高等代数II选讲
高等代数第二版课件§3[1].3 线性相关性
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在解几中，向量空间 R 3 中的任一个向量α可由 i, j , k 和
一、向量组的线性关系
1 , 2 ,, r
线性表出。
第三章 线性方程组
例3.3.2 在 F 中，任一向量 a1 , a2 , , an 可由向量组 1 1, 0,, 0 , 2 0,1,, 0 ,, n 0, 0,,1 线性表示， i 称为n维单位向量。 1 , 2 ,, n 在 F n 中有重要的作用。 这回答了本段开头提出的问题， 它有哪些重要作用？以及是否还有其他向量组能起它们的作用？ 下面将给予回答。 注1：零向量是任一向量组的线性组合。 n 定义2：对于 F 中r个向量 1 , 2 ,, r ，若存在F中不全为 k11 k2 2 kr r 0 ，则称 零的数 k1 , k2 , , kr ，使 1 , 2 ,, r 线性相关，否则称 1 , 2 ,, r 线性无关， （即不存在不全为零的数 k1 , k2 , , kr ，使
（否则得 n l11 ln 1 n 1 , 矛盾）， 不妨设 ln 0, 于是 因此，向量组（Ⅲ）1 , 2 ,, n , n 1 ,, s 与向量组（Ⅳ） 1 ,, n 1 , n ,, s 等价。
ln 1 ln 1 ls l1 1 n n 1 n 1 n 1 s ln ln ln ln ln
1 , 2 ,, r r 2
第三章 线性方程组
三、向量组的等价和替换定理
定义4
设向量组（Ⅰ）： 1 , 2 ,, r 和向量组（Ⅱ）：
1 , 2 ,, s 是向量空间 F n 中的两个向量组，如果组（Ⅰ）
高等代数选讲讲义
高等代数选讲信阳师范学院数学与信息科学学院2006年9月目录第一讲 带余除法 (1)第二讲 不可约多项式 (5)第三讲 互素与不可约、分解 (9)第四讲 多项式的根 (13)第五讲 典型行列式 (17)第六讲 循环行列式 (21)第七讲 特殊行列式方法 (26)第八讲 解线性方程组 (31)第九讲 分块矩阵与求秩 (36)第十讲 矩阵的分解与求逆 (40)第十一讲 广义逆与特殊矩阵对关系 (45)第十二讲特征值、对角线与最小多项式 (51)第十三讲向量的线性相关与自由度 (56)第十四讲双线性型与正定二次型 (61)第十五讲线性空间及其几何背景 (66)第十六讲欧氏空间和正交变换的意义 (71)第十七讲线性变换的核与象 (76)第十八讲线性变换的特征与不变子空间 (81)第一讲 带余除法定理1（带余除法）∀f (x ), g (x )≠0 ∈P [x ]，则有f (x )=g (x )s (x )+r (x )其中r (x )=0或∂(r (x ))＜∂(g (x ))，r (x )，s (x )∈P [x ]定理2 g (x )|f (x )⇔r (x )=0(x －a )|f (x )⇔f (a )=0带余除法可将f (x )，g (x )的性质“遗传”到较低次的r (x )，也可将g (x )，r (x )的性质“反馈”到较高次的f (x )。
边缘性质：若满足某个条件C 的多项式存在，则一定存在一个次数最低的满足条件C 的多项式。
反过来，满足条件D 的多项式次数不超过m ，则这样的集中一定有一个次数最大的。
根据带余除法和边缘性持，创造了求最大公因式的辗转相除法。
可以证明最小公倍式也是存在的，还可以得到更多的其它结论。
例1 a 是一个数，f (x )∈P [x ]且f (a )=0，则P [x ]中存在唯一首项系数=1且次数最低的多项式m a (x )： m a (a )=0证作：Sa ={g (x )∈P [x ]|g (a )=0}那么S ≠φ，故S 中存在一个次数最低且首系=1的多项式m a (x )，现设m (x )也是满足条件的多项式，那么∂(m (x ))=∂(m a (x ))所以∂(m (x )－(m a (x ))＜∂(m a (x ))令 r (x )=m (x )－m a (x )则r (a )=0，得r (x )=0，所以m (x )=m a (x )，唯一性证毕。
高等代数课件 第二章
三、 多项式的带余除法定理
定理 设f x, gx F[x] ，且 gx 0，则存在
qx, rxF[x], 使得
f x gxqx rx
这里 rx 0，或者 0 rx 0 gx. 并且满足上述条件的 qx和r(x) 只有一对。
注1： qx, rx分别称为 gx除f (x)所得的商式和
余式
注2： gx 0, gx| f x rx 0.
使以下等式成立:
f xux gxvx dx
三、多项式的互素
1. 互素的定义
定义 3 如果 Fx 的两个多项式除零次多项式外
不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素.
2. 互素的性质
(1)定理 2.3.3 Fx的两个多项式 f x与gx 互素
的充分且必要条件是：在 Fx中可以求得多项式 ux
二.教学目的 1.掌握最大公因式,互素概念. 2.熟练掌握辗转相除法 3.会应用互素的性质证明整除问题
三.重点,难点 辗转相除法求最大公因式. 证明整除问题
一、最大公因式的定义
定义 1 令 f x和 gx是F [x]的两个多项式，若 是F [x]的一个多项式hx 同时整除 f x和gx ，那么 hx 叫做 f x与gx的一个公因式.
f1x, f2 x,, fk x,及 q1x, q2 x,, qk x,
使得
fk1x fk x qk1xgx
而
0 f x 0 f1x 0 gx
由于多项式 f1x, f2x,的次数是递降的, 故存在k使
fk x 0或0 fk x 0gx ，于是
qx q1x qk x及rx fk x
系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
《高等代数2》教学大纲
《高等代数Ⅱ》教学大纲
一、课程基本信息
二、课程教学目标
通过本课程的学习，使学生较系统地掌握多项式、线性空间、线性变换、欧几里得空间等数学科
学的基础理论知识和基本计算技巧，学会严密的逻辑推理方法，大力加强学生的归纳、演绎、类比、抽象等能力，为学生学习后继有关课程如近世代数、离散数学、数论等奠定坚实的基础。
三、理论教学内容与要求
四、考核方式
本课程为考试课。
采用期末考试、平时考核相结合的考核方式。
总成绩为100分，其中期末考试成绩占总成绩的70%，平时成绩（包括作业、出勤、课堂表现等）占总成绩的30%。
高等代数第二版课件§1[1].3_整除的概念
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若 g x 0 则在 F x 中有
f x g x q x r x , r x 0
第二章 多项式
但 F x 中的多项式 q x , r x 仍是 F x 的多项式。 因而在 F x 中，这一等式仍然成立。 由 q x , r x 的唯一性知， 在 F x 中 g x
第二章 多项式
x f k x 例1.3.2：证明
k 1 的充要条件是 x f x
证：充分性显然。 x xq x c
k
k
xq1 x c k
由于 x f
f g h x m1 x m2 x , h x f g
第二章 多项式
m1 x , m2 x F x
若 性质3： h x f x ，对 g x F x 。 h fg 有 证：
f x
第二章
多项式
作业 P44 1（1），2（1），3（1）
第二章
多项式
h x f x
m1 x , m2 x F x
性质2：若 h x g x , h x f x ，则 h f g 。 证： g x h x m1 x , f x h x m2 x
g x 除 f x 的余式 r x 0
证： 充分性。 若 f x g x q x r x 且 r x 0 则有 g x f x 必要性。 若 g x f x ，则 f x g x q x 例1.3.1 设 f x 5x4 2x3 3x2 7x 1, g x x2 2x 3 求 g x 除 f x 所得的余式和商式。
《高等代数2》课程教学大纲
《高等代数2》课程教学大纲课程名称高等代数2课程编码131500005 课程类型学科基础课程库适用范围院级课程学分数 4 先修课程高等代数1学时数64 其中实验学时其中实践学时考核方式考试制定单位数学与信息科学学院执笔者审核者一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务高等代数是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一，本课程《高等代数II》是它的第二部分。
它不仅是代数学的基础，也是其它数学课程必要的前提。
该课程是为大学一年级的学生开设的，总课时64学时，开设时间为第二学期。
通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。
本课程的任务是使学生系统地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。
（二）课程教学的目的和要求通过本课程的学习，使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法，熟悉代数的语言、工具、方法，具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。
为今后的学习打下扎实的基础。
１．熟练掌握：矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩，初等矩阵的性质，可逆矩阵，向量空间的基、维数，线性相关与线性无关，齐次线性方程组的基础解系，线性变换，矩阵特征值、特征向量的概念与求法，内积的定义，正交变换与正交矩阵。
２．掌握：矩阵的乘法，矩阵的行列式，子空间的交与和，坐标，过渡矩阵，线性方程组的特解与通解，线性变换的运算及其形成的向量空间，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构，矩阵的相似，几类向量空间的内积，Cauchy不等式，正交基与正交化，三维空间中的几种正交变换，正交变换与正交矩阵的关系，３．理解：分块矩阵的方法，矩阵乘积的秩，向量空间的定义，矩阵的相似的意义，特征多项式的性质，可对角化的矩阵的判定及其意义，内积的作用，正交、对称变换的意义。
高等代数
多元多项式环
全体字符 x1 , x2 , …, xn 的系数在 K 中的
多项式, 在多元多项式加法、乘法运算下,
构成交换幺环, 记作 K[ x1 , x2 , …, xn ]. 可逆元? 满足消去律 (整环) ? 带余除法? 唯一分解性质 ?
字典排序法
f ( x1 , x2 , …, xn ) 的单项式
次数公式
推论: f , g K[ x1 , x2 , …, xn ], 有
deg( f + g ) max { deg( f ) , deg( g ) } ;
deg( f g ) = deg( f ) + deg( g ) .
约定: 零多项式的全次数为 – ∞, 且
(–∞)+(–∞) =–∞
可唯一地写成不可约多项式的乘积.
第七章 多项式环
1 2 3 4 5 6 7 8 一元多项式环 整除性与最大公因式 不可约多项式与唯一分解性质 重因式 C , R 与 Q 上的不可约多项式 多元多项式 对称多项式 有限域
n 元多项式
字符 x1 , x2 , x3 的多项式 :
f ( x1 , x2 , x3 ) = 1 + x1 – 3 x23 + x1 x2 x3 + x17 g ( x1 , x2 , x3 ) = x13 + x23 + x33 – 3 x1 x2 x3
乘积的首项等于多项式首项的乘积.
证: 设在字典排序法下 f = a x1p1 x2p2 xnpn + g = b x1q1 x2q2 xnqn + 则 a0 b0
f g = a b x1p1+q1 x2p2+q2 xnpn+qn +
高等代数02多项式
注意： 注意：
定理2.3.2的逆命题不成立.但是当（2）式成立，而d(x)是f(x)与 g(x)的一个公因式时， d(x)一定是f(x)与g(x)的一个最大公因式. 定义3 定义3 F[X]的两个多项式 与 互素的充分必要条件是： F[X]的两个多项式f(x)与g(x)互素的充分必要条件是：在 的两个多项式 互素的充分必要条件是 F[X]中可以求得多项式u(x)与v(x)，使 中可以求得多项式u(x) 中可以求得多项式u(x)与v(x)， f(x)u(x)+g(x)v(x)=1
最大公因式的定义可以推广到n（n>2）个多项式的情形： n n>2） 若是多项式h(x)整除多项式中 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的每一个，那么 h(x)叫做这n个多项式的一个公因式.若是 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的公因式d(x)能被这n多个多项式的每一个公因式整除，那么d(x)叫 做 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的一个最大公因式。 容易推出：若d0 ( x)是多项式 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x ) 的一个最大公因式 容易推出 那么 d 0 ( x) 与多项式f(x)的最大公因式也是多项式 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的最大公因式。
§2.4 多项式的分解
我们知道，给了F(X)的任何一个多项式f(x)，那么的任何不为零 的元素c都是f(x)的因式.另一方面，c与f(x)的成绩cf(x)也总是f(x)的因 式.我们f(x)把的这样的因式叫做他的平凡因式 平凡因式. 平凡因式 定义 令f(x)是F[X]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在F[X] f(x)是F[X]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在 的一个次数大于零的多项式 f(x) 中只有平凡因式，f(x)就是说在数域 上不可约. f(x)除平凡 就是说在数域F 中只有平凡因式，f(x)就是说在数域F上不可约.若f(x)除平凡 饮食外， F[X]中还有其它因式 f(x)就是说在 上可约。 中还有其它因式， 就是说在F 饮食外，在F[X]中还有其它因式，f(x)就是说在F上可约。 对于零多项式与零次多项式我们既不能说它们是可约的，也 不能说它们是不可约的。在任一多项式环F[X]中都存在不可约多 项式，因为F[X]的任何一个一次多项式总是不可约的. 注意： 注意：我们只能对给定的数域来谈论多项式可约或不可约
高等代数II
高等代数II高等代数II是一门高等数学课程，主要研究线性代数、群论和域论等高级代数学的理论和应用。
本文主要介绍高等代数II 中的一些重要概念、定理和应用。
一、线性代数线性代数是高等数学的重要分支，主要研究向量空间、线性变换、特征值与特征向量、正交变换等概念与理论。
这些概念和理论在数学、物理、工程等领域中应用广泛。
下面重点介绍线性代数中的一些重要概念和定理。
1. 向量空间向量空间是一个包含向量加法和标量乘法的集合，满足一些基本的性质，例如加法结合律、交换律、存在零向量，标量乘法分配律、结合律等。
常见的向量空间有欧几里得空间、函数空间、矩阵空间等。
向量空间的基本性质使其能被用来描述几何对象和物理现象。
2. 线性变换线性变换是一种保持向量空间中加法和标量乘法的映射，即对任意向量 $v_1,v_2$ 和标量 $a$，满足$T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$ 和 $T(av)=aT(v)$。
线性变换可以用矩阵来表示，并且矩阵的乘法也是一种线性变换。
线性变换的研究在于寻找其特征值和特征向量，从而可以得到一些重要的性质和应用。
3. 特征值和特征向量在线性代数中，线性变换 $T$ 的特征向量 $v$ 是指在 $T$ 作用下仍保持方向不变的非零向量，即 $T(v)=\lambda v$，其中$\lambda$ 是系数，称为特征值。
一些基本性质表明，每个线性变换都有至少一个特征值和对应的特征向量。
4. 正交变换正交变换是一种保持向量点乘和长度不变的线性变换，即$T(v_1)\cdot T(v_2)=v_1\cdot v_2$ 和 $||T(v)||=||v||$。
常见的正交变换有旋转和镜像变换。
正交变换的特殊性质使其在几何学中应用广泛，例如可以用来计算内积、夹角、曲率等。
二、群论群论是一种研究代数系统的分支学科，主要研究群的结构、子群、同态、同构和群作用等概念和理论。
群是一个集合和映射的组合，满足一些基本的性质，例如结合律、单位元、逆元等。
高等代数2
M M a n 2 L a nn
= ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + L + a in Ain
(1)
其中 Aij 代表那些含有 aij 的项在提出公因子 aij 之后的代数和.至于 Aij 究竟是哪一 些项的和暂且不管， 到§6 再来讨论.从以上讨论可以知道，Aij 中不再含有第 i 行 的元素，也就是 Ai1 , Ai 2 ,L, Ain 全与行列式中第 i 行的元素无关.由此即得. 性质 2
ai1 j1 ai2 j2 L ain jn ,
（11）
其中 i1i2 L in , j1 j 2 L j n 是两个 n 级排列.利用排列的性质， 不难证明， (11)的符号等 于
(−1)τ ( i1i2 Lin ) +τ ( j1 j2 L jn ) .
(12)
按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称 的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义 又可以写成
a11 a 21 M a n1 a12 a 22 L a1n L a2n
M M a n 2 L a nn
=
i1i2 Lin
∑ (−1)τ
( i1i2 Lin )
ai11 ai2 2 L ain n .
(15)
由此即得行列式的下列性质： 性质 1 行列互换，行列式不变.即
a11 a 21 M a n1 a12 a 22 L a1n L a2n a11 a 21 L a n1 a 22 L an2 M M a 2 n L a nn a12 M a1n
(8)
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课程号
00134120
学分
2
英文名称
Selected Topics in Advanced Algebra II
先修课程
高等代数I中ຫໍສະໝຸດ 简介主要介绍代数学中若干重要概念、例子以及方法等。
英文简介
Describe some important concepts, examples and methods in algebra.
二、欧氏空间的格（6学时）
格的基、LLL算法
三、有限域上的空间（8学时）
正交空间、辛空间、Witt定理、正交群及辛群结构
四、多重线性代数（6学时）
多重线性映射、线性空间的张量积、张量代数、外代数
课堂讲授
撰写学习总结
教学评估
高峡：
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
高等代数,丘维声,高等教育出版社；
参考书
教学大纲
主要介绍代数学中若干重要概念、例子以及方法等，为后续代数课程的学习打好基础。
一、多项式环与整数环的算术 （12学时）
同余、商环、由整数环构造素数元有限域、由有理数域上多项式环构造代数数域、有限域上的矩阵群、置换群与矩阵群的关系、整数环上矩阵的标准型