流体力学第4章流体流动基本原理

mCV qm2 qm1 0 t
28
对稳态流动系统，流体及流动参数均与 时间无关，即
mCV / t 0
因此，质量守恒方程简化为
qm1 qm2
或 1v1 A1 2v2 A2
即稳态流动，输入与输出的质量必然相等。
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对不可压缩流体的稳态流动，ρ=const，则
v1 A v2 A2 1
CV
vmax
2
R v1R 0
2 2
34
故有
vmax=2v1
例题：一储气罐，罐中空气经管道向外界排出，
已知管道出口处气流密度和压强为均匀分布，而 速度呈抛物线规律分布：
r v vmax (1 2 ) r0
已知排气管r0=0.025m，当储气罐 中p0=0.14MPa，T0=277.8K，测得 管道出口处气流vmax=32m/s，储气 罐和管道的总容积0.32m3。
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③ 控制体内的质量变化率
对于控制体内密度为ρ的任意微元体积dV，其质 量为ρdV。将ρdV在整个控制体CV积分可得控制体内 的瞬时总质量，再对时间求导得:
控制体内的 质量变化率 =
t
dV
CV
ρ dv
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④ 质量守恒方程
将上述各式集合在一起即可得到控制体系
统的质量守恒方程：
输出控制体 的质量流量 输入控制体 — 的质量流量
4.2.1 控制体系统的质量守恒方程
根据质量守恒原理，对于质量为m的系统，其质 量守恒方程为
dm ( )系统 0 dt
由输运公式，以控制体为研究对象时质量守恒方程 可表述为
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输出控制体 的质量流量
—
输入控制体 的质量流量
控制体内的 + 质量变化率 = 0
控制体净输出的质量流量
20
① 质量流量
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4.3 动量守恒方程
根据牛顿第二运动定律，对于质量为m，
速度为v的运动系统，其动量随时间的变化率
等于作用于该系统的各力之矢量和
dm v （ ） (m a )系统 F 系统 dt
思考题：系统上的作用力包括哪些力？
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对流动系统，以控制体为对象研究其动 量守恒时，动量守恒方程可表述为
于是通过微元面积dA的质量流量可表示为：
→ n θ → v
→
→
ρ( v·n )dA
→
→
ρ dA
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② 控制体净输出的质量流量
→ → 质量流量ρ ( v·n )dA 有正负之分。 ρ → v·n )dA>0 ； ( → 若为输出，则θ<90, → → 若为输入，则θ>90, ρ ( v·n )dA<0 。
+
控制体内的 质量变化率
=0
控制体净输出的质量流量
( v n)dA t CS

dV 0
CV
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4.2.2 质量守恒方程的常用表达形式
设A1，A2分别为控制面上流体的输入面和
输出面。由于输入面A1上ρ ( v·n )dA<0 。 ρ → v→ n )dA>0 。 ( · 输出面A2上 这里用
p0 0 RT0
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故 qm

2
r v
2 0 max
p0 RT0
5 2
1.4 10 0.025 32 2 287.06 277.8 0.0552kg / s
下面求储气罐和排气管 中空气密度对时间的变 化率。 取控制体如图中虚线所 示。
ρ0 p0 p v ρ

t+Δt 时刻 的系统边界
III I II
t 时刻的流线
固定的 控制体
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于是，在起始时刻t，系统的
m |t mI |t mII |t
在t+Δt时刻，系统的质量m|t+Δt则等于该时刻区域II和 区域III的质量之和，即
m |t t mII |t t mIII |t t
质量不变是系统的特点。
1
2
3
5
以系统为对象研究流体运动，就必须随时对系 统进行跟踪识别其边界，这在实际流动过程中显然 是很困难的。
工程上所关心的问题也不在于跟踪质量确定的
流体的运动，而在于确定的设备空间中流体的流动
行为。
所以在工程流体力学中，更多的是采用以控制
体为对象而不是以系统为对象的研究方法。
→ n
在流场中取一任意控 ρ 制体。设在微元面积dA 上，流体密度ρ，流体速 度矢量与微元面外法线单 → 位矢量n的夹角为θ。 微元面上流体的法向速度为： → → vcosθ=( v· ) n 流体流过dA单位面积的质量
θ
dA
→ v
任意时刻t 的流线
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ρ vcosθ =ρ ( v·n )
称为质量通量，其单位为kg/（m2s）。
4.1 概述
在研究流体运动的宏观行为时，既可在流场中 选定部分流体即系统为对象，也可以选择确定的
流场空间即控制体为对象。
2
4.1.1 系统与控制体
流体力学中既有区别又有联系的一对重要概念。
（1）系统
——是一团流体质点的集合，在运动中系统的
形状和位臵可以不断变化，而它所包含的流体质点
却始终不变。
3
1
(dmv/dt)系统= 输出控制体 输入控制体 控制体内的 — + 的动量流量 的动量流量 动量变化率 控制体净输出的动量流量
(dE/dt)系统=
输出控制体 控制体内的 输入控制体 — + 的能量流量 能量变化率 的能量流量
控制体净输出的能量流量
上述三式即为雷诺输运公式。
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4.2 质量守恒积分方程——连续性方程
A2
2
A1
v2 dA v1dA
A2 A1 R 2
v2
v1
r 2 vmax 2 (1 2 )rdr v1R R 0
1
2
vmax
2
R v1R
2
2
33
由于控制体内为不可压缩流体，则控 制体内总质量不随时间变化,即
t
则有
dV 0
由于通常情况下，控制面上总有流体输入面 和输出面两部分，所以将 ρ ( v·n )dA 沿整个控制面CS积分，即为
→ n θ → v
→ →
ρ dA
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控制 体净 输出 质量 流量
0, 输出大于输入 = ( v n )dA 0, 输出小于输入 0, 输出等于输入 CS
6
（2）控制体
——根据需要选择的具有确定位臵和体积形 状的流场空间。它是与欧拉方法相联系的概念。
控制体的表面称为控制面。在控制面上不仅可
以有力的作用和能量交换，而且还可以有质量的
交换。
7
图中，实线即为控制体。一般来说，控制体的 体积形状不变，但控制体内流体的质量是随时间而 变化的。
8
系统与控制体小结 系统 控制体
15
引入t+Δt时刻区域I的质量。于是上式得
(dm / dt)系统 mII |t t mIII |t t mI |t mII |t mI |t t mI |t t lim t 0 t (mII mI ) |t t (mII mI ) |t lim t 时刻的 t+Δt 时刻的 t 0 t 系统边界 系统边界 III mIII |t t mI |t t I II ( lim lim ) t 0 t 0 t t 固定的 t 时刻的流
2
3
上图示为一流道，t1时刻在位臵1选取一个系
统（虚线），在t2时刻这个系统运动到了位臵2，t3 时刻在位臵3。在运动中系统的形状和位臵都发生 了变化，但其所包含的流体质点却不变。
由于系统始终包含相同的流体质点，所 以系统是与拉格朗日方法相联系的概念。
4
系统以外的物质称为外界。
系统与外界的分界面称为边界。 系统可通过边界与外界发生力的作用 能量交换 不发生质量交换。
即输入与输出的体积流量相等。
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例题：不可压缩流体在半径为R的圆管内作层 流流动。已知进口截面1-1上速度均匀分布。 截面2-2上速度的分布为
1 2 r R z
r v2 vmax (1 2 ) R
1
2
v1
v2
2
vmax为截面2-2上的最大速度。试确定vmax与v1 之间的关系。
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解：取1-1、2-2截面之间的管段间为控制体。 截面1-1上： ( v n )dA
4 流体流动基本原理
主要内 容
系统与控制体
输运公式 质量守恒方程 动量守恒方程
能量守恒方程
动量矩守恒方程
1
流体流动过程必然遵循物质运动的基本原理: 质量守恒、动量守恒、能量守恒等。 本章采用控制体分析方法，建立流体流动系 统质量守恒、动量守恒、动量矩守恒和能量守恒 的积分方程，分析研究流体运动的宏观行为。
作用 于控 制体 输出控制体 输入控制体 控制体内的 系统 = 的动量流量 - 的动量流量 + 动量变化率 各力 矢量 之和
控制体净输出动量流量
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观察如图流场中的控 → → 制体。其中 F1 ， F2 表 示作用于控制体上的表面 → → 力。G 表示体积力。∑F 表示力的矢量和。
t 时刻的 系统边界
固定的 控制体
t 时刻 的流线
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起始时刻t，系统的边界与控制体表面相重合， 系统所占据的空间与控制体空间相重合。
在经过Δt的时间后，系统的边界移动到一个 新的位臵，所占据的空间变为区域II和区域III， 但控制体空间是固定不动的，仍然是区域I和区域 II。