图论
图论--图的基本概念
图论--图的基本概念1.图：1.1⽆向图的定义：⼀个⽆向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。
E是⽆序积V&V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素称作⽆向边，简称边。
注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。
某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。
例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。
从多重集合的⾓度考虑，⽆元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。
1.2有向图的定义：⼀个有向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。
E是笛卡尔积V✖V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。
通常⽤图形来表⽰⽆向图和有向图：⽤⼩圆圈（或实⼼点）表⽰顶点，⽤顶点之间的连线表⽰⽆向边，⽤带箭头的连线表⽰有向边。
与1.1，1.2有关的⼀些概念和定义：（1）⽆向图和有向图统称为图，但有时也把⽆向图简称作图。
通常⽤G表⽰⽆向图，D表⽰有向图，有时也⽤G泛指图（⽆向的或有向的）。
⽤V(G),E(G)分别表⽰G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。
（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。
（3）⼀条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N n。
1阶零图N1称作平凡图。
平凡图只有⼀个顶点，没有边。
（4）在图的定义中规定顶点集V为⾮空集，但在图的运算中可能产⽣顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。
（5）当⽤图形表⽰图时，如果给每⼀个顶点和每⼀条边指定⼀个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称作⾮标定图。
（6）将有向图的各条有向边改成⽆向边后所得到的⽆向图称作这个有向图的基图。
（7）若两个顶点v i与v j之间有⼀条边连接，则称这两个顶点相邻。
离散数学 教案 第八章 图论
西南科技大学
6
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 为方便起见，在无向图中往往用字母ei表示 边。例如，在上图中，用e1表示边(v2,v2)，e2 表示边(v1,v2)等。 对于一个确定的图，我们不关心顶点的位置， 边的长短与形状，因此，所画出的图的图形可 能不唯一。 定义 一个有向图G是一个二元组<V,E>，即 G=<V,E>，其中
西南科技大学
4
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 定义 一个无向图G是一个二元组<V,E>，即 G=<V,E>，其中
(1). V是一个非空的集合，称为G的顶点集， V中元素称为顶点或结点；
(2). E是无序积 的一个多重子集 (元素可重复 出现的集合为多重集)，称E为G的边集，E中元 素称为无向边或简称边。 在一个图G=<V,E>中，为了表示V和E分别 为G的顶点集和边集，常将V记成V(G)，而将E 记成E(G)。
由于2m，
为偶数，所以
也为偶数。
可是,vV1时，d(v)为奇数，偶数个奇数之和才能 为偶数，所以|V1|为偶数。结论得证。
西南科技大学
17
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 对有向图来说，还有下面的定理： 定理 设G=<V,E>为有向图， V={v1,v2,…,vn} ， |E|=m，则
(5).设E´ E且E´ ≠Φ ，以E´为边集，以E´中边
关联的顶点的全体为顶点集的G的子图，则称G´是由 边集E´导出的G的子图。
西南科技大学
26
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 例如，在下图中，(2)，(3)均为(1)的子图；(3)是 生成子图；(2)是顶点子集{v1,v2}的导出子图，也
图论及其应用综述
图论综述一、简介图论是数学的一个分支。
它以图为研究对象。
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
图G=（V,E）是一个二元组（V,E）使得E⊆[V]的平方，所以E的元素是V的2-元子集。
集合V中的元素称为图G的定点（或节点、点），而集合E的元素称为边（或线）。
通常，描绘一个图的方法是把定点画成一个小圆圈，如果相应的顶点之间有一条边，就用一条线连接这两个小圆圈，如何绘制这些小圆圈和连线时无关紧要的，重要的是要正确体现哪些顶点对之间有边，哪些顶点对之间没有边。
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立过。
关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论著中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。
目前，图论已形成很多分支：如随机图论、网络图论、代数图论、拓扑图论、极值图论等。
图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、化学、环境保护、非线性物理、心理学、社会学、交通管理、电信以及数学本身等。
二、基本内容2.1 图的基本概念本章首先介绍了图的一些基本性质和一些不同模型的图，包括偶图，完全图和补图，引入了定点度的来描述图的性质。
其次介绍了子图的相关概念，介绍了图的一些基本运算规则，对图的路和连通性进行了阐释。
紧接着讲解了最短路算法，定义设G为边赋权图。
u与v是G中两点，在连接u与v的所有路中，路中各边权值之和最小的路，称为u与v间的最短路。
图的代数表示，包括图的邻接矩阵和图的关联矩阵。
最后对极图理论进行了简介，主要介绍了极值图论中的一个经典结论——托兰定理。
2.2 树本章主要介绍了树的概念与性质，阐述了生成树与最小生成树的基本概念与一些常用结论与定理。
树是不含圈的无圈图，也是连通的无圈图。
树是图论中应用最为广泛的一类图。
在理论上，由于树的简单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。
图论导引参考答案
图论导引参考答案图论导引参考答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的连接关系。
图论在计算机科学、网络分析、社交网络等领域有着广泛的应用。
本文将介绍图论的基本概念和常见算法，并提供一些参考答案来帮助读者更好地理解和应用图论。
一、图的基本概念1.1 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中，边有方向，表示节点之间的单向关系；而无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。
1.2 路径和环路径是指图中一系列节点和边的连续序列，路径的长度为路径中边的数量。
如果路径的起点和终点相同，则称之为环。
1.3 连通图和连通分量在无向图中，如果任意两个节点之间都存在路径，则称该图为连通图。
连通图中的极大连通子图称为连通分量。
1.4 强连通图和强连通分量在有向图中，如果任意两个节点之间都存在路径，则称该图为强连通图。
强连通图中的极大强连通子图称为强连通分量。
二、图的存储方式2.1 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的存储方式，使用一个二维矩阵来表示图中节点之间的连接关系。
矩阵的行和列分别表示节点，矩阵中的元素表示节点之间是否存在边。
2.2 邻接表邻接表是另一种常见的图的存储方式，使用一个数组和链表的结构来表示图中节点之间的连接关系。
数组中的每个元素表示一个节点，链表中的每个节点表示与该节点相连的边。
三、常见图算法3.1 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历图的算法。
从图中的一个节点开始，沿着一条路径一直深入直到无法继续为止，然后回溯到上一个节点，继续深入其他路径。
DFS可以用于判断图的连通性、寻找路径等问题。
3.2 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种用于遍历图的算法。
从图中的一个节点开始，先访问其所有相邻节点，然后再依次访问这些节点的相邻节点，以此类推。
BFS可以用于计算最短路径、寻找连通分量等问题。
3.3 最小生成树算法最小生成树算法用于求解一个连通图的最小生成树，即包含图中所有节点且边的权重之和最小的子图。
图论及其应用(25)
u
N (u ) k 1
u
N (u)
12
设п 是G的k着色方案，因为 u N (u ) k 1 ，所以， 在п 下，至少有一种颜色u及其邻域均没有用到，设该色 为m,改变u的颜色为m,其余点的着色不变，这样得到G的k 着色方案п 1.显然，п 与п 1导出的G的顶点划分不同，这 与G是唯一可着色图矛盾。 (2) 若不然，则存在G的k着色方案п 和G的两个色组C1 与C2,使得H=G[C1∪C2]不连通。设H1与H2是H的两个分支。 因为G是唯一可着色图，所以，对任意点u和其邻域 N(u), 它们在п 下，必然用完了k种颜色，否则，由(1)的 证明，得到G是非唯一可着色图。 这样，H1与H2中同时含有C1和C2中的顶点。
由于 H 也是某偶图的补，所以只需要证明 (G) cl (G)
25
证明：在 G 的正常着色方案下，每个色组对应G的一 (G ) 应该是G的最小点覆盖中包含 个顶点或者K2。这样， 的点数和边数。由补充定理：它等于G中最大独立集包含 的顶点数，即等于 G 的团数。所以有：
10
(2) 对于G2来说，G2的任意3正常着色方案导出的顶点 划分均是｛｛v1｝, ｛v2，v4｝｛v3,v5｝｝，所以，G2是 唯一3可着色图；例如：
v1 v2 v3 G2 v5 v2 v3 G2 v1 v5 v2 v3 v1 v5
v4
v4
v4
G2
(3) 对于G3来说，G3不是唯一3可着色图；因为：
设Hi=G[Vi∪｛v｝], (1≦i≦r)。则Hi是k-1可正常点着色 的，现对每个Hi进行k-1正常点着色，且v都分配同一种颜色， 那么，将着色后的Hi合在一起，得到G的k-1正常点着色方 案，这与G是k色图矛盾。所以临界图没有割点。
图论讲义12 (1)
第八章独立集和团§8.1 独立集°独立集：设S是V的一个子集，若S中任意两个顶点在G中均不相邻，则称S为G的一个独立集。
°最大独立集：G的一个独立集S称为G的最大独立集，是说：G不包含适合S′>S的独立集S′。
°例子：(见图8.1)°覆盖：G的一个覆盖是指V的子集K，使得G的每条边都至少有一个端点属于K。
°例子：在图8.1中，两个独立集都是覆盖的补集。
定理8.1：设S⊆V，则S是G的独立集当且仅当V\S是G的覆盖。
证：按定义，S是G的独立集当且仅当G中每条边的两个端点都不同时属于S，即当且仅当G的每条边至少有一个端点属于V\S，亦即当且仅当V\S是G的覆盖。
∎°独立数：G的最大独立集的顶点数称为G的独立数，记为α(G)。
°覆盖数：G的最小覆盖的顶点数称为G的覆盖数，记为β(G)。
推论8.1：α+β=υ。
证：设S是G的一个最大独立集，K是G的一个最小覆盖。
由定理8.1，V\K是独立集，而V\S是覆盖。
因此υ−β=V\K≤α (8.1)υ−α=V\S≥β (8.2)结合8.1式和(8.2)式，即得α+β=υ。
∎°边覆盖：G的一个边覆盖是指E的一个子集L，使得G的每个顶点都是L中某条边的端点。
°边独立集：即对集。
*注意：边覆盖并不总是存在的，G有边覆盖，当且仅当δ>0。
°边独立数和边覆盖数：最大对集的边数称为边独立数，记作α′G;最小边覆盖的边数称为边覆盖数，记作β′(G)。
*注意：对集的补集不一定是边覆盖，边覆盖的补集也不一定是对集。
定理8.2 (Gallai)：若δ>0,则α′+β′=υ。
证：设M是G的一个最大对集，U是M非饱和顶点集。
由于δ>0且M是最大对集，所以存在|U|条边的一个集E′，它的每条边都和U 的每个顶点相关联。
显然，M∪E′是G的边覆盖，因而β′≤M∪E′=α′+υ−2α′=υ−α′即α′+β′≤υ (8.3)再设L是G的一个最小边覆盖，置H=G[L]，并且设M是H的一个最大对集。
图论-图的基本概念
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
图论(简化)
C
v1
B
v3 v4
图27
v5 v6
A
D
图26
v2
Ramsey问题
任意6个人在一起。6人中要不是有3个人彼此互 相认识，必然有3个人互相不认识；即两种情况 中至少存在一种。
死锁
现在有线程1和线程2，线程1占用了资源A， 线程2占用了资源B。 线程1也许要资源B才能继续线程2需要使用 资源A才能继续，但是此时资源B被线程2所占用， 资源A被线程1所占用。那么两个线程都会等待对 方释放资源。
从以上定理，不难得出以下结论：
（1）从一个树中任意去掉一条边，那么剩下 的图不是连通图，亦即，在点集合相同的图中， 树是含边数最少的连通图。
（2）在树中不相邻的两个点之间加上一条边， 那么恰好得到一个圈。
二.支撑树
定义2 设图 K=(V,E’)是图 G=(V,E)的一支撑子图, 如果图K=(V,E’)是一个树,那么称K是G的一个支撑 树。
赋权图在图论及实际应用方面有着重要的地位，被 广泛应用于现代科学管理和工程技术等领域，最小 支撑树问题就是赋权图的最优化问题之一。
定义4 如果图T =（V，E’）是图G 的一个支撑树， 那么称E’上所有边的权的和为支撑树T 的权，记作 S(T)。 如果图G 的支撑树T* 的权S(T*)，在G 的所有支撑树 T 中的权最小，即S(T*) = minS(T)，那么称T*是G 的最小支撑树。 如前所述，在已知的几个城市之间联结电话线网， 要求总长度最短和总建设费用最少，一个问题的 解决可以归结为最小支撑树问题。 再如，城市间交通线的建造等，都可以归结为这一 类问题。
太原 石家庄
北京 天津 塘沽 济南 青岛
郑州 重庆 武汉 南京
徐州 连云港 上海
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
其中V(G) 是非空的顶点集， E(G)是不与V(G)相交的边集，
而Ψ 是关联函数，它使G的每条边对应于G 的无序顶点对。 若e是一条边，而u和v是使得 G (e ) uv 的顶点，则称 e 连接 u 和 v ；顶点 u 和 v 称为 e 的端点。
图graph， 顶点vertex，边edge
-23-
图论及其应用第一章
例1
G {V (G ), E (G ), G )
e7
此时，V (G ) {v1 , v2 , v3 , v4 }
E (G ) {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 }
v2
e1
v1
e2
G 定义为
e3
e4 e5
v3
e6
G (e1 ) v1v2 , G (e2 ) v2v3
-13-
图论及其应用第一章
-14-
图论及其应用第一章
Ramsey理论的哲理意义
-15-
图论及其应用第一章 婚姻匹配
某村里有n 个男士与n 个女士，每个男士恰 好认识 r 个女士，每个女士也恰好认识 r 个男士， 问：在这个村中，能否做到：每个男士与其 认识的女士结婚，每个女士也恰好与其 认识的男士结婚。
端点处相交， 这样画出的平面图形称为图的图形表示。
-25-
图论及其应用第一章
例2
G = (V, E) ，其中 V (G ) {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
E (G ) {(v1 , v2 ), (v2 , v3 ), (v3 , v4 ), (v3 , v5 ), (v1 , v5 ), (v1 , v5 ), (v5 , v5 )}
-7-
图论及其应用第一章
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是 按照肯普的想法在进行。后来美国数学家富兰克林于1939年 证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从 22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可 以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。 1976年 6月，美国伊利诺大学哈肯与阿佩尔在两台不同 的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。 然而，真正数学上的严格证明仍然没有得到！数学家仍 为此努力，并由此产生了多个不同的图论分支。
-27-
图论及其应用第一章 一些概念和术语： （1） 点与边的关联(incident) （2） 点与点的相邻(adjacent) （3） 边与边的相邻 （4）（自）环(loop)、连杆(link) （5）重边(parallel edge) （6）简单图(simple graph) （7）有限图(finite graph) （8）平凡图(trivial graph)和非平凡图 （9）空图(empty graph)和零图（null graph) （10）图的顶点数（图的阶order） 、边数(size)
-5-
图论及其应用第一章 四色问题
四色问题是世界近代三大数 学难题之一。 四色问题的内容是：任何一张 地图只用四种颜色就能使具有共 同边界的国家着上不同的颜色。 它的提出来自英国。 1852 年， 毕业于伦敦大学的弗南西斯 · 格思 里发现了一种有趣的现象：“看 来，每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家都 被着上不同的颜色。”这个现象 能不能从数学上加以严格证明呢？
G (e3 ) v3v1 , G (e4 ) v1v4
v4
G (e5 ) v3v4 , G (e6 ) v3v4 , G (e7 ) v2v2 .
这便定义出一个图。
-24-
图论及其应用第一章 图的图形表示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边
可ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平面上的线段来表示（直的或曲的），而边仅在
-8-
图论及其应用第一章 Ramsey 问题
几个事实：
1. 任意的6个人中，总有3个人互相认识或有3个人互不认 识。
2.
任意的9个人中，总有3个人互相认识或有4个人互不认 识。
问题： 对任意的自然数 k 和 t ，是否存在一个最小的正整数 r(k,t)，使得每个至少有r(k,t)个人的团体，总有k个人 互相认识或有t个人互不认识。
-2-
图论及其应用第一章
七 桥 问 题
C 转化 A D Euler 1736年
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接） C A B D
B
图论中讨论的图
问题：是否能从A，B，C，D 中的任一个开始走，通过每 座桥恰好一次再回到起点？
转化
是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
[5] 徐俊明，图论及其应用，中国科技大学出版社， 1998。
-20-
图论及其应用第一章
第一章
1.1
1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 子图
图和子图
图和简单图
图的同构 顶点的度 路、圈和连通 关联矩阵和邻接矩阵 应用： 最短路问题
-21-
图论及其应用第一章
1.1 图和简单图
-22-
图论及其应用第一章 图的定义 一个图 G 是指一个有序三元组 (V (G ), E (G ), G ) ，
-16-
图论及其应用第一章
图论相关的交叉研究 代数图论 拓扑图论 化学图论 算法图论 随机图论 极值图论 超图
以往数学家习惯将纯数学应用于其它学科， Gowers将图论和组合数学中的Ramsey理论 应用于泛函分析的研究，获得了1998年的 Fields奖。
-17-
图论及其应用第一章
内容提要
图的基本概念 图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩 阵与邻接矩阵。路、圈与连通图；最短路问题。树及 其基本性质；最小生成树。
有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割
定理；求最大流的标号算法；网络流理论的应用。
-19-
图论及其应用第一章 主要参考书
[1] J.A. Bondy and U.S. Murty, Graph Theory with
Applications, 1976 （GTM244, 2008）。 [2] B. Bollobas, Modern Graph Theory (现代图论)，科学 出版社，2001。 [3] 王树禾，图论，科学出版社，2004。 [4] 蒋长浩，图论与网络流，中国林业出版社，2001。
这便定义出一个图。 注：由于表示顶点的平 面点的位置的任意性， 同一个图可以画出形状
迥异的很多图示。
例2中图的另一个 图示：
-26-
图论及其应用第一章
图的图示直观易懂，因此以后一般说到一个图，
我们总是画出它的一个图示来表示。 阅读书P.2-3页，理解平面图和非平面图，并且 完成课后习题1.1.2。
图的连通性
割点、割边和块；边连通与点连通；连通度； Whitney 定理；可靠通信网络的设计。 匹配问题 匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配。
-18-
图论及其应用第一章 欧拉图与哈密尔顿图
欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问
题。
独立集、覆盖集与团
点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念。 图的着色问题 点着色；边着色；平面图；四色猜想。 网络流理论
拉姆瑟（F.P. Ramsey）在1930年证明了这个数 r(k,t) 是存在的，人们称之为 Ramsey 数。确定其精确值是 个公开的难题。
-9-
图论及其应用第一章
Ramsey数R(p,q)
p,q
3
3
6
4
9
5
14
6
18
7
23
8
28
9
36
4 5
6 7 8
18
25 43–49
35–41 58–87
102–165
图论及其应用
Graph Theory with Applications
江苏师范大学数学学院 祝宝宣
图论及其应用第一章
图论发展史
图论在现代科学技术中有着重要的理论价值和广泛的应用 背景，如：线性代数、密码学、物理化学、网络设计、计 算机科学、信息科学、DNA的基因谱的确定和计数、工业生 产和企业管理中的优化方法等都广泛的应用了图论及其算 法。 首先我们通过图的发展过程来了解一下图论所研究的内容。 图论起源于18世纪的一个游戏----俄罗斯的哥尼斯堡七桥 问题。 （1736年 瑞士数学家欧拉——图论之父）
-6-
图论及其应用第一章
1872 年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学 学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的 问题。 1878 ～ 1880 年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒 两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理， 大家都认为四色猜想从此也就解决了。 1890年，在牛津大学就读的年仅 29岁的赫伍德以自己的 精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也 被人们否定了。后来，人们开始认识到，这个貌似容易的题 目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
Ramsey理论的哲理意义
-12-
图论及其应用第一章
最精美的组合定理
Rota：如果要求在组 合学中仅举出一个 精美的定理，那么 大多数组合学家会 提名Ramsey定理。
• • • • • • •
1984年Wolf奖得主Erdös 1997年Fulkerson奖得主Kim 1998年Fields奖得主Gowers 1999年Wolf奖得主Lovasz 2003年Steele奖得主Graham 2005年Gödel奖得主Alon 2006年Fields奖得主Tao 均对Ramsey理论有杰出贡献