2012届高三应知应会讲义：平面向量与复数
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是 必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
第十七页，共33页。
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
第二十二页，共33页。
(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC
2012届高考数学平面向量知识导航复习教案
2012届高考数学平面向量知识导航复习教案第四平面向量高考导航考试要求重难点击命题展望1平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景；(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；(3)理解向量的几何表示2向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义3平面向量的基本定理及其坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义；(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条4平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义；(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系；(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；(2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题本重点：1向量的各种运算；2向量的坐标运算及数形结合的思想；3向量的数量积在证明有关向量相等、两向量垂直、投影、夹角等问题中的应用本难点：1向量的直角坐标运算在证明向量垂直和平行问题中的应用；2向量的夹角公式和距离公式在求解平面上两条直线的夹角和两点间距离中的应用向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，同时又是数形结合思想运用的典范，正是由于向量既具有几何形式又具有代数形式的“双重身份”，所以它成为中学数学知识的一个交汇点在高考中，不仅注重考查向量本身的基础知识和方法，而且常与解析几何、三角函数、数列等一起进行综合考查在考试要求的层次上更加突出向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值知识网络41平面向量的概念及线性运算典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量的长度与的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量与向量是共线向量，则A、B、、D必在同一直线上其中真命题的序号是【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；与是共线向量，则A、B、、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错故是真命题的只有①【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可【变式训练1】下列各式：①|a|＝；②(a b) ＝a (b )；③－＝；④在任意四边形ABD中，为AD的中点，N为B的中点，则＋＝2 ；⑤a＝(s α，sin α)，b＝(s β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b)其中正确的个数为()A1B23D4【解析】选D| a|＝正确；(a b) ≠a (b )；－＝正确；如下图所示，= + + 且= + + ，两式相加可得2 ＝＋，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b)所以命题①③④⑤正确题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABD是平行四边形，A、BD交于点，点在线段D上，且= ，点N在线段上,且= ,设=a, =b,试用a、b表示，，【解析】在▱ABD中，A，BD交于点，所以＝12 ＝12( －)＝12(a－b)，＝＝12 ＝12( ＋)＝12(a＋b)又＝13 ，＝13 ，所以＝＋＝b＋13＝b＋13×12(a－b)＝16a＋6b，＝＋＝＋13＝43 ＝43×12(a＋b)＝23(a＋b)所以＝－＝23(a＋b)－(16a＋6b)＝12a－16b【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形【变式训练2】是平面α上一点，A、B、是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足＝＋λ( ＋)，若λ＝12时，则( ＋)的值为【解析】由已知得－＝λ( ＋)，即＝λ( ＋)，当λ＝12时，得＝12( ＋)，所以2 ＝＋，即－＝－，所以＝，所以＋＝＋＝0，所以( ＋)＝0＝0，故填0题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数，使a＋b和a＋b共线【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝(a＋b)＝，所以，共线又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为a＋b和a＋b共线，所以存在实数λ，使a＋b＝λ(a＋b)，所以(－λ)a＝(λ－1)b因为a与b是不共线的两个非零向量，所以－λ＝λ－1＝0，所以2－1＝0，所以＝±1【点拨】(1)向量共线的充要条中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想(2)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线【变式训练3】已知是正三角形BA内部一点，+2 +3 =0，则△A的面积与△AB的面积之比是（）A32B232D13【解析】如图，在三角形AB中，＋2 ＋3 ＝0，整理可得＋＋2( ＋)＝0令三角形AB中A边的中点为E，B边的中点为F，则点在点F 与点E连线的13处，即E＝2F设三角形AB中AB边上的高为h，则S△A＝S△AE＋S△E＝12 E (h2＋h2)＝12E•h，S△AB＝12AB 12h＝14AB•h，由于AB＝2EF，E＝23EF，所以AB＝3E，所以S△AS△AB＝＝23故选B总结提高1向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形2判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出3当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|42平面向量的基本定理及其坐标表示典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图▱ABD中,,N分别是D，B中点已知=a, =b,试用a，b表示，与【解析】易知＝＋＝＋12 ，＝＋＝＋12 ，即所以＝23(2b－a)，＝23(2a－b)所以＝＋＝23(a＋b)【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底表示此处方程思想的运用值得仔细领悟【变式训练1】已知D为△AB的边B上的中点，△AB所在平面内有一点P，满足＋＋＝0，则等于()A13B121D2【解析】由于D为B边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知＋＝2 ，因此结合＋＋＝0即得＝2 ，因此易得P，A，D三点共线且D是PA的中点，所以＝1，即选题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1)(1)u＝3v⇔(2x＋1，3)＝3(2－x，1)⇔(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1(2)u∥v ⇔(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)⇔⇔(2x＋1)－3(2－x)＝0⇔x＝1【点拨】对用坐标表示的向量说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视【变式训练2】已知向量an＝(snπ7，sinnπ7)(n∈N*)，|b|＝1则函数＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2的最大值为【解析】设b＝(s θ，sin θ)，所以＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝(a1)2＋b2＋2(sπ7，sinπ7)(s θ，sin θ)＋…＋(a141)2＋b2＋2(s141π7，sin141π7)(s θ，sin θ)＝282＋2s(π7－θ)，所以的最大值为284题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△AB的角A，B，所对的边分别是a，b，，设向量＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)(1)若∥n，求证：△AB为等腰三角形；(2)若⊥p，边长＝2，角＝π3，求△AB的面积【解析】(1)证明：因为∥n，所以asin A＝bsin B由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b所以△AB为等腰三角形(2)因为⊥p，所以•p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0所以ab＝4或ab＝－1(舍去)所以S△AB＝12absin ＝12×4×32＝3【点拨】设＝(x1，1)，n＝(x2，2)，则①∥n⇔x12＝x21；②⊥n⇔x1x2＋12＝0【变式训练3】已知a，b，分别为△AB的三个内角A，B，的对边，向量＝(2s－1，－2)，n＝(s ，s ＋1)若⊥n，且a＋b＝10，则△AB周长的最小值为()A10－3B10＋310－23D10＋23【解析】由⊥n得2s2－3s －2＝0，解得s ＝－12或s ＝2(舍去)，所以2＝a2＋b2－2abs ＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝100－ab，由10＝a＋b≥2abͤab≤2，所以2≥7，即≥3，所以a＋b＋≥10＋3，当且仅当a＝b＝时，等号成立故选B总结提高1向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起向量方法是几何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟知的向量运算2向量的运算中要特别注意方程思想的运用3向量的运算分为向量形式与坐标形式向量形式即平行四边形法则与三角形法则，坐标形式即代入向量的直角坐标43平面向量的数量积及向量的应用典例精析题型一利用平面向量数量积解决模、夹角问题【例1】已知a，b夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)(a＋2b) •(a＋b)；(3)a与(a＋b)的夹角θ【解析】(1)(a＋b)2＝a2＋b2＋2a•b＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以|a＋b|＝23(2)(a＋2b) •(a＋b)＝a2＋3a•b＋2b2＝16－3×4×2×12＋2×4＝12(3)a•(a＋b)＝a2＋a•b＝16－4×2×12＝12所以s θ＝＝124×23＝32，所以θ＝π6【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题【变式训练1】已知向量a，b，满足：|a|＝1，|b|＝2，＝a＋b，且⊥a，则a与b的夹角大小是【解析】由⊥aͤ•a＝0ͤa2＋a•b＝0，所以s θ＝－12，所以θ＝120°题型二利用数量积解决垂直与平行的问题【例2】在△AB中，＝(2，3)，＝(1，)，且△AB的一个内角为直角，求的值【解析】①当∠A＝90°时，有• ＝0，所以2×1＋3•＝0，所以＝－23；②当∠B＝90°时，有• ＝0，又＝－＝(1－2，－3)＝(－1，－3)，所以2×(－1)＋3×(－3)＝0ͤ＝113；③当∠＝90°时，有• ＝0，所以－1＋•(－3)＝0，所以2－3－1＝0ͤ＝3±132所以的取值为－23，113或3±132【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角【变式训练2】△AB中，AB＝4，B＝，A＝6，求• ＋• ＋•【解析】因为2 • ＋2 • ＋2 •＝( • ＋• )＋( • ＋• )＋( • ＋• )＝•( ＋)＋•( ＋)＋•( ＋)＝• ＋• ＋•＝－42－62－2＝－77所以• ＋• ＋• ＝－772题型三平面向量的数量积的综合问题【例3】数轴x，交于点，且∠x＝π3，构成一个平面斜坐标系，e1，e2分别是与x，同向的单位向量，设P为坐标平面内一点，且＝xe1＋e2，则点P的坐标为(x，)，已知Q(－1，2)(1)求| |的值及与x的夹角；(2)过点Q的直线l⊥Q，求l的直线方程(在斜坐标系中)【解析】(1)依题意知，e1•e2＝12，且＝－e1＋2e2，所以2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1•e2＝3所以| |＝3又•e1＝(－e1＋2e2) •e1＝－e21＋2e1 e2＝0所以⊥e1，即与x成90°角(2)设l上动点P(x，)，即＝xe1＋e2，又⊥l，故⊥，即[(x＋1)e1＋(－2)e2] •(－e1＋2e2)＝0所以－(x＋1)＋(x＋1)－(－2) •12＋2(－2)＝0，所以＝2，即为所求直线l的方程【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年高考的命题趋势【变式训练3】在平面直角坐标系x中，点A(，0)对于某个正实数，存在函数f(x)＝ax2(a＞0)，使得＝λ ( ＋)(λ为常数)，其中点P，Q 的坐标分别为(1，f(1))，(，f())，则的取值范围为()A(2，＋∞)B(3，＋∞)(4，＋∞)D(8，＋∞)【解析】如图所示，设＝，＝，＋＝，则＝λ 因为P(1，a)，Q(，a2)，＝(1，0)，＝(2＋a24，a22＋a24)，＝(2＋a24＋1，a22＋a24)，则直线G的方程为＝a2＋2＋a24x，又＝λ ，所以P(1，a)在直线G上，所以a＝a2＋2＋a24，所以a2＝1－2因为| |＝1＋a2＞1，所以1－2＞0，所以＞2 故选A总结提高1本节是平面向量这一的重要内容，要准确理解两个向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的性质及运算律；数量积不满足结合律，即(a•b) •≠a•(b•)；数量积不满足消去律，即a•b＝a•推不出b＝2通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断两直线是否垂直3向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识，在解决向量与不等式、函数、方程、数列、三角函数、解析几何等综合性问题时，往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径。
高三数学专题复习之平面向量与复数
平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。
复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。
高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。
高考二轮总复习课件(适用于老高考)数学2复数平面向量
△ABC 的内心.
5.找向量的夹角时,需把向量平移到同一个起点.
(1)O 为△ABC 的外心⇔||=||=| |=2sin.
(2)O 为△ABC 的重心⇔ + + =0.
(3)O 为△ABC 的垂心⇔ · = · = ·.
(4)O 为△ABC 的内心⇔a+b+c =0.
易错提醒
1.复数z(z=a+bi,a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.还要注意巧妙运
用参数问题和合理消参的技巧.
2.复数的运算与多项式运算类似,要注意利用i2=-1化简合并同类项.
3.a·b>0是<a,b>为锐角的必要不充分条件;a·b<0是<a,b>为钝角的必要不
充分条件.
,λ∈(0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过
4.若动点 P 满足 = +λ
+
|| ||
3.平面向量基本定理
条件
e1,e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2
基底
若e1,e2不共线,把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
4.两向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作 =a,=b ,则
8.利用数量积求夹角
·
若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角,则 cos θ=|||| =
1 2 +1 2
21 +21 22 +22
.
9.三角形“四心”向量形式的充要条件
高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数 4复数课件
所以ቊ + 2
= 1,
所以 =
2
02
+ 2
+ 12
4
= 2,解得ቊ = 0,或൝ = − 3 ,
= 1,
= 1.
= 1或 =
4 2
−
3
+ 12
=
5
5
.故填1或 .
3
3
（3）已知1 ，2 是方程 2 − 2 + 2 = 0的两个复根，则 12 − 22 =(
结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助,详见本节【常用结论】.②计算
除法的关键是“分母实数化”.③灵活应用待定系数法解题.
变式2（1） （2023年全国乙卷）设 =
B.1 + 2i
√
A.1 − 2i
解： =
2+i
1−1+i
=
i 2+i
i2
2+i
，则
1+i2 +i5
C.2 − i
= 1 − 2i，则 = 1 + 2i.故选B.
3,4
则实数的取值范围为______.
解：因为 = 2 − 4 + 2 − − 6 i，且所对应的点在第二象限，所以
2 − 4 < 0,
ቊ 2
解得3 < < 4.故填 3,4 .
− − 6 > 0,
（2）（2020年全国Ⅱ卷）设复数1 ，2 满足 1 = 2 = 2，1 + 2 = 3 + i，则
2 3
1 − 2 =_____.
解：（方法一）如图所示，设复数1 ，2 所对应的点为1 ，2 ，
(完整版)高中数学平面向量讲义
平面向量 (学生专用 )专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本看法与基本运算（1）向量的基本看法：①向量：既有大小又有方向的量向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量uuur r uuur r r uuur uuur uuur（2）向量的加法：设AB a, BC b ，则a+ b = AB BC = AC① 0 a a 0 a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b= a （6）平面向量的基本定理：若是e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数 1 ,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第1页（1） 平面向量的坐标表示 ：平面内的任向来量rr r rr 。
a 可表示成 axi yj ，记作 a =(x,y) （2）平面向量的坐标运算：rrr rx 1 x 2 , y 1 y 2①若 ax 1 , y 1 , bx 2 , y 2 ，则 a buuur②若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1r =(x,y) ，则 r x, y)③若 a a =(r r r r x 1 y 2 x 2 y 1 0④若 ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a // b r r r r y 1 y 2⑤若 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2r r y 1 y 2⑥若 a b ，则 x 1 x 2【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：已知两个非零向量r rr r r rr ra 与b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）r r规定 0 arr rrr= a b（2）向量的投影： ︱ b ︱ cosr ∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称| a |为射影（3）数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2 a a a | a |（5）乘法公式成立：r r rrr 2 r 2 r 2 r 2 r r 2 r 2r r r 2r 2 r r r 2a b a ba b ab ； a ba 2ab ba2a b b（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：rrr r a bb a②对实数的结合律成立： r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r r r r a b c a cb c c a b第 2页特别注意：（ 1）结合律不成立：r r r r r r ab c a b c ；r rrrr r （ 2）消去律不成立 a ba c 不能够获取b c（rr=0r r r r3） a b 不能够获取 a =0 或 b=0（7）两个向量的数量积的坐标运算：rrrry 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1), b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · b= x 1 x 2r r uuur r uuur r （ 8 ） 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB= （0 0180 0 ） 叫做 向量r 与 r 的夹角abr r r rx 1 x 2 y 1 y 2a ? bcos= cosa ,br r = 2222a ? bx 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量rrr rra 与b 同方向时， θ =0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ，同时 0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0则称 r r r r （9）垂直 ：若是 a 与 b 的夹角为 90 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b（ 10）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ ba ·b ＝ Ox xy y20 平面向量1 21数量积的性质二. 例题解析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出以下六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；rr r r ②若 a b ，则 ab ③在平行四边形 ABCD 中必然有uuur uuurAB DC ；ur r r ur ur ur r r r r r r④若 m n, n p ，则 m p ； ⑤若 a // b ， b // c , 则 a // cr r r r r r r⑥任向来量与它的相反以下不相等. ⑦已知向量 a 0 ，且 a b 0 ，则 b 0r r r r r r r r r r r r⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与 b 方向相同，且 a b ，则 ab ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； 其中正确的命题的序号是第 3页r rr r ruur【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b10 ；求 b 的值 .uur uur r rr r【变式 1】若 a 2 ， b 3 ， a b3 求 a b 的值 .【变式 2】设向量 a ， b 满足 | a|=|b |=1 及 | 3a-2 b|=3 ，求 | 3a+b| 的值r r r rrr r r【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60o ， |a| 3， | b |2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，求 m 的值.rrr r r r【例 4】若向量 a1,2 ， b1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .【 变 式】 设 x, y R, 向 量 a x,1 ,b 1, y , c2, 4 , 且 a c,b // c, 则 a b_______（）A ． 5B ． 10C ． 2 5D ． 10【例 5】已知两个非零向量r rr r rra,b 满足 a ba b ，则以下结论必然正确的选项是（ ）r r r rr r DA a // bB a b Ca br r r r a b a b【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 . （）A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则| a +b |=| a |-| b |C ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ, 使得 a =λbD ．若存在实数 λ, 使得 a =λb , 则| a +b |=| a |-| b |第 4页r r r r r r【变式 2】若平面向量a, b满足 : 2a b 3 ;则 agb 的最小值是_____【例 6】设0,rcosr13 2， a,sin ，b,22r r r r （1）证明 a b a b ；（2）r r r r的值 .当 2a b a2b时求角r rr ra b）【例 7】设a、b都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使r r成立的充足条件是（| a ||b |r r r r r r r rr r A．a b B．a // b C．a 2b D．a // b且| a | | b |【模块二】向量与平面几何【例 1】在△ ABC中， A 90o AB 1, ACuuur uuur 2 ,设P、Q满足 AP AB ，uuur1uuurRuuur uuur2 ，则AQ AC ，BQ CP=（）A 1B2C4D2 333第5页AB2uuur uuur uuur uuur 【变式 1】已知△ ABC为等边三角形，设 P、Q满足AP AB AQ 1AC，，uuur uuur 3，则R BQ CP=（）2A 1B12C 1 10D 3 2 2222uuur uuur【例 2】在△ ABC中 ,AB=2,AC=3,ABgBC = 1则 BC ___ .（）A．3B．7C．2 2D．23uuur uuur uuur【变式 1】若向量BA2,3 , CA4,7 ,则 BC（）A．2, 4B．2,4C．6,10D．6, 10【例 3 】若等边ABC 的边长为2 3 ，平面内一点M 满足CM 1CB2CA ,则63MA? MB________.第6页平面向量 (学生专用 )uuur r uuur r r r r r2 ,则【例 4】ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若CB a,CA b, a b0,| a |1,|b | uuurAD（）A．1r1rB．2r2rC．3r3rD．4r4r a b a b a b5a b 3333555uuur3【例5】在平面直角坐标系中,O (0,0), P(6,8) ,将向量 OP按逆时针旋转后 , 得向量4 uuurOQ ，则点 Q 的坐标是（）A．( 7 2,2) B． (72,2)C．( 4 6, 2)D．( 46, 2)uuur uuur【例 6】在ABC中, M是 BC的中点, AM=3, BC=10,则AB AC =______________.【例 7】在平行四边形中, ∠A= 3, 边、的长分别为2、1.若、分别是边、ABCD AB AD M N BC CD上的点,且满足| BM|| CN | ,则AM AN 的取值范围是_________ .| BC || CD |,【例 8】如图 ,在矩形 ABCD 中, AB 2 ，BC2，点E为 BC 的中点,点F在边 CD uuur uuur uuur uuur上, 若AB g AF 2 ,则 AE g BF 的值是____.第7页平面向量 (学生专用 )9 】已知正方形ABCD 的边长为1, 点 E 是 AB 边上的动点uuur uuur【例, 则DE CB的值为uuur uuur________; DE DC 的最大值为________.【例 10】已知直角梯形ABCD 中，AD// BC ,ADC 900, AD2, BC 1 , P 是腰uuur uuurDC 上的动点，则PA3PB 的最小值为___________uuur uuur uuur【例 11】如图，在VABC中，AD AB , BC 3 BD ,AD 1 ,uuur uuur3.则 AC gAD【例 12】 (15)uuur uuur1uuur1uuur3uuur 在四边形 ABCD中，AB = DC =（ 1，1），uuur BA uuur BC uuur BD ，BA BC BD则四边形ABCD的面积是第8页平面向量 (学生专用 ) uuur uuur【例 13】在VABC中，若AB2,3 , AC 6, 4 ，则 VABC 面积为【例 14】（ 2012 年河北二模）在VABC中，AB 边上的中线CD=6 ，点 P 为 CD 上（与 C,D ）uuur uuur uuur不重合的一个动点，则PA PB .PC的最小值是A 2B 0C -9D -18第9页。
平面向量、复数(解析版)
平面向量、复数【命题趋势】复数及其运算时高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算.一般出现在选择题的第一或者是第二题.平面向量也是高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算.1+1模式.两者结合的综合性题目也是高考填空第三题的一个重要方向.本专题也是学生必回的知识点.通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量.【知识点分析以及满分技巧】复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目.牵涉到知识点也是比较少.主要注重基本运算.特别会求复数类题目可采取答案带入式运算.平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可.平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可.平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合.此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解.【考查题型】选择题，填空【限时检测】（建议用时：45分钟）1．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知i是虚数单位，则复数37izi+=的实部和虚部分别为A．7，3i-B．7-，3C．7-，3i D．7，3-【答案】D【解析】先化简复数z,再确定复数z的实部和虚部.【详解】 由题得2373737731i i i z i i i +--====--，所以复数z 的实部和虚部分别为7和-3. 故答案为：D【名师点睛】(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 注意复数(,)z a bi a b R =+∈的实部是a,虚部是“i”的系数b ，不包含“i”,不能写成bi.2．（2019·河北衡水中学高考模拟（理））已知i 为虚数单位，若复数11ti z i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞ 【答案】B【解析】 由题()()()()1-ti 1-i 1-ti 1-t 1+t z===-i 1+i 1+i 1-i 22．又对应复平面的点在第四象限，可知110022t t 且-+>-<，解得11t -<<．故本题答案选B ． 3．（2019·河南高三月考（理））若1312i i -+与1()2i a ai -的虚部互为相反数，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．1 【答案】D【解析】分别对两个复数进行四则运算化成复数的标准形式，分别得到得复数的虚部，再相加等于0，从而求得a 的值.【详解】因为13(13)(12)5511255i i i i i i -----===--+，所以虚部为1-， 因为1122i a ai a ai ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以虚部为a ， 所以10a -=，即1a =.故答案为：D.【名师点睛】本题考查复数的四则运算，考查对复数概念的理解，考查基本运算求解能力.4．（2018·全国郑州外国语学校高考模拟（理））设复数1z =（i 是虚数单位），则z z z ⋅+的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】 分析：根据共轭复数的定义求得z ，利用复数乘法的运算法则求得212i 3z z ⋅=-=，根据复数模的公式可得结果.详解：因为11z z ==+Q ， 212i 3z z ∴⋅=-=，4z z z ∴⋅+=+，4∴+== A.【名师点睛】：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．（2019·河北高考模拟（理））已知平面向量a r 与b r 的夹角为23π，且1,22b a b =+=r r r ，则a =r （）A ．2B ．1CD ．【答案】A【解析】 根据平面向量数量积的运算法则，将22a b r r +=平方运算可得结果． 【详解】 ∵22a b r r +=，∴2222444a b a b a b +=++⋅=u u r r r r r r （）， ∴244a a b ++r r r cos 23π=4，∴2a =r ， 故选A.【名师点睛】本题考查了利用平面向量的数量积求模的应用问题，考查了数量积与模之间的转化，是基础题目．6．（2019·山西高考模拟（理））在边长为1的正三角形ABC 中,,,0,0BD xBA CE yCA x y ==>>u u u r u u u r u u u r u u u r ,且1x y += ,则CD BE •u u u r u u u r 的最大值为( ) A ．58-B ．38-C ．32-D ．34- 【答案】B【解析】如图所示，建立直角坐标系，则12211(,0),(,0),(0,(,0),(,),222A B C D x E x y -设1111,(,00)(1,0),;22BD xBA x x x x =∴--=-∴=-+u u u r u u u r Q222211,(,(,,;22CE yCA x y y x y y y =∴-=-∴=-=u u u r u u Q u r211(,(1)(1)222x CD BE x x x x ⋅=-+⋅-+=--+u u u r u u u r ，因101,2x x <<∴=当时 函数取得最大值3.8-故答案为C. 7．（2019·福建厦门一中高考模拟（理））已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ） A ．1 BC．2 D ．2【答案】C【解析】 根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果.【详解】 i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112i a bi i +==+- 根据复数相等得到1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.121()22b a == 故答案为：C.【名师点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi +与i c d +相等的充要条件是a c =且b d =．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．8．（2019·安徽高考模拟（理））已知复数z 满足(1i)2i z -=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而得答案．【详解】 ()()12i z i -=-Q ,()()()()22122311122i i i i i i z i i i -+-+-+∴====--+, 则在复平面内对应的点的坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，位于第一象限．故选A ． 【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9．（2019·河北辛集中学高三期中（理））已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“点M 在第四象限”是“a ＝1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】把复数的表示形式写成标准形式，根据复数在第四象限，得到复数的坐标所满足的条件，横标大于零，纵标小于零，得到a 的取值范围，得到结果．【详解】解：∵复数z ＝（a ﹣2i ）（1+i ）＝a +2+（a ﹣2）i ，∴在复平面内对应的点M 的坐标是（a +2，a ﹣2），若点在第四象限则a +2＞0，a ﹣2＜0，∴﹣2＜a ＜2，∴“点M 在第四象限”是“a ＝1”的必要而不充分条件，故选：B ．【名师点睛】本题考查充要条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．10．（2019·广东高考模拟（理））在ABC △中，1CA =，2CB =，23ACB π∠=，点M 满足2CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MA MB ⋅=u u u r u u u rA ．0B ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】首先根据已知取基底CA u u u r ，CB →，然后用基底表示MA u u u r 和MB u u u r ，最后代入进行数量积运算即可.【详解】由题可得：=(2)MA CA CM CA CB CA CB CA -=-+=--u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，=(2)2MB CB CM CB CB CA CA -=-+=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2()(2)2+2MA MB CB CA CA CB CA CA ⋅=---=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 由于1CA =，2CB =，23ACB π∠=， 则2=cos ,12cos 13CB CA CB CA CB CA π⋅=⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，22==1CA CA u u u r u u u r ， 所以2=2+2=2+2=0MA MB CB CA CA ⋅⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故答案选A【名师点睛】本题以三角形为背景，把平面向量的线性运算以及数量积运算巧妙的结合在一起，属于中档题.11．（2019·山东高考模拟（理））已知复数(i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2y x =上，则实数a 的值为（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．13- 【答案】D【解析】 根据复数的乘法运算，计算z ，根据对应点在在直线上可得出a .【详解】因为(i)(1i)1(1)z a a a i =+-=++-，对应的点为(1,1)a a +-，因为点在直线2y x=上，所以12(1)a a -=+，解得13a =-. 故选D. 【名师点睛】本题主要考查了复数的运算，复数对应的点，属于中档题.12．（2019·河南高考模拟（理））已知复数1221i z iz i+=++，则z =（ ）A ．2BCD 【答案】A【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】由题()()()()()()123121217z 11233310i i i i i i i i i i +++++====+---+故z =2故选：A【名师点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（2019·河南省实验中学高考模拟（理））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．,p p 24D ．,p p 34【答案】C 【解析】因为i i i i i i z --=--=--+---=+-=12)1(2)1)(1()1(212，所以2=z ，i i z 2)1(22=--=，共轭复数为i z +-=1，z 的虚部为1-，所以真命题为42,p p 选C.14．（2019·广东高考模拟（理））复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程()260z z b b R -+=∈的根，则b 的值为（ ）A B ．13 C D ．5【答案】B【解析】利用实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解．【详解】∵132z i =+是方程z 2﹣6z +b ＝0（b ∈R ）的根， 由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，232z i =-为方程另一根，则b ＝（3+2i ）（3﹣2i ）＝13．故选：B ．【名师点睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．15．（2019·山东高考模拟（理））已知i 为虚数单位，且复数z 满足1z 2i 1i-=- ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ）A ．132BCD ．52【答案】B【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标，则答案可求．【详解】由121z i i-=-，得1115221(1)(1)22i z i i i i i i +=+=+=+--+，∴复数z 在复平面内的点的坐标为15,22⎛⎫⎪⎝⎭2=． 故选：B ． 【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．16．（2019·黑龙江铁人中学高三期中（理））在ABC ∆中，0,2,AB BC AB BC •===u u u r u u u r u u u r u u u rD 为AC 的中点，则BD DA •u u u r u u u r=( )A ．2B ．-2C ．D ．-【答案】B 【解析】∵D 为AC 的中点∴1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，11()22DA CA CB BA u u u v u u u v u u u v u u u v ==+∵•0,2,AB BC AB BC ===u u u v u u u v u u u v u u u v∴221111()()()(412)22244BD DA BA BC CB BA BA BC ⋅=+⋅+=-=-=-u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 故选B.17．（2019·天津一中高考模拟（理））如图，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD yAE x y R =+∈u u u r u u u r u u u r、，则x y +的取值范围是（ ）A．1,4⎡+⎣ B．4⎡-+⎣C．1,2⎡+⎣D．2⎡⎣【答案】B 【解析】连接AM 并延长分别交圆M 于Q T 、，连接DE ，DE 与AM 交于R ，显然1122AR AD AE u u u r u u u r u u u r=+，此时1x y +=，分别过Q T 、作DE 的平行线，由于01,120AD AE BAC ==∠=，则2,AM DM ==，则2AQ =，12AR =，(4(2(22AQ AR AD AEu u u r u u u r u u u r u u u r ==-=+-，此时4x y +=- ，同理可得：(2(2AT AD AE u u u r u u u r u u u r=++，4x y +=+，选B .【名师点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P 在等和线DE 上1x y +=去求x y +的取值范围，由于点P 是圆M 及其内部任意一点，所以分别过Q T 、作圆的切线，求出两条等和线的x y +值，就可得出x y +的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.18．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知向量(3,1)OA =u u u r ，(1,3)OB =-u u u r，(0,0)OC mOA nOB m n =->>u u u r u u u r u u u r ，若[1,2]m n +∈，则||OC u u u r的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【详解】(3,3)OC m n m n =+-u u u r,所以||,(,)OC P m n ===u u u r为可行域12,0m n m n ⎧≤+≤⎩>⎨内一点,可行域为一个梯形ABCD (去掉线段,BC AD )及其内部(1,0),(0,1),(0,2),(2,0)A B C D ,所以,22O AB OP d OP OD -≥=<= ,从而2)OC ∈=选B. 【名师点睛】：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值 取法的值域范围. 二、填空题19．（2019·天津市武清区杨村第一中学高考模拟（理））在四边形ABCD 中，已知M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=︒，若点N 在线段CD 上，则NA NB ⋅u u u r u u u r的取值范围是______.【答案】3[,0]4-【解析】根据平面向量的加法的几何意义, 可得,,NA NM MA NB NM MB =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r计算出NA NB ⋅u u u r u u u r 的表达式,最后根据NM u u u u r 的大小,可以求出NA NB ⋅u u u r u u u r 的取值范围.【详解】2()()NA NB NM MA NM MB NM NM MB MA NM MA MB ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r，2()NA NB NM NM MB MA MA MB ⇒⋅=+⋅++⋅u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，M Q 是AB 边上的点，1MA MB ==，所以0,1MB MA MA MB +=⋅=-u u u r u u u r r u u u r u u u r，因此21NA NB NM ⋅=-u u u r u u u r u u u u r ， °120,1MC C D D M M =∠==∴Q 在等腰CMD ∆中,点M 到线段CD 上的一点N的距离最大值为1,取最小值时,N 为CD 的中点,此时°1cos cos602MN CMN CM CM =∠⋅=⋅=, 所以21NA NB NM ⋅=-u u u r u u u r u u u u r 的取值范围为: 3[,0]4-.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的取值问题,利用平面向量的加法的几何意义是解题的关键.20．（2019·福建三明一中高三期中（理））已知平面内三个不共线向量,,a b c r r r两两夹角相等，且13a b c r r r ＝＝，＝，则a b c ++r r r＝_______. 【答案】2【解析】先得到夹角均为23π，再计算24a b c ++=r r r ，得到答案.【详解】由平面内三个不共线向量,,a b c r r r两两夹角相等，可得夹角均为23π所以2222222a b c a b b c a b c a c ++=⋅⋅⋅r r r r r r r r r r r r ＋＋＋＋＋＝1＋1＋9＋2×1×1×2cos 3π＋2×1×3×2cos 3π＋2×1×3×2cos 3π＝4，所以2a b c ++=r r r故答案为：2【名师点睛】本题考查了向量的模，平方所求值再计算是解题的关键，意在考查学生的计算能力.21．（2019·甘肃兰州一中高三期中（理））已知向量,,a b c r r r 满足4,,,4a b a b π==〈〉=r rr r ()()·1c a c b --=-rr r r ，则c a -r r 的最大值为_______.1 【解析】设,,OA a OB b OC c ===u u u ru u ur u u ur r r r，以OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系4,a b a b ==Q r r r r 与的夹角为π4，则()()()4,0,2,2,,A B C x y 设，()()2216290c a c b x y x y -⋅-=-∴+--+=r r r r Q ，即()()22311x y -+-=表示以()3,1为圆心，1为半径的圆，c a -r r表示点A ，C 的距离，即圆上的点与A ()4,0的距离，因为圆心到A ，所以c a -r r1．22．（2019·上海复旦附中高三）已知点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB ==u u u r u u u r ，则·AO BC =u u u r u u u r ．【答案】6【解析】试题分析：由题点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB ==u u u r u u u r，则()cos ,cos ,AO BC AO AC AB AO AC AO AB AO AC AO AC AO AB AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=⋅〈〉-⋅〈〉u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()11144226222AC AC AB AB =⋅⋅-⋅⋅=⨯-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r 考点：平面向量数量积的运算23．（2019·北京清华附中高三月考）在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 ．【答案】2918【解析】在等腰梯形ABCD 中,由AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .考点：平面向量的数量积.24．（2019·江苏高考真题）如图，在V ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是_____.【解析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值. 【详解】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g 22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ， 得2213,22AB AC =u u u r u u u r即,AB =u u u r u u r故ABAC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.24．（2019·浙江高考真题）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】0【解析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r，AB u u u r •AD =u u u r0，()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB ADλ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v()()2212345613562456AB BC CD DA AC BD AB ADλλλλλλλλλλλλλλ+++++=-+-+-++ ()()2213562456λλλλλλλλ=-+-+-++()()2213562456λλλλλλλλ≤++-++++()()22565622λλλλ=+-+++()()()225656565684λλλλλλλλ=+-+++-++()225682λλ=++12=+1220=+=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正.比如1234561,1,,1,1,11λλλ=-λλ=-=λ===则123456maxAB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 【名师点睛】：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.。
平面向量和复数-高三高考数学二轮复习教学PPT课件
考向1 平面向量的线性运算
1．混淆向量共线与向量垂直的坐标表示
复数的除法运算，共轭复数的概念；
掌握复数代数形式运算的方法
(1)a·b＝b·a(交换律)．
C．1－i
D．1＋i
1．平面向量数量积的性质及其坐标表示
2．求两向量夹角应注意
A．－1－i
B．－1＋i
● 考向1 平面向量的线性运算
1．(2020·吉林省重点高中第二次月考)如图，若O→A＝a，O→B＝b，O→C
－ 3)，|b|＝2，则|a－b|＝
( B)
A．2
B．4
C．8
D．16
【解析】 ∵a＝(1，－ 3)，∴|a|＝2，又向量 a 与 b 方向相反，且
|b|＝2，∴a＝－b，∴|a－b|＝2|b|.故选 B．
4．(2020·山东省德州市期末)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，(a－
b)·(a＋3b)＝－13，则 a 与 b 的夹角为
＝c，B 是线段 AC 靠近点 C 的一个四等分点，则下列等式成立的是
A．c＝23b－16a
B．c＝43b＋13a
( C)
C．c＝43b－31a
D．c＝32b＋16a
【解析】 c＝O→C＝O→B＋B→C＝O→B＋13A→B＝O→B＋13(O→B－O→A)＝34O→B－ 13O→A＝43b－31a.故选 C．
● (2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运 算转化为代数运算来解决．
λ
7 的值为__1_2__.
【解析】 ∵A→P⊥B→C，∴A→P·B→C＝(λA→B＋A→C)·(A→C－A→B)＝－λA→B2＋
A→C2＋(λ－1)A→C·A→B＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×－12＝0，解得 λ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家
高考资源网版权所有，侵权必究。 www.ks5u.com
平面向量与复数
一、考试说明要求：
序号 内容
要求
A B C
1
平面向量的概念
√
2 平面向量的加法、减法及数乘运算
√
3 平面向量的坐标表示
√
4 平面向量的数量积
√
5
平面向量的平行与垂直
√
6
平面向量的应用
√
7
复数的概念
√
8 复数的四则运算
√
9 复数的几何意义
√
二、应知应会知识和方法：
1．（1）在四面体OABC中，OAOBOCD，，，abc为BC的中点，E为AD的中点，则
OE
（用，，abc表示）．
答案：111244abc．
（2）在ABC中，BD2DC，ADmABnAC，则mn ．
答案：12．
说明：考查向量的几何运算，掌握向量的加法、减法、实数与向量积、向量数量积的定义及其
运算律，理解用一组基底向量表示其他向量的方法．
2．（1）设AB＝(2，3)，且点A的坐标为(2，3)，则点B的坐标为 ．
答案：(4，6) ．
（2）已知向量a＝(2，3)，b＝(x，6)，且a∥b，则x= ．
答案：4．
（3）已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值是 ．
答案：2．
（4）设向量a＝(－1，2)，b＝(2，－1)，则(ab)(a＋b)等于 ．
答案：(－4，－4) ．
（5）已知a＝(5，4)与b＝(3，2)，则与2a－3b平行的单位向量为 ．
高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家
高考资源网版权所有，侵权必究。 www.ks5u.com
答案：525(,)55．
说明：考查向量的坐标表示及其运算用坐标表示的形式，提高坐标运算的能力．
3．（1）若|a|＝3，| b |＝2，且a与b的夹角为60°，则|a－b |＝ ．
答案：7
（2）已知向量a与b的夹角为120，且4ab，那么(2)bab的值为 ．
答案：0．
（3）若|a|＝1，| b |＝2，a与b的夹角为60°，若(3 a＋5 b)⊥(m a－b)，则实数m的值为 ．
答案：238
（4）已知平面上三点A，B，C满足|AB|=5，|BC|=6，|CA|=7，则ABBC＋BCCA＋CA
AB
的值等于 ．
答案：－55．
（5）在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA(OB＋OC)的最小值是__________．
答案：－2．
说明：考查向量的模、夹角、平行、垂直的坐标表示方法，要记准公式，确保运算结果正确．平
面向量的模的问题常常用22|a|a来转化；两个平面向量的夹角常常通过
cos||||abab
来求解．
4．（1）已知2OA，2OB，0OBOA，点C在线段AB上，且60AOC，则OCAB
的值是________________．
答案：
（2）如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，
M，N是线段AB的三等分点．若OA=6，则NCMD的
值是 ．
答案：26．
（3）已知△ABC中，AB=3，AC=2，D是BC边上的中点，则ADBC ．
答案：52．
（4）已知△ABC中，AB=3，AC=2，O是△ABC外接圆的圆心，则AOBC ．
答案：52．
说明：着重考查向量数量积．两向量的数量积常常通过以下三种途径加以计算：（1）利用定义，
即求出两个向量的模及其夹角；（2）建立适当的坐标系利用坐标；（3）利用平面向量基本定理转
化为基底之间的运算．三角形中的有关性质要能进行熟练转换．
A B C D M N
O
高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家
高考资源网版权所有，侵权必究。 www.ks5u.com
5．（1）复数43i1+2i的实部是 ．
答案：2．
（2）复数iii)1)(1(在复平面内对应点到原点的距离为 ．
答案：2．
（3）i是虚数单位，238i2i3i8i ．（用iab的形式表示，abR，）
答案：44i．
（4）若复数(1)(2)bii是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b ．
答案：2．
说明：考查复数的有关概念：复数、虚数、纯虚数、实数、虚部、实部等；掌握复数的四则运
算；了解复数的几何意义．