基本不等式专题练习(含参考答案)
基本不等式专题训练试卷
基本不等式专题训练试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a,b∈ R，且ab > 0，则下列不等式中，恒成立的是（）A. a + b≥slant2√(ab)B. (1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))C. (b)/(a)+(a)/(b)≥slant2D. a^2+b^2>2ab解析：- 选项A：当a <0，b <0时，a + b≥slant2√(ab)不成立，因为a + b<0，2√(ab)>0。
- 选项B：当a <0，b <0时，(1)/(a)+(1)/(b)<0，(2)/(√(ab))>0，所以(1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))不成立。
- 选项C：因为ab>0，则(b)/(a)>0，(a)/(b)>0，根据基本不等式(b)/(a)+(a)/(b)≥slant2√(frac{b){a}×(a)/(b)} = 2，当且仅当a = b时取等号，该式恒成立。
- 选项D：当a=b时，a^2+b^2=2ab，所以a^2+b^2>2ab不恒成立。
所以答案是C。
2. 已知x>0，y>0，且x + y=1，则(1)/(x)+(1)/(y)的最小值为（）A. 2B. 2√(2)C. 4D. 2 + 2√(2)解析：因为x + y = 1，x>0，y>0，则(1)/(x)+(1)/(y)=(x + y)/(x)+(x +y)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)。
根据基本不等式(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2√(frac{y){x}×(x)/(y)}=2，当且仅当x=y=(1)/(2)时取等号。
所以(1)/(x)+(1)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2 + 2=4，答案是C。
3. 设a>0，b>0，若√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(1)/(a)+(1)/(b)的最小值为（）A. 8B. 4C. 1D. (1)/(4)解析：因为√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(√(3))^2=3^a×3^b=3^a + b，所以a + b = 1。
一元二次二元一次基本不等式早练专题练习(二)含答案人教版高中数学
5．不等式 >0的解集为（）
A．{x|x<1}B．{x|x>3}C．{x|x<1或x>3}D．{x|1<x<3}（汇编广东河南1）
6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．
14．
15．解析:作直线，当与直线AC平行时，取得最大值的最优解有无穷多个,,
解析： 解析:作直线 ，
当 与直线AC平行时， 取得最大值的最优解有无穷多个,
,
16．
17．155；
18．4
19．
20．
评卷人
得分
三、解答题
21．
22．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．CC
【解析】 x+3y=5xy, , .
2．B
3．B
【解析】 与 的交点为 ,所以只有 才能符合条件,B正确.
4．
5．C
6．C
7．C.【汇编高考真题四川理9】
【解析】设生产 桶甲产品， 桶乙产品，总利润为Z，
则约束条件为 ，目标函数为 ，
A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元
8．若 且 ，则 的最小值是( )
（A） （B）3（C）2（D） (汇编重庆文)
9．若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2 ,则2a+b+c的最小值为
基本不等式练习题 含答案
试卷第1页，总1页基本不等式1、若，则的最大值为（ ）ABC ．2D 2、已知）A ．5B ．4 C ．8D ．6 3、设x>0 ） A ．最大值1 B ．最小值1 C ．最大值5 D ．最小值4、已知 ()D.55、，则的最大值为_______.6、设________. 7、若、为正实数，且，则的最小值为__________.8、设_____. 9、已知正数满足，则的最小值为______.10、某新建居民小区欲建一面积为1600平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽1米，短边人行道宽4米，如图所示。
怎样设计绿地的长和宽，才能使人行道的占地面积最小？并求出最小值。
023x <<(32)x x -2x >5-0,0,2,a b a b >>+=ab 1x >a b 3a b ab ++=ab 0x >,a b 4a b ab +=+a b答案第1页，总1页 参考答案1、【答案】D2、【答案】D3、【答案】A4、【答案】C5、【答案】36、7、【答案】8、9、【答案】9.10、【答案】长.宽.最小面积 试题分析：根据题意求出人行横道的面积表达式，结合基本不等式即可求解.【详解】设矩形绿地的长为米，宽为米，则平方米所以人行横道的面积(即人行道面积等于外围矩形面积减去内部矩形面积) 即当且仅当，即时等号成立 故当绿地的长为，宽为时，才能使人行道的占地面积最小，最小值为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题，要注意基本不等式成立的条件，考查了学生分析和解决问题的能力，属于中档题.980m 20m 2336m a b 1600ab =()()821600S a b =++-2816S a b =++28a b =80,20a m b m ==80m 20m 2336m。
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值. 18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCDCABCCC二．填空题 11.12 12.3600 13. 212- 14.对 三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
基本不等式精选练习题答案
基本不等式精选练习题答案基本不等式是初中数学中的重要内容，掌握它对于有关不等式的学习和应用都十分重要。
本文就给出一些基本不等式的精选练习题及参考答案，以帮助读者更好地理解和应用基本不等式。
题目一：对于任意正整数 n，证明 1＋1/2²＋1/3²＋……＋1/n²＞1＋1/2＋1/3＋……＋1/n。
解题思路：利用级数收敛性来证明，由于调和级数收敛，它的平方收敛，而级数 1＋1/2²＋1/3²＋……＋1/n²大于等于级数 1＋1/2＋1/3＋……＋1/n，即可得证。
题目二：对于任意三个正实数 a，b，c，证明 3(a^2＋b^2＋c^2)＞(a＋b＋c)²。
解题思路：将不等式中的左边展开，可以得到 3(a^2＋b^2＋c^2)＞a²＋b²＋c²＋2(ab＋bc＋ca)，再次进行变形可以得到 2(a^2＋b^2＋c^2- ab＋bc＋ca)＞0，由此可以看出原不等式成立。
题目三：对于任意正实数 a，b，c，证明 a/b＋b/c＋c/a≥3。
解题思路：将不等式中的左边按照“平均数大于等于中间数”原理进行拆分，可以得到 a/b＋b/c＋c/a≥3(abc)^(1/3)/(abc)^(2/3)，即可得证。
题目四：对于任意正实数 a，b，c，证明 a^2/b＋b^2/c＋c^2/a≥a＋b＋c。
解题思路：将不等式左边的分子进行展开，可以得到 a^3c＋b^3a＋c^3b≥a^2bc＋ab^2c＋abc^2，两边同时减去 a^2bc＋ab^2c＋abc^2 可以得到 a^3c＋b^3a＋c^3b-a^2bc-ab^2c-abc^2≥0，又根据爱德华·魏尔斯不等式 (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2≥0 可以得到 a^3c＋b^3a＋c^3b-a^2bc-ab^2c-abc^2≥(a-b)²(b-c)²(c-a)²≥0，即可得证。
一元二次二元一次基本不等式午练专题练习(二)含答案人教版新高考分类汇编
高中数学专题复习《一元二次二元一次基本不等式》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（汇编年高考天津卷（文））设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为 （ ）A ．-7B ．-4C ．1D ．22．已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x ,y )在△ABC 内部,则z x y =-+的取值范围是 （ ）A ．(1-3,2)B ．(0,2)C ．(3-1,2)D ．(0,1+3)（汇编课标文）3．不等式2313x x a a+--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞（汇编重庆理）4．若0x >，则2x x+的最小值为 . （汇编湖南文）5．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A. 12万元B. 20万元C. 25万元D. 27万元 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （汇编四川理）【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。
（同文10）6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L 1=5.06x －0.15 x 2和L 2=2 x ，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最 大利润为（ ）A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.51(汇编湖南文)7．已知()f x 是R 上的减函数，则满足1()(1)f f x>的实数x 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,0)(0,1)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞（汇编福建文7）8．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(||)(1)f f x<的实数x 的取值范围是（ ） A ．（－1，1） B ．（0，1） C ．（－1，0）（0，1）D ．（－∞，－1）（1，＋∞）（汇编福建理7）9．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->|22|330xx x x x 的解集是（ ）A ．｛x ｜0＜x ＜2}B ．｛x ｜0＜x ＜2.5}C ．｛x ｜0＜x ＜6}D ．｛x ｜0＜x＜3}（汇编全国14）10．如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ）A ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一B ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一C ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一D ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一（汇编北京理7）11．若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为____________.12．已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2-（B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题13．（汇编年高考课标Ⅰ卷（文））设,x y 满足约束条件 13,10x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩,则2z x y =-的最大值为______.14．如果关于x 的不等式2510693a x xb ≤-+≤的解集是[x 1，x 2]∪[x 3，x 4](x 1<x 2<x 3<x 4)，则x 1+x 2+x 3+x 4= ▲ ．15．若a>1则y=11-+a a 的最小值为 ▲ . 16．已知,,R n m ∈且22=+n m ，则1222+⋅+⋅n mn m 的最小值为_________17． 若实数对（x ，y ）满足约束条件0230x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则x y 1+的最小值为 ．18．若关于y x ,的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≤-2121y ax y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 。
高中数学专题复习基本不等式限时练习试卷与答案
高二数学专题复习（五）基本不等式1 限时练高二 ______班_____组 学号：_______ 姓名：______________ 一、【基础过关】（大约35分钟）.225,0.1的最大值求已知xx x +<.19,1.2的最小值求已知-+>x x x.)41(,410.3的最大值求已知x x x -<<4.(2020·上海,13)下列不等式恒成立的是( )A.a 2+b 2≤2abB.a 2+b 2≥-2abC.a+b ≥2√|ab |D.a+b ≥-2√|ab |5.(2015·福建,理5)若直线x a +yb =1(a>0,b>0)过点(1,1),求a+b 的最小值.6.(2015·湖南,文)若实数a ,b 满足1a +2b =√ab ,则ab 的最小值为( )A.√2B.2C.2√2D.47.(2019·天津,文13)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .8.(2019·天津,理13)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy的最小值为.9.(2014·重庆,文9)若log4(3a+4b)=log2√ab,则a+b的最小值是()A.6+2√3B.7+2√3C.6+4√3D.7+4√3二、【能力提升】（大约5分钟）10.(2015·重庆,文14)设a,b>0,a+b=5,则√a+1+√b+3的最大值为.高二数学专题复习（五）基本不等式1限时练答案1. 302. 73.641A.由基本不等式可知a2+b2≥2ab,故A不正确;B.a2+b2≥-2ab⇒a2+b2+2ab≥0,即(a+b)2≥0恒成立,故B正确;C.当a=-1,b=-1时,不等式不成立,故C不正确;D.当a=0,b=-1时,不等式不成立,故D不正确.故选B.∵直线xa+yb=1过点(1,1),∴1a+1b=1.又a,b均大于0,∴a+b=(a+b)(1a+1b)=1+1+ba+ab≥2+2√ba·ab=2+2=4.故选C.由已知1a+2b=√ab,可知a,b同号,且均大于0.由√ab=1a+2b≥2√2ab,得ab≥2√2.即当且仅当1a=2b,即b=2a时等号成立,故选C.(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy.∵x+2y=4,∴4≥2√2xy,∴2xy≤4.∴1xy≥12.∴2+5xy≥2+52=92.先化简,利用√xy 的范围求解.√xy=√xy=√xy =2√xy √xy≥2·√2√xy ·6√xy =4√3.当且仅当√xy =√xy,即xy=3时等号成立.由log 4(3a+4b )=log 2√ab ,得12log 2(3a+4b )=12log 2(ab ),所以3a+4b=ab ,即3b +4a =1. 所以a+b=(a+b )(3b +4a )=3ab +4ba +7≥4√3+7,当且仅当3ab =4ba ,即a=2√3+4,b=3+2√3时取等号.故选D .10.(2015·重庆,文14,5分,难度★★)设a ,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是=√x +√y,而(√x +√y )2=x+y+2√xy ≤x+y+(x+y )=18,所以√x +√y ≤3√2 .此时x=y ,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,√a +1+√b +3的最大值为3√2.。
高中数学(必修一)第二章 基本不等式练习题
高中数学（必修一）第二章 基本不等式练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：_____________一、解答题 1．已知a b ，比较2a ab +与23ab b -的大小，并证明.2．设a ，b 为正实数，求证：()()()2233338a b a b a b a b +++≥．3．求函数1(3)3y x x x =+>-的最小值.4．（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？5．已知圆C 的圆心在坐标原点，且过点(M . (1)求圆C 的方程；(2)已知点P 是圆C 上的动点，试求点P 到直线40x y +-=的距离的最小值；(3)若直线l 与圆C 相切，且l 与,x y 轴的正半轴分别相交于,A B 两点，求ABC 的面积最小时直线l 的方程.6．已知a ，b R +∈，求证：()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭．7．函数π()2sin()10,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭图像过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，且相邻对称轴间的距离为π2．(1)求,ωϕ的值；(2)已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2a =，求ABC 面积的最大值．8．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？ （利润=累积收入+销售收入-总支出）9．高一（3）班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形 ABCD 的周长为4cm ，其中长边 AD 为 x cm ，将BCD △沿BD 向ABD △折叠，BC 折过去后交AD 于点E ．(1)用 x 表示图1中BAE 的面积；(2)已知镀金工艺是2元/2cm ，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用．10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c ，A 为锐角，cos cos 3cos b A a B c A +=． (1)求cos A ；(2)若2a =，求ABC 面积的最大值．11．已知(2,5)x ∈-，求(2)(5)y x x =+-的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．12．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)若0ab >，则a b +≥(2)若0ab >2≥；(3)若0ab <，则2b aa b+≤-．13．已知a ，b ，c 均为正实数.(1)求证：a b c ++≥(2)若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.14．已知x ＞2，求函数4()2f x x x =+-的最小值．15．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME 的面积取最小值时，求直线l 的方程.16．如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．(1)现有可围36m 长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若每间虎笼的面积为220m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？17．已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值．参考答案：1．见解析【解析】利用作差法比较大小. 【详解】解：223a ab ab b +>-，证明如下：()2222232()a ab ab b a ab b a b +--=-+=-.a b ≠2()0a b ∴-> 223a ab ab b ∴+>-【点睛】本题考查作差法比较两式的大小关系，属于基础题. 2．证明见解析【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为a ，b 为正实数，所以a b +≥222a b ab +≥，332a b +≥=当a b =时取等号，所以()()()223333228a b a b a b ab a b +++≥⨯=，即()()()2233338a b a b a b a b +++≥，当且仅当a b =时取等号；3．5【分析】式子化为1333x x +-+-，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为3x >， 所以30x ->，所以133353y x x =+-+≥=-， 当且仅当133x x -=-即4x =时取等号，此时取得最小值5.4．（1）当7x y ==时，x y +取得最小值14；（2）当6x y ==时，xy 取得最大值36【解析】（1）设0x >，0y >，49xy =，然后利用基本不等式求得x y +的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.（2）设0x >，0y >，12x y +=，然后利用基本不等式求得x y ⋅的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.【详解】（1）设0x >，0y >，49xy =，由均值不等式，得214x y xy +=， 当且仅当x y =时，取等号．由,49,x y xy =⎧⎨=⎩得7x y ==，即当7x y ==时，x y +取得最小值14．（2）设0x >，0y >，12x y +=，由均值不等式，得22123622x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当x y =时，取等号．由,12,x y x y =⎧⎨+=⎩得6x y ==．即当6x y ==时，xy 取得最大值36.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 5．(1)224x y +=(2)2(3)0x y +-【分析】（1）利用两点间距离公式可求得半径r ，由此可得圆C 方程； （2）利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离d ，可知最小值为d r -；（3）设():10,0x yl a b a b+=>>，由圆心到直线距离等于半径，结合基本不等式可知当a b ==ABC面积取得最小值，由此可得直线l 方程. （1）由题意知：圆心()0,0C ，半径2r CM ===，∴圆C 的方程为：224x y +=.（2）圆心到直线40x y +-=的距离d r ==，∴点P 到直线40x y +-=的距离最小值为2d r -=.（3）设直线():10,0x yl a b a b+=>>，即0bx ay ab ， 则圆心到直线l 距离2d ==，ab ∴=≥a b ==，解得：8ab ≥， ∴当a b ==ABC 面积取得最小值142ab =，则直线1l =，即0x y +-=. 6．见解析【分析】()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开并运用基本不等式即可得证.【详解】()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 7．(1)2ω=，π3ϕ=；(2)2+【分析】（1）由题干条件得到最小正周期，进而求出2ω=，待定系数法求出π3ϕ=；（2）先由32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出π6A =，利用余弦定理，基本不等式求出8bc ≤+. (1)由题意得：()f x 的最小正周期πT =，由于0>ω，故2ππω=，解得：2ω=，又2π32sin()11ϕ++=，所以2ππ,3k k Z ϕ+=∈，即2ππ,3k k Z ϕ=-∈，又π||2ϕ<，所以2πππ,32k k Z <∈-，解得：1766k <<，k Z ∈，故1k =，此时π3ϕ=，综上：2ω=，π3ϕ=； (2)2sin()33π12A f A ⎛⎫= ⎪⎝++=⎭，所以sin()1π3A +=，因为()0,πA ∈，所以ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则ππ32A +=，解得：π6A =，又2a =，所以由余弦定理得：224cos 2b c A bc +-==，则224b c +=，由基本不等式得：222b c bc +≥，即42bc ≥，解得：8bc ≤+b c =时等号成立，故ABC 面积最大值为1sin 22bc A ≤8．（1）第三年；（2）第5年.【解析】（1）求出第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 【详解】（1）设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x ﹣[6x +x （x ﹣1）]﹣50＝﹣x 2+20x ﹣50（0＜x ≤10，x ∈N ）由﹣x 2+20x ﹣50＞0，可得10﹣＜x ＜，∈2＜10﹣＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出； （2）∈利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∈二手车出售后， 小张的年平均利润为(25)y x y x +-=＝19﹣（x +25x）≤19﹣10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立， ∈小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 【点睛】思路点睛：首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.9．(1)()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(2)当 AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元.【分析】（1）设ED a =cm ，根据条件可得222x x a x-+=，然后利用面积公式即得；（2）利用基本不等式即得.（1）因为AD x =cm ，所以()2AB x =-cm ， 设 ED a = cm ，则()AE x a =-cm ，因为AEB C ED '∠=∠，EAB DC E '∠=∠，AB DC '=， 所以Rt Rt BAE DC E '≌△△，所以BE ED a ==cm ， 在Rt BAE △中，由勾股定理得222BA AE BE +=， 即()()2222x x a a -+-=， 解得222x x a x-+=，所以22x AE x a x-=-=， 所以BAE 的面积()()22112232223cm 1222x x x S AB AE x x x x x x --+-⎡⎤⎛⎫=⋅=-⋅==-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 所以BAE 的面积()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）设一个会徽的镀金费用为y 元，则(26212312336BAE y Sx x ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⨯-+≤⨯-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当2xx=，12x <<，即x所以当AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元． 10．(1)1cos 3A =；【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式求cos A 的值；（2）由同角三角函数间的基本关系求sin A 的值，根据余弦定理和基本不等式求bc 的最大值，最后根据三角形的面积公式求ABC 面积的最大值即可． (1)因为cos cos 3cos b A a B c A +=，由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A +=， 所以()sin 3sin cos A B C A +=，所以sin 3sin cos C C A =． 在ABC 中，sin 0C ≠， 所以1cos 3A =；(2)由（1）知1cos 3A =，由22sin cos 1A A +=，A 为锐角，得sin A =由余弦定理可知222123b c a bc +-=，因为2a =， 所以2233122b c bc +-=， 所以22212336bc b c bc +=+≥，所以3bc ≤，当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =△所以ABC 11．当32x =时，y 取得最大值494【解析】根据基本不等式，求得y 的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时x 的值.【详解】∈(2,5)x ∈-，∈20,50x x +>->，∈22549(2)(5)24x x y x x ++-⎛⎫=+-=⎪⎝⎭． 当且仅当25x x +=-，即32x =时，取等号．即当32x =时，y 取得最大值494．【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 12．(1)不成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)成立，理由见解析；【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）. （1）取1,2a b =-=-满足0ab >，此时a b +≥不成立； （2）0ab >，0,0a bb a∴>>，2，当a b =时等号成立. （3）0ab <，0,0b aa b∴<<，2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当a b =-时等号成立. 13．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用基本不等式证明即可；（2）由112111⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b ab 利用基本不等式求最值即可.（1）因为a ，b ，c 都是正数，所以 ()()()(1122++=+++++≥⎡⎤⎣⎦a b c a b b c a c=，当且仅当a b c ==时，等号成立，所以a b c ++≥ （2）211111122211111119142a b a b a b ab ab ab ab a b +⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+≥+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时等号成立. ∈11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 14．6【解析】利用基本不等式可求函数的最小值.【详解】解：∈2x >，∈20x ->，故44()222622f x x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当4x =时等号成立，故()f x 的最小值为6.15．(1)24y x =(2)1x y =±+【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，根据焦点弦的性质得到12||AB x x p =++，从而求出p ，即可得解； （2）设:1l x ty =+，联立直线与抛物线，消元、利用韦达定理得到M y ，从而得到M x ，则()1||12DEM M S DE x =⋅+最后利用基本不等式求出最小值，即可得解； （1）解：设()()1122,,,A x y B x y ，由题知12||43AB x x p p p =++=+=时，2p =，故抛物线方程为24y x =；（2）解：设:1l x ty =+，联立抛物线方程得2440y ty --=，∈1222M y y y t +==，2121M M x ty t =+=+，而21,D t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21,E t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()()21141||1224||822||||DEM M S DE x t t t t ⎛⎫=⋅+=⋅⋅+=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当||1t =时等号成立，故直线l 的方程为1x y =±+．16．(1)长为9m 2，宽为18m 5(2)长为5m ，宽为4m【分析】（1）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，可得出4536x y +=，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论；（2）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，利用基本不等式可求得钢筋网总长45x y +的最小值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论.（1）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，由已知可得4536x y +=，由基本不等式可得()2211458145m 202025x y S xy x y +⎛⎫==⋅⋅≤⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当454536x y x y =⎧⎨+=⎩，即当92185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为9m 2，宽为18m 5时，可使得每间虎笼的面积最大. （2）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，钢筋网总长为()4540m x y +≥=，当且仅当4520x y xy =⎧⎨=⎩，即当54x y =⎧⎨=⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为5m ，宽为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 17．2 【分析】将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x=--++-，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意，函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦ ， 又由54x <，则540x ->，则()154254x x -+≥-， 当且仅当15454x x -=-时，即1x =时取等号， 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2.。
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式11. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123a b c++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x=+Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+11. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.12. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥13. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A B C D C A B C C C 三、解答题11．ab12.略13. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174。
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数学 基本不等式
[基础题组练]
1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab
D.b a ＋a b ≥2
2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1
xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3
2的最小值为( )
A ．0 B.12 C ．1
D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12
D ．16
5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．
7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．
8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．
[综合题组练]
1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1
b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18
D ．24
2．不等式x 2
＋x <a b ＋b
a 对任意a ，
b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )
A ．(－2，0)
B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C ．(－2，1)
D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1
b ＋3的最小值为
________．
【参考答案】
[基础题组练]
1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab
D.b a ＋a b
≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．
对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b
≥2
b a ·a
b
＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1
xy ≥M 恒成立，则M 的最大
值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝22
4
＝1，
所以1
xy ≥1；
又1
xy
≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.
3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3
2的最小值为( )
A ．0 B.12 C ．1
D.32
解析：选A.y ＝x ＋
22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋1
2
－2≥2
⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋
1
2
－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12
，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12
D ．16
解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1
x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝y
x
，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.
5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．
解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝3
2时取等号． 答案：98
6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．
解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600
x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900
x
·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.
答案：30
7．函数y ＝x 2x ＋1
(x >－1)的最小值为________．
解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1
x ＋1－2，x >－1，
所以y ≥21－2＝0，
当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：0
8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2
y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2
8x ·2y ＝8xy
. 得xy ≥64，
当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.
(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y ＝1，
则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫
8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y
x
≥10＋2
2x y ·8y
x
＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.
[综合题组练]
1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1
b ，则3a ＋81b 的最小值为( )
A ．6
B ．9
C ．18
D ．24
解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1
b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋
81b ≥2
3a ·34b ＝2
3a ＋4b ≥2
32
a ·4b
＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的
最小值为18.故选C.
2．不等式x 2＋x <a b ＋b
a 对任意a ，
b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )
A ．(－2，0)
B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C ．(－2，1)
D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b
a
对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋
x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2 a b ·b
a
＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．
3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．
解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22
＝2t
＋t 2
8.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.
答案：62－8
4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则
1a ＋1＋1b ＋3
的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以
1a ＋1＋1b ＋3＝18
[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18
(2＋2)＝1
2，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3
的最小值为1
2.
答案：1
2。