2009级高等数学(二下)(补考)试卷参考答案

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2009-2010学年第二学期高等数学B试卷(E卷答案)

2008 — 2009学年第二学期《高等数学B 》期末试题（A ）答案及评分标准一、单选题(每题3分，共15分)CCDDD二、填空(每题3分，共18分)1．3222．''2'20y y y -+= 3．1 4.ln 2 5．23cos 4()d f d πϕπϕρρρ⎰⎰6． (4,6)三、解答题(每题8分，共40分)1.求解微分方程3"2'3cos xy y y ex --=+的通解解：先求齐次化方程 03'2"=--y y y则特征方程为 0322=--r r ---- ------------------------ (2分) 得特征根 1,321-==r r ，于是齐次化微分方程的通解为x x e C e C y -+=231------------------------（4分）分别求得非齐次项 xe 3属x m e x P λ)(型）（3,0==λm ，由于3=λ是特征方程0322=--r r 的单根，所以设特解为3x*1bxe =y代人解得 41=b ，即特解 3x41*1xe =y -----------------（6分）类似对于非齐次项x cos 属)sin B cos (x x A e x ωωλ+型)0,1,1,0(====B A ωλ，由于0=λ不是特征方程0322=--r r 的特征根，所以可设特解为x c x a y sin cos *2+=，代入解得10151,-=-=c a ，即特解为xx y sin cos 10151*2--= 故原方程的通解为xx e C e C y x x sin cos xe 10151x 341231--++=-------------(8分) 2. 求函数(sin ,cos ,)x yz f x y e +=的二阶偏导数2zx y∂∂∂，其中函数f 具有二阶连续的偏导数解：''13cos x y zxf e f x +∂=+∂ -------------------------------------------------------------（4分） 2"""22"'121332333cos sin cos sin x y x y x y x y z x yf xe f e yf e f e f x y++++∂=-+-++∂∂ --------------------------------------（8分） 3. 计算二重积分22(1())Dy xf x y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与1y =所围成的闭区域.解：积分区域 D 如图令22(,)()g x y xf x y =+，因为D 是关于y 轴对称且(,)(,)g x y g x y -=-，所以22()0Dxf x y dxdy +=⎰⎰-------------------------（3分）从而2112214(1())5xDDy xf x y dxdy ydxdy dx ydy -++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------（8分） 4. 求原点到曲面22()1x y z --=的最短距离.解：设曲面22()1x y z --=上任一点为(,,)x y z ，则根据两点距离公式 222l x y z =++，要求 l 最小，等价要求2l 最小.--------------(2分)记 2222S l x y z ==++，根据拉格郎日乘数法令22222(,,,)(()1)G x y z x y z x y z λλ=+++------------------(3分)()()()()2222()0122()022203()104Gx x y x G y x y yG z z z G x y z λλλλ∂⎧=+-=-------⎪∂⎪∂⎪=--=-------⎪∂⎪⎨∂⎪=-=--------⎪∂⎪∂⎪=---=-------⎪∂⎩-------------------------（4分）由(3)可得 1λ=或0z =,若1λ=,代入(1),(2)可得4242x y y x =⎧⎨=⎩,易得00x y =⎧⎨=⎩结合(4)可知矛盾,故舍去.------------(6分) 从而取0z =,以及由(1),(2)可得1xy=-,代入(4)易得 12120x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,或者12120x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,结合实际情况可知这两点到原点距离最小且相等, 故2min 2l =---------------------------------------------(8分)5. 判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散.解：由于1111sin()sin cos cos sin (1)sin ln ln ln ln n n n n n n n nπππ+=+=-----（2分）当3n ≥时,易得1sin 0ln n>且单调递减趋于零,根据莱布尼茨判别法可得 2211sin (1)sin ln ln nn n n n n π∞∞=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑∑收敛.---------------(4分)又因为11ln ln 22sin()sin nn n n n π∞∞==+=∑∑ -------------------------（6分）根据比较判别法可得(对任意0δ>)1ln 1sin limlim ln nn n n n n δδ→∞→∞==+∞,由于21(01)n n δδ∞=<<∑发散,故21sinln n n ∞-∑也发散. 综上所述, 可知级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是条件收敛.---------(8分)四（共10分）判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222263y x y x y x yx y x f 在（0，0）点连续性，并求),(),,(y x f y x f y x .解：分别取路径 3,0x y x ==,可得,0lim 26300=+=→y x y x x y 21lim lim 66330263033=+=+=→=→x x x x y x y x xy x xy x , 可得函数),(y x f 在)0,0(不连续.-------------------------------------------(4分)2382262222330(,)()00x x y x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩93222622220(,)()00y x x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩-------------（10分）五（10分）求幂级数41141n n x n ∞+=+∑的收敛区间，并求在收敛区间内的和函数()s x . 解：收敛区间为(1,1)------------------------------------------------------------------------（3分）令：4101()41n n s x x n ∞+==+∑, 441()1n n s x x x ∞='==-∑---------------------（7分） 111()ln arctan (1,1)412x s x x x x +=+∈-------------------------------（10分）六（7分）设()f u 连续，试证：111()()x y f x y dxdy f u du -+≤+=⎰⎰⎰证11111011()()()xxxx x y f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy +-----+≤+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰——（3分）令x y u +=，012111121()()xx dx f u du dx f u du +--+⎰⎰⎰⎰=11121112()()u u f u du dx f u du +---=⎰⎰⎰-----------------（7分）。

2009高等数学下试卷及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008--2009学年第2学期考试科目：高等数学A Ⅱ考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

将答案写在横线上） 1．微分方程"2'40y y y ++=的通解为_______________。

（今年不作要求） 2．设y z x =，则dz = 。

3．设L 是圆周221x y +=，L 取逆时针方向,则 2Lydx xdy +=⎰Ñ__________。

4．设0,||3,||1,||2a b c a b c ++====u r, 则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 。

5. 级数1(1)n n ∞-=-∑是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。

二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

）1．过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程是（）A ．231231x y z -++==B ．231231x y z -+-==-- C．231231x y z -+-== D ．231231x y z ---==- 2．设22()z y f xy =+-，其中()f u 是可微函数,则zy ∂=∂ （）A ．22'12()yf x y +-B ．22'12()yf x y --C ．2222'1()()x y f x y +--D ．222'1()y f x y -- 3．下列级数中收敛的是（）A ．1n ∞=B ．11n nn ∞=+∑C ．112(1)n n ∞=+∑D ．n ∞=4. 设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（）Ａ. dr r rf ⎰21)(2π Ｂ. dr r rf ⎰212)(2πＣ. ⎰⎰-1222])()([2dr r f r dr r f r π Ｄ. ⎰⎰-1222])()([2dr r rf dr r rf π5. 一曲线过点，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率ln xk y x=-，则此曲线方程为（）A. 21ln 22x y e=B. 21ln 21)2x y e =C. 21ln 2122x y x e =+ D. 21ln 2x y e =三．计算题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1．已知2sin()z y xy x =+，求z x∂∂，2z x y ∂∂∂。

2009考研数学二真题及答案解析

2
dx
2 f ( x, y)dy +
2
dy
4−y f ( x, y) dx = ( )
1
x
1
y
∫ ∫ (A)
2
dx
4−x f ( x, y)dy .
1
1
∫ ∫ (B)
2
dx
4−x f ( x, y)dy .
1
x
∫ ∫ (C)
2
dy
4−y f ( x, y)dx .
1
1
∫ ∫ (D)
2
dy
2 f ( x, y)dx .
（1）函数 f ( x) = x − x3 的可去间断点的个数为（）
sin nx
( A) 1.
( B) 2.
(C ) 3.
( D) 无穷多个.
【答案】C 【解析】
f ( x) = x − x3
sin π x
则当 x 取任何整数时， f ( x) 均无意义
故 f ( x) 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 x − x3 = 0 的解
.
= y t2 ln(2 − t2 )
∫ (10) 已知 +∞ ek x dx = 1 ,则 k = −∞
∫ (11) lim 1e−x sin nxdx = n→∞ 0
. .
(12)
设y
=
y(x) 是由方程 xy + ey
=x
+
1
确定的隐函数,则
d2 dx
y
2
=
.
x=0
(13) 函数 y = x2x 在区间 (0，1] 上的最小值为
f (x)

中国传媒大学-高等数学-2009至2010学年第二学期期末考试试卷A卷(含答案)

1，
ns
n1
s 1 时级数
1 收敛； s 1 时，级数
1 发散。
ns
n1
ns
n1
2、（本小题 8 分）
求级数
x 4n 的和函数 S( x) 。
n1 (4n)!
解:由幂级数的分析性质得微分方程
S (4) (x)
x 4n4
1 S( x)
n1 (4n 4)!
（8 分）
且 S(0) S(0) S(0) S(0) 0
1、设 u arcsin x ( y 0) 则 u
x2 y2
y
第1页共6页
x (A)
x2 y2
x (B)
x2 y2
x (C)
x2 y2
x (D)
x2 y2
答（ A ）
2、设为球面 x2 y2 z2 a2 在 z h 部分， 0 h a ，则
3、若幂级数 an x n 的收敛半径为 R ,那么 n0
6
得分评卷人
（3 分）（5 分）
四、解答下列各题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，总计 21 分） 1、（本小题 7 分）
改变二重积分
1
2y
dy f ( x, y)dx
3
dy
3 y
f ( x, y)dx的积分次序
0
0
1
0
解：原式
2
dx
0
3 x x
f
( x,
y)dy
。
2
（7 分）
判别级数 a n ， (a 0, s 0) 的敛散性。 n1 n s 解：由比值判别法
l
i
a m
n1
a n n

中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案

中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案2007—2008学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π. 2. 函数22y xz +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分22()f x y dv+⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz.5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的(D)37 .10. 曲面积分2z dxdy ⎰⎰∑在数值上等于( C ).(A) 流速场iz v 2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；(C) 向量场kz F 2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F 2=沿Σ边界所做的功.11．若级数1(2)nn n c x ∞=+∑在 4x =- 处是收敛的，则此级数在1x = 处 ( D )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定. 12.级数121(1)n pn n -∞=-∑的敛散性为 ( A )(A) 当12p >时，绝对收敛；（B ）当12p >时，条件收敛；(C) 当102p <≤时，绝对收敛；（D ）当102p <≤时，发散.三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13. （本题满分6分）设()x y z x y z e -++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .解：两边同取微分 ()(1)()x y z dx dy dz e dx dy dz -++++=⋅-⋅++ ，整理得 dz dx dy =--.14. （本题满分8分）求曲线2223023540xy z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩ 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程. 解：两边同时关于x 求导22232350dy dz x y z dx dx dy dz dx dx ⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得(1,1,1)(1,1,1)9474dy dx dz dx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以切向量为：91{1,,}1616T =-，切线方程为： 1111691x y z ---==-；法平面方程为：16(1)9(1)(1)0x y z -+---=，即169240x y z +--=. 15.（本题满分8分）求幂级数0(21)nn n x ∞=+∑的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)-，0(21)nn n x ∞=+∑02∞==+∑nn nx 0∞=∑nn x ，10122∞∞-===∑∑nn n n nxx nx，设11()∞-==∑n n A x nx ，则10011(),(11);1∞∞-=====-<<-∑∑⎰⎰xxn nn n x A x dx nx dx x x x 21(),1(1)'⎛⎫∴== ⎪--⎝⎭x A x x x即20222()(1)∞===-∑nn x nx xA x x ，0(21)∞=∴+∑n n n x 02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x 22211,(11)(1)1(1)+=+=-<<---x x x x x x .16.（本题满分6分）计算()∑=++⎰⎰I x y z dS ，其中∑为曲面5+=y z 被柱面2225+=xy 所截下的有限部分.解：()∑=++⎰⎰I x y z dS (5)∑=+⎰⎰x dS∑=⎰⎰xdS（∑关于yoz 平面对称，被积函数x 是x 的奇函数）5∑+⎰⎰dS05∑=+⎰⎰dS 222552+≤=⎰⎰x y dxdy 52251252π==.17.（本题满分8分）计算积分222(24)(2)=++-⎰LI xxy dx x y dy，其中L 为曲线22355()()222-+-=x y 上从点(1,1)A 到(2,4)B 沿逆时针方向的一段有向弧.解：4∂∂==∂∂Q P x x y，∴积分与路径无关，选折线AC +CB 为积分路径，其中(2,1)C ，,12:,1,0=≤≤⎧⎨==⎩x x x AC y dy 2,:.,14==⎧⎨=≤≤⎩x dx CB y y y222(24)(2)∴=++-⎰LI x xy dx x y dy222(24)(2)=++-⎰ACx xy dx x y dy 222(24)(2)+++-⎰CBx xy dx x y dy 24221141(24)(8).3=++-=⎰⎰x x dx y dy18.（本题满分8分）计算22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y xz dzdx xydxdy，∑是由曲面224-=+y x z与平面0=y 围成的有界闭区域Ω的表面外侧.解：2222,(),,,∂∂∂==+=++=+∂∂∂P Q R P yz Q y x z R xy x z x y z由高斯公式， 22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy 22()Ω=+⎰⎰⎰x z dxdydz（利用柱面坐标变换cos sin ,θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩z x y y 则2:02,02,04.θπΩ≤≤≤≤≤≤-r y r ）2224200032.3ππθ-==⎰⎰⎰r d rdr r dy19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面1222222=++cz b y a x 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为),,(0z y x ，则切平面的法向量为000222222{,,}x y z a b c，切平面方程为0)()()(02020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x ，即1202020=++czz b y y a x x ，则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 22200016a b cV x y z=⋅，令)1(ln ln ln ),,,(220220220000000-+++++=czb y a x z y x z y x L λλ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+1021021021220220222002020c z b y ax c z z b y y a x x λλλ，得30a x =，30b y =，3c z=，故切点坐标为)3,3,3(c b a .20. (本题满分6分)设(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，试证明柯西不等式：22[()][()]bbaaf x dxg x dx ⎰⎰2[()()].baf xg x dx ≥⎰证：设:,.D a x b a y b ≤≤≤≤则22[()][()]bba af x dxg x dx ⎰⎰22()()Df xg y dxdy =⎰⎰（D关于y x=对称）22()()Df yg x dxdy =⎰⎰221[()()2D f x g y dxdy =+⎰⎰22()()]Df yg x dxdy ⎰⎰22221[()()()()]2Df xg y f y g x dxdy =+⎰⎰1[2()()()()]2Df xg x f y g y dxdy ≥⋅⎰⎰[()()()()]Df xg x f y g y dxdy =⋅⎰⎰()()()()b b aaf xg x dx f y g y dy =⎰⎰2[()()]baf xg x dx =⎰.2008—2009学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量,,a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯，则（ D ）. （A ）必有0a =; （B ）必有0b c -=; （C ）当0a ≠时，必有b c =; （D ）必有()a b c λ=- （λ为常数）.2. 直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的关系是（ A ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.3. 二元函数225,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点（0，0）处（ A ）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在4. 已知2()()x ay dx ydyx y +++为某二元函数的全微分，则=a （ D ）.（A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.5. 设()f u 是连续函数，平面区域2:11,01D x y x -≤≤≤≤-，则22()Df x y dxdy +=⎰⎰（ C ）.（A ）21122()x dx f x y dy-+⎰⎰; （B ）211220()y dy f x y dx-+⎰⎰;（C ）12()d f r rdr ⎰⎰πθ; （D ）120()d f r dr⎰⎰πθ.6. 设a 为常数，则级数1(1)(1cos )nn a n∞=--∑（ B ）.（A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1. 设函数222(,,)161218x y zu x y z =+++，向量{1,1,1}n =，点0(1,2,3)P ，则03.3P u n∂=∂2. 若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数5.a =-3. L 为圆221x y +=的一周，则22()0.Lx y ds -=⎰4. 设1lim 2n n naa +→∞=，级数211n n n a x ∞-=∑的收敛半径为2.25. 设221()x y f x e dy-=⎰，则111()(1).4xf x dx e -=-⎰6. 设()f x 是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]-上的定义为32,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于3.2三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设()f u 是可微函数，(y z f =，求2z z x y x y ∂∂+∂∂. 解题过程是：令yu =，则()y zf u x ∂'=∂，()2zf u y x y∂'=∂，20.z zxy x y∂∂∴+=∂∂2. （本小题6分）计算二重积分2211Dxy dxdy x y +++⎰⎰，其中22{,)1,0}D x y x y x =+≤≥.解题过程是：D 关于x 轴对称，被积函数221xy x y ++关于y 是奇函数，221Dxy dxdy x y∴=++⎰⎰，故2211D xy dxdy x y +++⎰⎰221D xy dxdy x y =++⎰⎰221Ddxdy x y +++⎰⎰122020ln 2.12rdr d r -=+=+⎰⎰πππθ3. （本小题6分）设曲面(,)z z x y =是由方程31x y xz +=所确定，求该曲面在点0(1,2,1)M -处的切平面方程及全微分(1,2)dz .解题过程是：令3(,,)1F x y z x y xz =+-，23x F x y z '=+，3y F x '=，zF x '=，则所求切平面的法向量为：0{,,}{5,1,1}x y zM n F F F '''==，切平面方程为：560.x y z ++-=23x zF z x y z x F x '∂+=-=-'∂，2y zF zx y F '∂=-=-'∂，0(1,2)5.M M z z dzdx dy dx dy x y ∂∂∴=+=--∂∂ 4. （本小题6分）计算三重积分22x y dxdydzΩ+，其中Ω是由柱面21y x =-0,0y z ==，4x y z ++=所围成的空间区域. 解题过程是：利用柱面坐标变换，22x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰14(cos sin )2000r d r dr dz -+=⎰⎰⎰πθθθ 12300[4(cos sin )]d r r dr =-+⎰⎰πθθθ04141[(cos sin )].3432d =-+=-⎰ππθθθ5. （本小题6分）求(2)x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为曲面22(01)z x y z =+≤≤，方向取下侧.解题过程是：补2211,(,){1}.z x y D x y ∑=∈=+≤上：∑与1∑上所围立体为20201, 1.r r z Ω≤≤≤≤≤≤：，θπ 由高斯公式，得1(2)(201)x z dydz zdxdy dxdydz Ω∑+∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰上下2211332r d rdr dz ππθ==⎰⎰⎰， (2)x z dydz zdxdy ∑∴++=⎰⎰13(2)2x z dydz zdxdy π∑-++⎰⎰上3012Ddxdy π=--⎰⎰3.22πππ=-=6. （本小题7分）求幂级数211nn n x n∞=+∑的收敛域及和函数.解题过程是：因为1lim nn n a R a →∞+=2211lim 1(1)1n n n n n →∞++==++，故收敛区间为(1,1)-； 1±=x 时，极限21lim 0n n n→∞+≠，级数均是发散的；于是收敛域为(1,1)-，211()n n n S x x n ∞=+=∑1n n nx ∞==∑1nn x n∞=+∑10011n x x n n n x x nx dx dxn ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰0111x x x dx x x '⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭⎰2ln(1),(1,1).(1)x x x x =--∈--7. （本小题7分）例1 计算22()I xy dS∑=+⎰⎰，∑为立体221x y z +≤≤的边界. 解题过程是：设12∑=∑+∑，其中1∑为锥面22,01z x y z =+≤≤，2∑为221,1z xy =+≤部分，12,∑∑在xoy 面的投影为:D 221x y +≤.22112z z dS dxdy dxdyx y ⎛⎫∂∂⎛⎫=++= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，2dS dxdy=，22()I x y dS ∑∴=+⎰⎰122()x y dS ∑=++⎰⎰222()xy dS ∑+⎰⎰22()2Dx y dxdy =+⎰⎰22()Dx y dxdy++⎰⎰22(21)()Dx y dxdy =+⎰⎰2130(21)(21).2d r dr ππθ==⎰⎰四．证明题（8分）.设函数(,)f x y 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2221()[()1]Ly f xy x y f xy I dx dy y y+-=+⎰，（1）证明曲线积分I 与路径L 无关; （2）当cd ab =时，求I 的值.证明: (1)记21()(,)y f xy P x y y +=，22[()1](,)x yf xy Q x y y -=，;1)()()](]1)([);(1)()](1[])()(2[22322222y xy f xy xy f y xy f y x xy f y x Q xy f xy y xy f y xy f y y x xy f y xy yf y P -'+='⋅+-=∂∂'+-=+-⋅'+=∂∂P Q y x∂∂∴=∂∂成立，积分I 与路径L 无关.（2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点(,)a b 起至点(,)c b ，再至终点(,)c d ，则(,)(,)(,)(,)(,)(,)c b c d a b c b I P x y dx Q x y dy =+⎰⎰21[()][()]cda ccbf bx dx cf cy dy b y=++-⎰⎰ ()()cb cd ab cb c a c c f t dt f t dt b d b -=+++-⎰⎰()().cd ab c a c af t dt ab cd d b d b=-+==-⎰2009—2010学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题（6530⨯=分分）1. 若向量,,a b c 两两互相垂直，且5,12,13a b c ===，则132.a b c ++=2．设函数22sin y z xy x=，求2.z z x y zx y∂∂+=∂∂3. 设函数(,)f x y 为连续函数, 改变下列二次积分的积分顺序：2221212201(,)(,)(,).y xx y dy f x y dx dx f x y dy f x y dy --=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4. 计算(1,2)2(0,0)7()(2).2y y I e x dx xe y dy e =++-=-⎰5. 幂级数213nnn nx ∞=∑(3,3).-6. 设函数2()()f x x x x πππ=+-<< 的傅里叶级数为：01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数32.3bπ=二、选择题（4520⨯=分分）1．直线11321x y z --==-与平面342x y z +-=的位置关系是( A )(A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直.2.设函数22(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y （ C ）(A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值；(C) 在(2,2)-点有极大值； (D) 无极值.3. 设L 是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L 的方向为逆时针方向，则22Lxdy ydxx y-=+⎰（ C ） (A) 0； (B)π； (C) 2π； (D) 2π-.4. 设a 为常数，则级数21sin n nan n ∞=⎛ ⎝∑（ B ）(A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与a 值有关.三、计算题 (7+7+7+7+6+8=42分)1. 设224,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论(,)f x y 在原点(0,0)处是否连续，并求出两个偏导数(0,0)xf '和(0,0)yf '. (7分) 解：令422442,lim (,)lim 1y y ky k x ky f ky y k y y k →→===++，随k 的取值不同，其极限值不同，00lim (,)x y f x y →→∴不存在，故(,)f x y 在原点不连续；00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--'===∆∆， 00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→+∆--'===∆∆.2. 计算222I x y z dxdydzΩ=++其中Ω是由上半球面222z x y =--和锥面22z x y =+所围成的立体 . (7分) 解：作球面坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos .x y z ρϕθρϕθρϕ=== 则2sin dxdydz d d d ρϕθϕρ=， :02,0,02.4πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤222I x y z dxdydz Ω=++2234000sin (22).d d d ππθϕϕρπ==-⎰⎰⎰3. 求锥面22z x y =+被柱面222x y x +=所割下部分的曲面面积 .（7分）解：锥面∑：22,(,)xy z x y x y D =+∈=22{2}.x y x +≤22xz x y'=+22yz x y '=+ 22122.xyxyx y D D S dS z z dxdy dxdy ∑''∴==++==⎰⎰4. 计算曲面积分222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰，其中∑是由22z x y =+，221xy +=，0,0,0x y z ===围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）解：设Ω为∑所围立体，222,,,P z x Q x y R y z ===222,P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂由Gauss 公式，222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰222()xy z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰作柱面坐标变换：cos ,sin ,.x r y r z z θθ=== 则dxdydz rd drdzθ=，2:0,01,0.2r z r πθΩ≤≤≤≤≤≤ 2122205().48r I d rdr r z dz πθπ∴=+=⎰⎰⎰5.讨论级数312ln n n n∞=∑的敛散性. （6分）解：543124ln ln lim lim0,n n n nn nn→∞→∞⋅==312ln n nn ∞=∴∑收敛 .6. 把级数121211(1)(21)!2n n n n xn -∞--=--∑的和函数展成1x -的幂级数.（8分）解：设级数的和函数为()S x ，则 121211(1)()(21)!2n n n n S x x n -∞--=-=-∑2111(1)sin (21)!22n n n x x n --∞=-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑，(,).x ∈-∞+∞即111111()sin sin sin cos cos sin2222222x x x x S x ---⎛⎫⎛⎫==+=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭201(1)1sin 2(2)!2n n n x n ∞=--⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑2101(1)1cos 2(21)!2n n n x n +∞=--⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭∑2201(1)sin (1)2(2)!2nnnn x n ∞=-=⋅-⋅∑212101(1)cos (1),(,).2(21)!2n n n n x x n ∞++=-+⋅-∈-∞+∞+⋅∑四、设曲线L 是逆时针方向圆周22()()1,()x a y a x ϕ-+-=是连续的正函数，证明：()2()Lxdy y x dx y ϕπϕ-≥⎰. （8分）证明：设22:()()1,D x a y a -+-≤由Green 公式， ()()()LDxdy Q P y x dx dxdy y x y ϕϕ∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰1(())()Dx dxdy y ϕϕ=+⎰⎰（而D 关于y x =对称）1(())()Dx dxdy x ϕϕ=+⎰⎰1[2()]22.()D Dx dxdy dxdy x ϕπϕ≥⋅==⎰⎰⎰⎰即 ()2()Lxdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰.2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期末考试A 卷参考答案一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz =++=设则dy dx +3 .2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则dx x x f dy y⎰⎰11 0),(=)1cos 1(21-.3．设函数21cos ,0()1,0xx f x xx x πππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x 为的()f x 的傅里叶级数的和函数，则(3)s π-= 212π+ .4．设曲线C 为圆周222R y x =+,则曲线积分ds x y x C⎰+）—（322=32R π . 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1. 设直线L 为32021030,x y z x y z ++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z -+-=,则（ C ） .(A) L 平行于平面π (B) L 在平面π上(C) L 垂直于平面π (D) L 与π相交，但不垂直 2．设有空间区域2222:x y z R Ω++≤，则222x y z dvΩ++等于（ B ）.(A) 432R π (B) 4R π (C) 434R π (D) 42R π 3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A)∑∞=+-1)1()1(n nnn n (B) ∑∞=+-+11)1(n nn n(C) nn e n -∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(n n nn4. 设∑∞=1n na 是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A ）若∑∞=1n na 收敛，则∑∞=12n na 也收敛（B ）若∑∞=1n na 收敛，则11+∞=∑n n na a 也收敛（C ）若∑∞=1n na 收敛，则部分和nS 有界（D ）若∑∞=1n na 收敛，则1lim 1<=+∞→ρnn n a a 三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分） 1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y xf u +=，求yx u ∂∂∂2.解：212f xyf xu+=∂∂)()(22222121211212f f x f f x xy xf yx u++++=∂∂∂221221131)2(22f f x xy yf x xf++++=2．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y xx L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=T ，)2,1(51=T52cos ,51cos ==βα13|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy yzy x z 函数在点（1,2）沿)2,1(=T 方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T3．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y xy x D .解dxdy xy dxdy y xdxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()(223000d r dr πθ=+⎰⎰ =π84. 设立体Ω由锥面22z x y =+及半球面2211z x y =+--围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量. 解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ 法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 204020r ：质量M =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydz z k dxdydz z y x ||),,(ρk =drr r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 204020⎰⎰⎰ 76kπ= . 法2：222222:1,:11D x y x y z x y ⎧+≤⎪Ω⎨+≤≤--⎪⎩(,,)||M x y z dxdydz k z dxdydzρΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰22111076r rkk d dr ππθ+-==⎰⎰⎰.法3：1222017||(1(1)).6kM k z dxdydz z z dz z z dz πππΩ==+--=⎰⎰⎰⎰⎰5．计算曲线积分⎰+++-=Cyx dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=Cdyx y dx y x I 1)()(dxdy y Px Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x .6. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x的外侧．解：利用高斯公式，dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydz x ⎰⎰⎰Ω+2dxdydzz y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222.154sin 31104020πϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r d d 7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数 .解:幂级数的收敛半径1=R ，收敛域为)1,1[-0≠x 时，1111)(+∞=∑+=n n x n x xS =01x nn x dx ∞=∑⎰01x n n x dx ∞==∑⎰0ln(1)1xxdx x x x==----⎰0=x 时，0)0(=S ，⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=∴00)1,0()0,1[)1ln(1)(x x xx x S四．证明题（本题4分）证明下列不等式成立：π≥⎰⎰Dx y dxdy ee ，其中}1|),{(D 22≤+=y x y x .证明：因为积分区域关于直线x y =对称， ⎰⎰⎰⎰=DDyxxy dxdy e edxdy e e⎰⎰=∴D x y dxdy e e 21）（⎰⎰⎰⎰+D D y xxy dxdy ee dxdy e e =π=≥+⎰⎰⎰⎰dxdy dxdy e e e e D y xx y 221(21）五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为},75:),{(22≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为.75),(22xy y x y x h +--= （1）设),(0y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(0y x g ，试写出),(0y x g 的表达式。

2009年江苏高考数学试题及参考答案（详解详析版）

2009年江苏⾼考数学试题及参考答案（详解详析版）2009年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的⽅差221111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中⼀、填空题：本⼤题共14⼩题，每⼩题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．. 1.若复数1 2429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★.【答案】20- 【解析】略2.已知向量a 和向量b 的夹⾓为30，||2,||==a b a 和向量b 的数量积= a b ★ .【答案】3【解析】232=?= a b 。

3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为★ .【答案】(1,11)- 【解析】2()330333(11)(1)f x xx x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

4.函数s i n ()(y A x A ω?ω?=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所⽰，则ω= ★ .【答案】3 【解析】32T π=，23T π=，所以3ω=， 5.现有5根⽵竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中⼀次随机抽取2根⽵竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为★ . 【答案】0.2 【解析】略6.某校甲、⼄两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学⽣进⾏投篮练习，每⼈投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的⽅差中较⼩的⼀个为s =★ .【答案】25【解析】略7.右图是⼀个算法的流程图，最后输出的W = ★ .【答案】22 【解析】略8.在平⾯上，若两个正三⾓形的边长的⽐为1：2，则它们的⾯积⽐为1：4，类似地，在空间，若两个正四⾯体的棱长的⽐为1：2，则它们的体积⽐为★ . 【答案】1：8 【解析】略9.在平⾯直⾓坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第⼆象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为★ . 【答案】(2,15)- 【解析】略 10.已知12a-=，函数()xf x a =，若实数,m n 满⾜()()f m f n >，则,m n 的⼤⼩关系为★ . 【答案】m n < 【解析】略 11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ?则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =★ .【答案】4【解析】由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ?知4a >，所以c =4。

2009级高等数学(下)期中试卷参考解答

2009级《高等数学》（下）期中试卷参考解答（考试时间 120分钟）班级姓名学号成绩一（10分）设函数()x,y f 在点(1,1)处可微，且()(,)(,),11111112,3,f f f ,x y∂∂===∂∂()()(x)f x,f x,x ϕ=，求()1d d 3=x x xϕ。

解：()()()()1111111===,f ,,f f ϕ，1分 ()()()()()()()()()()()()3133113122212d d 分d d 312323516分x x x x x x x x f x,f x,x f x,f x,x f x,x f x,x x ϕϕϕϕ⎡⎤=⎢⎥==⎣⎦''''⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦==⋅++=⎡⎤⎣⎦ 二（10分）设(,,)u f x y z =有连续偏导数，()()和y y x z z x ==分别由方程0xye y -=和0z e xz -=所确定，求dudx。

解：123z du dy d f f f dx dx dx '''=++ 4分1231xy xy z ye z f f f xe x e'''=---- 6分三（10分）求曲面22z x y =+垂直于直线2122x z y z +=⎧⎨+=⎩的切平面方程。

解：直线方向向量 10222012i j ks i j k ==--+r r r r r r r, 2分切平面法向量 (2,2,1)n x y =-r ，由n s r rP 得221221x y -==--，切点为（1,1,2） 4分切平面方程为 2(1)2(1)（z-2）=0x y -+--，即22z-2=0x y +- 4分四（10分）在圆锥面22y x z +=与平面2=z 所围成的锥体内作底面与xOy 面平行的长方体，求最大长方体的体积。

解设长方体的一个顶点),,(z y x M 在锥面上，则长方体的体积)0,0,0()2(4>>>-=z y x z xy V ， 2分引进拉格朗日函数(,,,)4(2)(F x y z xy z z λλ=-+，令 0)2(422=+λ--=yx x z y F x0)2(422=+λ--=y x y z y F y04=λ+-=xy F z022=+-y x z 5分得唯一驻点为 )34,232,232(，依题意必有最大值，从而长方体的最大体积为 2764)342()322(42=-=V 3分五（10分）计算二重积分σd y x D ⎰⎰-+122，其中}10,10),({≤≤≤≤=y x y x D 。

2009—数二真题标准答案及解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、选择题： 1〜8小题，每小题 4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上3X — X(1)函数f X的可去间断点的个数为()sin nxA 1.B 2.C 3.D 无穷多个.(2)当 xr 0时，f x 二 x-sinax 与 g x = x 21n 1-bx 是等价无穷小，则()-. B a=1,b 二丄. C a = —1,b = —】.D a = —1,b=〕 6 6 6 6C 是f x,y 的极大值点.D 是f x,y 的极小值点.2224 今(4)设函数 f x, y 连续，贝V * dx % f x,y dy 亠 i dy * f x, y dx 二()24—24亠A , dx 1f x,y dy . B M dx x f x, y dy .24-y22C J dy 1f x,ydx.D . 1 dy y f x,y dx(5)若「x 不变号，且曲线y = f x 在点1,1上的曲率圆为x 2y^2，则f x 在区间1,2内()A 有极值点，无零点.B 无极值点，有零点C 有极值点，有零点.D 无极值点，无零点(6)设函数y 二f x 在区间〔-1,3 1上的图形为(3)设函数z = f x, y 的全微分为 dz = xdx ydy ，则点 0,0 ( A 不是f x, y 的连续点. B 不是f x,y 的极值点.则函数)x(7)设A , B均为2阶矩阵, B*分别为A , 的伴随矩阵为( )O* <2 A*3BO *QAO* <2B*3AO 3BXB的伴随矩阵若A =2, B = 3，则分块矩阵*2BO*2AOO<BAo」h 0 O '(8)设A, P 均为3阶矩阵，p T 为p 的转置矩阵，且 P T AP= 0 1 0，若 <0 0 2>P =(耳，a 2, a 3), Q =(□ 1+^2,^2, a 3),则 Q T AQ 为( ‘210、■q 1 0A(A ). 1 1 0 (B ). 1 2 0 0 2」 <0 0 2」'2 0 0 ^广 1 0 0、 (C ) 0 1 0 (D ). 0 2 0 1° 0 2」1° 0 2>9-14小题，每小题、填空题: 4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上 x= 1_t e -u2du (9)曲线 • 0 在(0, 0)处的切线方程为 __________________ 2 2y =t ln(2 -t ) (10) 已知+=1,则 k = _________________ . —oO (11) lim e^ sin nxdx = _______________ .n ^C ^0 (12)设y 二y(x)是由方程xy e^x 1确定的隐函数，则 —y 二 ________________ x =0(13)函数y =x 2x 在区间01 1上的最小值为 ____________ . ‘2 0 (14)设％ B 为3维列向量，P T 为B 的转置，若矩阵T 相似于0 0.0 0三、解答题：15 -23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上演算步骤. 亠心、卄八八亠丄"口 (1—cosx )〔x T n(1+ta nx)】(15)(本题满分9分)求极限lim 4.X T sin x.解答应写出文字说明、证明过程或(16)(本题满分10分) 计算不定积分ln(1 (x 0).(17)(本题满分10分) 设Z — 其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与二(18)(本题满分10 分)设非负函数y = y x ][X _ 0满足微分方程xy ^-^y 2=0 ,当曲线y = y x 过原点时，其与直线 x =1及y =0围成平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积.- 2 2(19) (本题满分 10 分)计算二重积分 JJ(x —y)dxdy ，其中 D ={(x, y |(x —1) +(y —1)兰 2,D(20) (本题满分12分)原点，当0岂x ：：：-：时，函数y(x)满足目目x = 0求y(x)的表达式. (21)(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数 f x 在La, b 1上连续，在 a,b 可导，则存在匚三\ a,b ，使得f b -f a 二f b-a ；，Z1 -1 -1 '(22)(本题满分11分设A =-11 1,_1 _1<0 -4 -2 丿1一2」(【)求满足A 2二1, A 23二1的所有向量2, 3 ；(n)对(I)中的任一向量 2, 3，证明：\, 2, 3线性无关(23)(本题满分 11 分)设二次型 f x 1, x 2, x 3 =axf ax |a-1 x ； 2^x^ 2x ?x 3(I)求二次型f 的矩阵的所有特征值；2 2(n)若二次型f 的规范形为y 1 y 2，求a 的值.设y = y(x)是区间(-二,"：)内过点(-Tt JI2，2)的光滑曲线, 当-二：::x 0时，曲线上任一点处的法线都过(n)证明：若函数f x 在x 二0处连续，在0,「〔心＞ 0内可导，且lim 「x = A ，则f. 0存在,2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.3X — x(1)函数f X 的可去间断点的个数为( )sin nxA 1.B 2.C 3. D无穷多个.【答案】C【解析】3X —Xf x :s i nx则当x取任何整数时，f x均无意义故f (x )的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是x -x3=0的解々2,3 = 0,±1..x —x .. 1 —3x 1lim limx ]0sin 二x x r°二cos二x 二..x —x3广 1 —3x2 2lim limx 1sin 二x x_4 二cos二x ■:..x -x3 1 -3x2 2lim limx-；1sin 二x x_；1二cos二x 二故可去间断点为3个，即0, _1(2)当X—；0时，f x 二x-sinax与g x = x21n 1-bx 是等价无穷小，则( )【答案】A【解析】f(x)二x-sinax,g(x) =x2ln(1-bx)为等价无穷小，则lim 3 x 10g(x)x -sin ax= lim —x 0x2ln(1 -bx)字皿洛讪匕竺^洛limx2(-bx) x io -3bx2x e2 . a sinax-6bxA a=1,b—l6, 1B a",b「.1 1C a 一-1,b.Da- -1,b.6 6另外xm 号空存在，蕴含了 50SaXT°(XTO )故"1.排除D .所以本题选A.A 不是f x,y 的连续点•B 不是f x,y 的极值点•C 是f x, y 的极大值点.D 是f x, y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz = xdx ydy 可得三二x,—Z = y&dy2 2 2A :： Z …；：z ；：Z c c A 2 = 1, B0, CJ"L.、 L 、 "L.、 L 、x :xy：y ：xAC -B 2 =1 0故(0，0)为函数z 二f (x,y)的一个极小值点.2224 今(4)设函数 f x, y 连续，贝V * dx % f x,y dy 亠 i dy * f x, y dx 二()2 4亠B M dx x f x, y dy .2 2D . 1 dy y f x,ydx【解析】1 dx f(x, y)dy 亠i dy f (x, y)dx 的积分区域为两部分：D =「(x,y) 1 Ex 空2,x 空 y 空2l ，D 2 =「(x, y) 1 空 y 乞 2, y 乞 x 空 4 一 yl将其写成一块 D 」(x, y) 1 y 乞2,1乞x 乞4 一 “24刁故二重积分可以表示为1 dy 十f (x, y)dx ，故答案为C.6ba 2sin ax=1 ax6b.a 3二-6b 故排除 B,C .(3)设函数z = f x, y 的全微分为dz =xdx ydy ，则点 0,0(又在(0，0)处,=024 —A d dx 1 f x,y dy .2 4今C J dy 1f x,y dx.【答案】C2 2(5)若f x 不变号，且曲线y =f x 在点1,1上的曲率圆为【答案】 B而 f'(1) =「1，由此可得，f () = —2在［1,2］上，f'(x)乞f'(1) =「1 ：：：0,即f (x)单调减少，没有极值点对于f (2) - f(1) =f '「)：：： -1 . - - (1,2)，(拉格朗日中值定理)f(2) <0而 f(1)=1 0由零点定理知，在［1,2］上，f (x)有零点. 故应选(B )A 有极值点，无零点B 无极值点，有零点C 有极值点，有零点D 无极值点，无零点2 2x y =2，则f x 在区间1,2内(【解析】由题意可知,f(x)是一个凸函数，即f ''(x) ： 0 ,且在点(1,1)处的曲率二|yj 1则函数F x = f t dt 的图形为( )x【答案】形的代数面积为所求函数 F(x)，从而可得出几个方面的特征:1-1,01时，F(x)乞0为线性函数，单调递增【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y = f(x)的图形可见，其图像与 x 轴及y 轴、x =x 0所围的图1-0,11时, F(x) <0，且单调递减. 1,2 时, F(x)单调递增. 12,3 时, F(x)为常函数.x的伴随矩阵为( )* 、 O 3B* \O 2B*(B ). *<2A O 丿<3A O 丿F(x)为连续函数 ⑤由于结合这些特点，可见正确选项为 D .(7)设A ，B 均为2阶矩阵,A ，B 分别为A ，B 的伴随矩阵若A =2, B =3，则分块矩阵IB O 丿x【答案】BJAZ2 0 0 'G 0 0'(C > 0 1 0(D ). 0 2 0<0 0 2」<0 0 2」【答案】 A'O 3A* ''0 2A* ') *(D ). *<2B0 丿3 0 /C P (% 口2,«3)Q = ：（隅+岷, «2,a ; 3），21 0、1 0X(A ). 1 1 0(B ).1 2 0e 0 2<0 0 2>则Q TAQ 为（【解析】Q = (-：1 2, “2,「3 ) = (-“1,鼻2,鼻3 )2, 'I1 010 =（%叫,叫）巳2（1）,即:1【解析】根据 CC^=C E 若 C*=CC ，,C 」1. ■分块矩阵（0的行列式=(- 12*A|B=2 3=6即分块矩阵可逆'"0 IB-6AB1B 32BB J1BBB(8) 设A, P 均为3阶矩阵，p T 为P 的转置矩阵，且 P TAP 二，若Q = P%(1)Q TAQ =[PE i2(1)]TA[PE i2(1)] = E^(1)[P TAP]E i2(1)1 0 0= E ；i (1) 0 1 0 E i2(1)0 0 2^所以切线方程为y=2x .(10)已知 +「e kx dx =1，则 k 二 ___________________—od【答案】-2因为极限存在所以k ::: 0k = -2(11) lime^ sin nxdx 二 ________________ .n ^C L 0【答案】0【解析】令 l n 二 e^sinnxdx 二-e^sinnx n ecosnxdx•x . .x 2.--e sinnx —ne cosnx —nl n110 10 0 10 0 1 0 0 10 00 1 0 12丄0 2 1 0 0 = 11010 0 2、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上 (9)曲线 x 「°e du在(0, 0)y =t 2ln(2 -t 2)处的切线方程为【答案】y=2x【解析】齐2tln(H2t 2-t 2所以dx —=edt(-D t = _1矽=2 dx【解析】1 kx1--kxedx =2bim ：k即 lim ]e 」sinnxdx = lim(-^^0警空更 e 」n _ -■ 0 n 厂【答案】- 3对 y xy y e y=1 再次求导可得 2y xyy e y(y )2e y= 0，x e y(13)函数y =x 2x 在区间01 1上的最小值为 ___________ .2【答案】e^1【解析】因为 y = x 2x 2ln x • 2，令、二0得驻点为x . e又 y"=x 2x (2ln x+2 f +x 2x 2，得 y' 1 ]=2e >0，x \e )1故x 为y = x 2x的极小值点，此时ey x ・0,故y 在I 0,1上递减，在1,1上递增.I e 丿 l e 丿而 y 1 =1， y 」0 = lim x 2x二 lim eI D 十 x T 0十所以i nn cosnx sin nx x 小e — +Cn 21二lim(n —■■=■.：ncosn s叫n 21(12 )设y = y(x)是由方程xy• e ，= x 1确定的隐函数，则r 2y；x 2n 2 1)【解析】对方程 xy ■ e y = x 1两边关于x 求导有 y xy - ye y =11-y x e y2y ' (y)2e y(*)=o 时,(0)二耳=1，代入(*)得e(0)二2y '(0)(y(0))2e 0(0 e 0)3二-(2 1) = -32ln x2l 巴T2xln xe2lim车21x 0 ■ --2lim -2x=e「=1又当x -y x ：：o ； x 丄1 时, 2」21 rx x -In(1 tan x)h 叫222x 0sin x sin x(16)(本题满分10分)【解析】所以y =x 2x 在区间0,1 ］上的最小值为y 2i'2 0 0A (14)设a , B 为3维列向量，P T 为B 的转置，若矩阵aB T相似于 0 0 0 ，则0 ■二卫0 0』【答案】2 ‘2 【解析】因为aB T 相似于0 1° 0 0 0 0 ，根据相似矩阵有相同的特征值, 0 0 J 得到：上T 得特征值是2,0,0而］T ：是一个常数，是矩阵：上T 的对角元素之和，贝y =2 0 ^2 三、解答题：15 -23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上演算步骤. 亠心、卄八八亠丄"口 (1 一 cosx)【x_l n(1+ta nx)］ (15)(本题满分9分)求极限lim 4 . X —0 sin x .解答应写出文字说明、证明过程或1「cosx R 「In(1 tanx) I 4sin x-x 2 [x -ln(1 tanx) 1 sin 4x计算不定积分 "n (1+耳(x 0).1,dx = -2tdt (t 2-1)2Jin (1+£^)dx二 ln(1 t)d 1ln(1 t) t 2-1二 Lt 2-1t 1dt JlimXfJtnx) 2 x ：0sin xT 1 Ldt 」( £dtt -1 t 1 4 t -1 t 1 (t 1) 1 1 1 1n(t -1) In(t 1)2 C 4 4 t 1所以cz czdz dx dyexcy= (f i f 2 yf 3)dx (f i 7 Xf 3)dy（18）（本题满分10分）设非负函数y = y x Mx _ 0满足微分方程xy“ - y* 2 = 0 ,当曲线y = y x 过原点时，其与直线 x =1及y = 0围成平面区域 D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积.【解析】解微分方程肖-讨 2=。

2008-2009年第二学期A2(经管类)高数试卷答案答案

中国矿业大学徐海学院2008－2009学年第二学期《高等数学》试卷（A2）卷答案一、 AADAC二、1. π 2.{(,)0,0}x y x x y >+> 3、24 4、3 5、（1，－2）三、1．（8分）计算二重积分22()D x y dxdy +⎰⎰，其中2222:2,4D x y x x y x +≥+≤。

452π 2．（6分）v u z ln 2=，x y u =，22y x v +=，求x z ∂∂,yz ∂∂。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=)ln(22222232y x y x x xy z x ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=)ln(2222222y x y x y x y z y 3、（8分）将13x+展开成x -2的幂级数. 解：2345234511111...........(1).......................(2)11111122[1()235(2)555515222()()()...........].......................555(2)(1)5n n nn x x x x x x xx x x x x x x x x +-∞==-+-+-+<+--∴===-+-++-+----+-+-=-∑分（4分）或者2(137) (5)x x -<-<<即（2分）4、（8分）计算曲线积分dy y x x y dx x y xy L )3sin 21()cos 2(2223+-+-⎰，其中L 为在抛物线22y x ⋅=π 上由点（0，0）到)1,2(π的一段弧。

解：xQ x y xy y P ∂∂=-=∂∂cos 262，积分与路径无关，故可以换路径为：AB OA →，其中)1,2(),0,2(ππB A 在OA 上：x y ,0=从0变化到2π， 0)3sin 21()cos 2(2223=+-+-⎰dy y x x y dx x y xy OA ；在AB 上：y x ,2π=从0变化到1，4)3sin 21()cos 2(22223π=+-+-⎰dy y x x y dx x y xy AB ；所以：原式=42π。

高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)

高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得 242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。

解：选D 。

()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交。

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重庆大学试卷教务处06版第 1 页共 3 页
重庆大学高等数学（II-II）（补考）参考答案
课程试卷
2008 ~2009 学年第二学期

开课学院：数学与统计学院考试日期： 09，9，3

一．填空题（每小题3分，共15分）
1．设yxz2sin，则yxxyz22cos
2．设xyzarctan，则22yxxdyydxdz
3．微分方程05'4''yyy的通解为xxececy521
4．幂级数nnnxn1!2的收敛域为),(
5．交换二次积分dxyxfdyy010),(的积分次序为110),(xdyyxfdx
二．计算题（每小题7分，共21分）
1．设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，求此平面方程。
解：所求平面的法向量为

)3,2,2(2)6,4,4(214236)2,1,4()2,3,6(kjin
故所求平面方程为 0322zyx
2．设)36,(yxxyfz，f具有二阶连续偏导数，求yxzxz2,
解：216fyfxz，
)3(6]3[2221121112fxffxfyfyxz




3．求曲线10102222zyzx在点)3,1,1(处的切线方程和法平面方程。
解：令 10),,(22zxzyxF，10),,(22zyzyxG
则 )6,0,2()2,0,2()3,1,1(zxnF， )6,2,0()2,2,0()3,1,1(zynG
所以切向量为

)1,3,3(4620602kjinnT
GF

故切线方程为 113231zyx
法平面方程为 0)3()1(3)1(3zyx 即 333zyx

三．计算题（每小题7分，共28分）
1. 计算二重积分dxdyeDyx22，其中 :D 422yx

解：dxdyeDyx22)1(420202eded

2. 计算三重积分zdV，其中由曲面zyx322与平面3z所围成。
解：27)99(21304203330202ddzdzddzdV

3. 计算曲线积分 dsyxRL222，其中L为上半圆弧0,22yRxyx
解：曲线L的参数方程为 )20(sincoscos2RyRx

所以 22022022222sin)2cos()2sin(sinRdRdRRRdsyxRL

命
题
人
：

组
题
人
：

审
题
人
：

命
题
时
间
：

学
院
专
业

年
级
学
号
姓
名
封
线

密
重庆大学试卷教务处06版第 2 页共 3 页
4. 计算曲面积分 dxdyyxdydzxzy)()(，其中为柱面)0(222aayx及

平面5,0zz所围成区域的外侧。
解：由Gauss公式


dvzydxdyyxdydzxzy)()()(

=dzzdda50020)sin(add020)225sin5(
22023
225)425sin3

(adaa


四．计算题（每小题7分，共28分）
1. 判断级数1)1sin1(nnn的敛散性。

解：因为 61sinlim30xxxx，所以61)1(1sin1lim3nnnn
而级数131nn收敛，故1)1sin1(nnn也收敛。
2. 将函数341)(2xxxf展开成)2(x的幂级数。解：521110132116131211121)(xxxxxf 005)2()1(1013)2()1(61nnnnnnnnxx )51()2)(5101361()1(0xxnnnnn 3. 求微分方程221xyxdxdy的通解解：此方程为一阶线性微分方程，所以其通解为 )()2(]2[2121CxxCxdxxCdxexeydxxdxx 4. 求微分方程 xxeyyy26'5''的通解。解：原方程对应的齐次方程为 06'5''yyy 特征方程为 0652rr，特征根为3,221rr 所以对应的齐次方程的通解为xxececy3221 又2是特征方程的单根，所以原方程的特解可设为 xebaxxy2*)( 代入原方程并化减得：1,21ba，所以xexxy22*)21( 故原方程的通解为xxececy3221xexx22)21( 五．应用题( 8分)：设函数)0)((xxy二阶可导且0)('xy，1)0(y，过曲线)(xyy上任一点),(yxP作曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为1S，区间],0[x上以)(xyy为曲边的曲边梯形面积记为2S，并设212SS恒为1，求此曲线)(xyy的方程。
解：曲线)(xyy上点),(yxP的切线方程为
)('xXyyY
该切线与x轴的交点为 )0,'(yyx

'2)]'([2121yyy
y
xxyS
， xdttyS02)(
重庆大学试卷教务处06版第 3 页共 3 页
由条件 1221SS 知 '2yy1)(0xdtty
对x求导并简化得 2)'(''yyy （*）
令py'，则dydppy''，代人（*）得 2pdydpyp，解得yCp1，即yCdxdy1
解得 21CxCey
注意到 1)0(',1)0(yy，可得 0,121CC
故所求曲线的方程为 xey