幂函数的图象及性质
2.3.1幂函数的图像和性质
§2.3幂函数
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报 yx 纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数 (2) 如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于 2 ｘ的函数; yx (3) 如果正方体的边长为ｘ, 正方体的体积为ｙ, 3 这里ｙ是关于ｘ函数; yx (4)如果一个正方形场地的面积为ｘ, 这个正方形的 1 边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数; y x2 (5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平 1 均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. yx １：以上各题目的函数关系分别是什么？
2、思想与方法
作业:
79页1 82页10
成功始于方法 巩固才能提高
y=x
定义域 值域 R R
y = x2
R [0，+∞） 偶函数
y=
R
x3
y x
[0，+∞） [0，+∞）
1 2
R
yx 0 U （0，+） ， 0 U （0，+） ，
奇函数
1
奇偶性 奇函数
奇函数
非奇非偶 函数
在（－∞,0] 在( －∞,0)， 在R上 上是减函数 在R上 在(0，+∞) (0, +∞）上是 是增函 单调性 ，在(0, +∞ 是增函 上是增函数 减函数 数 ）上是增函 数 数 公共点
在{x x 0}上是奇函数 奇偶性：
单调性： 在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
如何画y x 和y x 的图像呢?
3
1 2
x y=x3 y=x1/2
… … …
-2 -8 /
-1 -1 /
专题幂函数以及函数的应用(解析版)
专题10 幂函数以及函数的应用【考点预测】 考点一、幂函数概念形如y x α=的函数，叫做幂函数，其中α为常数． 考点诠释：幂函数必须是形如y x α=的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数．例如：4223,1,(2)y x y x y x ==+=-等都不是幂函数．考点二、幂函数的图象及性质 1．作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．考点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点()1,1；（2）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸；（3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．2．作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为(0,)+∞或[0,)+∞，作图已完成； 若在(0)-∞，或0]-∞(，上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3．幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a f x x =． 4．幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 考点三、解决实际应用问题的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．第二步：引进数学符号，建立数学模型设自变量为x ，函数为y ，并用x 表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步：再转译为具体问题作出解答．【典型例题】例1．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+为奇函数.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()132f a f a +<-，求a 的取值范围. 【解析】（1）由题意，幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+，可得2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =， 当1m =时，函数()311322f x x x ++==为奇函数，当2m =时，()21152322f x xx ++==为非奇非偶函数，因为()f x 为奇函数，所以()3f x x =.（2）由（1）知()3f x x =，可得()f x 在R 上为增函数，因为()()132f a f a +<-，所以132a a +<-，解得23<a ， 所以a 的取值范围为2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.例2．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数2()(33)a f x a a x =-+为偶函数， (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()213g x f x m x =+--在[]1,3-上的最大值为2，求实数m 的值．【解析】（1）因为2()(33)af x a a x =-+为幂函数，所以2331a a -+=，解得2a =或1a = 因为()f x 为偶函数，所以2a =，故()f x 的解析式2()f x x =；（2）由（1）知()()2213g x x m x =+--，对称轴为122mx -=，开口向上，当1212m-≤即12m ≥-时，()()max 3362g x g m ==+=，即16m =-； 当1212m ->即12m <-时，()()max 1122g x g m =-=--=，即32m =-； 综上所述：16m =-或32m =-．例3．（2022·全国·高一课时练习）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本()h x 万元，当产量小于或等于50万盒时()180100h x x =+；当产量大于50万盒时()2603500h x x x =++，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？【解析】（1）当产量小于或等于50万盒时，20020018010020300y x x x =---=-， 当产量大于50万盒时，222002006035001403700y x x x x x =----=-+-， 故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为220300,050,N 1403700,50x x y x x x x -≤≤⎧=∈⎨-+->⎩（2）当050x ≤≤时，2050300700y ≤⨯-=； 当50x >时，21403700y x x =-+-， 当140702x ==时，21403700y x x =-+-取到最大值，为1200．因为7001200<，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．例4．（2022·全国·高一课时练习）如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年⨯月⨯日，天气：阴；能见度：1.8千米；11:40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；12:10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；12:35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离x （千米）与时间t （分钟）的函数关系用图3表示.其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点(0,12)A ，点B 坐标为(,0)m ，曲线BC 可用二次函数：21(125s t bt c b =++，c 是常数）刻画. (1)求m 值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；(2)11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度02(30)125v v t =+-，0v 是加速前的速度） 【解析】（1）11:40到12:10的时间是30分钟，则(30,0)B ，即30m =， 潮头从甲地到乙地的速度120.430=（千米/分钟）. （2）因潮头的速度为0.4千米/分钟，则到11:59时，潮头已前进190.47.6⨯=（千米）， 此时潮头离乙地127.6 4.4-=（千米），设小红出发x 分钟与潮头相遇， 于是得0.40.48 4.4x x +=，解得5x =， 所以小红5分钟后与潮头相遇.（3）把(30,0)，(55,15)C 代入21125s t bt c =++，得221303001251555515125b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩，解得225b =-，245c =-， 因此21224125255s t t =--，又00.4v =，则22(30)1255v t =-+， 当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分，即0.48v =时，22(30)0.481255t -+=，解得35t =，则当35t =时，21224111252555s t t =--=， 即从35t =分钟(12:15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头，设小红离乙地的距离为1s ，则1s 与时间t 的函数关系式为10.48(35)s t h t =+≥， 当35t =时，1115s s ==，解得：735h =-，因此有11273255s t =-，最后潮头与小红相距1.8千米，即1 1.8s s -=时，有212241273 1.8125255255t t t ---+=， 解得150t =，220t =（舍去），于是有50t =，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时0.48560.4⨯=（分钟）， 因此共需要时间为6503026+-=（分钟），所以小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.例5．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()()2253mf x m m x =-+的定义域为全体实数R.(1)求()f x 的解析式；(2)若()31f x x k >+-在[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】（1）∵()f x 是幂函数，∴22531m m -+=，∴12m =或2.当12m =时，()12f x x =，此时不满足()f x 的定义域为全体实数R ， ∴m ＝2,∴()2f x x =.（2）()31f x x k >+-即2310x x k -+->，要使此不等式在[]1,1-上恒成立，令()231g x x x k =-+-,只需使函数()231g x x x k =-+-在[]1,1-上的最小值大于0.∵()231g x x x k =-+-图象的对称轴为32x =，故()g x 在[]1,1-上单调递减， ∴()()min 11g x g k ==--， 由10k -->，得1k <-， ∴实数k 的取值范围是(,1)-∞-.【过关测试】 一、单选题1．（2022·全国·高一单元测试）若函数()f x x α=的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则19f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．3C ．9D ．8【答案】B【解析】由题意知()193f =，所以193α=，即2133α-=， 所以12α=-，所以()12f x x -=，所以1211399f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B2．（2022·全国·高一课时练习）已知432a =，254b =，1325c =，236d =，则（ ） A ．b a d c <<< B ．b c a d <<< C ．c d b a <<< D ．b a c d <<<【答案】D 【解析】由题得4133216a ==，2155416b ==，1325c =，2133636d ==，因为函数13y x =在R 上单调递增，所以a c d <<．又因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a <．故选:D ．3．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()a f x x 的图象过点(9,3)，则函数1()()1f x y f x -=+在区间［1,9]上的值域为（ ） A ．［－1,0] B ．1[,0]2-C ．［0,2]D ．3[,1]2-【答案】B【解析】解法一：因为幂函数()a f x x 的图象过点()9,3 ，所以93=a ，可得12a =，所以()f x x =1()12(1)1()1111f x x x y f x x x x ---+===++++．因为19x ≤≤，所以214x ≤≤，故11,021y x ⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦．因此，函数1()()1f x y f x -=+在区间[1,9]上的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：B ．解法二：因为幂函数()a f x x 的图象过点(9,3)，所以93a =，可得12a =， 所以()f x x =[1,9]x ∈，所以()[1,3]f x ∈．因为y =1()()1f x f x -+，所以1()1y f x y -=+，所以1131y y -≤≤+，解得102y -≤≤，即函数1()()1f x y f x -=+在区间[1,9]上的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：B ．4．（2022·全国·高一课时练习）如图所示是函数mn y x =(*N m n ∈、且互质)的图象，则（ ）A ．m n 、是奇数且1mn< B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n> C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n< D ．m n 、是偶数，且1m n> 【答案】C【解析】函数n m nm y x x =y 轴对称，故n 为奇数，m 为偶数， 在第一象限内，函数是凸函数，故1mn<， 故选：C.5．（2022·全国·高一期中）幂函数2225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（ ） A ．27 B ．9C ．19D ．127【答案】A【解析】由题意，令251m m +-=，即260m m +-=，解得2m =或3m =-， 当2m =时，可得函数3()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意； 当3m =-时，可得2()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意， 即幂函数3()f x x =，则(3)27f =. 故选：A.6．（2022·全国·高一课时练习）向高为H 的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当容器是圆柱时，容积V =πr 2h ，r 不变，V 是h 的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D 不满足条件；由函数图象可以看出，随着高度h 的增加V 也增加，但随h 变大，每单位高度的增加，体积V 的增加量变小，图象上升趋势变缓，∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小， ∴A 、C 不满足条件，而B 满足条件. 故选：B ．7．（2022·全国·高一单元测试）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位60030x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元（试剂的总产量为x 单位，50200x ≤≤），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位【答案】D【解析】设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元， 职工的工资总额为750020x +元，后续保养总费用为60030x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元， 则250750020306008100810040240220x x x x y x x x x x+++-+==++≥⋅=， 当且仅当8100x x=，即90x =时取等号， 满足50200x ≤≤，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位． 故选：D ．8．（2022·全国·高一课时练习）给出幂函数：①()f x x =；②2()f x x =；③()3f x x =；④()f x x ()1f x x =．其中满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由题，满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）幂函数()()22657mf x m m x--=+在()0,∞+上是增函数，则以下说法正确的是（ ） A ．3m =B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．函数()f x 是偶函数D ．函数()f x 的图象关于原点对称 【答案】ABD【解析】因为幂函数()()22657m f x m m x--=+在()0,∞+上是增函数，所以2257160m m m ⎧-+=⎨->⎩，解得3m =，所以()3f x x =，所以()()()33f x x x f x -=-=-=-，故()3f x x =为奇函数，函数图象关于原点对称，所以()f x 在(),0∞-上单调递增； 故选：ABD10．（2022·全国·高一课时练习）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润()p x （单位：万元）与每月投入的研发经费x （单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且21()6205p x x x =-+-，利润率()p x y x =.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ） A ．此时获得最大利润率B ．再投入6万元研发经费才能获得最大利润C ．再投入1万元研发经费可获得最大利润率D ．再投入1万元研发经费才能获得最大利润 【答案】BC【解析】当16x ≤时，2211()620(15)2555p x x x x =-+-=--+，故当15x =时，获得最大利润，为()1525p =，故B 正确，D 错误；()12012012066262555p x y x x x x x x x ⎛⎫==-+-=-++≤-⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当1205x x=，即10x =时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C 正确，A 错误.故选：BC.11．（2022·全国·高一课时练习）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y 1(千元)､乙厂的总费用y 2(千元)与印制证书数量x (千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（ ）A ．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B ．甲厂的总费用y 1与证书数量x 之间的函数关系式为10.51y x =+C ．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D ．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y 2与证书数量x 之间的函数关系式为21542y x =+ 【答案】ABCD【解析】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A 正确； 设甲厂的费用1y 与证书数量x 满足的函数关系式为y kx b =+，代入点(0,1),(6,4)，可得164b k b =⎧⎨+=⎩，解得0.5,1k b ==，所以甲厂的费用1y 与证书数量x 满足的函数关系式为10.51y x =+，故B 正确； 当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为32 1.5÷=元，故C 正确； 设当2x >时，设2y 与x 之间的函数关系式为y mx n =+代入点(2,3),(6,4)，可得2364m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得15,42k b ==，所以当2x >时，2y 与x 之间的函数关系式为21542y x =+，故D 正确.故选：ABCD.12．（2022·全国·高一课时练习）若函数()f x 在定义域内的某区间M 是增函数，且()f x x在M 上是减函数，则称()f x 在M 上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ） A ．若()2f x x =，则不存在区间M 使()f x 为“弱增函数” B ．若()1f x x x=+，则存在区间M 使()f x 为“弱增函数”C ．若()3f x x x =+，则()f x 为R 上的“弱增函数”D ．若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则4a =【答案】ABD【解析】对于A ：()2f x x =在[)0,∞+上为增函数，()==f x y x x在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M 使()2f x x =为“弱增函数”，A 正确；对于B ：由对勾函数的性质可知：()1f x x x=+在[)1,+∞上为增函数，()21f x y x x-==+，由幂函数的性质可知，()21f x y x x-==+在[)1,+∞上为减函数，故存在区间[)1,M =+∞使()1f x x x =+为“弱增函数”，B 正确；对于C ：()3f x x x =+为奇函数，且0x ≥时，()3f x x x =+为增函数，由奇函数的对称性可知()3f x x x=+为R 上的增函数，()21f x y x x==+为偶函数，其在0x ≥时为增函数，在0x <时为减函数，故()3f x x x=+不是R 上的“弱增函数”，C 错误；对于D ：若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则()()24f x x a x a =+-+在(]0,2上为增函数，所以402a --≤，解得4a ≤，又()()4f x ay x a x x==+-+在(]0,2上为减函数，由对勾函数的单调性可知，2a ≥，则4a ≥，综上4a =.故D 正确． 故选：ABD ． 三、填空题13．（2022·全国·高一单元测试）已知1114,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若函数()af x x =在()0,+∞上单调递减，且为偶函数，则=a ______． 【答案】4-【解析】由题知：0a <， 所以a 的值可能为4-，1-，12-．当4a =-时，()()1440f x x x x -==≠为偶函数，符合题意．当1a =-时，()()110-==≠f x x x x为奇函数，不符合题意． 当12a =-时，()12f x x x-==，定义域为()0,+∞，则()f x 为非奇非偶函数，不符合题意．综上，4a =-． 故答案为：4-14．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()2232(1)m m f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.【答案】()2f x x =【解析】()f x 是幂函数，211m ∴-=，解得2m =或0m =，若2m =，则()0f x x =，在()0+∞，上不单调递减，不满足条件； 若0m =，则()2f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件； 即()2f x x =. 故答案为：()2f x x =15．（2022·全国·高一课时练习）现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩()*1620,n n n ∈<<N 粒.则红豆和白豆共有________粒. 【答案】58【解析】设红豆有x 粒，白豆有y 粒， 由第一轮结果可知：1042x y -=，整理可得：220x y =-； 由第二轮结果可知：2yx n =-，整理可得：22y x n =-； 当17n =时，由220234x y y x =-⎧⎨=-⎩得：883743x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）；当18n =时，由220236x y y x =-⎧⎨=-⎩得：923763x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）；当19n =时，由220238x y y x =-⎧⎨=-⎩得：3226x y =⎧⎨=⎩，322658x y ∴+=+=，即红豆和白豆共有58粒. 故答案为：58.16．（2022·全国·高一期中）已知幂函数()223()p p f x x p N --*=∈ 的图像关于y 轴对称，且在()0+∞，上是减函数，实数a 满足()()233133pp a a -<+，则a 的取值范围是_____．【答案】14a <<【解析】幂函数()()223*p p f x xp N --=∈在()0+∞，上是减函数， 2230p p ∴--<，解得13p -<<，*p N ∈，1p ∴=或2．当1p =时，()4f x x -=为偶函数满足条件，当2p =时，()3f x x -=为奇函数不满足条件，则不等式等价为233(1)(33)ppa a -<+，即()11233(1)33a a -<+，()13f x x =在R 上为增函数， 2133a a ∴-<+，解得：14a <<.故答案为：14a <<. 四、解答题17．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小： (1)()32--，()32.5--； (2)788--，7819⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)3412⎛⎫ ⎪⎝⎭，3415⎛⎫ ⎪⎝⎭，1412⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）因为幂函数3y x -=在(),0∞-上单调递减，且2 2.5->-，所以()()332 2.5---<-． （2）因为幂函数78y x =在[)0,∞+上为增函数，且7788188-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1189>，所以77881189⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以77881189⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7788189-⎛⎫-<- ⎪⎝⎭．（3）41341128⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3144115125⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11112582<<，因为幂函数14y x =在()0,∞+上单调递增，所以331444111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x x =()2g x x =-.(1)求方程()()f x g x =的解集；(2)定义：{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩.已知定义在[)0,∞+上的函数{}()max (),()h x f x g x =，求函数()h x 的解析式；(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数()h x 的简图，并根据图象写出函数()h x 的单调区间和最小值. 【解析】（12x x =-，得2540x x -+=且0x ≥，解得11x =，24x =；所以方程()()f x g x =的解集为{1,4}（2）由已知得()2,01,2,14222,4x x x x x h x x x x x x x x -≤<⎧⎧-⎪⎪==≤≤⎨⎨-<-⎪⎪⎩->⎩. （3）函数()h x 的图象如图实线所示：函数()h x 的单调递减区间是[]0,1，单调递增区间是()1,+∞，其最小值为1.19．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）已知幂函数()a g x x =的图像经过点(22,，函数2(4)()1g x af x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数a 的值；(2)判断函数f （x ）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明【解析】(1)由条件可知22a=12a =，即()12g x x x ==，()42g =，因为()221x a f x x +=+是奇函数，所以()00f a ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以2a =成立； (2)由（1）可知()221xf x x =+， 在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <， ()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.20．（2022·全国·高一课时练习）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元.假设该产品的月销售量t （件）与销售价格x （元/件）（*x ∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，()()2510050t x a x =-++；②当6076x ≤≤时，()1007600t x x =-+.记该店月利润为M （元），月利润=月销售总额-月总成本.(1)求M 关于销售价格x 的函数关系式；(2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格.【解析】（1）当60x =时，()260510050100607600a -++=-⨯+，解得2a =.∴()()()()()2**220100003420000,3460,,10076003420000,6076,x x x x x N M x x x x x N ⎧--+--≤≤∈⎪=⎨-+--≤≤∈⎪⎩即()32*2*24810680360000,3460,,10011000278400,6076,x x x x x N M x x x x x N ⎧-++-≤≤∈=⎨-+-≤≤∈⎩（2）当3460x ≤≤，x ∈R 时，设()3224810680360000g x x x x =-++-，则()()26161780g x x x '=---.令()0g x '=，解得182461x =-，()28246150,51x =+， 当3450x ≤≤时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当5160x ≤≤时，()0g x '<，()g x 单调递减.∵*x ∈N ，()5044000M =，()5144226M =，()M x 的最大值为44226.当6076x ≤≤时，()()21001102784M x x x =-+-单调递减，故此时()M x 的最大值为()6021600M =.综上所述，当51x =时，()M x 有最大值44226.∴该打印店的最大月利润为44226元，此时产品的销售价格为51元/件. 21．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数2()(33)a f x a a x =-+为偶函数， (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()213g x f x m x =+--在[]1,3-上的最大值为1，求实数m 的值. 【解析】（1）因为()f x 为幂函数所以233112a a a a -+===，得或 因为()f x 为偶函数所以2a = 故()f x 的解析式2()f x x =.（2）由（1）知()()2213g x x m x =+--，当1212m-≤即12m ≥-时，()()max 3361g x g m ==+=，即13m =- 当1212m ->即12m <-时，()()max 1121g x g m =-=--=即1m =- 综上所述：13m =-或1m =-22．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()()()22tf x t t x t R -=+∈，且()f x 在区间()0,∞+上单调递减.(1)求()f x 的解析式及定义域； (2)设函数()()()221g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦，求证：()g x 在()0,∞+上单调递减.【解析】（1）因为幂函数()()()22t f x t t x t R -=+∈，()f x 在区间()0,+∞上单调递减，所以221+=t t ，解得1t =-或12t =， 所以()12f x x -=，定义域为()0,+∞.（2）由（1）知函数()()()()2222110--=-=-≠⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦g x f x x x x f x ，设120x x >>，则()()()222222211212212222121211------=--+=-+x x g x g x x x x x x x x x因为120x x >>，所以2212x x >，222221210,0-<>x x x x ，所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x <， 所以()g x 在()0,+∞上单调递减.。
幂函数图像与性质
a=1
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
0<a<1
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
a=0
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
（1）1与 比较时，可将1化为
，
即要么与数同底，要么与数同指
若能化为同指数，则用幂函数的单调性； 若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
例3
若m
4
1 2
3
2m
1 2
,
则求m的取值范围.
解
:Q
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
)
且在定义域上是减函数,
0 3 2m m 4
1 m 3 ,即为m的取值范围. 32
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数;
-4
-2
2
4
6 α <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
3、α为奇数时,幂函数为奇函数,
-2
α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
幂函数在第一象限内的图像与性质
0< <1
>1
<0
图
象y
y
y
特1 点 o1
（1）y 3x;
(2) y
1 x2
;
(3) y 2x2;
幂函数的图像与性质
图象都经过点（ 图象都经过点（1，1）
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系 在第一象限内 函数图象的变化趋势与指数有什么关系? 函数图象的变化趋势与指数有什么关系
幂函数在(0,+∞) １.幂函数在(0,+∞)都 幂函数在(0,+∞)都 有定义, (1,1)点 有定义,且都过 (1,1 点; ２.在x=1的右侧，越在 x=1的右侧 的右侧， 上方的图像对应的幂 函数的k值越大； 函数的k值越大； 轴与x=1之间相反。 x=1之间相反 在y轴与x=1之间相反。
幂函数的性质与图像？ 幂函数的性质与图像？
K>0
K>0
K>0
K>0
K>0
K>0
K>0
K<0
K<0
K<0
K<0
K<0
K<0
K<0
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系 在第一象限内 函数图象的变化趋势与指数有什么关系? 函数图象的变化趋势与指数有什么关系
在第一象限内， 在第一象限内， 增大而上升。 当k>0时，图象随 增大而上升。 时 图象随x增大而上升 当k<0时，图象随 增大而下降 时 图象随x增大而下降
3、思想与方法 、
数形结合 寓数于形,赋形于数 互相利用 相得溢彰. 寓数于形 赋形于数,互相利用 相得溢彰 赋形于数 互相利用,相得溢彰
练 习
y=x
I
−
1 2
y=x
G
2 3
y=x
E
4 3
y= x
B
−3
y=x
C
−2
y = x
y
幂函数与函数的图象变换
时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；直α线＝1
时，为过(0,0)点和(1,1)点的(1,1)
．
❖ (2减)当α<0时，幂函数图象总经过 点， 且在第一象限为 函数．
❖ (3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x 轴的直线(除去(0,1)点)．
❖ 二、函数的图象与图象变换
❖ 1．画图
❖ 描点法
❖ (2)比较大小：0.80.7与0.70.8.
❖ 解析：(1)∵0<0.71.3<1,1.30.7>1， ∴0.71.3<1.30.7
❖ 考察幂函数y＝xm由(0.71.3)m<(1.30.7)m
❖ 知y＝xm为(0，＋∞)上的增函数，∴m>0.
❖ (2)指数函数y＝0.8x是减函数， ∴0.80.7>0.80.8
❖ 若(a＋1)－ <(3－2a)－ ，则a的取值范 围是______．
❖ 解析：幂函数y＝x－ 在(0，＋∞)上为减 函数，函数值y>0；在(－∞，0)上也是减 函数，函数值y<0.
❖ 答案：(
)∪(－∞，－1)
❖ [例2] 设x∈(0,1)时，函数y＝xp的图象 在直线y＝x的上方，则p的取值范围是 ________．
❖ 解析：(1)当p>0时，根据题意p<1， ∴0<p<1.
❖ (2)p＝0时，函数为y＝1(x≠0)，符合题 意．
❖ (3)p<0时，在(0，＋∞)上过(1,1)点，函数 为减函数，符合题意．
❖ 综上所述，p的取值范围(－∞，1).
❖ 解析：由幂函数图象特点， ❖ C1、C2对应n>0，C3、C4对应n<0 ❖ ∴曲线C1、C2、C3、C4对应n为2， ，
幂函数图像与性质
一般地，我们把形如 y x 的函数 称为幂函数，
a
其中 x 是自变量， a 是常数； 注意：幂函数与指数函数的区别．
指数函数的自变量在 的位置上
幂函数的自变量在 的位置上 指数函数中参数a的取值范围是 a 0且a 1 幂函数中参数a的取值范围是 a R
yx yx
图像
定义域 值域 单调性
2
yx
3
yx
1 2
R R
增函数
[0, )
先减后增
R
R R
增函数
[0, )
[0, )
增函数
奇偶性
对称性 过定点 象限分布
奇
(0, 0) (1,1)
偶
(0, 0) (1,1)
奇
(0, 0)
(0, 0) (1,1)
无 无
(0, 0) (1,1)
(0, 0)
y轴
一三
一二
Байду номын сангаас一三
一
yx
1
yx
2
yx
3
yx
1 2
图 像
定义域
值域 单调性 奇偶性 对称性 过定点 象限分
y0
x0
奇
(0, 0)
(0, ) (0, )
先增后减
x0
减减
奇
(0, 0)
y0
(0, ) (0, )
减函数
减减
偶
y轴 (1,1) 一二
无 无
(1,1)
一三
(1,1)
一三
(1,1)
一
总结
• 幂函数的一般形式为y=x^a。 如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无 理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义 域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来 源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的 定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： （1）所有的图形都通过（1，1）这点。 （2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 （3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 （4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 （5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。 （6）显然幂函数无界。阅读全文： 606 评论： 0
(完整版)幂函数图象及其性质
幕函数的图像与性质1幕函数的定义形如y=x "(a € R )的函数称为幕函数，其中 x 是自变量，a 为常数 注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同， 幕函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
例题、(1).下列函数中不是幕函数的是()A . y 仮B . y x 3 c . y 2x D . y x 1答案：C例2.已知函数f xm 2 m 1 x 5m 3，当m 为何值时，f x图像是上升曲线。
(1)是幕函数;(2)是幕函数，且是0,上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数; (5) 是二次函数; 简解：(1)(2) (3) m4 (4) m5(5) m 1变式训练: 已知函数fx m 22mm为何值时,在第一象限内它的2小简解：m m 02m 2m 3 解得：m 0U 3,小结与拓展：要牢记幕函数的定义，列出等式或不等式求解。
2.幕函数的图像幕函数y = x a 的图象由于a 的值不同而不同.a 的正负：a> 0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升;在第一象限的图象下降，反之也成立；aV 0,图象不过原点,1注：在上图第一象限中如何确定y=x 3, y=x 2, y=x , y x 2 , y=x -1方法：可画出x=x o ；当x o >l 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3, y=x 2, 当0<x o <l 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x -1, yy=xy=x 2 y=x 31y x?y=x -1定义域 R R R [0, ) x| x R 且x 0 值域R[0, )R[0, )y | y R 且 y 0奇偶性 奇 偶奇非奇非偶 奇单调性增x € [0 , )时，增；x € (,0]时，减增增x € (0,+ )时，减； x € (- ,0)时，减定点(1 , 1)例.比较大小:1 1_"T ~ 3 3 1 1 2 3 0 5(1)1.52,1.72 (2)( 1.2) ,( 1.25) (3)5.25 ,5.26 ,5.26 (4)0.5 ,3 . ,log 3 0.5解: (1 )••• y X 在[0,)上是增函数，1.5 1.71.52 1.721y=x ， y x 2， y=x -1 ；1 2 23x 2，y=x ， y=x 2，y=x 3 。
高考数学第一轮复习幂函数图像与性质
幂函数的性质与图像 幂函数及其性质 1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 2、函数的图像（1）y x = （2）12y x= （3）2y x= （4）1y x-= （5）3yx=用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。
3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.（4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .：4. 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 在[0，+∞]上，y x =、2y x=、3y x=、12y x=是增函数， 在（0，+∞）上，1y x -=是减函数。
例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =-变式训练： 已知函数()()2223m m f x m m x--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。
幂函数图像与性质
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p= w 元 这里p是w的函数
yx
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S a2
这里S是a的函数
y x2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V a3
这里V是a的函数
y x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的
-2 α为偶数时,幂函数为偶函数.
3、在第一象限内，
-3
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
快速反应
y 0.2x
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
题型：关于定义
例1、下列函数中，哪几个函数是幂函数？
(1) y x4
(2) y
1 x2
(3) y x2
(4) y 2x2 (5) y x3 x (6) y 1x x 0
3，1 ，-1时的情形。
2
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
x … -1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 … y=x3 … -1 -1/8 0 1/8 1 27/8 8 …
x … 0 1/4 1 2 3 4 …
幂函数：(1)(2) yy1x0 (6)
幂函数的图像与性质
幂函数的图像与性质幂函数的图像与性质是指，如果将一个函数定义为f(x)=ax，其中a是一个正常数，那么这个函数就叫做幂函数。
注意，这里的x不必要是整数，可以是任意实数值。
一般来说，如果a>0，则函数的图形表示为一条递增的直线；如果a<0，则函数的图形表示为一条递减的直线；如果a=1，则函数的图形表示为一条水平直线。
在函数的图形中，如果a>1，则函数的图形表示为一条右上斜线，即函数的导数增加得越来越快；如果a<1，则函数的图形表示为一条左下斜线，即函数的导数减少得越来越快；如果a=1，则函数的图形表示为一条水平直线，即函数的导数保持不变。
在函数的性质方面，幂函数的表达式可以写成y=ax，其中a是一个实数，x是一个实数变量，y是一个实数函数。
事实上，它是一个特殊的多项式函数，可以用指数形式表示，即y=ax=e^(lna)x=exlnax。
如果a>0，则此函数在定义域中是递增函数；如果a<0，则此函数在定义域中是递减函数；如果a=1，则此函数在定义域中是一条水平线。
另外，幂函数的导函数为y'=axlnax，其中a、x均为实数，而y'为函数y的导函数。
此外，幂函数的图形也会因其中的参数a的值的大小而有所不同。
如果a>1，则函数的图形表示为一条右上斜线，即函数的导数增加得越来越快；如果a<1，则函数的图形表示为一条左下斜线，即函数的导数减少得越来越快；如果a=1，则函数的图形表示为一条水平直线，即函数的导数保持不变。
综上所述，幂函数的图形与性质取决于参数a的值，它是一个特殊的多项式函数，其导函数为y'=axlnax，其中a、x均为实数，而y'为函数y的导函数。
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课件6 幂函数图象及性质 课件编号：ABⅠ-2-3-1. 课件名称：幂函数图象及性质. 课件运行环境：几何画板4.0以上版本. 课件主要功能：配合教科书“2.3 幂函数”的教学.利用几何画板绘制函数图象的功能，绘制出幂函数的图象，再利用幂函数的图象研究函数的性质． 课件制作过程： （1）新建画板窗口．单击【Graph】（图表）菜单中的【Define Coordinate System】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl＋K，给原点加注标签A，并用【文本】工具把标签改为O． （2）单击【Graph】菜单的【Plot New Function】（绘制函数图象），弹出“New Function”函数式编辑器，编辑函数f（x）＝x，单击【OK】后画出函数f（x）=x的图象．同法编辑函数g（x）＝x2，h（x）＝x3，和函数的图象．选中函数图象，单击【Display】（显示）菜单中的【Line Width】（线型）中的【Thick】（粗线）．把上述图象设置成粗线，单击【Display】（显示）菜单中的【Color】（颜色）的选择各种不同的颜色给每一个函数图象着色，如图1．
图1 （3）再选中直线f（x）＝x，单击【Edit】（编辑）菜单，选择【Action Buttons】（操作类按钮），单击【Hide/Show】（隐藏/显示），此时屏幕上出现【Hide Function Plot】（隐藏对象）按钮，选择【文本工具】，双击【Hide Function Plot】按钮，出现对话框，将其中的【Label】（标签）改为“f（x）＝x”，再单击【确定】．此时，单击“f（x）＝x”按钮就会隐藏或显示直线f（x）＝x ．用同样的方法制作【Hide Function Plot】按钮g（x）＝x2，，和，如图2．
图2 （4） 单击【File】（文件）菜单的【Document Options】（文档选项）对话框，将【Page Name】（页面名称） 改为“画图象”，单击【OK】． （5）单击【File】（文件）菜单的【Document Options】（文档选项）对话框， 单击【Add Page】（增加页），单击【Blank Page】（空白页），将页面名称改为“g（x）＝x2”． （6）单击【Graph】菜单的【Plot New Function】（绘制函数图象），弹出“New Function”函数式编辑器，在对话框内依次单击x，^，2，单击【OK】后画出函数g（x）＝x2的图象．选中函数g（x）＝x2的图象，单击【Construct】（构造）菜单的【Point On Function Plot】（对象上的点），用【文本工具】给点标签为A，再用【选择工具】选中点A，单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现点A的坐标． （7）双击y轴，即将y轴标记为镜面，选中点A，单击【Transform】（变换）菜单的【Reflect】（反射），屏幕上出现点A关于y轴的对称点，发现该点也落在曲线g（x）＝x2上．选择【文本工具】，将此点的标签记为“A(”，再用【选择工具】选中点A(，单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现点A(的坐标． （8）为了进一步验证g（x）＝x2的图象关于y轴对称，先同时选中点A、A(，然后按“Ctrl＋L”，画出线段AA(，单击【Construct】（构造）菜单中的【Midpoint】（线段的中点），用【文本工具】将中点的标签记为点M，单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现点M的坐标． （9）用【选择工具】选中点A，单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮） 中的【Animation】（动画），在对话框（图3）中，单击【确定】．屏幕上出现操作类按钮【Animation Point】（运动点），用【文本工具】将按钮名称【Animation Point】改为【运动点A】．单击【运动点A】按钮，点A在函数g（x）＝x2的图象上运动或停止运动，发现点M始终在y轴上运动，如图4．
图3 图4 （10） 单击【File】（文件）菜单的【Document Options】（文档选项）对话框，单击【Add Page】（增加页），单击【Blank Page】（空白页），将页面名称改为“”． （11）单击【Graph】菜单的【Plot New Function】（绘制函数图象），弹出“New Function”函数式编辑器，在对话框内依次单击x，^，3，单击【OK】后画出函数的图象．选中函数的图象，单击【Construct】（构造）菜单的【Point On Function Plot】（对象上的点），用【文本工具】给点标签为A，再用【选择工具】选中点A，单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现点A的坐标． （12）双击原点O，即将原点O标记为对称中心，选中点A，单击【Transform】（变换）菜单的【Rotate】（旋转），屏幕上出现对话框（图5），将图5中的“90.0”改为“180.0”，再单击【Rotate】，此时，屏幕上出现点A关于原点O的对称点，发现该点也落在曲线上．选择【文本工具】，将此点的标签记为“A(”，再用【选择工具】选中点A(，单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现点A(的坐标． （13）为了进一步验证的图象关于原点O中心对称，先同时选中点A、A(，然后按Ctrl＋L，画出线段AA(，单击【Construct】（构造）菜单中的【Midpoint】（线段的中点），单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现线段AA( 中点的坐标O（0，0）． （14）用【选择工具】选中点A，单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮） 中的【Animation】（动画），在对话框（如图3所示）中，单击【确定】．屏幕上出现操作类按钮【Animation Point】（运动点），用【文本工具】将按钮名称【Animation Point】改为【运动点A】．单击【运动点A】按钮，点A在函数的图象上运动或停止运动，发现线段AA(中点始终与原点O重合，如图6．
图5 图6 （15）单击【File】（文件）菜单的【Document Options】（文档选项）对话框，单击【Add Page】（增加页），单击【Blank Page】（空白页），将页面名称改为“”． （16）单击【Graph】菜单的【Plot New Function】（绘制函数图象），弹出“New Function”函数式编辑器，在对话框内依次单击x，^，－1，单击【OK】后画出函数的图象．选中函数的图象，单击【Construct】（构造）菜单的【Point On Function Plot】（对象上的点），用【文本工具】给点标签为A，再用【选择工具】选中点A，单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现点A的坐标． （17）双击原点O，即将原点O标记为对称中心，选中点A，单击【Transform】（变换）菜单的【Rotate】（旋转），屏幕上出现对话框（图5），将图5中的“90.0”改为“180.0”，再单击【Rotate】，此时，屏幕上出现点A关于原点O的对称点，发现该点也落在曲线上．选择【文本工具】，将此点的标签记为“A(”，再用【选择工具】选中点A(，单击【Measure】（度量）菜单的【Coordinates】（坐标），屏幕上出现点A( 的坐标． （18）为了进一步验证的图象关于原点O中心对称，先同时选中点A、A(，然后按“Ctrl＋L”，画出线段AA(，单击【Construct】（构造）菜单中的【Midpoint】（线段的中点），屏幕上出现线段AA( 中点的为原点O． （19）用【选择工具】选中点A，单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮）中的【Animation】（动画），在对话框（如图3所示）中，单击【确定】．屏幕上出现操作类按钮【Animation Point】（运动点），用【文本工具】将按钮名称【Animation Point】改为【运动点A】．单击【运动点A】按钮，点A在函数的图象上运动或停止运动，发现线段AA( 中点始终与原点O重合，如图7． （20） 单击【File】（文件）菜单的【Document Options】（文档选项）对话框，单击【Add Page】（增加页），单击【Blank Page】（空白页），将页面名称改为“”． （21）单击【Graph】菜单的【New Parameter】（新建参数），出现对话框（图8），将图8中的【Name】（名称） “t[1]”改为“p”，【Value】（值） “1.0”改为“7.0”，再单击【OK】．屏幕上出现“p＝1.00”，同法再新建参数“q＝1.00”．
图7 图8 （22）单击【Graph】菜单的【Plot New Function】（绘制函数图象），弹出“New Function”函数式编辑器，在对话框内依次单击x，^，（，p，/，q，），除p、q在屏幕上单击外，其余的都在函数编辑器上，单击【OK】后屏幕上出现函数的图象，如图9． 图9 课件使用说明： 1．在页面“画图象”中单击“f（x）=x”，“g（x）＝x2”，“”，“”，和“” 按纽就会隐藏或显示相应函数的图象． 2．在页面“g（x）＝x2”，“”和“”中，单击按纽【运动点A】，点A就会在相应的函数图象上运动或停止运动，同时点A与点A/ 的坐标也跟着发生变化，可以让学生观察点A与点A(的坐标的关系，也可以让学生观察线段AA(中点的位置特征，通过观察上述函数的图象特征来探究函数的性质（定义域、值域、奇偶性、单调性等）． 3．在页面“”中，选中函数的图象，单击【Display】（显示）菜单中的【Trace Function Plot 】（追踪函数图象）．任意选中“p＝1.00”或“q=1.00”，按“＋”或“－”号改变p、q的值，同时屏幕上会出现各种幂函数的图象，使学生对幂函数的图象与性质有比较全面的认识．
（浙江省台州中学 项莉敏 吴兰水）