第五章 矩阵函数及其微积分
微积分第一章
高等数学教案 、
第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2． 掌握极限四则运算法则。 3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。 第一章共12学时，课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价： 恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。 张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二） 初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。
(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2
高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第一章习题详解
第一章 习题1-1 1.用区间表示下列不等式的解 2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.01 1 x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3]. (2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞). (3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+??>?即0210x x x ≤≤??>??>? 所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2]. (3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->?即6112x x x -≤≤??≠??
微积分第一章---函数--习题及答案
第一章 函数 一、填空 1、设()()x t t f ψ=，则()()=-01f f 。 2、设()11 1>≤???=x x x x f ，则()()x e f x f +?1sin = 。 3、71 2arcsin 42-+-=x x y 的定义域为 。 4、()x x f x f 2 12=??? ??- ，则()x f = 。 5、()00 1<≥?????=x x x x x f ，则()[]=x f f 。 6、已知()()[]21,sin x x f x x f -==?，则()x ?= 。 7、设函数()x f 满足关系式：()()x e x f x f 3121=--+，则函数()x f = 。 8、已知()[]()2sin ,cos 1x x x x f =+=??，则()x f = 。 9、已知()?????≤≤+<≤<≤-+=3 121030 31 32x x x x x x f x ，则其反函数()x f 1-= 。 10、函数3arcsin cos lg x y =由 复合而成。 二、选择 1、函数()x x f 3=，则()y x f +=（ ） A 、()()y f x f B 、()x f 2 C 、()x f D 、()y f 2、若()x f 是（-∞，+∞）上有定义的函数，则下列（ ）奇函数。 A 、()3x f B 、()[]3x f C 、()()x f x f -- D ()()x f x f -+ 3、设函数()x f 定义在（0，+∞）内，b a ,为任意正数，若函数() x x f 单调减少，则有（ ） A 、()()()b f a f b a f +<+ B 、()()() b a b f a f b a f ++<+ C 、()()()b f a f b a f +>+ D 、()()() b a b f a f b a f ++>+
《高等数学一》第一章-函数--课后习题(含答案解析)
第一章函数 历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题] 1、 设函数，则f(x)=（） A、x(x+1) B、x(x-1) C、(x+1)(x-2) D、(x-1)(x+2) 【正确答案】B 【答案解析】 本题考察函数解析式求解. ，故 [单选题] 2、 已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）. A、[1，3] B、[-1，5] C、[-1，3] D、[1，5] 【正确答案】A 【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4 即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题] 3、 设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）. A、[0，2] B、[0，16] C、[-16，16] D、[-2，2] 【正确答案】D 【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足： [单选题] 4、 函数的定义域为（）. A、[-1,1] B、[-1,3] C、(-1,1) D、(-1,3) 【正确答案】B 【答案解析】 根据根号函数的性质，应该满足： 即 [单选题]
写出函数的定义域及函数值（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】C 【答案解析】 分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集， 故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）. [单选题] 6、 设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】A 【答案解析】本题考察三角函数公式。 . [单选题] 7、 设则=（）. A、 B、
微积分定理归纳
第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。 定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。 定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)<0)，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ
经济数学微积分第01章+函数.doc(习题答案)
第一章 函数 习题1-1 13、用区间表示满足下列不等式的所有x 的集合 (1)3||≤x ； ]3,3[- (2)1|2|≤-x ； ]3,1[ (3)ε<-||a x ； ),(εε+-a a (4)5||≥x ； ),5[]5,(+∞--∞ (5)2|1|>+x . ),1()3,(+∞--∞ 14、用区间表示满足下列点集,并在数轴上表示出来： (1)}2|3||{<+=x x A ； )1,5(-- (2)}3|2|1|{<-<=x x B . )5,3()1,1( - 习题1-2 2、求下列函数的自然定义域 (2)2112++-= x x y ； 解：???≥+≠-02012x x ????-≥±≠21x x ?),1()1,1()1,2[)(+∞---= f D . (4)21arcsin -=x y ； 解： 121≤-x ?2|1|≤-x ?]3,1[)(-=f D . (6)1||) 3ln(--=x x y ；
解：?? ?>->-01||03x x ????><1 ||3x x ?)3,1()1,()( --∞=f D . (6)6 71 2arccos 2---=x x x y . 解：?? ???>--≤-0617122x x x ????>+-≤-0)2)(3(712x x x ????>-<≤≤3 243x x x 或－ ?]4,3()2,3[)( --=f D . 4、确定函数?????<<-≤-=. 2||1 ,1,1|| ,1)(22x x x x x f 的定义域并作出函数图形. 解：函数的定义域为 )2,2()(-=f D .其图形为 图形> plot(max((max(1-x^2,0))^(1/2),x^2-1),x=-2..2); 7、下列各函数中哪些是周期函数？对周期函数指出其周期 (1) x y 2sin =; 解：2 2cos 1sin )(2x x x f y -===,由于 )(2 2cos 12)22cos(1)(x f x x x f =-=+-=+ππ, 所以, x y 2sin =是以π为周期的周期函数. 注：x T x T x T 2cos )22cos()(2cos 22π======+=+令 (2) )cos(θω+=t y (θω,为常数); 解：)cos()(θω+==t x f y ,由于 )cos()2cos()2(θωθπωωπ +=+±=+t t t f ,
大学高等数学第一章函数(习题精讲)
第1章 函 数 §1.1 函数的概念与性质 1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >） （1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+ （2 ） 2112 a b a b +≤≤ +（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值） 一般地， 1212 111n n x x x n n x x x ++ +≤≤ +++ （3）{}max ,22a b a b a b -+= +；{}min ,22 a b a b a b -+=- 2. 函数概念与性质 对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。 注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。 （1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, （2）单调性 1212,,x x I x x ?∈< 1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤? ?? ≥? ?单调递增单调递减 ；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ? ?严格单增严格单减 （3）奇偶性 ()()()()()()f x f x f x y f x f x f x -=??? -=-? ?为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点 注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。 （4）周期性 若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。 （5）有界性 若D x ∈?，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。 常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞；
微积分第一章 函数 习题及答案
第一章 函数 一、填空 1、设()()x t t f ψ=，则()()=-01f f 。 2、设()1 11>≤?? ?=x x x x f ，则()()x e f x f +?1sin = 。 3、7 1 2arcsin 42-+-= x x y 的定义域为 。 4、()x x f x f 2 12= ?? ? ??- ，则()x f = 。 5、()001 <≥?????=x x x x x f ，则()[]=x f f 。 6、已知 ()()[]21,sin x x f x x f -==?，则()x ?= 。 7、设函数()x f 满足关系式：()()x e x f x f 3121=--+，则函数()x f = 。 8、已知()[]()2 sin ,cos 1x x x x f =+=??，则()x f = 。 9、已知()?? ???≤≤+<≤<≤-+=3 12103 3132x x x x x x f x ，则其反函数()x f 1-= 。 10、函数3arcsin cos lg x y =由 复合而成。 二、选择 1、函数()x x f 3=，则()y x f +=（ ） A 、()()y f x f B 、()x f 2 C 、()x f D 、()y f 2、若 ()x f 是 （-∞，+∞）上有定义的函数，则下列（ ）奇函数。 A 、() 3 x f B 、()[]3 x f C 、()()x f x f -- D ()()x f x f -+ 3、设函数 ()x f 定义在（0，+∞）内，b a ,为任意正数，若函数()x x f 单调减少，则有（ ） A 、()()()b f a f b a f +<+ B 、()()() b a b f a f b a f ++< +
微积分第一章---函数--习题及答案
微积分第一章---函数--习题及答案
第一章 函数 一、 填空 1、设()()x t t f ψ=，则()()=-01f f 。 2、设()1 1 1 >≤? ? ?=x x x x f ，则()()x e f x f +?1sin = 。 3、7 1 2arcsin 42-+-= x x y 的定义域为 。 4、()x x f x f 2 12=?? ? ??- ，则()x f = 。 5、()001 <≥???? ?=x x x x x f ，则()[]=x f f 。 6 、已 知 ()()[]2 1,sin x x f x x f -==?， 则 ()x ?= 。 7、设函数()x f 满足关系式：()()x e x f x f 3121=--+，则函数()x f = 。 8 、已知 ()[]()2 sin ,cos 1x x x x f =+=??，则 () x f = 。 9、已知 ()?? ???≤≤+<≤<≤-+=3 1210303132x x x x x x f x ，则其反函数 () x f 1-= 。 10、函数3 arcsin cos lg x y =由 复合而成。 二、选择
1、函数()x x f 3=，则()y x f +=（ ） A 、()()y f x f B 、()x f 2 C 、()x f D 、()y f 2、若()x f 是（-∞，+∞）上有定义的函数，则下列（ ）奇函数。 A 、()3 x f B 、 ()[]3 x f C 、 ()() x f x f -- D ()()x f x f -+ 3、设函数()x f 定义在（0，+∞）内，b a ,为任意正数，若函数()x x f 单调减少，则有（ ） A 、()()()b f a f b a f +<+ B 、()()() b a b f a f b a f ++<+ C 、()()()b f a f b a f +>+ D 、()()()b a b f a f b a f ++>+ 4、设函数()u f 的定义域为10<高等数学第一章函数与极限试题
一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x =0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x =0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞ →x x a x a x ，则=a ( )。
； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )11(lim ( ) ； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ ） ； B.∞； ； ． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ ） ； B.∞； C 2 1； ． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ + →=（ ） ； B.∞； ； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） ； B.∞； C. 16 1； ． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2 +∞ →x x x x = . 12. lim →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x 其定义域是 ,值域是
微积分1方法总结
第一章 函数、极限、连续 注 “★”表示方法常用重要. 一、求函数极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5. 重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等. ★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法 运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。 三、无穷小量阶的比较的方法 利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开 四、函数的连续与间断点的讨论的方法 如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则 0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。如果)(x f 是分段函 数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。 五、求数列极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理； 4. )()(lim )()(lim ∞=?∞=∞ →+∞ →A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义 求数列极限；7. 利用若∑∞ =1 n n a 收敛，则0lim =∞ →n n a ；8. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量； 9.等价量替换等. 【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算， 2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用