元胞自动机与计算机模拟_曹伟

元胞自动机与计算机模拟

曹　伟*

(辽东学院计算中心,辽宁丹东　118001)

摘　要:元胞自动机是时间和空间都离散、物理参量只取有限数值集的物理系统的理想化模型,在该系统中每个元胞都具有其内在状态,并由有限数量的信息位组成。近年来,元胞自动机模型应用于各个领域,特别在计算机模拟中取得了较大进展。本文将从介绍元胞自动机理论入手,探讨元胞自动机技术应用于计算机模拟。

关键词:元胞自动机;模型;计算机模拟

中图分类号:TP301.6 文献标识码:A 文章编号:1008—2174(2005)02—0001—04

元胞自动机(Ce ll u lar A uto m a t a简称CA)最早是由现

代计算机之父———冯诺伊曼(V on N eu m ann)等提出的构

想[1],经美国计算机科学家S.W olfram在其新著《A N ew

K i nd o f Science》中,将其上升到了全新的科学方法。尽管

《A N e w K i nd o f Science》在世界科学领域引起了极大震动

和广泛的争论,但是S.W o lfram提出的有关以元胞自动机

命名的运算理论,也就是《A N ew K ind of Sc i ence》的理论

出发点,却为复杂系统的计算模拟提供了新的理论依据与

实现方法,使这一领域的研究再次成为热门的科学前沿。

S.W o lfra m将这种带有强烈的纯游戏色彩的原始想法从学

术上加以分类整理,并使之最终上升到了科学方法论。在

此基础上,提出了元胞自动机的指导思想就在于“如果让

计算机反复地计算极其简单的运算法则,那么就可以使之

发展成为异常复杂的模型,并可以解释自然界中的所有现

象”的观点。本文从元胞自动机理论入手,阐述元胞自动

技术应用于计算机模拟领域的依据和发展。

1　元胞自动机理论

1.1　元胞自动机理论基础[1-3]

CA由空间上各向同性的一系列元胞所组成,用于模拟

和分析几何空间内的各种现象。S.W o lfra m的初等元胞自

动机是状态集S,只有两个元素{s

1,s

2

},即状态个数k=

2,邻居半径r=l的一维元胞自动机。这是最简单的元胞自动机模型。为表示S所含的符号个数,通常将其记为{0, 1}。此时,邻居集N的个数2r=2,局部映射f:S

3

→S可记为:

S i t+1=f(S

i-1

t,S

i

t,S

i+1

t)

其中变量有三个,每个变量取两个状态值0和1,那么就有2×2×2=8种组合,只要给出在这八个自变量组合上的值,f就完全确定了。例如表1的映射便是其中的一个规则:

表1　基本的元胞自动机

t111110101100011010001000

t+101001100

通常这种规则也可表示为图1的图形方式(黑色方块代表l,白色方块代表0

):

表1和图1的八种组合分别对应0或1,因而这样的组合共有28=256种,即初等元胞自动机只可能有256种不同规则。S.W o lfra m定义由上述八种构形产生的八个结果组成一个二进制,如上可得01001100,其对应的十进制值R =76。

R在[0,255]内,S.W o lfra m定义R为初等元胞自动机的标号,则上面的元胞自动机模型就是76号初等元胞自动机。各种模型均对应着相应的图象。

S.W o lfra m对这256种模型进行了详细而深入的研究。尽管初等元胞自动机是如此简单,但它们表现出各种各样的高度复杂的空间形态。经过一定时间,有些元胞自动机生成一种稳定状态,或静止,或产生周期性结构,还有些产生自组织、自相似的分形结构。这些研究奠定了CA理论的基石。对CA的进一步的理论研究,以及后来的人工生命研究和近来兴起的复杂性科学(Science of Co m plexit y)研究作出了卓越的贡献。

2005年　第2期 丹东纺专学报 第12卷　总第46期　N o.2.2005 J OURNA L OF DAN DONG TEXT ILE CO LLEGE V o.l12,Su m N o.46

*收稿日期:2004—12—16

作者简介:曹伟(1955—),男,吉林长春人,副教授,主要从事计算机教学与研究。

DOI牶牨牥牣牨牬牨牰牳牤j牣issn牣牨牰牱牫牠牬牴牫牴牣牪牥牥牭牣牥牪牣牥牥牨

1.2　“生命游戏”

生命游戏(Came o f L ife)是J.H.Con w ay在20世纪60年代末设计的一种单人玩的计算机游戏[4-6]。他与现代的围棋游戏在某些特征上略有相似:围棋中有黑白两种棋子,黑白两子在空间的分布决定双方的死活。而生命游戏中的元胞有{“生”,“死”}两个状态{0,1},只不过规则更为简单。其构成及规则为:

(1)元胞分布在规则划分的网格上;

(2)元胞具有0,1两种状态,0代表“死”,l代表“生”;

(3)元胞以相邻的8个元胞为邻居;

(4)一个元胞的生死由其在该时刻本身的生死状态和周围八个邻居的状态决定:

在当前时刻,如果一个元胞状态为“生”,且八个相邻元胞中有两个或三个的状态为“生”,则在下一时刻该元胞继续保持为“生”,否则“死”去;

在当前时刻。如果一个元胞状态为“死”。且八个相邻元胞中正好有三个为“生”。则该元胞在下一时刻“复活”,否则保持为“死”。

尽管它的规则看上去很简单,但生命游戏是具有产生动态图案和动态结构能力的元胞自动机模型。它能产生丰富的的图案。生命游戏的图案与初始元胞状态值的分布有关,给定任意的初始状态分布,经过若干步的运算,有的图案会很快消失。而有的图案则固定不动,有的周而复始重复两个或几个图案,有的婉蜒而行,有的则保持图案定向移动等。

生命游戏模型的演化规则近似地描述了生物群体的生存繁殖规律,由于它能够模拟生命活动中的生存、灭绝、竞争等等复杂现象,因而得名“生命游戏”。J H Con w-ay还证明,这个元胞自动机具有通用图灵机的计算能力,与图灵机等价,也就是说给定适当的初始条件,生命游戏模型能够模拟任何一种计算机。

从数学模型的角度看,该模型将平面划分成方格棋盘,每个方格代表一个元胞。元胞状态:0死亡,1-活着,其演化规则:

演化规则:1)若S t=1,则S t+1=1,S=2,3 0,S≠2,3

2)若S t=0,则S t+1=1,S=3 0,S≠3

其中S t表示t时刻元胞的状态,S为8个相邻元胞中活着的元胞数。目前对生命游戏的研究已扩展到了三维空间上,其规则对元胞自动机理论具有普遍性意义。

1.3　元胞自动机的定义、构成及其特征[6]

尽管元胞自动机有着较为宽松、甚至近乎模糊的构成条件,但作为一个数理模型,CA有着严格的科学定义。同时,C A又是物理学家、数学家,计算机科学家和生物学家共同工作的结晶。因此。对元胞自动机的含义也存在不同的解释,物理学家将其视为离散的、无穷维的动力学系统;数学家将其视为描述连续现象的偏微分方程的对立体,是一个时空离散的数学模型;计算机科学家将其视为新兴的人工智能、人工生命的分支;而生物学家则将其视为生命现象的一种抽象。在这里给出一个简单,但能准确表达CA 本源意义的定义:一个元胞自动机是由相同的可编程的元胞序列组成,元胞间相互作用、相互影响。这个序列可以是一维串结构、二维网格、三维立体结构或扩展的多维结构。

元胞自动机最基本的构成包括四部分:

(1)元胞

元胞又可称为单元,或基元,是CA的最基本的组成部分。元胞分布在离散的一维、二维或多维欧氏空间的晶格内部。

(2)状态

状态可以是整数形式的离散集,用以表征元胞的状态。

(3)元胞空间(Lattice)

元胞所分布在的空间网点集合。其网点可有多种形式,例如二维元胞可按三角、四方或六边形等网格排列。元胞空间通常在各维方向上是无限延展的,但是在实际应用中,我们无法在计算机上实现这一理想条件,因此,需要规定模拟空间的大小并定义相应的边界条件。边界条件主要有周期型、反射型和定值型等。在元胞空间中,邻居(N eigh-bor)是十分重要的概念。元胞的演化规则与邻居密切相关。在一维元胞中,通常以半径来确定邻居。二维及多维CA的邻居定义较为复杂,可划分为若干类型。包括:冯-诺依曼型、摩尔(M oo re)型等。

(4)规则(Ru le)

根据元胞当前状态及其邻居状况确定下一时刻该元胞状态的动力学函数。就是一个状态转移函数。这个函数构造了一种简单的、离散的空间/时间的局部物理成分。在元胞空间中采用这个局部物理成分对其结构的“元胞”重复修改。

元胞自动机是一个动态系统,它在时间维上的变化是离散的,即时间f是一个整数值,而且连续等间距。假设时间间距dt=1

,若t=O为初始时刻。那么t=1为其下一时刻。在上述转换函数中,一个元胞在t+1的时刻只(直接)决定于t时刻的该元胞及其邻居元胞的状态。

1.4　元胞自动机的分类

按照S.W o lfra r m依据元胞自动机的动力学行为进行划分,可归纳为四大类:

(1)平稳型:自任何初始状态开始,经过一定时间运行后,元胞空间趋于一个空间平稳的构形,这里空间平稳即指每一个元胞处于固定状态。不随时间变化而变化。

(2)周期型:经过一定时间运行后,元胞空间趋于一系列简单的固定结构或周期结构。

(3)混沌型:自任何初始状态开始,经过一定时间运行后,表现出混沌的非周期行为。

(4)复杂型:出现复杂的局部结构,或者说是局部的混沌,其中有些会不断地传播。

这种分类不是严格的数学分类,但S W o lfra m将众多的元胞自动机的动力学行为归纳为数量如此之少的四类,是非常有意义的发现,对于CA的研究具有很大的指导意义。理论上,C A可以是任意维数的。那么,按元胞空间的维数分类,通常可以分为:一维、二维、三维和高维元胞自动机。

2　元胞自动机与计算机模拟

CA是建立在使用计算机进行计算的基础上的,通过与其它相关理论的结合,实现在计算机上模拟各种理论的应用结果。

2.1　元胞自动机模拟的相关领域与理论方法的应用

CA与相关理论和方法的发展有着千丝万缕的联系。一方面,C A的发展得益于相关理论的研究,如逻辑数学、离散数学、计算机中的自动机理论,图灵机思想;另一方面, CA的发展也促进了一些相关学科和理论(如人工智能、非线性科学、复杂性科学)的发展,甚至还直接导致了人工生命科学的产生。另外,在表现上,CA模型还与一些理论方法存在着较大的相似性,或者相对性。

2.1.1　元胞自动机应用于人工生命研究[7]

人工生命是90年代才刚刚诞生的新生科学,是复杂性科学研究的支柱学科之一。CA是人工生命的重要研究工具和理论方法分支,兰顿(Christophe r Lang t on)等人正是基于对元胞自动机的深入研究提出和发展了人工生命。同时,人工生命的发展又为元胞自动机赋予了新的涵义,使得元胞自动机模型得到科学家们的重新认识和认可。

2.1.2　元胞自动机应用于“混沌的边缘”[7-8]

“混沌的边缘(O n the Edge o f Chaos)(Lang t on C.G., 1992;M.W a l drop,1997)”是当前复杂性科学研究的一个重要成果。“混沌的边缘”这个概念是在对CA深入研究的基础上提出的[2,3],CA恰恰界于秩序和混沌之间,在大多数的非线性系统中,往往存在一个相应于从系统由秩序到混沌变化的转换参数,这就是所谓“混沌的边缘”。

2.1.3　元胞自动机应用于微分方程

微分方程是科学研究中最为重要的研究工具之一。其主要特点是时间、空间均连续。而CA则是完全的空间离散、时间离散。在这个意义上,微分方程和元胞自动机是一对相对的计算方法[9]。因此,在现代计算机的计算环境下,以CA为代表的离散计算方式在求解方面,尤其是动态系统模拟方面有着更大的优势。特别是对于复杂的非线性微分方程,可以构建相应的CA模型。

2.1.4　元胞自动机应用于分形分维

CA与分形分维理论有着密切的联系。在自复制、混沌等特征的空间构形表述上,CA的模拟结果通常可以用分形理论来进行定量的描述。CA重在对对象机理的模拟与分析;使用局部的简单结构在一定的局部规则作用下,所产生的整体上的“突现”性复杂行为。

2.1.5　元胞自动机应用于马尔科夫(链)过程

马尔科夫链与元胞自动机都是时间离散、状态离散的动力学模型,二者在概念具有相通性又有区别。马尔科夫链没有空间概念,只有一个状态变量。而元胞自动机的状态量则是与空间位置相关。所以可直接在CA中使用马尔科夫(链)过程。

2.1.6　元胞自动机应用于随机行走模型和凝聚扩散模型

随机行走模型和凝聚扩散模型模拟的分子运动等的随机运动过程,在CA的应用中促进了该领域的计算机模拟的发展。,目前已对化学反应、固体结晶等领域的模拟使用了扩展的CA模型。

2.1.7　元胞自动机应用于多主体系统

多主体系统(M u lti-A gent Syste m,简称M A S)是分布式人工智能的热点课题。主要研究为了共同的、或各自的不同目标,自主的智能主体之间智能行为的协作、竞争等相互作用。这种具有离散空间概念的主体模型通过CA实现在计算机上的模拟。从而研究在离散空间上个体间的相互作用而形成整体上的复杂行为,以“简单规则,反复计算”形成的复杂系统的行为模式。

2.1.8　元胞自动机应用于系统动力学模型

系统动力学(Syste mDyna m ics,简称SD)是一种分析研究反馈系统的学科,也是一门认识系统问题和解决系统问题交叉的综合性学科。CA模型中的规则是基于动力学原理而设计的,可直接应用CA模型对动力学系统进行模拟。

2.2　元胞自动机在计算机模拟中的应用

元胞自动机可用来研究很多一般现象。其中包括通信、信息传递、计算、构造、生长、复制、竞争与进化等[10-11]。同时,它为动力学系统理论中有关秩序、紊动、

混沌、非对称、分形等系统整体行为与复杂现象的研究提供了一个有效的模型工具。

在社会学中,CA用于研究社会经济现象、个人行为的社会性,流行现象等。在生物学中,由于CA本身就来源于生物学自繁殖的思想,因而它的应用更为广泛与自然。在生态学中。CA用于生态动态变化过程的模拟,展示出令人满意的动态效果。在信息学中CA用于研究信息的保存、传递、扩散的过程以及应用到图像处理和模式识别中。同时, CA在计算机科学、计算机图形学、数学、物理学、化学、环境科学、军事科学等方面都得到了应用。近年来,CA在市场营销、股票预测等经济领域日渐活跃,可望会形成以CA技术为基础的全新经济预测模式。CA的应用已经开始涉及到社会和自然科学的各个领域。

把牛顿的“给我一个支点”换成“给我一个CA”,就有可能去“模拟”宇宙。

参考文献:

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C ell ul ar Auto mation and C o mputer Sm i ul ati on

CAO W e i

(Computer Ce nter,Li a odong U niversity,Dandong118001,China)

Abstr act:A cellular-auto m a ta(CA)is basically a co m puter a l g o rith m that is discrete i n space and ti m e and operates on a lattice of sites(.i e.,a t w o-di m ensi o na l or t h r ee-di m ensional a rray of pixe ls).A lthough often rel-ative ly si m ple in str uctur e,the behavior pr oduced by CA can be quite co m plex.The field of CA has been deve l o-pi n g over the past10years o r so,w it h r ecent applica tions in m ate ria ls science(sinteri n g and dend ritic g r ow th)and biological sy ste m s.

Key wor ds:cellular auto m a tion;m ode l;co m puter si m u lation