用数形结合的方法,解决不等式的问题
初中数学数形结合思想教学研究与案例分析
初中数学数形结合思想教学研究与案例分析摘要：随着教育改革的深入，大量的实践证明，数形结合思维不仅是一种教学理念，同时也是一种有效的学习手段，数形结合思想的出现为我国初中数学教学打开了一条崭新的思路，它能够有效地将抽象的数学知识进行转换，从而帮助学生更好地理解，不断提高学生的数学学习质量。
在初中数学阶段，是一个关键的转折点，在此期间，学生的学习方式与能力都得到了提高，运用数形结合思想进行教学，可以有效地提高学生的数学学习水平。
关键词：初中数学；数形结合思想；教学研究；案例分析最近几年，以数形结合思维为一种高效的数学学习手段，在初中数学中被普遍采用，它可以使抽象的数学知识更为具体，方便学生的学习，使其获得更好的学习效果。
所以，在初中数学教学中，要正确引导学生运用数形结合思维进行学习，既可以解决问题，又可以激发学生的学习热情，有利于提高教学质量。
一、初中数学教学的现状分析1.无法掌握、理解好题意在初中数学教学中，由于受应试教育的影响，学校和老师过分强调学生的学业成绩和升学率，使老师们的教学方式过于注重提高学生的成绩，从而导致教师过分强调提高学生的学习成绩，认为提高学生的学习效率，提高他们的解题能力，在这种情况下，不但不能提高他们的数学能力，反而会阻碍他们的思维培养。
2.抽象与实际背离在当前的初中数学教学中，遇到抽象的数学问题时，往往不能将问题和现实联系起来，从而导致数学知识与现实脱节，从而导致学生在数学上的气馁，从而影响到他们的学习热情。
二、数形结合思想的重要性分析数形结合，是一种将数学问题变成学生们熟悉的数学问题的一种方式，它可以让学生对数学的概念进行更直观的了解，数形结合是一种解决问题的有效途径，利用数形结合，同学们可以用图形来找到不同的数学条件，并找到有效的解决办法，这样一来，学生通过对数学知识的好奇心和对数学问题的探索，使他们能积极地进行学习和探索［1］。
三、初中数学数形结合思想教学研究应用案例分析1.利用数形结合帮助学生理解和掌握数学概念以及公式在初中数学中，学生要掌握大量的数学概念和公式，对于提高学生的解题能力和逻辑思考能力具有很大的作用，因此，对数学概念和公式的理解是非常重要的。
不等式解题方法
不等式解题方法一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1b等价。
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。
如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1x)>1.分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0<a<1时，原不等式等价于 0<1- 1x <a,∴1-a<1x <1, ∵0<a<1，∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得1<x<11-a;综上所述，当a>1时,x ∈(11-a ,+∞)；当0<a<1时，x ∈(1,11-a).注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。
二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。
这里a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。
当a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a 与b 共线；当a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当ab ≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。
如：若1<1a <1b,则下列结论中不正确的是（ ）A 、log a b>log b aB 、| log a b+log b a|>2C 、(log b a)2<1 D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a| 分析：由已知，得0<b<a<1,∴a,b 同号，故|log a b|+|log b a|=|log a b+log b a|，∴D 错。
探析高中数学解题中数形结合思想的应用
㊀㊀㊀解题技巧与方法１５３㊀㊀探析高中数学解题中数形结合思想的应用探析高中数学解题中数形结合思想的应用Һ田㊀昆㊀（山东省曹县第一中学高中部，山东㊀菏泽㊀２７４４００）㊀㊀ʌ摘要ɔ高中数学是一门烦琐的㊁值得推敲的学科．学习数学需要学生具有良好的逻辑思维能力㊁转化能力以及判断能力．数形结合思想一直贯串高中数学的学习中，数形结合思想主要是将抽象的数学模型转化为浅显易懂的图形来解决问题．本文主要探讨高中数学解题中数形结合思想的应用，包括数形结合的概念，数形结合的使用策略以及数形结合的思想应用．ʌ关键词ɔ数形结合；高中数学解题；思想应用一㊁引㊀言在高中数学的教学过程中，有很多教师过于在乎成绩，使用 填鸭式 的教学方法，学生总感觉到枯燥乏味．在高中数学解题中，有很多解题方法，除了数形结合法，还有分类讨论法㊁换元法㊁反证法㊁定义法以及待定系数法等等．这些都对高中数学的解题有着重要的作用，可以减轻学生负担，缩减学生思考答题时间．而且，随着研究的不断深入，越来越多的教师赞同教导学生使用多种方法来解答题目，这样可以帮助学生更好地进行高中数学的学习，帮助学生厘清解题思路，降低学生学习数学的压力，从而缓解学生的抵触情绪．伴随着素质教育和新课标教学理念的全方位实行，数形结合等数学思想在高中数学解题中的应用越来越广泛．在近几年高考的题型中，数形结合较之前占比更大，由此，本文主要探讨数形结合对于高中数学解题的思想应用，并从以下几个方面展开论述．二㊁数形结合概念的界定数形结合，分开来看，主要是指数与形两个方面．它是一种教学思路方法，也是一种解题思路方法，其使用情况大致可以分为两种：一种是根据数据的精确程度，来判断形的某些属性，另一种是根据形的几何关系，来判断其与数据的关系．不管是哪种情况，都是为了在解题过程中更快地看出问题的重点，从而化复杂为简单．在数形结合的过程中，学生要注意数与形之间的对应关系，同时，要学会举一反三，根据数或者形中的某一特性，来达到对数或者形某一方面或者多个方面的认识．三㊁数形结合的使用策略数形结合的使用策略大概可以分为以下三种，以数化形㊁以形变数和形数互变．１．以数化形数和形是相对应的表达方式，与图形相比，数字比较抽象难懂，而图形比较具体生动形象，可以直观地表达很多属性，对于解决问题有着决定性的作用．因此，我们在解答问题的时候，可以将数字与图形对应找出来，尽可能多地用图形来解决问题．在解答问题的时候，我们可以把符合问题目标的模式找出来，而这种模式就是指在图形与数字之间的某一个特定的关系．把数字转化为图形，进而通过图形来解决问题的方法，就是图形分析法．而这种将数字图形化的问题解决方式，就是将数字转化为图形，最终通过图形问题来解决数学问题的方法．这种图形解决法有三种方式：首先是运用平面几何，其次是运用立体几何，最后是运用解析几何．通过这几种方式，我们能将数字问题转化为图形问题．一般而言，我们首先要对已知的条件进行分析，再与已知的目标相结合，找出它们之间的内在关系与联系，最后运用图形解决问题．将数字转化为图形是解决数学问题的重要方式，也是解决数学问题的基本的思路方法．所以，在解答问题的时候，要厘清题目中的条件和目标，运用图形观察分析，得出应该使用的公式方法，从而达到解决问题的最终目的．２．以形变数对于比较复杂的图形，仅仅靠简单的观察是不够的，它还需要与数字相结合，需要通过数字来解决其中的问题．在解决几何问题时，高中学生由于学习知识的单一性，并不能在头脑中高度地构建出题中所给的图形，进而影响了做题的速度．因此，在计算的时候，学生要注意把复杂的图形知识转化为数字知识，而且，通过复杂的图形结构可以挖掘隐藏的数字知识．在解析某些复杂的图形时，我们往往要构建出坐标系㊁极坐标系等辅助工具，将复杂的图形直观化．对于这类题目，解答的基本思路在于结合图形，找出在图形中体现出来的几何知识，即通过图形表达出来的性质㊁概念㊁定理等，再结合所学习的数字知识解答问题．对于某些高考试题，学生在解决立体几何类问题时，如果不借助以形变数的数学思想，则很难通过高强度的逻辑思维来强行画出要求的图形．因此，在做这种类型题时，教师最好引导学生使用数形结合的思想，即通过代数法来解决相关的图形问题．３．形数互变在解决数学问题的时候，对于一些比较复杂的问题，我们不仅要将数字转化为图形，还要将图形转化为数字．由于图形与数字同为数学最基本的两个要素，二者在绝大多数情况下都能相互转化，图形明显易懂，数字逻辑性强，所以，图形与数字相互转化时有极强的逻辑贯通性．我们通过结合数字与图形的优点来达到解决问题的目的．在学习中，学生的重点往往是解决问题，如果通过抽象的数字和复杂的㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５４㊀图形不容易看出解决问题的方法，那么在解答这种问题的时候，最主要的方法就是将直观的图形知识转化为严谨的数字知识，将严谨的㊁不易表达或者抽象的数字知识转化为形象的图形知识．只有这样，才可以很好地解决数学问题．四㊁数形结合在高中数学解题中的思想应用高中数学的学习是枯燥乏味的，是难以理解的．由于学生对数学敏感程度不同，对老师所教的内容消化吸收得有所差异，因此学生的学习成绩差异较大，这时学生就需要高效的学习思路和方法．在高中数学中有很多解决问题的思路和方法，而每一种思路和方法又可以解答不同类型的问题．数形结合也不例外．数形结合的最大好处在于它的直观性，学生在运用具体的图形时，能够更好地解决抽象的数学问题．学生要想运用数形结合的解题思想，必须要有意识地将抽象问题向具体图形进行转化，培养自己的图形理解能力㊁图形认知能力．在高中数学的解答过程中，数形结合可以在多个方面发挥作用，比如，数轴类问题㊁三角类问题㊁不等式类问题㊁函数类问题以及方程类问题和立体几何问题，这些都是运用数形结合就可以解决问题的题型．１．数形结合在数轴类问题中的思想应用顾名思义，数轴类问题主要使用的就是数轴，而数轴是数形结合方法之一．数轴是规定了原点㊁正方向㊁单位长度的一条直线，线是点的集合．数轴的图形原理就是通过数轴上的点与对应的数字相结合，找到它们之间的对应关系，最终达到数形结合的方法．这种思维解答方式更加具有拓展意义，而且，可以更加快速有效地解决相关问题，从而使高中数学的学习不再枯燥无味，而具有生命力和活力，更重要的是，它可以帮助学生培养思维，提高学生的思维拓展能力．例１㊀假设集合Ａ＝｛ｘ｜ｘɪＺ，且－１０ɤｘɤ－１｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘɪＺ，且｜ｘ｜ɤ５｝，那么ＡɣＢ中的元素个数是（㊀㊀）．Ａ．１１㊀㊀Ｂ．１０㊀㊀Ｃ．１６㊀㊀Ｄ．１５解析㊀数轴能形象地表示数，数轴上的点和实数一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示．如图１所示，由题意结合图形可知，此类数轴题是在高中数学中出现比较频繁的一类题目，而且，这种图形也是高中数学中比较直观简单的图形之一．对于此类题目，我们只需要根据集合中的相关元素，将代数问题转化为图形问题，从而解决问题．在本题中，由图可知，集合Ａ与集合Ｂ的并集中共包含了１６个整点数．图１２．数形结合在三角类问题中的思想应用数形结合的主要思路就是将数字转化为图形，将图形转化为数字，最终达到解决问题的目的．在解决三角类问题的过程中，我们可以将相对复杂的㊁难以理解和想象的代数问题，通过图形表达出来，这样可以更加直观地找出题目的几何背景，从而使学生对问题的思考更加深入，开阔学生的思维，降低学生的考试压力，最终缩减学生的答题时间．例２㊀函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ（ａｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ）＋ｃｏｓ２π２－ｘ()，已知ａɪＲ，并且ｆ－π３()＝ｆ（０），则ｘ的取值范围为π４，１１π２４[]时，函数ｆ（ｘ）的最大值与最小值是多少？解析㊀由题意可知，本题中ｆ－π３()＝ｆ（０），可知ａ＝２３，所以ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ２ｘ－π６()．画出草图如图２所示，因为ｘ的取值范围为π４，１１π２４[]，所以，根据图象可知，ｆ（ｘ）的最大值与最小值分别为２与２．三角函数在高中数学的学习中一直是重点㊁难点，数形结合最大的好处就是使原本抽象的三角函数变得清晰明了，由于三角函数循环的特殊性，经过数形结合的思想，比固定的直线－三角函数方程联立要轻松简单得多．图２３．数形结合在不等式类问题中的思想应用在解答高中数学问题的过程中，特别是在解答不等式或方程问题的过程中，学生往往喜欢运用代数的方法来解答．在这种情况下，学生的解答思路就会局限于数的解答上，从而缩减了学生的思路，使问题变得更加枯燥㊁复杂㊁难懂．而且，学生在解答到某一个阶段的时候，往往会因为无法进一步思考，而不得不停止思考，题目也会成为只解答了一半的未解题．在解答不等式问题的过程中，若将代数融入图形之中，则有利于学生更加深入思考．当然，这也需要学生具有很好的转化能力，能够将代数问题直接快速地转化为图形问题．例３㊀已知ｘ，ｙ为实数，且满足ｘ２＋ｙ２ɤ１，试求ｙ－１ｘ＋２的取值范围．图３㊀㊀㊀解题技巧与方法１５５㊀㊀解析㊀画图如图３所示，根据题意以及所画图形可知，设ｙ－１ｘ＋２＝ｋ，则ｋ是Ａ（－２，１）与Ｐ（ｘ，ｙ）点连线的斜率，过点Ａ的直线方程为ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋１，ｄ＝∣２ｋ＋１∣１＋ｋ２，进而可以得出ｙ－１ｘ＋２的取值范围为－４３，０[]．在解决不等式问题时，通过数形结合更能明显地看出其相较于传统解题方法的优势．由于在平面直角坐标系内，已经明确地规定了正方向，所以根据点或曲线所在位置很明显就能判断出其所代表数据的大小．４．数形结合在函数类问题中的思想应用函数类问题是高中数学中经常出现的问题，换句话说，它是高中数学的高频考点．然而函数类问题也十分复杂．所以，在解决函数类问题的过程中，将相关的问题通过图形表示出来，不仅可以帮助学生对题目的理解，厘清解答思路，还可以帮助学生对函数知识有一个更深入的认识，而且，可以帮助学生对函数的隐藏关系进行探索与挖掘，最终使学生的解题思路更加深入与灵活．例４㊀已知ｌｏｇ２（－ｘ）＜ｘ＋１，求ｘ的取值范围．解析㊀如图４所示，由题意以及所画图形，可以很直接地得出ｙ＝ｌｏｇ２（－ｘ）的图象在ｙ＝ｘ＋１图象的下方部分所对应的ｘ的值，所以，可以很简单地得出ｘ的取值范围，即（－１，０）．图４５．数形结合在方程类问题中的思想应用在高中数学中，方程类问题是最适合运用数形结合思想解决的题型之一．在问题的解决过程中，学生可以结合图形，使抽象的代数转化为具体形象的图形模式，最终使问题简单㊁容易理解，从而帮助学生快速地解答问题．例５㊀已知方程ａｘ－ｘ－ａ＝０，且ａ的取值范围是（１，＋ɕ），方程有几个解？解析㊀在本题中，老师可以引导学生画出ｙ＝ａｘ的图象，以此来帮助学生进一步解答．同时，学生要牢牢记住经典的函数模型和其所代表的平面曲线，在遇到类似的题目时也能迅速厘清思路，完成题目．６．数形结合在空间几何问题中的应用立体几何在高中数学中同样占有相当重要的比重．在解决立体几何问题时，学生既可以采用画辅助线这种纯图形式的做法，也可以使用以形换数，转化为空间向量的做法．作为高中数学中比较经典的解题方式，空间向量也是数形结合在空间几何中的重要应用．使用空间向量等以形换数的思想，能锻炼学生以数换形的思维定式，增加对数据的理解能力．例６㊀正方体ＡＢＣＤ－ＡᶄＢᶄＣᶄＤᶄ中，Ｍ是ＡＤ的中点，Ｎ是ＤＣ的中点，Ｐ是ＡᶄＣᶄ的中点，求平面ＭＰＮ与平面ＡᶄＢＣᶄ的夹角．解析㊀此题中，平面ＭＰＮ穿过正方体ＡＢＣＤ－ＡᶄＢᶄＣᶄＤᶄ，运用空间向量，在Ｄ处，以ＤＡң为ｘ轴正方向，ＤＣң为ｙ轴正方向，ＤＤᶄң为ｚ轴正方向，设建立空间直角坐标系，如图５所示．设正方体棱长为１，由题意得，Ｂ（１，１，０），Ｐ１２，１２，１()，Ｑ１４，１４，０()，则ＢＰң＝－１２，－１２，１()，ＰＱң＝－１４，－１４，－１()．经过简单的计算，二面角为ａｒｃｃｏｓ３３．由此题可知，在高考试卷上连续出现了１０余年的立体几何题在数形结合的思想下散发了新的活力，不仅给立体几何提供了新的做题思想，还开辟了新的出题思路．图５五㊁结㊀语在高中数学中，数形结合是一种简单㊁直观㊁形象的解答方法．对于学生而言，数形结合百利而无一害，它可以帮助学生更加深入理解题型，还可以帮助学生更加直观地认识题目．高中数学复杂的题目往往涉及多个考量标准，而数形结合这种思想能长驱直入，直奔主题．换一句话说，它可以帮助学生更加简单地解决相关题目，缩减学生的解题时间，同时让学生认识到，数学不是简简单单的数字计算，也不是将数字代入现成的公式中，而是要思考解决办法，即使遇见了不同的尚未见过的题型，也要有正确应对的心理素质和正确解决问题的数学能力．而且，数形结合方法可以拓展学生逻辑思维能力㊁转化思维能力等等，从而提高学生的解题能力．所以，在高中数学学习过程中，学生要注重对数形结合方法的学习．ʌ参考文献ɔ［１］王霞．探析高中数学解题中数形结合思想的应用［Ｊ］．高考，２０２１（０６）：３１－３２．［２］李德祥．基于函数思想的高中数学解题研究［Ｊ］．高考，２０２１（０４）：１７－１８．。
一次函数中的数形结合思想
一次函数中的数形结合思想在众多的函数中，一次函数最为简单.它的性质和应用是初中数学的重要内容，也是中考的重点考查内容.形少数，难入微；数缺形，少直观.在一次函数中数形结合思想的应用广泛且灵活，下面试举几例希望能对同学们的学习有所帮助.一、面积型根据已知条件的特点，画出图形，利用图形的直观性求解问题.例1.求直线y=3x-2和直线y=2x+3与y轴所围成的图形的面积.【思路分析】画出两直线的图像，如图1，得到满足条件的△ABC，再根据图形的特点求其面积.所以交点C的坐标为（5，13）因为直线y=3x-2和直线y=2x+3分别与y轴交于点A（0，-2）和B（0，3），所以AB=︱3-（-2）︱=5.又CD=5,所以 .【评注】解题时，若借助数形结合思想，把问题直观化、形象化，则有利于问题的解决.例2.一条直线与y轴交点到原点的距离为4，且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线的解析式.【思路分析】欲求直线的解析式，只需两组对应值，由已知直线与y轴交点到原点的距离为4，可以确定一组对应值，另一组对应值则需利用三角形面积的计算方法求出直线与x轴交点的坐标而求得.【解】设解析式为y=kx+b（k≠0），直线交y轴于点A，交x轴于点B.因为直线与y轴交点到原点的距离为4，所以A（0，4）或(0,-4).由，可得OB=2.所以B(-2,0)或(2,0).由于未指定直线的位置，所以应考虑所有的情况，如图所示：当直线过A(0,4),B(-2,0)时，解析式为y=2x+4；当直线过A（0，4），B（2，0）时，解析式为y=-2x+4；当直线过A(0,-4),B(2,0)时，解析式为y=2x-4；当直线过A（0，-4），B（-2，0）时，解析式为y=-2x-4；综上所述，所求解析式为：y=2x+4或y=-2x+4或y=2x-4或y=-2x-4【评注】对距离有要求时，需画草图分析，可能出现的各种情况，考虑周全，防止漏解.二、不等式型例3.作函数y=x+3的图象，如图所示，回答下列问题：（1）x取何值时，x+3＞0；（2）x取何值时，x+3＜0；（3）x取何值时，x+3＞1；【思路分析】要回答上面的三个问题，我们可以从函数图象的定义上去理性的思考：x+3＞0，可以看作是一次函数y=x+3中y＞0，从图象上看，可以看作是纵坐标大于0的所有点的集合，即y=x+3的图象在x轴上方的部分.此时，要满足x+3＞0，必须满足x＞3.其他两个问题的研究方法相同.【解】观察图象知：直线y=x+3与x轴的交点坐标为（-3，0），可知x=-3时，y=0.（1）当x＞-3时，x+3＞0；（2）当x＜-3时，x+3＜0；（3）当x＞-2时，x+3＞1.【评注】利用函数图象解一元一次不等式的方法是：作出函数图象，寻求图象与x轴的交点，求得一元一次不等式的解集.这是利用函数图象解一元一次不等式的“三部曲”.例4.一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-4≤x≤-2相应函数值的范围是4≤y≤6求此函数的解析式.【思路分析】一次函数y=kx+b（k≠0，b为常数）的性质理解是一个难点，我们应该把图象和k值正负结合起来理解.由于一次函数的图象是直线，故当-4≤x≤-2时，图象是线段，由一次函数的增减性，函数的最值一定对应x的最值，即y的最大值6，一定对应x的最大值-2或最小值-4，这要视k的符号而定.【解】对k的值分两种情况进行讨论；（1）当k＞0时，则y的值随x的值的增大而增大.因此，一定是当x=﹣4时，y=4；当x=﹣2时，y=6故得：y=x+8（2）当k＜0时，y随x的增大而减少，一定是当x=﹣4时，y=6；x=﹣2时，y=4，于是得y=﹣x+2.综合上述两种情况，符合条件的解析式为：y=x+8或y﹣x+2【评注】这是一道分类讨论题，由k的符号充分利用了一次函数的性质，构题较妙.三．实际应用型我们在分析和解决实际问题时首先应根据题目给出的条件写出函数关系式，然后再根据题意解决具体问题.在一些实际问题中经常是已知自变量的值，求相应的函数值；或根据函数值，求出与之对应的自变量的值.例5 某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元.若一个月总通话时间为x分钟，甲、乙两种业务的费用分别为y1元和y2元.（1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中画出y1、y2的图像；（3）根据一个月的通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？【思路点拨】“选择”是现实生活中经常遇到的问题，选择经常与经济效益相联系，.借助一次函数的图像，运用图像使问题得以解决.（1）由题意很容易得出y1=0.3x+15（x≥0）；y2=0.6x（x≥0）；（2）y1、y2在同一坐标系中的图像如下图所示；（3）由图像可知：当一个月通话时间为50分钟时，两种业务的费用相同；当一个月通话时间少于50分钟时，乙种业务更优惠；当一个月通话时间多于50分钟时，甲种业务更优惠，【评注】：求实际应用型问题的函数关系式，一般要写出自变量的取值范围，这个范围要根据实际情况来考虑.。
巧用“数形结合”来解题
解析式为 ｙ —ｘ ＋ ２ ， 再由一 ｘ ＋ ２ ＞０解得 Ｘ ＜２ 。 由题 意在坐标 系中画出该直线 （ 如 图所示 ） ， 观察 图象 ， 则“ 当 的 Ｘ ＜２时 Ｙ ＞０ ” 显得非常直观。 即使 我们把条件 中的 Ｂ点坐标改 为（ １ ３ ３ ， １ ３ ） ， 其中 ， Ｉ Ｔ Ｉ ＜ ２ ， ｎ＞０同样 可以得到 Ｘ ＜２ 。 而如 果利 用 上 面代 数方 法解 不 等式 的 话， 很难想象有多少 同学能求准确 ｙ ＝ — 旦 ｘ 一 — 兰 这个解析式 ，更不用谈 解对
而如果利用上面代数方法解不等式的话很难想象有多少同学能求准确ynm2x2nnm2x2n从这个例子我们可以看出若将数与形割裂开来不能有机结合渗透一味在数上埋头苦干虽有寥寥走到成功彼岸者但更多的是浅尝辄止望洋兴叹者
总第 ７ ３ ０期
教海探航
巧 用“ 数形结合 ” 来解题
缪 亚 军
（ Ｌ ＂ ｒ － 阴市暨阳中学 ， 江 苏省 ２ １ ４ ４ ０ ０ ）
ｍ － ｍ －
—
、 ／ ， 、 ／ ｉ ， 、 ／ 是 一个 三角形 的三条边 的长 ， 求 这个 三角形 面积 。（ 用含 ｍ， ｎ 的代 数式表示 ） 。我们 同样可 以 由勾股 定理联 想到利用上面 的构造方法 ， 如 图构造 ：
所以Ｅ Ｆ ＝ 、 ／ ｍ ＋ ｎ ， Ｂ Ｆ ＝ 、 ／ ４ ｍ ２ ＋ ｎ ， Ａ Ｂ ＝ 、 ／ ｍ ｎ
旦 ｘ 一 — 兰 ＿ ＞ ｎ ０ 这个不等式了。
Ｙ Ｊ ｇ ＿ ＋例子我们可以看 出， 若将 “ 数” 与“ 形” 割裂开来 ， 不能有机 结合渗透， 一味在“ 数” 上埋头苦干 ， 虽有寥寥“ 走到成功彼岸 ” 者， 但更
拓学生 的思维视野 ， 培养他们解决问题的能力 。 位 富翁买进 的湖泊 和土地共有多少亩吗？（ 如 图所示 ） 我原来是 利用海伦公式求得三角形面积 的， 因为湖泊都为正方形 ， 参考文献 ： ［ １ ］ 漫谈 一次函数 的教 学， 中学数学教 学参考 ， ２ ０ ０ ７ ． １ ２ Ａ Ｂ ＝ 、 ／ １ ８， Ｂ Ｃ ＝ 、 ／ ２ ６， Ａ Ｃ ＝ 、 ／ ２ ０， 所以 ＡＡＢ Ｃ周长的一半 ［ ２ ］ 中学数 学思想方法概论 ， 广州暨南大学出版社 ， ２ ０ ０ ４ ． ４ ． ｓ ： 堕 ０＿ ＿ ［ ３ ］ 数学课程标 准解读 ， 北京师范大学 出版社 ， ２ ０ ０ ２ ． ５ ｓ 一： 二 ： 、 ／ ；
巧用数形结合思想解答初中数学题
数学篇数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”的方法使复杂的问题简单化，抽象的数学问题直观化，从而达到优化解题途径、简化解题过程的目的.下面简单介绍数形结合思想在解题中的具体应用方法.一、运用数形结合思想解答数与式问题数与式是实践生活中抽象出来的数量关系.数形结合思想在解答数与式问题中的应用主要表现在数轴与实数的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.借助实数在数轴上的位置关系可以求解各类问题，比如去绝对值、比较大小、开根号等，从而把隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，达到快速有效解题的目的.例1实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图1所示，化简|a +b |-|c -b |的结果是（）.A.a +cB.-a -2b+cC.a +2b-cD.-a -c 0a cb 图1解：根据数轴知a 、c 都在原点0的左边，故而a <0且c <0，但c 离原点的距离比a 离原点的距离远，所以|a |<|c |，进而c <a <0；同理，b 在原点0的右侧，故而b >0.从数轴上可以看出b 点离原点0的距离比c 点还远，故而|b |>|c |.综合以上分析可知，c <a <0<-c <b .此时可以借助于数轴进一步明确a 、b 、c 三点及其相反数在数轴上的位置如图2所示，即-b <c <a <0<-a <-c <b .0a c b-a -c -b 图2据此数轴可以去绝对值如下：因为a <0,b >0且|b |>|a |，所以a +b >0，故|a +b |=a +b ，因为c -b =c +(-b )，c <0且-b <0，所以c -b <0，故而有|c -b |=b -c ，所以|a +b |-|c -b |=(b+a )-(b-c)=b+a -b+c=a +c.故选A 项.评注：对于选择题，我们可以借助数形结合思想给部分代数式或字母赋值，快速得到答案.对于解答题，我们可以多次利用数形结合的方法“正过来、逆过去”实现问题的简化，从而解题.二、运用数形结合思想解答方程与不等式问题解答方程与不等式问题需要较强的计算能力.当用代数方法求解比较繁杂时，可以利用数形结合思想将方程或不等式转化为几何问题，比如转化为交点问题、最大（小）值问题.利用几何图形的特征和直观性解题，可以使解题更便捷.例2方程组{y =2x -1,y =-x -1,的解是______.解：方程组的解一定都适合每一个方程，那么借助于数形结合思想来观察，方程组的解一定在每一条直线上，所以方程组的解一定是两直线的交点，即交点的坐标.将方程的图象在坐标系中表示出来，如图3所示，由图可知两条直线相较于点（0，-1），所以方程组的解就是{x =0，y =-1.例3若不等式组{3x +a <0，2x +7>4x -1，的解集为x <0，则a 的取值范围为（）.A.a >0B.a =0C.a >4D.a =4解：解不等式2x +7>4x -1得解集为x <4①.巧用数形结合思想解答初中数学题甘肃省张掖市山丹育才中学韩永年图3学思导引30数学篇化简不等式3x +a <0得x <-a 3②,借助数轴画出①的解集如图4：图4由题目条件知不等式组的解集为x <0，故不等式组的解集可以进一步细化，如图5所示：图5可以确定阴影部分的区域就是不等式3x +a <0的解集，所以x <-a 3与x <0是等价的.从而有-a 3=0，即a =0.所以选择B 项.评注：无论是方程（组）还是不等式（组），都可以借助数轴或直角坐标系实现数和形的转化.三、运用数形结合思想解答函数问题平面直角坐标系把有序实数对(x ,y )与点一一对应起来，使数与形有了统一.一个函数也就因此可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析函数的一些性质和特点.运用数形结合思想解答函数问题就要充分挖掘图象中的各种信息以及信息之间的内在联系，利用获取的信息解题.例4某班“数学兴趣小组”对函数y =x 2-2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x y ……-33-5254-2m -1-1001-120525433……直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出函数的两点性质.（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有个交点，所以对应的方程x 2-2|x |=0有个实数根；②方程x 2-2|x |=2有个实数根；③关于x 的方程x 2-2|x |=a 有4个实数根时，a 的取值范围是．图6图7解：（1）根据函数的对称性可得m =0，故答案为：0；（2）如图7所示；（3）由函数图象知：①函数y =x 2-2|x |的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x 轴有3个交点，所以对应的方程x 2-2|x |=0有3个实数根；②如图7，∵y =x 2-2|x |的图象与直线y =2有2个交点，∴x 2-2|x |=2有2个实数根；③由函数图象知：∵关于x 的方程x 2-2|x |=a 有4个实数根，∴a 的取值范围是-1＜a ＜0，故答案为：3，3，2，-1＜a ＜0．评注：本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质.正确的识别图象并根据题意画出图形，利用数形结合思想解题是关键．“数形结合”有两个方面，即“以形助数”或“以数解形”.我们不可以偏废其一，要灵活掌握数形之间互化的方法.既要学会让图说学思导引。
浅谈数形结合的思想方法在列不等式解实际问题中的数学构想(教学实践类)
ｔ 、
解得 ： ｘ ≤３ ０ ．
ｊ
答： 她 家每 月 用气 最 多 ３ ０ ｍ 。
ｊ
５ ． 车费 问题 ： 某市 出租 车 的 收费 标 准 ： 起 步价 ３元 （ 即行 驶距 离 不 超过 ３千 象这样 ， 用一条线段 Ａ Ｂ来 表 示 总 费 用 ． 它包含两部分 ， 即线 ， 超过 ３ 千米 ， 每增 加 １ 千米 ， 加收 １ ． ２元 （ 不 足 段 Ａ Ｃ （ 月租费） 和 线段 Ｃ Ｂ （ 通话费） 。 很 直 观 又形 象 ， 学 生 理解 起 来 米都 需 付 ３元 车 费 ） １千米 按 １千米计 ） ， 某 人 乘 出 租 车 从 甲 地 到 乙 地 ， 共 支 付 车 费 ２ １ 很 容 易懂 ， 教 学效 果 也好 。 元． 问此 人 从 甲地 到 乙地 经过 的路 程最 远 是 多少 千米 ？ 解： 高小 明 家平 均 每 月通 话次 数 为 ｘ次 分析 ： 则有 ： ２ ２ ． ８ ８ ＋ ０ ． １ ８ ｘ ＞ ２ ８ 总路 程 ｘ ｋ ｍ
浅 谈 数 形 结 合 的 思 想 方 法 在 列 不 等 式 解 实 际
问题 中的数 学构 想 （ 教 学实 践 类 ）
罗 庆 莲 （ 重 庆市 渝 高 中学 重 庆
４ ０１ ５ ５ ４）
中图分类号 ： Ｇ６ ３
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ５ ８ １ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ － ０ １ ３ ８ － ０ ２
１ Ａ
解得 ： ｘ ＞ ２ ８
・ ．
收费 ３元
３ ｋ ｍ
非 负数 整 数 Ｘ 最小为 ２ ９ 答： 小 明家 平 均每 月 通话 至 少 ２ ９次 ２ ． 水 费 用 问题 ： 某市 自来水 公 司按 如 下标 准 收取 水 费 ．若 每 户 每月 用 水 不超 过５ ｍ３ ． 则 每立 方 米 收 费 １ ． ５元 ： 若 每 户 每 月 用水 超 过 ５ ｍ ３ ， 则超出 部分每立方米收费 ２ 元 ． 小 童家 某 月 的水 费 不 少 于 １ ０元 ． 那 么她 家这 个 月 的用 水 量至 少是 多 ｍ３ ７
利用数形结合方法解决高中数学题
利用数形结合方法解决高中数学题作者：李欣阳来源：《祖国》2018年第20期摘要：教育体制改革的不断深入使教育工作对高中数学的重视不断增加，数学作为高中的重要科目，如何帮助学生学好数学并熟练解决高中数学题是高中教师的首要任务，而数形结合方法在学生解答数学题的过程中发挥了十分重要的作用。
基于此，本文将对利用数形结合方法解决高中数学题的方式进行分析和探究。
关键词：数形结合高中数学解题方法在高中，数学主要的研究对象应分成两部分，即数和形。
数指的是复数、代数、实数的对象以及关系，是数学中的抽象思维。
形指的是几何图形，是数学中的形象思维。
但是，数和形是具有一定关联的，数形结合方法的运用，可以充分调动学生右脑和左脑的思维，深入、协调、全面地帮助学生学好高中数学。
一、数形结合方法的含义数和形在数学中是最基本也是最古老的两个研究的对象，两者能够在特定的条件下进行转化。
高中数学研究时将其分成数与形两个重要部分，数和形二者有着十分密切的关系，这种关系就被称作数形结合或是形数结合。
数形结合作为数学思想方法的其中一种，其应用基本分成两种情况，以形的直观性对数的关系进行阐述，或以数的精确性对形的属性进行阐述，换句话说，就是数形结合主要包含两方面，一方面是以形助数，另一方面是以数解形。
其中，以数解形时部分图形比较简单，不能直观地看出一些规律，此时应对图形赋值，比如角度和边长等。
利用数形结合方法时应遵循双向性、等价性、简洁性的原则。
双向性原则指的是不但要分析几个图形，还应研究相应数据，根据两者的对应关系修正数据与图形。
等价性原则指的是解题过程中，数与形两者对问题进行描述应遵循等价性原则，画图时应注重基本特征与关键节点的描绘，防止因画图偏差产生的解题失误。
简洁性原则指的是应确保画图简洁，把几何图形的优点充分表现出来，并且解题过程中需要避免大量的计算，使解题难度降低，做到化繁为简。
二、利用数形结合方法解决高中数学题的方式在高中数学中，数形结合是较为常见的一种解题方法，灵活地利用数形结合方法解决高中数学题能够有效降低题目难度，将各项数据的相互关系直观展现出来。
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用数形结合的方法，解决不等式的问题
数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象。正如华罗庚先生所说的：“数形结合
千般好”，其特征主要体现是将代数问题几何化，即通过图形反映相关的代数关系，从而直
观地解决有关的代数问题。
一. 解含参不等式
在解决含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗
长。如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决。
例1. 已知，解关于x的不等式。
解：如图1所示，在同一坐标系中，作和的图象。
图1
解和交点的坐标，即在时，由，得。由图1知，
当时，曲线的上方。
所以原不等式的解集为：
例2. 已知，解关于x的不等式。
解：如图2所示，在同一坐标系中，作曲线及直线：。
联立和，解得。
图2
由图2知，曲线C在直线上方部分的点的横坐标范围，即为原不等式的解集：
。
二. 确定参数的范围
在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观而易于理解。
例3. 求实数a的范围，使当时，不等式恒成立。
解：原不等式变形得：
令
如图3所示，在同一坐标系中作出曲线C：和直线。
由于直线恒经过定点，由图3可知，要使在
时恒成立，直线应在原点下方，即斜率a应该大于。
所以a的取值范围是。
图3
例4. 已知关于x的不等式的解集为，求实数
a、b的值。
解：将原不等式同解变形为
如图4所示，在同一坐标系中作出曲线和直线。
图4
根据题意，求出直线和曲线C的交点，将坐标代入的
方程得：
解之得：
三. 证明不等式
把要证明的不等式赋予一定的几何意义，将使复杂的证明问题获得明快解决。
例5. 已知：。求证：。
分析：表示原点到点的距离，利用这种几何意义，问题就变得
很简单了。
证明：如图5所示，设，则
（1）当时，在△AOB中
由
得
（2）当时，由
得
综合（1）、（2）得
图5