江苏省姜堰中学2016届高三数学期初试题及答案讲评

2015年江苏省姜堰中学高三期初学情检测 数学试题与参考答案及评分标准

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．函数sin2cos2yxx的最小正周期是 ▲ ．（全对）

答案：2；提示：变式：1sin42yx；242T．■ 2．设复数z满足(4)32izi（i是虚数单位），则z的虚部为 ▲ ． 答案：3；提示：设 ()zabiabR、，(4)32(4)323iabiibaiib．■ 做错者．．．：王睿泽、吴 桐．（要订正20条） 3．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中 至少有1人被录用的概率为 ▲ ．

答案：56；提示：古典概型，正难则反；事件总数为246C，无甲无乙仅1种，∴15166P．■ 做错者．．．：李慧敏、郭大为、焦晓佳．（要订正20条） 4．某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图 执行（其中a为座号），并以输出的值作为下一个输入的值；若第一次输 入的值为8，则第三输出的值为 ▲ ． 答案：8；提示：48152988．■ 做错者．．．：陆冰冰、翟荣蓉、潘倩玉．（要订正20条） 5．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ▲ ．

答案：33；提示：底面半径为1，高为3，2131333V．■ 做错者．．．：翟逸笑、蒋沛清．（要订正20条） 6．已知将函数sinyx的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标

不变），再向左平移4个单位，可得到函数()yfx的图象，则()fx ▲ ．

答案：sin()312xy；提示：4sinsinsinsin()33312xxxyxyy．■ 做错者．．．：李慧敏、陈婷婷、卢稷楠．（要订正20条）

7．若实数, xy满足102030xyxxy，则24xyz的取值范围是 ▲ ． 答案：1[, 1]16；提示：变式：2224xxyyz，设2txy，则[4, 0]t，从而1[, 1]16z．■ 做错者．．．：郑天宇、李慧敏、缪沁杨、陈煜琪、潘倩玉、徐雨桐．（要订正20条） 8．已知ABC中，角ABC、、的对边分别为abc、、，且22265tanacBacb，则sinB的值是 ▲ ． 答案：35；提示：“切化弦”、“正、余弦定理”同时发挥作用，通常着落在角．上，偶尔在边．上； 变式：2225sin35sin33sincoscoscos52BBBBBBacbac．■ 做错者．．．：王睿泽．（要订正20条） 9．已知椭圆2239xy的左焦点为1F，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点D是线段

1PF的中点，则1FOD的周长为 ▲ ． 答案：36；提示：圆锥曲线的核心解法是“紧扣定义”；设右焦点为2F，连结2PF，则OD是12PFF 的中位线，3a，936c；由定义和中位线定理得：周长36ac．■ 做错者．．．：刘剑雨、王钱益、顾 盼、窦慧星．（要订正20条）

10．已知函数()fx对任意的xR满足()()fxfx，且当0x时，2()1fxxax；若()fx有4个零点， 则实数a的取值范围是 ▲ ． 答案：(2, )；提示：偶函数，4个零点，则当0x时，必有2个；由二次函数的性质可知：

对称轴在y轴右侧且顶点在x轴下方；02a且()02af，即0a且24a，故2a．■ 做错者．．．：黄少峰、仲建宇、刘剑雨、乔森、陈婷婷、许黄蓉、郭大为、贺文杰、陈子慧、窦慧星、卫世杰、徐雨桐．（要订正20条） 11．设abR、，已知关于x的方程22(1)(1)0xaxxbx的四个实数根构成以q为公比的等比数列，

若1[, 2]3q，则实数ab的取值范围是 ▲ ．

答案：112[4, ]9；提示：二次函数的灵魂是“开口方向．．．．、对称轴．．．、是否过定点．．．”； 变式：2222(1)(1)010 1=0xaxxbxxaxxbx或；（本题有点难） 考察两个函数：2()1fxxax和2()1gxxbx；开口向上，过共同的定点(0, 1)K； 故两函数的零点是同号的，又由于公比q是正数，不妨设四个实数根均为正数，且ab； 令四个根为1234xxxx、、、，1234(0)xxxx； 它们构成以q为公比的等比数列； 由图象可知：

23xx、是()fx的零点，14xx、是()gx的零点； ∴23xxa，14xxb，23141xxxx； 再结合等比数列可得： 21()xqqa ①，31(1)xqb ②，2311xq ③；

①②③得： 23321232()(1)(1)(1)qqqqqabqqqqqq



211()()2qqqq；

令1tqq，则由于1[, 2]3q，有10[2, ]3t，再由22abtt在10[2, ]3t上是增函数； 故112[4, ]9ab．■ 做对者．．．：王宇嘉、武朝钦、季小淇、林 芮、常毅琛、刘冬兰、石金鹏、韩婷婷、乔 森、陆冰冰、陈 胜、翟逸笑、李慧敏． 共13人． 12．在平面直角坐标系xOy中，设直线2yx与圆222xyr(0)r交于AB、两点，O为坐标原点，若 圆上一点C满足5344OCOAOBuuuruuuruuur，则r ▲ ．

答案：10；提示：ABC、、均在圆上，平方得：22225930cos161616OCOAOBOAOBAOBuuuruuuruuuruuuruuur； 即222225930cos161616rrrrAOB，化简：3cos5AOB；设圆心到直线的距离为d； 则222d；于是有：22312cos2cos()12()152AOBAOBr；（画图便知） 解得：210r即10r．■（本题不难） 做对者．．．：王宇嘉、武朝钦、季小淇、洪宇晨、王亚丽、杨 晨、常毅琛、杭 慧、袁峥嵘、袁 鑫、王小雨、孙 琴、陈 胜、

王 倩、王睿泽、黄河清、缪沁杨、王 荣、钱 睿、徐亚敏、翟荣蓉、陈婷婷、许黄蓉、王钱益、郭大为、蒋沛清、 焦晓佳．共27人．

13．若xyz、、均为正实数，且2221xyz，则2(1)2zxyz的最小值为 ▲ ． 答案：322；提示：注意到：222xyxy，考虑保留z，构造关于z的一元二次不等式； 设2(1)2ztxyz，则2(1)2zxytz，且0t；结合题设，有：22(1)1zztz， 即2(1)(1)(1)tzzzz；再由题设知：01z；有10z，10z ∴(1)1tzzz即2211112(1)(1)3(1)23[(1)]1zzztzzzzzzzz；

∴考察上式右端分母的最小值为322，从而右端的最大值为322； 故所求式子的最小值为322．■（本题有点难） 做对者．．．：林 芮、洪宇晨、王亚丽、杨 晨、郑天宇．共5人．

14．已知公差为d的等差数列{}na满足0d，且2a是14aa、的等比中项；记2nnba(*)nN，则对任意的 正整数n均有121112nbbb，则公差d的取值范围是 ▲ ．

答案：1[, )2；提示： 由题意可得：222141111()(3)aaaadaadad，从而nand； 从而21111222nnnnnnbadbdd；∴1111111111()(1)222nnnkknkkkkbddd；

∴有11(1)22nd对任意正整数n恒成立；易知：1[, )2d．■（本题不难） 做对者．．．：季小淇、林 芮、杨 晨、刘冬兰、李慧敏．共5人． FC1

B1

A1

EDCBA

GF

C1

B1

A1

EDCBA

二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15．（本题满分14分）

锐角ABC的内角ABC、、的对边分别为abc、、，已知2cos()2sin2CBA； （1）求sinsinAB的值；（2）若3a，2b，求ABC的值． 解析：（1）由条件可得cos()1cos1cos()BACBA；………………………………………… 4分 ∴coscossinsin1coscossinsinBABABABA；

即1sinsin2BA．…………………………………………………………………………… 7分

（2）由正弦定理得：32sinsinsinsinabABAB，可设sin3Ak，sin2Bk；（这里有点难） 再由（1）得：213626kk，即3sin2A，3sin3B；……………………… 9分 由锐角三角形可得：1cos2A，6cos3B； 从而323sinsin()sincoscossin6CABABAB；…………………………… 12分 ∴11323323sin232262ABCSabC．■ ……………………………… 14分 失分者．．．：刘剑雨7、陆冰冰7、王 倩7、张楷文7、许黄蓉7、潘倩玉7、陈子慧7、缪沁杨4、钱 睿4、 吴 桐4、仲建宇4．共11人．（要订正5条）

16．（本题满分14分） 如图，在直三棱柱111ABCABC中，ABAC，点D为BC的中点，点E为BD的中点，点F在1AC上， 且14ACAF； （1）求证：平面ADF平面11BCCB； （2）求证：直线//EF平面11ABBA． 证明：（1）由直三棱柱的定义可知：1CC平面ABC； 而AD平面ABC，∴1CCAD；………………… 2分 ∵ABAC，点D为BC的中点，∴ADBC； ∵1BCCCCI，BC平面11BCCB，1CC平面11BCCB； ∴AD平面11BCCB；……………………………… 5分 而AD平面ADF ∴平面ADF平面11BCCB．……………………… 7分 （2）连结CF并延长交1AA于G，连结GB； ∵14ACAF，11//AACC， ∴3CFFG； ∵D是BC的中点，E是BD的中点； ∴//EFBG；……………………………………… 11分 而EF平面11ABBA，BG平面11ABBA； ∴//EF；平面11ABBA．■ ……………………… 14分 失．分者．．：王宇嘉4、季小淇4、王亚丽4、杨 晨3、翟逸笑4、张楷文7、黄河清4、王 荣5、钱 睿4、 陈婷婷7、王钱益5、贺文杰7、焦晓佳7、窦慧星4、徐雨桐5．共15人．（要订正5条）