函数解析式求法总结及练习题
2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b
=+=++=++函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法.
它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。 例1 设)(x f 就是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f .
解:设
b ax x f +=)()0(≠a ,则
∴??
?=+=3
42
b ab a , ∴??????=-===3212b a b a 或 . 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 .
二、配凑法:已知复合函数
[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法.但要注意所求函数
()f x 的定义域不就是原复合函数的定义域,而就是()g x 的值域.
例2 已知
221
)1(x x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式.
解:2)1()1(2-+=+x
x x x f Θ, 21≥+x x , 2)(2
-=∴x x f )2(≥x .
三、换元法:已知复合函数
[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式.用来处理不知道所求函数的类型,
且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式,但使用换元法时要注意新元定义域的变化,最后结果要注明所求函数的定义域。 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f .
解:令1+=
x t
,则1≥t ,2)1(-=t x .
Q x x x f 2)1(+=+, ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
1)(2-=∴x x f )1(≥x , x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x .
四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法. 例4已知:函数
)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式.
解:设),(y x M 为)(x g y =上任一点,且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点.
则
?????=+'-=+'3
2
22y y x
x ,解得:??
?-='--='y y x x 64 ,Θ点),(y x M '''在)(x g y =上 , x x y '+'='∴2
. 把???-='--='y
y x x 64代入得:)4()4(62--+--=-x x y . 整理得
672---=x x y , ∴67)(2---=x x x g .
五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解
析式.
例5 设
,)1
(2)()(x x
f x f x f =-满足求)(x f .
解 Θx x f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x 1,得:x
x f x f 1
)(2)1(=- ②
解① ②联立的方程组,得:x
x x f 32
3)(--=.
例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11
)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式
解 )()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴,又11)()(-=+x x g x f ① ,用x -替换x 得:1
1
)()(+-=-+-x x g x f ,
即11
)()(+-=-x x g x f ② ,解① ②联立的方程组,得1
1)(2-=x x f ,x x x g -=21)(
小结:消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数,如f(x)、1
()f x
;互为相反数,如f(x)、f(-x),通过对称代换构造一
个对称方程组,解方程组即得f(x)的解析式。
六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、
简单化,从而求得解析式.
例7 已知:
1)0(=f ,对于任意实数x 、y ,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f .
解Q 对于任意实数x 、y ,等式
)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,
不妨令0x =,则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f .
再令 x y =- 得函数解析式为:1)(2++=x x x f .
例5:已知
(0)1,()()(21),f f a b f a b a b =-=--+求()f x 。
解析:令0,a
=则2()(0)(1)1f b f b b b b -=--=-+ 令b x -= 则2()1f x x x =++
小结:①所给函数方程含有2个变量时,可对这2个变量交替用特殊值代入,或使这2个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数,至于取什么特殊值,根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式,可使问题具体化、简单化,从而顺利地找出规律,求出函数的解析式。
七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得
函数解析式. 例8 设)(x f 就是定义在+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的N b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,
求)(x f
解Θ +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，,∴不妨令1,==b x a ,得:x x f f x f -+=+)1()1()(,
又
1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①
令①式中的x ＝1,2,…,n －1得:(2)(1)2(3)(2)3()(1)f f f f f n f n n -=-=--=L L ，，，
将上述各式相加得:n f n f Λ++=-32)1()(,2
)
1(321)(+=+++=∴n n n n f Λ ,
+∈+=∴N x x x x f ,2
1
21)(2
三、练习
(一)换元法1.已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式、 2.若x
x
x f -=
1)1(,求
)(x f 、
(二).配变量法3.已知
2
21)1(x
x x x f +=-, 求
)(x f 的解析式、 4.若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 、
(三).待定系数法5.设
)(x f 就是一元二次函数, )(2)(x f x g x ?=,且212)()1(x x g x g x ?=-++,
求
)(x f 与)(x g 、
6.设二次函数
)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在
y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22
,求
)(x f 的表达式、
(四).解方程组法 7.设函数)(x f 就是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x x
f x f 4)1
(2)(3=+,
求
)(x f 的解析式、
8.(1)若x x
x f x f +=-+1)1
(
)(,求)(x f 、 (2)若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x)、 (
五
).
特
殊
值
代
入
法
9.
若
)
()()(y f x f y x f ?=+,且
2
)1(=f ,求值
)
2004()
2005()3()4()2()3()1()2(f f f f f f f f ++++Λ、 10.已知:
1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f
(六).利用给定的特性求解析式、 11.设
)(x f 就是偶函数,当x ＞0时, x e x e x f +?=2)(,求当x ＜0时,)(x f 的表达式、
12.对x ∈R,
)(x f 满足)1()(+-=x f x f ,且当x ∈[－1,0]时, x x x f 2)(2+=求当x ∈[9,10]时)(x f 的表
达式、 例6、已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立,且0)1(=f 。
(1)求)0(f 的值;(2)求
)(x f 的解析式。
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练 习
求函数的解析式
例1.已知f (x )= 2
2x x -,求f (1x -)的解析式. ( 代入法 / 拼凑法 ) 变式1.已知f (x )= 21x -, 求f (2
x )的解析式. 变式2.已知f (x +1)＝2
23x x ++,求f (x )的解析式.
例2.若f [ f (x )]＝4x ＋3,求一次函数f (x )的解析式. ( 待定系数法 ) 变式1.已知f (x )就是二次函数,且()()211244f x f x x x ++-=-+,求f (x ). 例3.已知f (x )-2 f (－x )＝x ,求函数f (x )的解析式. ( 消去法/ 方程组法 ) 变式1.已知2 f (x )- f (-x )＝x ＋1 ,求函数f (x )的解析式.
变式2.已知2 f (x )-f 1x ??
???
＝3x ,求函数f (x )的解析式. 例4.设对任意数x ,y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++,
求f (x )的解析式. ( 赋值法 / 特殊值法)
变式1.已知对一切x ,y ∈R,()()()21f x y f x x y y -=--+都成立,且f (0)=1, 求f (x )的解析式.