Riesz代数上的d-模(英文)

Ｖｏ１．３２（２０１２）　Ｎｏ．５　

ｄ—ＭｏＤＵＬＥ　０ＶＥＲ　Ａ　

数学杂志　：　：（　２　

ＲＩＥＳＺ　ＡＬＧＥＢＲＡ　ＦＥＮＧ　Ｙｉｎｇ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍ。ｔｉｃｓ，Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｊｉａｏｔ。ｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６１００３１，Ｃｈｉｎｎ１　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒｊ　ｗｅ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｆ　ｄ—ｍｏｄｕｌｅ　ｏｖｅｒ　ａ　Ｒｉｅｓｚ　ａｌｇｅｂｒａ．Ｂｖ　

ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｅｍｓ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ，ｗｅ　ｍａｉｎｌｙ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｔｈｅ　ｄ－ｍｏｄｕｌｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｒｄｅｒ　ｂｉｄｕａｌ　

ｏｆ　ａ　ｄ－ｍｏｄｕｌｅ　ｏｖｅｒ　ａ　ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　Ｒｉｅｓｚ　ａｌｇｅｂｒａ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｗｅ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｄ－ｍｏｄｕｌｅｓ　ｏｖｅｒ　ａｎ　ｉｄｅａｌ　

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ　ｂｙ　ａ　ｌａｔｔｉｃｅ　ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ　ｏｒ　ａｎ　ｉｎｔｅｒｖａｌ　ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ　ｏｐｅｒａｔｏｒ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：　Ｒｉｅｓｚ　ａｌｇｅｂｒａ；ｄ－ｍｏｄｕｌｅ；ｏｒｄｅｒ　ｂｉｄｕａｌ；ｌａｔｔｉｃｅ　ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ；ｉｎｔｅｒｖａｌ　ｐｒｅｓｅｒｖ—　ｉｎｇ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　２０１０　ＭＲ　Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ：４６Ａ４０；４７Ｂ６５　Ｄｏｃｕｍｅｎｔ　ｃｏｄｅ：　Ａ　Ａｒｔｉｃｌｅ　ＩＤ：０２５５．７７９７（２０１２）０５．０７６６．０７　

１　Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　Ａｃｃｏｍｐａｎｉｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　Ｒｉｅｓｚ　ａｌｇｅｂｒａ，ｉ．ｅ．，ｌａｔｔｉｃｅ　ａｌｇｅｂｒａ，ｏｔｈｅｒ　ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ　ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ　ｉｎ　Ｒｉｅｓｚ　ｓｐａｃｅ　ｗｅｒｅ　ａｌｓｏ　ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ｆｏｒ　ｆ—ｍｏｄｕｌｅ　ｉｎ　ｒｅｃｅｎｔ　ｙｅａｒｓ．Ｉｔ　ｐｌａｙｓ　ａ　ｋｅｙ　ｒｏｌｅ　ｉｎ　ｓｏｍｅ　ｓｔｕｄｉｅｓ　ａｂｏｕｔ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒ…．Ｍｏｔｉｖａｔｅｄ　ｂｙ　ｉｔ，ａ　ｎｅｗ　ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　ｇｉｖｅｎ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｎａｍｅｄ　ｄ－ｍｏｄｕｌｅ　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｓｉｍｉｌａｒ　ｔｏ　ｄ—ａｌｇｅｂｒａ．Ａｎｄ　ｌｉｋｅ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｏｒｄｅｒ　ｄｕａｌ　ｏｆ　ａ　ｌａｔｔｉｃｅ　ａｌｇｅｂｒａ『２］，ｔｈｅ　ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ　ｗｈｅｔｈｅｒ　ｔｈｅ　ｏｒｄｅｒ　ｄｕａ１　ｏｒ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｄｕａ１　ｏｆ　ａ　ｄ—ｍｏｄｕｌｅ　ａｒｅ　ａｌｓｏ　ｄ—ｍｏｄｕｌｅｓ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　ｍａｉｎｌｙ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｗｅ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｄ—ｍｏｄｕｌｅｓ　ｏｖｅｒ　ａｎ　ｉｄｅａｌ　ｇｅｎｅｒａｔｅｄ　ｂｙ　ｓｏｍｅ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．　Ｆｉｒｓｔ　ｏｆ　ａｌｌ，ｔｈｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｆ—ｍｏｄｕｌｅ　ｐａｐｅｒ　ａｒｅ　ａｓｓｕｍｅｄ　ｔｏ　ｂｅ　Ａｒｃｈｉｍｅｄｅａｎ．　ｉｓ　ｓｈｏｗｎ　ａｓ　ｆｏｌｌｏｗｓ．Ａｎｄ　ａｌｌ　Ｒｉｅｓｚ　ｓｐａｃｅｓ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　１．１　Ｒｉｅｓｚ　ｓｐａｃｅ　Ｌ　ｉｓ　ｃａｌｌｅｄ　ａｎ　ｌｅｆｔ　ｆ—ｍｏｄｕｌｅ　ｏｖｅｒ　ａｎ　ｆ—ａｌｇｅｂｒａ　Ａ　ｉｆ：　（１）Ｌ　ｉｓ　ａ　ｌｅｆｔ—ｍｏｄｕｌｅ　ｏｖｅｒ　Ａ　ｗｉｔｈ　ｒｅｓｐｅｃｔ　ｔｏ　ａ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ（ａ，ｆ）．－÷ａ．ｆ　ｆｒｏｍ　Ａ×　ｉｎｔｏ　Ｌ，ｉ．ｅ．，（ａ＋ｂ）・ｆ＝ａ・ｆ＋ｂ・ｆ，ａ・（ｆ＋ｇ）＝ａ・ｆ＋ａ・ｇ，ａ・（ｂ・ｆ）＝（ａｂ）．ｆ，ａｎｄ　ａ・（Ａｆ）＝（Ａａ）・ｆ＝　（０・ｆ）ｆｏｒ　ａｌｌ　ａ，ｂ∈Ａ，ｆ，ｇ∈Ｌ　ａｎｄ　Ａ∈Ｒ；　（２）ａ・ｆ　０　ｗｈｅｎｅｖｅｒ　０　ａ∈Ａ　ａｎｄ　０　ｆ∈　；　（３）ｆ上９　ｉｎ　Ｌ　ｉｍｐｌｉｅｓ　ｔｈａｔ　ａ・ｆ上ｇ　ｉｎ　Ｌ　ｆｏｒ　ａｌｌ　ａ∈Ａ．　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ａｒｅｎｓ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ［３】，ｉｆ　Ｌ　ｉｓ　ａｎ　ｆ—ｍｏｄｕｌｅ　ｏｖｅｒ　Ａ，ｗｅ　ｃａｎ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｍｕｌｔｉＤｌｉｃａｔｉｏｎｓ：　

Ｒｅｃｅｉｖｅｄ　ｄａｔｅ：２０１０—１２—０８　Ａｃｃｅｐｔｅｄ　ｄａｔｅ：２０１１—０６—２３　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｉｔｅｍ：Ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｆｕｎｄｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉ—　ｔｉｅｓ（ＳＷＪＴＵ０９ＢＲ１９９；ＳＷＪＴＵ０９ＺＴ３６）．　Ｂｉｏｇｒａｐｈｙ：Ｆｅｎｇ　Ｙｉｎｇ（１９７９一），ｆｅｍａｌｅ，ｂｏｒｎ　ａｔ　Ｌｅｓｈａｎｊ　Ｓｉｃｈｕａｎ，ｌｅｃｔｕｒｅｒ，Ｐｈ．Ｄ．，ｍａｊｏｒ　ｉｎ　Ｂａｎａｃｈ　ｌａｔｔｉｃｅ　ａｎｄ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ｔｈｅｏｒｙ．　Ｎｏ．５　ｄ－ｍｏｄｕｌｅ　ｏｖｅｒ　ａ　Ｒｉｅｓｚ　ａｌｇｅｂｒａ　７６７　（１）Ａ×Ｌ　一Ｌ　：（ａ，ｆ）一ａ・ｆ：ａ・ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ・ｘ）ｆｏｒ　ｘ∈　；　（２）Ａ×Ｌ　Ｌ　：（ａ，Ｇ）一ａ・Ｇ：ａ・Ｇ（ｆ）＝ａ（ａ・ｆ）ｆｏｒ　ｆ∈Ｌ　；　（３）Ｌ×Ｌ　一Ａ　：（ｘ，ｆ）—　，，：　，，（ｎ）＝ｆ（ａ・　）ｆｏｒ　ａ∈　；　（４）Ｌ×　一Ａ　：（ｆ，Ｇ）—　，，Ｇ：　，，Ｇ（ａ）＝Ｇ（ａ・ｆ）ｆｏｒ　ａ∈　；　（５）（Ａ　）　×　—　：（Ｆ），）—　Ｆ・．厂：Ｆ・ｆ（ｘ）＝Ｆ（　，）ｆｏｒ　ｘ∈　；　（６）（Ａ　）　×　：（Ｆ）Ｇ）一Ｆ・Ｇ：Ｆ・ｏ（ｆ）＝Ｆ（　，，Ｇ）ｆｏｒ　ｆ∈Ｌ　

２　Ｔｈｅ　Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｏｆ（ｆ＿Ｍｏｄｕｌｅ　Ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｆ—ｍｏｄｕｌｅ，ｗｅ　ｃａｎ　ｄｅｆｉｎｅ　ａ　ｎｅｗ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｄ—ｍｏｄｕｌｅ　ａｓ　ｆｏｉｌｏｗｓ：　Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　２．１　Ｌｅｔ　Ａ　ｂｅ　ａ　ｌａｔｔｉｃｅ　ａｌｇｅｂｒａ　ａｎｄ　Ｌ　ｂｅ　ａ　Ｒｉｅｓｚ　ｓｐａｃｅ．Ｔｈｅｎ　Ｌ　ｉｓ　ｃａｌｌｅｄ　ａ　

ｌｅｆｔ　ｄ－ｍｏｄｕｌｅ　ｏｖｅｒ　Ａ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ａ　ｍａｐｐｉｎｇ（ａ，ｆ）＿＿÷ａ．ｆ　ｏｆ　Ａ×Ｌ　ｉｎｔｏ　Ｌ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｈｏｌｄ：　（１）Ｌ　ｉｓ　ａ　ｌｅｆｔ—ｍｏｄｕｌｅ　ｏｖｅｒ　ｔｈｅ　Ｒｉｅｓｚ　ａｌｇｅｂｒａ　：　（２）ａ・ｆ　０　ｗｈｅｎｅｖｅｒ　０　ａ∈Ａ　ａｎｄ　０　ｆ∈　；　（３）Ｉｆ　ａ∈Ａ十，ｔｈｅｎ　ａ‘（ｆ　Ｖ　ｇ）＝ａ・ｆ　Ｖ　ａ・ｇ　ａｎｄ　ａ・（ｆ　Ａ　９）＝ａ・ｆ　Ａ　ａ．ｇ　ｈｏｌｄ　ｆｏｒ　ａｌｌ　ｆ，ｇ∈Ｌ．　Ｒｉｇｈｔ　ｄ—ｍｏｄｕｌｅ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｉｎ　ａ　ｓｉｍｉｌａｒ　ｗａｙ．　Ｉｆ　Ｌ　ｉｓ　ａ　ｌｅｆｔ　ｄ－ｍｏｄｕｌｅ　ｏｖｅｒ　ａ　ｌａｔｔｉｃｅ　ａｌｇｅｂｒａ　Ａ，ｆｏｒ　ｅａｃｈ　ａ∈　＋，ｔｈｅ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ　

ｍａｐｐｉｎｇ丌。０ｆ　Ｌ　ｉｎｔｏ　Ｌ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｂｙ　７ｒ。（，）＝ａ－ｆ（Ｖｆ∈Ｌ）ｉｓ　ａ　ｌａｔｔｉｃｅ　ｈｏｍｏｍｏｒｐｈｉｓｍ　ｏｆ　Ｌ．　Ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ｆｏｒ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　０∈Ａ，丌。ｉｓ　ａ　ｄｉｓｊｏｉｎｔ　ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　ａｎｄ　ｌ　０．，ｌ＝ｌ　０．Ｉ　ｆ　ｌ　ｌ　ｈｏｌｄｓ　ｆｏｒ　ａｌｌ　ｆ∈Ｌ．　

３　Ｔｈｅ　Ｏｒｄｅｒ　Ｂｉｄｕａｌ　ｏｆ　ａ　ｄ－Ｍｏｄｕｌｅ　Ｉｔ　ｗａｓ　ｓｈｏｗｎ　ｔｈａｔ　ｉｆ　Ｌ　ｉｓ　ａｎ　ｆ－ｍｏｄｕｌｅ　ｏｖｅｒ　Ａ，ｉｔｓ　ｏｒｄｅｒ　ｄｕａｌ　Ｌ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ａｎ　ｆ－ｍｏｄｕｌｅ　ｏｖｅｒ　Ａ（ｏｒ（Ａ　）　）［３］Ｉ　Ｈｏｗｅｖｅｒ　ｔｈｅｓｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｆａｉｌ　ｔｏ　ｈｏｌｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｏｒｄｅｒ　ｄｕａｌ　ｏｆ　ａ　ｄ＿ｍｏｄｕ１ｅ．　Ｅｘａｍｐｌｅ　３・１　ｌｅｔ　Ａ　ｂｅ　ｔｈｅ　ｐｌａｎｅ　Ｒ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｗｉｓｅ　ｏｒｄｅｒｉｎｇ．Ｗｅ　ｃａｎ　ｄｅｆｉｎｅ　

ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｗｏ　ｅｌｅｍｅｎｔｓ　ｏｆ　Ｒ　ａｓ（Ｘｌ，ｘ２）・（ｙ１，ｙ２）＝（ｘｌｙ１，ｘｌｙ２）．Ａ　ｓｔｒａｉｇｈｔ—　ｆｏｒｗａｒｄ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　Ａ　ｉｓ　ａｎ　Ａｒｃｈｉｍｅｄｅａｎ　ｄ－ａｌｇｅｂｒａ．Ｓｏ　Ａ　ｉｓ　ａ　ｄ－ｍｏｄｕｌｅ　ｏｖｅｒ　

ｉｔｓｅｌｆ．　

Ｆｏｒ　ｅａｃｈ　ｏｒｄｅｒ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｌｉｎｅａｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｆ∈Ａ　ａｎｄ　ａｎｙ　ａ＝（ａ１，ａ２）∈Ａ＋，ｂ∈Ａ　ｉｔ　ｉｓ　ｅａｓｙ　ｔｏ　ｓｅｅ　ｔｈａｔ　ａ‘Ｉｆｌ：Ｉａ・ｆｌ，ａｎｄ　ａ・（ｂ・ｆ）＝（ａｂ）・ｆ．Ｉｎ　ｏｔｈｅｒ　ｗｏｒｄｓ，Ａ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ａ　ｄ－ｍｏｄｕｌｅ　ｏｖｅｒ　Ａ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ（１）．　Ｅｘａｍｐｌｅ　３．２　Ｃｏｎｓｉｄｅｒ　Ａ＝Ｒ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｗｉｓｅ　ｖｅｃｔｏｒ　ｓｐａｃｅ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ．　ｐａｒｔｉａｌ　ｏｒｄｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　

ｘ’Ｙ＝（Ｘｌ，ｘ２，ｘ３，ｘ４）（ｙｌ，Ｙ２，Ｙ３，Ｙ４）＝（ＸｌＹｌ，Ｘｌｙ２，ｘ３ｙ１，ｘ３ｙ２）　Ｉｔ　ｉｓ　ｉｍｍｅｄｉａｔｅ　ｔｈａｔ　Ａ　ｉｓ　ａ　ｄ－ａｌｇｅｂｒａ．Ｈｏｗｅｖｅｒ　ｆｏｒ　ａｎｙ　ｆ∈Ａ　ａｎｄ　ａ∈　＋．ｔｈｅ　

ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ａ‘Ｊｆ　Ｊ　ａｎｄ　Ｊｎ・ｆ　Ｊ　ｍａｙ　ｎｏｔ　ｂｅ　ｅｑｕａ１．Ｆｏｒ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｉｆ　ｆ（ｘ）＝２ｘ１一ｘ３　ｆｏｒ　ｅａｃｈ