2016年全国2卷高考文科数学试卷及答案

2016年普通高等学校招生全统一考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 已知集合{

}3,2,1=A ，{}

92

<=x x B ，则=B A I （A ）{}3,2,1,0,1,2-- （B ）

{}2,1,0,1- （C ）{}3,2,1 （D ）{}2,1

（2） 设复数z 满足i i z -=+3，则=z

（A ）i 21+- （B ）i 21- （C ）i 23+ （D ）i 23- （3） 函数)sin(?ω+=x A y 的部分图像如图所示，则

（A ）)62sin(2π

-

=x y （B ）)32sin(2π

-=x y （C ）)6

2sin(2π

+

=x y （D ）)3

2sin(2π

+=x y

（4） 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为

（A ）π12 （B ）π3

32

（C ）π8 （D ）π4

（5） 设F 为抛物线C ：x y 42

=的焦点，曲线)0(>=

k x

k

y 与C 交于点P ，x PF ⊥轴，则=k （A ）21 （B ）1 （C ）2

3

（D ）2

（6） 圆013822

2=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a

（A ）3 （B ）4

3

-

（C ）3 （D ）2 （7） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表

面积为 （A ）20π

（B ）24π （C ）28π （D ）32π

（8） 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若

一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A ）

107 （B ）85 （C ）83 （D ）10

3

（9） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行

该程序框图，若输入的2=x ，2=n ,依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数x

y lg 10

=的定义域和值域相同的是

（A ）x y = （B ）x y lg = （C ）x

y 2= （D ）x

y 1=

（11）函数）（x x x f -+=2

cos

6 2 cos )(π

的最大值为 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

（12）已知函数)( )(R x x f ∈满足)2()(x f x f -=，若函数322

--=x x y 与

)(x f y =图像的交点为),(,),,(),,(2211m m y x y x y x ?，则

∑=m

i i

x

1

（A ）0 （B ）m （C ）m 2 （D ）m 4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量a )4,(m =，b )2,3(-=，且a ∥b ，则=m ．

（14）若y x ,满足约束条件??

?

??≤-≥-+≥+-,03,03,01x y x y x 则y x z 2-=的最小值为 ．

（15）ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若1,13

5

cos ,54cos ===

a C A ，则=

b ． （16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片

后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

等差数列{}n a 中，且443=+a a ，675=+a a ．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．

（18）（本小题满分12分）

某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

随机调查了设该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

（Ⅰ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求)(A P 的估计值；

（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求)(B P 的估计值； （Ⅲ）求续保人本年度平均保费的估计值．

（19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，

点F E ,分别在CD AD ,上，CF AE =，EF 交BD 于点H .将DEF △沿EF 折到EF D '△的位置.

（Ⅰ）证明：D H AC '⊥； （Ⅱ）若5=AB ，6=AC ，4

5

=AE ，22='OD ，求五棱锥ABCFE D -'的体积．

已知函数)1( ln )1()(--+=x a x x x f ．

（Ⅰ）当4=a 时，求曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若当),1(+∞∈x 时，0)(>x f ，求a 的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

已知A 是椭圆E ：13

42

2=+y x 的左顶点，斜率为)0(>k k 的直线交E 于M A ,两点，点N 在E 上，NA MA ⊥.

（Ⅰ）当AN AM =时，求AMN △的面积； （Ⅱ）当AN AM =2时，证明：23<

请考生在第（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD 中，G E ,分别在边DC DA ,上（不与端点重合），且DG DE =,过D 点作CE DF ⊥,垂足为F .

（Ⅰ）证明：F G C B ,,,四点共圆；

（Ⅱ）若1=AB ，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为

25)6(2

2=++y x . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是?

??==,sin ,

cos ααt y t x （t 为参数），l 与C 交于B A ,两点，10=AB ，求l 的斜率.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数2

1

21)(++-

=x x x f ，M 为不等式2)(

（Ⅱ）证明：当M b a ∈,时，ab b a +<+1.

2016年全国卷Ⅱ高考数学（文科）答案

一. 选择题

（1）D （2）C （3） A （4） A （5） D （6） A （7） C （8） B （9） C （10） D （11） B （12） B

二．填空题

(13) 6- (14) 5- （15）

21

13

（16）1和3

三、解答题

（17）(本小题满分12分)

(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5

a d ==， 所以{}n a 的通项公式为23

5

n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +??

=????

， 当n=1,2,3时，23

12,15n n b +≤

<=； 当n=4,5时，23

23,25n n b +≤<=；

当n=6,7,8时，23

34,35n n b +≤<=；

当n=9,10时，23

45,45

n n b +≤<=，

所以数列{}n b 的前10项和为1322334224?+?+?+?=. （18）(本小题满分12分)

(Ⅰ)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为

6050

0.55200

+=， 故P(A)的估计值为0.55.

（Ⅱ）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为

3030

0.3200

+=， 故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为：

调查200名续保人的平均保费为

0.850.300.25 1.250.15 1.50.15 1.750.3020.10 1.1925a a a a a a a ?+?+?+?+?+?=，

因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. （19）（本小题满分12分）

（I ）由已知得，,.⊥=AC BD AD CD

又由=AE CF 得

=

AE CF

AD CD

，故//.AC EF 由此得

,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD . （II ）由//EF AC 得

1

.4

==OH AE DO AD 由5,6==AB AC 得 4.===DO BO

所以1, 3.'===OH D H DH

于是22222

19,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH

由（I ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=I AC BD BD HD H ， 所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD

又由,'⊥=I OD OH AC OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC

又由

=

EF DH AC DO

得9

.2

=EF 五边形ABCFE 的面积11969

683.2224

=??-??=S

所以五棱锥体积169342

=??=V （20）（本小题满分12分）

（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，

1

()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+

-f x x x x f x x x

，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=

（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)

ln 0.1

-->+a x x x 令(1)

()ln 1

-=-

+a x g x x x ，则 'ABCEF D -

222

122(1)1

(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，

（i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，2

2

2(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ； （ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得

1211=-=-+x a x a

由21>x 和121=x x 得11

()0

综上，a 的取值范围是(],2.-∞ （21）（本小题满分12分）

（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4

π

， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.

将2x y =-代入22

143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =

，所以1127

y =. 因此AMN ?的面积11212144

227749

AMN S ?=???=

. （II ）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22

143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.

由2121612(2)34k x k -?-=+得212

2(34)34k x k -=+，故1||2|AM x =+=

由题设，直线AN 的方程为1

(2)y x k

=-+，故同理可得||AN =.

由2||||AM AN =得

22

23443k k k

=++，即32

46380k k k -+-=. 设3

2

()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，2

2

'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，