第三章习题解答

当1 i j 4 时， P{X i,Y j} 0 ．故得到 ( X ,Y ) 的分布律为
X Y
1
2
3
4 2.解 由 P{XY 0} 0 得
1234
11 1 1 4 8 12 16 01 1 1
8 12 16 00 1 1
12 16 00 0 1
16
P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1} 0 ，
1
2,
2,
1
1，
2(1
2
)
2 1
(1 2 )1 2
2(1
2
)
2 2
解得
t 2
；当 t
1 时，FT
(t)
1
1 2t
，
所以 T
Y X
的密度函
数为
0,
fT
(t)
FT(t
)
1, 2
1 2t 2
,
t 0, 0 t 1,
t 1.
11.解 设 X i 是第 i 只电子管的寿命， i 1,2,3,4 ，则 X1, X 2 , X3, X 4 相互独立，故
P{X1 180, X 2 180, X3 180, X 4 180}
1.解 由分布律的性质知， a b 7 ，由 12
F P{X 0,Y 1} P{X 0,Y 0} P{X 0,Y 1} 1 a 1 ，
4
2
解得 a 1 , b 1 ，选（A）． 43
2. 解
P{X1 m, X 2 n} (1 p)m1 p (1 p)nm1 p p2 (1 p)n2 ， 其 中
P{X 2 Y 2 1,Y X}
4 d
1 2 er r dr 1 (1 2) ．
0
0
2e
8.解 由于 X 与 Y 相互独立，所以
F (1, 1) P{X 1,Y 1} P{X 1}P{Y 1} ( 1 e1 1 e1) 1exdx 2e1(1 e1) ． 0! 1! 0 选择题
t1
t2et2
dt2
t3 1 (
6
t2 2
t
1)e t
，
故T
的密度函数为
fT
(t)
FT(t)
1 6
t3et ,
t 0,
0, t 0.
10.解
FT (t) P{T
t} P{ Y X
t} P{Y
tX } ．利用几何概型可得当 t
0 时，
FT (t )
0；当 0
t
1 时，FT
(t)
1
dx
1x
e (x y)dxdy
1
2
；
0
0
e
⑶
F ( x,
y)
x 0
y e(uv)dudv (1 ex )(1 e y ) , x 0, y 0,
0
0,
其它.
4.解 计算得 ( X ,Y ) 关于 X 和Y 的边缘分布律分别为
1 2 3 4 1 2 3 4
X
1
4
1 4
1 4
1
,Y
P{X1 180}P{X2 180}P{X3 180}P{X 4 180}
[P{X 180}]4 [1 P{X 180}]4 [1 P{ X 160 1}]4 20
[1 (1)]4 [1 0.8413]4 0.000634 ．
解答题（Ｂ类）
1.解 对照二维正态分布的密度函数，不难发现，
m 1 , 2 , ，3 n, m 1, m 2, ，选（B）．
3.解：因为 X 和 Y 相互独立，所以 p3 P{X 1,Y 1} ．又 {X 2 Y 2 1} {X 1,Y 1} {X Y 2}，
故 p1 p3 p2 ，选（B）．
4.解
由X
~
1
0
p
1 p
知1
X
~
0 p
1 1
p
，X
2
~
0 1 p
1 p
，所以①和②
均正确．
由于 XY 只取 0 和1，且 P{XY 1} P{X 1,Y 1} P{X 1}P{Y 1} p p p2 ，
所以 XY ~ B(1, p2 ) ，故③正确．
由第三章结论 7.2 知 X Y ~ B(2, p) ，故④正确．选（D）．
f
(x,
y)dx
y
2dx,
0
0,
0 x 1, 2 y,
其它
0,
0 y 1,
其它.
⑵ 由于 f (x, y) fX ( x) fY ( y) ，所以 X 与Y 不相互独立．
⑶
当 x (0,1) 时，
fY X ( y
x)
f (x, y) fX (x)
1
1
0,
x
,
x y 1,
其它.
0
3
1
1
．
4 4
7.解
由
f (x, y) dxdy
ke x2 y2 dxdy
2 d
ker r dr 1，解得
00
0
0
k
2
，所以
f
(x,
y)
2
e 0,
x2 y2
, x 0, 其它.
y
0,
因而
FUV
(1, ) 4
P{U
1,V
} 4
P{
X 2 Y 2 1, arctan Y } X4
4
25 48
13 48
7 48
1 16
．
进而在已知Y 1的条件下， X 的条件分布律为
1 2 3 4
( X Y 1)
12 25
6 25
4 25
3 25
．
5.解 ( X ,Y ) 关于 X 和Y 的边缘分布律分别为
P{X m} pm (1 p)n (1 p) pm1 ， m 1, 2,3 ； n1
P{Y n} pm (1 p)n p(1 p)n1 ， n 1, 2,3 ． m1
由于 P{X m,Y n} pm (1 p)n P{X m}P{Y n} ，m, n 1, 2,3, ，所以 X 与 Y 相互独立．
6.解 ( X ,Y ) 关于 X 的边缘密度函数为
fX (x)
(
X
,Y
)
~
1
0
1
1
．
4
2 4
4.解 由几何概型知 P{X 1} 3 , P{X 1 ,Y 1} 1 ，所以
24
2 22
P{Y
1
X
1}
P{X
1 ,Y 2
1} 2
1 2
2
．
22
P{X 1}
33
2
4
5.解
( X ,Y ) 的密度函数为
f
(x,
y)
f
(x)
f
(y)
4xy,
0,
0 x 1, 0 y 1，
Y{2u X , v P}Y u{ X , v 2
}
u
2 dy
f (x, y)dx ，
v
所以 FUV (u, v) 1
u
2
v
f
(x, u ) dx ，进而 2
fUV
(u, v)
2FUV (u, v) uv
1 2
f
(v, u ) 2
，选（D）．
解法二
0
X
V
，Y
1U 2
， x, y u, v
其它.
当 t 0 时， FT (t) P{T t} 0 ；当 t 0 时，
FT (t) P{T t} P{T1 T2 t}
f (t1, t2 )dt1dt2
t1t2e(t1t2 )dt1dt2
t1 t2 t
t1 t2 t t1 0,t2 0
t 0
t1e
t2
dt1
t 0
P{X 1,Y 1} P{U 1,U 1} P() 0 ，
P{X 1,Y 1} P{U 1,U 1} P{1 U 1} 1 ， 2
P{X 1,Y 1} P{U 1,U 1} P{U 1} 1 ． 4
于是 X 和 Y 的联合概率分布律为
(1, 1) (1,1) (1, 1) (1,1)
7.解 度函数为
⑴
(X
,Y)
的密度函数为
f
(x,
y)
2 0
, ,
(x, y) D, 其它. ( X ,Y ) 关于 X 的边缘密
fX (x)
f
( x,
y)dy
1
2dy,
x
0,
0 x 1,
其它
2(1 x),
0,
0 x 1,
其它.
( X ,Y ) 关于Y 的边缘密度函数为
fY ( y)
8.解 列下表求解
( X ,Y ) (0, 0) (0,1) (1, 0) (1,1)
3
1
1
1
P
8
4
8
4
U
0
1
1
2
V (U ,V )
0
1
1
1
(0, 0) (1,1) (1,1) (2,1)
故适当合并后得
0 1 2
0 1
(0, 0) (1,1) (2,1)
U
3
3
1
,
V
3
5
，
(U
,V
)
3
3
1
．
8 8 4
8 8
8 8 4