高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案苏教版选修2_1

1 2．3.2 双曲线的几何性质 [学习目标] 1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．

知识点一 双曲线的几何性质 标准方程 x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1

(a>0，b>0) 图形

性 质 范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点

顶点坐标 A1(－a,0)， A2(a,0) A1(0，－a)，

A2(0，a)

实轴和虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴

渐近线 y＝±bax y＝±abx

离心率 e＝ca，e∈(1，＋∞)

知识点二 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x. 思考 (1)椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？ (2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？ 答案 (1)不一样．椭圆的离心率01. (2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数

条双曲线，如具有相同的渐近线y＝±bax的双曲线可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ>0 2

时，焦点在x轴上，当λ<0时，焦点在y轴上． 题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质 例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．

解 将9y2－4x2＝－36化为标准方程x29－y24＝1，

即x232－y222＝1， ∴a＝3，b＝2，c＝13. 因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点为F1(－13，0)，F2(13，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，

离心率e＝ca＝133， 渐近线方程为y＝±bax＝±23x. 反思与感悟 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质． 跟踪训练1 求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．

解 将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程y24－x212＝1， ∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝23， ∴c＝a2＋b2＝16＝4. ∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝43.

焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝±33

x，离心率e＝2.

题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135； 3

(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)． 解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13， 又ca＝135，∴a＝5，b＝c2－a2＝12，

故其标准方程为y225－x2144＝1. (2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x， 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则ba＝12.① ∵A(2，－3)在双曲线上，∴4a2－9b2＝1.② 联立①②，无解． 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，则ab＝12.③

∵A(2，－3)在双曲线上，∴9a2－4b2＝1.④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.

方法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.

∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1. 反思与感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求出来．当双曲线的渐近线方程为y

＝±bax时，可以将方程设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 根据条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线x29－y216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)；

(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)． 4

解 (1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)， 由题意可知－29－3216＝λ，解得λ＝14. ∴所求双曲线的标准方程为x294－y24＝1.

(2)设所求双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1(16－k>0，4＋k>0)， ∵双曲线过点(32，2)，∴2216－k－44＋k＝1， 解得k＝4或k＝－14(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程为x212－y28＝1. 题型三 直线与双曲线的位置关系 例3 直线l在双曲线x23－y22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l的方程． 解 设直线l的方程为y＝2x＋m，

由 y＝2x＋m，x23－y22＝1，得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*) 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由根与系数的关系，

得x1＋x2＝－65m，x1x2＝310(m2＋2)． 又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m， ∴y1－y2＝2(x1－x2)， ∴AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2 ＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]

＝5[3625m2－4×310(m2＋2)]．

∵AB＝4，∴365m2－6(m2＋2)＝16. ∴3m2＝70，m＝±2103. 由(*)式得Δ＝24m2－240，把m＝±2103代入上式， 5

得Δ>0，∴m的值为±2103. ∴所求直线l的方程为y＝2x±2103. 反思与感悟 直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程．要注意根与系数的关系，根的判别式的应用．若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解．

跟踪训练3 设双曲线C：x2a2－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B. (1)求实数a的取值范围； (2)设直线l与y轴的交点为P，若PA→＝512PB→，求a的值．

解 (1)将y＝－x＋1代入双曲线方程x2a2－y2＝1(a>0)， 得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0. 依题意有 1－a2≠0，Δ＝4a4＋8a21－a2>0， ∴0(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 依题意得P(0,1)，

因为PA→＝512PB→，所以(x1，y1－1)＝512(x2，y2－1)．

由此得x1＝512x2. 由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0， 所以1712x2＝－2a21－a2，512x22＝－2a21－a2.

消去x2得－2a21－a2＝28960.由a>0，解得a＝1713.

1．双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为________． 答案 23 解析 ∵双曲线x24－y212＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝3x，∴点F到 6

3x－y＝0的距离为432＝23. 2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为________． 答案 －14

解析 由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－x2－1m＝1，则a2＝1，a＝1，

又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－1m＝b2＝4， ∴m＝－14. 3．双曲线x216－y29＝1的渐近线方程为________． 答案 3x±4y＝0 解析 由x216－y29＝1得a2＝16，b2＝9，

∴渐近线方程为y＝±34x，即3x±4y＝0. 4．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为________． 答案 x220－y25＝1

解析 双曲线C的渐近线方程为x2a2－y2b2＝0，点P(2,1)在渐近线上，∴4a2－1b2＝0，即a2＝4b2， 又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20. 5．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．

答案 62 解析 设双曲线的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)， 虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)， 因为c>b，所以只有∠B1F1B2＝60°，

∴tan 30°＝bc，∴c＝3b，

又a2＝c2－b2＝2b2，∴e＝ca＝3b2b＝62.