(完整word版)选修2-2第三章复数全套学案

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§3.1.1 数系的扩充与复数的概念

学习目标 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念. 学习过程

一、课前准备

6062

复习1：实数系、数系的扩充脉络是：

→ → → ，

用集合符号表示为： ? ? ?

复习2：判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与?的关系）： （1）2340x x --= （2）2

450x x ++=

（3）2210x x ++= （4）210x +=

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：复数的定义

问题：方程210x +=的解是什么？

为了解决此问题，我们定义21i i i ?==-，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 . 新知：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式）

，其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集.

试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0

反思：形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数z 的实部， 叫做复数z 的虚部.

对于复数(,)a bi a b R +∈当且仅当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数； 探究任务二：复数的相等

若两个复数a bi +与c di +的实部与虚部分别 ，即: ， .则说这两个复数相等.

a bi +=c di + ? ；

a bi +=0 ? . 注意:两复数 比较大小.

※ 典型例题

例1 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是

（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

变式：已知复数222

76(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

小结：数集的关系：0,0)0)0,0)a a ??

≠≠??≠??≠=??

实数 (b=0)

复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 例2已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、

虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值.

变式：设复数(,)

z a bi a b R

=+∈，则z为纯虚数的必要不充分条件是（）

A．0

a=B．0

a=且0

b≠

C．0

a≠且0

b=D．0

a≠且0

b≠

小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件.

※动手试试

练1. 若(32)(5)172

x y x y i i

++-=-，求,x y的值.

练2. 已知i是虚数单位，复数

2(1)(23)4(2)

z m i m i i

=+-+-+，当m取何实数时，z是：

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零.

三、总结提升

※学习小结

1. 复数的有关概念；

2. 两复数相等的充要条件；

3. 数集的扩充.

学习评价

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 实数m取什么数值时，复数1(1)

z m m i

=-++是实数（）

A．0 B．1-C．2-D．3-2. 如果复数a bi

+与c di

+的和是纯虚数，则有（）

A．0

b d

+=且0

a c

+≠

B．0

b d

+≠且0

a c

+=

C．0

a d

+=且0

b d

+≠

D．0

b c

+=且0

b d

+≠

3. 如果22

2(32)

z a a a a i

=+-+-+为实数,那么实数a的值为（）

A．1或2-B．1-或2

C．1或2 D．1-或2-

4.若22

(1)(32)

x x x i

-+++是纯虚数，则实数x的值是

5. 若()(1)(23)(21)

x y y i x y y i

++-=+++，则实数x= ；y= .

课后作业

1.求适合下列方程的实数与的值:

(1)(32)(5)172

x y x y i i

++-=-

(2)(3)(4)0

x y x i

+-+-=

2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在，请举出例子；若不存在,请说明理由.

(1)实部为2

-的虚数

(2)虚部为2

-的虚数

(3)虚部为2

-的纯虚数

2

3

学习目标

理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P 62~ P 64，找出疑惑之处）

复习1：复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时z 为实数、虚数、纯虚数？

复习2：若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值，（(4)(3)2x y i ++-≥呢？）

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：复平面

问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？

分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部b 同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.

结论：复数与平面内的点或序实数一一对应.

新知：

1.复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.

显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2. 复数的几何意义:

复数z a bi =+←???→一一对应

复平面内的点(,)Z a b ；

复数z a bi =+←???→一一对应

平面向量OZ u u u r ；

复平面内的点(,)Z a b ←???→一一对应

平面向量OZ u u u r .

注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量u u r

OZ ，规定相等的向量表示同一复数.

3. 复数的模

向量OZ u u u r

的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知:

22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈

试试：复平面内的原点(0,0)表示 ，实轴

上的点(2,0)表示 ，虚轴上的点(0,1)-表示 ，点(2,3)-表示复数

反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.

※ 典型例题

例1在复平面内描出复数23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0分别对应的点.

变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).

小结：

复数z a bi =+←???→一一对应

复平面内的点(,)Z a b .

4

5

及其几何意义

学习目标

掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.

学习过程

一、课前准备

6667 复习1：试判断下列复数

14,72,6,,20,7,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量.

复习2：求复数2log 23z i =+的模

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：复数代数形式的加减运算 规定：复数的加法法则如下：

设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么。 ()()()()a bi c di a c b d i +++=+++

很明显，两个复数的和仍然是 . 问题：复数的加法满足交换律、结合律吗？

新知：对于任意123,,z z z C ∈，有 1221z z z z +=+

123123()()z z z z z z ++=++

探究任务二：复数加法的几何意义

问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？

由平面向量的坐标运算，有OZ u u u r =12OZ OZ +u u u u

r u u u u r =（ ）

新知：

复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）

试试：计算

（1）(14)(72)i i +-+= （2）(72)(14)i i -++= （3）[(32)(43)](5)i i i --++++= （4）(32)(43)(5)]i i i --++++[=

反思：复数的加法运算即是：

探究任务三：复数减法的几何意义

问题：复数是否有减法？如何理解复数的减法？ 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算.

新知：复数的减法法则为：

()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-

由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.

复数减法的几何意义：复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.

※ 典型例题

例1 计算 (56)(2)(34)i i i -+---+

变式：计算

（1）()845i -+（2）()543i i -- （3())

2923

i i +---

小结：

两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减.

例2 已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求：

（1）AO u u u r 表示的复数；（2）CA u u u r 表示的复数； （3）B 点对应的复数.

6

变式： ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数.

小结：减法运算的实质为终点复数减去起点复数，

即：B A AB z z =-u u u r

※ 动手试试 练1. 计算：（1）(24)(34)i i ++-；（2）5(32)i -+； （3）(34)(2)(15)i i i --++--； （4）(2)(23)4i i i --++

练2. 在复平面内，复数65i +与34i -+对应的向量

分别是OA u u u r 与OB u u u r ，其中O 是原点，求向量AB u u u r ，BA u u u r

对应的复数.

三、总结提升

※ 学习小结

两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行.

※ 知识拓展

复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 0a =是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件

2. 设O 是原点，向量OA u u u r ，OB u u u

r 对应的复数分别为

23i -，32i -+，

那么向量BA u u u r

对应的复数是（ ） A ．55i -+ B ．55i -- C ．55i + D ．55i - 3. 当2

13

m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内

对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

4. 2i i +在复平面内表示的点在第 象限.

5. 已知134z i =+，点2z 和点1z 关于实轴对称，点3z 和点2z 关于虚轴对称，点4z 和点2z 关于原点对称，则2z = ；3z = ；4z =

课后作业

1. 计算：

（1）(65)(32)i i -++；（2）5(22)i i -+；

（3）2213

()(1)()3324

i i i ++--+；

（4）(0.5 1.3)(1.20.7)(10.4)i i i +-++-

2. 如图的向量OZ u u u r

对应的复数是z ，试作出下列运算的结果对应的向量： （1）1z +；（2）z i -；（3）(2)z i +-

§3.2.2 复数代数形式的乘除运算

学习目标

1. 理解共轭复数的概念；

7

2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算.

学习过程

一、课前准备

6870 复习1：计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+

（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[

复习2：计算：

2()a b ±=

(32)(32)a b a b +-= (32)(3)a b a b +--=

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：复数代数形式的乘法运算 规定，复数的乘法法则如下：

设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么 2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++ =()()ac bd ad bc i -++

即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.

问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？

试试：计算（1）(14)(72)i i +?- （2）(72)(14)i i -?+

（3）[(32)(43)](5)i i i -?-+?+

（4）(32)(43)(5)]i i i -?-+?+[

新知：对于任意123,,z z z C ∈，有 1221z z z z ?=?

123123()()z z z z z z ??=??

1231213())z z z z z z z +=+

反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律.

探究任务二：共轭复数 新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

试试：34i +的共轭复数为

a bi +的共轭复数为 bi 的共轭复数为

问：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为： （2）12z z ?是一个怎样的数？

探究任务三：复数的除法法则

2222

()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad

a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+=

==+++-++(0)c di +≠

※ 典型例题 例1 计算：

（1）(34)(34)i i +-； （2）2(1)i +

变式：计算：

（1）(3232i i ；（2）2(1)i -； （3）(2)(12)i i i --

小结：复数的乘法运算类似于实数集上的乘法运算. 例2 计算（1）(12)(34)i i +÷-；

（21996

232(123i

i

-+++

8

变式：计算（1）

2

32(12)

i

i -+，（2）23(1)1i i -+-

小结：复数的除法运算类似于实数集上的除法运算。

※ 动手试试 练1. 计算：（1）(12)(34)(2)i i i +---

练2. 计算：（1）11i i +-， （2）11i i -+， （3）(1)(2)

i i i

-++-

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 复数的乘除运算；

2. 共轭复数的定义.

※ 知识拓展

i 具有周期性，

即：41n i =；41n i i +=；4221n i i +==-； 43n

+※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 复数

5

2

i -的共轭复数是（ ）

A ．2i +

B ．2i -

C ．2i --

D ．2i -

2. 复数3

1()2的值是（ ）

A ．i -

B ．i

C ．1-

D ．1

3. 如果复数212bi

i

-+的实部和虚部互为相反数，那么

实数b 的值为（ ）

A

B ．-2

C ．23-

D ．2

3

4.若1z =+，则22z z -的值为

5. 若复数z 满足11z

i z

-=+，则|1|z +的值为

1. 计算：

（1

）1()(1)2i -+；（2）11)()22--+

（3）274i

i

++；（4）25(4)(2)i i i ++

2. 已知23i -是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值.

第三章 数系的扩充与复数的引入

（复习课）

9

掌握复数的的概念，复数的几何意义以及复数的四则运算.

学习过程

一、课前准备 72 复习1：复数集C 、实数集R 、有理数集Q 、整数集Z 和自然数集N 之间的关系为：

复习2：已知1510z i =+，234z i =-，12

111

z z z =+，求z . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：复数这一章的知识结构 问题：数系是如何扩充的？本章知识结构是什么？ 新知：

试试：若122,34z a i z i =+=-，且12

z

z 为纯虚数，求

实数a 的值.

变式：（1）12

z z 对应的点在复平面的下方（不包括

实轴），求a 的取值范围.（2）1

2

z z 对应的点在直线0x y +=，求实数a 的值.

反思：若复数(,)a bi a b R +∈是实数，则 是虚数，则 ；是纯虚数，则 ； 其模为 ；其共轭复数为 . 若(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，则 . ※ 典型例题 例1 已知m R ∈，复数2(2)(23)1

m m z m m i m +=++--，当m 为何值时， （1）z R ∈？（2）z 是纯虚数？（3）z 对应的点

位于复平面第二象限？（4）z 对应的点在直线30x y ++=上？

变式：已知11m

ni i

=-+，其中,m n 是实数，i 是虚数单位，则m ni +=

小结：掌握复数分类是解此题的关键.在计算时，切不可忘记复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的一个必要条件是0b ≠，计算中分母不为0也不可忽视. 例2 设存在复数z 同时满足下列条件： （1）在复平面内对应的点位于第二象限； （2）28()zz iz ai a R +=+∈；试求z 的取值范围

变式：已知复数z 满足||28z z i +=+，求复数z

小结：复数问题实数化是解决复数问题的主要方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式(,)z a bi a b R =+∈，由复数相等得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量. 例3 在复平面内 （1）复数22(24)(22)z a a a a i =-+--+，（2）满

足|1||1|4z z ++-=的复数z ，对应的点的轨迹分别是什么？

10

※ 动手试试

练1. 已知复数26(2)2(1)1m

z i m i i

=+-

---，

当实数m 取什么值时，复数是（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.

练2. 若2222log (32)log (21)1x x i x x --+++>，则实数的值（或范围）是 .

三、总结提升 ※ 学习小结

复数问题实数化是解决复数问题最基本的也是最重要的思想方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式(,)z a bi a b R =+∈，由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量.根据复数相等一般可解决如下问题：（1）解复数方程；（2）方程有解时系数的值；（3）求轨迹问题.

※ 知识拓展

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内

对应的点（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 2. 2(1)i i -?等于（ ）

A ．22i -

B ．22i +

C ．2-

D ．2

3. 复数21

(1)i

+的值是（ ）

A ．2i

B ．2i -

C ．2

D ．2-

4.复数2

1i

+的实部是 ，虚部是

5. (158)(12)i i +--的值是

课后作业

1. 已知(12)43i z i +=+，求z 及z z

.

2. 设1z 是虚数，211

1

z z z =+

是实数，且211z -≤≤（1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围；

（2）若1

1

11z z ω-=+，求证ω为纯虚数.