高数总结

高数总结
公式总结：
1.函数定义域值域
Y=arcsinx [-1,1] [-π/2, π/2]
Y=arccosx [-1,1] [0, π]
Y=arctanx (-∞，+∞) （-π/2, π/2）
Y=arccotx (-∞，+∞) (0, π)
Y=shx (-∞，+∞) (-∞，+∞)奇函数，递增
Y=chx (-∞，+∞) [1, +∞)偶函数，(-∞，0)递减
Y=thx (-∞，+∞) (-1,1)奇函数，递增
Y=arshx (-∞，+∞) (-∞，+∞)奇函数，递增
Y=archx [1，+∞) [0，+∞)递增
Y=arthx (-1,1) 奇函数，递增
2.双曲函数和反双曲函数：
shx = [(e^x - e^(-x))/2, sh(x+y)=shxchy+chxshy
(shx) ' =chx sh(x-y)=shxchy-chxshy
chx = [(e^x + e^(-x)]/2 ch(x+y)=chxchy+shxshy
, (chx) ' =shx ch(x-y)=chxchy-shxshy
thx = shx / chx, (chx)^2-(shx)^2=1
(thx) ' = 1/(chx)^2 sh2x=2shxchx
arsh x = ln[ x+ (x^2+1)^(1/2) ] ch2x=(chx)^2+(shx)^2
, (arsh x) ' = 1/ (x^2+1)^(1/2)
arch x = ln[ x+ (x^2-1)^(1/2) ] ,
(arch x) ' = 1/ (x^2-1)^(1/2)
arth x =(1/2) [ ln(1+x)/(1-x) ],
(arth x) ' = 1/(1-x^2)
我只记得考了几个这里的公式，不过不记得是哪次考试了，所以就给你们写上咯
3.对于x趋近于∞，f(x)/g(x)的极限，f(x)和g(x)均为多项式时，分子分母同时除以其中x 的最高次项，利用x趋近于∞时，由1/(x^k)的极限为0（k>0）,可以求得结果。

4.极限存在准则：
夹逼准则:证明极限存在并求得极限
单调有界准则：仅用于证明极限存在，对于有递推式的数列比较常用。

一般都是先根据单调有界准则证明极限存在
P54例3 P55例5
5.两个重要极限：
（1）当x趋近于0时，sinx/x的极限等于1
（2）当x趋近于∞时，（1+1/x）^x的极限为e,也可以说当x趋近于0时，(1+x)^(1/x)的极限为e,但是不能说当x趋近于0时，（1+1/x）^x的极限为e.要求（1+在x趋近于∞或0时，该部分极限为0），指数部分为∞
6.无穷小的比较：
b/a的极限为0，则称b是比a高阶的无穷小，b=o(a)
b/a的极限为∞，则称b是比a低阶的无穷小
b/a的极限为常数，则为同阶无穷小，常数为1，为等价无穷小，记作a~b
b/a^k的极限为常数（k>0）,则称b是a的k阶无穷小
7.等价无穷小：
Sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~(1/2)x^2 ln(1+x)~x e^x-1~x a^x-1~xlna (1+x)^a-1~ax (1+ax)^b-1~abx tanx-x~(1/3)x^3 x-sinx~(1/6)x^3
log a(x+1)~x/lna
加减运算时不能用等价无穷小，乘除的时候可以。

如P61例5
8.函数的连续与间断：
函数f(x)在某点连续的充要条件为f(x)在该点处既左连续又右连续。

函数的各种间断点以及间断点的条件要记住。

我们上一年有考这种题。

P64-P68
9.函数在某点可导的充要条件为函数在该点的左右导数均存在且相等。

如果函数在某点可导，则它在该点处连续。

逆命题不成立。

10.熟记函数的求导法则：
P96-97初等函数的求导法则。

反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

会求复合函数的导数。

11.n阶导：
X ln(1+x)的n阶导=[(-1)^(n-1)](n-1)!/(1+x)^n
sinkx =(k^n)sin(kx+nπ/2)
coskx =(k^n)cos(kx+nπ/2)
1/x =[(-1)^n]n!/[x^(n+1)]
x^a =a(a-1)…(a-n+1)x^(a-n)
a^x =a^x(lna)^n
e^x =e^x
lnx =[(-1)^(n-1)](n-1)!/x^n
1/(ax+b) =[(-1)^n]n!a^n/[(ax+b)^(n+1)]
u(ax+b) =a^n(ax+b)u(n) u(n)为u的n阶导
cu(x) =cu(x)(n) u(x)(n)为u(x)的n阶导
u(x)+-v(x) =u(x)(n)+-v(x)(n) v(x)(n)为v(x)的n阶导
x^n =n! x^n的（n+1）阶导为0
至于莱布尼茨公式，我也不知道考不考，要是不放心还是背会吧，同情你们。

12.隐函数的导数：
求隐函数的导数时，只需将确定隐函数的方程两边对自变量x求导。

（1）对数求导法：注意x=e^(lnx)的化简
（2）参数方程表示的函数的导数：一阶导和二阶导的公式都要记住。

（3）极坐标表示的函数的导数：同参数都需把公式记住或者自己会推导。

（4）相关变化率：以应用题的形式出现，看一下书上的例题P111-112。

13.函数的微分：重要
熟记基本初等函数的微分公式，考试会考，而且同求导法则一样，在下学期的高数中可能会有用。

P117
应用题中，可用微分dA近似代替△A。

复合函数的微分：dy=f’(u)du
14.函数的线性化：
L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)称为f(x)在点x0处的线性化。

近似式f(x)≈L(x)称为f(x)在点x0处的标准线性近似，点x0称为该近似的中心。

常用函数在x=0处的标准线性近似公式：
（1+x）^(1/n)≈1+x/n
sinx~x(x为弧度)
tanx~x(x为弧度)
e^x~1+x
ln (1+x)~x
常用于估计某式的近似值。

15,误差计算：
P123表格
16.费马引理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

这些定理的条件以及结论均需记住，会考。

17.洛必达法则：
0/0型：当x趋近于a时，函数f(x)及g(x)都趋于0
在点a的某去心领域内，函数的导数均存在，且g’(x)不等于0
X趋近于a时，f’(x)/g’(x)存在或为无穷大
则有x趋近于a时，f(x)/g(x)的极限与f’(x)/g’(x)的极限相等∞/∞型：当x趋近于∞时，函数f(x)及g(x)都趋于0
对于充分大的|x|，函数的导数均存在，且g’(x)不等于0
X趋近于∞时，f’(x)/g’(x)存在或为无穷大
则有x趋近于∞时，f(x)/g(x)的极限与f’(x)/g’(x)的极限相等0*∞型：化为0/0或者∞/∞型来计算
∞-∞型：通分化为0/0型来计算
0^0,1^∞, ∞^0型：可先化为以e为底的指数函数，再求极限
X趋近于a时，lnf(x)的极限为A可化为
X趋近于a时，f(x)的极限等于e^(lnf(x))的极限等于e^(x趋近于a时，lnf(x)的极限)等于A。

P141
18.泰勒公式：
e^x=1+x+x^2/2!+…+x^n/n!+o(x^n)
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-…+[(-1)^n]x^(2n+1)/(2n+1)！+o(x^(2n+2))
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+…+[(-1)^n]x^(2n)/(2n)!+o(x^(2n+1))
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-…+[(-1)^(n-1)]x^n/n+o(x^n)
1/(1-x)=1+X+x^2+…+x^n+o(x^n)
(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+…+[m(m-1)…(m-n+1)/n!]x^n+o(x^n)
泰勒公式和麦克劳林公式的一般形式也要记住。

我们上一年有考过一题，不过不记得是啥题了。

19.补充一些关于三角函数的知识，可能会用到：
tan(x/2)=(1-cosx)/sinx
1+(tanx)^2=(secx)^2
1+(cotx)^2=(cscx)^2
和差化积公式：
sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
积化和差公式：
sinxcosy=1/2[sin(x+y)+sin(x-y)]
cosxsiny=1/2[sin(x+y)-sin(x-y)]
cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)]
sinxsiny=-1/2[cos(x+y)-cos(x-y)]
补充两个公式：
（1）x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+…+x+1]
（2）n^(1/n)-1=(n-1)/[1+n^(1/n)+n^(2/n)+…+n^((n-1)/n)] <(n-1)/[(1/2)(n-1)n^(1/2)]=2/[n^(1/2)]。