《控制工程基础》第三章习题解题过程和参考答案
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3-1 已知某单位反馈系统的开环传递函数为1
)(+=Ts K
s G k ，试求其单位阶跃响应。 解法一，采用拉氏反变换：
系统闭环传递函数为：()()()()1()1k k G s C s K
s R s G s Ts K Φ===
+++ 输入为单位阶跃，即：1()R s s
= 故：1()()()1
1K A B
C s s R s K Ts K s s s T
=Φ=
⋅=+
++++ 可由待定系数法求得：,11
K K
A B K K ==-++ 所以，1111
()()111K K K K K C s K K s K s s s T T
++=-=-+++++
对上式求拉氏反变换：
1
()(1)1
k t T
K c t e K +-=-+
解法二，套用典型一阶系统结论：
由式(3-15)，已知典型一阶系统为：()1
()()1
C s s R s Ts Φ=
=+ 由式(3-16)，其单位阶跃响应为：1()1t T
c t e
-=-
若一阶系统为()()()1
C s K
s R s Ts Φ==+，则其单位阶跃响应为：1()(1)t T c t K e -=- 现本系统闭环传递函数为：()()(1)()()1()1(1)11
k k G s C s K K K K s R s G s Ts K Ts K T s '
+Φ=====
'++++++ 其中，,11
T K
T K K K ''=
=++ 所以，1
1()(1)(1)1
k t t T T K
c t K e
e K +--'
'=-=-+
采用解法二，概念明确且解题效率高，计算快捷且不易出错，应予提倡。
3-2 设某温度计可用一阶系统表示其特性，现在用温度计测量容器中的水温，当它插入恒温水中一分钟时，显示了该温度的98%，试求其时间常数。又若给容器加热，水温由0℃按10℃/min 规律上升，求该温度计的测量误差。 解：
（1）由题意知，误差为2%，因此调节时间：41min s t T ==，即时间常数T ：
1
0.25min 15sec 4
s T t ===
（2）由题意知输入信号为斜坡信号，()10min r t C ︒=。由式(3-24)，一阶系统跟踪斜坡信号时有一固定稳态误差：
10min 0.25min 2.5ss t
e AT C C ︒︒==⨯=
3-3 一阶系统的结构如题3-3图所示，其中K 1为开环放大倍数，K 2为反馈系数。设K 1＝100，K 2＝0.1。试求系统的调节时间t s （按±5％误差计算）；如果要求t s ＝0.1，求反馈系数K 2。
题3-3图 系统的结构图
解：
系统闭环传递函数为：1
121212
121()()()11K K K C s s s K K R s s K K K K s
Φ====
+++ 可见，时间常数12
1
0.1sec T K K =
= （1）调节时间30.3sec s t T ==（5％误差） （2）已知1233s t T K K ==，所以2133
0.30.1100
s K t K ===⨯
3－4 设单位反馈系统的开环传递函数为)
5(4
)(+=s s s G k ，求该系统的单位阶跃响应。
解：
系统闭环传递函数为：2
()()4
()()1()54
k k G s C s s R s G s s s Φ=
==+++ 这是一个二阶过阻尼系统(1)ζ>，不是二阶振荡系统，因此不能套用现成结论。可用传统方法求解，即： 输入为单位阶跃：1()R s s
= 故：24111343
()()()5441
C s s R s s s s s s s =Φ=⋅=+-++++
对上式求拉氏反变换：
t t e e t c ---+=3
4
311)(4
3-5 已知某系统的闭环传递函数为
2
22
()
()()2n n n
C s s R s s s ωζωωΦ==++
系统单位阶跃响应的最大超调%8%=σ，峰值时间s t p 1=，试确定ζ和n ω值。 解：
由o o
e
σ
-=
，可求得：0.627ζ== （也可查图3-16而得）
由p t =
，可求得： 4.031n rad s ω=
=
3-6 一单位反馈系统的开环传递函数为
)
1(1
)(+=
s s s G k
求：（1）系统的单位阶跃响应及动态性能指标r t 、p t 、s t 和%σ； （2）输入量为单位脉冲时系统的输出响应。 解：
系统闭环传递函数为：2
()()1
()()1()1
k k G s C s s R s G s s s Φ=
==+++ （注：上式已经符合标准式(3-27)，否则应变换为标准式才能继续） 系统的参数为：1
1,
210.52n n n
ωζωζω==⇒=
=，为欠阻尼。 （1）由式（3-46），单位阶跃响应：
()1()n t c t ζωωθ-=+
，其中θ=
代入各参数：
0.5()1 1.15sin(0.866 1.047)t
c t e
t -=-+
，其中 1.047rad θ==
以下求各指标：
由r t =
，其中 1.047rad θ==，
故： 2.418sec r t =
=
3.628sec p t =
=
3
6sec (5%)48sec (2%)n
s n
t ζωζω⎧=∆=⎪⎪=⎨
⎪=∆=⎪⎩
100%16%o o e σ-== （也可查图3-16而得）
（2）由式（3-46），单位脉冲响应：