32
相关系数: 可能的值
1,2值的范围
+ 1.0 > > -1.0 如果= 1.0, 资产间完全正相关 如果= - 1.0, 资产间完全负相关
7-33
两个风险资产的组合
假设市场中的资产是两个风险资产，例如一个股票和
一个公司债券，且投资到股票上的财富比例为w，则 投资组合的期望收益和标准差为：
最优投资组合的确定步骤公式
最优投资组合的确定步骤公式示例文章篇一：哎呀呀，“最优投资组合的确定步骤公式”？这对我这个小学生（初中生）来说也太难懂啦！投资？那不是大人们操心的事儿吗？我还在想着怎么把作业写好，怎么和小伙伴们愉快地玩耍呢！不过，既然要写这个，那我就试着想想吧。
你说这最优投资组合，是不是就像搭积木一样？要把不同的积木块（投资项目）放在一起，搭出一个最漂亮最稳固的城堡（投资组合）？第一步，是不是得先知道都有啥样的积木块可以选呀？比如说，有股票，就像那些色彩鲜艳但有点调皮的积木，价格总是上上下下的；还有债券，像是稳稳当当的积木，不会太闹腾；再有基金，就像一群小伙伴手拉手的积木组合。
这不得先搞清楚它们的特点吗？第二步，是不是得看看自己手里有多少积木呀？就是说自己有多少钱可以用来投资。
要是钱不多，那可不能贪心，选那些太冒险的积木块。
第三步，是不是得想想自己能承受多大的风险呀？要是像我一样胆小，一有点风吹草动就害怕，那就多选点像债券那样稳稳的积木。
要是胆子大，不怕跌跌撞撞，那就可以多来点股票那样的调皮积木。
第四步，是不是得把这些积木块试着搭一搭，看看怎么搭好看又结实？这就像是在不同的投资项目里分配钱的比例。
可是，这真的好复杂啊！我还是喜欢和同学们在操场上疯跑，喜欢吃冰淇淋，喜欢看动画片。
大人们的投资世界，对我来说就像外太空一样遥远神秘。
我觉得吧，对于像我这样的小孩子，现在最重要的是好好学习，快乐成长，投资什么的，还是等长大了再说吧！示例文章篇二：哎呀呀，“最优投资组合的确定步骤公式”？这对我一个小学生（初中生）来说也太难懂啦！我都不知道从哪儿说起呢！投资组合？这听起来就像是大人们玩的超级复杂的游戏。
比如说，就好像让我去解一道超级难的数学题，可我还在为数学作业里的简单算式发愁呢！我想想啊，确定最优投资组合，是不是得先知道有哪些东西可以投资？是股票、基金，还是债券啥的？这是不是就像我选今天放学后是去踢足球还是打篮球一样？然后呢，是不是得看看这些投资的东西风险有多大？就像我考试的时候，得先知道哪道题容易丢分，才能更小心地去做。
资本配置计算公式
资本配置计算公式资本配置是指投资者将资金分配到不同的资产类别或投资组合中，以实现最大化收益和最小化风险的过程。
在资本配置过程中，投资者需要考虑不同资产的收益率、风险、流动性等因素，以确定最优的资本配置方案。
为了帮助投资者进行资本配置决策，可以利用一些计算公式来评估不同资产的预期收益和风险，从而选择最佳的资本配置方案。
资本配置的计算公式可以分为两类，一类是用于计算资产的预期收益率，另一类是用于计算资产的风险。
下面分别介绍这两类计算公式。
1. 资产的预期收益率计算公式。
资产的预期收益率是指投资者预期在一定期限内可以获得的收益。
预期收益率是资本配置决策的重要指标，投资者需要根据不同资产的预期收益率来确定资本的分配比例。
以下是几种常用的资产预期收益率计算公式：（1）单期收益率计算公式：单期收益率 = （期末价格期初价格 + 现金流入） / 期初价格。
其中，期末价格是资产在期末的价格，期初价格是资产在期初的价格，现金流入是在期间内的现金流入额。
这个公式适用于计算单个资产在一个期间内的收益率。
（2）多期收益率计算公式：多期收益率 = （（期末价格 + 累计现金流入） / 期初价格） ^ （1 / 期数） 1。
其中，期末价格是资产在期末的价格，期初价格是资产在期初的价格，累计现金流入是在期间内的现金流入总额，期数是投资期限的期数。
这个公式适用于计算单个资产在多个期间内的收益率。
（3）加权平均收益率计算公式：加权平均收益率 = Σ（资产收益率资产权重）。
其中，资产收益率是不同资产的收益率，资产权重是不同资产在投资组合中的权重。
这个公式适用于计算多个资产组成的投资组合的加权平均收益率。
2. 资产的风险计算公式。
资产的风险是指资产价格波动的程度，是投资者在资本配置决策中需要考虑的重要因素。
以下是几种常用的资产风险计算公式：（1）标准差计算公式：标准差 = sqrt（Σ（（资产收益率平均收益率）^2 / n））。
其中，资产收益率是资产的历史收益率，平均收益率是资产的平均收益率，n是资产的观察期数。
投资学公式集合(修)-0608
投资效用曲线：U=E(r)–1Aσ2A:风险厌恶系数2组合资产收益：E(r p)=X A E(r A) + X B E(r B)组合资产风险：σp=X A2σA2+X B2σB2+2*X A X B*cov(r A,r B)= X A2σA2+X B2σB2+2*X A X B*ρABσAσB两种资产组合：1.无风险资产r f, σf=0 , 1-x2.风险资产E(r A) , σA , x期望收益：E(r p)=r f +x*(E(r A)-r f)组合风险：σp=x*σAσp联立上面两式：E(r p)= r f +E rA)−rfσA最优头寸：x*=E rp)−rfAσp²三种资产组合：1.无风险资产r f, σf=02.两种风险资产(1) E(r A) , σA , x(2) E(r B) , σB , 1- x计算最优头寸：x=E rA)−rf)σB²−E rB)−rf)∗cov(rA,rB)E rA)−rf)σB²+E rB)−rf)σA²−[E rA)−rf+E rB)−rf]∗cov(rA,rB)单因素模型：R i=αi+βi R M+εi期望收益：E(R i)=E(r i)-r f=αi+β E r M)-r f)总风险：σi2=βi2σM2+σεi2 ,其中βi2σM2为系统风险,σεi2为非系统风险。
对于两个资产A,B，有E(εA)= E(εB)=0 ; cov(εi,r M)=0 ; cov(εA, εB)=0 则cov(r A,r B)=βAβBσM2 , σP2=βP2σM2+σεP2构建最有风险投资组合：信息比率=αi/αεi2; xi=αi/αεi²Σαi/αεi²CAPM模型：E(r i)= r f+βi(E(r M)-r f) , βi=Cov(ri,rM)σM²特雷诺比率=E ri)−rfβi多因素模型：r i-r f=αi+β1F1+β2F2+…+βn F n+εi基金经理人评价：择时能力β（牛市β大，熊市β小择股能力αri-rf=αi+βi(r m-r f)二次项法（T-M）βi=βi0+λi(r m-r f)，其中βi0是天生的，由性格决定∴ri-rf=αi+βi0(r m-r f)+λi(r m-r f)2+εi若λi>0，择时能力好；若λi<0，择时能力不好。
《最优投资组合理论》课件
资本资产定价模型（CAPM）
总结词
资本资产定价模型（CAPM）是一种用于评估风险和预期收益之间关系的投资组合理论 。
详细描述
CAPM认为资产的预期收益由两部分组成：无风险收益和市场风险溢价的线性组合。它 为投资者提供了评估风险和预期收益之间关系的方法，并帮助投资者理解市场对风险资
产的需求和供给。
套利定价理论（APT）
05 最优投资组合的实证分析
数据来源与预处理
数据来源
主要来自各大证券交易所、金融数据 库以及公开市场数据。
数据预处理
清洗数据、处理缺失值、异常值和重 复数据，确保数据准确性和完整性。
模型参数选择与调整
参数选择
根据投资目标和风险偏好，选择合适的 模型参数，如预期收益率、风险系数等 。
VS
参数调整
通过机器学习算法对市场数据进行实时分析，提高交易决策的准确 性和效率，降低交易成本。
研究动态最优投资组合策略
01
研究不同市场环境下的动态最优投资组合策 略
根据市场环境的变化，动态调整投资组合的配置比例究
根据投资者的风险偏好和收益目标，研究如何动态调整投 资组合以更好地满足投资者需求。
根据市场变化和投资组合表现，适时调整 模型参数，以实现最优投资组合。
模型评估与结果分析
模型评估
通过回测、蒙特卡洛模拟等方法评估模型的 有效性和稳健性。
结果分析
分析投资组合的实际表现与预期目标的差异 ，总结经验教训，优化投资策略。
06 最优投资组合理论的未来 研究方向
考虑市场非完全有效性的影响
投资者情绪对投资组合的影响
随着计算机技术的发展，现代投资组 合理论开始广泛应用，通过复杂的数 学模型和算法来优化投资组合。
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最优投资组合公式
（原创版）
目录
1.引言：投资组合的重要性
2.最优投资组合公式的定义
3.最优投资组合公式的计算方法
4.最优投资组合公式的应用实例
5.总结：最优投资组合公式的意义和价值
正文
1.引言：投资组合的重要性
在投资领域，如何合理分配资产、降低风险、提高收益，一直以来都是投资者关心的问题。
投资组合理论应运而生，它通过组合不同类型的资产，达到降低风险、提高收益的目的。
投资组合的优化，有助于投资者在复杂的市场环境中实现资产的最优配置。
2.最优投资组合公式的定义
最优投资组合公式是指在一定风险水平下，收益最高的投资组合，或者在一定收益水平下，风险最低的投资组合。
投资组合的优化，可以帮助投资者在风险与收益之间找到最佳的平衡点。
3.最优投资组合公式的计算方法
计算最优投资组合公式的方法有多种，其中最常用的是马克维茨投资组合理论。
该理论使用均值 - 方差分析方法，通过权衡资产的预期收益和风险，找到最优投资组合。
具体计算步骤如下：
(1) 确定投资目标：明确投资者的风险承受能力和收益期望。
(2) 选择资产：列出可供选择的资产及其预期收益、风险（标准差）
等参数。
(3) 计算资产组合的预期收益和风险：计算不同资产组合的预期收益和风险。
(4) 找到最优投资组合：在所有资产组合中，找到满足投资者风险承受能力和收益期望的最优投资组合。
4.最优投资组合公式的应用实例
假设投资者有 10 万元资金，可以选择投资 A、B、C 三个项目的股票。
项目的预期收益和风险如下表所示：
| 项目 | 预期收益（万元） | 风险（标准差） |
| --- | --- | --- |
| A | 0.12 | 0.04 |
| B | 0.15 | 0.06 |
| C | 0.20 | 0.08 |
根据马克维茨投资组合理论，可以计算出最优投资组合为：投资 A 项目 3 万元，投资 B 项目 3 万元，投资 C 项目 4 万元。
这样的投资组合可以在风险相对较低的情况下，实现较高的收益。
5.总结：最优投资组合公式的意义和价值
最优投资组合公式在实际投资中具有重要的意义和价值。
通过优化投资组合，投资者可以降低风险、提高收益，实现资产的最优配置。