空间直线的平行和垂直ppt课件
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《空间直线、平面的平行》立体几何初步 PPT教学课件(直线与平面平行)
8.5.2 直线与平面平行
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
理解直线与平面平行的定义，会用图形
语言、文字语言、符号
直线与平面
直观想象、
语言准确描述直线与平面平行的判定
平行的判定
逻辑推理
定理，会用直线与平面平行的判定定理
证明一些空间线面位置关系
理解并能证明直线与平面平行的性质
直线与平面 定理，明确定理的条件，
栏目 导引
第八章 立体几何初步
1．如图，下列正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 M，N，P 分别为 其所在棱的中点，则不能得出 AB∥平面 MNP 的是( )
解析：选 C.在题图 A，B 中，易知 AB∥A1B1∥MN，MN⊂平面 MNP，AB⊄平面 MNP，所以 AB∥平面 MNP；在图 D 中，易 知 AB∥PN，PN⊂平面 MNP，AB⊄平面 MNP，所以 AB∥平面 MNP.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
1．已知 b 是平面 α 外的一条直线，下列条件中，可得出 b∥α 的 是( ) A．b 与 α 内的一条直线不相交 B．b 与 α 内的两条直线不相交 C．b 与 α 内的无数条直线不相交 D．b 与 α 内的所有直线不相交 解析：选 D.若 b 与 α 内的所有直线不相交，即 b 与 α 无公共点， 故 b∥α.
第八章 立体几何初步
(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直 线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方 法，体现了数学中的转化与化归的思想．
栏目 导引
第八章 立体几何初步
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行．( × ) (2)若直线 l 上有两点到平面 α 的距离相等，则 l∥平面 α.( × ) (3)若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条直线平
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
理解直线与平面平行的定义，会用图形
语言、文字语言、符号
直线与平面
直观想象、
语言准确描述直线与平面平行的判定
平行的判定
逻辑推理
定理，会用直线与平面平行的判定定理
证明一些空间线面位置关系
理解并能证明直线与平面平行的性质
直线与平面 定理，明确定理的条件，
栏目 导引
第八章 立体几何初步
1．如图，下列正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 M，N，P 分别为 其所在棱的中点，则不能得出 AB∥平面 MNP 的是( )
解析：选 C.在题图 A，B 中，易知 AB∥A1B1∥MN，MN⊂平面 MNP，AB⊄平面 MNP，所以 AB∥平面 MNP；在图 D 中，易 知 AB∥PN，PN⊂平面 MNP，AB⊄平面 MNP，所以 AB∥平面 MNP.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
1．已知 b 是平面 α 外的一条直线，下列条件中，可得出 b∥α 的 是( ) A．b 与 α 内的一条直线不相交 B．b 与 α 内的两条直线不相交 C．b 与 α 内的无数条直线不相交 D．b 与 α 内的所有直线不相交 解析：选 D.若 b 与 α 内的所有直线不相交，即 b 与 α 无公共点， 故 b∥α.
第八章 立体几何初步
(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直 线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方 法，体现了数学中的转化与化归的思想．
栏目 导引
第八章 立体几何初步
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行．( × ) (2)若直线 l 上有两点到平面 α 的距离相等，则 l∥平面 α.( × ) (3)若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条直线平
空间中直线与平面的位置关系 第2课时 直线与平面垂直课件
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离
高中数学
必修第二册
湖南教育版
即时训练
已知平面外的一条直线上有两个不同的点A，B，且A，B到的距离相等，则这条直线与平面的位置关系
是
平行或相交
.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
五、直线与平面所成的角
1.斜线
一条直线l与一个平面相交，但不与平面垂直，则直线l称为平面的一条斜线，斜线l与平面的交点A
能保证该直线与平面垂直的是（ AC ）
A.①
B.②
C.③
D.④
高中数学
必修第二册
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三、直线与平面垂直的性质定理
文字描述
垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言
符号语言
a⊥α
} ⇒ ∥
b⊥α
应用
①证明或判断两条直线平行.②构造平行线，即作同一个平面的垂线
名师点析
（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
证明：（1）∵ 平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，
∴ AD⊥平面ABC，∴ AD⊥BC.
解：（2）取棱AC的中点N，连接MN，ND，如图所示.
∵ M为棱AB的中点，∴ MN∥BC.∴ ∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角.
在Rt△DAM中，AM＝1，AD＝2 3，∴ DM＝ 2 + 2 ＝ 13.∵ AD⊥平面ABC，∴ AD⊥AC.
棱AB的中点，AB＝2，AD＝2 3，∠BAD＝90°.
（1）求证：AD⊥BC.
8.5空间直线、平面的平行课件(人教版)(1)
论：过直线a的平面β与平面α相交于b，则a∥b.
下面来证明这一结论．
已知：
求证：
证明：
【解析】 已知：a∥α，a⊂β，α∩β＝b.
求证：a∥b.
证明：因为α∩β＝b，所以b⊂α.
因为a∥α，
所以a与b无公共点．
又a⊂β，b⊂β，
所以a∥b.
解析
表示定理
直线与平面
平行的
性质定理
图形
文字
符号
一条直线与一个平面平
解析
思考2►►►
如图，a∥α，a⊂β，α∩β＝b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么
位置关系？
【解析】 无数个，a∥b.
解析
思考3►►►
假设a与平面α内的直线b平行，那么由基本事实的推论3，过直线a，b有唯一的平
面β.这样，我们可以把直线b看成是过直线a的平面β与平面α的交线．于是可得如下结
D的中点.
(1)求证:AE∥平面PBC.
解：(1)证明:如图,取PC的中点F,连接EF,BF.
1
因为E,F分别为PD,PC的中点,所以EF∥DC,且EF=2DC.
因为AB∥DC,CD=,所以EF∥AB,且EF=AB,
所以四边形EFBA为平行四边形,则AE∥BF.
因为AE⊄平面PBC,BF⊂平面PBC,所以AE∥平面PBC.
MN∥EF.显然在△ABC中,EF≠AB,
C.四边形MNEF为平行四边形
∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形.
D.A1B1∥NE
故选B.
变式
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AC 与 BD 交于点 O，
M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过点 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH，求证：
下面来证明这一结论．
已知：
求证：
证明：
【解析】 已知：a∥α，a⊂β，α∩β＝b.
求证：a∥b.
证明：因为α∩β＝b，所以b⊂α.
因为a∥α，
所以a与b无公共点．
又a⊂β，b⊂β，
所以a∥b.
解析
表示定理
直线与平面
平行的
性质定理
图形
文字
符号
一条直线与一个平面平
解析
思考2►►►
如图，a∥α，a⊂β，α∩β＝b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么
位置关系？
【解析】 无数个，a∥b.
解析
思考3►►►
假设a与平面α内的直线b平行，那么由基本事实的推论3，过直线a，b有唯一的平
面β.这样，我们可以把直线b看成是过直线a的平面β与平面α的交线．于是可得如下结
D的中点.
(1)求证:AE∥平面PBC.
解：(1)证明:如图,取PC的中点F,连接EF,BF.
1
因为E,F分别为PD,PC的中点,所以EF∥DC,且EF=2DC.
因为AB∥DC,CD=,所以EF∥AB,且EF=AB,
所以四边形EFBA为平行四边形,则AE∥BF.
因为AE⊄平面PBC,BF⊂平面PBC,所以AE∥平面PBC.
MN∥EF.显然在△ABC中,EF≠AB,
C.四边形MNEF为平行四边形
∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形.
D.A1B1∥NE
故选B.
变式
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AC 与 BD 交于点 O，
M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过点 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH，求证：
新教材人教A版必修第二册 第8章 8.6.1 直线与直线垂直 课件(39张)
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证明两条异面直线垂直的步骤： (1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角． (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)． (3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三 角形求出所构造的角的度数． (4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证．
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2．空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点， FG＝2，GE＝ 5，EF＝3.
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1.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成 的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化， 这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两 条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求 异面直线所成角的大小．
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2．作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三 种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移 法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找 到平行线)．
；
(2)AD与BC′所成的角为
．
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(1)60° (2)45° [(1)连接BA′，则BA′∥CD′，连接 A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
由△A′BC′为正三角形， 知∠A′BC′＝60°， (2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知 ∠C′BC＝45°.]
会在直角三角形中求简单异面直 推理的核心素养.
线所成的角．(重点、易错点)
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3
自主预习 探新知
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异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直 线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所 成的角(或夹角)．
高中数学人教A版必修第二册《空间直线、平面的垂直---直线与平面、平面与平面垂直的性质》名师课件
掌握平面与平面垂直的性质定理.
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中
因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.
又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中
因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.
又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.
用向量方法解决平行与垂直问题 课件
，B
0，a，0 2
，
C 23a，0，0 ，D 0，a2，a2 ，E 23a，0，a ， 2分
∴A→D＝0，a，a2，A→C＝ 23a，a2，0， A→E＝ 23a，a2，a. 设面 ADE 的一个法向量为 n1＝(x，y，z)，
由 nn··AA→→DE＝＝00
ay＋a2z＝0，
⇔
23ax＋a2y＋az＝0.
● (1)线线垂直：①可以证明两直线的方向向量的数量积为0.
● ②可以证明两直线所成角为直角．
● (2)线面垂直：①根据判定定理转化为线线垂直．
● ②证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
● (3)面面垂直：①根据判定定理证明线面垂直．
● ②证明两个平面的法向量垂直．
判定或证明垂直关系的方法主要是用判定定理或直线的方向向量、平面的法向量间的关系进行的．
求空间平面的法向量
●
正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱
A1D1，A1B1的中点，求平面EFBD的一个法向量．
思路点拨： 建立空间直角坐标系 → 相关点坐标 →
→→ DB，DE坐标
→
设法向量n＝x，y，z，由nn··DD→→BE＝＝00
用向量方法解决平行与垂直问题
直线的方向向量与平面的法向量
● 1．直线的方向向量的定义
● 直线的方向向量是指和这条直线____共__线__或__平__行的向量．
● 2．平面的法向量的定义
● 直线l⊥α，取直线l的_____方__向__向__量_，a 则a叫做平面α的法向量．
对直线的方向向量和平面的法向量的几点认识 (1)空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个方向确定．在直线 l 上取A→B＝a，a 可以作为 l 的方 向向量，借助点 A 和 a 即可确定直线 l 的位置，并能具体表 示出直线 l 上的任意一点．
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
四年级上册数学平行和垂直(24张)人教版课件
在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
把没有相交的 两条直线再画 长一些会怎样？
你能举一些生活中有关垂直的例子吗？
（1）不相交 两根小棒都和第三根小棒互相平行，这两根小棒也互相平行。
把没有相交的两条直线再画长一些会怎样？ 同一个平面内的两条直线的位置关系 直线（ ）端点，可以向（ ）端无限延伸。 上图中直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。 （1）沿着长边或宽边对折两次。 同一个平面内的两条直线的位置关系 两根小棒都和第三根小棒互相垂直，这两根小棒互相平行。 中图：两条竖直方向的线段互相平行，两条竖直方向的线段与水平方向的线段都垂直； “互相垂直”的表示方法 初步理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种位置关系。 （1）把两根小棒都摆成和第三根小棒互相平行。 同一个平面内的两条直线的位置关系 在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？ 平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 “同一平面内”是确定两条直线平行关系的前提，如不在同一个平面内，有些直线虽然不相交，但不能称为互相平行。
“同一平面内” 是确定两条直线平行 关系的前提，如不在 同一个平面内，有些 直线虽然不相交，但 不能称为互相平行。
1.下面每个图形中哪两条线互相平行?哪两条线段 互相垂直？（选自教材P63练习十第1题）
左图：两组对边互相平行，相邻两条边互相垂直。 中图：两条竖直方向的线段互相平行，两条竖直 方向的线段与水平方向的线段都垂直； 右图：相对的两条边互相平行，相邻的两条边互 相垂直。
（1）不相交
（2）相交
（3）相交
（4）相交
141 空间中直线、平面的平行(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
直线与直线的平行
如图，设 u 1 ，u 2 分别是直线 l1，l2 的方向向量. 由方向向量的定义 可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果 两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行. 所以
l1∥l 2 u 1∥u 2 u 1 u 2
l1 l2
u1u2Biblioteka 例1.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2， P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，证明：PQ∥RS.
解析：设直线l1，l2的方向向量分别 是 a ，b ，则要证明l1∥l2，只需证
明 a / / b ，即 a b( R) .
D1
Q
C1
A1
B1
S
P
D
C
A
R
B
直线与平面的平行
如图，设 u 是直线l 的方向向量，n 是平面α 的法向量，l ，若l 与
α 平行，则
l∥ u n u n 0
u
l
n
α
例2.如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 CC1，B1C1 的中 点．求证：MN // 平面 A1BD.
解析：用向量法证明线面平行有如下方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
D1
C1
N
A1
B1
②证明直线的方向向量与平面内的某一向量共线且直线不
M
在平面内；
1.4.1 空间中直线、平面的平行
(第二课时)
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. (重点)
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. (难点)
我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平 面的关键量. 那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直 关系呢？
1.41.2空间向量研究直线、平面的平行课件——高中数学人教A版选择性必修第一册
面AEF// 面BDG.
(2)l//a→(1) a//AC
→(2)alü⇔a·ü=0
设平面a,β 的 法 向 量 分 别 为 ū , ; 则
(3)α//β⇔ ū //v⇔u=λv;
练习：
1.用向量方法证明“直线与平面平行的判断定理”:若平
面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行.
a
1、已知直线a,b和平面a,其中aaα,bcα,且al/b,求证： a//a.
向量，则n·AC=0,n ·
列方程组
所
取解
取z=6, 则x=4,
所以，n=(4,3,6) 是平面ACD₁ 的一个法向量. 得法向量
∴n=(4,3,6) 是平面ACD₁的一个法向量. 由A₁(3,0,2),C(0,4,0),B₁(3,4,2),
得AB₁=(0,4,0),B₁C=(-3,0,-2).
设点P 满足B₁P=AB₁CO≤λ≤1),
向量，laa, 则 l/la⇔ln⇔u·n=0
u
-l
个
n
a
如图，设n,n₂分别是平面α,β的法向量，则
a/lβ⇔n₁1/n₂→3λ∈R, 使得n₁=λn₂
例1 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥
底面ABCD,PD=DC=6,E 是PB的中点，DF:FB=CG:GP
=1:2.求证：AEl/FG.
解：设在直线AD上存在点F,满足AF=λAD(O≤λ≤1)
取一组基底{CD,CB,CA},设CD=a,CB=b,CA=
c. ∵E 为 BC 中 点 ，
,CF=CA+AF=c+λAD =c+λ(a-c)=λa+(1-λ)c. ∵AE //CF,∴CF=mEA(m∈R),
(2)l//a→(1) a//AC
→(2)alü⇔a·ü=0
设平面a,β 的 法 向 量 分 别 为 ū , ; 则
(3)α//β⇔ ū //v⇔u=λv;
练习：
1.用向量方法证明“直线与平面平行的判断定理”:若平
面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行.
a
1、已知直线a,b和平面a,其中aaα,bcα,且al/b,求证： a//a.
向量，则n·AC=0,n ·
列方程组
所
取解
取z=6, 则x=4,
所以，n=(4,3,6) 是平面ACD₁ 的一个法向量. 得法向量
∴n=(4,3,6) 是平面ACD₁的一个法向量. 由A₁(3,0,2),C(0,4,0),B₁(3,4,2),
得AB₁=(0,4,0),B₁C=(-3,0,-2).
设点P 满足B₁P=AB₁CO≤λ≤1),
向量，laa, 则 l/la⇔ln⇔u·n=0
u
-l
个
n
a
如图，设n,n₂分别是平面α,β的法向量，则
a/lβ⇔n₁1/n₂→3λ∈R, 使得n₁=λn₂
例1 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥
底面ABCD,PD=DC=6,E 是PB的中点，DF:FB=CG:GP
=1:2.求证：AEl/FG.
解：设在直线AD上存在点F,满足AF=λAD(O≤λ≤1)
取一组基底{CD,CB,CA},设CD=a,CB=b,CA=
c. ∵E 为 BC 中 点 ，
,CF=CA+AF=c+λAD =c+λ(a-c)=λa+(1-λ)c. ∵AE //CF,∴CF=mEA(m∈R),