部分习题答案和解答

部分习题答案和解答

第一部分 应用回归分析习题部分解答 第一章习题 1、答案：153

2

=

t 。 2、答案：27.1 3、答案：10.2 4、答案：1.61

5、答案：()22

2

2

)

()())((??XY i

i

i i

XY

YX r Y Y X X Y Y X X =----=∑∑∑

ββ

6、答案：9/8

7、答案：D

8、答案：∑∑===n

k x n

k x k k

k

e

e

y 1

21

?α

第二章习题

1、答案：-0.5

2、解：24,)

4/()8.01(2

/)75.08.0(5.2=---=

N N

3、答案：5.51。

4、答案：第1问4.08；第2问8.53；第3问(-0.686,-1.149)。

5、答案：三种说法都是错误的。

6、答案：D 。

第三章习题

1、答案：-4。

2、答案：1.393。

3、答案：首先对观测值进行普通最小二乘回归，得到残差序列，然后求ρ?的估计值的初值。计算得到425.0?=ρ

。

第二部分 时间序列习题部分解答 第4-12章习题

1. 移动平均法的基本思想是对于一个时间序列{t X }，我们可以假定在一个比较短的时间间隔里，序列的取值是比较稳定的，它们之间的差异主要是由随机波动造成的。根据这种假定，

我们可以用一定时间间隔内的平均值作为某一期的估计值。

2. 在实际生活中，我们会发现对大多数随机事件而言，一般都是近期的结果对现在的影响会大些，远期的结果对现在的影响会小些。为了更好地反映这种影响作用，我们将考虑到时间间隔对事件发展的影响，各期权重随时间间隔的增大而呈指数衰减。

3.设

}{t X 为一时间序列，对任意正整数m ，任取T t t t m ∈,,,21 ，对任意整数τ，有

),,,(),,,(21,21,2121m t t t m t t t x x x F x x x F m m τττ+++=

则称时间序列}{t X 称为严平稳时间序列。

4.如果

}{t X 满足如下三个条件：

（1）任取T t ∈,有

∞<2t EX （2）任取T t ∈,有

μμ,=t EX 为常数。

（3）任取T k s t ∈,,，且k s t T +-∈,有),(),(t s k k s t -+=γγ 则称

}{t X 为宽平稳时间序列。宽平稳也称为弱平稳。

5. 严平稳比宽平稳的条件严格。严平稳是对序列联合分布的要求，以保证序列所有的统计

特征都相同；而宽平稳只要求序列二阶平稳，对于高于二阶的矩没有任何要求。所以通常情况下，严平稳序列也满足宽平稳条件，而宽平稳序列不能反推严平稳成立。柯西分布的严平稳序列就不是宽平稳序列，因为它不存在一、二阶矩，所以无法验证它二阶平稳。严格地讲，只有存在二阶矩的严平稳序列才能保证它一定也是宽平稳序列。宽平稳一般推不出严平稳，但当序列服从多元正态分布时，则二阶平稳可以推出严平稳。 6.

任一个中心化)(p AR 模型t t x B ε=Φ)(都可以视为一个非齐次线性差分方程

t p t p t t t x x x x εφφφ=------- 2211 （1）

（1）的通解为

t t t x x x '''=+

其中t x '为齐次线性差分方程0)(=Φt x B 的通解，t x ''为（1）的一个特解。

（1）求齐次线性差分方程0)(=Φt x B 的一个通解t x '

假定p λλλ,,,21 是该特征方程的p 个特征根。为了有代表性，不妨假设这p 个特征

根取值如下：

d λλλ=== 21为d 个相等实根

m p d d 221,,,-++λλλ 为m d p 2--个互不等实根

m j e

r e r j

j iw j j iw j j ,,1,,21 ====-λλ为m 对共轭复根。

那么齐次线性差分方程0)(=Φt x B 的通解为：

∑∑∑=-+==-+++

='m

j j j j j t j m

p d j t j

t

d

j j j t t c tw c c t

c x 1

2121

1

11)sin cos (?γ

λλ

其中，),,1(,,,,211m j c c c c j j p =为任意实数。

（2）求非齐次线性差分方程t t x B ε=Φ)(的一个特解t x ''

首先，可以证明)(p AR 模型的自回归系数多项式方程0)(=Φu 的根是齐次线性差分方程0)(=Φt x B 的特征根的倒数。

证明：设

p λλλ,,,21 为齐次线性差分方程0)(=Φt x B 的p 个特征根，任取

),,2,1(,p i i ∈λ，带入特征方程，有

02211=------p p i p i p i φλφλφλ

把i

i u λ1

=

带入)(p AR 模型的自回归系数多项式，有

[]

1

1

1

1)(111

=---=---=Φ-p p i p

i

p i

p

i p

i

i u φλφλ

λ

λφλφ

根据这个性质，()B Φ可以因子分解成

1

()(1)p

i i B B λ=Φ=-∏

由此可以得到非齐次线性差分方程（6.7）的一个特解为

∑

∏==-=-=

Φ=

''p

i t i i

p

i i

t

t

t B

k B B x 11

1)

1()

(ελλεε

其中,1,2,

,i k i p =为常数。

（3）求非齐次线性差分方程（1）的通解t x

∑∑∑∑==-+==--++++='

'+'=p

i t

i

i

m

j j j j j t j

m

p d j t

j t

d

j j j t t t B k t c tw c c t c x x x 1121211

111)sin cos (ελ?γλλ 要使得中心化)(p AR 模型平稳，即要求对任意实数),,1(,,,,2121m j c c c c j j m p =-有

0lim =∞

→t t x （2）

（2）成立的充要条件是

m

i m p i i i ,,2,1, 12,,2,1, 1 =<-=<γλ （3）

（3）实际上就是要求)(p AR 模型的p 个特征根都在单位圆内。所以)(p AR 模型平稳的充要条件是它的p 个特征根都在单位圆内。

根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，AR 模型平稳的等价判别条件是该AR 模型的自回归系数多项式的根，即0)(=Φu 的根，都在单位圆外。

7.、对于一个平稳可逆),(q p ARMA 模型，它的传递形式为

∑∞

=--+=ΘΦ=1

1

)()(j j t j t t t G B B x εεε

其中}{21 ，，G G 为格林函数。

通过待定系数法，容易得到),(q p ARMA 模型场合下格林函数的递推公式为

??

??

?≥'-'==∑=-1

,

1

10k G G G k j j j k j k θφ

其中

???>≤≤='p

j p

j j j , 01, φφ，???>≤≤='q j q j j j

, 01, θθ 同理，可以得到),(q p ARMA 模型的逆转形式为

其中}{21 ，，I I 为逆函数。

通过待定系数法容易得到逆函数的递推公式为

??

??

?≥'

-'==∑=-1

,110k I I I k j j j k j k φθ

其中j θ'和φ'的定义同上。

8、

模型

自相关系数 偏自相关系数 )(p AR 拖尾 p 阶截尾

)(q MA q 阶截尾

拖尾 ),(q p ARMA

拖尾

拖尾

9、如某个序列可以初步判定为平稳非白噪声序列，就可以利用ARMA 模型对该序列建模。建模的基本步骤如下：

1、 求出该观察值序列的样本自相关系数（ACF ）和样本偏自相关系数（PACF ）的值。

2、 根据样本自相关系数和偏自相关系数的性质，选择阶数适当的(,)ARMA p q 模型进

行拟合。

3、 估计模型中未知参数的值。

4、 检验模型的有效性。如果拟合模型通不过检验，转向步骤2，重新选择模型再拟合。

5、 模型优化。如果拟合模型通过检验，仍然转向步骤2，充分考虑各种可能，建立多

个拟合模型，从所有通过检验的拟合模型中选择最优模型。 6、 利用拟合模型，对序列进预报。

10、矩估计, 最小二乘估计,极大似然估计. 11、一个模型是否显著有效主要看它提取的信息是否充分。一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，换言之，拟合残差项中将不再蕴含任何相关信息，即残差序列应该为白噪声序列。这样的模型称之为显著有效模型。反之，如果残差序列为非

∑∞

=--+=ΦΘ=1

1

)()(j j

t j t t t x I x x B B ε

白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效，通常需要选择其它模型，重新拟合。

所以模型的显著性检验即为残差序列的白噪声检验。原假设和备择假设分别为

0120,1m H m ρρρ====?≥： m k m H k ≤≥?≠，：至少存在某个1,01ρ

检验统计量为LB （Ljung-Box ）检验统计量

221

?(2)(

)~()m

k k LB n n m n k

ρχ==+-∑ 0>?m

如果拒绝原假设，就说明残差序列中还残留着相关信息，拟合模型不显著。如果不能拒绝原

假设，就认为拟合模型显著有效。

12、在(,)ARMA p q 模型场合

?????

>-++-≤--++-=---+++=∑=-+--+-++-+-+q

l p l x

l x q l p l x l x x x x x E l x t p t q

l i i l t i t p t t t q l t q l t l t p l t p l t t ,)(?)1(?,)(?)1(?)

,,()(1111111φφεθφφεθεθεφφ

其中：

???≤≥=+0,1,)(?)(?k x k k x

k x

k

t t t 预测方差为

221211

0)()]([εσ-+++=l t G G G l e Var

13、在原有观察值1,,

t t x x -的基础上，当不断获得新的观察值 ,,21++t t x x 时。每获得一

个新的观察值就意味着减少了一个未知信息，显然，如果能把新的信息加进来，就能够提高对l t x +的估计精度。所谓的修正预测就是研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值。一个最简单的想法就是把新信息加入到旧的信息中，重新拟合模型，再利用拟合后的模型预测l t x +的序列值。在新的信息量比较大且使用统计软件很便利的时候，这不失为一种可行的修正办法。但是在新的数据量不大或使用统计软件不是很方便的时候，这种重新拟合将是非常麻烦的一种修正方法。我们可以根据平稳时序预测的性质，寻找更为简便的修正预测方法。

已知在历史信息（原有观察值）1,,t t x x -的基础上，t l x +的预测值为

++=-11)(?t t l t G G l x

εε 假如获得新的信息1t x +，则在11,,,t t t x x x +-的基础上，重新预测t l x +为

)(?)1(?1111111l x

G G G G l x

t t l t l t l t l t +=+++=-+--++-+εεεε

其中：11?(1)t t t x x

ε++=-，是1t x +的一步预测误差。它的可测来源于1t x +提供的新信息。 此时，修正预测误差为

2201)1(+-++++=-t l l t t G G l e εε

因而，预测方差为

)]

1([)()]1([2

22201-=++=--+l e Var G G l e Var t l t εσ

一期修正后第l 步预测方差就等于修正前第1-l 步预测方差。它比修正前的同期预测方差减

少了2

21εσ-l G ，提高了预测精度。

上面的分析说明，当我们获得新的观察值时，要获得t l x +更精确的预测值并不需要重新

对所有的历史进行计算。只需要利用新的观察值所带来的新的信息对旧的预测值进行修正即可。

更一般的情况，假如重新获得p 个新观察值p t t x x ++,,1 （l p <≤1），则t l x +的修正预测值为

)(?)(?111111l x

G G G G G G p l x

t t l p t p l t l t l t l p t p l p t +++=+++++=-+-+--++-+-+εεεεεε

其中：1?(1)t i t i t i x x

ε+++-=-是t i x +（p i ,,2,1 =）的一步预测误差。 此时，修正预测误差为

110)(++--++++=-p t p l l t p t G G p l e εε

预测方差为

)]

([)()]([2

2120p l e Var G G p l e Var t p l p t -=++=---+εσ

14、

15、ARIMA 模型和传统的确定性因素分解方法比较，它的缺点是很难对模型进行直观解释。所以当序列具有非常显著的确定性趋势或季节效应时，我们又想用确定性因素分解方法对各种确定性效应进行解释，但又因为它对残差信息的刻画不够细致而不能使用。综合起来，出现了残差自回归模型。

16、假设序列显示出显著的异方差性，且方差2t σ与均值t μ之间具有某种函数关系

)(2t t h μσ=

其中：)(?h 是某个已知函数。

在这种场合下，我们的处理思路是尝试寻找一个转换函数)(?g ，使得经转换后的变量

)(t x g 满足方差齐性

2)]([σ=t x g Var

将)(t x g 在t μ附近作一阶泰勒展开

)()()()(t t t t t g x g x g μμμ'-+?

其中：)(t x g '为)(t x g 的一阶导数。则)(t x g 的方差近似等于

)

()]([)()]([)]

()()([)]([22t t t t t t t t t h g x Var g g x g Var x g Var μμμμμμ'=?'='-+?

显然，要使得)]([t x g Var 等于常数，转换函数)(?g 必须与()?h 具有倒函数关系

)

(1)(t t h g μμ=

'

在实践中，许多金融时间序列都呈现出异方差的性质，而且通常序列的标准差与其水平之间具有某种正比关系，即序列的水平低时，序列的波动范围小，序列的水平高时，序列的波动范围大。对于这种异方差的性质，最简单的假定为

t t μσ= 即等价于

2)(t t h μμ=

要使得原序列经过适当转换后方差齐性，就必须满足

t

t t h g μμμ1

)

(1)(=

=

'

等价推导出

)log()(t t g μμ=

这意味着对于标准差与水平成正比关系的异方差序列，对数变换可以有效地实现方差齐性。

17、一、回归拟合

GARCH 模型拟合的第一步是根据观察值序列的性质，拟合回归模型

),,,(21 --t t x x t f 。

二、残差自相关性检验 观察值减去回归拟合值即为残差

1

1?--=t t t x x βε 通过DW 统计量检验残差序列的自相关性。

三、异方差自相关性检验

经过前面两个步骤的处理，残差序列{}t υ基本实现了零均值、纯随机的性质，现在需要

考察它的异方差性。而异方差检验的实质是进行异方差相关性检验。最常用的两个异方差检验是：Portmantea Q 检验和LM 检验。

（一）Portmantea Q 检验

1983年Mcleod 和 Li 在LB 统计量的基础上提出了Portmanteau Q 统计量，用于检验残差平方序列的自相关性。

1、假设条件

:0H 残差平方序列纯随机?:1H 残差平方序列具有自相关性

用自相关系数表示，该假设条件等价于

0:210====q H ρρρ ?q k H ρρρ ,,:21不全为零

2、检验统计量

∑

=-+=q

i i i

n n n q Q 1

2

)2()(ρ

其中：n 为观察序列长度，i ρ为残差序列延迟i 自相关系数，记n

n

t t

∑==1

2

2

?ε

σ

∑∑=+=----=

n

t t

n

i t i t t i 1

2221

2222)?()?)(?(σ

ε

σεσ

ε

ρ

Portmanteau Q 统计量近似服从自由度为1-q 的2

χ分布

)1(~)(2-?

q q Q χ

3、检验结果

（二）拉格朗日乘子检验

1982年Engle 为了确定)(q ARCH 模型的阶，提出了拉格朗日乘子检验（Lagrange Multiplier Test ），简记为LM 检验。

1、假设条件

:0H 残差平方序列纯随机?:1H 残差平方序列具有自相关性

等价于

0:210====q H ρρρ ?q k H ρρρ ,,:21不全为零

2、检验统计量

W W q LM '=)(

其中：

'

???

? ??=2

2222221?,,?,?σρσ

ρσρq

W ∑∑=+=----=

n

t t

n

i t i t t i 1

2221

2222)?()?)(?(σ

ε

σεσ

ε

ρ

n

n

t t

∑==1

22?ε

σ

。

)(q LM 统计量近似服从自由度为1-q 的2χ分布

)1(~)(2-?

q q LM χ

3、检验结果

四、ARCH 模型阶数的估计

由于Portmantea Q 统计量和LM 统计量都显示出残差序列{}t υ具有异方差长期自相关性，所以不妨尝试拟合)1,1(GARCH 模型

21111--++=t t t h h υληω

五、参数估计

使用极大似然估计方法，采用迭代技术，计算所有未知参数的估计值。 六、正态性检验

模型拟合好之后，我们要对模型的有效性进行检验。我们采用的检验工具是正态性检。正态性检验的原理基于GARCH 模型的基本假定之—：当异方差模型拟合好之后，如果拟合得准确，函数t t

h ε（如果是GARCH AR -模型则为函数t t h υ）会呈现出显著的标

准正态分布特征，即

)1,0(~N u t

其中：????

?-=GARCH

AR h GARCH h u t t

t t t ,,υε

1、 假设条件

0H ：t u 服从标准正态分布?1H ：t u 不服从标准正态分布

2、检验统计量

1982年Bera 和Jarque 基于偏度和峰度，给出了正态检验统计量

2221)3(24

6-+=

b n b n T n 其中：1b 为偏度函数，2b 为峰度函数，

2

3121

31????

?

??=

∑∑==n t t n

t t n b μμ

, 2

121

42????

?

??=

∑∑==n

t t n

t t n b μμ

在原假设成立的条件下，)2(~2χn T 。

3、检验结果

18、Phillips 和 Perron 于1988年对ADF 检验进行了非参数修正，提出了Phillips －Perron 检验统计量。该检验统计量既可适用于异方差场合的平稳性检验，又服从相应的ADF 检验统计量的极限分布。

使用Phillips －Perron 检验（简记为PP 检验），残差序列}{t ε需要满足如下三个条件 1、 均值恒为零

0)(=t E ε

2、 方差及至少一个高阶矩存在

∞<)(sup 2

t t E ε

且对于某个2>β，∞<)(sup β

εt

t E

由于没有假定=)(2

t E ε常数，所以这个条件实际上意味着允许异方差性存在。

3、 非退化极限分布存在

)(212lim T T S S T E -∞→=σ存在且为正值

其中：T 为序列长度，∑==

T

t t

T S 1

ε

。

以一阶自回归模型为例

t t t x x εφ+=-11

来介绍PP 检验的构造原理。

假设1?φ是1φ的最小二乘估计值（OLS ），那么1

?φ的方差通常可以定义为 ∑=-∞

→=T

t t

T E T

1

2

1

2

)(lim ε

σ

当{}t ε为白噪声序列时，有

2

2S σσ= （12.8） 其中：)(21

2

lim T

T S

S T E -∞

→=σ

，∑==T

t t T S 1

ε

如果{}t ε不满足白噪声条件，那么方差等式（12.8）将不再成立。

为了直观说明（12.8）式不成立，不妨假设{}t ε服从)1(MA 过程

11--=t t t υθυε ， ),0(~2..υσυN d

i i t

那么

2

2

1

22)1()

(υ

σθεσ+==t E

而

2

2121212

121

2)1()21()

(2)(υυσθσθθεεεσ-=-+=+=∑∞

=j j S

E E

显然

22S

σσ≠ Phillips 和Perron 正是利用这种不等性，利用2

σ和2

S σ的估计值对ADF 检验的τ统计

量进行了非参数修正，修正后的统计量如下

∑=-----=T

t T t Sl

Sl

Sl x x

T Z 2

211

22

22

2

)(?)??)(21()??()(σσσσσ

ττ

其中：

（1）2?σ

是2

σ的样本估计值 ∑=-=T

t t

T 1

2

1

2?

?εσ

（2）假设可以估计{}t ε显著自相关的延迟阶数为l ，2Sl

σ是2

S σ的样本估计值 ∑∑∑=+=--=-+=l

j T

j t j

t t

j

T

t t

Sl

l w T

T 1

1

1

1

21

2

?

?)(2?

?εεεσ

其中1

11)(+-=l l w j ，这个权重确保了2

Sl σ为正值。 （3）∑-=--=11

1

11T t t T x T x 在单位根检验原假设成立的条件下

1:10=φH （序列{}t x 非平稳）

修正后的)(τZ 统计量和τ统计量具有相同的极限分布。这就意味着对于异方差序列只需要在原来τ统计量的基础上进行一定的修正，构造出)(τZ 统计量。)(τZ 统计量不仅考虑到自相关误差所产生的影响，还可以继续使用τ统计量的临界值表进行检验，而不需要拟合

新的临界值表。

19、在实际应用中，有些序列自身的变化虽然是非平稳的，但是序列与序列之间却具有非常密切的长期均衡关系。

为了有效地衡量序列之间是否具有长期均衡关系，Engle 和Granger 于1987年提出了协

整（Cointegration ）的概念。

假定自变量序列为}{,},{1k x x ，响应变量序列为}{t y ，构造回归模型

∑=++=k

i t it i t x y 1

0εββ

假定回归残差序列{}t ε平稳，我们称响应序列}{t y 与自变量序列}{,},{1k x x 之间具有协整关系。

以前我们一直不敢对非平稳序列构建动态回归模型，是担心非平稳序列容易产生虚假回归的问题。而虚假回归之所以会产生是因为残差序列不平稳。如果非平稳序列之间具有协整关系，那就说明残差序列平稳，那就不会产生虚假回归问题了。这说明要将输入变量引入响应序列建模，不一定要所有的序列都平稳，而只需要它们之间具有协整关系。

第三部分 随机模拟习题部分解答 第十三章习题 1、解： 一，正确

二，x,y 的分布期望都是1，但不保证数值都是相同的。例如： 如果n=1,不保证()1111log log 1x u u y =-=--=。错误 三，独立的指数分布随机变量的和是gamma 分布的变量。正确

2、解：

()X 00F 0.87x u ==

()[]

0X 00001F 2110.87

22X E X x x P X x P x x P Z ??

--?

=≤=≤??--????

=≤== ???????

φ

()1.10.8643=φ ()1.20.8849=φ

()010.870.86431.10.1 1.1320.88490.8643

x --=+=- 0 3.26x =

3、解：

()00x F x ==当时,

()1F x ≥=3

当x 时,4

()02x

x F x x x ≤≤??=?-?≤≤

?1

21

13224 ()0.7162r F x x ===-1

2

0.608x =

5、解：95％的置信区间的宽度为(21.96，其中k 是样本数量。

因为0.10.2k S ≤≤，我们必须保证(21.960.215.37k <→>，所以16k ≥，即满足条件的最小的k 为16。

6、解：

均值为2的柏松分布的概率函数为22()!

n

e p n n -=

N 0 1 2 3 …… p .1353 .2706 .2706 .1804 …… F .1353 .4060 .6767 .8571 ……

小的均匀随机数对应小的赔付次数，模拟理赔次数的随机数是0.8。因为

0.6767<0.80.8571≤,所以被模拟的理赔次数是3。

帕雷多分布的分布函数是()1(

)F x x αθ

θ

=-+。要从随机数u 中计算被模拟的理赔金额x ，

就相当于解式子()u F x =，因为小的均匀随机数对应少的赔付金额（标准的逆变换方法）。

2

5000.061(

)291500x x =-?=+第一个被模拟的损失。

2

5000.251(

)77500x x =-?=+第二个被模拟的损失。

2

5000.71(

)413500x x =-?=+第三个被模拟的损失。

一年的总损失为271+77+413=781。所以理赔金额为(0.8)(750)+(781-750)=631。

7、解：

经验分布对两个数均有1

2

的概率 经验分布的均值是()1

3752

+= 均值的估计使用

()121

2

x x + 再抽样{3,3},{3,7},{7,3},{7,7}

计算得

()1

400424

+++=

8、解：

首先找出要估计参数在经验分布中对应的值。因为原始样本有5个样本点，因此众位数就是第三个样本点，即4θ=。

其次对于每个样本计算（样本中位数－4）2 。 因此样本中位数的均方误差

()()()()()22222

11434444474 3.85??-+-+-+-+-=?

?.

第四部分生命表基础习题部分解答 第十四章 生存模型相关性质和生命表 1． 解：

100

100100/1)(x

x x S -=

-=

2515m =

??

+1502515

2525dt p dt p t t t μ=?+-150)25()40()25(dt t S S S =?150********

dt =135

2

2．解：)(y S Y =)Pr(

y Y >=?=>=>-

y

e dx

x y

e e X y Y 023)Pr()Pr(ln =y

e e 3-

)('

y S Y =y

e e 3-（-3y

e 3）

)(y Y λ∴=)('y S Y /)(y S Y =3y

e 3

3．解：)Pr(y Y <=)25Pr(2

y x >=)50Pr(y x <≤=

50

y

-

=∴1)(y S Y 50y ，)('

y S Y =y

1001- 50

251511001)25(-

?=

∴λ=4501

4．解：正确。读者自行证明。

5．解：

0。

e =?

∞

0dt p t =?10

0dt p t +?

2

1

0dt p t +?320dt p t +?

∞3

0dt p t

=?

1

0)(dt p t

+

?*1

10

dt p p

t +?1

202*dt p p t

=1

00ln )(p p t +*0p 1011ln )(p p t +*02p 1

022ln )(p p t

=

1

01ln 1l l l l -???? ??+*01l l 1212ln 1l l l l -???? ??+*02l l 2323ln 1l l l l -????

?? =1.473362

第十五章 完整样本数据和不完整样本数据情况下生存模型的估计

1．解：t

m

?=?

?+10

10

dt

p dt

p x t t x x t

μ=μ=—t p ln =t

t n N 1ln

+-=1000100

1000ln --=0.1

2．解：)?(t m

Var =2

))?(1(t p

E )?(t p

Var =2)9.01()9.01(9.010001-???=0.000111

3．解：02.0)30(?==n

D f

t ，所以，1000002.0/200==n )(6020D Var =)1(020|60020|60q q n -?=1000010000

)

400600(1000010000400600--?-?

=196

4．解：m r

n d x x

-

5．解：)4.08.0()3.07.0()2.06.0()1.05.0()

04.0(5---------------u u u u u e e e e e =2

所以，μ

4.0-e

=0.6，

60?q

=1-μ

?-e =5

.26

.01-=0.721

第十六章 参数生存模型的估计

1．解：∑=i

t

n

λ

?

2．解：t t S t f μ)()(==2

/2t te

αα-

L=∏=-

∑=8

1

2

88

1

2

i i

t t

e

i i αα

lnL=∑∑=+-

8

1

2

ln 2

ln 8i i

i

t t α

α

两边同时对α求导：∑=2

16

?i

t α

=0.00112

3．解：12

4．答：略

5．答：略

第十七章 人口统计

1．答： （1）i nr

e t P t n P )()(=+

（2）任何年龄区间人口所占总人口比例不随时间变化而变化 （3）女性生育函数的特征方程为1)(=Φ?-dx x S e

f x x

r i

βα

（4）i i i r b d -=

2．解：

1

0)1(--?

?? ?

?-?dx w x e c

w

cx

3．答：线形插值、几何模型、Logistic 模型

4．答：略 5．答：正确。0l =

?

w

y y dy l 0

μ

第十八章 表格数据修匀

1．答：配置法、最小二乘法、极大似然估计法、分段参数修匀、最小二乘三次样条、两弧三次样条、光滑连接修匀、四点修匀公式

2．答：63

5-

3．答：计算水平的提高

4．答：1)构建最小二乘函数 2）对参数分别求导，并令等式为0 3）求出参数 5．答：180

1