南京市玄武区2018-2019学年九年级上期末考试数学试题含答案

玄武区 2016 届九年级（上）期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共计 12 分）
1．一元二次方程 x2＝ 1 的解是
（）
A．x＝1
B．x＝－1
C．x1＝1，x2＝－1 D．x＝0
2．⊙O 的半径为 1，同一平面内，若点 P 与圆心 O 的距离为 1，则点 P 与⊙O 的位置关系
是
（）
A．点 P 在⊙O 外 B．
点 P 在⊙O 上
C．点 P 在⊙O 内D．无法确定
3．9 名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前 4 名参加决赛，小红同学在知道
自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这 9 名同学成绩的（ ）
A． 中位数
B．极差
C．平均数
D．方差
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个
解的范围是
（）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
－0.03
－0.01
0.02
0.04
A．－0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
5．若点 A（－1，a），B（2，b），C（3，c）在抛物线 y＝x2 上，则下列结
论正确的是
（）
A．a＜c＜b
B． b＜a＜c
C．c＜b＜a
D． a＜b＜c
B
6．如图，点 E 在 y 轴上，⊙E 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C、D，
若 C （ 0 ， 9 ） ， D （ 0 ， － 1 ） ， 则 线 段 AB 的 长 度 为
（）
y C
E
O
AD B
x
A．3
B．4
C．6
D．8
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
7．若ba＝3，则b＋a a＝
．
（第 6 题）
8．一组数据：2，3，－1，5 的极差为
．
9．一元二次方程 x2－4x＋1＝0 的两根是 x1，x2，则 x1?x2 的值是
．
10．某产品原来每件成本是 100 元，连续两次降低成本后，现在成本是 81 元，设平均每次降低成本
的百分率为 x，可得方程
．
11．在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝2x2 先向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，得到的抛
物线的函数表达式为
．
12．已知圆锥的底面半径为 6 cm，母线长为 8 cm，它的侧面积为
13．如图，根据所给信息，可知BB′CC′的值为
.
cm2．
14．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表，则当 x＝3 时，
y＝
．

x
…
－3
－2
－1
0
y
…
7
3
1
1
1
…
3
…
15．如图，AB 是⊙O 的一条弦，C 是⊙O 上一动点且∠ACB＝45°，E、F 分别是 AC、BC 的中点，
直线 EF 与⊙O 交于点 G、H．若⊙O 的半径为 2，则 GE＋FH 的最大值为
.
C
A
M
D
O
E
FH
G
O
P OQ
B
A
B
N
C
（第 13 题）
（第 15 题）
（第 16 题）
16．如图，在矩形 ABCD 中，M、N 分别是边 AD、BC 的中点，点 P、Q 在 DC 边上，且 PQ＝14DC．若
AB＝16，BC＝20，则图中阴影部分的面积是
．
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（10 分） （1）解方程：(x＋1)2＝9；
（2）解方程：x2－4x＋2＝0．
18．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程(a＋1)x2－x＋a2－2a－2＝0 有一根是 1，求 a 的值．
19．（8 分）射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩 如下表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 平均成绩 中位数
甲
10
8
9
8
10
9
9
①

乙
10
7
10
10
9
8
②
9.5
（1）完成表中填空①
；②
；
（2）请计算甲六次测试成绩的方差； （3）若乙六次测试成绩方差为43，你认为推荐谁参加比赛更合适，请说明理由．
20．（7 分）一只不透明的袋子中，装有三个分别标记为“1”、“2”、“3”的球，这三个球除了标记 不同外，其余均相同．搅匀后，从中摸出一个球，记录球上的标记后放回袋中并搅匀，再从中 摸出一个球，再次记录球上的标记． （1）请列出上述实验中所记录球上标记的所有可能的结果； （2）求两次记录球上标记均为“1”的概率．

21．（8 分）如图，在半径为 2 的⊙O 中，弦 AB 长为 2． （1）求点 O 到 AB 的距离． （2）若点 C 为⊙O 上一点（不与点 A，B 重合），求∠BCA 的度数；
O B
A （第 21 题）
22．（8 分）已知二次函数 y＝x2－2x－3．
（1）该二次函数图象的对称轴为
；
（2）判断该函数与 x 轴交点的个数，并说明理由；
（3）下列说法正确的是
（填写所有正确说法的序号）
①顶点坐标为（1，－4）；
②当 y＞0 时，－1＜x＜3；
③在同一平面直角坐标系内，该函数图象与函数 y＝－x2＋2x＋3 的图象关于 x 轴对称．
23．（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 F，点 E 在 BD 上， 且AABE＝EBDC＝AADC．
（1）求证：∠BAE＝∠CAD；
A
（2）求证：△ABE∽△ACD．
D
F E
B
C
（第 23 题）
24．（7 分）课本 1.4 有这样一道例题：

据此，一位同学提出问题：“用这根长 22 cm 的铁丝能否围成面积最大的矩形？若能围成， 求出面积最大值；若不能围成，请说明理由．”请你完成该同学提出的问题．
25．（8 分）如图，在△ABC 中，AB＝BC，D 是 AC 中点，BE 平分∠ABD 交 AC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，⊙O 过 B、E 两点，交 BD 于点 G，交 AB 于点 F． （1）判断直线 AC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）当 BD＝6，AB＝10 时，求⊙O 的半径．
C
D
E
G
A
F
O
B
（第 25 题）
26．（9 分）已知一次函数 y＝x＋4 的图象与二次函数 y＝ax(x－2)的图象相交于 A（－1，b）和 B，

点 P 是线段 AB 上的动点（不与 A、B 重合），过点 P 作 PC⊥x 轴，与二次函数 y＝ax(x－2) 的图象交于点 C． （1）求 a、b 的值 （2）求线段 PC 长的最大值； （3）若△PAC 为直角三角形，请直接写出点 P 的坐标．
y
B P
A
O
x
C
（第 26 题）
27．（9 分）如图，折叠边长为 a 的正方形 ABCD，使点 C 落在边 AB 上的点 M 处（不与点 A，B 重

合），点 D 落在点 N 处，折痕 EF 分别与边 BC、AD 交于点 E、F，MN 与边 AD 交于点 G． 证明：（1）△AGM∽△BME；
（2）若 M 为 AB 中点，则A3M＝A4G＝M5G；
（3）△AGM 的周长为 2a．
N
A
G
FD
M
B
E
C
（第 27 题）

2015－2016 学年度第一学期期末学情调研 九年级数学试卷参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分 标准的精神给分． 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
A
C
D
C
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
7． 4
8． 6
9． 1
10．100(1－x)2＝81
11．y＝2(x－3)2＋1
12．48π
13．12
14．13
15．4－ 2
16．92
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分） 17．（本题 10 分）
（1）解：x＋1＝±3， ∴x1＝2，x2＝－4．……………………………………………………… 5 分
（2）方法一：解：a＝1，b＝－4，c＝2， b2－4ac＝8＞0，
x＝4±22 2 ＝2± 2 ，………………………………………… 3 分
∴x1＝2＋ 2 ，x2＝2－ 2 ．…………………………………… 5 分 方法二：解：x2－4x＝－2，
x2－4x＋4＝－2＋4，
(x－2)2＝2，……………………………………………………
3分
x－2＝± 2 ，
∴x1＝2＋ 2 ，x2＝2－ 2 ．………………………………
5分
18．（本题 6 分） 解：将 x＝1 代入，得：(a＋1)2－1＋a2－2a－2＝0， 解得：a1＝－1，a2＝2．………………………………………………… ∵a＋1≠0，∴a≠－1， ∴a＝2．…………………………………………………………………
5分 6分
19．（本题 8 分） 解：（1）9；9．……………………………………………………………… （2）S 甲 2＝ 23．………………………………………………………………
（3）∵ X甲 ? X乙，S 甲 2＜S 乙 2，
∴推荐甲参加比赛合适．………………………………………………
2分 4分
8分
20．（本题 7 分）

解：（1）列表如下：
结果 1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
…………………………………………………………………………… 4 分
（2）在这种情况下，共包含 9 种结果，它们是等可能的．……………… 5 分
所有的结果中，满足“两次记录球上标记均为‘1’”（记为事件 A）的结果只有
一种，所以 P(A)＝
1 9
．
……………………………………………………
7分
21．（本题 8 分）
解：（1）过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，连接 AO，BO．
∵OD⊥AB 且过圆心，AB＝2，
∴AD＝12AB＝1，∠ADO＝90°．……………………………………… 2 分
在 Rt△ADO 中，∠ADO＝90°，AO＝2，AD＝1，
∴OD＝ AO2－AD2 ＝ 3 ．即点 O 到 AB 的距离为 3 ．………… 4 分
（2）∵AO＝BO＝2，AB＝2，
∴△ABO 是等边三角形，∴∠AOB＝60°． ………………………… 6 分
若点 C 在优弧⌒ ACB上，则∠BCA＝30°；
若点
C
在劣弧 A⌒B 上，则∠BCA＝
1 2
(360°－∠AOB)＝150°．……
8分
22．（本题 8 分）解：（1）直线 x＝1．……………………………………………… 2 分 （2）令 y＝0，得：x2－2x－3＝0． ∵b2－4ac＝16＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数与 x 轴有两个交点．……………………………………… 6 分
（3）①③．……………………………………………………………… 8 分
23．（本题 8 分）
证明：（1）在△ABC 与△AED 中，
∵AABE＝EBDC＝AADC，
∴△ABC∽△AED．…………………………………………………… 2 分
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC－∠EAF＝∠EAD－∠EAF，
即∠BAE＝∠CAD．…………………………………………………… 4 分
（2）∵AABE＝AADC，∴AACB＝AADE． …………………………………………… 6 分
在△ABE 与△ACD 中，
∵∠BAE＝∠CAD，AACB＝AADE，
∴ △ABE∽△ACD． ………………………………………………… 8 分
24．（本题 7 分）解：能围成． 设当矩形的一边长为 x cm 时，面积为 y cm2．

由题意得：y＝x·(222－x)…………………………………………………… 3 分 ＝－x2＋11x ＝－(x－121)2＋1421 …………………………………………… 5 分
∵(x－121)2≥0，∴－(x－121)2＋1421≤1421． ∴当 x＝121时，y 有最大值，y max＝1421，此时222－x＝121． 答：当矩形的各边长均为121 cm 时，围成的面积最大，最大面积是1421cm2．… 7 分 25．（本题 8 分） 解：（1）AC 与⊙O 相切．
本题答案不惟一，下列解法供参考． 证法一：∵BE 平分∠ABD，∴∠OBE＝∠DBO．
∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB， ∴∠OBE＝∠DBO，∴OE∥BD．………………………………… 2 分 ∵AB＝BC，D 是 AC 中点，∴BD⊥AC．∴∠ADB＝90°． ∵AC 经过⊙O 半径 OE 的外端点 E，∴AC 与⊙O 相切．……… 4 分 证法二：∵BE 平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABE． 又∵∠ADE＝2∠ABE，∴∠ABD＝∠ADE．∴OE∥BD．……… 2 分 ∵AB＝BC，D 是 AC 中点，∴BD⊥AC．∴∠ADB＝90°． ∵AC 经过⊙O 半径 OE 的外端点 E，∴AC 与⊙O 相切．……… 4 分 （2）设⊙O 半径为 r，则 AO＝10－r． 由（1）知，OE∥BD，∴△AOE∽△ABD．………………………… 6 分 ∴AAOB＝OBDE，即101－0 r＝6r，……………………………………………… 7 分 ∴r＝145．∴⊙O 半径是145．……………………………………… 8 分 26．（本题 9 分） 解：（1）∵A(－1，b)在直线 y＝x＋4 上， ∴b＝－1＋4＝3， ∴A(－1，3)． 又∵A(－1，3)在抛物线 y＝ax(x－2)上， ∴3＝－a·(－1－2)，解得：a＝1．…………………………… 2 分 （2）设 P(m，m＋4)，则 C(m，m2－2m)． ∴PC＝(m＋4)－(m2－2m)
＝－m2＋3m＋4 ＝－(m－32)2＋245 ………………………………………… 5 分 ∵(m－32)2≥0，∴－(m－32)2＋245≤245．
∴当 m＝32时，PC 有最大值，最大值为245．……………………… 7 分
（3）P1(2，6)，P2(3，7)．……………………………………… 9 分
27．（本题 9 分）

证明：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠AMG＋∠AGM＝90°． ∵EF 为折痕，∴∠GME＝∠C＝90°， ∴∠AMG＋∠BME＝90°， ∴∠AGM＝∠BME． ………………………………………………… 2 分 在△AGM 与△BME 中， ∵∠A＝∠B，∠AGM＝∠BME， ∴△AGM∽△BME． ………………………………………………… 3 分
（2）∵M 为 AB 中点，∴BM＝AM＝a2． 设 BE＝x，则 ME＝CE＝a－x． 在 Rt△BME 中，∠B＝90°， ∴BM2＋BE2＝ME2，即(a2)2＋x2＝(a－x)2，
∴x＝38a，∴BE＝38a，ME＝58a． 由（1）知，△AGM∽△BME， ∴BAMG＝GMME＝ABME ＝43．
∴AG＝43BM＝23a，GM＝43ME＝56a，
∴A3M＝A4G＝M5G．…………………………………………………… 6 分 （3）设 BM＝x，则 AM＝a－x，ME＝CE＝a－BE．
在 Rt△BME 中，∠B＝90°， ∴BM2＋BE2＝ME2，即 x2＋BE2＝(a－BE)2， 解得：BE＝a2－2xa2 ． 由（1）知，△AGM∽△BME， ∴CC△△ABGMME＝ABME ＝a2＋ax． ∵C△BME＝BM＋BE＋ME＝BM＋BE＋CE＝BM＋BC＝a＋x， ∴C△AGM＝C△BME·ABME ＝(a＋x)·a2＋ax＝2a．……………………… 9 分