厦门理工高等数学无皮练习答案第一章 函数与极限

1 高等数学(Ⅰ)练习 第一章 函数、极限与连续 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题一 函数 一．选择题

1.函数216ln1xxxy的定义域为 [ D ]

（A）（0，1） （B）(0,1)(1,4) （C）(0,4) （D）4,1()1,0(] 2.3arcsin2lgxxxy的定义域为 [ C ] （A）)2,3(]3,( （B）(0,3) （C）]3,2()0,3[ （D）),3( 3．函数)1ln(2xxy是 [ A ] （A）奇函数 （B）非奇非偶函数 （C）偶函数 （D）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(上是减函数的是 [ D ]

（A）222xxy （B）)1(2xy （C）||)21(xy （D）.||log2xy 二．填空题 1. 已知),569(log)3(22xxxf则)1(f 2

2. 已知,1)1(2xxxf则)(xf 3. 已知xxf1)(,xxg1)(, 则][xgf 4. 求函数)2lg(1xy的反函数 5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) xylntan2：

(2) 32arcsinlgxy：__________ _____________________ 三.计算题 1．设)(xf的定义域为]1,0[, 求)(sin),(2xfxf的定义域

21xx

1102()xyxR

11x

2,tan,ln,yuuvvwwx

23,,lg,arcsin,yuuvvwwttx

2()[11](sin)[2,2]()fxfxkkkZ的定义域为，

的定义域为 2

2.设2||111||1)(2xxxxx , 求)23(),21(),1(, 并作出函数)(xy的图形. 4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40（图1-22）。当过水断面ABCD的面积为定值时0s，求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系，并指明其定义域。

5.收音机每台售价为90元，成本为60元。厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是定购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元. （1） 将每台的实际售价p表示为订购量x的函数 （2） 将厂方所获的利润L表示成订购量x的函数 （3） 某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ 解：

答:厂方获利润21000元.

A D B C  h 图1-22 b

22

90,0100,(1)()910.01,1001600,75,1600.30,0100,(2)()(()60)310.01,1001600,15,1600.(3)(1000)3110000.01100021000.xPxxxxxxLxxPxxxxxxL













1331(1)0,(),()2222

000

00

2,,tansin12(2)0,0tan2tantan2,0tansintanhhADbABshhshbbhshshhLhsh

 3

高等数学(Ⅰ)练习 第一章 函数、极限与连续 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题二 数列的极限

一、填空题 1. 写出下列数列的前五项：

(1) 11nnxn：_______ _____ (2)nxnn1)1( ：____ ________

(3)212nxn：_________ _ _ (4) nnx31 ：____ __________ 2．写出下列数列的通项： (5) ,119,97,75,53,31 nx ______________

(6) ,81,0,61,0,41,0,21,0 ny________________ (7) 99.0, 999.0, ,9999.0 nz_________________ 二、选择题： 1．下列数列}{nx中收敛的是 [ B ]

（A）nnxnn1)1( （B）nn1)1(1 （C）2sinnxn （D）nnx3

三、证明题 1．根据数列极限的定义证明

(1)231213limnnn

11320,,,,325311111,,,,2345

11111,,,,39278124391933513,,,,

491625

1(1)2nn21(1)21nnn



11110n

3130,||,212111,,424211313[]1,,||42212313lim212nnnnnnNnNnnn证明：要使

只要 所以故只要取则当时恒成立.即 4

2．若axnnlim，证明||||limaxnn。并举例说明：如果数列 {|nx|} 有极限，但数列 {nx} 未必有极限.

3．设数列 {nx} 有界，又0limnny，证明 0limnnnyx 1110,lim,,,||.,,||||||||.,lim||||.nnnnnnnxaNnNxaNNnNxaxaxa



证明：由知正整数当时恒成立

故取则当时恒成立即

:{|(1)|}1,{(1)}.nn例如数列是收敛与的但是是个发散的数列

111{}0,||().lim0,0,,,||.,,||||||.,lim0.nnnnnnnnnnnnxMxMnZyNnNyMMNNnNxyxyMMxy



证明：因为数列有界,所以使恒成立由知正整数当时恒成立

故取则当时恒成立即 5

高等数学(Ⅰ)练习 第一章 函数、极限与连续 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题三 函数的极限 一．填空题

1．0limaxx (0)a， 01limaxx (0)a 2．0limlnxx ， limlnxx ，

3．10limxxe ， 10limxxe ， 4．01limarctanxx ，01limarctanxx

5．设211()31xxfxaxx，如果1lim()xfx存在，则a 二、选择题： 1．若()fx在点0x的某个邻域中有定义，并且0lim()xxfx存在，则下列结论中正确的是[ D ]

（Ａ）若()0fx,则0lim()0xxfx （Ｂ）若()0fx,则0lim()0xxfx （Ｃ）若0()0fx,则0lim()0xxfx （Ｄ）若()0fx,则0lim()0xxfx 2． 下列函数中在0x点处有极限的是 [ A ]

（Ａ）0,0()1,0xfxx （Ｂ）1,10(),01xxfxxx

（Ｃ）1()fxx （Ｄ）1,0()0,0xxfxx 二.证明题 1． 用极限的定义证明

（1）12)25(lim2xx

0

0

22



23

2|(52)12|,|2|,5,0|2|,|(52)12|5lim(52)12.x>xx证明:0,要使只要

故取则当时恒成立,即 6

2．设1||11||)(xxxxf （1）作)(xf的图形 （2）根据图形写出)(lim1xfx，)(lim1xfx，)(lim1xfx ，)(lim1xfx （3）)(lim1xfx与)(lim1xfx存在吗？

3. 设21,010,0()2,0236,2xxxfxxxxxx,讨论0x及2x时，()fx的极限是否存在？并求lim()xfx，lim()xfx

解 ：2000001lim()lim1,lim()lim(2)0,lim()1xxxxxfxfxxxfxx不存在。 222222lim()lim(2)0,lim()lim(36)0,lim()0.xxxxxfxxxfxxfx



1lim()lim01xxfxx。

lim()lim(36)xxfxx，即极限不存在

111111:(2)lim()1,lim()1lim()1,lim()1(3)lim()1,lim()xxxxxxfxfxfxfxfxfx

解不存在