矩阵论分析与应用论文

矩阵论在电路网络分析中的应用

摘要：电路网络分析中，运用矩阵论的相关知识可以直观的解决一些复杂问题，

比如所在支路存在无伴电压源的情况，而且矩阵运算方便进行计算机算法，在解决含大量节点的电路时是人工计算无法比拟的。若电路中存在无伴电压源支路时，由于该支路的导纳为无穷大，这给节点电压方程和割集方程的建立带来困难。解决这一问题的方法之一是将无伴电压源的支路电流也作为网络变量。因此，在改进的节点方程中是以节点电压和某些支路电流作为未知量。所述的支路电流包括无伴电压源支路电流和直接求解的支路电流。

改进节点法

将网络的支路划分为三类，一类是一般支路，另两类是无伴电压源支路和直接求电流的支路。后两类支路都可以以二端元件作为一条支路，支路电压和支路电流选择关联参考方向。

网络中的支路编号按照一般支路、无伴电压源支路和直接求电流支路，可将网络的关联矩阵A 写成如下分块矩阵形式：

[]0

E

x A A A A =

式中

A 是反映一般支路与节点之间的关联关系的子阵。E A

是反映无伴电压源支

路与节点之间的关联关系子阵。x A

是反映直接求电流支路与节点之间关联关系子阵。

将支路电流向量和支路电压向量也按同样的顺序分块：

[]0()()

()

()T

b E x I s I s I s I s =

[]0()()

()

()T

b E x U s U s U s U s =

根据基尔霍夫电流定律，有

[]00

()()0()E

x E x I s A A A I s I s ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

00A ()()()0E E x x I s A I s A I s ++=

根据基尔霍夫电压定律,有

[]000()()()

()T

E E

x n U s U s A A A U s U s ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

一般支路、无伴电压源支路和直接求电流支路的电流电压关系方程分别为

000()Y ()()()()()()()()()U ()

o s s E SE x x x I s s U s Y s U s I s U s U s I s Y s s =+-=-=

将基尔霍夫电压方程带入得

0000()()()()()T n s s I s Y s A U s Y U s I s =+-

0000()()()()A ()T x x x n T

n I s Y s A U s Y s Y s A ==

将以上方程式列写为矩阵形式为

00()()()00()()()0

()0n E x n n T

E E SE T

x

x x Y s A A U s I s A I s U s Y s A E I s ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

该式即为改进节点方程的一般形式，改进的节点法是以增加网络变量数为代价，避开了写无伴电压源支路的支路导纳。设网络有N+1个节点、p 个无伴电压源支路和r 个直接求电流源支路，则改进的节点方程的网络变量数为N+p+r 个，系数矩阵为N+p+r 阶方阵。虽然系数矩阵的维数增加了，但矩阵是稀疏的，利用稀疏矩阵（非零元素占全部元素的百分比很小(例如5%以下)的矩阵。有的矩阵非零元素占全部元素的百分比较大（例如近50％），但它们的分布很有规律，利用这一特点可以避免存放零元素或避免对这些零元素进行运算，这种矩阵仍可称为稀疏矩阵）技术计算仍很方便。

这种改进的节点电压矩阵可以应用到实际电路中，例如一个三阶电路含有两个电容一个电感，b1支路含有有伴电压源电导G1,b6、b7为直接求电容C1、C2支路,b2是电感L 支路，b3是一个单纯电导G2支路,b4是电流源和电导G3的并联支路，b5是无伴电压源支路，以节点⑤为参考节点它的拓扑结构图可以如图所示：

5

1

4

列出关联矩阵

1000010010001100101010

1

1

0A ⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦

前四列为0A 阵，第五列为E A 阵，后两列为直接求解阵x A 。 一般支路的导纳矩阵0()Y s 为对称阵即

10230001

00()0000

G Y s SL G G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

直接求电流支路的支路导纳矩阵()x Y s 为

1

20()0

x SC Y s SC ⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

因为0000()A ()T n Y s Y s A =

1

0000222

23000

1

000()A ()000

T

n G Y s Y s A sL G G G G G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥

==⎢

⎥⎢⎥

-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦

11

2200()00T

x x sC sC Y s A sC sC -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

节点电流注入为

[]

01()()00()T

n s s I s GU s I s =

改进后的节点矩阵可写为

1

1123224223111

22200001

0()()1()00000

11()000101()()00000()()0010000()000010()000001n s n n n s E SE c c G U s GU

s U s sL U s G G U s I s G G G I s U s I s sC sC I s sC sC ⎡⎤

⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎢⎥

⎢⎥⎢⎢⎥---⎢

⎥⎢⎢

⎥=⎢

⎥⎢-+⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢

⎥⎢⎢

⎥⎢⎥⎢

--⎢⎥⎢⎥⎢⎢

⎥⎣⎦⎣⎦--⎣⎦

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎥⎥

此方法可以有效地避开无伴电压源，支路导纳无穷大的病态情况，最终可以求出所求支路的电流量。

对于此电路的拓扑结构可以利用不定导纳矩阵对端子③，④进行隐藏。定义e 为无论多么小的正数， e>0。 其不定导纳矩阵

11

1

112222222

233

1

3

13000

110

1

1

00

1111i G sC sC sC sC sC sC sL

sL Y sC sC G G G G G G G

G G G sL

sL ε

εε

ε+-⎡⎤⎢

⎥⎢⎥-++

--

⎢⎥

⎢⎥=-++

--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥-+-⎢

⎥⎢⎥

---

-+++

⎢⎥⎣

⎦

由于端子⑤接地，将第五行、第五列划去。得到id Y