【三维设计】2020届高考数学第八章第六节双曲线课后练习人教A版
"【三维设计】2020届高考数学第八章第六节双曲线课后练习人 、选择题
(2020 ?安徽高考)双曲线2x 2-y 2= 8的实轴长是
B . 2 2 D. 4 2
2 2
A .
C. 解析：双曲线方程可变形为 —一肴=1,
2 所以a = 4, a =2,2 a = 4.
答案：C
2 x 2
2 . (2020 ?烟台模拟)与椭圆-+ y = 1
共焦点且过点 P (2,1)的双曲线方程是( 2 x B.2— y 2= 1
2 2
x y C. — — ■=
1 2
解析：椭圆x +y 2 = 1的焦点为(± ?. 3, 0)，因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除 A 、C.
2 x o 又双曲线-—y 2= 1 经过点(2,1).
答案：B
3 .已知双曲线 2
孑一b 2= 1(a >0, b >0)的一个顶点与抛物线 y 2= 20x 的焦点重合，该双曲线 的离心率为三5，则该双曲线的渐近线斜率为 ( )
A .± 2
解析：由抛物线 2 2
2 x y
y = 20x 的焦点坐标为(5,0)，可得双曲线 孑一f= 1的顶点坐标为(5,0),
即得a = 5，又由e
a =5=芈，可解得c =寥则
b 2=J-a2=号，即b =5由此可得双曲
b 1 线的渐近线的斜率为k =±b =±
答案：C
2 x o 4.设F 1、F 2是双曲线-—y 2= 1的两个焦点，P 在双曲线上，当△ F 1PF 2的面积为2时, 3
答案：A
二、填空题
2 2
6. （2020 ?潍坊模拟）双曲线令—￡ = 1的右焦点到渐近线的距离是 __________
2 2
X
— y = 1的渐近线为y =± , 2x .焦点(3,0)到直线y =± 2x 的距离为
答案:
2
7.已知双曲线 X 2—牛=1的左顶点为 A,右焦点为 F 2, P 为双曲线右支上一点，则
uuir uuur
PA 1 ? PF 2的最小值为 ________ .
uuir uuir
解析：由题可知 A( —1,0) , F 2(2,0)，设 P (x , y )( x > 1),则 PA = ( — 1 — x , — y ) , PF 2
uuir uuir PF 1 ? PF 2的值为(
) A . 2
B. 3
C. 4
D. 6 解析：设点P
（X 。,
y °)，依题意得,| F 1F 2I = 2 3+ 1 = 4, 1
S A PFF 2= F 1F 2I x| y °| = 2| y °| = 2, | y °| = 1, 3 y °= 1, x °= 3(y °+1) = 6, PF ? PF =(—2— X o ,— y °) ? (2 — X o ,— y °) = X o + y o — 4= 3.
答案：B
5. （2020 ?杭州模拟）已知双曲线 2 2
C: *討1（a ，b>0）的左、右焦点分别为 F i , F 2,过
H,若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线 C 的 离心率为（ )
A. _：2
B. ：'3
C. 2
D. 3
解析：设 H (x , y )如图,OH
b a y = a x ,HF :y =—b (x —
c ), b
y =a x ， 由 a y =—二 x — c ' b a ab
解得 H （-，）
所以HF 的中点为M
ab
c = 2a ，所以 e = 2. 解析: 由题意得：双曲线 F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为
2c ' 代入双曲线方程整理得:
2 2 2 2 2 2 =(2 — x , — y ), PA 1 ? PF 2 = ( — 1-x )(2 — x ) + y = x — x — 2 + y = x — x — 2+ 3(x — 1) = 4x —x — 5.
2
i uuir uuir ??? x > 1,函数f (x )= 4x — x — 5的图像的对称轴为 x = 8，???当x = 1时，PA 1 ? PF 2取得 最小值—2.
答案：—2
三、解答题
8 ?已知双曲线 E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线I 与E 相交于A , B 两 点，且AB 的中点为N — 12,— 15)，贝U E 的方程.
2 2
解：设双曲线的标准方程为 合一b ,= 1(a >0, b >0), 、, 2 2
由题意知c = 3, a + b = 9,
设 A (X 1, yj , B (X 2, y 2)，则有：
X 2 y 2
a 2—F = 1
两式作差得：
y 1 — y 2 b 2 X 1 + X 2
— 12 b 2 4b 2 — 2 — 2 — 2
X 1 — X 2 a y 1+ y 2 — 15a 5a'
—15 — 0
又AB 的斜率是 ,=1,
—12 — 3
所以将4b 2= 5a 2代入a 2+ b 2= 9得
a 2= 4,
b 2 — 5.
2 2
所以双曲线的标准方程是 x —y — 1. 4 5
9.已知双曲线的中心在原点， 焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为一 2,且过点P (4 , — ,10).
(1)求双曲线方程；
uur uuuir
⑵若点M 3 , m )在双曲线上，求证： MF 1 ? MF 2 — 0;
⑶求厶F 1MF 的面积.
解：(1) ??? e = 2,A 可设双曲线方程为 x 2— y 2=入.
???过点(4，— . 10) , ? 16— 10=入，即卩入一6.
??双曲线方程为 X — y? — 6.
⑵ 证明 法一由(1)可知，双曲线中 a = b = .6,
? c — 2 3. ? F 1( — 2 3, 0) , F>(2 3, 0).
2 b 1=1
2 X 1
2 2
m m
k MF ? k MF 2= 9^12 =_ m 2 2
???点(3 , n )在双曲线上，??? 9- m = 6, m= 3.
故 k MF i ? k MF a =—「MF I MF.
uuuu uuur
?- MF i ? MF 2 = 0.
uuuu
方法—：T MF 1 = ( — 3— 2『.J 3,— m ,
uuuu
MF 2 = (2 -』3 — 3, — m ,
uuuu uuuu _ - 2
? MF 1 ? MF 2 = (3 + 2 3) x (3 — 2 3) + m
=—3 + m . T M 点在双曲线上，?? 9— m = 6，即 m — 3= 0.
uuuu uuiur
?- MF 1 ? MF 2 = 0.
⑶△ F i MF 的底 | F 1F 2I = 4 3,
△ RMF 的高 h =|m = ,3,「. S ^ RMF = 6.
2 2
X 2— y 2= 1(a >0, b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为 a b 焦点到渐近线的距离为 3.
(1) 求双曲线的方程；
(2) 已知直线y =￥f x — 2与双曲线的右支交于 M N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D,
uuuu uuir uuu
使OM + ON = t OD ，求t 的值及点D 的坐标.
解：(1)由题意知a = 2 3,
2 2
? b 2 = 3 ???双曲线的方程为 令一3 = 1.
(2)设 M>1, y" , N (X 2, y 2), D (x 0, y 。), 则 X 1 + X 2= tx 0, y 1 + y 2= ty 0. 将直线方程代入双曲线方程得
x 2— 16 .3x + 84 = 0,
则 X 1 + X 2= 16, 3,『1+ y 2= 12.二 k MF = 3+ 2, 3’
10?设A B 分别为双曲线 ? 一条渐近线为 y =守^ x .
即 bx — 2 3y = |bc |
.b 2
+ 12
x o 4护y o 3
2 2 x o y o 12—二=X o= 4丿
3 ,
y o= 3.
??? t = 4,点D的坐标为(4 3, 3).