2015年高考数学七大知识点复习

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三角函数的概念 诱导公式(七大题型)(学生版)--2025年高考数学一轮复习

三角函数的概念 诱导公式(七大题型)(学生版)--2025年高考数学一轮复习

三角函数的概念 诱导公式(七大题型)目录:01任意角与弧度制02求弧长、扇形面积03求弧长、扇形面积的实际应用04三角函数的概念(求三角函数值及应用)05同角三角函数的基本关系06诱导公式07三角函数的概念诱导公式难点分析01任意角与弧度制1(2024高三·全国·专题练习)下列说法中正确的是()A.锐角是第一象限角B.终边相等的角必相等C.小于90°的角一定在第一象限D.第二象限角必大于第一象限角2(23-24高一上·湖南株洲·阶段练习)把5π4化成角度是()A.45°B.225°C.300°D.135°3(2023高三·全国·专题练习)与9π4终边相同的角的表达式中,正确的是()A.45°+2kπ,k∈ZB.k⋅360°+π4,k∈ZC.k⋅360°+315°,k∈ZD.2kπ-7π4,k∈Z4(2023高三·全国·专题练习)已知角α第二象限角,且cos α2=-cosα2,则角α2是() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角5(2014高三·全国·专题练习)集合αkπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()A. B.C. D.,B= 6(22-23高三上·贵州贵阳·期末)已知集合A=α 2kπ+π4≤α≤2kπ+π2,k∈Z,则()α kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈ZA.A⊆BB.B⊆AC.A=BD.A∩B=∅02求弧长、扇形面积7(23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习)已知扇形的周长为30cm,圆心角为3rad,则此扇形的面积为()A.9cm2B.27cm2C.48cm2D.54cm28(23-24高三下·浙江·开学考试)半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是()A.1B.2C.4D.89(22-23高一下·河北张家口·期中)如图,已知扇形的周长为6,当该扇形的面积取最大值时,弦长AB=()A.3sin1B.3sin2C.3sin1°D.3sin2°10(22-23高三下·上海宝山·阶段练习)如图所示,圆心为原点O的单位圆的上半圆周上,有一动点P x,y,点B是P关于原点O的对称点.分别连结PA、PB、AB,如此形成了三个区 (y>0).设A1,0域,标记如图所示.使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点P的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个03求弧长、扇形面积的实际应用11(23-24高三上·广东肇庆·阶段练习)“顺德眼”是华南地区首座双立柱全拉索设计的摩天轮总共设有36个等间距座舱,其中亲子座舱4个,每2个亲子座舱之间有8个普通座舱,摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动,质点运行轨迹为圆弧,运行距离为弧长,“顺德眼”在旋转过程中,座舱每秒运行约0.2米,转一周大约需要21分钟,则两个相邻的亲子座舱在运行一周的过程中,距离地面的高度差的最大值约为( )(参考数据:2π≈0.45,计算结果保留整数)A.40米B.50米C.57米D.63米12(23-24高三上·安徽·期中)扇子是引风用品,夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长,是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具,后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多,受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇,是用竹木做扇骨,用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形(如图2),若图2中∠ABC =θ,D ,E 分别在BA ,BC 上,AD =CE =m ,AC的长为l ,则该折扇的扇面ADEC 的面积为()图1 图2 A.m l -θ2B.m l -θm2C.m 2l -θ2D.m 2l -θm213(2024·湖南长沙·一模)“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法,它是我国古代科技史上的杰作,如图所示AB是以O 为圆心,OA 为半径的圆弧,C 是AB 的中点,D 在AB上,CD ⊥AB ,则AB的弧长的近似值s 的计算公式:s =AB +CD 2OA.利用上述公式解决如下问题:现有一自动伞在空中受人的体重影响,自然缓慢下降,伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧,若伞打开后绳长为6米,该圆弧所对的圆心角为60°,则伞的弧长大约为( )3≈1.7A.5.3米B.6.3米C.8.3米D.11.3米04三角函数的概念(求三角函数值及应用)14(23-24高三下·重庆渝中·阶段练习)已知角α的终边经过点P 1,2sin α ,则sin α的值不可能是() A.32B.0C.-32D.1215(2024·上海松江·二模)已知点A 的坐标为12,32 ,将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ,则点P 的坐标为.16(2024·全国·模拟预测)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的非负半轴.若P m ,2 是角θ终边上一点,且cos θ=-31010,则m =.17(2023高三·全国·专题练习)已知角α的终边经过点P -x ,-6 ,且cos α=-513,则1sin α+1tan α=.18(2024·四川成都·模拟预测)在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点P 3,4 ,则sin α+2cos αcos α-sin α=()A.11B.-10C.10D.-1119(2024·云南昆明·一模)已知角θ的顶点为坐标原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,点A (1,a )(a ∈Z )在角θ终边上,且OA ≤3,则tan θ的值可以是.(写一个即可)20(2024高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为原点O ,以x 轴的非负半轴为始边,终边经过点P (1,m )(m <0),则下列各式的值恒大于0的有( )个.①sin αtan α;②cos α-sin α;③sin αcos α;④sin α+cos α.A.0B.1C.2D.321(21-22高三下·河南许昌·开学考试)已知某质点从平面直角坐标系xOy 中的初始位置点A 4,0 ,沿以O 为圆心,4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到B 点,则B 点的坐标为()A.4cos ∠AOB ,4sin ∠AOBB.4sin ∠AOB ,4cos ∠AOBC.4cos ∠AOB ,4 sin ∠AOBD.4sin ∠AOB ,4 cos ∠AOB05同角三角函数的基本关系22(21-22高一上·安徽宿州·期末)已知cos α=-513,且α为第二象限角,则sin α=()A.-1213B.-513C.1213D.12523(21-22高一上·四川遂宁·期末)已知cos x 1-sin x =3,则1+sin xcos x=()A.3B.-3C.33D.-3324(2024·河南洛阳·模拟预测)已知tan α=2,则5sin α+cos a2sin α-cos α=()A.13B.113C.53D.225(2023·全国·高考真题)若θ∈0,π2 ,tan θ=12,则sin θ-cos θ=.26(22-23高三·全国·对口高考)已知角α的终边落在直线y =-3x (x <0)上,则|sin α|sin α-|cos α|cos α=.27(2024高一上·全国·专题练习)已知tan α=12,则sin 2α+sin αcos αcos 2α+1的值为.06诱导公式28(2024·全国·模拟预测)已知sin 5π8+α =13,则cos π8+α =()A.-13B.13C.-33D.3329(2024·全国·模拟预测)已知cos θ-2π5 =23,则2sin 19π10-θ +cos θ+13π5=()A.-2B.2C.-23D.2330(23-24高一上·江苏无锡·阶段练习)已知sin α+cos α=-12,则cos π2+α 1-tan -α 的值为()A.-34B.34C.-316D.31631(23-24高一下·湖南株洲·开学考试)已知sin π3-x =13,且0<x <π2,则tan 2π3+x =.32(2023高三·全国·专题练习)已知sin 3π+θ =13,则cos π+θ cos θcos π+θ -1+cos θ-2πsin θ-3π2 cos θ-π -sin 3π2+θ的值为.07三角函数的概念诱导公式难点分析33(23-24高一上·山西运城·期末)若α,β∈0,π2 ,且4sin 2α-sin 2β+23=0,则当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为()A.66B.306C.33D.2634(22-23高三上·山东枣庄·阶段练习)若0<θ<π,且点P cos θ,sin θ 与点Q cos θ+π6 ,sin θ+π6关于x 轴对称,则cos θ=.35(20-21高二上·贵州铜仁·阶段练习)已知sin 5θ-cos 5θ<3cos 3θ-sin 3θ 恒成立,则θ取值范围是.36(2022·上海黄浦·二模)设a ,b ∈R ,c ∈0,4π .若对任意实数x 都有sin 2x -π3=a sin bx +c ,则满足条件的有序实数组a ,b ,c 的组数为.一、单选题1(2023·安徽·模拟预测)已知角α终边上有一点P sin 2π3,cos 2π3,则π-α为()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2(2024·黑龙江·二模)已知角α的终边与单位圆的交点P 35,-45 ,则sin α-π2=()A.-45B.-35C.35D.453(2024·辽宁·三模)已知tan α=12,则sin α+π2 -cos 3π2-α cos -α -sin π-α=()A.-1 B.1 C.-3D.34(2023·海南·模拟预测)若α∈0,π ,且cos α-sin α=12,则tan α=()A.4+75B.4-75C.4+73D.4-735(2024·全国·模拟预测)石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕.源远流长的砖雕,由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来,明清时代进入巅峰,形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派.苏派砖雕被称为“南方之秀”,是南方地区砖雕艺术的典型代表,被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中.图(1)是一个梅花砖雕,其正面是一个扇环ABCD ,如图(2),砖雕厚度为6cm ,AD =80cm ,CD=3AB,CD所对的圆心角为直角,则该梅花砖雕的表面积为(单位:cm 2)()A.3200πB.480π+960C.6880π+960D.3680π+9606(2023·贵州遵义·三模)已知a =sin0.1,b =10-1,c =tan0.1,则()A.c >b >aB.b >c >aC.b >a >cD.a >c >b7(2023·山西·模拟预测)已知α,β,γ均是锐角,设sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α的最大值为tan θ,则sin θsin θ+cos θ =()A.3B.1513C.1D.5138(2024·浙江·二模)古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数cot θ=1tan θ,正割函数sec θ=1cos θ,余割函数csc θ=1sin θ,正矢函数ver sin θ=1-cos θ,余矢函数ver cos θ=1-sin θ.如图角θ始边为x 轴的非负半轴,其终边与单位圆交点P ,A 、B 分别是单位圆与x 轴和y 轴正半轴的交点,过点P 作PM 垂直x 轴,作PN 垂直y 轴,垂足分别为M 、N ,过点A 作x 轴的垂线,过点B 作y 轴的垂线分别交θ的终边于T 、S ,其中AM、PS、BS、NB为有向线段,下列表示正确的是()A.ver sinθ=AMB.cscθ=PSC.cotθ=BSD.secθ=NB二、多选题9(2023·贵州遵义·模拟预测)下列说法正确的是()A.若sinα=sinβ,则α与β是终边相同的角B.若角α的终边过点P3k,4kk≠0,则sinα=4 5C.若扇形的周长为3,半径为1,则其圆心角的大小为1弧度D.若sinα⋅cosα>0,则角α的终边在第一象限或第三象限10(2023·辽宁·模拟预测)设α为第一象限角,cosα-π8=13,则()A.sin5π8-α=-13 B.cosα+7π8=-13C.sin13π8-α=-223 D.tanπ8-α=-2211(2024·全国·模拟预测)质点A和B在以坐标原点O为圆心,半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动,同时出发,A的起点在射线y=3x x≥0和圆O的交点处,A的角速度为2rad/s,B的起点为圆O与x轴正半轴的交点,B的角速度为3rad/s,则下列说法正确的是()A.在1s末时,点A的坐标为cos2,sin2B.在2s 末时,点B的坐标为cos6,-sin6C.在2s末时,劣弧AB的长为2-π3D.当A与B重合时,点A的坐标可以为-1,0三、填空题12(2023·江苏苏州·模拟预测)已知x∈(0,π),若sin x1-cos x=3,则1+cos xsin x=.13(2023·四川成都·一模)函数f x =tanπ32x-1,x>012x,x≤0,则f f-3=.14(2023·江西景德镇·三模)已知直线x=a0<a<π2与函数f x =sin x和函数g x =cos x的图象分别交于P,Q两点,若PQ=14,则线段PQ中点的纵坐标为.。

高三数学第一轮复习知识点

高三数学第一轮复习知识点

高三数学第一轮复习知识点:不管是文科数学依旧理科数学,差不多上难倒高考生的一门学科。

如何学好高考数学,在高考中不拖后腿?进入精品高中频道把握2021年高三数学第一轮复习知识点,我们还为您提供复习技巧及资料,助您考好数学。

第一:高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

要紧是考函数和导数,这是我们整个高中时期里最核心的板块,在那个板块里,重点考察两个方面:第一个函数的性质,包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题,重点考察的是二次函数和高次函数,分函数和它的一些分布问题,然而那个分布重点还包含两个分析确实是二次方程的分布的问题,这是第一个板块。

第二:平面向量和三角函数。

重点考察三个方面:一个是划减与求值,第一,重点把握公式,重点把握五组差不多公式。

第二,是三角函数的图像和性质,那个地点重点把握正弦函数和余弦函数的性质,第三,正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三:数列。

数列那个板块,重点考两个方面:一个通项;一个是求和。

第四:空间向量和立体几何。

在里面重点考察两个方面:一个是证明;一个是运算。

第五:概率和统计。

这一板块要紧是属于数学应用问题的范畴,因此应该把握下面几个方面,第一等可能的概率,第二事件,第三是独立事件,还有独立重复事件发生的概率。

第六:解析几何。

这是我们比较头疼的问题,是整个试卷里难度比较大,运算量最高的题,因此这一类题,我总结下面五类常考的题型,包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系,这是考试最多的内容。

考生应该把握它的通法,第二类我们所讲的动点问题,第三类是弦长问题,第四类是对称问题,这也是2 021年高考差不多考过的一点,第五类重点问题,这类题时往往觉得有思路,然而没有答案,因此那个地点我相等的是,这道题尽管运算量专门大,然而造成运算量大的缘故,往往有那个缘故,我们所选方法不是专门恰当,因此,在这一章里我们要把握比较好的算法,来提高我们做题的准确度,这是我们所讲的第六大板块。

2015年中考复习诀窍:重视常用数学公式技巧

2015年中考复习诀窍:重视常用数学公式技巧

2015年中考复习诀窍:重视常用数学公式技巧郁南县龙塘初级中学九年级数学科教师编写数学,是一门贯穿整个学生生涯的重要科目,也是学好理科的重要基础。

现在很多学生都出现偏科的严重问题,而导致自身成绩的两级分化。

如果想要拿下好成绩,数学这一科绝不能忽视。

如何学好数学?要学会构建知识网络。

做好一定数量的数学习题练习,积累解题经验、总结解题思路、形成解题思想、催生解题灵感、掌握学习方法。

下面,分享数学复习需重视的七大问题。

一、重视构建知识网络——宏观把握数学框架要学会构建知识网络,数学概念是构建知识网络的出发点,也是数学中考考查的重点。

因此,我们要掌握好代数中的数、式、不等式、方程、函数、三角比、统计和几何中的平行线、三角形、四边形、圆的概念、分类,定义、性质和判定,并会应用这些概念去解决一些问题。

夯实数学双基——微观掌握知识技能在复习过程中夯实数学基础,要注意知识的不断深化,注意知识之间的内在联系和关系,将新知识及时纳入已有知识体系,逐步形成和扩充知识结构系统,这样在解题时,就能由题目所提供的信息,从记忆系统中检索出有关信息,选出最佳组合信息,寻找解题途径、优化解题过程。

三、重视强化题组训练——感悟数学思二、重视想方法除了做基础训练题、平面几何每日一题外,还可以做一些综合题,并且养成解题后反思的习惯。

反思自己的思维过程,反思知识点和解题技巧,反思多种解法的优劣,反思各种方法的纵横联系。

而总结出它所用到的数学思想方法,并把思想方法相近的题目编成一组,不断提炼、不断深化,做到举一反三、触类旁通。

逐步学会观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法,主动地发现问题和提出问题。

四、重视建立“病例档案”——做到万无一失准备一本数学学习“病例卡”,把平时犯的错误记下来,找出“病因”开出“处方”,并且经常地拿出来看看、想想错在哪里,为什么会错,怎么改正,这样到中考时你的数学就没有什么“病例”了。

我们要在教师的指导下做一定数量的数学习题,积累解题经验、总结解题思路、形成解题思想、催生解题灵感、掌握学习方法。

高考数学一轮复习重要知识点

高考数学一轮复习重要知识点

2019届高考数学一轮复习重要知识点高考数学第一轮复习时大家一定要掌握好每个知识点,查字典数学网高考频道小编汇总了2019届高考数学一轮复习重要知识点,更多高考数学复习资料继续关注我们!第一:高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数,这是我们整个高中阶段里最核心的板块,在这个板块里,重点考察两个方面:第一个函数的性质,包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题,重点考察的是二次函数和高次函数,分函数和它的一些分布问题,但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题,这是第一个板块。

第二:平面向量和三角函数。

重点考察三个方面:一个是划减与求值,第一,重点掌握公式,重点掌握五组基本公式。

第二,是三角函数的图像和性质,这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质,第三,正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三:数列。

数列这个板块,重点考两个方面:一个通项;一个是求和。

第四:空间向量和立体几何。

在里面重点考察两个方面:一个是证明;一个是计算。

第五:概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴,当然应该掌握下面几个方面,第一等可能的概率,第二事件,第三是独立事件,还有独立重复事件发生的概率。

第六:解析几何。

这是我们比较头疼的问题,是整个试卷里难度比较大,计算量最高的题,当然这一类题,我总结下面五类常考的题型,包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系,这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法,第二类我们所讲的动点问题,第三类是弦长问题,第四类是对称问题,这也是2019年高考(微博)已经考过的一点,第五类重点问题,这类题时往往觉得有思路,但是没有答案,当然这里我相等的是,这道题尽管计算量很大,但是造成计算量大的原因,往往有这个原因,我们所选方法不是很恰当,因此,在这一章里我们要掌握比较好的算法,来提高我们做题的准确度,这是我们所讲的第六大板块。

第七:押轴题。

高考数学复习要处理好七大关系

高考数学复习要处理好七大关系

2019年高考数学复习要处理好七大关系关注立体几何的变更传统教材与新课程标准在处理立体几何上有着明显的区分,所以如何进行立体几何的备考争议最多、迷茫最多,而这些焦点集中反映在点、线、面的位置关系上。

首先我们要留意新旧教材的差异:(1)传统教材侧重于空间点、线、面的关系以及有关的定理公理和相应的推理证明。

新课程标准将上述内容进行淡化,对实力的要求变为“直观感知、操作确认、思辨论证”,“能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简洁命题”。

也就是说,新课程标准降低了推理与证明,将简洁论证与数值计算有机结合在一起是考查的重点。

(2)文科数学在必修2中学习了空间直角坐标系,这可以认为是更倾向于立体几何的数值运算,而且是采纳代数(建立空间直角坐标系)方法计算一些几何量(点到点的距离)。

在2019年的立体几何备考中应当留意以下几点:①空间的点、线、面的位置关系要把握好尺度,重点在基本的线面平行与垂直上,不应当学习向量方法。

②立体几何也有创新,广东2019年将立体几何与函数结合在一起、2019年体现三角函数在立体几何有关数值运算中的作用都是很好的尝试。

复习时要处理好的几个关系1.基础与提高的关系高考(论坛)数学复习时,起点要适当降低,以符合自己的实际水平为主。

回来基础学问,找到自己的不足,制订进一步训练的支配。

对学问点进行拾遗补缺也是一种提高。

提倡打算“错题本”,将每次训练的错误登记在册,时常提示自己。

回来教材复习的时候,要比照课本书目(资料书目)回忆和梳理学问,在自己头脑中应形成明晰的学问体系。

对基本方法和技巧不能回忆出的,要刚好补上。

把重点放在驾驭例题涵盖的学问以及解题方法上,选择一些针对性强的题目进行强化训练。

2.全面复习与重点复习的关系在全面复习的基础上,针对自己的特点多做一些重点练习。

首先是自己的弱点、软肋,其次是高考的主干内容,最好设立专题进行专项复习,可以把所做的试卷中的相关问题集中起来进行复习和整理,从中归纳和总结出基本的题型和方法。

不等式恒成立、能成立问题【七大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习

不等式恒成立、能成立问题【七大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习

不等式恒成立、能成立问题【七大题型】【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 (2)【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 (3)【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 (5)【题型4 基本不等式求解恒成立问题】 (7)【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】 (10)【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】 (11)【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】 (13)1、不等式恒成立、能成立问题一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看,“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内容,这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来,其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面,在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维能力都起到很好的作用.【知识点1 不等式恒成立、能成立问题】1.一元二次不等式恒成立、能成立问题不等式对任意实数x恒成立,就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式ax2+bx+c>0,它的解集为R的条件为{a>0,Δ=b2-4ac<0;一元二次不等式ax2+bx+c≥0,它的解集为R的条件为{a>0,Δ=b2-4ac≤0;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅的条件为{a<0,Δ≤0.2.一元二次不等式恒成立问题的求解方法(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种,一是在全集R上恒成立,二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.①若ax2+bx+c>0恒成立,则有a>0,且△<0;若ax2+bx+c<0恒成立,则有a<0,且△<0.②对第二种情况,要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).3.给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数;一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数;即把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.4.常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理,具体如下:(1)对任意的x∈[m,n],a>f(x)恒成立a>f(x)max;若存在x∈[m,n],a>f(x)有解a>f(x)min;若对任意x∈[m,n],a>f(x)无解a≤f(x)min.(2)对任意的x∈[m,n],a<f(x)恒成立a<f(x)min;若存在x∈[m,n],a<f(x)有解a<f(x)max;若对任意x∈[m,n],a<f(x)无解a≥f(x)max.【例1】(2023·福建厦门·二模)“b∈(0,4)”是“∀x∈R,bx2―bx+1>0成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】由∀x∈R,bx2―bx+1>0成立求出b的范围,再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解答过程】由∀x∈R,bx2―bx+1>0成立,则当b=0时,1>0恒成立,即b=0,当b≠0时,b>0b2―4b<0,解得0<b<4,因此∀x∈R,bx2―bx+1>0成立时,0≤b<4,因为(0,4)￿[0,4),所以“b∈(0,4)”是“∀x∈R,bx2―bx+1>0成立”的充分不必要条件.故选:A.【变式1-1】(2023·江西九江·模拟预测)无论x取何值时,不等式x2―2kx+4>0恒成立,则k的取值范围是()A.(―∞,―2)B.(―∞,―4)C.(―4,4)D.(―2,2)【解题思路】由题知4k2―16<0,再解不等式即可得答案.【解答过程】解:因为无论x取何值时,不等式x2―2kx+4>0恒成立,所以,4k2―16<0,解得―2<k<2,所以,k的取值范围是(―2,2)故选:D.【变式1-2】(2023·福建厦门·二模)不等式ax2―2x+1>0(a∈R)恒成立的一个充分不必要条件是()A.a>2B.a≥1C.a>1D.0<a<12【解题思路】分a=0和a≠0两种情况讨论求出a的范围,再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】当a=0时,―2x+1>0,得x<12,与题意矛盾,当a≠0时,则a>0Δ=4―4a<0,解得a>1,综上所述,a>1,所以不等式ax2―2x+1>0(a∈R)恒成立的一个充分不必要条件是A选项.故选:A.【变式1-3】(2023·四川德阳·模拟预测)已知p:0≤a≤2,q:任意x∈R,ax2―ax+1≥0,则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式恒成立解得q:0≤a≤4,结合充分、必要条件的概念即可求解.【解答过程】命题q:一元二次不等式ax2―ax+1≥0对一切实数x都成立,当a=0时,1>0,符合题意;当a≠0时,有a>0Δ≤0,即a>0a2―4a≤0,解为a∈(0,4],∴q:0≤a≤4.又p:0≤a≤2,设A=[0,2],B=[0,4],则A是B的真子集,所以p是q成立的充分非必要条件,故选:A.【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】【例2】(2023·辽宁鞍山·二模)已知当x >0时,不等式:x 2―mx +16>0恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .(―8,8)B .(―∞,8]C .(―∞,8)D .(8,+∞)【解题思路】先由x 2―mx +16>0得m <x +16x,由基本不等式得x +16x≥8,故m <8.【解答过程】当x >0时,由x 2―mx +16>0得m <x +16x,因x >0,故x +16x≥=8,当且仅当x =16x即x =4时等号成立,因当x >0时,m <x +16x恒成立,得m <8,故选:C.【变式2-1】(23-24高一上·贵州铜仁·期末)当x ∈(―1,1)时,不等式2kx 2―kx ―38<0恒成立,则k 的取值范围是( )A .(―3,0)B .[―3,0)C .―D .―【解题思路】对二项式系数进行分类,结合二次函数定义的性质,列出关系式求解.【解答过程】当x ∈(―1,1)时,不等式2kx 2―kx ―38<0恒成立,当k =0时,满足不等式恒成立;当k ≠0时,令f (x )=2kx 2―kx ―38,则f (x )<0在(―1,1)上恒成立,函数f (x )的图像抛物线对称轴为x =14,k >0时,f (x )在―,1上单调递增,则有f (―1)=2k +k ―38≤0f (1)=2k ―k ―38≤0,解得0<k ≤18;k <0时,f (x )在―,1上单调递减,则有=2k 16―k 4―38<0,解得―3<k <0.综上可知,k的取值范围是―故选:D.【变式2-2】(23-24高一上·江苏徐州·阶段练习)若对于任意x ∈[m,m +1],都有x 2+mx ―1<0成立,则实数m 的取值范围是( )A .―23,0B .―,0C .―23,0D .,0【解题思路】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【解答过程】由题意,对于∀x ∈[m,m +1]都有f(x)=x 2+mx ―1<0成立,∴f (m )=m 2+m 2―1<0f (m +1)=(m +1)2+m (m +1)―1<0,解得:―<m <0,即实数m 的取值范围是―,0.故选:B.【变式2-3】(22-23高一上·安徽马鞍山·期末)已知对一切x ∈[2,3],y ∈[3,6],不等式mx 2―xy +y 2≥0恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .m ≤6B .―6≤m ≤0C .m ≥0D .0≤m ≤6【解题思路】令t =yx ,分析可得原题意等价于对一切t ∈[1,3],m ≥t ―t 2恒成立,根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.【解答过程】∵x ∈[2,3],y ∈[3,6],则1x ∈[13,12],∴yx ∈[1,3],又∵mx 2―xy +y 2≥0,且x ∈[2,3],x 2>0,可得m ≥y x―,令t =yx ∈[1,3],则原题意等价于对一切t ∈[1,3],m ≥t ―t 2恒成立,∵y =t ―t 2的开口向下,对称轴t =12,则当t =1时,y =t ―t 2取到最大值y max =1―12=0,故实数m 的取值范围是m ≥0.故选:C.【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】(23-24高一上·山东淄博·阶段练习)若命题“∃―1≤a ≤3,ax 2―(2a ―1)x +3―a <0”为假命题,则实数x 的取值范围为( )A .{x |―1≤x ≤4 }B .x |0≤xC .x |―1≤x ≤0或53≤x ≤4D .x |―1≤x <0或53<x ≤4【解题思路】由题意可得:命题“∀―1≤a ≤3,ax 2―(2a ―1)x +3―a ≥0”为真命题,根据恒成立问题结合一次函数运算求解.【解答过程】由题意可得:命题“∀―1≤a ≤3,ax 2―(2a ―1)x +3―a ≥0”为真命题,即ax 2―(2a ―1)x +3―a =(x 2―2x ―1)a +x +3≥0对a ∈[―1,3]恒成立,则―(x 2―2x ―1)+x +3≥03(x 2―2x ―1)+x +3≥0,解得―1≤x ≤0或53≤x ≤4,即实数x 的取值范围为x |―1≤x ≤0或53≤x ≤4.故选:C.【变式3-1】(23-24高一上·广东深圳·阶段练习)当1≤m ≤2时,mx 2―mx ―1<0恒成立,则实数x 的取值范围是( )A<x <B<x <C <x<D <x <【解题思路】将不等式整理成关于m 的一次函数,利用一次函数性质解不等式即可求得结果.【解答过程】根据题意可将不等式整理成关于m 的一次函数(x 2―x )m ―1<0,由一次函数性质可知(x 2―x )×1―1<0(x 2―x )×2―1<0 ,即x 2―x ―1<02x 2―2x ―1<0;<x <<x <<x <故选:B.【变式3-2】(23-24高一下·河南濮阳·期中)已知当―1≤a ≤1时,x 2+(a ―4)x +4―2a >0恒成立,则实数x 的取值范围是( )A .(―∞,3)B .(―∞,1]∪[3,+∞)C .(―∞,1)D .(―∞,1)∪(3,+∞)【解题思路】将x2+(a―4)x+4―2a>0化为(x―2)a+x2―4x+4>0,将a看成主元,令f(a)=(x―2) a+x2―4x+4,分x=2,x>2和x<2三种情况讨论,从而可得出答案.【解答过程】解:x2+(a―4)x+4―2a>0恒成立,即(x―2)a+x2―4x+4>0,对任意得a∈[―1,1]恒成立,令f(a)=(x―2)a+x2―4x+4,a∈[―1,1],当x=2时,f(a)=0,不符题意,故x≠2,当x>2时,函数f(a)在a∈[―1,1]上递增,则f(a)min=f(―1)=―x+2+x2―4x+4>0,解得x>3或x<2(舍去),当x<2时,函数f(a)在a∈[―1,1]上递减,则f(a)min=f(1)=x―2+x2―4x+4>0,解得x<1或x>2(舍去),综上所述,实数x的取值范围是(―∞,1)∪(3,+∞).故选:D.【变式3-3】(2008·宁夏·高考真题)已知a1>a2>a3>0,则使得(1―a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范围是( )A.B.0,C.D.(a i>0),【解题思路】由(1―a i x)2<1可求得0<x<2a i【解答过程】由(1―a i x)2<1,得:1―2a i x+a2i x2<1,(a i>0),即x(a2i x―2a i)<0,解之得0<x<2a i因为a1>a2>a3>0,使得(1―a i x)2<1(i=1,2,3)都成立,;所以0<x<2a1故选:B.【题型4 基本不等式求解恒成立问题】【例4】(23-24高一下·贵州贵阳·期中)对任意的x∈(0,+∞),x2―2mx+1>0恒成立,则m的取值范围为()A.[1,+∞)B.(―1,1)C.(―∞,1]D.(―∞,1)【解题思路】参变分离可得2m <x +1x 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立,利用基本不等式求出x +1x 的最小值,即可求出参数的取值范围.【解答过程】因为对任意的x ∈(0,+∞),x 2―2mx +1>0恒成立,所以对任意的x ∈(0,+∞),2m <x 2+1x=x +1x 恒成立,又x +1x ≥=2,当且仅当x =1x ,即x =1时取等号,所以2m <2,解得m <1,即m 的取值范围为(―∞,1).故选:D.【变式4-1】(22-23高三上·河南·期末)已知a >0,b ∈R ,若x >0时,关于x 的不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0恒成立,则b +4a 的最小值为( )A .2B .C .D .【解题思路】根据题意设y =ax ―2,y =x 2+bx ―5,由一次函数以及不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0分析得x =2a 时,y =x 2+bx ―5=0,变形后代入b +4a ,然后利用基本不等式求解.【解答过程】设y =ax ―2(x >0),y =x 2+bx ―5(x >0),因为a >0,所以当0<x <2a 时,y =ax ―2<0;当x =2a 时,y =ax ―2=0;当x >2a 时,y =ax ―2>0;由不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0恒成立,得:ax ―2≤0x 2+bx ―5≤0 或ax ―2≥0x 2+bx ―5≥0 ,即当0<x ≤2a 时,x 2+bx ―5≤0恒成立,当x ≥2a 时,x 2+bx ―5≥0恒成立,所以当x =2a 时,y =x 2+bx ―5=0,则4a 2+2b a―5=0,即b =5a 2―2a ,则当a >0时,b +4a =5a 2―2a +4a =5a 2+2a ≥=当且仅当5a2=2a ,即a =所以b +4a 的最小值为故选:B.【变式4-2】(23-24高三上·山东威海·期中)关于x 的不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞),则实数a 的取值范围为( )A +∞B .―∞C .―D .―∞,∪+∞【解题思路】不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞),即对于∀x ∈R ,ax 2―|x|+2a ≥0恒成立,即a ≥|x |x 2+2,分x =0和a ≠0两种情况讨论,结合基本不等式即可得出答案.【解答过程】解:不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞),即对于∀x ∈R ,ax 2―|x|+2a ≥0恒成立,即a ≥|x |x 2+2,当x =0时,a ≥0,当a ≠0时,a ≥|x |x 2+2=1|x |+2|x |,因为1|x |+2|x |≤=所以a ≥综上所述a ∈+∞.故选:A.【变式4-3】(23-24高一上·湖北·阶段练习)已知x >0,y >0,且1x+2+1y =27,若x +2+y >m 2+5m 恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .(―4,7)B .(―2,7)C .(―4,2)D .(―7,2)【解题思路】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧最小值,结合x +2+y >m 2+5m 恒成立得到不等式,解一元二次不等式求参数范围【解答过程】因为x >0,y >0,且1x+2+1y =27,所以x +2+y =72×(x +2+y =72×1+1+y x+2+≥72×2+=14,当且仅当y =x +2=7时取等号,又因为x +2+y >m 2+5m 恒成立,所以14>m 2+5m ,解得―7<m <2.所以实数m的取值范围是(―7,2).故选:D.【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】【例5】(2024·陕西宝鸡·模拟预测)若存在实数x,使得mx2―(m―2)x+m<0成立,则实数m的取值范围为()A.(―∞,2)B.(―∞,0]∪C.―∞D.(―∞,1)【解题思路】分别在m=0、m>0和m<0的情况下,结合二次函数的性质讨论得到结果.【解答过程】①当m=0时,不等式化为2x<0,解得:x<0,符合题意;②当m>0时,y=mx2―(m―2)x+m为开口方向向上的二次函数,;只需Δ=(m―2)2―4m2=―3m2―4m+4>0,即0<m<23③当m<0时,y=mx2―(m―2)x+m为开口方向向下的二次函数,则必存在实数x,使得mx2―(m―2)x+m<0成立;综上所述:实数m的取值范围为―∞故选:C.【变式5-1】(22-23高一上··阶段练习)若关于x的不等式x2―4x―2―a≤0有解,则实数a 的取值范围是()A.{a|a≥―2 }B.{a|a≤―2 }C.{a|a≥―6 }D.{a|a≤―6 }【解题思路】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.【解答过程】若关于x的不等式x2―4x―2―a≤0有解,则Δ=16+4(2+a)≥0,解得a≥―6.故选:C.【变式5-2】(23-24高一上·山东临沂·阶段练习)若不等式―x2+ax―1>0有解,则实数a的取值范围为()A.a<―2或a>2B.―2<a<2C.a≠±2D.1<a<3【解题思路】根据一元二次不等式有实数解的充要条件列式求解作答.【解答过程】不等式―x2+ax―1>0有解,即不等式x2―ax+1<0有解,因此Δ=a2―4>0,解得a<―2或a>2,所以实数a的取值范围为a<―2或a>2.故选:A.【变式5-3】(23-24高一上·江苏徐州·期中)已知关于x的不等式―x2+4x≥a2―3a在R上有解,则实数a 的取值范围是()A.{a|―1≤a≤4 }B.{a|―1<a<4 }C.{a|a≥4 或a≤―1}D.{a|―4≤a≤1 }【解题思路】由题意知x2―4x+a2―3a≤0在R上有解,等价于Δ≥0,解不等式即可求实数a的取值范围.【解答过程】因为关于x的不等式―x2+4x≥a2―3a在R上有解,即x2―4x+a2―3a≤0在R上有解,只需y=x2―4x+a2―3a的图象与x轴有公共点,所以Δ=(―4)2―4×(a2―3a)≥0,即a2―3a―4≤0,所以(a―4)(a+1)≤0,解得:―1≤a≤4,所以实数a的取值范围是{a|―1≤a≤4 },故选:A.【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】【例6】(2023·福建宁德·模拟预测)命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥1B.a≥4C.a≥―2D.a≤4【解题思路】根据能成立问题求a的取值范围,结合充分不必要条件理解判断.【解答过程】∵∃x∈[1,2],x2≤a,则(x2)min≤a,即a≥1,∴a的取值范围[1,+∞)由题意可得:选项中的取值范围对应的集合应为[1,+∞)的真子集,结合选项可知B对应的集合为[4,+∞)为[1,+∞)的真子集,其它都不符合,∴符合的只有B,故选:B.【变式6-1】(22-23高二上·河南·开学考试)设a为实数,若关于x的不等式x2―ax+7≥0在区间(2,7)上有实数解,则a的取值范围是()A.(―∞,8)B.(―∞,8]C.(―∞D.―∞【解题思路】参变分离,再根据对勾函数的性质,结合能成立问题求最值即可.【解答过程】由题意,因为x ∈(2,7),故a ≤x +7x 在区间(2,7)上有实数解,则a <x +,又g (x )=x +7x在上单调递减,在上单调递增,且g (2)=2+72=112,g (7)=7+77=8>g (2),故x +<8.故a ≤x +7x 在区间(2,7)上有实数解则a <8.故选:A.【变式6-2】(23-24高一上·福建·期中)若至少存在一个x <0,使得关于x 的不等式3―|3x ―a |>x 2+2x 成立,则实数a 的取值范围是( )A .―374,3B .―C .―374D .(―3,3)【解题思路】化简不等式3―|3x ―a |>x 2+2x ,根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析,从而求得a 的取值范围.【解答过程】依题意,至少存在一个x <0,使得关于x 的不等式3―|3x ―a |>x 2+2x 成立,即至少存在一个x <0,使得关于x 的不等式―x 2―2x +3>|3x ―a |成立,画出y =―x 2―2x +3(x <0)以及y =|3x ―a |的图象如下图所示,其中―x 2―2x +3>0.当y =3x ―a 与y =―x 2―2x +3(x <0)相切时,由y =3x ―ay =―x 2―2x +3消去y 并化简得x 2+5x ―a ―3=0,Δ=25+4a +12=0,a =―374.当y =―3x +a 与y =―x 2―2x +3(x <0)相切时,由y =―3x +ay =―x 2―2x +3消去y 并化简得x 2―x +a ―3=0①,由Δ=1―4a +12=0解得a =134,代入①得x 2―x +14=x=0,解得x =12,不符合题意.当y =―3x +a 过(0,3)时,a =3.结合图象可知a 的取值范围是―374,3.故选:A.【变式6-3】(22-23高一上·江苏宿迁·期末)若命题“∀x 0∈(0,+∞),使得x 20+ax 0+a +3≥0”为假命题,则实数a 的取值范围是( )A .(―∞,―2),(6,+∞)B .(―∞,―2)C .[―2,6]D .[2+【解题思路】根据题意可知“∃x 0∈(0,+∞),使得x 20+ax 0+a +3<0”为真命题,然后参变分离,将问题转化为最值问题,利用基本不等式可解.【解答过程】因为“∀x 0∈(0,+∞),使得x 20+ax 0+a +3≥0”为假命题,所以“∃x 0∈(0,+∞),使得x 20+ax 0+a +3<0”为真命题,即a <―x 20+3x 0+1在(0,+∞)内有解,即a <―.因为―x 20+3x 0+1=―(x 0+1)2―2(x 0+1)+4x 0+1=―x 0+1―2≤―2,当且仅当x 0=1时等号成立,所以=―2,所以实数a 的取值范围为(―∞,―2).故选:B.【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】【例7】(23-24高一上·山东潍坊·阶段练习)已知关于x 的不等式2x ―1>m(x 2―1).(1)是否存在实数m ,使不等式对任意x ∈R 恒成立,并说明理由;(2)若不等式对于m ∈[―2,2]恒成立,求实数x 的取值范围;(3)若不等式对x ∈[2,+∞)有解,求m 的取值范围.【解题思路】将2x ―1>m(x 2―1)转化为mx 2―2x +(1―m)<0,(1)讨论m =0和m ≠0时的情况;(2)f(m)=(x 2―1)m ―(2x ―1),显然该函数单调,所以只需f(2)<0f(―2)<0即可.(3)讨论当m =0时,当m <0时,当m >0时,如何对x ∈[2,+∞)有解,其中m <0,m >0,均为一元二次不等式,结合一元二次函数图象求解即可.【解答过程】(1)原不等式等价于mx2―2x+(1―m)<0,当m=0时,―2x+1<0,即x>12,不恒成立;当m≠0时,若不等式对于任意实数x恒成立,则m<0且Δ=4―4m(1―m)<0,无解;综上,不存在实数m,使不等式恒成立.(2)设f(m)=(x2―1)m―(2x―1),当m∈[―2,2]时,f(m)<0恒成立,当且仅当f(2)<0f(―2)<0,即2x2―2x―1<0―2x2―2x+3<0,解得<x<x<x><x<所以x的取值范围是.(3)若不等式对x∈[2,+∞)有解,等价于x∈[2,+∞)时,mx2―2x―m)<0有解.令g(x)=mx2―2x+(1―m),当m=0时,―2x+1<0即x>12,此时显然在x∈[2,+∞)有解;当m<0时,x∈[2,+∞)时,结合一元二次函数图象,mx2―2x+(1―m)<0显然有解;当m>0时,y=g(x)对称轴为x=1m,Δ=4―4m(1―m)=4m2―4m+4=(2m―1)2+3>0,∵x∈[2,+∞)时,mx2―2x+(1―m)<0有解,∴结合一元二次函数图象,易得:g(2)<0或g(2)≥01m>2,解得m<1或m≥1m<12(无解),又∵m>0,∴0<m<1;综上所述,m的取值范围为(―∞,1).【变式7-1】(23-24高一上·江苏扬州·阶段练习)设函数y=ax2―(2a+3)x+6,a∈R.(1)若y+2>0恒成立,求实数a的取值范围:(2)当a=1时,∀t>―2,关于x的不等式y≤―3x+3+m在[―2,t]有解,求实数m的取值范围.【解题思路】(1)利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解;(2)根据已知条件及二次函数的性质即可求解.【解答过程】(1)y+2>0恒成立,即ax2―(2a+3)x+8>0恒成立,当a=0时,―3x+8>0,解得x<83,舍去;当a≠0时,a>04a2―20a+9<0,解得12<a<92所以实数a(2)当a=1时,∀t>―2,关于x的不等式y≤―3x+3+m在[―2,t]有解,则―2是x2―2x+3―m≤0的解,因为抛物线y=x2―2x+3开口向上,对称轴x=1,所以11―m≤0,解得m≥11,所以m的取值范围为[11,+∞).【变式7-2】(23-24高一上·浙江台州·期中)已知函数f(x)=2x2―ax+a2―4,g(x)=x2―x+a2―314,(a∈R)(1)当a=1时,解不等式f(x)>g(x);(2)若任意x>0,都有f(x)>g(x)成立,求实数a的取值范围;(3)若∀x1∈[0,1],∃x2∈[0,1],使得不等式f(x1)>g(x2)成立,求实数a的取值范围.【解题思路】(1)作差后解一元二次不等式即可.(2)解法一:构造函数,分类讨论求解二次函数最小值,然后列不等式求解即可;解法二:分离参数,构造函数k=x+154x,利用基本不等式求解最值即可求解;(3)把问题转化为f(x)min>g(x)min,利用动轴定区间分类讨论即可求解.【解答过程】(1)当a=1时,f(x)=2x2―x―3,g(x)=x2―x―274所以f(x)―g(x)=x2+154>0,所以f(x)>g(x),所以f(x)>g(x)的解集为R.(2)若对任意x>0,都有f(x)>g(x)成立,即x2+(1―a)x+154>0在x>0恒成立,解法一:设ℎ(x )=x 2+(1―a )x +154,x >0,对称轴x =a―12,由题意,只须ℎ(x )min >0,①当a―12≤0,即a ≤1时,ℎ(x )在0,+∞上单调递增,所以ℎ(x )>ℎ(0)=154,符合题意,所以a ≤1;②当a―12>0,即a >1时,ℎ(x )在+∞单调递增,所以ℎ(x )>=―(a―1)24+154>0,解得1<a <1+a >1,所以1<a <1+综上,a <1+解法二:不等式可化为(a ―1)x <x 2+154,即a ―1<x +154x ,设k =x +154x ,x >0,由题意,只须a ―1<k (x )min ,k =x +154x ≥=当且仅当x =154x 即x =k min =所以a ―1<a <1+(3)若对任意x 1∈[0,1],存在x 2∈[0,1],使得不等式f (x 1)>g (x 2)成立,即只需满足f (x )min >g (x )min ,x ∈[0,1],g (x )=x 2―x +a 2―314,对称轴x =12,g (x )在0,递增,g (x )min ==a 2―8,f (x )=2x 2―ax +a 2―4,x ∈[0,1],对称轴x =a4,①a4≤0即a ≤0时,f (x )在[0,1]递增,f (x )min =f (0)=a 2―4>g (x )min =a 2―8恒成立;②0<a4<1即0<a <4时,f (x )在0,,1递增,f (x )min ==78a 2―4,g (x )min =a 2―8,所以78a 2―4>a 2―8,故0<a <4;③a4≥1即a ≥4时,f (x )在[0,1]递减,f (x )min =f (1)=a 2―a ―2,g (x )min =a 2―8,所以a 2―a ―2>a 2―8,解得4≤a <6,综上:a ∈(―∞,6).【变式7-3】(23-24高一上·山东威海·期中)已知函数f(x)=x 2―(a +3)x +6(a ∈R)(1)解关于x 的不等式f(x)≤6―3a ;(2)若对任意的x ∈[1,4],f(x)+a +5≥0恒成立,求实数a 的取值范围(3)已知g(x)=mx +7―3m ,当a =1时,若对任意的x 1∈[1,4],总存在x 2∈[1,4],使f (x 1)=g (x 2)成立,求实数m 的取值范围.【解题思路】(1)由不等式f(x)≤6―3a 转化为(x ―3)(x ―a)≤0,分a <3,a =3,a >3讨论求解;(2)将对任意的x ∈[1,4],f(x)+a +5≥0恒成立,转化为对任意的x ∈[1,4],a(x ―1)≤x 2―3x +11恒成立,当x =1,恒成立,当x ∈(1,4]时,a ≤(x ―1)+9x―1―1恒成立,利用基本不等式求解;(3)分析可知函数f (x )在区间[1,4]上的值域是函数g (x )在区间[1,4]上的值域的子集,分m =0、m <0、m >0三种情况讨论,求出两个函数的值域,可得出关于实数m 的不等式组,综合可得出实数m 的取值范围.【解答过程】(1)因为函数f(x)=x 2―(a +3)x +6(a ∈R),所以f(x)≤6―3a ,即为x 2―(a +3)x +3a ≤0,所以(x ―3)(x ―a)≤0,当a <3时,解得a ≤x ≤3,当a =3时,解得x =3,当a >3时,解得3≤x ≤a , 综上,当a <3时,不等式的解集为{x |a ≤x ≤3},当a ≥3时,不等式的解集为{x |3≤x ≤a }(2)因为对任意的x ∈[1,4],f(x)+a +5≥0恒成立,所以对任意的x ∈[1,4],a(x ―1)≤x 2―3x +11恒成立,当x =1时,0≤9恒成立,所以对任意的x ∈(1,4]时,a ≤(x ―1)+9x―1―1恒成立, 令(x ―1)+9x―1―1≥1=5,当且仅当x ―1=9x―1,即x =4时取等号,所以a ≤5,所以实数a 的取值范围是(―∞,5](3)当a =1时,f(x)=x 2―4x +6,因为x ∈[1,4],所以函数f(x)的值域是[2,6],因为对任意的x 1∈[1,4],总存在x 2[1,4],使f (x 1)=g (x 2)成立,所以f(x)的值域是g(x)的值域的子集,当m >0时,g(x)∈[7―2m,m +7],则m >07―2m ≤2m +7≥6,解得m ≥52当m <0时,g(x)∈[m +7,7―2m],则m <07―2m ≥6m +7≤2,解得m ≤―5,当m =0时,g(x)∈{7},不成立;综上,实数m 的取值范围(―∞,―5]∪+∞.一、单选题1.(2023·河南·模拟预测)已知命题“∃x 0∈[―1,1],―x 20+3x0+a >0”为真命题,则实数a 的取值范围是( )A .(―∞,―2)B .(―∞,4)C .(―2,+∞)D .(4,+∞)【解题思路】由题知x 0∈[―1,1]时,a >x 20―3x 0min ,再根据二次函数求最值即可得答案.【解答过程】解:因为命题“∃x 0∈[―1,1],―x 20+3x 0+a >0”为真命题,所以,命题“∃x 0∈[―1,1],a >x 20―3x 0”为真命题,所以,x 0∈[―1,1]时,a >x 20―3x 0min ,因为,y =x 2―3x =x―94,所以,当x ∈[―1,1]时,y min =―2,当且仅当x =1时取得等号.所以,x 0∈[―1,1]时,a >x 20―3x 0min=―2,即实数a 的取值范围是(―2,+∞)故选:C.2.(2024·浙江·模拟预测)若不等式kx 2+(k ―6)x +2>0的解为全体实数,则实数k 的取值范围是( )A .2≤k ≤18B .―18<k <―2C .2<k <18D .0<k <2【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况,结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k =0时,不等式kx 2+(k ―6)x +2>0可化为―6x +2>0,显然不合题意;当k ≠0时,因为kx 2+(k ―6)x +2>0的解为全体实数,所以k >0Δ=(k ―6)2―4k ×2<0,解得2<k <18;综上:2<k <18.故选:C.3.(2023·辽宁鞍山·二模)若对任意的x ∈(0,+∞),x 2―mx +1>0恒成立,则m 的取值范围是( )A .(―2,2)B .(2,+∞)C .(―∞,2)D .(―∞,2]【解题思路】变形给定不等式,分离参数,利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x ∈(0,+∞),x 2―mx +1>0⇔m <x +1x ,而当x >0时,x +1x ≥=2,当且仅当x =1x ,即x =1时取等号,则m <2,所以m 的取值范围是(―∞,2).故选:C.4.(2023·宁夏中卫·二模)已知点A(1,4)在直线x +y=1(a >0,b >0)上,若关于t 的不等式a +b ≥t 2+5t +3恒成立,则实数t 的取值范围为( )A .[―6,1]B .[―1,6]C .(―∞,―1]∪[6,+∞)D .(―∞,―6]∪[1,+∞)【解题思路】将点代入直线方程,再利用基本不等式求得a +b 的最小值,从而将问题转化9≥t 2+5t +3,解之即可.【解答过程】因为点A(1,4)在直线xa +yb =1(a >0,b >0)上,所以1a +4b =1,故a +b =(a +b +=ba +4a b+5≥=9,当且仅当ba =4a b且1a +4b =1,即a =3,b =6时等号成立,因为关于t 的不等式a +b ≥t 2+5t +3恒成立,所以9≥t 2+5t +3,解得―6≤t ≤1,所以t ∈[―6,1].故选:A.5.(23-24高二上·山东潍坊·阶段练习)若两个正实数x ,y 满足1x +4y =2,且不等式x +y4<m 2―m 有解,则实数m 的取值范围是( )A .(―1,2)B .(―∞,―2)∪(1,+∞)C .(―2,1)D .(―∞,―1)∪(2,+∞)【解题思路】利用均值不等式求出最小值,根据题意列不等式求解即可.【解答过程】x +y4=+=+1+y 4x≥12(1+1+2)=2,要使得不等式x +y4<m 2―m 有解,只需m 2―m >2有解即可,解得m >2或者m <―1,故选:D.6.(23-24高一上·全国·单元测试)不等式2x 2―axy +y 2≥0,对于任意1≤x ≤2及1≤y ≤3恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .a|a ≤B .a|a ≥C .a|a ≤D .a|a【解题思路】由于在不等式2x 2―axy +y 2≥0中出现两个变量,对其进行变形令t =xy 则转化为含参数t 的不等式2t 2―at +1≥0,在t ∈,2上恒成立的问题,然后进行分离参数求最值即可.【解答过程】由y ∈[1,3],则不等式2x 2―axy +y 2≥0两边同时乘以1y 2不等式可化为:+1≥0,令t =xy ,则不等式转化为:2t 2―at +1≥0,在t ∈,2上恒成立,由2t 2―at +1≥0可得a ≤2t 2+1t即a ≤2t +,又2t +1t ≥=t =t =2t +1t 取得最小值故可得a ≤故选:A .7.(2023·江西九江·二模)已知命题p :∃x ∈R ,x 2+2x +2―a <0,若p 为假命题,则实数a 的取值范围为( )A .(1,+∞)B .[1,+∞)C .(―∞,1)D .(―∞,1]【解题思路】首先由p 为假命题,得出¬p 为真命题,即∀x ∈R ,x 2+2x +2―a ≥0恒成立,由Δ≤0,即可求出实数a 的取值范围.【解答过程】因为命题p :∃x ∈R ,x 2+2x +2―a <0,所以¬p :∀x ∈R ,x 2+2x +2―a ≥0,又因为p 为假命题,所以¬p 即∀x ∈R ,x 2+2x +2―a ≥0恒成立,所以Δ≤0,即22―4(2―a)≤0,解得a ≤1,故选:D .8.(2024·上海黄浦·模拟预测)已知不等式ρ:ax 2+bx +c <0(a ≠0)有实数解.结论(1):设x 1,x 2是ρ的两个解,则对于任意的x 1,x 2,不等式x 1+x 2<―ba 和x 1⋅x 2<ca 恒成立;结论(2):设x 0是ρ的一个解,若总存在x 0,使得ax 02―bx 0+c <0,则c <0,下列说法正确的是( )A .结论①、②都成立B .结论①、②都不成立C .结论①成立,结论②不成立D .结论①不成立,结论②成立【解题思路】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系,以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.【解答过程】当a<0且Δ=b2―4ac<0时,ρ:ax2+bx+c<0(a≠0)的解为全体实数,故对任意的x1,x2,x1+x2与―ba的关系不确定,例如:ρ:―x2+2x―2<0,取x1=1,x2=4,而―ba =2,所以x1⋅x2=4>ca=2,故结论①不成立.当a<0且Δ=b2―4ac>0时,ρ:ax2+bx+c<0的解为x|x<p或x>q,其中p,q是ax2+bx+c=0的两个根.当x0<p,―x0>q此时ax02―bx0+c<0,但c值不确定,比如:ρ:―x2+x+2<0,取x0 =―3,则―x02―x0+2<0,但c>0,故结论②不成立.故选:B.二、多选题9.(2023·江苏连云港·模拟预测)若对于任意实数x,不等式(a―1)x2―2(a―1)x―4<0恒成立,则实数a可能是()A.―2B.0C.―4D.1【解题思路】首先当a=1,不等式为―4<0恒成立,故满足题意;其次a≠1,问题变为了一元二次不等式恒成立问题,则当且仅当a―1<0Δ<0,解不等式组即可.【解答过程】当a=1时,不等式为―4<0恒成立,故满足题意;当a≠1时,要满足a―1<0Δ<0,而Δ=4(a―1)2+16(a―1)=4(―1)(a+3),所以解得―3<a<1;综上,实数a的取值范围是(―3,1];所以对比选项得,实数a可能是―2,0,1.故选:ABD.10.(2024·广东深圳·模拟预测)下列说法正确的是()A.不等式4x2―5x+1>0的解集是x|x>14或x<1B.不等式2x2―x―6≤0的解集是x|x≤―32或x≥2C.若不等式ax2+8ax+21<0恒成立,则a的取值范围是∅D.若关于x的不等式2x2+px―3<0的解集是(q,1),则p+q的值为―12【解题思路】对于AB ,直接解一元二次不等式即可判断;对于C ,对a 分类讨论即可判断;对于D ,由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系,先求得p,q ,然后即可判断.【解答过程】对于A ,4x 2―5x +1>0⇔(x ―1)(4x ―1)>0⇔x <14或x >1,故A 错误;对于B ,2x 2―x ―6≤0⇔(x ―2)(2x +3)≤0⇔―32≤x ≤2,故B 错误;若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立,当a =0时,21<0是不可能成立的,所以只能a <0Δ=64a 2―84a <0 ,而该不等式组无解,综上,故C 正确;对于D ,由题意得q,1是一元二次方程2x 2+px ―3=0的两根,从而q ×1=―322+p ―3=0,解得p =1,q =―32,而当p =1,q =―32时,一元二次不等式2x 2+x ―3<0⇔(x ―1)(2x +3)<0⇔―32<x <1满足题意,所以p +q 的值为―12,故D 正确.故选:CD.11.(22-23高三上·河北唐山·阶段练习)若(ax -4)(x 2+b )≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立,其中a ,b 是整数,则a +b 的可能取值为( )A .-7B .-5C .-6D .-17【解题思路】对b 分类讨论,当b≥0由(ax -4)(x 2+b )≥0可得ax -4≥0,由一次函数的图象知不存在;当b <0时,由(ax -4)(x 2+b )≥0,利用数形结合的思想可得出a ,b 的整数解.【解答过程】当b≥0时,由(ax -4)(x 2+b )≥0可得ax -4≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立,即a≤4x 对任意x∈(-∞,0]恒成立,此时a 不存在;当b <0时,由(ax -4)(x 2+b )≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立,可设f (x )=ax -4,g (x )=x 2+b ,作出f (x ),g (x )的图象如下,aa,b是整数可得a=-1b=-16或a=-4b=-1或a=-2b=-4所以a+b的可能取值为-17或-5或-6故选:BCD.三、填空题12.(2024·陕西渭南·模拟预测)若∀x∈R,a<x2+1,则实数a的取值范围是(―∞,1).(用区间表示)【解题思路】利用二次函数的性质计算即可.【解答过程】由题得a<(x2+1)min=1,即实数a的取值范围为(―∞,1).故答案为:(―∞,1).13.(2024·辽宁·三模)若“∃x∈(0,+∞),使x2―ax+4<0”是假命题,则实数a的取值范围为(―∞,4].【解题思路】将问题转化为“a≤x+4x在(0,+∞)上恒成立”,再利用对勾函数的单调性求得最值,从而得解.【解答过程】因为“∃x∈(0,+∞),使x2―ax+4<0”是假命题,所以“∀x∈(0,+∞),x2―ax+4≥0”为真命题,其等价于a≤x+4x在(0,+∞)上恒成立,又因为对勾函数f(x)=x+4x在(0,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(2)=4,所以a≤4,即实数a∞,4].故答案为:(―∞,4].14.(2023·河北·模拟预测)若∃x∈R,ax2+ax+a―3<0,则a的一个可取的正整数值为1(或2,3).【解题思路】由判别式大于0求解.【解答过程】由题意Δ=a2―4a(a―3)>0,解得0<a<4,a的正整数值为1或2或3,故答案为:1(也可取2,3).四、解答题15.(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)=|2x―a|,且f(x)≤b的解集为[―1,3].(1)求a和b的值;(2)若f(x)≤|x―t|在[―1,0]上恒成立,求实数t的取值范围.【解题思路】(1)根据绝对值不等式的性质即可求解,(2)将问题转化为3x2+(2t―8)x+4―t2≤0在[―1,0]上恒成立,即可利用二次函数零点分布求解.【解答过程】(1)由f(x)≤b得|2x―a|≤b,易知b≥0,则―b≤2x―a≤b,解得a―b2≤x≤b+a2,由于f(x)≤b的解集为[―1,3],则b+a2=3,a―b2=―1,解得a=2,b=4.(2)由(1)知f(x)=|2x―2|,由f(x)≤|x―t|得|2x―2|≤|x―t|,得3x2+(2t―8)x+4―t2≤0在[―1,0]上恒成立,Δ=(2t―8)2―4×3×(4―t2)=16(t―1)2>0,故t≠1.令g(x)=3x2+(2t―8)x+4―t2,若g(x)≤0在[―1,0]上恒成立,则g(―1)≤0g(0)≤0,即―t2―2t+15≤04―t2≤0,解得t≤―5或t≥3,故实数t的取值范围为(―∞,―5]∪[3,+∞).16.(2024·新疆乌鲁木齐·一模)已知函数f(x)=|x―1|+|x+2|.(1)求不等式f(x)≤5的解集;(2)若不等式f(x)≥x2―ax+1的解集包含[―1,1],求实数a的取值范围.【解题思路】(1)分类讨论,求解不等式即可;(2)将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题,列出不等式组即可求得.【解答过程】(1)当x≤―2时,f(x)≤5等价于―2x―1≤5,解得x∈[―3,―2];当―2<x<1时,f(x)≤5≤5,恒成立,解得x∈(―2,1);当x≥1时,f(x)≤5等价于2x+1≤5,解得x∈[1,2];综上所述,不等式的解集为[―3,2].(2)不等式f(x)≥x2―ax+1的解集包含[―1,1],等价于f(x)≥x2―ax+1在区间[―1,1]上恒成立,也等价于x2―ax―2≤0在区间[―1,1]恒成立.则只需g(x)=x2―ax―2满足:g(―1)≤0且g(1)≤0即可.即1+a―2≤0,1―a―2≤0,解得a∈[―1,1].。

高二数学知识点总结(人教版)

高二数学知识点总结(人教版)高考数学可是一个拉分科目,因为有些数学是真的挺差的,今天小编在这给大家整理了高二数学知识点总结,接下来随着小编一起来看看吧!高二数学知识点总结(一)一、集合、简易逻辑(14课时,8个)1.集合;2.子集;3.补集;4.交集;5.并集;6.逻辑连结词;7.四种命题;8.充要条件。

二、函数(30课时,12个)1.映射;2.函数;3.函数的单调性;4.反函数;5.互为反函数的函数图象间的关系;6.指数概念的扩充;7.有理指数幂的运算;8.指数函数;9.对数;10.对数的运算性质;11.对数函数.12.函数的应用举例。

三、数列(12课时,5个)1.数列;2.等差数列及其通项公式;3.等差数列前n项和公式;4.等比数列及其通顶公式;5.等比数列前n项和公式。

四、三角函数(46课时,17个)1.角的概念的推广;2.弧度制;3.任意角的三角函数;4.单位圆中的三角函数线;5.同角三角函数的基本关系式;6.正弦、余弦的诱导公式;7.两角和与差的正弦、余弦、正切;8.二倍角的正弦、余弦、正切;9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;10.周期函数;11.函数的奇偶性;12.函数的图象;13.正切函数的图象和性质;14.已知三角函数值求角;15.正弦定理;16.余弦定理;17.斜三角形解法举例。

五、平面向量(12课时,8个)1.向量;2.向量的加法与减法;3.实数与向量的积;4.平面向量的坐标表示;5.线段的定比分点;6.平面向量的数量积;7.平面两点间的距离;8.平移。

六、不等式(22课时,5个)1.不等式;2.不等式的基本性质;3.不等式的证明;4.不等式的解法;5.含绝对值的不等式。

七、直线和圆的方程(22课时,12个)1.直线的倾斜角和斜率;2.直线方程的点斜式和两点式;3.直线方程的一般式;4.两条直线平行与垂直的条件;5.两条直线的交角;6.点到直线的距离;7.用二元一次不等式表示平面区域;8.简单线性规划问题;9.曲线与方程的概念;10.由已知条件列出曲线方程;11.圆的标准方程和一般方程;12.圆的参数方程。

北京高考数学知识点

北京高考数学知识点北京高考数学知识点梳理直线与平面有几种位置关系直线与平面的关系有3种:直线在平面上,直线与平面相交,直线与平面平行。

其中直线与平面相交,又分为直线与平面斜交和直线与平面垂直两个子类。

直线在平面内——有无数个公共点;直线与平面相交——有且只有一个公共点;直线与平面平行——没有公共点。

直线与平面相交和平行统称为直线在平面外。

直线与平面垂直的判定:如果直线L与平面α内的任意一直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。

线面平行:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

平面外一条直线与此平面的垂线垂直,则这条直线与此平面平行。

直线与平面的夹角范围[0,90°]或者说是[0,π/2]这个范围。

当两条直线非垂直的相交的时候,形成了4个角,这4个角分成两组对顶角。

两个锐角,两个钝角。

按照规定,选择锐角的那一对对顶角作为直线和直线的夹角。

直线的方向向量m=(2,0,1),平面的法向量为n=(-1,1,2),m,n夹角为θ,cosθ=(m_n)/|m||n|,结果等于0。

也就是说,l和平面法向量垂直,那么l平行于平面。

l和平面夹角就为0°方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即:方程有实数根,函数的图象与坐标轴有交点,函数有零点。

3、函数零点的求法:(1)(代数法)求方程的实数根;(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。

4、二次函数的零点:(1)△0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点。

(2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点。

高中数学:七大难点知识总结

2019年高中数学:七大难点知识总结 高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节,高考数学试卷一般有选择,填空、和解答三大部分。闯过选择填空题的基础关需要全面全力夯实基础,切实掌握选择填空题的解题规律,确保基础部分得满分,也就是把该得的分数确实拿到手。否则在高考中很难越过一百分。解答题部分主要考查七大主干知识: 第一,函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二,平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点,主要出一些基础题或中档题。 第三,数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点,主要出一些综合题。 第四,不等式。主要考查不等式的求解和证明,而且很少单独考查,主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点 第五,概率和统计。这部分和我们的生活联系比较大,属应用题。 第六,空间位置关系的定性与定量分析,主要是证明平行或垂直,求角和距离。 第七,解析几何。是高考的难点,运算量大,一般含参数。 高考对数学基础知识的考查,既全面又突出重点,扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识,正确理解基本概念,正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆,形成技能。以不变应万变。。 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查,考查时与数学知识相结合。

对数学能力的考查,强调“以能力立意”,就是以数学知识为载体,从问题入手,把握学科的整体意义,用统一的数学观点组织材料,侧重体现对知识的理解和应用,尤其是综合和灵活的应用,所有数学考试最终落在解题上。考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求,而解题训练是提高能力的必要途径,所以高考复习必须把解题训练落到实处。训练的内容必须根据考纲的要求精心选题,始终紧扣基础知识,多进行解题的回顾、总结,概括提炼基本思想、基本方法,形成对通性通法的认识,真正做到解一题,会一类。

高等数学2知识点总结(优秀3篇)

高等数学2知识点总结(优秀3篇)高等数学2知识点总结篇一高考数学解答题部分主要考查七大主干知识:第一,函数与导数。

主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二,平面向量与三角函数、三角变换及其应用。

这一部分是高考的重点但不是难点,主要出一些基础题或中档题。

第三,数列及其应用。

这部分是高考的重点而且是难点,主要出一些综合题。

第四,不等式。

主要考查不等式的求解和证明,而且很少单独考查,主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五,概率和统计。

这部分和我们的生活联系比较大,属应用题。

第六,空间位置关系的定性与定量分析,主要是证明平行或垂直,求角和距离。

第七,解析几何。

是高考的难点,运算量大,一般含参数。

高考对数学基础知识的考查,既全面又突出重点,扎实的数学基础是成功解题的关键。

针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识,正确理解基本概念,正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆,形成技能。

以不变应万变。

对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查,考查时与数学知识相结合。

对数学能力的考查,强调“以能力立意”,就是以数学知识为载体,从问题入手,把握学科的整体意义,用统一的数学观点组织材料,侧重体现对知识的理解和应用,尤其是综合和灵活的应用,所有数学考试最终落在解题上。

考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求,而解题训练是提高能力的必要途径,所以高考复习必须把解题训练落到实处。

训练的内容必须根据考纲的要求精心选题,始终紧扣基础知识,多进行解题的回顾、总结,概括提炼基本思想、基本方法,形成对通性通法的认识,真正做到解一题,会一类。

在临近高考的'数学复习中,考生们更应该从三个层面上整体把握,同步推进。

1.知识层面也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。

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2016年高考数学七大知识点复习
2014-11-11 天利高考网天利38套
考数学解答题部分主要考查七大主干知识:
第一,函数与导数。

主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二,平面向量与三角函数、三角变换及其应用。

这一部分是高考的重点但不是难点,主要出一些基础题或中档题。

第三,数列及其应用。

这部分是高考的重点而且是难点,主要出一些综合题。

第四,不等式。

主要考查不等式的求解和证明,而且很少单独考查,主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五,概率和统计。

这部分和我们的生活联系比较大,属应用题。

第六,空间位置关系的定性与定量分析,主要是证明平行或垂直,求角和距离。

第七,解析几何。

是高考的难点,运算量大,一般含参数。

高考对数学基础知识的考查,既全面又突出重点,扎实的数学基础是成功解题的关键。

针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识,正确理解基本概念,正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆,形成技能。

以不变应万变。

对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查,考查时与数学知识相结合。

对数学能力的考查,强调“以能力立意”,就是以数学知识为载体,从问题入手,把握学科的整体意义,用统一的数学观点组织材料,侧重体现对知识的理解和应用,尤其是综合和灵活的应用,所有数学考试最终落在解题上。

考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求,而解题训练是提高能力的必要途径,所以高考复习必须把解题训练落到实处。

训练的内容必须根据考纲的要求精心选题,始终紧扣基础知识,多进行解题的回顾、总结,概括提炼基本思想、基本方法,形成对通性通法的认识,真正做到解一题,会一类。

高考数学一轮复习七大重点
2014-11-04 天利高考网天利38套
第一,高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节
主要是考函数和导数,这是我们整个高中阶段里最核心的板块,在这个板块里,重点考察两个方面:第一个函数的性质,包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题,重点考察的是二次函数和高次函数,分函数和它的一些分布问题,但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题,这是第一个板块。

第二,平面向量和三角函数
重点考察三个方面:一个是划减与求值,第一,重点掌握公式,重点掌握五组基本公式。

第二,是三角函数的图像和性质,这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质,第三,正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三,数列
数列这个板块,重点考两个方面:一个通项;一个是求和。

第四,空间向量和立体几何
在里面重点考察两个方面:一个是证明;一个是计算。

第五,概率和统计
这一板块主要是属于数学应用问题的范畴,当然应该掌握下面几个方面,第一……等可能的概率,第二………事件,第三是独立事件,还有独立重复事件发生的概率。

第六,解析几何
这是我们比较头疼的问题,是整个试卷里难度比较大,计算量最高的题,当然这一类题,我总结下面五类常考的题型,包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系,这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法,第二类我们所讲的动点问题,第三类是弦长问题,第四类是对称问题,这也是2008年高考已经考过的一点,第五类重点问题,这类题时往往觉得有思路,但是没有答案,当然这里我相等的是,这道题尽管计算量很大,但是造成计算量大的原因,往往有这个原因,我们所选方法不是很恰当,因此,在这一章里我们要掌握比较好的算法,来提高我们做题的准确度,这是我们所讲的第六大板块。

第七,押轴题
考生在备考复习时,应该重点不等式计算的方法,虽然说难度比较大,我建议考生,采取分部得分整个试卷不要留空白。

这是高考所考的七大板块核心的考点。

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