2016_17学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.1曲线与方程学案苏教版选修
(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．13B ．32C ．12D ．12．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ） A ．33-B ．33C ．13-D ．133．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．1[,1)2B ．2[,1)2C ．51[,1)2-D ． 20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．如图，已知1F 、2F 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112ABF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C 6D 4235．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为[42，，则线段AB 的长度的取值范围是（ ） A．B ．[1 , 2]C ．[4 8]，D．6．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为 （ ） A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =8．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ） A．B ．2CD9．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．3-C ．1813-D ．32-10．设P 为椭圆22:1169x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．77y x =±B ．7y x =±C ．55y x =±D ．5y x =±12．双曲线2214x y -=的离心率为（ ）A ．5B ．3C ．52D ．32二、填空题13．直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则AB =______.14．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠260AF B =︒，则2AF B 的内切圆半径为______.15．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.16．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当30α=︒时，该椭圆的离心率为____________.17．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b +取最大值时，双曲线C 的方程为________.18．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，右焦点为()1,0F ，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别为()123123,,0k k k k k k ≠.若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为-1（O 为坐标原点），则123111k k k ++=______. 20．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若点B 的坐标为()4,2，则PB PF +的最小值为________．三、解答题21．已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a +=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.22．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||||AB CD =，求直线l 的方程. 23．已知直线1:1l y x =+与抛物线2:2(0)C y px p =>相切于点P . （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标； （2）设直线2l 过点11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭，且与抛物线C 交于（异于点P)两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.24．已知抛物线26y x =焦点为F ，一条直线过焦点与抛物线相交于A ，B 两点，直线的倾斜角为60.（1）求线段AB 的长度.（2）过点()3,0Q 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为直线3x =-上的任意一点，设直线PM ，PQ ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足132k k k μ+=，μ能否为定值？若为定值，求出μ的值；若不为定值，请说明理由. 25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-． （1）求抛物线C 的方程；（2）设点(1,2)P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB 分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．26．已知P 是椭圆22:18x C y +=上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线PA 的斜率； （2）若Q 是圆221:(1)49D x y ++=上的动点，求PQ 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率． 【详解】解：由c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12． 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．C解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2， 所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-, 所以11()1213m m +-=⇒=-， 故选C.3．C解析：C 【分析】取AP 中点Q ，可转化()0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=，即||||FA FP =，可求得||FA a =，2||a FP c c≥-，求解即得.【详解】取AP 中点Q ，由FP AP FA AP ⋅=-⋅得()0FP FA AP +⋅=， 故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥，故三角形AFP 为等腰三角形，即||||FA FP =， 且22||FA b c a =+=，所以||FP a =，由于P 在直线2a x c =上，故2||a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥，解得：512e ≥或512e -≤，又01e << 511e -≤<， 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】连接22,AF BF ，得矩形12AF BF ，在直角12BF F △中用c 表示出1BF ，2BF ，然后由双曲线的定义列式后求得离心率e ． 【详解】连接22,AF BF ，由11AF BF ⊥及双曲线的对称性知12AF BF 是矩形，由12AF BF =，1112BFO ABF π∠=∠=，122F F c =，则22sin12BF c π=，12cos12BF c π=，∴122cos2sin21212BF BF c c a ππ-=-=，∴离心率为111222cos sin 2cos 2cos sin 12123212212c e a πππππ=====⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列出关于,a b 关系式是䚟题关键．本题利用双曲线的对称性构造矩形12AF BF ，然后结合双曲线定义得出关系式，求得离心率．5．C解析：C 【分析】 由题可求得2121222ABF AF F BF F cSSS=+=，2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=，即可得出2aAB c=，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=， 又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()22114222AB BF AF a a =++=⨯=, 222c AB a∴=，22a AB c ∴=⋅， 2242c e a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，2,22a c ⎡⎤∴∈⎣⎦，则[]224,8ac⋅∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出2aAB c=可求解. 6．C解析：C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键. 7．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y 由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．8．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+， 即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ， 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.9．A解析：A 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，利用A ，B 在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：111413t k s =-，同理可得：222413t k s =-，333413t k s =-，再利用已知条件即可得出结果. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ， 因为A ，B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y +=， 两式相减得：121211121213344y y x x sk x x y y t -+==-⨯=-⨯-+， 即111413t k s =-， 同理可得222413t k s =-，333413t k s =-， 所以31212312311143t t t k k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以12311144133k k k ++=-⨯=-， 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.10．D解析：D 【分析】先根据椭圆的方程求得c ，进而求得12F F ，设出12,PF m PF n ==，利用余弦定理可求得mn 的值，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】由椭圆方程有4,3a b ==，则c .设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义有：28m n a +==.设12F PF θ∠=， 由125PF PF ⋅=，得cos 5mn θ=，由余弦定理得： 222cos 28m n mn θ+-= 解得：513,cos 13mn θ==，12sin 13θ∴=． 所以12PF F △的面积为1112sin 1362213S mn θ==⨯⨯=．故选：D【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的定义的应用，椭圆中求三角形的面积问题，是中档题．11．C解析：C【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b，得渐近线方程．【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c=渐近线方程为by xa=±，其中一条为0bx ay-=，1==，1b=，∴a=∴渐近线方程为y x=．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b．解题时要注意椭圆中222a b c=+，双曲线中222+=a b c．两者不能混淆．12．C解析：C【解析】双曲线2214xy-=中，222224,1,5,a b c a b e==∴=+=∴==本题选择C选项.二、填空题13．【分析】设再表达出的坐标再利用抛物线的弦长公式求解即可【详解】设则利用中点坐标公式知又点M到y轴的距离为2故即又故利用过抛物线焦点的弦长公式故答案为：8【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的解析：【分析】设()()1122,,,A x yB x y，再表达出M的坐标，再利用抛物线的弦长公式求解即可.【详解】设()()1122,,,A x yB x y，则利用中点坐标公式知1212,22x x y yM++⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 到y 轴的距离为2，故1222x x +=,即124x x +=, 又28,4p p ==，故利用过抛物线焦点的弦长公式12448AB x x p =++=+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的弦长公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式，考查学生的运算能力与转化思想，属于一般题.14．【分析】设内切圆的圆心设三边与内切圆的切点连接切点与圆心的线段由内切圆的性质可得再由双曲线定义可知：可得重合再由可得内切圆的半径的值【详解】设内切圆的圆心为设圆与三角形的边分别切于如图所示连接由内切【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值. 【详解】设内切圆的圆心为(),M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示 连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =，所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=， 所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得Q ，1F 重合， 所以224TF a ==，所以圆的半径为22tan 2AF B r MT TF ∠===.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.15．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为： 解析：53【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ， 因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以53e =. 故答案为：53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.16．【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形由此可求得椭圆离心率【详解】设圆柱形杯子的底面半径为画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长是椭圆的短半轴长则又则故答案 解析：12【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30的直角三角形，由此可求得椭圆离心率. 【详解】设圆柱形杯子的底面半径为b ，画示意图如图所示：则OC 是椭圆的长半轴长，OB 是椭圆的短半轴长，则22BC a b c =-=，又30COB α∠==︒，则1sin 2c e a α===. 故答案为：12【点睛】本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.17．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得3a b 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M处的切线与直线y =垂直，则(012x ⨯=-，解得0x =，则200143x y ==，所以，点M的坐标为13⎫⎪⎪⎝⎭， 抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为1y x =+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<， 当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==， 因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】由已知可得而由可求出点的坐标再将点的坐标代入椭圆方程中再结合可求出的值【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为因为为椭圆的左焦点所以因为所以设点的坐标为则解得则所以点的坐标为因为为椭圆上一点所以解析：2213616x y +=【分析】由已知可得c =||||OP OF ==，||4PF =，可求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入椭圆方程中，再结合222a b c =+，可求出22a b ，的值.【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为(F -为椭圆C的左焦点，所以c =， 因为||||OP OF =，所以||||OP OF ==， 设点P 的坐标为(,)P m n，则11422OF n ⋅=⨯解得n =m =， 所以点P的坐标为⎛ ⎝， 因为P 为椭圆C 上一点， 所以223664155a b += 因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，所以椭圆的标准方程为2213616x y +=，故答案为：2213616x y +=【点睛】此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.19．2【分析】求出椭圆的方程利用点差法求得直线的斜率同理即可求得【详解】由题意可得所以所以椭圆的标准方程为设由两式作差可得则而故即同理可得所以故答案为：2【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法考查解析：2 【分析】求出椭圆的方程，利用“点差法”求得直线AB 的斜率，同理即可求得123111k k k ++ 【详解】 由题意可得1c =，2c a =，所以a =1b =， 所以椭圆的标准方程为2212x y +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，由221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ， 两式作差可得()()()()212121212x x x x y y y y -+=--+，则()212121212y y x x y y x x -+=-+-， 而1212OD y y k x x +=+，故1122AB ODk k k =-=-，即112OD k k =-， 同理可得212OE k k =-，312OF k k =-， 所以()12311122OD OE OF k k k k k k ++=-++=. 故答案为：2 【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.20．【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求的最小值进而可推断出当三点共线时最小则答案可得【详解】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知所以要求取得最小值即求取得最小当三 解析：5【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，进而把问题转化为求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得. 【详解】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小， 当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=． 故答案为：5． 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 三、解答题21．（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求解即可得结果；（2）设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y y x x +=--，通过计算化简即可求得定点. 【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a =所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩，得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，∴1212066y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=， 即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．22．（1）22143x y +=；（2）12y x =-或12y x =-- 【分析】（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB，再根据||||AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－12x ＋m ，可求得结果. 【详解】（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得a ＝2，bc ＝1，∴椭圆的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l ：220x y m +-=的距离d =，由d ＜1，得||m <||CD ∴===设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.||AB =∴==由||||AB CD =1，解得m =，满足(*). ∴直线l的方程为12y x =-+或12y x =-. 【点睛】关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键.23．(1)24y x =，(1,2)；(2)83. 【分析】(1)将直线1l 的方程与抛物线C 的方程联立消去y ，根据直线与抛物线相切，由0∆=即可求出p 及点P 的坐标；(2)根据题意可设直线2l 的方程为11()22x m y =+-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线2l 与抛物线方程联立消去x ，由根与系数的关系求出12y y +和12y y ，求直线PA ，PB 的斜率，可求出斜率之和为定值，即存在实数λ使得斜率之和为定值.【详解】(1)由212y x y px=+⎧⎨=⎩，得2(22)10x p x +-+=， 因为直线1l 与抛物线C 相切，所以2(22)40p ∆=--=，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =.将2p =代入2(22)10x p x +-+=，得2210x x -+=，解得1x =，所以2y =, 所以P 的坐标为(1,2).(2)由题意可设直线2l 的方程为11()22x m y =+-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由211()224x m y y x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩，得24220y my m --+=，22164(22)16880m m m m ∆=--+=+->，解得1m <-或12m >， 所以124y y m +=，1222y y m =-+， 又1111111222(2)11123()122y y y k x my m m y ---===-+-+--，同理可得2222(2)23y k my m -=+-， 所以[]12121222121212243(1)()4(3)2(2)2(2)232342(3)()(3)my y m y y m y y my m my m m y y m m y y m -++----=+=+-+-+-++-λ =[]222224(22)3(1)44(3)8(523)84(22)2(3)4(3)3(523)3m m m m m m m m m m m m m m m --+----+==-+-+---+， 故存在实数83λ=满足条件. 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组；(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系解决．24．（1）8；（2）是，定值为2.【分析】（1）联立直线与抛物线得出韦达定理，即可求出弦长；（2）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出13k k +，即可得出定值.【详解】（1）可得3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线的倾斜角为60则直线方程为32y x ⎫=-⎪⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线2326y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得242090x x -+=， 则121295,4x x x x +==， 123538AB x x =++=+=；（2）可知直线l 的斜率不为0，则设直线l 的方程为3x my =+，m R ∈，设()3,P t -，()11,M x y ，()22,N x y ，把3x my =+代入26y x =得26180y my --=∴126y y m +=，1218y y =-， ∴12121312123366y t y t y t y t k k x x my my ----+=+=+++++ ()()()()()()1221126666y t my y t my my my -++-+=++ ()()()1212212122612636my y tm y y t m y y m y y +-+-=+++ ()()()221866121866363m tm m t t m m m ⨯-+-⋅-==-⨯-+⋅+，26t k =-，132k k k μ+=， 36t t μ⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，P 为3x =-上的任意一点，t ∴不恒为0， 2μ∴=，即μ为定值2.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.25．（1）24y x =；（2）2.【分析】（1）根据抛物线的准线求出p ，即可得出抛物线方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，与抛物线联立可得24480ky y k -+-=，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解MF NF ⋅的值．【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-，所以12p =，则2p =， 因此抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=， 则124y y k+=，1284y y k =-. 因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =， 则1121112241214PA y y k y x y --===-+-，2222412PB y k x y -==-+. 因为PF x ⊥轴， 所以()()122244PA PB PA PB y y PFPF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅ ()1212884424244y y y y k k -+++++===， 所以MF NF ⋅的值为2.【点睛】思路点睛：求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理. 26．（1）14-；（2）17. 【分析】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，代入椭圆方程，利用点差法即可求得直线PA 的斜率；（2）设(,)(P x y x -≤≤，圆心(1,0)D -，可得PD 的表达式，利用二次函数性质，即可求得PD 的最小值，进而可得答案.【详解】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 因为A ，P 两点都在C 上，所以221122221818x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()2121212180x x x x y y y y -++-+=，因为21122x x +=⨯=，211212y y +=⨯=， 所以212114PA y y k x x -==--. （2）设(,)(P x y x -≤≤，则2218x y +=，圆心(1,0)D -， 则222222786||(1)(1)18877x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++ ⎪⎝⎭， 当87x 时，PD7=. 因为圆D17=. 所以PD的最小值为11777-=. 【点睛】 解题的关键是熟练掌握点差法的步骤，点差法常见的结论有，设以00(,)P x y 为中点的弦所在斜率为k ，则（1）椭圆22221x y a b +=中，2020y b k x a ⋅=-；（2）双曲线22221x y a b -=中，2020y b k x a⋅=；（3）抛物线22y px =中0p k y =，熟记结论可简化计算，提高正确率，属中档题.。
高中数学压轴培优教程—圆锥曲线篇
高中数学压轴培优教程圆锥曲线篇目录第一章基础篇1.1曲线与方程 (1)1.2顶角最大问题 (19)1.3渐近线性质 (25)1.4共焦点问题 (35)1.5面积问题 (49)1.6抛物线的性质 (67)1.7定点问题 (83)1.8定值问题 (111)1.9最值与范围问题 (161)第二章技法篇2.1垂径定理与第三定义 (189)2.2点差法与定比点差法 (205)2.3点乘双根法 (225)2.4齐次化巧解双斜率问题 (233)2.5同构式方程简化运算 (251)2.6非对称韦达定理 (265)第三章观点篇3.1椭圆的共轭直径 (279)3.2圆锥曲线等角定理 (293)3.3蒙日圆及其应用 (307)3.4阿基米德三角形 (321)3.5椭圆中的蝴蝶模型 (335)3.6曲线系及其应用 (347)3.7极点极线与调和点列 (363)参考文献 (411)第二章 技法篇2192.2 点差法与定比点差法一、知识纵横1、点差法的原理（1）假设点1111(,),(,)A x y B x y 在有心二次曲线22221±=x y a b 上，且弦AB 的中点为00(,)M x y ．,A B 代入曲线，有22112222222211⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩x y a b x y a b ，两式作差，得1212121222()()()()0+−+−±=x x x x y y y y a b ；左右两边同除以1212()()++x x x x ，得1212221212110+−±⋅⋅=+−y y y y a b x x x x ．变形得220201⋅=±=−AB y b k e x a ，其中e 为有心二次曲线的离心率(圆的离心率0=e )．（2）抛物线22=y px ，任意弦AB 的中点为00(,)M x y ，,A B 代入曲线，有21122222⎧=⎪⎨=⎪⎩y px y px ，两式作差，得121212()()2()+−=−y y y y p x x ，左右两边同除以12()−x x ，得0⋅=AB k y p ．2、有心二次曲线实仿射平面的有一个对称中心的常态二次曲线称为有心二次曲线，所有有心二次曲线都是椭圆或双曲线． 3、点差法基本题型（1）求以定点为中点的弦所在直线的方程 （2）过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题 （3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 （4）圆锥曲线上两点关于某直线对称问题与中点有关的的几何特征：对称、垂直平分、等腰三角形、菱形、平行四边形等． 4、点差法在双曲线中的适用条件已知双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b，任意弦AB 的中点00(,)M x y ，若当中点00(,)M x y 满足22002201−x y a b ≤≤，则这样的双曲线的中点弦不存在（如图阴影部分）；若当中点00(,)M x y 满足2200221−>x y a b 或2200220−<x y a b，则这样的双曲线的中点弦存在．高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇5、定比分点若λ=AM MB ，则称点M 为点,A B 的λ定比分点． 当0λ>时，点M 在线段AB 上，称为内分点；当0(1)λλ<≠−时，点M 在线段AB 的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点1122(,),(,)A x y B x y ，λ=AM MB ，则点M 的坐标为1212(,)11λλλλ++++x x y y M ． 6、定比点差法原理：若λ=AM MB ，λ=−AN NB ，则称,M N 调和分割,A B ，根据定义，那么,A B 也调和分割,M N ．定理：设,A B 为有心二次曲线22221±=x y a b上的两点，若存在,M N 两点，满足λ=AM MB ，λ=−AN NB ，则一定有221⋅⋅±=M N M Nx x y y a b ． 证明：（1）设点1122(,),(,)A x y B x y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ， 因为λ=AM MB ，λ=−AN NB ， 则由定比分点坐标公式可得1212(,)11λλλλ++++x x y y M ，1212(,)11λλλλ−−−−x x y y N (1)λ≠±， 将,A B 代入曲线，有221122222222 1 1 ⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩①②x y a b x y a b ，2222222222 λλλλ⨯±=②③得x y a b ①-③，得21212121222()()()()1λλλλλ+−+−±=−x x x x y y y y a b． 这样就得到了12121212221111111λλλλλλλλ+−+−⋅⋅±⋅⋅=+−+−x x x x y y y y a b ，则221⋅⋅±=M N M N x x y y a b ．（2）若点(,)M M M x y 为异于原点的定点，则点N 在直线221⋅⋅±=M M x x y ya b 上． 7、定比点差法基本题型（1）求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围；（2）简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题；二、典型例题第二章 技法篇2211、 点差法关于点差法的研究，在解析几何中有着广泛的应用，主要有以下四种基本题型． 1．1、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1．已知双曲线2212−=y x ，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于,P Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 【解析】假设这样的直线存在，设点11(,)P x y 、22(,)Q x y 点B 是线段PQ 的中 121222+=⎧⎨+=⎩x x y y ，221122221212⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩y x y x 两式相减得：121212121()()()()02+−−+−=x x x x y y y y ， 左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得121212121102+−−⋅⋅=+−y y y y x x x x ，即001111022−⋅⋅=−⋅=PQ PQ y k k x ，解得2=PQ k ，又直线l 过,,P Q B 三点，所以l 的方程为12(1)−=−y x ，即210−−=x y ．联立直线与双曲线2212210⎧−=⎪⎨⎪−−=⎩y x x y ，消去y 得22430,162480−+=∆=−=−<x x ， 此方程无实数解，与假设矛盾，所以满足题设的直线不存在．【注】本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心．由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要．若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在． 1．2、求过定点的弦或平行弦的中点轨迹例2．已知椭圆22143+=x y 的弦AB 所在直线过点(1,1)E ，求弦AB 中点F 的轨迹． 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则弦AB 的中点(,)F x y ， 若直线AB 的斜率存在，将,A B 代入椭圆，的22112222143143⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 两式作差，得12121212()()()()043+−+−+=x x x x y y y y ，左右两边同除以1212()()+−x x x x ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇得1212121211043+−+⋅⋅=+−y y y y x x x x ，即121211043−+⋅⋅=−y y y x x x ，又四点,,,A B E F 共线， 所以直线EF 的斜率11−−y x 等于直线AB 的斜率1212−−y y x x ，则1110431−+⋅⋅=−y y x x ，整理得2234340+−−=x y x y ．若直线AB 的斜率不存在，则AB 的方程为1=x ，代入椭圆方程解得,A B 的坐标为33(1,),(1,)22−，所以(1,0)F 也满足上述方程．故2234340+−−=x y x y 为所求点F 的轨迹方程．【注】不难看出，在求满足一定条件的动弦的中点轨迹方程时，利用点差法可以大大减少计算量，简化推理过程．1．3、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例3．已知中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线:32=−l y x 截得的弦的中点的横坐标为12，求椭圆的方程．【解析】设椭圆的方程为22221+=y x a b ，则2250−=a b ┅┅①设弦端点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，弦PQ 的中点00(,)M x y ，则012=x ， 001322=−=−y x 所以12021+==x x x ，12021+==−y y y ,P Q 两点代入椭圆方程，得22112222222211⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x a b y x a b ，两式相减得1212121222()()()()0+−+−+=y y y y x x x x a b ， 即221212()()0−−+−=b y y a x x ，所以 212212−=−y y a x x b ，即 223=a b┅┅② 联立①②解得275=a ，225=b ，故所求椭圆的方程是2217525+=y x ． 1．4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例4．已知椭圆22143+=x y ，试确定的m 取值范围，使得对于直线4=+y x m ，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称．【解析】设111(,)P x y ，222(,)P x y 为椭圆上关于直线4=+y x m 的对称两点，00(,)P x y 为弦12PP 的中点，第二章 技法篇223则22112222143143⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式作差得：12121212()()()()043+−+−+=x x x x y y y y ， 左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得1212121211043+−+⋅⋅=+−y y y y x x x x ，由题意可知：1202+=x x x ，1202+=y y y ，121214−=−−y y x x ， 所以003=y x ，即00(,3)P x x ．由P 在直线4=+y x m 上得00034=+⇒=−x x m x m ，即(,3)−−P m m ．因为弦12PP 的中点P 必在椭圆内，所以22()(3)143−−+<m m，解得<m ． 例5．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y E a b a b的离心率=e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（1）求椭圆E 的方程．（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点(,0)−A a ，点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4⋅=QA QB ，求0y 的值．【解析】（1）由==c e a ，得2234=a c ．由222=−c a b ，得2=a b ． 由题意可知12242⋅⋅=a b ，即2=ab ．解方程组22=⎧⎨=⎩a b ab ，得2,1==a b ．所以椭圆E 的方程为2214+=x y ．（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 的中点为33(,)M x y ，当直线l 与x 轴重合时，(2,0),(2,0)−A B ，于是00(2,),(2,)→→=−−=−QA y QB y ． 由2000(2,)(2,)44⋅=−−⋅−=−+=QA QB y y y，解得0=±y 当直线l 不过原点O 且不平行于x 轴时，于是321213,−==−l OM y y y k k x x x ， 又221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减，得121212121()()()()04+−++−=x x x x y y y y ，左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得2112211214−+⋅=−−+y y y y x x x x ， 所以3314⋅=−l y k x ，则3314=−⋅l xk y ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇又333330330333124114⎧==−⋅⎪+⎪⎨−−⎪⋅=−⋅⋅=−⎪⎩l ly x k x y y y x y y k x y x ，所以30223330134(2)49⎧=−⋅⎪⎪⎨⎪+=−=−⋅⎪⎩y y x x y y ，因为M 为线段AB 的中点，所以2322=+x x ，231302223=−==−⋅y y y y y ，20303055(2,)(22,)2(22)433⋅=−−⋅+−=−++=QA QB y x y x y ，解得2305212=−x y ，所以22203300455(2)(2)(22)91212−⋅=+=−−+y x x y y，解得0=y ，综上所述：0=±y05=±y ． 2、定比点差法关于点差法的研究，在解析几何中有着广泛的应用，下面主要从三方面来研究． 2．1求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围例6．已知椭圆22194+=x y ，过定点(0,3)P 的直线与椭圆交于两点,A B （可重合），求PA PB 的取值范围．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，λ=AP PB ，则12120131λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，即120λ+=x x ，123(1)λλ+=+y y ，将,A B 两点代入椭圆方程：221122222221,(1)94,(2)94λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 2(1)(2)λ−⋅得212121212()()()()194λλλλλ+−+−+=−x x x x y y y y ，即124(1)3λλ−=−y y所以：132135(1)(1)2366λλλ=++−=+y ，又因为1[2,2]∈−y ，则1[5,]5λ∈−−，1[,5]5∈PA PB． 【注】根据两个调和调和定比分点的联立，将坐标求出与比值的关系式，两个定比分点的式子将问题解决，这就是定比点差法的核心．例7．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b b a的上下两焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于,M N 两点，2∆MNFC ．第二章 技法篇225（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知O 为坐标原点，直线:=+L y kx m 与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4λ+=OA OB OP ，求m 的取值范围． 【解析】（1）由题设条件得椭圆的方程为：2214y x +=．（2）当0m =时，1λ=−，显然成立；当0m ≠时，4OA OB OP λ+=144OP OA OB λ⇒=+，因为,,A P B 三点共线，所以3λ=；所以3AP PB =， 设1122(,),(,)A x y B x y ，所以121233(,)1313x x y y P ++++，所以1234y y m +=，将,A B 两点代入椭圆方程：22112222 1 4 1 4y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②得：12121212(3)(3)(3)(3)84y y y y x x x x +−+−+=−， 即1283y y m−=−，由上可知：224(2,2)33y m m =+∈−， 所以2(3,3)m m+∈−，解得：(2,1)(1,2)m ∈−−，综上所述：m 的取值范围为(2,1)(1,2){0}−−．2．2简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题例8．设椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b过点M，且左焦点为1(F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足⋅=⋅AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．【解析】（1）由题意：222222212,1,=+==−c c a b a b，解得224,2==a b ， 所以椭圆C 的方程为22142+=x y ． （2）证明：设点为(,)Q x y ，12(,)A x y ，22(,)B x y ． 由题设知,,,AP PB AQ QB 均不为零，记λ==AP AQ PBQB，则01λλ>≠且，又,,,A P B Q 四点共线，将点(4,1)P 代入椭圆方程得2241142+>，则点P 在椭圆外，又因为点Q 在线段AB 上，从而λ=−AP PB ，λ=AQ QB ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇于是12124,1(1)1,1λλλλ−⎧=⎪⎪−⎨−⎪=⎪−⎩x x y y 1212,1(2),1λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x x y x y 又点AB 在椭圆C 上，即221122221,(3)421,(4)42⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(3)(4)λ−⋅，得212121212()()()()142λλλλλ+−+−+=−x x x x y y y y ，即12121212()()()()111411211λλλλλλλλ+−+−⋅⋅+⋅⋅=+−+−x x x x y y y y ， 将（1），（2）代入得1,2202+=+−=即yx x y ． 综上所述，点(,)Q x y 总在定直线220+−=x y 上．例9．已知12(,0),(,0)−F c F c 为有心二次曲线2222:1(0)±=>>x y E a b a b 的左、右两个焦点，P 为曲线上任意一点，直线12,PF PF 分别交曲线E 异于P 的点,A B ，设11λ=PF F A ，22μ=PF F B ，证明：λμ+为定值．【解析】证明：设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，因为11λ=PF F A ，可得011101λλλλ+⎧=−⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x c y y ，将1100(,),(,)A x y P x y ，代入曲线方程有2200222211221,(1)1,(2)⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩x y a b x y a b ，2(2)λ⨯得222221122,(3)λλλ+=x y a b ，(1)(3)−得20101010122()()()()1λλλλλ+−+−±=−x x x x y y y y a b． 两边同除以21λ−整理得01010101221111111λλλλλλλλ+−+−⋅⋅±⋅⋅=+−+−x x x x y y y y a b ，所以01211λλ−−⋅=−x x c a ，即201(1)λλ−=−a x x c ．又01,1λλ+−=+x x c即01(1)λλ+=−+x x c ．两式相加得：222202λ−+=−a c a c x c c同理：222202μ+−=−a c a c x c c ，所以22222λμ++=⋅−a c a c． 【注】若将11λ=PF F A ，22μ=PF F B ，换成11λ=AF F B ，22μ=BF F P ，则有2222112λμ++=⋅−a c a c 为定值，11()()24μλλμλμλμ++=++≥，得22min 22()2λμ−+=⋅+a c a c ．第二章 技法篇227例10．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为23，半焦距为(0)>c c ，且1−=a c ，经过椭圆的左焦点F ，斜率为11(0)≠k k 的直线与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）当11=k 时，求∆AOB S 的值；（3）设(1,0)R ，延长,AR BR 分别于椭圆交于,C D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值． 【解析】（1）由题意：得231⎧=⎪⎨⎪−=⎩c a a c 解得32=⎧⎨=⎩a c 所以2225=−=b a c ，故椭圆C 的标准方程22195+=x y ． (2)由（1），知(2,0)−F 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12187+=−x x ，12914=−x x ，12|||=−=AB xx 307=， 设O 点到直线AB 的距离为d，则=d1130||227∆=⋅=⨯AOB S AB d ． (3)设AB 直线方程：(2)=+y k x ，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，λ=AR RC ，μ=BR BD ， 将,,,A B C D 坐标代入椭圆得：221122331,(1)951,(2)95⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，222222441,(3)951,(4)95⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(1)(2)λ−得：213131313()()()()195λλλλλ−+−++=−x x x x y y y y ，2(3)(4)μ−得：224242424()()()()195μμμμμ−+−++=−x x x x y y y y ，13131101λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，24241101μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，所以1391λλ−=−x x ，2491λμ−=−x x ， 由上式得：125445λλ=−⎧⎪⎨=−⎪⎩x x ，245445μμ=−⎧⎪⎨=−⎪⎩x x ， 所以12123434224444(5)(5)λμλμλμλμ−−++−−+−==−−−−−+y y kx kkx ky y x x (54)2(54)2117()7441144()λμλμλμλμλμ−+−+−+−−===−+−−k kk kk k ．【注】综上可知，若出现相交弦共点在坐标轴上的时候，常规联立非常繁琐，那么将坐标变换成比值，达到事半功倍的效果，其结果就是几步秒杀．例11．已知椭圆22143+=x y ，点(4,0)P ，过点P 作椭圆的割线PAB ，C 为B 关于x 轴的对称点，求证：直线AC 恒过定点．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)−C x y ，设AC 与x 轴的交点为(,0)M m ，λ=AP PB ，μ=AM MC ，则1212(,)11λλλλ++++x x y y P ，1212(,)11μμμμ+−++x x y y M ， 于是124(1)λλ+=+x x ，120λ+=y y ，12(1)μμ+=+x x m ，120 (1)μ−=y y ，则μλ=−， 由点,A B 在椭圆上得：221122221,(1)431,(2)43⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 2(1)(2)μ−⨯得：212121212()()()()143μμμμμ+−+−+=−x x x x y y y y ，所以124(1)μμ−−=x x m ，124(1)λλ++=x x m，由(1)可知：1=m ， 综上可知：直线AC 恒过定点(1,0)．【注】因为,,A B P 三点共线，,,A C M 三点也共线，且,,A B C 三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．例12．（2018·全国卷Ⅰ）设椭圆22:12+=x C y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程． （2）设O 为坐标原点，证明：∠=∠OMA OMB ．【解析】（1）由已知得(1,0),F l 的方程为1=x ，由已知可得点A的坐标为或(1,，所以AM的方程为2=−y x2=−y x （2）当l 与x 轴重合时，00∠=∠=OMA OMB ．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠=∠OMA OMB ．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，点B 关于x 轴对称的点22(,)'−B x y ，229根据几何性质可得：令ON 为∠ANB 的角平分线，AB 与x 轴交点为2F ，下面通过证明N 与M 重合来证明∠=∠OMA OMB ，根据角平分线定理有：22=='AF AN AN F B NB NB ，令λ'=AN NB ，则12(,0)1λλ++x x N ，由122211λλλ−=−⇒=−x x AF F B ，,A B 代入椭圆方程221122221,(1)21,(2)2⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(1)(2)λ−⨯得：212121212()()()()12λλλλλ+−++−=−x x x x y y y y ，即21212121011(2,0)21112λλλλλλ+−−⋅⋅+⋅=⇒=⇒+−−F N x x x x x x y y N ，即N 与M 重合，所以∠=∠OMA OMB ． 例13．（2018·北京文）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y M a b a bk 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B ，（1）求椭圆M 的方程．（2）若1=k ，求||AB 的最大值．（3）设(2,0)−P ，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若,C D 和点71(,)44−Q 共线，求k ．【解析】（1）由题意得2=cc=c e a=a 2221=−=b a c ，所以椭圆M 的标准方程为2213+=x y ．（2）设直线AB 的直线方程为=+y x m ，由2213=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y x m x y ，消去y 可得2246330++−=x mx m ， 则2223644(33)48120∆=−⨯−=−>m m m ，即24<m ，1122(,),(,)A x y B x y ，1232+=−mx x ，212334−=m x x ，12|||=−=AB x x=， 易得当20=m时，max ||=AB ||AB．（3）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，λ=AP PC ，2424(,)(2,0)11μμμμ++=−++x x y y P ，有22112233 1 (1)3 1 (2)3⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，2(1)(2)λ−⨯得：213131313()()()()13λλλλλ+−++−=−x x x x y y y y ， 即13(2)()13(1)λλ−−=−x x ，1311333171244(3)172441λλλλλλ−⎧⎧=−=−−⎪⎪⎪⎪−⇒⎨⎨+⎪⎪=−−=−⎪⎪⎩+⎩x x x x x x ， 同理2422443171244(4)172441μλλλλλ−⎧⎧=−=−−⎪⎪⎪⎪−⇒⎨⎨+⎪⎪=−−=−⎪⎪⎩+⎩x x x x x x 故121()(5)4λμ−=−−x x ，同时1324λμ⎧=⎪−⎪⎨⎪=⎪−⎩y y y y ，由于CD 过定点71(,)44−Q ， 故21341234111114444()(6)711144444μλλμλμ−−−−−−=⇒=⇒−=−−+−−−y y y y y y x x ， 结合（5）（6）可得12121−=−y y x x ，即1=k ． 例14．已知点(0,1)P ，椭圆22:(1)4+=>x C y m m 上两点,A B 满足2=AP PB ，则当m 为何值时，点B 横坐标的绝对值最大．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,),(0,1)B x y P ，则22112222,(1)4,(2)4⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y m x y m ，由2=AP PB 得121220122112+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+x x y y ， 2(1)(2)2−⋅得222222212122(2)(12)4−⋅+−⋅=−x x y y m ，即1212121222221412121212+−+−⋅⋅+⋅=+−+−x x x x y y y y m ，则，122−=−y y m ，1223+=y y ，则234+=my ，所以2223()44++=x m m ， 即2221094−+−=m m x ，当5=m 时，()22max 4=x ，则2max2=x ．三、方法总结点差法是解决圆锥曲线与直线的关系中常用到的一种方法．当直线与圆锥曲线相交的问题涉及到相交弦的中点时，宜应用点差法求解，即将直线被圆锥曲线截得的弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，得到两个等式，再将两个等式作差，转化得到弦的中点坐标与直线斜率的关系，进而解决问题．在解答圆锥曲线231的某些问题时，若果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程．当1λ=时，点M 为弦AB 的中点．若1λ≠时，点M 不再是中点，就成了定比分点．这时就会出现12λ+x x 这样形式的式子，若果再凑出12λ−x x ，我们就会想到222121212()()λλλ+−=−⋅x x x x x x ，则在有心二次曲线的方程上乘以2λ再作差，就会得到这样的式子，因此我们想到了“定比点差法”．定比点差法实际上是直线的参数方程的变异形式，只不过将其中的t 变作了λ，也就是说只要是共线点列的问题都可以在考虑运用直线的参数方程的同时考虑定比点差法．定比点差法在处理圆锥曲线上过定点的直线的证明题时往往可以起到简化运算的作用．但定比点差法无法应用于抛物线，并且它采用的参数λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦(当然，求坐标还是很简便的)，所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决．综上所述，在研究点差法及定比点差法时，主要核心思想统一体现为减元、消元以及方程的思想．四．巩固练习1．已知椭圆()222210+=>>x y a b a b 的一条准线方程是1=x ，有一条倾斜角为4π的直线交椭圆于、A B 两点，若AB 的中点为11,24⎛⎫− ⎪⎝⎭C ，则椭圆方程为 ．【答案】2211124+=x y【解析】设()()1122,,、A x y B x y ，则121211,2+=−+=x x y y ， 且2211221+=x y a b ①， 2222221+=x y a b②， −①②得：2222121222−−=−x x y y a b ，()()221212221212112+−−∴=−=−⋅−+b x x y y b x x a y y a ，21221221−∴===−AB y y b k x x a，222∴=a b ③又21=a c ，2∴=a c ④ 而222=+a b c ⑤由③④⑤可得212=a ，214=b ，所求椭圆方程为2211124+=x y ． 2．已知椭圆221259+=x y 上不同的三点()()11229,,4,,,5⎛⎫⎪⎝⎭A x yBC x y 与焦点()4,0F 的距离成等差数列．（1）求证：128+=x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 【解析】（1）略； （2）解128+=x x ，∴设线段AC 的中点为()04,D y ．又、A C 在椭圆上，∴22111259+=x y ①，22221259+=x y ②，−①②得：22221212259−−=−x x y y ， ()()1212121200998362525225+−∴=−=−⋅=−−+x x y y x x y y y y ． ∴直线DT 的斜率02536=DT y k ，∴直线DT 的方程为()0025436−=−y y y x ．令0=y ，得6425=x ，即64,025⎛⎫ ⎪⎝⎭T ，∴直线BT 的斜率9055644425−==−k ． 3．若抛物线2:=C y x 上存在不同的两点关于直线():3=−l y m x 对称，则实数m 的取值范围是 ．【答案】(【解析】当0=m 时，显然满足．当0≠m 时，设抛物线C 上关于直线():3=−l y m x 对称的两点分别为()()1122,,、P x y Q x y ，且PQ 的中点为()00,M x y ，则211=y x ①，222=y x ②， −①②得：221212−=−y y x x ，1212120112−∴===−+PQ y y k x x y y y ， 又1=−PQ k m ，02∴=−m y ． 中点()00,M x y 在直线():3=−l y m x 上，()003∴=−y m x ，于是052=x ． 中点M 在抛物线2=y x 内部，200∴<y x ，即2522⎛⎫−< ⎪⎝⎭m，解得<m综上可知，所求实数m的取值范围是(．4．（2011浙江理）设1F ，2F 分别为椭圆2213+=x y 的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若125=F A F B ，则点A 的坐标是 ．233解答：记直线1F A 反向延长交椭圆于1B ，由125=F A F B 及椭圆对称性得1115=AF F B ，设11(,)A x y ，22(,)B x y，(F ．①定比分点公式得：12125155015+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x yy 1212550⎧+=−⎪⇒⎨+=⎪⎩x x y y ②又⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩221122221(1)31(2)3x y x y 221122221(1)4252525(3)3x y x y ⎧+=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩③由（1）-（3）得+−++−=−12121212(5)(5)(5)(5)243x x x x y y yy ⇒−=125x x ，又+=−125x x ⇒=10x ⇒±(0,1)A ．5．（2009江理）双曲线()222210,0−=>>x y a b a b的右顶点A 作斜率为1−的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ．若12=AB BC ，则双曲线的离心率是（ ）ABCD【答案】C【解析】设11(,)C x y ，22(,)B x y ，(,0)A a ，由12=AB BC ，由12=AB BC 得121212112102112⎧+⎪=⎪⎪+⎪⎨⎪+⎪=⎪+⎪⎩a x x y y 12123230−=−⎧⇒⎨−=⎩x x a y y ． 又22112222222200⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩x y a b x y a b 2211222222220 990 ⎧−=⎪⎪⇒⎨⎪−=⎪⎩①②x y a b x y a b ， 由①-②得：1212121222(3)(3)(3)(3)0+−+−−=x x x x y y y y a b 1230⇒+=x x ，又1232−=−x x a所以1=−x a ，所以(,)−C a b ，所以01−=−=−−AC b k a a2⇒=ba ⇒=e 6．已知椭圆22162+=x y 的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11λ=PF F A ，22μ=PF F B ．若2λ=，求μ的值．【解析】设()00,P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由11λ=PF F A 得()0101010111001λλλλλλλ+⎧−=⎪⎧+=−+⎪⎪+⇒⎨⎨++=⎪⎩⎪=⎪+⎩x x c x x c y y y y 由22μ=PF F B 得()02020********μμμμμμμ+⎧=⎪⎧+=−++⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⎩⎪=⎪+⎩x x c x x c y y y y由22002222112211⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y a bx y a b ⇒2200222222211221 λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②x y a bx y ab235由①-②得：()()()()010*******21λλλλ−+−++=−x x x x y y y yx ab()()()()()()20101201111λλλλλλ−+⇒=⇒−=−−−+x x x x a a x x c ，又()()011λλ+=−+x x c所以222202λ−+=−a c a c x c c ，同理可得222202μ−+=−+a c a c x c c 所以()()2222222222108λμλμμ−+++=⋅⇒+=⋅=⇒=−a c a c a c c c a c ． 7．已知椭圆22:12+=xy C ，设过点()2,2P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B ，点Q 是线段AB 上的点，且112+=PA PB PQ，求点Q 的轨迹方程．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，()00,Q x y ，由112+=PA PB PQ 22−+⇒+=⇒+=PQ PQ PA AQ PB QB PA PB PA PB0−⇒+=⇒=AQ QB PA AQ PAPBPBQB，记()0λλ==>AP AQ PBQB，即λ=−AP PB ，λ=AQ QB ．由λ=−AP PB 得:()()1212121222112121λλλλλλλλ−⎧=⎪⎧−=−⎪⎪−⇒⎨⎨−−=−⎪⎪⎩=⎪−⎩x x x x y y y y由λ=AQ QB 得:()()1201201212001111λλλλλλλλ+⎧=⎪⎧+=+⎪⎪+⇒⎨⎨++=+⎪⎪⎩=⎪+⎩x x x x x x y y y y y y又221122222222⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x y x y 221122222222 222 λλλ⇒⎪⎧+=⎪⎨+=⎩①②x y x y 由①-②得：()()()()()212121212221λλλλλ+⋅−+⋅+⋅−=−x x x x y y y y ()()()()()20021141121λλλλλ⇒+⋅−+⋅+⋅−=−x y 00242⇒+=x y ，即00210+−=x y ．注意到在椭圆内，故点Q 的轨迹方程为()2221022+−=+<x y x y ．8．（2019全国卷理）已知抛物线2:3=C y x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点分别为，A B ，与x 轴的交点为P ．（1）若4+=AF BF ，求直线l 的方程； （2）若3=AP PB ，求AB ．【答案】（1）3728=−y x ；（2）=AB 【解析】（1）设直线l 的方程为：32=+y x m ，与抛物线方程联立可得：()22239330342⎧=⎪⇒+−+=⎨=+⎪⎩y xx m x m y x m ， 设()()1122,,，A x y B x y ，故()12413+=−x x m 由抛物线定义可得：()12431432+=++=−+=AF BF x x p m ，解得78=−m ． 故直线方程为：3728=−y x ． （2）设直线l 的方程为：32=+y x m ，联立22322032⎧=⎪⇒−+=⎨=+⎪⎩y xy y m y x m设()()()11220,,,0，，A x y B x y P x ，则1212 2 2 +=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩①②y y y y m 由3=AP PB 可得()12030−=−y y ，即123=−y y ③237由①②解得1231=⎧⎨=−⎩y y ，代入③式得32=−m ，故直线方程为3322=−y x ．解得：()53,3,13⎛⎫− ⎪⎝⎭，A B，故=AB ．联系2675512809购买。
2016圆锥曲线专题整理
圆锥曲线综合练习题1、椭圆的定义：2、椭圆的标准方程：3、椭圆的图形：4、椭圆中c b a 、、的等量关系：5、椭圆的几何性质：6、椭圆中常见的结论：一、椭圆的定义及方程1.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“)0(2为常数且a a a PB PA >=+”；命题乙是：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么（ ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别为)0,4(),0,4(-，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10，则椭圆的标准方程为（ ）A.192522=+y x B.192522=+x y C.1162522=+y x D.1251622=+x y 3.椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于（ ）A. 1-B. 1C. 5D. 5-4.若方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．），（∞+0 B ．），（20 C ．），（∞+1 D ．），（10 5．椭圆12222=+b y a x 和k by a x =+2222()0>k 具有相同的（ ）A ．离心率B ．焦点C ．顶点D ．长、短轴长6.已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）A.10B.20 C .241 D.4147.已知椭圆192522=+y x 上点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 的值（ ）A.2B.4 C .6 D.88.已知椭圆1422=+y x 的两个焦点21F F 、，P 在椭圆上，轴若x PF ⊥1，则2PF 的值（ ）A.21B.23 C .25 D.279.已知)01()01(21，，，F F -是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于B A 、两点，且3=AB ,则C 的方程为（ ）A.1222=+y x B.12322=+y x C.13422=+y x D.14522=+y x二、椭圆的离心率10.P 为椭圆短轴的一个顶点，21F F 、为焦点，若︒=∠6021PF F ,则离心率e 为（ ）A.21B.23 C .33 D.2211.若椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则离心率e 为（ ）A.53B.23C .54 D.3512.椭圆12222=+by a x 的左焦点为1F ，右顶点为A ，上顶点为B ,若︒=∠901ABF ,则离心率e 的值为（ ）A.22B.215- C .251- D.2313.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且轴x BF ⊥，直线AB 交y 轴于点P ，若PB AP 2=,则椭圆的离心率e 为（ ） A.21B.23 C .33 D.2214.设椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,P 是C 上的点，212F F PF ⊥,︒=∠3021F PF ,则C 的离心率为（ ） A.21B.23 C .33 D.2215.设椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,P 是C 上的点，12PF PF ⊥,︒=∠3021F PF ,则C 的离心率为（ ）A.13-B.23 C .213- D.2216.设椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点分别为B A 、，左右焦点分别为21,F F ，若B F F F AF 1211,，成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A.21 B.22 C.23 D.5517.设椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A 、两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A.23 B.22 C.12- D.12+ 三、焦点三角形的面积18.若点P 在椭圆1222=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）A. 2B. 1C.23 D. 21 19.已知椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，若21PF PF ⊥，则21PF F ∆的面积为（ ）A.8B.9 C .10 D.1220.过椭圆14522=+y x 的右焦点2F 作斜率为2的直线l 与椭圆交与B A 、两点则O AB S ∆的值为（ ） A.34 B.35 C .65 D.38答案：1-5、BAADA 6-10、DBDCA 11-15、ABACA 16-20、DCBBB1、双曲线的定义：2、双曲线的标准方程：3、双曲线的图形：4、双曲线中c b a 、、的等量关系：5、双曲线的几何性质：6、双曲线中常见的结论：一、双曲线的定义及方程1.已知点)0,4(1-F 和)0,4(2F ，曲线上的动点P 到1F 、2F 的距离之差为6，则曲线方程为（ ）A ．17922=-y x B ．)0(17922>=-y x y C ．17922=-y x 或17922=-x y D ．)0(17922>=-x y x 2.双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，则双曲线的标准方程是（ ）A ．16322=-y x B ．13622=-y x C ．14222=-y x D ．12422=-y x 3.焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x yD ．1122422=-y x4.双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是（ ）A. 2-B. 2C.5D. 5-5．已知双曲线222112x y a -=的离心率2，则该双曲线的实轴长为( ) A.2 B.4C.32D.346．方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k7.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件. B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.8. 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关9.若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 的值为（ ）A. 2B. 3C. 32D. 110.双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ B ）A.21 B.22 C.1 D.2 11.设双曲线C :)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于（ C ）A.2B.3C.4D.5 12.已知F 为双曲线)0(3:22>=-m m my x C 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ A ）A.3B.3C.m 3D.m 313.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为21F F ，，点A 在C 上，若A F A F 212=,则12cos F AF ∠的值为（ C ）A.21 B.31 C.41 D.23 14.过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ ）A ．28B ．22C ．14D ．1215.已知P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF （ ） A ．1或5 B ． 6 C ． 7 D ． 916.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点且垂直于x 轴的弦的长度为（ ）A.a b 2B.a bC.a b 2D.a b 2217.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. x y 2±=B. x y 2±=C. x y 22±= D.x y 21±= 18.已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（ D ） A. x y 2±= B. x y 2±= C. x y 22±= D.x y 21±= 19.已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( )A. －12B. －2C. 0D. 420.设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A.340x y ±=B.350x y ±=C.430x y ±=D.540x y ±= 21.已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，︒=∠6021PF F ，则P 到x 轴的距离为 A.32 B.62C.3D. 6 二、焦点三角形的面积及离心率22.已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，︒=∠6021PF F ，则21PF PF ⋅的值为( )A.2B.4C. 6D. 823.设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．63B ．12C ．123D ．2424.双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为 ( )A.35B.34C.45D.2325.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为( )A ．5B ．52C ．3D ．2 26.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线 的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A.2B.3C.312+ D.512+ 27.设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠= 且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．52B ．102C ．152D ．528.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，双曲线的离心率（ ）A ．6B ．3C ．2D ．337、抛物线的定义： 8、抛物线的标准方程：9、椭圆的图形：10、抛物线的几何性质：11、抛物线中常见的结论：一、抛物线的定义及标准方程1．顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点）（4,2P 的抛物线方程是（ ） A.x y 82= B.x y 82-= C.x y 42= D. x y 42-= 2.抛物线22x y =的焦点坐标是（ ）A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0( D ． )41,0(3. 已知）（4,m M 是抛物线ay x =2上的点，F 是抛物线的焦点，若5=MF ，则此抛物线的焦点坐标是( )A ．），（10-B ．），（10C ．），（20-D ．），（20 4．抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点坐标是( )A ．），（04aB ．），（04a -C ．），（04a 或 ），（04a - D ．），（40a5．若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为( ) A.2- B ．2 C ．4- D ．4 6.设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为2-=x ，则抛物线的方程是( )A.x y 82-=B.x y 42-=C.x y 82=D.x y 42=7.抛物线x y 82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到抛物线焦点的距离是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 128.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为3-，则PF 的值为( )A.43B. 8C. 83D. 16二、抛物线的基本性质9.过抛物线x y 42=的焦点F 作倾斜角为43π的直线交抛物线于B A 、两点，则弦||AB 的长是 ( )A.42B.4C.8D.210.已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）A.3B.4C.5D.611.过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则q p 11+=（ ）A.a 2B.a 21C.a 4D.a 412.已知点P 是抛物线24y x =上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为1d ，到直线2100x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值是A.5B.4C.1155D.11513.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）A.2B. 22C.4D.814.已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A.1x = B.1x =- C.2x = D.2x =-15.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ）A. 2833x y =B. 21633x y = C.28x y = D.216x y = 16.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ,若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、22B 、23C 、4D 、2517.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF = 则AOB ∆的面积为（ ） A.22B. 2C. 322D.2218.已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于B A 、两点，12=AB ,P 为双曲线准线上一点，则ABP S ∆的面积为（ ） A.18 B.24 C.36 D.4819.抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为)01(，F ,直线l 与抛物线C 交于B A 、，若AB 的中点为）（2,2，则直线l 的方程为（ ）A.x y =B.x y 2=C.2xy =D.x y -= 20.已知抛物线x y 42=的焦点为F ,B A 、为抛物线上两点，若FB AF 3=,则弦AB 中点到准线的距离为（ ）A. 34B.38C.32D.3521.设斜率为2的直线过抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点F ,且和y 轴交于A 点，若OAF S ∆的面积为4，则抛物线方程为（ ）A.x y 82=B.x y 42=C.x y 82±=D.x y 42±= 22.已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p =（ ）A. 2B.4C.6D.823.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=( D ) (A)45 (B)35 (C)35- (D)45- 24.已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点，若FB FA 2=,则k=（ ） A.31 B.32 C.32 D.322。
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用》优质课教案_5
圆锥曲线的光学性质及其应用教学设计一、教材分析《圆锥曲线的光学性质及其应用》是人教A版数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》2.3节的一段阅读与思考材料，主要介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质及应用，教学需要1个课时. 所学内容是圆锥曲线知识的进一步拓展，是数学与物理知识的综合，也是数学知识在实际生活中的应用的典型案例.《普通高中数学课程标准(2017年版)》中“数学是自然科学的重要基础，并且在社会科学中发挥越来越大的作用，数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面.”这一学科定位在这节课中也得到相应体现.课堂上，学生在教师的指引下，对材料进行充分地阅读并进行思考，由于三种圆锥曲线的性质可以进行适当的类比，所以在教学中重点探讨椭圆的光学性质及其应用.课后，学生完成课外作业或查阅相关资料，类比课堂上所学方法可继续对其他曲线进行研究.二、学情分析学生在初中物理课上已经学习了光的反射原理，高中又学习了圆锥曲线的概念和简单几何性质，因此对圆锥曲线光学性质的理解有一定的基础.但作为文科重点班的学生，他们并不满意仅仅了解圆锥曲线光学性质，还需要了解为什么具有这样的性质，对其证明也充满着求知欲.此外，本课内容出现在《阅读与理解》这一专栏，故而课堂上还要重视对学生阅读能力的培养．考虑到文科生理性思维能力弱，多数学生思维只停留在照章循事，机械化程序化解题，在思考问题方面，偏重形象思维，故本节课借助几何画板利用垂直平分线构造椭圆的方法，为椭圆的光学性质的证明提供了直观简洁的依据，也为课外学生证明双曲线、抛物线的光学性质提供类比的依据．另外，课本是从相对简单的抛物线光学性质开始编排，但是学生首先学习的是椭圆，对椭圆更熟悉一些，因此本节课的教学设计改变了教材编排顺序，从椭圆光学性质学习开始，由易到难，由直观到推理，逐步引向思维深处．那些数学思维较弱的学生，通过配套微课的提前学习，也能较好适应课堂节奏.三、教学目标分析1、学会阅读数学材料，进一步培养从材料中提取信息的能力.2、了解三种圆锥曲线的光学性质及应用，知道椭圆光学性质的数学证明.3、能应用椭圆的光学性质解决数学问题.四、教学重点和教学难点教学重点：圆锥曲线的光学性质，应用椭圆的光学性质解题教学难点：椭圆光学性质的数学证明五、教学难点突破策略先引导学生从圆与椭圆的关系出发，得出椭圆的切线性质1，然后通过实验直观地验证椭圆的光学性质，学生再动手完成光路图，在此过程中会发现椭圆的光学性质与切线性质1其实是等价的，只需要说明中垂线是椭圆的切线即可.课堂时间有限，学生作为课后作业使用反证法很容易证明. 为了全方位的理解这一性质，联想之前学过的点差法，从运动的角度对切线的斜率作定量的分析，既为应用性质提供方便，提醒学生利用解析法研究光学性质，还巩固了解析几何设而不求的思想.基于以上多层次、多角度的引导，达到突破难点的目的.六、教学工具：多媒体投影，数字展台，平面镜，激光笔，椭圆形硬纸板.七、教学过程QA，由已知得|QA|=|QP|，所以|=|QO|+|QP|=r，又点A在圆内，故，点Q的轨迹是以O，A为焦点，长轴长的椭圆.在圆上运动时，P A的中垂线与椭圆的位置关系是相切，设P A的中点是M，由PQM与△AQM全等，∠PQM，我们得到椭圆切线的一个性质，切点处的两条焦半径所成的角相等.l的方程为点斜式，与椭圆方程联立，据判别式为0求出切线斜率.该方法比较自然且容易想到，但是计算量繁琐，且没有把握所给图形的特征，可让其课后尝试一设P(x0, y0)，Q(x1, y1).将P，Q坐标代入椭AO生：先过入射点作镜面的切线，再过入射点切线的垂线就是法线，入射光线作镜面的对称点A',再连接光路图就完成了.师：根据以上事实，以椭圆为例，请作出反射光路图，验证椭圆的光学性质活动3以椭圆为例，入射光线为线和反射光线.师：除了光路图外，借助简单的工具也可以用以下实验来说明.(使用激光笔，平面镜，椭圆形硬纸板教师在展台上现场演示)如果时间不允许，也可在电脑上播放微课视频中的光学实验师：想了那么多办法来验证椭圆光学性质，我想告诉大家的是——其实我们已经在数学上证明了这一事实，请各位仔细观察.活动4以椭圆为例，请思考如何证明它的光学性质.圆锥曲线的光学性质也是高考的命题重点，结合所学知识，请完成活动5练习.x2y2、(2013•山东，理22)。
北师大版选修1-1高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.2抛物线习题导学案
高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》2.2抛物线习题导学案北师大版选修1-1学习目标:1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．2.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力重点、难点：理解并掌握抛物线的几何性质；能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质。
练习反馈 一、选择题1.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是 ( ) A.x 2=-28yB.y 2=-28yC.y 2=28xD.x 2=28x 2．若是定直线 外的一定点，则过与 相切圆的圆心轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线 3．抛物线2(0)x ay a =≠的焦点坐标为（ ） A ．1(,0)a B ．1(,0)2a C ．1(,0)4a D ．0a > 时为1(,0)4a ，0a < 时为1(,0)4a- 4．若点到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x = 5．抛物线20x y += 的焦点位于（ ）A ． 轴的负半轴上B ． 轴的正半轴上C ．轴的负半轴上 D ．轴的正半轴上6．与椭圆224520x y += 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）A ．24y x =B ．24y x =±C ．24x y =D ．24x y =± 7.抛物线y 2=ax (a ≠0)的准线方程是 ( )(A )4a x =-；(B)x =4a ；(C)||4a x =- ；(D)x =||4a10. 一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） A. (4，0) B. （2，0） C.（0，2） D. (0，－2)11. 已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（ ）A. (0，0)B. 112⎛⎫⎪⎝⎭， C.()22， D. (2，2)12、抛物线y=ax 2的准线方程是y=2,则a 的值为（ ） A 、18 B 、18- C 、8 D 、-8 13、已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）614、抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A 、1716 B 、1516 C 、78D 、0 15、在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则P 的值为（ ） A 、12B 、1C 、2D 、418 设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A2pB pC p 2D 无法确定 19．已知直线y kx k =-及抛物线22y px =（0p >）则（ ）A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没公共点 20﹑与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程为（ ）A. 230x y -+=B. 230x y --=C. 210x y -+=D. 210x y --=21、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ ）（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）422．过点（-3，2）的直线与抛物线24y x =只有一个公共点，求此直线方程。
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.1
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(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴93m6m＋＋0＝ 9n1＝，1， 解得nm＝＝－19，13， ∴所求双曲线的标准方程为x92－y32＝1.
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
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定义法求方程
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝ 9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆的圆心M的轨迹方 程．
思路点拨： 根据两圆外切的定义从中找出相关的几何关 系，与所学椭圆、双曲线的定义进行对比可解．
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第二章 圆锥曲线与方程
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(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲 线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正， 则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时， 双曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与
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3．与双曲线x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程是 ________(只写出一个即可)．
解析： 与x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程为8＋x2 k －10y－2 k＝1(－8<k<10)．
答案： x62－1y22 ＝1
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第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 第1课时
a＝13，b＝m1 ，
9 m2
取顶点0，13，一条渐近线为 mx－3y＝0， 所以15＝|－m32×＋139|，则 m2＋9＝25，
∵m＞0，∴m＝4.
答案： D
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第二章 圆锥曲线与方程
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3．已知点(2,3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)上， C 的焦距为 4，则它的离心率为________．
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1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
解析： 双曲线方程可化为x42－y82＝1，∴a2＝4，a＝2，
则 2a＝4，故选 C. 答案： C
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c e＝__a__
__y_＝__±_ba_x_
_y_＝__±_ab_x__
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等轴双曲线
___实__轴__和___虚__轴___等长的双曲线叫做等轴双曲线．
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第二章 圆锥曲线与方程
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由①②联立，无解．
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令 y＝0，解得 x＝±3，因此顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)． 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4， 离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程 y＝±bax＝±23x. 作出草图(如图所示)．
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.2.1
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第二章 圆锥曲线与方程
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(2)方法一：若焦点在 x 轴上， 设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)． 因为 M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
a12－b12＝1， 所以－a222－5b22＝1， 若焦点在 y 轴上，
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2．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上，且经过点(0,2)与 ( 5，2 2)； (2)c＝ 6，经过点(－5,2)，焦点在 x 轴上．
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第二章 圆锥曲线与方程
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双曲线的定义
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的_差__的__绝__对__值_ _是__常__数___的点的轨迹叫做双曲线
焦点 焦距 集合语言
_两__个__定__点__F_1，__F__2 _叫做双曲线的焦点
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1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过 程．
2．掌握双曲线的标准方程． 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问 题．
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第二章 圆锥曲线与方程
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我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队 远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
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(压轴题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测(包含答案解析)(1)
一、选择题1．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点1F 、2F 的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点1F 发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点1F ，历时1t 秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点1F 发出，经Γ两次反射后又回到了点1F ，历时2t 秒；若218t t =，则Γ与Ω的离心率之比为（ ）A ．3:4B ．2:3C ．1:2D ．22．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线250x y -=过点F 且与双曲线C 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，||||OP OF =，则双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 53．直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．44．已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，则222AF BF +的最小值是（ ） A ．36B ．48C ．72D ．965．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB 为直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．22B ．312C ．512D ．326．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 于,A B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则AOB 的面积为（ ）A ．2 B ．2C ．32D ．327．若1F ，2F 是双曲线22221(0,0)y xa b a b-=>>与椭圆2251162x y +=的共同焦点，点P 是两曲线的一个交点，且12PF F △为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A ．22y x =± B ．24y x =±C ．7y x =±D ．37y x =±8．如图，已知曲线2yx 上有定点A ，其横坐标为()0a a >，AC 垂直于x 轴于点C ，M 是弧OA 上的任意一点（含端点），MD 垂直于x 轴于点D ，ME AC ⊥于点E ，OE 与MD 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()310y x x a a=≤≤ B ．()31022ay x x x a a =+≤≤ C ．()220y x ax x a =-≤≤D ．()2022a ay x x x a =+≤≤9．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，过1F 的直线交双曲线的左支于,A B 两点，若113AF F B =，23cos 5AF B ∠=，则双曲线的离心率e =（ ）A B ．52C D ．5310．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆()22:21T x y -+=上的动点，则PF PQ的最小值是（ ）A ．12B ．27C ．23D ．412．设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．45二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点.若椭圆C 上存在点P ，使得12|1|||2PO F F =，则椭圆C 的离心率的取值范围为________. 14．已知双曲线M ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是___________.15．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点(c,0)F 关于直线2y x =的对称点Q 在双曲线上，则双曲线的离心率是______．16．设P 是抛物线28y x =上的一个动点，若点B 为()3,2，则PB PF +的最小值为________________．17．已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，C 的准线为l 且与x 轴相交于点B ，A 为C 上的一点，直线AO 与直线l 相交于E 点，若BOE BEF ∠=∠，6AF =，则C 的标准方程为_____________.18．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆C 相交于A ，B两点.当ABF 的周长最大时，ABF 的面积为2b ，则椭圆C 的离心率e =________．19．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使PF OF =，且1cos 4OFP ∠=，则双曲线的离心率为___________．20．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，A ､B 分别为C 的左，右支上的点，O 为坐标原点，若四边形ABOF 为菱形，则C 的离心率为______.三、解答题21．已知直线:1l y kx =+过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与抛物线E 交于A 、B 两点，点M 为AB 中点.（1）求抛物线E 的方程；（2）以AB 为直径的圆与x 轴交于C 、D 两点，求MCD △面积取得最小值时直线l 的方程.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A ，B 为椭圆的左、右顶点，点()0,2N -，连接BN 交椭圆C 于点Q ，ABN 为直角三角形，且:3:2NQ QB = （1）求椭圆的方程；（2）过A 点的直线l 与椭圆相交于另一点M ，线段AM 的垂直平分线与y 轴的交点P 满足154PA PM ⋅=，求点P 的坐标.23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,1),,A P Q --在椭圆C 上，且,P Q 异于点A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若||||,||||OP OQ AP AQ ==，求直线PQ 的方程．24．已知点1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，离心率为2，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为k 的直线l （不过焦点）交椭圆于M ，N 两点，若x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2右焦点到左顶点的距离是2+（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值.26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2243x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程﹔ （2）已知斜率为k 的直线l 在y 轴上的截距为()0m m b <<，l 与椭圆交于,A B 两点，是否存在实数k 使得2OA OB k k k ⋅=成立?若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ，设光速为v ，推导出112a vt =，利用椭圆和双曲线的定义可得出1243a a =，由此可计算得出Γ与Ω的离心率之比. 【详解】设122F F c =，设椭圆Γ的长轴长为12a ，双曲线Ω的实轴长为22a ， 在图②中，1CDF 的周长为111212124CF DF CD CF CF DF DF a vt ++=+++==，所以，1148a vt =，可得112a vt =，在图①中，由双曲线的定义可得2122AF AF a -=，由椭圆的定义可得1212BF BF a +=，22AF BF AB =-，则2121111222AF AF BF AB AF a BF AB AF a -=--=---=，即()111222a AB AF BF a -++=，由题意可知，1ABF 的周长为111AB AF BF vt ++=，即112111322222a a a a vt a =-=-=， 所以，1243a a =. 因此，Γ与Ω的离心率之比为122112:::3:4c ce e a a a a ===. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.2．D解析：D 【分析】焦点三角形1PFF 满足||||OP OF =，可根据三角形一边的中线是该边的一半，可判断该三角形是直角三角形.算出该三角形的中位线OH ，可得到12PF =，根据双曲线定义和勾股定理计算出,a c 求解. 【详解】直线20x y -+=过点F，可得()F 设右焦点为1F ，PF 的中点为H .因为O 是1FF 的中点，且||||OP OF =，故三角形1PFF 为直角三角形.1PF PF ⊥，故OH PF ⊥由点到直线距离公式有1OH ==故12PF =，12PF PF a -=，(2222112PF PF F F +== 故()2222220a ++=. 可得1a =ce a== 故选：D 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3．D解析：D 【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解. 【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=， 对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=. 综上所述，k 的取值有4个. 故选：D. 【点睛】方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．4．D解析：D 【分析】求得2AF BF a +=，结合a c BF a c -<<+，利用二次函数的基本性质可求得222AF BF +的最小值.【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，在椭圆C 中，6a =，25b =，则224c a b =-=，由题意可知，点A 、B 关于原点对称，且O 为FF '的中点， 所以，四边形AFBF '为平行四边形，所以，BF AF '=，由椭圆的定义可得212AF BF AF AF a '+=+==，0k ≠，a c BF a c ∴-<<+，即210BF <<，()()2222222122324144349696AF BF BFBF BF BF BF ∴+=-+=-+=-+≥，当且仅当4BF =时，等号成立，因此，222AF BF +的最小值为96. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出AF BF +；（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.5．C解析：C 【分析】作出图形，可知FAB 是以FAB ∠为直角的直角三角形，可得出0AF AB ⋅=，可得出a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.【详解】如下图所示，可知AFB ∠、ABF ∠均为锐角， 所以，FAB 是以FAB ∠为直角的直角三角形，由题意可知，点(),0F c -、()0,A b 、(),0B a ，则(),AF c b =--，(),AB a b =-，20AF AB ac b ⋅=-+=，可得220a c ac --=，即220c ac a +-=，在等式220c ac a +-=的两边同时除以2a 可得210e e +-=，01e <<，解得512e =. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.6．C解析：C 【分析】根据抛物线的定义和性质，可以求出A 的坐标，再求出直线AB 的方程，可求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到AOB 的面积． 【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-， 不妨设A 在第一象限，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，||3AF =，所以A 到准线1x =-的距离为3，113x ∴+=，解得12x =，122y ∴=，∴直线AB 的斜率为22221=-∴直线AB 的方程为22(1)y x =-，由2422(1)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理可得22520x x -+=，解得12x =，212x =当212x =时，2y = 因此AOB 的面积为：121111||||||||112222AOBAOFBOFSSSOF y OF y =+=+=⨯⨯⨯． 故选：C. 【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.7．B解析：B 【分析】由题意可得双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>中223,9c a b =+=，由12PF F △为等腰三角形，所以2126PF F F ==,从而可求得1221064PF a PF =-=-=，再利用双曲线的定义可求得在双曲线中1a =，b =，进而可求出双曲线的渐近线方程 【详解】解：因为椭圆2251162x y +=的焦点坐标为(0,3)，所以双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>中223,9c a b =+=，设点P 为两曲线在第一象限的交点，由于在椭圆中，12PF F △为等腰三角形，所以2126PF F F ==, 所以1221064PF a PF =-=-=，在双曲线中，212642a PF PF =-=-=，所以1a =，代入229a b +=，得b =，所以该双曲线的渐近线方程为4a y x x b =±==±， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由12PF F △为等腰三角形和椭圆的定义求出21,PF PF 的值，属于中档题8．A解析：A【分析】设点(),P x y ，求出点M 、E 的坐标，利用O 、P 、E 三点共线可得出//OP OE 可求得点P 的轨迹方程. 【详解】设点(),P x y ，其中0x a ≤≤，则点()2,M x x，ME 与直线x a =垂直，则点()2,E a x ，因为O 、P 、E 三点共线，则//OP OE ，可得3ay x =，31y x a∴=， 因此，点P 的轨迹方程是()310y x x a a=≤≤. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.9．C解析：C 【分析】设1133AF F B m ==，利用双曲线定义求出232AF m a =+，22F B m a =+，利用余弦定理写出,a m 关系，推知焦点三角形12F BF 是直角三角形，利用勾股定理求出,a c 关系式，从而求出离心率. 【详解】设1133AF F B m ==，则4AB m =，则由双曲线定义有232AF m a =+，22F B m a =+，在2AF B 中，由余弦定理有()()()()()22242232223m a m a m a m a m =+++-⋅++ 整理得22320m am a --=，解得m a = 故4AB a =，25AF a =，23F B a =故2AF B 为直角三角形，290ABF ∠=在12Rt F BF △中，2221122F B F B F F +=，则()()22232a a c +=，故22252c e a ==故e =故选：C 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．10．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea =；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合222b c a=-转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或2a转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．11．B解析：B【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PFPQ的最小值.【详解】如下图所示：在椭圆22:11612x yC+=中，4a=，23b=222c a b-，圆心()2,0T 为椭圆C 的右焦点，由椭圆定义可得28PF PT a +==，8PF PT ∴=-，由椭圆的几何性质可得a c PT a c -≤≤+，即26PT ≤≤，由圆的几何性质可得1PQ PT QT PT ≤+=+， 所以，899211111617PF PF PT PQPT PT PT -≥==-≥-=++++. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应圆锥曲线的定义，本题中注意到2PF PT a +=，进而可将PF 用PT 表示；（2）利用圆的几何性质得出PT r PQ PT r -≤≤+，可求得PQ 的取值范围； （3）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围：a c PT a c -≤≤+.12．B解析：B 【分析】设直线2a x c=交x轴于点M ，推导出222PF F M =，可得出关于a 、c 的等式，由此可解得该椭圆的离心率. 【详解】设直线2a x c=交x轴于点M ，21F PF △是底角为30的等腰三角形，260PF M ∠=，2122PF F F c ==，在2Rt PF M 中，290PMF ∠=，230MPF ∠=，222PF F M ∴=，P 为直线2a x c =上一点，222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即222a c =，2c e a ∴==． 故选：B ． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、填空题13．【分析】先分析出得到消去b 整理出ac 的齐次式求出离心率的范围【详解】由落在椭圆上则又得：∴由得：即解得：又∴故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件找到abc 的关系消去b 构解析：⎫⎪⎪⎣⎭【分析】先分析出||b PO a ≤≤，得到b c a ≤<，消去b ，整理出a 、c 的齐次式，求出离心率的范围. 【详解】由P 落在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，则||b PO a ≤≤.又12|1|||2PO F F =得：||PO c = ∴b c a ≤<由b c ≤得：22b c ≤，即222a c c -≤，解得：2c e a =≥又1e <，∴12e ≤<故答案为：2⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．14．【分析】设双曲线的右焦点经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直等价于转化为点到渐近线的距离解得再根据离心率公式可得结果【详解】依题意可得双曲线的右焦点渐近线方程为因为M 的渐近线上存在点T 使得经过点T 所作解析：1e <≤【分析】设双曲线M 的右焦点(c,0)F ，经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，等价于TF =，转化为点(c,0)F 到渐近线的距离d TF ≤，解得ba据离心率公式可得结果. 【详解】依题意可得双曲线M 的右焦点(c,0)F ，渐近线方程为0bx ay ±=，因为M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，设两个切点为,P Q ，所以PTQ ∠2π=，4PTF π∠=，因为FP PT ⊥，PF a =，所以TF =，所以双曲线M 的渐近线上存在点T，使得TF =，所以点(c,0)F到渐近线的距离d =≤，即b a所以离心率c e a =====≤= 又1e >，所以1e <≤所以双曲线M的离心率的取值范围是1e <≤故答案为：1e <≤【点睛】关键点点睛：求双曲线离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，得到圆心到可得,,a b c 的不等式.15．【分析】由题意可得Q 点坐标代入双曲线方程计算即可得出离心率【详解】设则中点由题意可得由在双曲线上可得两边同除可得解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程两边同除可得关于离心率的方程即可求出【分析】由题意可得Q 点坐标，代入双曲线方程，计算即可得出离心率. 【详解】设(,)Q m n ，则FQ 中点(,)22+m c n，=-FQ n k m c由题意可得325224215c nm c m n c n m c +⎧⎧=-=⨯⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⨯=-=⎪⎪-⎩⎩，由(,)Q m n 在双曲线上，可得222242242222234()()91655119502502525()--=⇒-=⇒-+=-c c c c c a c a a b a c a 两边同除4a ，可得42950250e e -+=，解得55,3==e e （舍） 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：齐次式方程，两边同除可得关于离心率的方程，即可求出离心率.本题考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.16．5【分析】求出抛物线的准线方程把到焦点距离转化为它到准线的距离然后利用三点共线得最小值【详解】如图过作与准线垂直垂足为则∴易知当三点共线时最小最小值为∴的最小值为5故答案为：5【点睛】本题考查抛物线解析：5 【分析】求出抛物线的准线方程，把P 到焦点F 距离转化为它到准线的距离，然后利用三点共线得最小值． 【详解】如图，过P 作PM 与准线2x =-垂直，垂足为M ，则PF PM =，∴PF PB PM PB +=+，易知当,,B P M 三点共线时，PM PB +最小，最小值为3(2)5--=．∴PB PF +的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查抛物线上的点到焦点和到定点距离之和的最小值，解题方法是利用抛物线的定义把点到焦点的距离转化为点到准线距离．17．【分析】推导出求出可得出直线的方程联立直线与抛物线的方程求出点的坐标利用抛物线的定义求出的值即可得出抛物线的标准方程【详解】因为即所以则直线的方程为联立直线与抛物线方程解得所以解得因此抛物线标准方程解析：28y x =【分析】 推导出OBE EBF △△，求出tan BOE ∠，可得出直线AO 的方程，联立直线AO 与抛物线C 的方程，求出点A 的坐标，利用抛物线的定义求出p 的值，即可得出抛物线C 的标准方程. 【详解】因为BOE BEF ∠=∠，90OBE EBF ∠=∠=，OBEEBF ∴△△，OB BE BE BF ∴=，即2222p p BE OB BF p =⋅=⨯=，22BE p ∴=，所以tan 2BEBOE OB∠==AO 的方程为2y x =， 联立直线OA 与抛物线方程222y xy px ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得()2A p ， 所以3622p pAF p =+==，解得4p =， 因此，抛物线标准方程为28y x =. 故答案为：28y x =. 【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法与待定系数法：（1）若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p ），那么只需求出p 即可； （2）若题目未给出抛物线的方程：①对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20y ax a =≠的正负由题设来定；②对于焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可统一设为()20x ay a =≠，这样就减少了不必要的讨论.18．【分析】首先根据椭圆定义分析分析当的周长最大时直线的位置再求的面积得到椭圆的离心率【详解】设椭圆的右焦点为当直线过右焦点时等号成立的周长此时直线过右焦点得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆内 解析：12【分析】首先根据椭圆定义分析，分析当ABF 的周长最大时，直线AB 的位置，再求ABF 的面积，得到椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为F '，AF BF AB ''+≥，当直线AB 过右焦点F '时，等号成立，∴ABF 的周长4l AF BF AB AF BF AF BF a ''=++≤+++=，此时直线AB 过右焦点，22b AB a =，221222ABFb Sc b a=⨯⨯=，得12c e a ==.故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆内的线段和的最值问题，关键是利用两边和大于第三边，只有三点共线时，两边和等于第三边，再结合椭圆的定义，求周长的最值.19．2【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得关系再求离心率【详解】设双曲线的左焦点为在中由余弦定理得故答案为：2【点晴】求离心率的关键是得的关系本题是由余弦定理得出解析：2 【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得,a c 关系，再求离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为E ，在EFP △中，2EF c =，2PF c PE a c ==+，，1cos 4EFP ∠=. 由余弦定理()222421cos 224c c c a EFP c c +-+∠==⋅⋅ ，得2c e a ==. 故答案为：2 【点晴】求离心率的关键是得,,a b c 的关系，本题是由余弦定理得出.20．【分析】先根据四边形为菱形及双曲线的性质求的度数再根据双曲线的定义找的关系最后由离心率的计算公式求结论【详解】设右焦点为连接过作轴于因为双曲线关于轴对称四边形为菱形所以所以所以所以根据双曲线的定义可解析：31+. 【分析】先根据四边形ABOF 为菱形，及双曲线的性质，求AFO ∠的度数，再根据双曲线的定义找,a c 的关系，最后由离心率的计算公式求结论. 【详解】设右焦点为'F ，连接'AF ，过A 作AH x ⊥轴于H ，因为双曲线C 关于y 轴对称，四边形ABOF 为菱形， 所以AB OF AF c ===，2c OH FH ==， 所以60AFO ∠=︒，所以'AF AF ⊥，所以'3AF c =， 根据双曲线的定义可得'32AF AF c c a -=-=， 所以3131e ==+-， 31. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关双曲线离心率的求解问题，对于求解圆锥曲线离心率的值或范围的解题方法如下：（1）一般不直接求出的值，而是根据题目给出的圆锥曲线的集合特征建立关于参数,,c a b 的方程组或不等式组，通过解方程组或不等组求得离心率的值或范围； （2）通常从两个方面入手研究，一是考虑几何关系，二是考虑代数关系； （3）注意用好定义.三、解答题21．（1）24x y =；（2）1y =. 【分析】（1）求出抛物线E 的焦点坐标，将焦点坐标代入直线l 的方程，求出p 的值，即可求得抛物线E 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与抛物线E 的方程，求出点M 的坐标，求出点M 到CD 的距离以及CD ，可得出MCD △的面积的表达式，利用函数的单调性可求得MCD △面积的最小值，进而可求得对应的直线l 的方程. 【详解】（1）抛物线2:2E x py =的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在:1l y kx =+上，12p ∴=，2p ∴=，所以，抛物线E 的方程为24x y =； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以，212121616044k x x k x x ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩， 则AB 中点()22,21Mk k +，()21241AB x k =-==+，所以，以AB 为直径的圆M 的半径()221r k=+，M 到CD 的距离221d k=+，CD ==((221221212MCD S k k ∴=⨯⨯+=+△，令()20k t t =≥，则(21MCDSt =+[)0,+∞单调递增.当0t =时，即0k =时，MCD Sl 的方程为1y =.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．22．（1）2214x y +=；（2）30,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，0,2⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）用待定系数法求椭圆方程；（2）设出直线l ，表示出M 的坐标，利用154PA PM ⋅=，求出点P 的坐标. 【详解】（1）由题意可得：三角形ABN 为等腰直角三角形，所以2a =4，即a =2. 又由()0,2N -，()2,0B ，:3:2NQ QB =所以64,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭， 代入22221x y a b+=得：222264()()551a b +=，解得：b =1. 所以椭圆的方程为2214x y +=（2）由（1）可知()2,0A -.设M 点的坐标为()11,x y ， 直线l 的斜率显然存在，设为k ，则直线l 的方程为()2y k x =+于是A ，B 两点的坐标满足方程组()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，由方程组消去y 并整理， 得()()222214161640kxk x k +++-=由212164214k x k --=+，得2122814k x k-=+，从而12414k y k =+， 设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为22282,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭以下分两种情况：①当0k =时，点M 的坐标为()2,0.线段AM 的垂直平分线为y 轴，于是()02,PA y =-，()02,PM y =-由154PA PM ⋅=得0312y =± ②当0k ≠时，线段AM 的垂直平分线方程为2222181414k k y x k k k ⎛⎫--=+ ⎪++⎝⎭令0x =，解得02614ky k -=+()02,PA y =--，()110PM x y y =⋅- ()()210102222228646214141414k k k k PA PM x y y y k k k k --⎛⎫⋅=---=++ ⎪++++⎝⎭()()422241615115414k k k +-==+ 整理得12k =±，032y =±综上032y =±或0y =. 点P 的坐标是30,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，0,⎛ ⎝⎭. 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"坐标法"是解析几何中常见的基本方法，把题目中的条件用坐标翻译出来，把几何条件转化为代数运算.23．（1）22182x y +=；（2）20x y +=．【分析】（1）由离心率，点的坐标代入椭圆方程及222a b c =+列方程组解得,,a b c 得椭圆方程； （2）已知条件说明直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，直线OA 方程为12y x =，这样可设直线PQ 方程为2y x m =-+，代入椭圆方程，应用韦达定理得12x x +，12,x x 即为,P Q的横坐标，求出中点横坐标1202x x x +=，由直线PA 得中点纵坐标0y ，中点坐标代入直线AO 方程可得参数m ，即直线PQ 方程．【详解】（1）依题意，22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，，．故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）∵||||,||||OP OQ AP AQ ==，∴直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，则直线OA 的方程为12y x =，设直线PQ 的方程为2y x m =-+，由221822x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得：221716480x mx m -+-=， ()22(16)417480m m =-⨯->，解得m <()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理得121617mx x +=，设PQ 的中点为()00,H x y ， 所以120008,221717x x m m x y x m +===-+=；所以8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭． 又8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭在直线OA 上，代入得1817217m m =⋅，解得0m =， 综上所述，直线PQ 的方程为20x y +=． 【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率和一点坐标求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．在直线与椭圆相交问题时，解题关键是由平面几何知识由条件||||,||||OP OQ AP AQ ==得直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，这样用设而不求思想可求得直线PQ 方程．即求出AO 方程，由垂直设出直线PQ 方程，代入椭圆方程应用韦达定理求得PQ 中点坐标，再代入直线AO 方程可得参数值．24．（1）22121x y +=；（2）证明见解析，（-2,0）.【分析】（1）根据离心率为2，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=,可用待定系数法求椭圆的标准方程;（2）先用设而不求法表示出1212,x x x x +，然后分析得到110MF NF k k +=，代入，求出2m k =，即可证明直线过定点（-2，0）. 【详解】(1)设椭圆的标准方程为()22221,,x y P x y a b+=由题意可得2222221(,)(,)0c a x y x c y x c y b c a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-⋅+=⎪+=⎪⎩解得：222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩即椭圆C 的标准方程：22121x y +=.(2)设直线l ：1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+则1111221122,1111MF NF y kx m y kx mk k x x x x ++====++++ 有22121x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去 y 得：222(12)4220k x mkx m +++-=， 所以2221222122168(1)(12)04122212k m m k mk x x k m x x k ⎧⎪∆=--+>⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩因为x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等， 所以x 轴为直线1MF 与1NF 的角平分线， 所以111212011MF NF kx m kx mk k x x +++=+=++，即 12122()()20kx x m k x x m ++++= 所以2222242()201212m mkk m k m k k--+++=++ 整理化简得：2m k =即直线l ：2(2)y kx m kx k k x =+=+=+ 故直线恒过定点（-2,0）. 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.25．（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得c a =2a c +=222a b c =+即可求出,a b 得值，进而可得椭圆C 的方程；（2）由椭圆的方程可得,A B 两点的坐标，设(,)(0,0)M m n m n >>，即可求出直线BM 、AM 的方程，进而可得点C 、D 的坐标，结合2214m n +=，计算1||||2ABCD S AC BD =⋅⋅即可求解.【详解】。
圆锥曲线的定义、方程与性质(题型归纳)
圆锥曲线的定义、方程与性质【考情分析】1.考查特点:(1)圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题第(1)问的形式命题,难度中等;(2)直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力以及创新能力.3.学科素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.【题型一】圆锥曲线的定义及标准方程【典例分析】1（2021·山东省实验中学高三模拟）已知双曲线22525x y -=上一点P 到其左焦点F 的距离为8，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（）A ．9B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】由22525x y -=，得221255x y -=，则2225,5a b ==，所以230c =，所以5,a b c ===，设双曲线的右焦点为1F ，因为P 到其左焦点F 的距离为85a c <+=+P 在双曲线的左支上，所以1210PF PF a -==，所以118PF =，因为M 为PF 的中点，O 为1FF 的中点，所以1192OM PF ==，故选：A 2．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点A 在l 上，点B 在抛物线上，l 与x 轴的交点为C ，ABF是正三角形，且四边形ABFC 的面积是，则p =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由抛物线的定义及ABF 为正三角形，可知//AB x 轴，所以60AFC ︒∠=，从而可知2AB p =，AC =，又因为四边形ABFC 的面积是，所以有22p p+=2p =.故选：C.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021·江苏金陵中学高三模拟）以椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆C 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22143x y +=B ．22184x y +=C ．2211612x y +=D ．2216448x y +=【答案】C【解析】由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则2a c =，椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即6a c +=，则4a =，2c =，23b =则椭圆的标准方程为：2211612x y +=.故选：C.2．【多选】（2021·福建福州市·高三二模）在ABC 中，4AB =，M 为AB 的中点，且CA CB CM -=，则下列说法中正确的是（）A ．动点C 的轨迹是双曲线B ．动点C 的轨迹关于点M 对称C ．ABC 是钝角三角形D ．ABC面积的最大值为【答案】BD【解析】以M 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系．设CM =r ，此时C 点在以M 为圆心，r为半径的动圆上．由CA CB r -=，知C 点在以AB 为焦点，2r a =的双曲线22221x y a b -=上且22242AB a b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．对点(),C x y 有222x y r +=，22221444x y r r-=-，从而2223(16)64y r r =-，当28r =时，2y最大，故yABC S ，故D 正确；2r =时，得到另一个C 点'C ，此时ABC 为直角三角形，故C 错误；∵CA CB -非定值，∴C 不以双曲线为轨迹，故A 错误；∵CM CA CB -=，∴一定有C 关于M 的对称点关于原点对称，故B 正确．故选：BD ．3.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.【答案】3【解析】由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1.设点M (x0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM →＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3.【题型二】圆锥曲线的几何性质【典例分析】1．已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则椭圆E 的离心率为（）A ．102B ．4C D ．54【答案】B【解析】1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F Ð=Ð，由正弦定理可得213PF PF =，令1233PF PF n ==，则32n n a +=，22294n n c +=，可得22542a c =，所以椭圆的离心率为：104c e a===.故选：B ．2．（2021·天津南开中学高三模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，点P 为双曲线右支上一点，直线OP 交双曲线于另一点Q ，若直线AQ 恰好平分线段PF ，则该双曲线的离心率为__________．【答案】3【解析】设PF 的中点为M ，连接OM ，O 、M 分别为PQ 、PF 的中点，则//OM FQ 且12OM FQ =，所以，12OA OM AF FQ ==，即12a c a =-，3c a =∴，因此，该双曲线的离心率为3ce a ==.故答案为：3.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021湖南长沙长郡中学高三模拟）已知抛物线28y x =的焦点为F ，经过点P (1，1)的直线l 与该曲线交于A ､B 两点，且点P 恰好为AB 的中点，则||||+=AF BF （）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】抛物线28y x =中，4p =，其焦点()2,0F ，准线方程2x =-，如图过点,,A B P 作准线的垂线，垂足为,,M N R ，由抛物线定义可知，||||AF BF AM BN +=+，而P 恰好为AB 的中点，故PR 是梯形ABNM 的中位线，故2AM BN PR +=，又P (1，1)，故132pPR =+=，所以||||236AF BF +=⨯=.故选：B.2．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点2F 作圆222x y a +=的切线交双曲线左支于点M ，且1260F MF ∠︒＝，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】313y x ⎛⎫=±+⎪ ⎪⎝⎭．【解析】设切点为A ，过1F 作21F B MF ⊥，垂足为B ，由题意可得OA a =，2OF c =，222AF c a b =-=，由OA 为12BF F △的中位线，可得12BF a =，22BF b =，又1260F MF ∠=︒，可得114sin 603BF a MF ==︒，23aMB =，22223aMF MB BF b =+=+，又21242233a a MF MF b a -=+-=，所以313b a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以双曲线的渐近线方程为313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．3.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________.【答案】3－1.【解析】设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A )23,2(c c，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，则4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4＋23(舍)，e 2＝4－2 3.由0<e <1，得e ＝3－1.【题型三】直线与圆锥曲线【典例分析】1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点.若点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，则m =（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】直线1y x =-与抛物线24y x =联立得：2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以12126,1x x x x +==，点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，所以有：21121121212120(1,)(1,)01()0,CA CB x y m x y m x x x x y y m y y m ⋅=⇒+-+-=⇒++++-++=121212121212,24,(1)(1)()14y y x x y y x x x x x x +=+-==--=-++=-，所以2161440,m m ++--+=解得2m =，故选：C2．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，离心率为2，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（）A ．14-B ．34-C ．12-D ．1【答案】A【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得122x x +=，122y y +=，将A ，B 的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22221212220x x y y a b--+=，所以221212221212y y x x b b x x a y y a-+=-⋅=--+，又因为离心率2c e a ==，222c a b =-，所以22234a b a -=，所以2214b a -=-，即直线AB 的斜率为14-，故选：A.【提分秘籍】1.求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解.(3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x 或y 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到(x 1-x 2)2或(y 1-y 2)2,代入两点间的距离公式求解.(4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.[提醒]利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形,若k 不存在,可直接求交点坐标再求弦长.涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.2.处理中点弦问题常用的2种方法(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x 1+x 2,y 1+y 2,2121x x y y --三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.[提醒]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.【变式演练】1．（2021·陕西高三模拟）已知抛物线22(0)x py p =>焦点为,F O 为坐标原点，直线l 过点F 与抛物线交于,A B 两点，与x 轴交于()2,0C p ，若17AB =，则OCF △的面积为___________.【答案】32【解析】抛物线22(0)x py p =>焦点(0,)2p F ，而直线l 过点(2,0)C p ，则直线l 的斜率为14k =-，其方程为124p y x -=-，即42x y p =-+，由2422x y px py=-+⎧⎨=⎩消去x 得228920y py p -+=，显然0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1298py y +=，而17AB =，由抛物线定义知，1217||||()()17228p p p AB AF BF y y =+=+++==，解得8p =，即(0,4)F ，()16,0C ，而90FOC ∠= ，于是得1||||322OCF S OC OF =⋅⋅= ，所以OCF △的面积为32.故答案为：322．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知椭圆C ：2214x y +=.（1）椭圆C 是否存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（2）已知椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆C 上的点，若直线AP ，BP 分别与直线3y =交于G ，H 两点，求线段GH 的长度取得最小值时直线GP 的斜率.【解析】（1）因为22(1)111422-⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部，则椭圆C 存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦.设弦所在的直线l 与椭圆C 相交于()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得22222121044x x y y -+-=，即()()()()2121212104x x x x y y y y -++-+=.又122x x +=-，121y y +=，()()2121(2)104x x y y --∴+-⨯=，整理得212112y y x x -=-.所以直线l 的方程为11(1)22y x =+-，即220x y -+=.（2）因为A ，P ，G 三点共线所以可知当线段GH 的长度取得最小值时，直线AP 的斜率k 显然存在，且0k >，()2,0A -，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，从而点32,3G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()222214161640k x k x k +++-=，0∆>设点()00,P x y ，则202164(2)14k x k--⋅=+.所以2022814k x k -=+，从而02414k y k =+，所以222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又点()2,0B ，则直线PB 的斜率为14k-.由1(2)43y x k y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，得1223x k y =-+⎧⎨=⎩，所以(122,3)H k -+.故332122124GH k k k k=-+-=+-.又0k >，则31212k k +≥=，当且仅当312k k =，即12k =时等号成立所以当12k =时，线段GH 的长度取得最小值.所以此时直线GP 的斜率为12.1．（2021山师大附中高三模拟）“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0n <时，方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线；当0n >时，221x ny +=可化为2211y x n+=，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以11n>即1n >，故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时，0n <或1n >，故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选：A.2．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知抛物线2y =的准线与双曲线()22210x y a a-=>相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则实数a 的值为（）A ．19B ．29C ．13D．3【答案】D【解析】2y =的准线x =，焦点)，不妨设A点坐标2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，FAB 为直角三角形，∠AFB ＝90°，由对称性可知，FAB 为等腰直角三角形，由直角三角形的性质得a a=，解得23a =.故选：D 3．已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F 、2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF =（）A ．1B ．1或9C ．3或9D ．9【答案】D【解析】由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点P 在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =，故选：D.4．（2021·山东省淄博市实验中学高三模拟）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2.④1212c c a a <其中正确式子的序号是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【解析】由图可得1212,a a c c >>，所以1122a c a c +>+，即①错误；因为1122,a c PF a c PF -=-=，所以1122a c a c -=-，即②正确，由1122a c a c -=-，得1221a c a c +=+，即22221212212122a c a c a c a c ++=++，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+,即221221122()0b b a c a c -=->，可得2112a c a c >，即③正确，由2112a c a c >，可得1212c c a a >，即④错误；综上所述选项B 正确.故选:B.5．（2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =，因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =，因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos a OF P cÐ=，在12F F P 中，()()22212223cos cos 22a c a a F F P OF P a cc+-Ð==Ð=×.化简可得c =，所以C的离心率==ce a.故选：B 6．设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】设椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴长为2a '，焦点为2c ，2122MF F F c ==，则1MF =2222a c a c '+=-，又c e a ='，所以c a e '=，即242c c a e +=，又7[2,2e ∈，所以椭圆的离心率为127,15162c e a e⎡⎤'==∈⎢⎥⎣⎦+．故选：C ．7．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知曲线C 的方程为()22113x y m R m m+=∈+-，则（）A ．当1m =时，曲线C 为圆B ．当5m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为33y x =±C ．当1m >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．存在实数m 使得曲线C【答案】AB【解析】对于A 选项：m =1时，方程为22122x y +=，即222x y +=，曲线C 是圆，A 正确；对于B 选项：m =5时，方程为22162x y -=，曲线C为双曲线，其渐近线方程为3y x =±，B 正确；对于C 选项：m >1时，不妨令m =5，由选项B 知，曲线C 为双曲线，C 不正确；对于D 选项：要曲线C 为双曲线，必有(1)(3)0m m +-<，即m <-1或m >3，m <-1时，曲线C ：2213(1)y x m m -=--+，m >3时，曲线C ：22113x y m m -=+-，时，它实半轴长与虚半轴长相等，而-(m +1)≠3-m ，m +1≠m -3，D 不正确.故选：AB11．（2021·湖南雅礼中学高三模拟）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，过F 的直线与C 分别交于()1122(),,A x y B x y ，两点，则（）A ．12y y 为定值B ．AOB ∠可能为直角C ．以BF 为直径的圆与y 轴有两个交点D ．对于确定的直线AB ，在C 的准线上存在三个不同的点P ，使得ABP △为直角三角形【答案】AD【解析】设:1AB l x ty =+，与24y x =联立可得：2124404y ty y y --==-，，故A 对；因为221212116y y x x ==，所以12121OA OBy y k k x x ⋅=≠-，∴2AOB π∠≠，故B 错；设BF 的中点11111,,2222BF x y x M ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故C 错；设AB 的中点1212,22x x y y N ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 到C 准线的距离为当1212x x ++，因为12122AB x x +=+故有以AB 为直径的圆与C 的准线相切，对于确定的直线AB ，当P ∠为直角，此时P 为切点；当A ∠或B Ð为直角，此时P 为过A （或B ）的AB 的垂线与准线的交点，故D 正确．故选：AD12．已知双曲线22:139x y C -=的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是C 上的任意一点，则（）A ．双曲线C 的离心率为233B ．焦点到渐近线的距离为3C ．点P 到两条渐近线的距离之积为94D ．当P 与A ､B 不重合时，直线PA ，PB 的斜率之积为3【答案】BCD【解析】对于A ，,3a b c ===2e ==，故A 错误；对于B ，双曲线的右焦点2F 到渐近线y x ==的距离为3d ==，故B 正确；对于C ，设()00,P x y ，满足2200139x y -=，即220039x y -=，则点P到两条渐近线的距离之积为2200123944x y d d -⋅==，故C 正确；对于D ，设()00,P x y ，由C 得2239x y -=，PAPB k k ==2200220039333PA PB y x k k x x -⋅===--，故D 正确；故选：BCD13．（2021·湖北襄阳五中高三模拟）已知椭圆G：2221(06x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②OP 的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是__________．【答案】①②【解析】椭圆(222:106x y G b b+=<<的两个焦点分别为)1F和()2F ，短轴的两个端点分别为()10,B b -和()20,B b ，设(),P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，1222PB PB a b +==，即有P 在椭圆222166y x b+=-上，对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当P 满足22x y =，即有226b b -=，即b =时，OP 取得最小值，可得222x y ==时，即有2OP ==取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于,x y 轴对称，且0b <<，则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 有2个，故③不正确.，故答案为①②.14．（2021·山东滕州一中高三模拟）某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值0v ，且与水平方向所成角为变量θ，已知张燕投铅球的最远距离为10m ．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____m ．（空气阻力不计，重力加速度为210m /s ）【答案】5【解析】设铅球运动时间为0t ，t 时刻的水平方向位移为x ，则0cos x v t θ=．由001sin 02v gt θ-=知002sin v t g θ=20sin 2v x g θ∴=故当4x π=时，20max 10v x g==，210m /s g =∴解得：0t =，010m /sv =201 2.5m22t h g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭如图建立平面直角坐标系，(5, 2.5)P --，设抛物线方程为22x py=-则抛物线的焦点到准线的距离22(5)5m 22 2.5x p y -===-⨯故答案为：515．（2021·山东枣庄一中高三模拟）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，O为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，213PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________；渐近线方程为________.【答案】22y x =±【解析】由213PF PF =，122PF PF a -=，解得13PF a =，2PF a =，由题意可得四边形12PF MF 为平行四边形，又260MF N ∠=︒，可得1260F PF ∠=︒，在12PF F △中，可得()22224323cos 607c a a a a a =+-⋅⋅⋅︒=，即有2c a =，则2c e a ==，所以2b a ===，则渐近线方程为2y x =±.故答案为：72；32y x =±.16.（2021•南充模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，点15(1,)3P --在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得11||||F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意得，2c =，2211519a b +=，222a b c =+，解得：26a =，22b =，所以椭圆的标准方程：22162x y +=；（2）假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程：y x t =-+，设(,)M x y ，(,)N x y ''与椭圆联立整理：2246360x tx t -+-=，△223644(36)0t t =-->，t -<<，32t x x '+=，2364t xx -'=，由于11||||F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1F E MN ⊥，所以111F E MN k k =-=又3(4t E ，)3t ，所以141324F E tk t ==+，解得4t =-，当4t =-时，不满足t -<<，所以不存在满足条件的直线l ．17．（2021·湖南高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为72，双曲线上的点到焦点的最小距离为2.（1）求双曲线C 的方程；（2）四边形MNPQ 的四个顶点均在双曲线C 上，且//MQ NP ，MQ x ⊥轴，若直线MN 和直线QP 交于点()4,0S ，四边形MNPQ 的对角线交于点D ，求点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和.【解析】（1）由题意，22222c a c a a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，所以双曲线C 的方程为22143x y -=；（2）由MQ x ⊥轴，//MQ NP ，可知四边形MNPQ 为等腰梯形，且关于x 轴对称，故四边形MNPQ 的对角线的交点D 在x轴上，如图所示：设点(,0)D t ，则对角线MP 的方程为(0)x my t m =+≠，设1122(,),(,)M x y P x y ，由对称性知1122(,),(,)Q x y N x y --，联立22143x y x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得222(34)63120m y mty t -++-=，所以22222(6)4(34)(312)48(34)0mt m t m t ∆=---=-+>，即2234m t +>，由韦达定理得21212226312,3434mt t y y y y m m --+==--，由,,M N S 三点共线知MS NS k k =，即121244y y x x -=--，所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=，整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，所以222(312)(4)(6)034m t t mt m -+--=-，所以224(1)034m t m -=-，即24(1)0,1m t t -==，所以直线MP 过定点()1,0，即D ()1,0，因为双曲线C 20y ±=20y -=时，由点到直线距离公式得217d ==，由对称性知点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和为2217.。
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2.6.1 曲线与方程 1．了解曲线与方程的对应关系，理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念．(重点、难点) 2．理解数形结合思想，会处理一些简单的曲线与方程问题．(难点) 3．曲线与方程的对应关系．(易错点)
[基础·初探] 教材整理 曲线的方程 方程的曲线 阅读教材P60例1以上的部分，完成下列问题． 1．方程与曲线的定义 在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足以下关系： 如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程
f(x，y)＝0的曲线．
2．方程与曲线的关系
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f(x，y)＝0就是曲线的方程．( ) (2)如果f(x，y)＝0是某曲线C的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．( ) (3)若曲线C上的点满足方程f(x，y)＝0，则坐标不满足方程f(x，y)＝0的点不在曲线C上．( ) (4)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程．( ) (5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2．点Am2，－m在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，则m＝________.
【解析】 据题意，有14m2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或－185. 【答案】 2或－185 3．方程|y|＝|2x|表示的曲线是________． 【解析】 ∵|y|＝|2x|，∴y＝±2x，表示两条直线． 【答案】 两条直线 4．已知曲线C的方程为x2－xy＋2y－7＝0，则下列四点中，在曲线C上的点有________(填序号)． ①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)． 【解析】 把各点的坐标代入检验知，只有(－1,2)满足方程． 【答案】 ① [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型] 曲线与方程概念的理解 (1)判断点A(－4,3)，B(－32，－4)，C(5，25)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，2)与点N32，n在曲线 C上，求m，n的值．
【精彩点拨】 由曲线与方程的关系知，只要点M的坐标适合曲线的方程，则点M就在方程所表示的曲线上；而若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0)一定适合曲线的方程． 【自主解答】 (1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上； 把点B(－32，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
把点C(5，25)的坐标代入x2＋y2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x≤0的条件，所以点C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
(2)因为点M(m，2)，N32，n在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m2(m2
－1)＝2×1，34×－14＝n2(n2－1)，解得m＝±2，n＝±12或±32.
1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手． (1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可； (2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数． 2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．
[再练一题] 1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是________(填序号)． ①方程f(x，y)＝0的曲线是C； ②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C； ③f(x，y)＝0是曲线C的方程； ④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上． 【解析】 只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知①③④错误． 【答案】 ② 由方程确定曲线 方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？ 【精彩点拨】 由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析． 【自主解答】 方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0， 而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0， ∴2(x－1)2＝0，(y＋1)2＝0， ∴x－1＝0且y＋1＝0，即x＝1，y＝－1. ∴方程表示点(1，－1)．
曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性.
[再练一题] 2．方程(x＋y－1)x－1＝0表示什么曲线？
【解】 方程(x＋y－1)x－1＝0等价于 x－1≥0，x＋y－1＝0或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1. 故方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1). 点与曲线的关系及应用 (1)点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，则a的值是________． (2)若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，a∈R，则实数k的取值范围是________． 【精彩点拨】 (1)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得；(2)点(a，－a)在曲线上，则点(a，－a)适合方程，把k用a表示出来，利用求值域的方法得k的范围． 【自主解答】 (1)因为点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上， 所以a＋4＝(a＋1)2＋5(a＋1)＋3，即a2＋6a＋5＝0，解得a＝－1或－5. (2)∵曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)， ∴a2＝－a2＋2a＋k，
∴k＝2a2－2a＝2a－122－12，
∴k≥－12， ∴k的取值范围是－12，＋∞. 【答案】 (1)－1或－5 (2)－12，＋∞
判断点与曲线位置关系的方法 如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标为(x0，y0)． (1)点P(x0，y0)在曲线C：f(x，y)＝0上⇔f(x0，y0)＝0. (2)点P(x0，y0)不在曲线C：f(x，y)＝0上⇔f(x0，y0)≠0.
[再练一题] 3．若点M(m，m)在曲线x－y2＝0上，则m的值为________. 【导学号：09390055】 【解析】 ∵点M(m，m)在曲线x－y2＝0上，∴m－m2＝0， 解得m＝0或m＝1. 【答案】 0或1 [探究共研型] 曲线与方程的关系 探究1 怎样理解曲线与方程的概念？ 【提示】 定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏． 曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形． 探究2 理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？ 【提示】 (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可． 方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0的曲线经过点A(0，－3)，B(0,4)，
C53，－74，D(8,0)中的________个点．
【精彩点拨】 方程表示两条直线x－4y－12＝0和x＋2y－8＝0，但应注意对数的真数大于0，即x＋2y>0. 【自主解答】 由对数的真数大于0，得x＋2y>0. ∴A(0，－3)，C53，－74不符合要求； 将B(0,4)代入方程检验，符合要求；将D(8,0)代入方程检验，符合要求． 【答案】 2
点与实数解建立了如下关系：C上的点x0，y0fx，y＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可.
[再练一题] 4．已知直线l：x＋y＋3＝0，曲线C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4，若P(1，－1)，则点P与l，C的关系是________．
【解析】 由1－1＋3≠0，∴P不在l上，即P∉l； 又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4， ∴点P在曲线C上，即P∈C. 【答案】 P∉l，P∈C [构建·体系]
1．设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是________(填序号)． ①坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上； ②曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0； ③坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上； ④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0. 【解析】 因为命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0，是正确的，即④正确．